Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann

MỞ ĐẦU
Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, đa tạp Riemann là một nội
dung quan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát. Một trong những phần
quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đẳng cự.
Đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử của đa
tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann, tức là một tích vô
hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó. Với mong muốn được tìm hiểu và
nghiên cứu sâu hơn về các bất biến của ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann và đặc biệt
các phép biến đổi đẳng cự trên mô hình nửa phẳng Poincaré và được sự hướng dẫn tận tình
của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chúng tôi đã chọn đề tài “Phép đẳng cự trên một số đa tạp
Riemann” để nghiên cứu.
Nội dung nghiên cứu của luận văn là khảo sát ánh xạ đẳng cự trong mối quan hệ với
các khái niệm trên đa tạp Riemannn đặc biệt là tính bất biến đẳng cự, ứng dụng để khảo sát
phép biến đổi đẳng cự của nửa phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré, đặc biệt là mở rộng của
nửa phẳng Poincaré trên

3

– nửa không gian trên. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu

tham khảo, luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1: Đa tạp Riemann
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa
tạp Riemann có liên quan đến việc nghiên cứu ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann,
kiểm tra các bất biến đẳng cự.
Chương 2: Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann
Trong chương này, chúng tôi tập trung khảo sát phép biến đổi đẳng cự của nửa phẳng
Poincaré, đĩa mở Poincaré, thể hiện qua việc xác định metric Riemann, khảo sát các phép
biến đổi đẳng cự và mở rộng một số kết quả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét
như một đa tạp Riemann 3 – chiều.

1


Chương 1. ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và
đa tạp Rienmann như đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đẳng cự, một số
tính chất của ánh xạ đẳng cự, và một số bất biến trong ánh xạ đẳng cự. Các kiến thức trình
bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [1], [3], [4], [5].
1.1 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi
1.1.1. Đa tạp tôpô (xem [1])
Cho M là không gian tôpô Haudorff. Một bản đồ trên M là cặp (V,  ) trong đó V là
một tập mở của M và  : V → V’ là một đồng phôi từ V lên một tập mở V’ của

n

.

Giả sử (V,  ) là một bản đồ trên M. Khi đó với mỗi x V,  (x)V’được hiển thị
dưới dạng  (x) = (x1, x2, ..., xn) trong đó x1, x2, ..., xn 

. Ta gọi các số xi là các toạ độ địa

phương của x.
Một họ các bản đồ {(Vi ,i )}iI của M sao cho {Vi )}iI là một phủ mở của M được
gọi là một atlas của M. Không gian tôpô M có một atlas được gọi là một đa tạp tôpô.
1.1.2. Đa tạp khả vi (xem [1])
Cho M là không gian tôpô Hausdorff. Atlas {(Vi ,i )}iI của M được gọi là atlas khả
vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V1, 1 ),(V2, 2 ) của atlas sao cho V1∩V2   và

1 : V1→ V1' , 2 : V2→ V2' , ta có ánh xạ: 2 11

1 V1V2 

: 1  V1  V2   V2' là một ánh

xạ khả vi.
Trên tập các atlas khả vi của không gian tôpô M ta xét một quan hệ hai ngôi như sau:
Cho A = {(Ui ,i )}iI , B = {(Vj ,j )}jJ là hai atlas của M. Khi đó A được gọi là tương
đương với B, kí hiệu là A B, nếu {(U i ,i ),(Vj ,j )}iI,jJ là một atlas khả vi của M. Quan
hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu
trúc khả vi trên M.
Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của nó nên một
atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.
Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định bởi atlas

{(Vi ,i )}iI với i :Vi→ Vi' 

n

được gọi là một đa tạp khả vi n chiều, ký hiệu dimM = n.
2


1.1.3. Ví dụ
1.

n

n

là đa tạp khả vi n – chiều với atlas {(

,id )}.

2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(Vi ,i )}iI và N là một tập con mở của M.
Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas
3. Xét siêu cầu n chiều trong



Sn  x   x1, x 2 ,..., x n 1  

n 1

Gọi N = (0, 0, ..., 0, 1) 

 N  V , 

n 1

i

i NVi



iI

.

