Những bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân em
sau một thời gian học tập,nghiên cứu với sự giúp đỡ của thầy cô.
Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến các thầy cô
giáo,đặc biệt là thầy Vƣơng Thông - người đã tận tình hướng dẫn em trong
quá trình hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thu Thủy

Phạm Thị Thu Thủy

1

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học
tập, nghiên cứu của em. Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà
em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vƣơng Thông.
Với đề tài: "Những bài toán về đa thức ", khóa luận này không có sự
trùng lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thu Thủy

Phạm Thị Thu Thủy

2

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

MỤC LỤC
Lời nói đầu ................................................................................................... 1
Chương 1: Những kiến thức cơ bản về đa thức có liên quan ........................ 2
1.1.Vành đa thức một ẩn ............................................................................... 2
1.2. Vành đa thức nhiều ẩn ........................................................................... 10
Chương 2: Một số bài toán về đa thức một ẩn .............................................. 14
2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.
Tìm dư mà không thực hiện phép chia ................................. 14
2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để f  x, m g  x, m  ................................. 20
2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy .............................................................. 23
2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm của đa thức. Công thức Viet ..................... 27

2.5 Bài toán 5: Ứng dụng của định lí Viet vào giải hệ phương trình............ 32
2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức .................................................... 35
2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn nhất của đa thức .................................... 37
Chương 3: Một số bài toán về đa thức nhiều ẩn ........................................... 41
3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ........................................... 41
3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thức ................................................ 43
3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức ................................................... 45
3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng .................. 48
3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng................... 51
3.6 Bài toán 6: Giải phương trình căn thức dựa vào đa thức đối xứng......... 53
3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng ........... 54
3.8 Bài toán 8: Trục căn thức ở mẫu ............................................................. 55
Kết Luận …………………………………………………………………. 59
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….. 60

Phạm Thị Thu Thủy

3

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó đa thức là khái niệm
cơ bản và quan trọng. Lý thuyết đa thức được sử dụng nhiều trong toán cao

cấp, toán ứng dụng, toán sơ cấp. Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hết
nghiên cứu về đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai và một số đa thức dạng đặc
biệt bậc cao.
Tuy vậy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa được phân loại và hệ
thống một cách chi tiết, chưa đưa ra phương pháp giải tường minh. Tài liệu
viết về đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu về đa thức còn khó khăn.
Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài “Những bài toán về đa thức”
nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và ứng dụng của nó để
giải một số bài toán có liên quan.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán về đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn và một số bài
toán liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu.
Các dạng toán cơ bản về đa thức
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa.

Phạm Thị Thu Thủy

4

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN

1.1

Vành đa thức một ẩn

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị kí hiệu 1
Kí hiệu P = {  a0 , a1 ,..., an ,... , ai  A, i   , ai  0 hầu hết }
Trên P’ ta xác định 2 quy tắc cộng và nhân như sau:
(1)

 a0 , a1,...an ,...  b0 , b1,..., bn ,...   a0  b0 , a1  b1,..., an  bn ,...

(2)

 a0 , a1,...an ,....b0 , b1,..., bn ,...   c0 , c1,..., cn ,...

Trong đó

c0  a0b0
c1  a0b1  a1b0
.............
ck  a0bk  a1bk 1  ...  ak 1b1  ak b0 

 ab ;

i  j k

i j

k  0,1,2,...

Khi đó (P,+, .) lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức.
Thật vậy, ta có 2 quy tắc (1) và (2) cho ta 2 phép toán trong P.
*

(P, +) là một nhóm giao hoán vì
 Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp
 Phần tử không là  0,0,...,0,...
 Phần tử đối của  a0 , a1,..., an ,... là  a0 , a1,..., an ,...

*

(P, .) là một vị nhóm giao hoán vì:
 Do A giao hoán nên

 ab

i  j k

i j



ba

i  j k

j i

nên phép nhân giao hoán

 Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với
phép cộng nên phép nhân trong P cũng có tính chất kết hợp, phân
phối đối với phép cộng.

