Ứng dụng tích phân trong hình học

Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
I.TNH DIN TCH HèNH PHNG
1.Hỡnh phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y
y
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 A y = cosx
1 π y=sinx

2
2

π

2

B
y = cosx, y = 0, x = 0, x = là S = ∫ cosxdx =
B2
4 2
D1
2
D2
4

1

0

π
4 2
S = ∫ cosxdx=

O

1

π
4 2
S = ∫ sinxdx=1-

x

π
4

O

2

0

π
4

2

0

π
4

π
4

0

0

π
4

2

y

1A
2
2

y=sinx
D

x O
S=?

B

y=cosx

π
4

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

S = S1 -S2 = 2 − 1 = ∫ cosxdx − ∫ sinxdx = ∫ (cosx-sinx)dx
0

π
π
xgiới hạn bởisinxdxđường y= sinx, y=cosx, x=0, x = là
= là S = ∫ các = 1 − 2
y= sinx, y=0, x=0,
Diện tích hình phẳng
2
4
4
π
4

2

π
4

S = ∫ (cosx-sinx)dx
0

0

x


Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
I.TNH DIN TCH HèNH PHNG
1.Hỡnh phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
y
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y= f1(x), y = f2(x) ( f ( x) ≥ f ( x)) , x=a, x=b là :
π
1

2

π

1A

y= sinx, y=cosx,xx=0,(xx= là S= ∫ (cosx-sinx)dx
S = ∫ [f ( ) − f )]dx
0
4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

TỔNG QUÁT
y= f1(x), y = f2(x) ( f ( x) ≥ f ( x)) , x=a, x=b là :
Diện tíchtích hình phẳng
Diện hình phẳng
S
f x) đường
giớigiới hạn=bởi( các fđường
hạn bởi∫ [các − ( x)]dx

O
O
y

D

2
2

b

1

4

2

a

1

2

b

1

a
y

là

b

S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x ) | dx
a

Chú ý

B

y=cosx
y=f2(x)

π
4
y = f1(x)

x

D

O a
O

b

x

y=f1(x)

2

a

 y = f ( x)
y = f1(x), y =1 f2(x), x = a, x = b là :
 y = f ( x)

2

x = a
x = b


y=f1(x)
y=sinx
D

c
a

d b
x

y=f2(x)
b
y = f2(x)

x


Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
I.TNH DIN TCH HèNH PHNG
1.Hỡnh phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý
b

Khi áp dụng công thức S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
a
dưới dấu tích phân.Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b].
* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) thì S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx = ∫ [f ( x) − f ( x)]dx
b

b

1

2

a

1

a

2

* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 có nghiệm trên [a;b]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm
c
d
b
c, d (cS = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx
a

c

c

d

d

b

= ∫ [f1 ( x ) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
a

c

d


b

Khi áp dụng công thức S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx Thø 4 kh duthángtr tuyt i ca hm s
, cn ngày 07 giỏ 01 năm 2009
a
di du tớch phõn.Mun vy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b].
§3. øng x) − f 2 ( x) 0 vơ tÝch ph©n S = ∫ | f ( x) − f ( x) h×nh ( x)]dx
C * Nếu f1 (dơng=cđanghiệm trên (a;b) thì trong| dx = ∫ [f ( x) − f häc
f ( x) − f 2 ( x ) = 0 có nghiệm trên [a;b]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm
I.TÍNH * Nếu TÍCH HÌNH PHẲNG
DIỆN 1
c
d
c, d (cH phẳng giới Khi đó một đường cong và trụcb hồnh
1.Hình
hạn bởi = | f ( x) − f ( x) | dx + | f ( x) − f ( x) | dx + | f ( x) − f ( x) | dx
S ∫ 1
2
∫c 1 2 y ∫d 1 2
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
a
c
d

b
y=sinx
Ú
= ∫ [f1 ( x ) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 21 )]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
(x
a
c
d
TỔNG QT
Ví dụ 1.
b

b

1

2

a

Ý

Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường

 y = f1 ( x)
 y = f ( x)

2


x = a
x = b

là

b

S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x ) | dx
a

1

2

a

π

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng

O

π

x=0, x = π và đồ thị của 2 hàm số y = cosx, y = sinx.

−1

Giải

4

y=cosx

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
π

x =0, x = π, y = cosx, y = sinx là S = ∫ | cosx-sinx|dx
0
π
Xét cosx - sinx=0 ⇔ x = ∈ [0;π ]
π
4
π
4
nên S = ∫ | cosx-sinx|dx + ∫ | cosx-sinx|dx

Ví dụ 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường x=0, x = π , y = cosx, y = sinx.

