Ứng dụng định hướng trong hình học phẳng

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Sau một thời gian say mê nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc
biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ
em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận.
Qua đây em xin bày lòng biết ơn tới Thầy cũng như sự chỉ bảo quan
tâm, đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo trong tổ Hình học, các Thấy, Cô
giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của
mình.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các Thầy, Cô cùng
các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút đựơc kinh nghiệm và có hướng hoàn
thiện phát triển khoá luận sau này.
Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc và lời chúc
sức khoẻ đến các Thầy, Cô và toàn thể các bạn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Dương Trọng Luyện
Dương Trọng Luyện K29b toán

1


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Qua quá trình nghiên cứu khoá luận: “ứng dụng định hướng trong
hình học phẳng” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn bộ môn Hình học đặc biệt đó
là một trong những khái niệm quan trọng của hình học sơ cấp. Qua đó cũng
giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy
Nguyễn Văn Vạn cũng như các Thầy, Cô trong tổ Hình học của khoa Toán
trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô cùng các
bạn để khoá luận được hoàn thiện.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Dương Trọng Luyện

Dương Trọng Luyện K29b toán

2


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Mở đầu

4

Phần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid

6

Phần 2. Vấn đề định hướng trong mặt phẳng

9

A. Định hướng trên đường thẳng

9

1. Định nghĩa

9

2. Độ dài đại số của đoạn thẳng

10

3. Hệ thức Sa- lơ

10

4. Các ví dụ minh hoạ

11

B. Định hướng trong mặt phẳng

16

B0. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch

16

B1. Góc định hướng

16

B2. Góc định hướng của hai đường thẳng

24

B3. Cung định hướng và đường tròn định hướng

31

B4. ứng dụng góc định hướng trong mặt phẳng

39

Phần 3. Một số khái niệm định hướng trong không gian

58

1. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch

58

2. Định hướng cho một nhị diện, một tam diện

58

3. Phân loại phép dời hình loại I và loại II

61

4. Ví dụ

62

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

Dương Trọng Luyện K29b toán

65

3


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học là một môn có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic và
tình trừu tượng cao. Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng mà việc tìm ra
lời giải đó là rất khó hoặc nếu có tìm đựơc lời giải thì lời giải của bài toán thể
hiện ngay trong phạm vi kiến thức đã học thì nhất thiết phải vẽ hình để tìm ra
hướng giải. Trong lời giải của bài toán nhiều khi chúng ta phải xét rất nhiều
trường hợp và thứ tự vị trí của các điểm trong bài toán… Với rất nhiều bài
toán như vậy khi vân dụng định hướng trong mặt phẳng đã có rất nhiều thuận
lợi. Mặt khác chúng ta đã thấy được sự tiện lợi của việc định hướng trên
đường thẳng và mặt phẳng.
Chính vì vậy mà em chọn đề tài: “ứng dụng định hướng trong hình
học phẳng” Để có thể làm rõ được một hướng trong việc sử dụng định hướng
trong mặt phẳng và làm rõ tình ưu việt của việc định hướng.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số ứng dụng và tính chất của định hướng trong mặt
phẳng vào giải các bài toán chứng minh và quỹ tích trong mặt phẳng
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm nổi bật tính ưu việt và ứng dụng của định hướng
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán chứng minh và quỹ tích trong hình học sơ cấp.
4. Phạm vi nghiên cứu
Dương Trọng Luyện K29b toán

4


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Nghiên cứu các sách giáo khoa, các sách chuyên khảo, các sách tham
khảo và các bài giảng có đề cập đến phép biến hình.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.
5.1. ý nghĩa khoa học
Tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định hướng trong giải toán
5.2. ý nghĩa thực tiễn.
Là tài liệu tham khảo hữu ích cho các Thầy, Cô giáo và các bạn yêu
thích toán

PHần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid
Dương Trọng Luyện K29b toán