Phạm Thị Thu Thủy

5

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

 Phần tử đơn vị là 1,0,...,0,...
Do đó P là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Xét ánh xạ f : A  P

a   a,0,...,0,...
Nhận thấy f là đơn cấu vành nên ta đồng nhất mỗi phần tử a  A với

f  a   P tức a  f  a    a,0,...,0,...
Suy ra A là vành con của P.
Xét dãy x   0,1,0,...,0,...
Theo quy tắc nhân: x 2   0,0,1,0,...,0,...
x3   0,0,0,1,0,...,0,...

……………………



x n   0,...,0,1,0,...


 n

Quy ước x 0  1,0,...,0,...
Các phần tử của P là các dãy  a0 , a1,..., an ,... trong đó ai  0 hầu hết nên ta có
thể giả sử n là số lớn nhất để an  0 .Khi đó mỗi phần tử trong P có thể



a
,0,...
viết.  a0 ,..., an ,0,....   a0 ,0,...   0, a1,0,...  ...   0,...,0,

 n
 n



  a0 ,0,...,  .1,0,...   a1 ,0,.... 0,1,0,...   an ,0,....  0,...,0,1,0,...


 n

 a0  a1 x  ...  an x n

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của đa thức. Khi đó P thay bằng A[x]
và gọi là vành đa thức của ẩn x.

Phạm Thị Thu Thủy

6

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức của ẩn x, thường
kí hiệu là f(x), g(x), h(x), …
Định nghĩa 1.1:



Trong đa thức f  x   a0 x 0  a1x  ...  an x n  A[ x ]



a i i  0, n các hệ tử của đa thức





ai xi i  0, n là các hạng tử của đa thức
a0 được gọi là hạng tử tự do ; an  0 được gọi là hệ tử cao nhất.
1.1.2 Bậc của đa thức
Định nghĩa 1.2:

Cho đa thức f  x   A[x]

Nếu f  x   0 thì ta nói f  x  là đa thức không có bậc hoặc là  .
Nếu f  x   0 thì ta gọi chỉ số lớn nhất n sao cho an  0 của đa thức f  x  là
bậc của đa thức. Kí hiệu : deg f  x   n
Định lí 1.1: Cho hai đa thức f  x  , g  x   A[ x]* . Khi đó:
1) Nếu f  x   g  x   0 thì deg  f  x   g  x    max deg f  x  ,deg g  x 
2) Nếu f  x .g  x   0 thì deg  f  x .g  x    deg f  x   deg g  x 
Định lí 1.2: Nếu A là một miền nguyên, f  x  và g  x  là 2 đa thức khác
không của vành A[x] thì

f  x .g  x   0 và deg  f  x .g  x    deg f  x   deg  g  x  
Hệ quả: Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên.
1.1.3 Phép chia đa thức
a, Định lí phép chia với dƣ.
Định lí 1.3: Giả sử A là một trường. Khi đó:

f  x  , g  x   A[x],g  x   0 thì ! q  x  , r  x   A[x]
sao cho f  x   q  x  g  x   r  x 

Phạm Thị Thu Thủy

7

K32C Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Trong đó r  x   0 hoặc r  x   0 thì deg r  x   deg g  x 
Ta gọi q  x  là thương và r  x  là dư.
b, Phép chia hết.
Định nghĩa 1.3.

Cho 2 đa thức f  x  , g  x   A[x], g  x   0

Ta nói f  x  chia hết cho g  x  nếu tồn tại đa thức

q  x   A[ x] sao cho f  x   g  x .q  x . Ta kí hiệu: f  x   g  x 
1.1.4. Nghiệm của đa thức
a, Định nghĩa 1.4: Cho đa thức f  x   a0  a1 x  ...  an x n  A[x]
Lấy phần tử c bất kì thuộc A, phần tử f  c   a0  a1c  ...  anc n  A được gọi
là giá trị của đa thức f  x  tại x  c .
Nếu f  c   0 thì c được gọi là nghiệm của đa thức f  x  trong A
b, Định lí Bézout
Giả sử A là một trường, c  A , f  x   A[x]. Dư của phép chia

f  x  cho x  c là f  c 
c, Lƣợc đồ Horner.
Thực hiện phép chia đa thức f  x   ao x n  a1x n1  ....  an cho x  c ta được
hệ tử của đa thức thương q  x   b0 x n1  b1 x n2  ....  bn1 cho bởi công thức
b0  a0 ; b i  ai  c.bi 1 , i  1, n; r  an  c.bn1

c

a0

a1

…

an-1

an

b0

b1

…

bn-1

r

d, Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.
Định nghĩa 1.5: Giả sử A là trường, c  A, f  x   A[x],m   , m  1

Phạm Thị Thu Thủy

8

K32C Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f  x  x  c  và f  x  không chia hết
m

cho  x  c 

m 1

.