0
π
4

π
4

π

= ∫ (cosx-sinx)dx + ∫ (cosx-sinx)dx
π
0
π
4
π
= (sinx+cosx) 4 + (sinx+cosx)
π =2 2
0
4

x


Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng cđaf (tÝch ,ph©n dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
Khi áp dụng công thức S = ∫ | x) − f ( x) | dx cần khử trong h×nh häc
b

1

2

dưới dấu TÍCH HÌNH PHẲNG
I.TÍNH DIỆN tích phân.Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b].
a

b

b

C * phẳng(giớifhạn = 0 vơ nghiệm trên (a;b) thì S = ∫ |hồnh( x) | dx = ∫ [f ( x) − f ( x)]dx
1.Hình Nếu f1 x) − 2 ( x) bởi một đường cong và trục f ( x) − f
* phẳng giới hạn 0 hai đường cong
2.Hình Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) =bởicó nghiệm trên [a;b]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm
c
d
b
c, d (cH
Ví dụ 2.
S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx
TỔNG QT
1

2

1

a

Ú Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường

Ý

 y = f1 ( x)
 y = f ( x)


2

x = a
x = b


c

d
Tính diệnc dtích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
b

a

a

(C1):y = x c – x và (C2):y =x – x
d

= ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + 3∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − 2f 2 ( x)]dx

Giải
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình:
x 3 − x = x − x 2 ⇔ x 3 + x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = −2, x = 0, x = 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong (C1) và (C2) là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

b

là S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx
1

2

a

2

a

0

1

y=x3 -x, y=x-x2, x=-2 , x=1 là S = ∫ | x + x − 2 x | dx
1

0

−2
1

3

2

S = ∫ | x 3 + x 2 − 2 x | dx + ∫ | x 3 + x 2 − 2 x | dx= ∫ ( x 3 + x 2 − 2 x)dx + ∫ ( x 3 + x 2 − 2 x)dx
−2
0

−2
0
4
3
0
1
4
3
x x
8 5
37
x x
= ( + − x2 )
= +
=
+ ( + − x2 )
4 3
3 12 12
4 3
−2
0


Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009
CH í
Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
y

I.TNH DIN TCH HèNH PHẲNG
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
b

TỔNG QT

Khi áp dụng công Ý S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx
CHÚ thức
cần Diện dấu hình phẳngđối của hàm
khử tích giá trị tuệt
số dướihạn bởi các đường
giới dấu tích phân. Muốn vậy, ta
giải phương( xtrình
trên
f1 ( x) − f 2 ) = 0
f1 ( = f 1 ( ) =
[a;b] xx) − g2 ( xy ) 0
* Nếu ∫ fxx= g(2x( |y ) = ∫ [f ( xvôf nghiệm trên
S =  ( ) − f ) dx
|
) − ( x)]dx

(a;b) thì y = α
 ( x) − f ( x) = 0
f
1y = β2
* Nếu 
có nghiệm trên
β
[a;b]. c S = | gsử) − phương trìnhb có 2
là Giả ( y g d( y ) | dy

∫
nghiệmf1 (c,α −df 2(cS = | x) ( x) | dx + f1 ( x đó
1

2

a

Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường

O

 y = f1 ( x)
 y = f ( x)

2

x = a
x = b


C

b

1

2

1

a

H
x

b

là S = ∫ | f ( x) − f ( x ) | dx
1

b

2

Ú

a

H­íng dÉn häc ë nhµ

Ý

1

∫

ac

2

a

2

∫

cd

∫

d
b

= ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x )]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx

Bài tập 1,2,3/121; 3.19/158 sách bài tập
a

c

d




Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
I.TNH DIN TCH HèNH PHNG
1.Hỡnh phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f 1(x), y = f2(x), x = a, x = b là
S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx
b

1

2

a

*Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g1(y), x=g2(y), y = α , y = β là
β

S = ∫ | g1 ( y ) − g 2 ( y ) | dy

Bài tập :

α

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
Giải

y = x , y = 0, y = x-2, y =

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 0, y = x-2, y = 1

Là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=y 2, x=y+2, y = 0, y = 1 là
1

1

s = ∫ | y + 2 − y | dy = ∫ ( y + 2 − y 2 )dy =
0

2

0

13
6


Thứ 4 ngày 07 tháng 01 năm 2009

Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học
I.TNH DIN TCH HèNH PHNG
1.Hỡnh phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý
b

Khi áp dụng công thức S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
a
dưới dấu tích phân.Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b].
* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) thì S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx = ∫ [f ( x) − f ( x)]dx

b

b

1

2

a

1

a

2

* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 có nghiệm trên [a;b]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm
c
d
b
c, d (cS = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx
a

c

c

d

d

b

= ∫ [f1 ( x ) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
a

c

d


b

C
H
Ú

Khi áp dụng công thức S = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
a
dưới dấu tích phân.Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b].
* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x ) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) thì S = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx = ∫ [f ( x) − f ( x)]dx
* Nếu f1 ( x) − f 2 ( x ) = 0 có nghiệm trên [a;b]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm
c
d
b
c, d (cS = ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx + ∫ | f1 ( x) − f 2 ( x) | dx
b

1

2

a

a

c

c

d

d

b

= ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
a

Ý

b

c

d

1

a

2


b

Khi áp dụng công thứcS = ∫ | f ( x) − f ( x) | dx
cần khử dấu giá trị tuệt đối của hàm
số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta
giải phương( xtrình
trên
f1 ( x) − f 2 ) = 0
[a;b] f1 ( x) − f 2 ( x) = 0
* Nếu ∫ | f ( x) − f ( x) | dx = ∫ [f ( xvôf nghiệm trên
S=
) − ( x)]dx
(a;b) thì
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0
* Nếu
có nghiệm trên
[a;b]. c Giả sử phương trìnhb có 2
d
nghiệmf1 (c, −df 2(cS = | x) ( x) | dx + f1 ( x đó
1

2

a

C

b

b

1

2

1

a

H
Ú
Ý

∫

ac

2

a

∫

cd

∫

d
b

= ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x )]dx + ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
a

c

d