Nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ LAN

NHIỄU CỦA GIẢI TÍCH TIỆM CẬN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ LAN

NHIỄU CỦA GIẢI TÍCH TIỆM CẬN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào - đã
trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận
của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ
Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành
tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận tốt nghiệp, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy,
em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những góp ý của các thầy cô
và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Chu Thị Lan


LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của
các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
TS. Nguyễn Văn Hào.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Phương pháp nhiễu của giải
tích tiệm cận đối với phương trình đại số ” không có sự trùng lặp
với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Chu Thị Lan

3


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Một số khái niệm về bậc và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Các khái niệm về "không" bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4. Một số ví dụ về bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Dãy tiệm cận và chuỗi tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Một số tính chất cơ bản của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Phương pháp nhiễu với phương trình đại số .

24

2.1. Khai triển Taylor và quy tắc l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.1. Định lí Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.2. Quy tắc l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Khái niệm về nhiễu phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Ý tưởng của phương pháp nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4. Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số . . . . . . . . . . .

29

2.4.1. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.2. Phương pháp nhiễu kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30


2.4.3. Phương pháp tỉ lệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Trường hợp các lũy thừa không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

34

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Về mặt lịch sử, sự xuất hiện của giải tích tiệm cận có thể nói là rất sớm.
Thậm chí có thể kể đến thời điểm khi tổ tiên của chúng ta nghiên cứu
từ vấn đề nhỏ như thước đo của một cây gậy, hoặc đến vấn đề lớn hơn
như nghiên cứu sự xáo trộn quỹ đạo chuyển động của một hành tinh.
Như chúng ta biết, khi đo một cây gậy mỗi phép đo cho một giá trị khác
nhau. Do đó sau n lần đo kết quả nhận được là n giá trị khác nhau. Một
trong những kết quả trên đây có thể chọn là chiều dài của thanh gậy
này hay không? Xấp xỉ tốt nhất với chiều dài thực của thanh gậy là giá
trị trung bình của n số đã nhận được và mỗi kết quả đo có thể được coi
là một nhiễu của giá trị trung bình. Lực hấp dẫn của Mặt trời là yếu tố
chính ảnh hưởng đến chuyển động của mỗi hành tinh xung quanh nó,
nhưng lực đó yếu hơn nhiều lực hấp dẫn giữa các hành tinh. Điều đó,
tạo ra sự nhiễu đối với quỹ đạo chuyển động của chúng; điều này gây ra
sự thay đổi nhỏ đến quỹ đạo chuyển động của các hành tinh theo thời
gian. Các hành tinh gây ra sự xáo trộn nhiều nhất đến quỹ đạo chuyển
động của trái đất là sao Kim, sao Mộc và sao Thổ. Các hành tinh này
và mặt trời cũng gây nhiễu quỹ đạo chuyển động của mặt trăng xung
quanh trung tâm hệ thống Trái đất-Mặt trăng. Việc sử dụng các kiến
thức toán học đối với những yếu tố về quỹ đạo chuyển động như hàm
của biến thời gian có thể mô tả chính xác sự nhiễu quỹ đạo chuyển động
của các hành tinh thuộc hệ mặt trời trong khoảng thời gian nhất định.
Đối với khoảng thời gian dài hơn, hàng loạt các vấn đề phải được tính
toán lại.
Giải tích tiệm cận là công cụ hữu hiệu trong việc tìm lời giải gần đúng
đối với nhiều bài toán phức tạp thường gặp trong thực tế, nó là một
ngành quan trọng của toán học ứng dụng. Việc thiết lập và chính xác
hóa các khái niệm cũng như việc đưa ra một số kết quả khởi đầu trong