- Với m = 1 : c gọi là nghiệm đơn
- Với m =2 : c gọi là nghiệm kép
- Với m  3 : c gọi là nghiệm bội bậc m
Định lí 1.4 ( Định lí cơ bản ).
Mọi đa thức f  x  với hệ số phức, bậc n  n  1 có đúng n nghiệm
phức kể cả số bội của mỗi nghiệm.
e, Định lí Viéte
Cho đa thức f  x   A[x], f  x   an x n  an1x n1  ...  a1x  a0  n  1
Tồn tại trường E  A và chứa hết tất cả các nghiệm của nó.

f  x   an  x  1  x   2 ... x   n  .
Trong đó 1, 2 ,..., n là các nghiệm của f  x  ta nhận được:
an1






...




1
2
n

an

an1

1 2  ...  1 n  ...   2 3  ...   n1 n 
an

............

n a0

1 2 ... n   1 a
n


Công thức trên là công thức Viéte
Đặc biệt n =2 thì f  x   ax 2  bx  c

 a  0

b

1   2   a
Công thức Viéte là: 
   c
 1 2 a

Phạm Thị Thu Thủy

9

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

 a  0

n = 3 thì f  x   ax3  bx 2  cx  d

b









1
2
3

a

c

Công thức Viéte là: 1 2  1 3   2 3 
a

d

1 2 3   a

1.1.5. Đại số các đa thức.
Định nghĩa 1.6: Cấu trúc đại số là bộ  X  , ,.,x  thỏa mãn điều kiện sau:
1)  X , ,. lập thành một vành
2)  X , ,x k  lập thành một K – môđun, K – vành giao hoán có đơn vị
A[x] là vành đa thức
n

n

a  A, f  x    ai x  A[ x] thì a. f  x     ai a  xi
i

i 0

i 0

Ta có A – đại số các đa thức A[x].
*

Phép hợp thành đa thức.
n

f  x    ai xi  A[ x]

Cho hai đa thức

i 0

n

g  x    b j x j  A[ x]
j 0

n

 f .g  x   f [g  x  ]= ai [g  x  ]i  A[ x].
i=0

n

 gf  x    b j [f  x  ]j
j 0

Bậc của đa thức hợp thành nhỏ hơn hoặc bằng tích các bậc của đa thức
*

Phép lấy đạo hàm.
n

n

Cho f  x    ai x A[ x] ; f  x    iai xi 1 là đạo hàm của đa thức f  x 
i

i 1

Phạm Thị Thu Thủy

'

i 1

10

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

1.1.6. Đa thức đồng dƣ.

Định nghĩa 1.7:

Cho   x  là đa thức khác không. Ta nói những đa thức

P  x  và Q  x  là đồng dư theo môđun đa thức   x  nếu
[P  x   Q  x  ]  x  trong A[x].
Kí hiệu P  x   Q  x   mod   x  
Định lí 1.5: Cho   x  là đa thức khác không. P  x  và Q  x  là hai đa thức.

P  x   Q  x   mod   x   khi và chỉ khi P  x  ,Q  x  cho cùng một đa thức dư
khi chia cho   x  .
1.1.7. Đa thức bất khả quy.
Kí hiệu K là một trong các tập  ,  ,  .
Định nghĩa 1.8: Cho một đa thức P  x  không là đa thức bậc không với hệ số
trong K gọi là bất khả quy trên K nếu nó không biểu diễn như một tích của hai
đa thức khác đa thức bậc không với hệ số trong K với các bậc nhỏ hơn bậc
của P  x  .
Định lí 1.6: Cho P  x  là một đa thức với hệ số trong tập K. P  x  bất khả
quy trên K khi và chỉ khi ước duy nhất của nó với các hệ số thuộc K có dạng
α và  P  x  ,   0;  K 
Định lí 1.7: Nếu P  x  là một đa thức bất khả quy trên K, Q  x  là đa thức bất
kì với hệ số trong K thì hoặc Q  x  P  x  hoặc  P  x  ,Q  x    1 .
Định lí 1.8: Cho P  x  là đa thức bất khả quy trên K, Q  x  và R  x  là đa
thức với hệ số thuộc K. Nếu P  x  Q  x  R  x  thì ít nhất một trong các nhân
tử P  x  hoặc Q  x  chia hết cho R  x  .