5


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

1. Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp
tiên đề
Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm
cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa) và các tiên đề (là
những mệnh đề xuất phát được thừa nhận là đúng).Tuy nhiên hệ thống các
tiên đề cần phải đựơc đảm bảo các điều kiện sau:
1.1. Điều kiện phi mâu thuận: Điều kiện này có nghĩa là những điều nói ở
trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái

ngược nhau.
1.2. Điều kện độc lập: Mỗi tiên đề của hệ phải độc lập (đối với các tiên đề
khác), nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại.
1.3. Điều kiện đầy đủ: Hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học bằng
suy diễn lôgic.
2. Hệ tiên đề Hinbe của hình học Euclid
Hệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với 6 khái niệm cơ bản.
*Sáu khái niệm cơ bản gồm:
“Điểm”, “Đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung là các “đối tượng cơ
bản”)
“Thuộc”, “ở giữa”, “bằng” (gọi chung là các “tương quan cơ bản”).
*Các tiên đề của Hinbe chia làm 5 nhóm:
Nhóm I chứa tám tiên đề về “liên thuộc”
Nhóm II chứa bốn tiên đề về “thứ tự”
Nhóm III chứa năm tiên đề về “bằng nhau”
Nhóm IV chứa hai tiên đề về liên tục
Nhóm V chứa một tiên đề về song song
2.1. Nhóm I - các tiên đề về liên thuộc.
Dương Trọng Luyện K29b toán

6


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “thuộc” có khi còn
gọi là đi qua.
Các tiên đề trong nhóm này là:

2.1.1. Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua.
2.1.2. Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua.
2.1.3. Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không cùng
thuộc một đường thẳng.
2.1.4. Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không thuộc một đường thẳng, không
bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
2.1.5. Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thẳng,
không bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
2.1.6. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng
thuộc một mặt phẳng  thì mọi điểm nào khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ
thuộc mặt phẳng 
2.1.7. Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ít
nhất một điểm thứ hai B.
2.1.8. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
2.2. Nhóm II- Các tiên đề về thứ tự.
ở đây có thêm khái niệm tương quan cơ bản “ở giữa”.
Các tiên đề trong nhóm này là:
2.2.1. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khac nhau
cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A
2.2.2. Cho bất kỳ hai điểm A, C nào bao giữa cũng có ít nhất một điểm B trên
đường thẳng AC sao cho C ở giữa A cà B.
2.2.3. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ
có quá một điểm ở giữa hai điểm kia.
2.2.4. Tiên đề Pát.
Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường
thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba
điểm A, B, C cả. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó
còn một điểm chung nữa hoặc với AC hoặc với đoạn BC.
2.3. Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau.
Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một

đoạn thẳng với một đoạn thẳng khác của một góc với một góc khác.
Các tiên đề trong nhóm này là:
Dương Trọng Luyện K29b toán

7


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

2.3.1. Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A‟
bao giờ cũng có một điểm B‟ sao cho đoạn thẳng A‟B‟ bằng đoạn thẳng AB
và được ký hiệu: A‟B‟  AB.
Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có: AB  BA.
2.3.2. Nếu A‟B‟  AB và A”B”  AB thì A‟B‟  AB .
2.3.3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hằng với B ở giữa A và C và ba điểm A‟,
B‟, C‟ thẳng hàng với B‟ ở giữa A‟ và C‟. Nếu AB  A‟B‟, BC  B‟C‟ thì
AC  A‟C‟.
2.3.4. Cho một góc ( x, y ) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng
chứa tia x‟. Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ
một tia y‟ cùng gốc với tia x‟ sao cho (x‟,y‟) bằng góc (x, y) và ký hiệu là:
(x, y) = (x‟,y‟)
Đối với mọi góc (x,y) ta đều có (x,y)=(y,x) và (x,y)=(x,y).
2.3.5. Cho tam giác ABC và tam giác A‟B‟C‟. Nếu AB  A‟B‟, AC  A‟C‟
' A ' C ' thì ta có 

=B
A ' B ' C ' và 
A 'C ' B ' .

ABC = 
ACB = 
và BAC
2.4. Nhóm IV – tiên đề liên tục.
2.4.1. Tiên đề Đơ đơ kin hay tiên đề IV
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp
không rỗng sao cho:
- Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi.
- Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.
Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp có
thể coi điểm này là điểm cuồi cùng của lớp thứ nhất hoặc điểm đầu của lớp
thứ hai.
2.4.2. Tiên đề Acsimét
Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kỳ. Khi đó có một số hữu hạn các
điểm A1 , A2 ,..., An thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2
ở giữa A1 , và A3 , …., An1 ở giữa A n2 và A n , B ở giữa An1 và A n và sao cho
các đoạn AA1 , A1 A2 ,..., A n1 A n đều bằng đoạn CD.
2.5. Nhóm V – các tiên đề về song song.
Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trên một mặt phẳng
và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu a và
b là hai đường thẳng song song với nhau ký hiệu là: a // b.
Nội dung tiên đề: Cho một đường thẳng a bất kỳ và một điểm A không
thuộc đường thẳng a. Khi đó trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường
thẳng a có nhiều nhất một đường thẳng đi qua A và không cắt a.
2.6. Đo độ dài, diện tích, thể tích.
2.6.1. Độ dài
Dương Trọng Luyện K29b toán