lĩnh vực này được tìm thấy trong các công trình của Poincare và Stieltjes

vào năm 1886. Trong các công trình đó, hai nhà toán học này đã công
bố nhiều bài báo giới thiệu về một số khái niệm cũng như các kết quả
nghiên cứu đối với chuỗi tiệm cận. Sau đó vào năm 1905, Prandtl đã
công bố một bài báo về các chuyển động về dòng chất lỏng hoặc luồng
khí với độ nhớt nhỏ dọc theo một vật thể. Trong trường hợp chuyển
động cánh máy bay trong không khí, bài toán như vậy được mô tả bởi
các phương trình Navier-Stokes với số Reynolds lớn. Tuy nhiên, trong
các công trình này phương pháp nhiễu kỳ dị ít được đề cập đến.
Thông thường, một vấn đề toán học không hẳn có thể được giải quyết
một cách chính xác. Thậm chí ngay cả khi đưa ra được lời giải chính xác
của bài toán, thì những nghiệm đó còn phụ thuộc vào các thông số rất
khó để sử dụng. Thông thường các bài toán xuất phát từ những vấn đề
thực tế phương pháp đều dựa trên đó là một tham số trong vấn đề này
là tương đối nhỏ. Tình hình trên tương đối phổ biến trong các ứng dụng
và điều này là một trong những lý do mà phương pháp nhiễu của toán
học ứng dụng nảy sinh. Một trong những nền tảng khác là khoa học máy
tính và điều thú vị là hai đối tượng đã phát triển lên cùng nhau. Khi sử
dụng một máy tính, một là khả năng giải quyết vấn đề mà phi tuyến,
không đồng nhất và đa chiều. Hơn nữa, nó có thể để đạt được độ chính
xác rất cao. Những hạn chế là các giải pháp máy tính không cung cấp
cái nhìn sâu sắc vào vật lý của vấn đề (đặc biệt cho những người không
có quyền truy cập vào phần mềm thích hợp hoặc máy tính) và luôn luôn
có câu hỏi đặt ra là có hay không giải pháp tính toán là chính xác. Mặt
khác, phương pháp nhiễu cũng có khả năng giải quyết với các bài toán
phi tuyến, không đồng nhất và đa chiều (mặc dù chưa đến mức giống
như các giải pháp máy tính tạo ra). Các mục tiêu cơ bản khi sử dụng
phương pháp nhiễu loạn, ít nhất là để cung cấp một biểu hiện khá chính
xác cho giải pháp. Bằng cách làm này có thể lấy được một sự hiểu biết
về vật lý của vấn đề được đưa ra.
Bởi tầm quan trọng cũng như tính thực tiễn của vấn đề và được sự

4


hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Phương
pháp nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số”
để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành
Sư phạm Toán học. Cấu trúc của đề tài được bố cục thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống
về lý thuyết khai triển tiệm cận và tính chất đặc trưng của giải tích tiệm
cận.
Chương 2. Chương này dành cho việc sử dụng phương pháp nhiễu của
giải tích tiệm cận trong một số bài toán đại số với một ẩn phụ thuộc
một tham số.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu về giải tích tiệm cận bao gồm các khái niệm về
bậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; các tính chất và các phép
toán giải tích đối với chuỗi tiệm cận. Trên cơ sở hệ thống các kiến thức
trên đây, chúng tôi tập trung nghiên cứu ứng dụng của giải tích tiệm
cận bằng phương pháp nhiễu đối với phương trình đại số.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình
tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây

dựng một cách hệ thống bởi Stiltjes [8] và Poincaré [6]. Ở đây, người ta
nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận.
Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi
lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong
chương này chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất
về lý thuyết giải tích tiệm cận

1.1. Một số khái niệm về bậc và một số ví dụ
1.1.1. Lời dẫn
Các kí hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B.
Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến một
bài toán thường gặp trong thực tế. Tính giá trị của tích phân
∞

I ( )=

e−t
dt; với > 0 đủ nhỏ.
1+ t

0

Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phương
pháp xấp xỉ của tích phân I( ) bằng phương pháp dễ tiếp cận nhất
(phương pháp tích phân từng phần). Lấy tích phân từng phần thứ nhất
ta thu được
∞

I( ) = 1 −
0

6

e−t
dt.
(1 + t)2


Lặp lại quá trình này N lần ta được
I( ) = 1 − + 2! 2 − 3! 3 + ... + (−1)N N !
∞

+(−1)

N +1

(N + 1)!

N +1

N

e−t
dt. (1.1)
(1 + t)N +2

0

Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triển tiệm cận
của I( ) tới số hạng thứ (N + 1). Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so

với số hạng thứ N . Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả
n = 0, 1, 2, ..., N − 1. Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N . Bởi vì là số
dương đủ nhỏ, nên 1 + t ≥ 1 và ta có đánh giá
∞

∞

e−t
dt ≤
(1 + t)N +2

e−t dt = 1

0

0

Từ điều này suy ra rằng
∞

(−1)N +1 (N + 1)!