:



, x12  x 22  ...  x n2  1 .
n 1

và S = (0,0,...,0,−1) 

n 1

lần lượt là điểm cực bắc và

cực nam của Sn. Xét UN = Sn \ {N}, US = Sn \ {S} là các tập mở của Sn. Ta có {UN, US} tạo
thành một phủ mở của Sn.
Xét phép chiếu nổi PN lên siêu phẳng xn + 1 = 0 sao cho với mỗi x  UN, ảnh PN(x) là
giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng xn + 1 = 0 . Phép chiếu
nổi từ cực nam PS được xác định tương tự. Khi đó Sn là đa tạp khả vi với atlas
{(UN,PN),(US,PS)}.
1.1.4. Ánh xạ khả vi (xem [1])
Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n. Ánh xạ f: M → N được
gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản đồ (U,  ) của M, bản đồ (V,  )
của N sao cho U ∩ f-1(V )   ta có ánh xạ  ◦ f ◦ 1 từ tập con mở  (U ∩ f-1(V )) của
m

vào

n

là ánh xạ khả vi. Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f -1 : N → M khả vi

được gọi là vi phôi.
1.1.5. Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi
1.1.5.1. Định nghĩa (xem [3])
Giả sử M là một đa tạp khả vi, C  M  là tập các hàm khả vi trên M. khi đó ánh xạ
X: C  M  →

được gọi là một véctơ tiếp xúc tại p  M nếu X nếu thoả mãn:
i. X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p),
ii. X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g).

Chúng ta có một kết quả về các vectơ tiếp xúc được thể hiện qua định lí sau:
1.1.5.2. Định lí (xem [3])
Tập hợp Tp(M) tất cả các véctơ tiếp xúc tại p là không gian véctơ hữu hạn chiều với
số chiều bằng dimM.
3


1.1.5.3. Định nghĩa (xem [3])
a. Cho M là một đa tạp khả vi. Khi đó T(M) =

T
pM p

 M

được gọi là một phân thớ tiếp

xúc trên M và không gian véc-tơ Tp(M) được gọi là thớ đi qua p. Mỗi ánh xạ X : M → TM
sao cho với mọi p  M, X(p)  Tp(M) được gọi là một trường véctơ trên M.

b. Trường mục tiêu trên đa tạp n – chiều M là họ n trường véctơ {X1, X2, ..., Xn} trên M sao
cho tại mọi p  M, hệ véctơ {X1(p), X2(p), ..., Xn(p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ
TpM.
1.2 Đa tạp Riemann
1.2.1. Đa tạp Riemann (xem [1])
Cho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương
ứng với mỗi p  M một tích vô hướng trên TpM sao cho với hai trường véctơ (tiếp xúc) khả
vi X, Y trên M, hàm số p → X  p  ,Y  p  là hàm khả vi.
Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một đa tạp
Riemann. Kí hiệu (M, ,

M

).

1.2.2. Độ dài cung (xem [4])
Cho α : I → M là một đường cong lớp C1 trên đa tạp Riemann (M, ,

M

). Độ dài của α được

xác định như sau:

L       '  t  dt  
I

 ' t ,  ' t 

I

M

dt

1.2.3. Ví dụ
1.

n

với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.

Chứng minh
n

Theo ví dụ trên ta có
xúc tại điểm đó chính là

n
p



là một đa tạp khả vi. Tại mỗi điểm p 
n

2. Xét M =

n

n

, không gian tiếp

nên tích vô hướng trên không gian tiếp xúc tại điểm p

được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên
Vậy với

n

n

.

tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.

và tại mỗi p  M ta xác định một tích vô hướng : ,

với <,> là tích vô hướng chính tắc trên

n

. Khi đó,
4



n

, ,

M

M



4

1  p 

2 2

Xp , Xp ,

 là một đa tạp Riemann


n - chiều.
Chứng minh
Ta có

n

là một đa tạp khả vi.

Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p 
cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên



Cho γ:



n

. Vậy

n

, ,

n
p

trên không gian tiếp xúc

được

. Do đó tích vô hướng như trên xác định một

 là một đa tạp Riemann n – chiều.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann 

metric Riemann trên



n

n

M

n

, ,

M

.

là đường cong được xác định bởi γ(t) = (t, 0, ..., 0), với mọi t

n



.

Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác định như sau:

L  



0

 '  t  dt  2



 ' t  ,  ' t 
1 

0

2

dt  2

0



Bn là hình cầu mở n – chiều, tức là Bn  x 
Riemann sau: ,

Bn





Khi đó Bn , ,

4

1  p 

2 2

Bn



n


dt

2acr
tan
t
  . Gọi
0
1 t2



x  1 . Trên Bn ta trang bị metric

Xp ,X p .

 là một đa tạp Riemann và được gọi là không gian Hypebolic

n – chiều. Kí hiệu Hn.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham số trên Bn.

Cho γ : (0,1) → Hn là một đường cong xác định bởi γ(t) = (t, 0, ..., 0), với mọi
t  (0,1). Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác đinh như sau:

L       '  t  dt  2
1

0

1

 ' t  ,  ' t 

0

1 

2

dt
1 t
 2ln
 
2
0 1 t
1 t

dt  2

1

1.3 Ánh xạ đẳng cự trên đa tap Riemann
1.3.1. Ánh xạ đẳng cự (xem [1])
Cho M, N là các đa tạp Riemann n – chiều. Khi đó ánh xạ f : M  N được gọi là
ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p  M, ta có Tpf : Tp M  Tf(p) N là một ánh xạ tuyến
tính bảo toàn tích vô hướng.
Trường hợp ánh xạ đẳng cự f đồng thời là vi phôi được gọi là một vi phôi đẳng cự.
5


Một ánh xạ đẳng cự f: M → M còn gọi là phép biến đổi đẳng cự của đa tạp Riemann
M.
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:
1.3.2. Nhận xét
1. Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đẳng cự.
2. Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
3. Tích của các phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của M lập thành một nhóm gọi là nhóm
đẳng cự.
1.3.3. Các tính chất
1.3.3.1. Mệnh đề (xem [5])
Ánh xạ khả vi f : M  N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đẳng cự
khi và chỉ khi ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ.
Chứng minh.

 f là ánh xạ đẳng cự thì ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ.
Suy ra Tpf: TpM  Tf (p) N bảo tồn tích vô hướng.
Nghĩa là:

p  TpM, p  TpM
Tpf(P )  Tf (p) N ;

Tpf(P )  Tf (p) N
Ta có:

Tpf(p ).Tpf(P )  p .p

(1)

Lấy P  p
Suy ra (1)  Tpf(p ).Tpf(P )  p .p  Tpf(p )  p

2

 Tpf(p )  p

Tức là Tpf bảo tồn môđun của véctơ.

  Ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ nên ta có:
6

2


Tp f(p  p )  p  p

(2)

Mà theo định nghĩa Tpf là ánh xạ tuyến tính nên ta có:

Tpf(p  p )  Tpf(p )  Tpf(p )
Suy ra điều kiện (2) tương đương với (Tpf(p )  Tpf (p ))2  (p  p )2

 Tpf 2 (p )  2Tpf (p ).Tpf (p )  Tpf 2 (p )  p2  2pp  p2  Tpf (p ).Tpf (p )  p .p
(do Tp f bảo tồn môđun của véctơ)

 f là một ánh xạ đẳng cự (đpcm)
1.3.3.2. Mệnh đề (xem [5])
Ánh xạ (khả vi) f : M  N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đẳng cự
khi và chỉ khi ánh xạ (khả vi) f bảo tồn độ dài cung.
Chứng minh.