8

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 2.6.1. Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất
một hàm f (AB) thoả mãn các điều kiện sau:
1. Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(ab) > 0.
2. Nếu hai đoạn thẳng AB và A‟B‟ bằng nhau thì f(AB) = f(A‟B‟).
3. Nếu có điểm C ở giữa hai điểm A và B thì : f(AC) + f(CB) = f(AB).
4. Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1.
Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB. Đoạn OE gọi là đơn vị dài
hay là đoạn thẳng đơn vị.
2.6.2. Đo góc
Độ lớn của một góc cũng được xác định tương tự như độ dài của các đoạn
thẳng, nghĩa là ta có:
Định nghĩa2.6.4: Số đo của góc (x, y) là một hàm số  ( x, y ) thoả mãn 4
điều kiện sau:
1. Với mỗi góc (x,y) ta có  ( x, y ) >0
2. Nếu hai góc (x,y) và (x‟,y‟) bằng nhau thì  ( x, y)   ( x ', y ')
3. Nếu có một tia z ở giữa hai tia x,y của góc (x,y) thì
 ( x, z )   ( z, y)   ( x, y)

4. Có một góc ( x0 , y0 ) sao cho  ( x0 , y0 )  1 .
2.6.5. Diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng
Định nghĩa 2.6.5: Giả sử có hàm số f xác định trên tập hợp tất cả các đa
giác đơn của mặt phẳng sao cho các điều kiện sau thoả mãn
1. Giá trị của hàm f luôn dương
2. Nếu hai đa giác bằng nhau thì giá trị của f ứng với chúng cũng bằng
nhau

3. Nếu P, P1 , P2 là các đa giác mà P  P1  P2 thì
f ( P)  f ( P1 )  f ( P2 )

4. ứng với hình vuông có các cạnh bằng đơn vị đo độ dài đoạn thẳng thì
giá trị của hàm f bằng 1
Khi đó giá trị của hàm f ở mỗi đa giác (đơn) P, tức là số f(P) được gọi là
diện tích của P theo đơn vị diện tích là hình vuông nói trong điều kiện 4.
2.6.3. Thể tích của các hình đa diện đơn
Theo sơ đồ như xây dựng lí thuyết về diện tích của các đa giác đơn
trong mặt phẳng, người ta xây dựng lí thuyết về thể tích của các hình đa diện
đơn trong không gian.

Dương Trọng Luyện K29b toán

9


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Phần 2: Vấn đề định hướng trong mặt phẳng
A. Định hướng trên đường thẳng
1. Định nghĩa.


Trên đường thẳng  , cho một điểm 0, gọi là gốc và một vectơ đơn vị e




tưc là e  1 .Tia 0x cùng hướng với e .

được gọi là tia dương và do đó xác định hướng dương của trục  tia 0x‟ là tia


đối của tia 0x và do đó ngược hướng với e , được gọi là tia âm và xác định âm
(hay hướng nghịch của trục  ).






Với vectơ u trên trục  luôn tồn tại và duy nhất m  R để u  m.e thì m


gọi là toạ độ của vectơ u trên trục  .




Với X  nếu 0 X  x.e thì x gọi là hoành độ của điểm X trên trục  .
2. Độ dài đại số của đoạn thẳng
Độ dài đại số của một vectơ trên trục  đó là số (số đại số) mà nhân


với vectơ đơn vị e của trục thì cho ta một vectơ bằng vectơ đó






( AB  AB.e ,AB gọi là độ dài đại số của AB trên trục  ). Hay cho đoạn thẳng
AB trên đường thẳng định hướng  . Ta có độ dài đại số của đoạn thẳng AB là
số có giá trị tuyệt đối là độ dài của đoạn thẳng AB, kí hiệu: AB




Nếu AB cùng hướng với e thì AB mang dấu dương




Nếu AB ngược hướng với e thì AB mang dấu âm




Nếu A, B có toạ độ lần lượt là a, b thì ta có: AB = (b- a) e và AB = b-a
Dương Trọng Luyện K29b toán