N +1

e−t
dt
(1 + t)N +2

0

≤ (−1)N +1 (N + 1)!
(−1)N +1 N !

N +1

N

Điều quan trọng là ta thấy rằng khai triển chuỗi dưới dạng phương trình
(1.1) là không hội tụ. Ta có thể thấy ngay nhận xét này rằng khi cố
định thì số hạng
(−1)N +1 N !

N

→ ∞; khi N → ∞.

Thế nhưng, với N cố định thì
(−1)N +1 N !

N

→ 0; khi → 0.

Đây chính là nguyên nhân cho ta thấy rằng khai triển trên là một xấp
xỉ tốt đối với tích phân I( ) khi → 0. Một xuất phát tự nhiên từ sự
7


nhận xét có tính trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc giới
thiệu một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm cận.

Giả sử, là số dương nhỏ tùy ý, chúng ta sử dụng một số thuật ngữ
(i) − có cùng bậc với và 4! 4 có cùng bậc với 4 . Các phát biểu này
được ký hiệu tương ứng bởi − = O( ) và 4! = O( 4 );
(ii) 2!
2! 2
;

2

là có bậc nhỏ hơn , nó được ký hiệu bởi 2!

2

= o( ) hoặc

(iii) Nếu xấp xỉ I( ) bởi I( ) = 1 − + 2! 2 , thì xấp xỉ này có độ chính
xác đến bậc 2 .
Tiếp theo, chúng ta sẽ chính xác hóa các khái niệm đã nói trên đây.
1.1.2. Các khái niệm về "không" bậc
Cho f (z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt
phẳng phức C và cho z0 là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô
cùng). Ta nói
(i) Bậc O lớn. Hàm f (z) được gọi là có " bậc O lớn " đối với hàm
g(z) khi z → z0 ( hoặc f (z) có cùng bậc g(z) khi z → z0 ) và ký hiệu là
f (z) = O(g(z)); z → z0 ,
nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ M |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D.
Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì
f (z) = O(g(z)); khi z → z0
nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho

f (z)
≤ M ; với mọi z ∈ U ∩ D.
g(z)
Trường hợp đặc biệt, hàm
f (z) = O(1); khi z → z0 .
8


Điều đó, nghĩa là hàm f (z) bị chặn khi z tiến tới z0 .
Trong các hàm trên, hàm g(z) thường được gọi là "hàm cỡ" bởi vì hàm
đó xác định dáng điệu của hàm f (z) khi z → z0 .
(ii) Bậc o nhỏ. Hàm f (z) được gọi là có "bậc o nhỏ" đối với hàm
g(z) khi z → z0 (hoặc f (z) là tiệm cận nhỏ hơn đới với hàm g(z) khi
z → z0 ) và ký hiệu là
f (z) = o(g(z)); khi z → z0
nếu với mọi

> 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D.

Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có
thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o(g(z)) nghĩa là
lim

z→zo

f (z)
= 0.
g(z)

(iii) Bậc tương đương. Ta nói f (z) có bậc tương đương với hàm
g(z) khi z → z0 và ký hiệu là f (z) ∼ g(z) khi z → z0 nếu
lim

z→zo

f (z)
= 1.
g(z)

hay
f (z) = g(z) + o(g(z)); khi z → z0 .
1.1.3. Chú ý
Khái niệm O-bậc cho ta nhiều thông tin hơn o -bậc về dáng điệu của
các hàm liên quan trong quá trình z → z0 . Chẳng hạn
sin z = z + o(z 2 ); khi z → z0 ,
cho ta biết sin z − z tiến tới 0 nhanh hơn z 2 . Tuy nhiên
sin z = z + O(z 3 ); khi z → z0 ,
cho ta biết rằng sin z − z tiến tới 0 gần như z 3 khi z → z0 .
9


1.1.4. Một số ví dụ về bậc
Đối với hàm số f (t) = 5t2 + t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một số
quá trình dưới đây
f (t) = o(t3 ), f (t) = O(t2 ) và f (t) ∼ 5t2 ; khi t → ∞.
f (t) ∼ 3; khi t → 0
.
1
f (t) = o