 Ánh xạ đẳng cự  ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung.
Vì f là ánh xạ đẳng cự  Tp f bảo tồn tích vô hướng. Mà độ dài cung được tính theo công
thức:
b

L()   ( '(t) dt
a

b

L(f )   f )'(t) dt
a

Theo mệnh đề 1.3.3.1 ta có (fo)'(t)   '(t)
Vậy L()  L(f ) tức là f bảo tồn độ dài cung.

  f bảo tồn độ dài cung  f là ánh xạ đẳng cự.
Để chứng minh f là ánh xạ đẳng cự, ta chứng minh ánh xạ: Tpf:Tp M  Tf(p) N bảo tồn tích
vô hướng tức là:

 

 

   

<Tp f p ,Tp f p  p ,p >  Tp f p  p

7

, với mọi p  TpM

(3)


Giả sử: p   '(t) với  ' là một cung trên đa tạp M, suy ra để chứng minh f là đẳng cự ta
cần chứng minh f thoả mãn (3).
Thật vậy: Do f là một ánh xạ (khả vi) bảo tồn độ dài cung tức là:
a

a

b

b

F(t)   ( '(t) dt   f  '(t) dt
Từ đó ta có:

 '(t)  F'(t)

f  '(t)  F'(t)

 

 '(t)  (f  '(t)   p  Tp f  p
Do đó ta có mệnh đề 1.3.3.1. f là một ánh xạ đẳng cự.
1.3.3.3. Mệnh đề (xem [5])

Ánh xạ (khả vi) f : M  N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đẳng cự
khi và chỉ khi ánh xạ (khả vi) f bảo tồn dạng cơ bản thứ nhất.
Chứng minh. Chứng minh mệnh đề này tương tự như chứng minh mệnh đề 1.3.3.1.
1.3.3.4. Mệnh đề (xem [5])
Ánh xạ vi phôi f : M  N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đẳng cự
khi và chỉ khi ánh xạ f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. (Với đa tạp Riemann liên
thông (tức liên thông cung) (M,g), định nghĩa hàm khoảng cách

d : M M  R

 p,q 

infL(p)

 là cung nhẵn từng khúc trên M nối p với q).
Chứng minh.

 f:M  N

là ánh xạ đẳng cự  f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Hiển

nhiên vì điều này suy ra được từ mệnh đề 1.3.3.2.

 

f:M  N bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ  f là đẳng cự.
8


Thật vậy, lấy véc tơ  bất kỳ tại p.

f



Qua p tồn tại đường trắc địa cực tiểu

f* 

 (t )

(độ dài nhỏ nhất)  sao cho:

p

  0  p,  '  0  

t(p)
N

f*:TpM  T(f)pN

Theo chứng minh f  là đường trắc địa và  f   '  f*
Suy ra tồn tại lân cận U của f(p) sao cho trong U:f  là cung trắc địa cực tiểu suy ra tồn tại
t0 đủ nhỏ sao cho
t

d(p,  (t))    '(t) dt

t  t 0

t0

t

và

d(f(p), f (t))   (f )'(t) dt

vì:

d(p, (t))  d(f(p), f (t))



t

t  t 0

t0

t

0

t

 '(t)   (f )'(t)
t0

Theo mệnh đề 1.3.3.2. ta suy ra f là ánh xạ đẳng cự.
1.3.3.5. Mệnh đề (xem [5])
f là vi phôi đẳng cự: M  N giữa các đa tạp Riemann n – chiều khi và chỉ khi f là
vi phôi bảo giác và đẳng diện.
Chứng minh.

 f là vi phôi đẳng cự  f là vi phôi bảo giác và đẳng diện.
Trước hết ta chứng minh f là vi phôi đẳng cự  f đẳng diện tức là phải chứng minh
f bảo tồn diện tích các miền compact với bờ trên các đa tạp đó.
f
 f (M ')  N
Thật vậy M’ compact của M 

Ta chứng minh Vol(M’) – Vol(f(M’)).
r
 r(U ) và
Giả sử: M '   r(U ) : U 


r(U ) .
9

 

là phân hoạch đơn tương ứng phủ


f r
Ta có f(M')=  f r (U ) với đồng phôi địa phương U 
 f r(U )