10


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

3. Hệ thức Sa–lơ
*Hệ thức Sa-lơ cho ba điểm
Với ba điểm A, B, C bất kỳ trên đường thẳng định hướng  ta luôn có:
Ab  BC  AC

Chứng minh
Giả sử trên đường thẳng định hướng  các điểm A, B, C có toạ độ lần
lượt là a, b, c. Với O là gốc thì ta có:
AB  b  a, BC  c  b, AC  c  a

Vậy AB  BC  (b  a)  (c  b)  c  a  AC
*Mở rộng hệ thức Sa-lơ cho n điểm
Trên đường thẳng định hướng  cho các điểm A1 , A2 ,..., An , khi đó ta có
hệ thức Sa-lơ cho n điểm là: A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An
4. Các ví dụ minh hoạ
*Phương pháp:
- Vận dụng các kiến thức về định hướng trên đường thẳng như:
Định nghĩa độ dài đại số và hệ thức Sa- Lơ để giải quyết bài toán.
*Một số bài toán áp dụng
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng chứng minh
rằng
a)

AB CD  ACDB  ADBC  0

b)

AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC  0

2

2

2

Bài làm
Ta định hướng trên đường thẳng và chọn A là điểm gốc trên đường
thẳng đó.
Giả sử B, C, D có toạ độ lần lượt là b, c, d. Khi đó ta có:

Dương Trọng Luyện K29b toán

11


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

AB  b, AC  c, AD  d
CD  AD  AC  d  c
DB  AB  AD  b  d
BC  AC  AB  c  b

Nên ta có:
a)
AB CD  AC DB  ADBC  b(d  c)  c(b  d )  d (c  b)
= bd-bc+bc-cd+cd-db
=0

Vậy

AB CD  ACDB  ADBC  0

b) Ta có:
2

2

2

AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC
 b 2 (d  c)  c 2 (b  d )  d 2 (c  b)  (d  c)(b  d )(c  b)
 b 2 d  b 2c  c 2b  c 2 d  d 2c  d 2b  dbc  b 2d  cd 2  bd 2
 bc 2  b 2c  c 2 d  bcd
0
2

2

2

Vậy ta có : AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC  0
Ví dụ 2. (định lý Stioa)
Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC, Khi đó ta luôn có
2

2

2

AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC  0

Bài làm:
Kẻ AH vuông góc với BC, chọn hệ trục Hxy với gốc toạ độ là điểm H như
hình vẽ ta có: A = (0; a) C=(c; 0) B= ( b; 0) D=( d; 0)
Khi đó ta có:
CD  d  c, DB  b  d , BC  c  b
2

2

2

AB  a 2  b2 , AC  a 2  c 2 , AD  a 2  d 2

Do đó ta suy ra
Dương Trọng Luyện K29b toán

12


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

2

2

Khoá luận tốt nghiệp

2

AB CD  AC DB  AD BC  CD.DB.BC
 (a 2  b 2 )(d  c)  (a 2  c 2 )(b  d )  (a 2  d 2 )(c  b)  (d  c)(b  d )(c  b)
 a 2 d  a 2c  b 2 d  b 2c  a 2b  a 2 d  bc 2  c 2d  a 2c  a 2b  cd 2  bd 2  bcd
b 2 d  cd 2  bd 2  bc 2  b 2c  c 2 d  bcd
0
2

2

2

Vậy AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC  0
Ví dụ 3: Giả sử a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác
ABC và ma , mb , mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC
xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng xuống các cạnh BC, CA, AB ta có:
b2  c2 a 2
m =

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2
4

2
2
b  a c2
mc2 

2
4
2
a

Thật vậy: Nếu D là trung điểm của đoạn thẳng BC với hướng dương theo


hướng BC , Với D là gốc khi đó ta có :
2
2
a
a
CD   , BC  a, DB   , AB  c 2 , AC  b 2
2
2

Dương Trọng Luyện K29b toán

13


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

áp dụng hệ thức Stioa ta có:
2

2

2

AB CD  AC DB  AD BC  CDDBBC  0
2
a
a
a
a
 c 2 ( )  b 2 ( )  AD a  ( )( )a  0
2
2
2
2
2
2
2
c b
a
    AD 2   0
2 2
4
2
2
2

b c a
 AD 2 

2
4
hay ma2 

b2  c 2 a 2

2
4

Chứng minh tương tự ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Qua điểm A của hình bình hành ABCD. Dựng cát tuyến đi qua A cắt
BD ở E, BC ở F và CD ở G. CMR:
1
1
1