; khi t → ∞.
t
Những so sánh về bậc của bậc của các hàm thường gặp cũng phải kể
đến, đó là
t1000 = o(et ), cos t = O(1); t → ∞.
1

t2 = o(t), e− t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t; t → 0+ .
1
1
= O(1), cos t ∼ 1 − t2 ; t → 0.
sin
t
2
1.1.5. Nhận xét
(i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến rời
rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên
dương n ). Đối với dãy số xn = 5n2 − 6n + 9 ta thấy rằng
xn = o(n3 ), xn = O(n2 ) và xn ∼ 5n2 ; khi n → ∞.
(ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f (k)
đồng nghĩa với f (k) = o(g(k)); khi k → k0 .

g(k); khi k → k0

1.2. Dãy tiệm cận và chuỗi tiệm cận
1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận
Một dãy hàm {φn (k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu có
một lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt
10

tiêu (ngoại trừ k0 ) và với mọi n ta có
φn+1 = o(φn ); khi k → k0 .
Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0 )n } là một dãy tiệm cận khi
k → k0 , còn {k −n } là một dãy tiệm cận khi k → ∞.
1.2.2. Chuỗi lũy thừa tiệm cận
Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận. Nếu điểm giới hạn z0 là hữu
hạn ta có thể dùng phép biến đổi biến thành điểm giới hạn vô cùng bởi
1
z∗ =
. Chúng ta sẽ giả thiết rằng điều này luôn đúng và chỉ xét
z − z0
những khai triển tiệm cận khi z → ∞ trong góc α < phz < β. Hoặc
trong trường hợp f (z) là một hàm số biến số thực x, khi x → +∞ hoặc
x → −∞.
Trong trường hợp đơn giản nhất của dãy khai triển tiệm cận khi z → ∞
φ(z)
. Nếu một hàm f (z) có một khai triển tiệm cận tương ứng
là
zn
∞ a
n
với dãy này, có nghĩa là f (z) ∼ φ(z)
. Điều đó kéo theo
n
n=0 z
f (z)
∼
g(z)

∞

n=0

an
.
zn

Chuỗi sau cùng được coi là một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy
1
1
tiệm cận
. Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy n được
n
z
z
gọi là một chuỗi lũy thừa tiệm cận.
Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận. Các chuỗi lũy thừa
tiệm cận và các chuỗi lũy thừa hội tụ có tính chất tương tự nhau. Các
kết quả chính được trình bày dưới đây, trước hết cho trường hợp biến
thực. Giả sử f (x) và g(x) có các khai triển tiệm cận
∞

f (x) ∼
n=0

an
và g(x) ∼
xn
11

∞

n=0

bn
;
xn


khi n → +∞. Khi đó, ta có
∞ Aa
n
(i) Af (x) ∼
; với A là một hằng số.
n
n=0 x
∞ a +b
n
n
(ii) f (x) + g(x) ∼
.
n
x
n=0
Các kết quả trên được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
∞ c
n
(iii) f (x).g(x) ∼
với cn = a0 .bn + a1 .bn−1 + ... + an−1 .b1 + an .b0 .

n
n=0 x
Thật vậy, với mỗi số nguyên dương N ta có
f (x) = a0 +

a1
aN
+ ... + N + O
x
x

g(x) = b0 +

b1
bN
+ ... + N + O
x
x

1

.

xN +1
1
xN +1

.

Do đó bằng phép nhân thông thường, ta nhận được

f (x).g(x) = c0 +

c1
cN
+ ... + N + O
x
x

1
xN +1

.

Cũng từ điều này mỗi lũy thừa nguyên dương của f (x) có một khai triển
tiệm cận là một chuỗi lũy thừa và vì vậy mỗi một đa thức của f (x) cũng
có một chuỗi lũy thừa tiệm cận.
(iv) Nếu a0 = 0 thì
∞

1
dn
1
+
; khi x → +∞.
∼
f (x) a0 n=1 xn
1
1
→ ; khi x → ∞. Tiếp đó
f (x)

a0







1
1
=x
−

a1
1
a0 


 a0 +

+O
2
x
x

Thật vậy trước hết ta thấy
1
1
−
f (x) a0

1
x

−a1 + O
=
a0 a0 +
12

1
x

a1
+O
x

1
x2

→−

a1
.
a20


Tương tự
1
1
a1
−

+ 2
a21 − a0 a2
f (x) a0 a0 x
→
1
a30
x2
và bằng cách này các hệ số dn có thể xác định được với mỗi n ∈ N. Tổng
quát hơn, mỗi hàm hữu tỉ của f (x) có một chuỗi lũy thừa tiệm cận miễn
là mẫu số không tiến tới 0 khi x → ∞ .
(v) Nếu f (x) là một hàm liên tục khi x > a > 0 thì hàm
∞

f (t) − a0 −

F (x) =

a1
dt.
t

0

Với x > a có một chuỗi lũy thừa tiệm cận
a3
an+1
a2
+ 2 + ... +
+ ...; khi x → ∞.
F (x) ∼

x
2x
nxn
a1
là một hàm liên tục khi t > a và là O
t
t → +∞, tích phân của F (x) tồn tại với x > a. Bởi vì