Phạm Thị Thu Thủy

11

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Định lí 1.9: Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích
hai đa thức hệ số nguyên thì nó cũng không phân tích được thành hai đa thức
hệ số hữu tỉ.
* Tiêu chuẩn EisenStein
Cho P  x   a0  a1x  ...  an x n

 n  1 là đa thức với hệ số nguyên, nếu tồn

tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:
i.

an  p

ii.

ai  p

iii.

a0  p 2

i  0, n  1

Khi đó đa thức P  x  bất khả quy trong Q[x]
1.1.8. Ƣớc chung lớn nhất.
Định nghĩa 1.9.Cho hai đa thức P  x  ,Q  x   K[x] , K – miền nguyên và ít
nhất một trong hai đa thức khác không. Đa thức D  x  được gọi là ước chung
lớn nhất của P  x  và Q  x  nếu
1) P  x  D  x  và Q  x  D  x 
2) Nếu P  x  D1  x  và Q  x  D1  x  thì D  x  D1  x 
Kí hiệu:

D  x    P  x  ,Q  x  

(Chọn D  x  là đa thức có hệ tử cao nhất là đơn vị)
* Tính chất
1. Nếu D  x    P  x  ,Q  x   thì  D  x    P  x  ,Q  x   với α là số bất kì,

  0.
2. Nếu P  x Q  x  thì  P  x  ,Q  x    Q  x 
3.

 P  x  ,Q  x    P  x  ,Q  x    P  x  , Q  x 

Phạm Thị Thu Thủy

12

;   0

K32C Toán

Khóa luận tốt nghiệp
4.

GVHD: Vương Thông

 P  x  ,Q  x    Q  x  , R  x  , R  x  là số dư trong phép chia
P  x  cho Q  x 

1.1.9 Đa thức trên các trƣờng số
a, Đa thức với hệ số hữu tỉ.
Nếu f  x   an x n  ...  a0

 an  0  là một đa thức với hệ số hữu tỉ thì

f  x  có thể viết dưới dạng
f  x   b1  bn x n  ...  b0   b1g  x 
Trong đó b là mẫu số chung của các phân số ai ; bi   , i  0, n
Vì f  x  và g  x  chỉ khác nhau một nhân tử bậc không nên các nghiệm của

f  x  là nghiệm của g  x  . Việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ
được đưa về tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.
Định lí 1.10: Nếu  p, q   1 và

p
là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên:
q

f  x   an x n  ...  a1 x  a0 thì p là ước của a0, q là ước của an.

b, Đa thức với các hệ số thực và phức.

Định lí 1.11: Mọi đa thức f  x  với hệ số thực có bậc lẻ đều có ít nhất một
nghiệm thực
Định lí 1.12: Cho f  x   [x] nếu số phức  là nghiệm của f  x  thì số
phức liên hợp  cũng là nghiệm của f  x  .
Định lí 1.13: Mọi đa thức f  x    [x], deg f  x   n  1 thì f  x  có n
nghiệm phức.
1.2.

Vành đa thức nhiều ẩn.

1.2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Phạm Thị Thu Thủy

13

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Ta xây dựng được vành

A1  A[ x1 ] là vành đa thức ẩn x1 lấy hệ tử có đơn vị trên A
A2  A1[x2 ]=A[x1, x2 ] gọi là vành đa thức hai ẩn
........

An  An[xn-1 ]=A[x1,..., xn ] là vành đa thức ẩn xn, lấy hệ tử trên An-1
Vành A n  A[x1,..., xn ] được gọi là vành đa thức của n ẩn x1,..., xn lấy hệ tử
trong vành A.
Mỗi phần tử của An được gọi là một đa thức n ẩn x1,..., xn lấy trong vành A.
Kí hiệu:

f  x1,..., xn  hay g  x1,..., xn  .