AE AF AG

Bài làm: Do AB song song với DG nên ta có:
AE BE

AG BD

(1)

Do BF song song với AD nên :

BE FE

BD FA

(2)

Dương Trọng Luyện K29b toán

14


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Từ (1) và (2) suy ra

Khoá luận tốt nghiệp

AE FE

AG FA

 AE.FA  ( FA  AE ). AG
 AE.( AG  AF )  AG. AF


Vậy ta có:

1
AG  AF 1
1




AE
AF. AG
AF AG

1
1
1


.
AE AF AG

Dương Trọng Luyện K29b toán

15


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

B. Định hướng trong mặt phẳng
B0. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch
 

Trong không gian E2 ,cho hệ toạ độ trực chuẩn 0, e1 , e2  (I) và hệ toạ
 

độ trực chuẩn 0 ', e '1 , e '2  (II). Nếu định thức của phép biển đổi từ (I) sang (II)
có giá trị dương ta nói hệ toạ độ (I) và hệ toạ độ (II) là cùng chiều. Nếu định
thức của phép biển đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm ta nói hệ toạ độ (I) và hệ
toạ độ (II) là ngược chiều.
Vì vậy ta quy ước hệ toạ độ (I) là thuận.
Khi đó nếu định thức của phép biến đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm thì
ta nói hệ toạ độ (II) là nghịch.
B1 - Góc định hướng
1. Khái niệm góc định hướng
1.1. Góc định hướng của hai vectơ chung gốc
1.1.1. Khái niệm: Để khảo sát việc quay tia 0m quanh điểm 0, ta cần chọn một
chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược
chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương (và chiều ngược lại của kim đồng
hồ là chiều âm) hình 1.

Hình 1.

Dương Trọng Luyện K29b toán

16


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì ta nói tia
Om quay góc 3600 (hay 2 rad ) quay đúng hai vòng thì ta nói quay một góc
7200 ( hay 4 rad), quay theo chiều âm nửa vòng thì ta nói nó quay góc 1800

( hay  rad),…
Cho hai tia Ou và Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ
theo chiều âm ) xuất phát từ tia 0u đến trùng với tia Ov thì ta nói: tia Om quét
một góc lượng giác tia đầu là Ou, tia cuối Ov.
 

Cho hai vectơ chung gốc 0 A, 0B (đều khác vectơ không), trong mặt
phẳng (OAB). Cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia
 

0A đến tia 0B, ta nói tia 0x quét một góc định hướng, kí hiệu là (0 A,0B) , với


0A là vectơ đầu(hoặc là vectơ gốc) 0B là vectơ cuối (hoặc vectơ ngọn).


Như vậy góc định hướng của vectơ 0A và vectơ 0B chình là góc lượng

giác của tia 0A và tia 0B.
1.1.2. Quy ước: Thông thường, ta quy ước hướng quay của tia 0x nói trên
quanh điểm O là dương nếu hướng quay này là ngược chiều quay của kim
đồng hồ, và là âm nếu hướng quay này theo hướng kim đồng hồ
1.1.3. Cách xác định góc
Khi xác đinh góc định hướng ở trên ta không quan tâm đến độ dài vectơ




nên để thuận tiện, ta có thể xét các vectơ 0A và 0B có độ dài bằng nhau:

 
0 A  0B  r


(h.2) . Khi đó điểm X chuyển động trên đường tròn tâm 0, bán



kính 0 A  0 B  r , từ điểm A đến điểm B và quay k vòng theo hướng xác


định thì điểm X vẽ nên một cung định hướng, kí hiệu: AB

Dương Trọng Luyện K29b toán

17


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

h.2
Trong đó k  0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu quay theo hướng âm.
Ta có công thức về số đo cung định hướng:
 = 0  k 3600 với k là số nguyên và 
AOB   0
Sđ AB
AOB   (rad) thì có công thức là:
Nếu sử dụng số đo rađian với 

Sđ AB .    k.2
 

 

1.1.4. Ta gọi số đo góc định hướng (0 A, 0B) là sđ (0A,0B)= 0  k 3600 trong đó
0  
AOB

(00   0  3600 ), ( 
A0 B là số đo góc không định hướng, tương ứng



với số đo cung không định hướng AB ), k là số vòng quay của tia 0x từ tia
đầu 0A đến tia cuối 0B, k  0 nếu quay theo chiều dương, k < 0 nếu quay theo
 

chiều âm. Nếu dùng đơn vị đo rađian ta có công thức: sđ (0A,0B)=  k 2 .