Và  f 1 là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {f r(U )}

V l(M ')  

Ta có

 (

 U

V l(f(M ')  

 f

 U

r ) det(g ij )dU

1

(f r ) det(g 'ij )dU

Thật vậy, ta thấy từ công thức tính diện tích các miền compact với bờ ta thấy diện
tích chỉ phụ thuộc vào định thức Gr = (gij). Trong M diện tích miền compact với bờ được
tính theo công thức với định thức bằng

 r 'u1 ,r 'u1  ...........  r 'u1 ,r 'u1 

 

Gr  gij 

 r 'u 2 ,r 'u 2  ...........  r 'u 2 ,r 'u 2 

 r 'ui ,r 'u j 

 r 'u n ,r 'u n  ...........  r 'u n ,r 'u n 
Trong N diện tích miền compact với bờ được tính bởi công thức với định thức bằng:


 

Gr  g 'ij 

 f*r 'u 2 , f*r 'u 2  ...........  f*r 'u 2 , f*r 'u 2 

 f*r 'ui , f*r 'u j 

 f*r 'u n , f*r 'u n  ...........  f*r 'u n , f*r 'u n 
Để chứng minh f bảo tồn diện tích miền compact ta cần chứng minh det(gij) = det (g’ij)vì f
đẳng cự Từ đó suy ra det(gij) = det (g’ij) tức f bảo tồn diện tích miền compact với bờ. Bây giờ
ta chứng minh f đẳng cự  f bảo giác.
Vì f đẳng cự nên ,   M ta có Tpf ().Tpf ()  (p).., p  M (chọn (p)  1 )

 f bảo giác.

  f bảo giác + đẳng diện  f đẳng cự.
Ta có: g ij  r 'ui ,r 'u j 
10


gij =<(f r)'ui ,(f r)'u j  (f*r)'ui ,(f* )r 'u j   r 'ui ,r 'u j  .g ij (do f bảo giác)
Mặt khác f đẳng diện

U

G(u1...u n )dU  

U

đ ¼ng diên
n GdU 


U

Gr (u1...u n )dU

Đối với mọi miền U  n  1  f đẳng cự.
1.3.4. Một số bất biến của ánh xạ đẳng cự
1.3.4.1. Mệnh đề (xem [5])
f là ánh xạ đẳng cự thì f bảo tồn góc giữa các phương tiếp xúc, tức nếu p , p  TpM
thì cos(p , p )  cos(Tpf (p ),Tpf (p )) .



Chứng minh: Theo tính chất của tính vô hướng p .p  p p cos p , p





 cos  p , p 

và



 pp

(4)

 p p

cos(Tp f ( p ), Tp f (p )) 

Tp f ().Tp f ()
Tp f () Tp f ()

(5)

Do f là ánh xạ đẳng cự nên Tpf (p ).Tpf (p )  p .p
Mặt khác, theo mệnh đề 1.3.3.1 Tp f (p )  p ; Tp f (p )  p
Từ đó suy ra (4) = (5). Vậy cos(p , p )=cos(Tpf (p ), Tpf (p ))
1.3.4.2. Mệnh đề (xem [5])
Liên thông Lêvi-Civita bất biến qua vi phôi đẳng cự.
Chứng minh.
Giả sử f: M  N là vi phôi đẳng cự. Ta phải chứng minh f*x Y  f*Xf*Y .
Đặt x Y  f*1f*Xf*Y

với X, Y  B(M)

11

(6)


Ta chứng minh  là liên thông Riemann trên M trước hết ta chứng minh nó là liên
thông tuyến tính, muốn vậy ta kiểm tra nó có thoả mãn hai điều kiện của liên thông tuyến
tính không?
+  là F(M) tuyến tính đối với biến X tức là:

X1X2 Y  f*1f* (X1X2 ) f*Y  f*1f*X1 f*Y  f*1f*X2 f*Y  X1 Y  X2 Y
xY  f*1f*xf*Y)  f*1f*x f*Y  x Y
X1,X2 ,X,Y  B(M),  F(M)
+ Đối với biến Y nó là

- cộng tính.