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức

f  x1,..., xn   A x1,..., xn  đều biểu diễn dưới dạng:
f  x1 ,..., xn   c1 x1a11 ....xna1n  ...  cm x1am1 ...xn amn

Với ci  A, i  1, m, aij   , j  1, n và  ai1,..., ain    a j1,..., a jn  nếu i  j
Các số ci được gọi là các hệ tử, ci x1ai1 ...xnain được gọi là các hạng tử của đa
thức f  x1,..., xn 
Đa thức f  x1,..., xn   0  ci  0i  1, m
Hai đa thức f  x1, x2 ,..., xn  và g  x1,..., xn  là bằng nhau khi và chỉ khi chúng
có các hạng tử như nhau.
1.2.2: Bậc của đa thức nhiều ẩn
Định nghĩa 1.10: Cho f  x1,..., xn   A x1,...., xn  là một đa thức khác không,
f  x1 ,..., xn   c1 x1a11 ...xn a1n  ....  cm x1am1 ...xnamn

Với ci  0, i  1, m,

Phạm Thị Thu Thủy

 a i1,..., ain    a j1,..., a jn  , i 

14

j

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Ta gọi là bậc của f  x1,..., xn  đối với ẩn xi có số mũ cao nhất mà xi có được
trong các hạng tử của đa thức.
Tổng ai1  ...  ain là bậc của hạng tử thứ i.
Số lớn nhất trong những số là bậc của các hạng tử được gọi là bậc của
đa thức.
Nếu các hạng tử có cùng bậc m thì ta gọi đa thức là đẳng cấp bậc m hay
một dạng bậc m.
m =1 ta gọi là dạng tuyến tính
m = 2 ta gọi là dạng toàn phương
m =3 ta gọi là dạng lập phương
1.2.3. Đa thức đối xứng.
a, Định nghĩa 1.11: Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị, f  x1,..., xn  là một
đa thức của vành A x1,...., xn  ; f  x1,..., xn  là đa thức đối xứng nếu với mọi
hoán vị các số i1 , i2 , ...,in của các số 1,2,…,n đều thỏa mãn đẳng
thức f  x1,..., xn   f  xi1,..., xin 
Định lí 1.14: Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành vành con của vành

A x1,...., xn 
b, Đa thức đối xứng cơ bản.

Trong vành đa thức A x1,...., xn  có n đa thức sau:

 1  x1  x2  ...  xn
  x x  ...  x x  x x  ...  x x  ...  x x
 2 1 2
1 n
2 3
2 n
n 1 n

....
 n  x1 x2 x3...xn
Được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.

Phạm Thị Thu Thủy

15

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

c, Định lí cơ bản của đa thức đối xứng.
Mọi đa thức f  x1,..., xn   A x1,..., xn  là đa thức đối xứng thì tồn tại
duy nhất đa thức g  x1,..., xn   A x1,..., xn  sao cho f  x1,..., xn   g 1,..., n 





với  i i  1, n là các đa thức đối xứng cơ bản.
d, Đƣa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản gồm :
Cách 1:

Phương pháp hạng tử cao nhất

Cách 2:

Dùng phương pháp hệ tử bất định.

e, Tổng lũy thừa.
Định nghĩa 1.12: Cho k  0 là một số nguyên bất kì và x1, x2 ,..., xn là những
số thực. Đa thức đối xứng:

Sk  x1k  x2k  ...  xnk được gọi là tổng lũy thừa bậc k của x1,..., xn
Theo định lí cơ bản của đa thức đối xứng, mọi tổng lũy thừa có thể biểu diễn
như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản.
Định lí 1.15: Mọi tổng lũy thừa Sk  xk  y k thỏa mãn những đẳng thức sau:

S0  2, S1   1 , S2   12  2 2
Sk   1Sk 1   2 Sk 2 , k  3
Với 1  x  y, 2  xy
Định lí 1.16: Tổng lũy thừa Sk  xk  y k  z k thỏa mãn đẳng thức :
S0  3; S1   1; S2   1S1  2 2
S3   1S2   2 S1  3 3
Sk   1Sk 1   2 Sk 2   3 Sk 3 , k  4

Ở đây 1  x  y  z; 2  xy  yz  xz và  3  xyz

Phạm Thị Thu Thủy

16

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN

2.1.

Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.
Tìm dƣ khi không thực hiện phép chia

2.1.1 Cơ sở lý luận
- Sử dụng định nghĩa, tính chất phép chia hết.
- Phép chia với dư.
2.1.2 Phƣơng pháp
* Nếu chứng minh tính chia hết, ta dựa vào các tính chất sau:
- Biến đổi f  x   g  x  h  x 
-  f  x   g  x  g  x   f  x  g  x 

-

 f  x  g  x 

 f  x  g  x  .h  x  
 f  x  h  x 

 g  x  , h  x    1

- f  x  x  a   f  a   0
- Sử dụng đồng dư thức
- Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
* Nếu tìm số dư của phép chia ta dựa vào định lý Bơzu.
2.1.3 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Trong vành đa thức   x , chứng minh rằng f  x   x3k  x3l 1  x3n2
chia hết cho g  x   x 2  x  1 với k , l , n tùy ý.
Lời giải
Cách 1: Biến đổi xuất hiện x 2  x  1

f  x   x3k  x3l 1  x3n2   x3k  1   x3l 1  x    x3n2  x 2    x 2  x  1

  x3  1 f1  x   x  x3  1 f 2  x   x 2  x 3  1 f 3  x 

Phạm Thị Thu Thủy

17

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Với
f1  x   x
f2  x   x
f3  x   x

3 k 1

 ...  1

3 l 1

 ...  1

3 n 1

 ...  1

 f  x    x3  1  f1  x   xf 2  x   x 2 f 3  x     x 2  x  1

  x  1  x 2  x  1  f1  x   xf 2  x   x 2 f 3  x     x 2  x  1 x 2  x  1

Vậy f  x  x 2  x  1

Cách 2: Sử dụng đồng dư thức.
Mục tiêu: Cần chứng minh f  x   0  mod g  x  
Ta có: x3  1   x  1  x 2  x  1  x3  1 mod g  x   , g  x   x 2  x  1
Khi đó :

x3k   x3   1k  1 mod g  x  
k

x3l 1   x3  x  x1k  x  mod g  x  
l

x3n2  x 2  x3   x 21n  x 2  mod g  x  
n

 x3k  x3l 1  x3n 2  x 2  x  1  0  mod g  x  
 f  x  g  x 
Cách 3: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Đặt f k ,l ,n  x   x3k  x3l 1  x3n2
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo k.
- Với k = 0 ta có:

f 0,l ,n  x   1  x3l 1  x3n2  1  x 2  x   x 3l 1  x    x 3n2  x 2 

 x  x3l  1  x 2  x3n  1   x 2  x  1

Phạm Thị Thu Thủy

18

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

 x  x3  1 f 2  x   x 2  x 3  1 f 3  x    x 2  x  1

 f 0,l ,n  x  x 2  x  1

Vậy khẳng định đúng với k = 0;
* Giả sử khẳng định đúng với k-1. Ta cần chứng minh khẳng định đúng với k.
Thật vậy, ta có



f k ,l ,n  x   x3k  x3l 1  x3n2  x

3 k 1

 

 x3l 1  x3n2  x3k  x

3 k 1



 f k 1,l ,n  x    x3  1 x 

3 k 1

Vì f k 1,l ,n  x  x 2  x  1 theo giả sử và  x3  1 x 2  x  1
Nên f k ,l ,n  x  x 2  x  1

k , l , n   (đpcm).

Ví dụ 2: Cho đa thức f  x    x 2  x  1   x 2  x  1  2
2n

2n

Chứng minh rằng f  x  chia hết cho x 2  x n  .
Lời giải
Nhận thấy đa thức chia có 2 nghiệm x = 0 và x =1. Ta chứng tỏ rằng
x=0 và x =1 là nghiệm của f  x  .
Ta có f  0    1  1  2  0
2n

2n

f 1  12 n   1  2  0
2n

 f  x  x

Do đó  f  x  x  1

 x, x  1  1

suy ra f  x  x 2  x 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị n * , đa thức  x  1

2 n 1

 x n 2

chia hết cho đa thức x 2  x  1
Lời giải
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n *