 

Như vậy mỗi góc định hướng (0A,0B ) được xác định bởi vectơ đầu 0A ,




vectơ cuối 0B (do đó  0  AOB xác định) và một số nguyên k. Mỗi góc định

hướng có một số đo xác định, tuy có thể viết theo nhiều cách chẳng hạn:
 
(0A, 0 B)  300  2.3600  7500
= -3300  3.3600  11100  1.360 0

Dương Trọng Luyện K29b toán

18

(ở đây k = 2)


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

1.2. Góc định hướng của hai vectơ bất kỳ.
1.2.1. Khái niệm
 

Cho hai vectơ MN, PQ (đều khác vectơ không) nằm trên cùng một mặt
phẳng.Từ một điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trên mặt phẳng ấy dùng các


 







vectơ 0A  MN , 0B  PQ (h.3) với mỗi véc tơ đầu MN , và vectơ cuối PQ và
 

số nguyên k, ta xác định một góc định hướng, ký hiệu ( MN, PQ) , với số đo
 
 
(MN, PQ)  sd ( 0A, 0B)   0  k.3600 , trong đó  0 


AOB và k là số vòng

quay từ tia 0A đến tia 0B. k > 0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu
quay theo hướng âm.

h.3
1.2.2. Tính chất
 

Cách xác định góc định hướng ( MN, PQ) , như trên không phụ thuộc
vào vị trí của điểm gốc O.
Thật vậy, giả sử với hai điểm gốc bất kì O và O‟ ta dựng các vectơ
     


0 A  MN  0' C, 0B  PQ  0' D (h.3) thì A0 B  C 0 ' D ( hai góc có cạnh

tương ứng song song cùng hướng ) đồng thời số vòng quay k là như nhau nên
 

 
 
 
sd (0 A,0B)  sd (0' C,0' D) . Hai góc định hướng AB, CD , MN , PQ gọi là bằng



Dương Trọng Luyện K29b toán

19

 




Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
 

Khoá luận tốt nghiệp

 

nhau khi sd ( AB, CD)  sd (MN , PQ) . Kí hiệu sự bằng nhau của hai góc định
 

 

hướng là ( AB, CD)  (MN , PQ)
Chú ý: Hai góc định hướng bằng nhau không nhất thiết có hai vectơ gốc

của chúng cùng hướng.
Quan hệ bằng nhau của hai góc định hướng có tính chất phản xạ, đối
xứng, bắng cầu, nghĩa là các tính chất của quan hệ tương đương.
2. Các hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng
Sự xác định góc định hướng như trên không phụ thuộc vào độ dài và
điểm gốc các vectơ nên để thuận tiện, ta chỉ cần xét các vectơ có độ dài bằng
nhau và có chung điểm gốc, nghĩa là các bán kính vectơ của một đường tròn
với điểm gốc là tâm đường tròn.
Từ các hệ thức về số đo cung định hướng trên cùng một đường tròn có
tâm O, bán kính 0A = 0B = r ta suy ra được các hệ thức của số đo các góc
định hướng chung gốc O, từ đó suy ra hệ thức của góc định hướng không
chung gốc. Người ta thường xét số đo góc định hướng theo môđun 2 để
không phải quan tâm đến số k, cuối cùng khi chỉ xét những góc định hướng
có số đo từ 0 đến 2 thì số đo góc đó xác định duy nhất. Xét các hệ thức về
số đo góc theo môđun 2 (hoặc  ) ta sẽ nhận được nhiều đồng dư thức đẹp và
trong thực tế sử dụng những đống dư thức này rất thuận lợi khi giải toán.
Dưới đây là một số hệ thức cơ bản đối với các góc định hướng chung gốc và
không chung gốc, trong đó:
   
0 A  MN , 0B  PQ (h.1)


Chú ý rằng: XY  YX
 
1) Góc không: (0 A,0 A)  0 (mod2 )
 