X (Y1  Y2 )  f*1f*Xf* (Y1  Y2 )  f*1[(f*Xf*Y1)  (f*Xf*Y2 )
 f*1f*Xf*Y1  f*1f*Xf*Y2 )  XY1  XY2
Và x (Y)  X  Y  X Y
Vì f*Xf*Y)  f*X (.f 1)f*Y  f*X[.f 1]f*Y  (.f 1)f*Xf*Y

 x (Y)  f*1f*Xf* (Y)  f*1(f*X [.f 1]f*Y  f*1(.f 1)f*Xf*Y
 X  Y  X Y
Vậy  thoả mãn các điều kiện của liên thông tuyến tính vậy  là liên thông tuyến
tính. Ta chứng minh  là liên thông Lêvi – Civita.
Ta cũng kiểm tra  có thoả mãn hai điều kiện của liên thông Lêvi – Civita không.
Tức là ta kiểm tra hai điều kiện:
+ Ta có:

T(X,Y)  XY  YX  [X,Y]

X,Y B(M))

Thay (6) vào (7) ta có:

T(X,Y)  f*1f*Xf*Y  f*1f*Yf*X-[X,Y]  f*T(X,Y)  f*Xf*Y  f*Yf*X-f*[X,Y]
(Ta chứng minh f*[X,Y]  [f*X, f*Y]
Vì [f*X, f*Y]  f*X[f*Y[]]-f*Y[f*X[]] =X[f*Y[] f] f 1  Y[f*X[] f] f 1
12

(7)

=X[Y[ f] f 1 f] f 1  Y[X[ f] f 1 f] f 1 =X[Y[ f  Y[X[ f] f 1
=[X,Y][ f] f 1 =f*[X,Y][]
Vậy



[f*X, f*Y]  f*[X,Y] ).

f*T(X,Y)  f*Xf*Y  f*Yf*X  [f*X,f*Y]  T(f*X,f*Y)  0 (vì f đơn ánh)

 T(X,Y) = 0
Vì f*Zg  0 suy ra: f* (Z)[  f*X,f*Y  ]  f*Zf*X,f*Y    f*X, f*Zf*Y 

 Z[  X,Y  ]  f*1f*zf*X,f*1f*Y  X,f*1f*zf*Y   ZX,Y    X, ZY 

 Zg  0
Vậy  là liên thông Lêvi – Civita trên M cho nên    . Do đó

XY  f*1f*Xf*Y  f*XY  f*Xf*Y
1.3.4.3. Hệ quả (xem [5])
Qua vi phôi đẳng cự cung trắc địa biến thành cung trắc địa.
Chứng minh.
Cho cung trắc địa  trên đa tạp Riemann M, qua vi phôi đẳng cự f : M  N , khi đó f (  )
là cung trắc địa trên đa tạp N.
Thật vậy, theo định nghĩa  là cung trắc địa suy ra  ' '  0
Ta có: f  'f  '  f* f*  f* ( ' ')  0 (do  bất biến qua vi phôi đẳng cự f) hay

f  'f  '  0  fo cũng là cung trắc địa.
1.3.4.4. Định nghĩa (xem [1])
p là một điểm của đa tạp Riemann (M,g) p là một 2-phẳng trong TpM (không gian

véc tơ con 2 chiều của Tp(M) lấy một cơ sở  ,  của p thì độ cong tiết diện K(p ) là
số:

K(p ) 

 R(, , ),  
 ,   ,     ,  2
13


1.3.4.5. Mệnh đề (xem [5])
Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đẳng cự.
Chứng minh.

f : M  N là vi phôi đẳng cự. Giả sử tại p có không gian véc tơ con hai chiều p . Qua f*
có không gian véc tơ con hai chiều f * p (f*: Không gian tiếp xúc của M tại p  không
gian tiếp xúc của N tại điểm f(p)).
Ta phải chứng minh K(p )  K(f*p ) .
Theo định nghĩa ta có:

K(p ) 