Phạm Thị Thu Thủy

19

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

- Với n =1 thì:

 x  1

2 n 1

 x n2   x  1  x3
3

  2 x  1  x 2  2 x  1  x 2   x  1 x 
  2 x  1  x 2  x  1 x 2  x  1

Do đó khẳng định đúng với n =1.
- Giả sử khẳng định đúng với n -1 tức là:

 x  1

2 n1



 x n1  x 2  x  1

- Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n *
Ta có  x  1

2 n 1

 x n2   x  1  x  1
2

 x 2  2 x  1 x  1

2 n 1

 x 2  x  1 x  1

2 n 1

 x 2  x  1 x  1

2 n 1

Theo giả thiết quy nạp

2 n 1

 x.x n1

 x.x n 1

 x. x  1

2 n 1



 xx n 1

 x  x  1

x  1

2 n 1

2 n 1

 x n 1





 x n 1  x 2  x  1

Nên khẳng định đúng với n
2 n1
Vậy  x  1  x n2  x 2  x  1 , n   *.



Ví dụ 4: Tìm dư khi chia đa thức
f  x   x99  x55  x11  x  7 cho x  1;

x2  1

Lời giải
Theo định lí Bezout ta có:
Số dư của phép chia f  x  cho x  1 là:
r  f  1   1   1   1   1  7  3
99

55

11

Xét f  x   x99  x55  x11  x  7

  x99  x    x55  x    x11  x   2 x  7

 x  x98  1  x  x54  1  x  x10  1  2 x  7

Phạm Thị Thu Thủy

20

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông



Nhận thấy x 2 n  1   x 2   1   x 2  1 x
n

2 n 1



 ...  x 2  1  x 2  1 ; n   *

Do đó dư của phép chia là : 2x  7
Ví dụ 5: Tìm dư khi chia đa thức
f  x   x n  x n1  ...  x 2  x  1 cho x 2  1 với n > 2.

Lời giải
Gọi thương là q  x  , dư là r  x   ax+b
Khi đó f  x    x 2  1 q  x   ax+b
Đẳng thức trên đúng với x do đó cũng đúng với x  1

Thay x =1 ta có:
n
n 1
1
 1
 ... 

1  a  b  n  1

1

n 1

Thay x = -1 ta có :

1   1  ...  1  a  b  2 

n 1

n

n 1

Xét 2 trường hợp xảy ra
- Nếu n chẵn tức n  2k (k  *) thì

 2  có dạng  1

2k

  1

2 k 1

 ...   1  1  a  b

 1 = ab

3

Từ (1) và (3) ta có hệ:
n

a

a  b  n  1 
2


a  b  1
b  n  2

2

- Nếu n lẻ, tức n  2k  1

 1

2 k 1

 k  * thì

(2) có dạng

  1  ...   1  1   a  b



Phạm Thị Thu Thủy

2k

0

= ab

21

 4

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Từ (1) và (4) ta có hệ
n 1


a

a  b  n  1 
2


a  b  0
b  n  1

2

Vậy n chẵn thì dư là
n lẻ thì dư là

n
n2
x
2
2

n 1
n 1
x
2
2

2.1.4. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Chứng minh rằng
a,  x  1  x 2 n  2 x  1 chia hết cho x  x  1 2 x  1 , n 
2n

b, x 4 n2  2 x 2 n1  1 chia hết cho  x  1 , n 
2

c, x 2  x9  x1945 chia hết cho  x 2  x  1
d, x10  10 x  9 chia hết cho  x  1

2

e, x33  x91  x 47 chia hết cho x 2  x  1
Bài 2: Chứng minh rằng m, n  thì
x 6 m4  x 6 n2  1 chia hết cho x 4  x 2  1

Bài 3: Chứng minh rằng f  x  chia hết cho g  x  với

f  x   x99  x88  x 77  ...  x11  1
g  x   x9  x8  x 7  ...  x  1
Bài 4: Tìm dư khi chia đa thức
f  x   x50  x 49  ...  x 2  x  1 cho x 2  1

Bài 5: Tìm dư khi chia các đa thức sau
a. x 41 : x 2  1
b. x 27  x 9  x 3  x  : x 2  1

Phạm Thị Thu Thủy

22

K32C Toán

Khóa luận tốt nghiệp
2.2.