2) Góc bẹt : (0 A, 0 A)   (mod2 )

3) Hai góc ngược hướng
Dương Trọng Luyện K29b toán

20

(1)
(2)


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

 
 
(0 A,0B)  (0B,0 A) (mod2 )
 
 
(MN , PQ)  ( PQ, MN ) (mod2 )

(3)

4) Hệ thức Sa-lơ
 
 
 
(0 A, 0 B)  (0 A, 0C )  (0C , 0 B) (mod2 )
(4)
 
 
 
( MN , PQ)  ( MN , ST )  ( ST , PQ) (mod2 )

5) Hai góc ngược hướng bù nhau hoặc hai góc định hướng có cạnh tương
ứng song song bù nhau:
 
 
(0 A, 0 B)    (0 A, 0 B) (mod2 )
 
 
( MN , PQ)    ( MN , PQ) (mod2 )
(5)
 
 
(0 A, 0 B)    (0C , 0 B) (mod2 )
 
 
( MN , PQ)    ( MN ,  PQ) (mod2 )

6) Hai góc định hướng đối đỉnh
 
 
(0 A,0 B)  (0 A, 0 B) (mod2 )
(6)
 
 
( MN , PQ)  (MN ,  PQ) (mod2 )

7) Hiệu hai góc định hướng chung tia đầu
 
 
 

(0 A,0 B)  (0C,0 B)  (0C, 0A)
(mod2 )
(7)
 
 
 
( MN , PQ)  ( ST , PQ)  (ST, MN ) (mod2 )

1.3. Một số ứng dụng của góc định hướng
Sử dụng biến đổi góc định hướng để chứng minh một số tính chất hình
học có liên quan đến góc và giải một số bài toán.
1.3.1. Tổng các góc trong một tam giác
 

Từ ( AB, AB)  0 (mod2 ) , sử dụng hai lần hệ thức Sa-lơ (4) ta đựơc:
 
 
 
( AB, AC)  ( AC, CB)  (CB, AB)  0 (mod 2 )

Sử dụng hệ thức (3) và (6) ta đựơc:
 
 
 
( AB, AC )    ( AC, CB)  (CB,  AB)  0 (mod 2 )
 
 
 
 ( AB, AC )  ( BC, BA)  (CA, CB)   (mod 2 )
(8)

Dương Trọng Luyện K29b toán

21


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Hệ thức (8) được phát biểu như sau: Tổng ba góc cùng hướng trong
một tam giác bằng  (theo (mod 2 ) )
Nếu xét các góc dương nhỏ hơn  ta có: Tổng các góc cùng hướng
trong một tam giác bằng  .
1.3.2. Góc ngoài của một tam giác
Từ hệ thức (8) ta có:
 
 
 
( AB, AC )  ( BC , BA)  (CA, CB)   (mod 2 )
 
 
 
 ( AB, AC )  ( BC , BA)   -(CA, CB) (mod 2 )
 
 
 
 ( AB, AC )  ( BC , BA)    (CA, CB) (mod 2 )
 
 

 
 ( AB, AC )  ( BC , BA)  (CB, CA) (mod 2 ) (9)

Xét các góc ở đỉnh C của tam giác ABC ta có:
 
 
 
(CA, CB)  (CB, CA)  (CA, CA)   (mod 2 )
 
 
Nên ta gọi góc định hướng (CB, CA)  (CB, CA) (mod 2 ) là góc ngoài của
 
góc định hướng (CB, CA) của tam giác ABC.

Từ đó hệ thức (9) được phát biểu như sau: Tổng hai góc trong cùng
hướng của một tam giác bằng góc ngoài cùng ở đỉnh thứ ba (theo mod 2 )
1.3.3. Góc nội tiếp và góc ở tâm.
Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O (h.4). Giữa góc định
hướng nội tiếp và góc định hướng ở tâm cùng chắn dây AB có hệ thức sau:
 
 
(0 A,0B)  2.(CA, CB) (mod 2 )

Chứng minh

Dương Trọng Luyện K29b toán

22

(10)

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

H.4
Theo hệ thức Sa-lơ (4) ta có:
 
     
(0 A,0 B)  (0 A, AC )+(AC,BC)+(BC,0 B) (mod 2 )
 
 
 
  +( A0, AC )  ( AC,  BC )    ( BC, B0) (mod 2 )

Mặt khác tam giác OAC và tam giác OBC đều cân ở O nên:
 