1
t2

Từ f (t) − a0 −

∞

∞

F (x) =
0

n=2

an
+O
tn

1
tm+1

khi

dt.

Do đó, với mỗi số nguyên m > 2, ta có
m

an
+O
n−1
n=2 (n − 1)x
khi x → +∞.
F (x) =

1
xm

m−1

=
n=1

an+1
+O
nxn

1
xm

;

Từ đó, ta nhận được kết quả sau
(vi) Nếu f (x) là một hàm có đạo hàm liên tục và đạo hàm f (x) của
nó cũng là một chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → +∞, thì khai triển tiệm
cận của nó là
∞
(n − 1)an−1
.
f (x) ∼ −
n
x
n=2
13


Với giả thiết rằng
∞

f (x) ∼ −
n=0

bn
; khi x → ∞.
xn

Bây giờ, từ f (x) là liên tục nên
y

f (y) − f (x) =

f (t)dt

x
y

y
=b0 (y − x) + b1 log +
x

f (t) − b0 −

b1
t

dt

x
∞

Nhưng f (y) → a0 khi y → +∞ và

f (t) − b0 −
x

b1
t

dt là hàm liên

1
. Điều đó suy ra rằng b0 = b1 = 0 và
t2

tục nên tích phân này là O

∞

a − f (x) =

f (t) − b0 −

b1
t

dt

x

Từ (v) ta có
∞

a − f (x) ∼
n=1

bn+1
; khi x → ∞.
nxn

Nhưng chúng ta biết rằng
∞

a − f (x) ∼

n=1

an
.
xn

Bởi vì một khai triển lũy thừa tiệm cận là duy nhất, nên ta có
bn−1 = −nan , nghĩa là
∞

f (x) ∼ −
n=2

(n − 1)an−1
; khi x → +∞.
xn

Nói cách khác, khai triển tiệm cận được xác định bởi các số hạng của
khai triển của đạo hàm.
14


Các kết quả trên được phát biểu cho hàm số biến số thực x khi x → +∞.
Chúng ta có thể phát biểu cho hầu hết các trường hợp của một hàm số
biến số phức z khi z → ∞ trong một hình quạt hoặc trong lân cận của
điểm vô cùng.
(vii) Có thể thay hàm giải tích một biến phức z trong các trường hợp
này bởi các hàm khả vi. Kết quả trong trường hợp này là
Nếu f (z) là một hàm giải tích, chính quy trong miền R được xác định bởi
|z| > a, α < |phz| < β và nếu

f (z) ∼ a0 +

a1 a2
+ 2 + ...
z
z

hội tụ đều trong phz khi |z| → ∞ trong hình quạt đóng chứa R, thì
f (z) ∼ −

a1 2a2 3a3
− 3 − 4 − ...
z2
z
z

hội tụ đều trong phz khi |z| → ∞ trong hình quạt đóng chứa R. Ở đây
chúng ta nói rằng một chuỗi lũy thừa tiệm cận của f (z) hội tụ đều theo
phz khi |z| → ∞ trong một hình quạt đóng.
α1 ≤ phz ≤ β1
chứa trong R. Điều đó có nghĩa là, với mọi số nguyên m ta có
m−1

f (z) =
n=0

an φm (z)
+ m
zn
z

ở đó φm (z) là bị chặn trong |z| ≥ a1 , α1 ≤ phz ≤ β1 . Hay nói cách khác,
với mỗi số nguyên m, tồn tại một hằng số Am sao cho
|φm (z)| < Am .
Từ f (z) là chính quy trong R, theo định nghĩa nó khả vi và φm (z) cũng
chính quy trong R. Hơn nữa, ta có:
m−1