GVHD: Vương Thông

Bài toán 2: Tìm giá trị của m để f  x, m g  x, m 

2.2.1 Cơ sở lí luận
Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép chia hết.
2.2.2 Phƣơng pháp giải.
Bước 1:

Biểu diễn f  x  dưới dạng f  x   g  x .q  x   r  x 

Bước 2:

Giải phương trình r  x   0 để tìm tham số m

2.2.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho x 2 n  x n  1 chia hết cho x 2  x  1
Lời giải
Đặt f n  x   x 2 n  x n  1
Ta có :

x3  1   x  1  x 2  x  1

Nên nếu tìm được số tự nhiên n mà f n  x  x3  1 thì f n  x  x 2  x  1
Ta xét trường hợp sau:
TH1: Nếu n = 3k thì

f n  x   x 6 k  x3k  1   x 6 k  1   x3k  1  3



=  x 6  1 x

6 k 1





 ...  1   x3  1 x 

3 k 1



 ....  1  3

Vì x6  1   x3  1 x3  1   x  1  x 2  x  1 x3  1 x 2  x  1
và  x3  1 x 2  x  1
nên f n  x  chia cho  x 2  x  1 được dư 3 (loại).
TH2: Nếu n = 3k + 1 thì

f n  x   x 6 k 2  x3k 1  1

  x 6 k 2  x 2    x3k 1  x   x 2  x  1
 x 2  x 6 k  1  x  x3k  1  x 2  x  1

 x 2  x 6  1 M  x  x3  1 N   x 2  x  1

Phạm Thị Thu Thủy

23

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

Với M  x6 k 1  x6 k 2  ...  1

và

Nx

3 k 1

x

3 k 2 

 ....  1

Do đó f n  x  x 2  x  1
TH3: Nếu n = 3k +2 thì
f n  x   x 6 k  4  x3k  2  1

  x 6 k  4  x 4    x3k  2  x 2   1  x 2  x 4

 x 4  x6 k  1  x 2  x3k  1   x 4  2 x 2  1  x 2 

 x 4  x6  1.M  x 2  x3  1 N   x 2  x  1 x 2  x  1
Suy ra f n  x  x 2  x  1
Vậy với mọi số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì f n  x  x 2  x  1
Ví dụ 2: Xác định a,b để đa thức p  x   ax n1  bx n  1 chia hết cho  x  1 .
2

Lời giải
Ta đặt p  x    x  1 q1  x   r1

q1  x    x  1 q2  x   r2
Khi đó p  x    x  1 q2  x   r2  x  1  r1
2

r2 x  r1  r2

Như vậy số dư là

r2  0
 r 1  r2

r

r

0

1 2

Để thỏa mãn yêu cầu thì
Dựa vào lược đồ Horner tìm r1 , r2

1

1

a

b

0

0...0


a

a+b

a+b

a

2a+b

3a+2b

Phạm Thị Thu Thủy

0

1

a+b

a+b

a+b+1=r1

…

(n+1)a+nb = r2

n3

24

K32C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ta có

GVHD: Vương Thông

a  b  1  0

r1  0
a  n




r2  0  n  1 a  nb  0 b  n  1

Vậy với a  n; b  n  1 thì p  x  chia hết cho  x  1

2

Ví dụ 3: Trong   x tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k, l, n để
đa thức x3k  x3l 1  x3n2 chia hết cho x 2  x  1 .
Lời giải
(Sử dụng đồng dư thức)
Ta có :

x3  1  0mod   x   với   x   x 2  x  1
x3  1 mod   x  
x3k   1  mod   x  
k

x3l 1   1 x  mod   x  
l

x3n2   1 x 2  mod   x  
n

Từ đó x3k  x3l 1  x3n2   1   1 x   1 x 2  mod   x  

k

l

n

Vậy để thỏa mãn yêu cầu thì n và l trái tính chẵn lẻ với k
2.2.4 Bài tập áp dụng.
Bài 1: Tìm giá trị của a và b đề đa thức p  x   ax 4  bx 3  1 chia hết cho

 x  1

2

Bài 2: Tìm n để p  x   x 4 n  x3n  x 2 n  x n  1 chia hết cho đa thức

  x   x 4  x3  x 2  x  1
Bài 3: Trong   x tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k,l,n để đa
thức f  x   x3k  x3l 1  x3n2 chia hết cho x 4  x 2  1 .
Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho đa thức p  x    x  1  x n  1 chia hết cho
n

đa thức   x   x 2  x  1 .

Phạm Thị Thu Thủy

25

K32C Toán