 
( A0, AC )  (CA, C 0) (mod 2 )
 
 
(C 0, CB)  ( BC , B0) (mod 2 )
 
 
2 +(- AC ,  BC )  (CA, CB) (mod 2 )

Vậy
 
 

 
 
(0 A, 0 B)  (CA, CB)  (CA, C 0)  (C 0, CB) (mod 2 )
 
 
 (CA, CB)  (CA, CB) (mod 2 )
 
 2(CA, CB) (mod 2 )

Hệ thức (10) có thể viết dưới dạng sau:
 
 
 
(0 A,0 B)  2(CA, CB)  2.(CA, CB) (mod 2 )
 
 
 
 
(0 A,0 B)  2.(CA, CB)  2(  (CA, CB))  2.(CA, CB) (mod 2 )

(11)

Hoặc tương tự ta cũng có:
 
 
 
 
(0 A,0B)  2.( DA, DB)  2(  ( DA, DB))  2( DA, DB) (mod 2 ) (12)

Chú ý rằng hệ thức (10) xảy ra đối với C bất kỳ (khác A và B ) nằm

trên đường tròn đi qua A và B, nhưng với góc không định hướng thì ta có
Dương Trọng Luyện K29b toán

23


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp


A0 B = 2 
ACB , khi C, O cùng phía đối với đường thẳng AB, còn 
A0 B
 2(  
ADB ) khi D, O nằm khác phía đối với đường thẳng AB

1.3.4. Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn
Giả sử bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm 0 (h.4)
a) Khi Cvà D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB thì:
 
 
(CA, CB)  ( DA, DB) (mod 2 )

b) Khi Cvà D nằm khác phía đối với đường thẳng AB thì:
 
 
(CA, CB)  ( DA, DB) (mod 2 )

Chứng minh

Theo hệ thức (10) ta có:
 
 
 
2(CA, CB)  (0 A,0B)  2(DA, DB) (mod 2 )
 
 
hay 2( (CA, CB)  ( DA, DB))  0 (mod 2 )

Xét hai trường hợp:
 
 
a) (CA, CB)  ( DA, DB) (mod 2 )
 
 
b) (CA, CB)  ( DA, DB)   (mod 2 )

Mà
 

 

  ( DA, DB)  ( DA,  DB) (mod 2 )

 
 
 (CA, CB)  ( DA,  DB) (mod 2 )
 
 
Xét hai góc định hướng (CA, CB) và ( DA, DB) có số đo nằm trong khoảng

 
( ,  ) nếu Cvà D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB thì (CA, CB) và
 
( DA, DB) cùng hướng nên xảy ra a), còn nếu C và D nằm khác phía đối với

đường thẳng AB thì chúng ngược hướng nên xảy ra b)
1.3.5. Cung chứa góc
Cho tam giác ABC. Từ các hệ thức về bốn điểm nằm trên đường tròn
 

 

suy ra: Tập hợp điểm M sao cho (MA, MB)  (CA, CB) (mod 2 ) là cung tròn đi
qua điểm C và dây chắn AB.
Dương Trọng Luyện K29b toán

24


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp
 

 

Trên hình 4, tập hợp điểm M thoả mãn (MA, MB)  (CA, CB)   (mod 2 )
là cung ACB, còn tập hợp điểm N thoả mãn
 
 

( NA, NB)  ( DA, DB)     (mod 2 ) là cung ADB.

B2. Góc định hướng của hai đường thẳng
2.1. Khái niệm góc định hướng giữa hai đường thẳng
2.1.1. Khái niệm
Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng m và p cắt nhau tại O. Lấy các điểm
M, N thuộc đường thẳng m, và các điểm P, Q thuộc đường thẳng p (các điểm
M, N, P, Q phân biệt nhau) (h5).
Ta tưởng tượng khi cho đường thẳng t đi qua điểm O và quay quanh điểm
O từ vị trí đường thẳng m đến trùng với đường thẳng p theo một hướng nhất
định (âm hoặc dương) thì đường thẳng t quét nên một góc định hướng của hai
đường thẳng m và p. Ta gọi m là đường thẳng đầu, p là đường thẳng cuối và
kí hiệu góc định hướng là (m,p) hay (MN,PQ).

H.5
2.1.2. Công thức tính độ lớn góc định hướng của hai đường thẳng

Dương Trọng Luyện K29b toán

25