f (z) = −
n=1

φm (z) mφm (z)
nan
+
− m+1
z n+1
zm
z
15


m−1

=−
n=2

(n − 1)an−1 ψm (z)
+
;
zn

zm

với

mφm (z)
z
Tiếp theo ta phải chỉ ra rằng ψm (z) là bị chặn trong một hình quạt đóng
α2 ≤ phz ≤ β2 chứa trong R. Điều đó là đủ nếu ta chỉ ra rằng φm (z) bị
chặn. Cho α2 , β2 ta chọn α1 và β1 sao cho α < α1 < α2 < β2 < β1 < β.
Khi đó |φm (z)| < Am trong α1 ≤ phz ≤ β1 . Chọn δ dương tùy ý sao
cho nếu ξ nằm trong α2 ≤ phξ ≤ β2 thì đường tròn C có phương trình
|z − ξ| = δ |ξ| nằm trong α1 ≤ phz ≤ β1 . Do đó
ψm (z) = φm (z) − (m − 1)am−1 −

2π

1
φm (ξ) =
2πi

φm (z)
1
dz
=
(z − ξ)2
2π

φm (ξ + δξeθi )
dθ.
δξeθi

0

C

Điều đó, suy ra
φm (ξ) ≤

Am
Am
≤
.
δ |ξ|
δa

Điều này hoàn thành phép chứng minh. Một khai triển chuỗi lũy thừa
tiệm cận của một hàm giải tích thường đúng trong một miền hình quạt.
Một hàm như vậy có thể có các khai triển tiệm cận khác nhau trong các
hình quạt khác nhau.
an
zn
khi n → ∞ với mọi giá trị của phz, chuỗi lũy thừa tiệm cận của nó là
hội tụ và có tổng là f (z) với mọi giá trị đủ lớn của |z|. Cho R1 là một
số tùy ý lớn hơn a. Khi đó hàm f (z) có khai triển Laurentz
Nếu f (z) là một hàm biến chính quy trong |z| ≥ a và nếu f (z) ∼

+∞

cn z n ,

f (z) =
n=−∞

hội tụ trong |z| ≥ R1 , ở đó
cn =

1
2πi

f (z)
dz.
z n+1
τ

16


Với τ là đường tròn bất kì |z| = R1 với R > R1 . Từ f (z) tiến tới a0
khi z → ∞ nên nó bị chặn. Do đó, tồn tại một hằng số M sao cho
|f (z)| ≤ M khi |z| ≥ a. Khi n > 0 ta có
|cn | ≤

M
.
Rn

Do R có thể đủ lớn vì vậy cn = 0 khi n > 0. Suy ra chuỗi
∞

c−n z −n

f (z) =
n=0

hội tụ khi |z|

R1 . Thế nhưng
∞

a−n z −n ; khi z → ∞.

f (z) ∼
n=0

Nên ta có
a0 = lim f (z) = c0
z→∞

{f (z) − a0 }
= c−1
1
z→∞
z
a1
f (z) − a0 −
z =c .
a2 = lim
−2
1
z→∞

z2

a1 = lim

Trong trường hợp tổng quát an = c−n . Vì vậy khai triển chuỗi lũy thừa
tiệm cận của f (z) là hội tụ.

1.3. Khai triển tiệm cận
Một chuỗi có dạng
∞

an φn (k) = a0 φ0 (k) + a1 φ1 (k) + ... + an φn (k) + ...
n=0

17


được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f (k) tương ứng với dãy
tiệm cận {φm (k)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, ... ta có
m

f (k) −

an φn (k) = o(φm (k)); khi k → k0 .
n=0

Từ đó ta nhận được
m−1

f (k) −

an φn (k) = am φm (k) + o(φm (k)).
n=0

m−1

an φn (k) là một xấp xỉ của hàm f (k) với sai số O (φm )

Tổng riêng
n=0

khi k → k0 , bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của
phần dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ
số của nó được cho bởi
m−1

am = lim

k→k0

f (k) −

an φn (k) .
n=0

1
φm (k)

.

Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết
∞

f (k) ∼

an φn (k).
n=0

Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ
tiệm cận của hàm f (k). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và
chúng ta thường viết f (k) ∼ a0 φ0 (k). Điều đó, có nghĩa là
f (k)
→ a0 ; khi k → k0 .
φ0 (k)
Nếu điểm giới hạn x0 là hữu hạn, R có thể là một khoảng mở của x0 , x0
có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x0 là một khoảng
mở |x − x0 | < δ. Nhưng nếu x0 là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệt
giữa x → +∞, trong trường hợp này R có thể coi là một khoảng vô hạn
x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b. Có một
số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều
18


kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một
chuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại, theo
nghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ.
Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm
cận. Chẳng hạn, khi k → ∞ thì
∞

1
∼
k−1

n=1

1
1
và
∼
kn
k−1

∞

n=1

k+1
.
k 2n

Trong các ví dụ này các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ. Hơn
nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ, nếu
π
π
π
− + δ ≤ ph(k) ≤ − δ; với 0 < δ <
2
2
2

hai hàm

1
1
,
+ e−k có cùng khai triển tiệm cận
k+1 k+1
∞

n=1

(−1)
kn

n−1

; khi k → ∞,

vì k n và e−k → 0 khi k → ∞ trong miền đã cho.

1.4. Một số tính chất cơ bản của khai triển tiệm cận
Tính duy nhất. Cho một dãy tiệm cận φn (x), dãy khai triển tiệm cận
của f (x) là duy nhất, nghĩa là an được xác định duy nhất như sau
f (x)
x→x0 φ1 (x)

a1 = lim

f (x) − a1 φ1 (x)
x→x0

φ2 (x)

a2 = lim
........

N −1

f (x) −
aN = lim

x→x0

an φn (x)
n=1

φN (x)
19

.


Tính không duy nhất. Với một hàmf (x) có thể có nhiều khai triển
tiệm cận khác nhau. Chẳng hạn khi x → 0,
2
1
tanx ∼ x + x3 + x5 + ...
3
15
1
3

∼ sinx + (sinx)3 + (sinx)5 + ...
2
8
Tính trội nhỏ. Một khai triển tiệm cận có thể là khai triển của nhiều
hơn một hàm. Chẳng hạn, nếu
∞

an (x − x0 )n ; khi x → x0 ,

f (x) ∼
n=0

thì
−

f (x) + e

1
(x−x0 )2

∞

an (x − x0 )n ; khi x → x0 .

∼
n=0

Điều đó, chúng ta có thể thấy được do
e

−

1
(x−x0 )2

= o ((x − x0 )n ) ; khi x → x0 với mọi n.

Hơn nữa, chuỗi

∞

an (x − x0 )n
n=0

cũng có thể là khai triển tiệm cận khi x → x0 của một hàm bất kỳ khác
f (x) bởi một hàm g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x0 nhanh hơn mọi luỹ
thừa của x → x0 . Một hàm g(x) như thế được gọi là trội nhỏ hơn một
chuỗi luỹ thừa tiệm cận, chuỗi luỹ thừa tiệm cận của g(x) có thể là
∞

0 · (x − x0 )n .

g(x) ∼
n=0

Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng
khác nhau bởi các hàm trội nhỏ. Chẳng hạn, hàm e−x là trội nhỏ so với
một chuỗi tiệm cận có dạng
∞

an x−n ; khi x → +∞
n=0

20


và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f (x) + e−x cũng vậy,
nghĩa là f (x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm
mũ nhỏ.
Tính bằng nhau của các hệ số. Nếu ta viết
∞

∞
n

bn · (x − x0 )n

an · (x − x0 ) ∼
n=0

(1.2)

n=0

thì chúng ta nói đến lớp các hàm
∞

∞
n

bn · (x − x0 )n

an · (x − x0 ) và
n=0

n=0

là tiệm cận khi x → x0 , chúng là như nhau. Hơn nữa tính duy nhất của
khai triển tiệm cận nghĩa là an = bn với mọi n, nghĩa là các hệ số của
các luỹ thừa của x − x0 trong (1.2) là bằng nhau.
Các phép toán đại số. Giả sử
∞

f (x) ∼

∞

an φn (x) và g(x) ∼
n=0

bn φn (x); khi x → x0
n=0

thì

∞

αf (x) + βg(x) ∼

(an + bn ) · φn (x); khi x → x0 .

n=0

Với α và β là các hằng số. Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia
miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn. Nói riêng với các chuỗi
luỹ thừa tiệm cận, khi φn (x) = (x − x0 )n , các phép toán đó được thực
hiện như sau
∞

cn (x − x0 )n ;

f (x) · g(x) ∼
n=0
n

với cn =

an bn−m và nếu b0 = 0, d0 =
m=0

f (x)
∼
g(x)

a0
thì
b0

∞

dn (x − x0 )n ;

n=0

21