 R(, , ),  
 ,   ,     ,  2

K(f*p ) 

 R(f*,f*,f*),f* 
 f*,f*  f*,f*    f*,f* 2

Vì f* bảo tồn tích vô hướng nên:

 ,   f*,f*  ,  ,   f*,f*  ,  ,   f*,f* 
Nên ta chỉ cần chứng minh:  R(, , ),   R(f*,f*,f*),f* 
Theo định nghĩa, ta có: R(, , )      [,](,  B(M))

R(f*,f*,f*)  f*f*f*  f*f*f*  [f*,f*]f*  f*  f*  f*[,]
(do  bất biến qua vi phôi đẳng cự)

 R(f*,f*,f*),f*  f*R(, , ),f*  R(, , ),  
Vậy độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đẳng cự

14


Chương 2. PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN MỘT SỐ ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 – chiều
của nửa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Rienmann,
các phép biến đổi đẳng cự,... Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được
xét như một đa tạp Riemann 3 – chiều. Các kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong
tài liệu [1], [3], [4].
2.1. Mô hình nửa phẳng Poincaré của hình học phi Ơclit
2.1.1. Xây dựng nửa phẳng Poincaré (xem [4], xem [1])
Xét đa tạp 2 – chiều H2 = {(x, y) 

2

/ y > 0} trong

2

. Kí hiệu can là cấu trúc

Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trong
ψ: H2 →

ψ(x, y) =

,(x, y)

2

và

1
.
y2

Ta có , H2 : = ψ.can xác định một metric Riemann 2 – chiều trên H2 nên (H2, , H2 ) là
một đa tạp Riemann 2 – chiều được gọi là nửa mặt phẳng Poincaré. Ta có thể biểu diễn H2 =
{z = x + iy  /Im z > 0}.
Khi đó có thể biểu thị metric Riemann , H2 trên H2 dưới dạng

ds 
2

dz

2



y2

dx 2  dy2
.
y2

2.1.2. Độ dài cung trong H2 (xem [1])
Trong H2 độ dài cung của một cung đoạn cho trước cũng được xác định như trong
trường hợp tổng quát. Để minh họa, ta xét các ví dụ sau:
a. Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá

t

(t)   x  t   x0 , y  t   t  ,



với x0 là một hằng số cho trước.
Độ dài cung đoạn   t ,t  nối điểm P = ρ(t1), Q = ρ(t2) xác định bới:
1 2

L    

t2

t1

dt

t
 ln 2 .
t
t

b. Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá
0
( x(t) = x0 + Rcost, y(t) = Rsint), với x0 là một hằng số cho trước và R > 0.
15


Độ dài cung đoạn ρ[t1,t2] nối điểm P = ρ(t1),Q = ρ(t2) xác định bởi:

t2
t 2 dt
t1
L    
 ln
t1 sin t
t
tan 1
t2
tan

2.1.3. Biến đổi đẳng cự của (H2, , H2 )
2.1.3.1. Mệnh đề (xem [1])
Cho biến đổi f: H2 → H2,(x, y)

(u,v). Khi đó điều kiện cần và đủ để f là phép biến

đổi đẳng cự của (H2, , H2 ) là
2
2
2
 u 2
v   1   u   v   1
1



       2         2  2
  x   x   v   y   y   v
y

 u u v v

0

 x y x y

đối với mỗi trường mục tiêu song song chính tắc trên H2.
Chứng minh.
Gọi {E1,E2} là trường mục tiêu song song chính tắc trên H2.
Ta có

fE1  f  p   

u
v

E1  f  p    E 2  f  p   ,
x
x

fE 2  f  p   

u
v
E1  f  p    E 2  f  p  .
y
y

f là phép biến đổi đẳng cự của (H2, , H2 ) khi và chỉ khi với  p = (x,y)  H2
ta có

fEi ,fE j  Ei ,E j  p  , i, j  1,2.
Do đó fE1  f  p   ,fE1  f  p  



H2

 E1  p  ,E1  p 

H2

1
1
fE1  f  p   ,fE1  f  p    2 E1  p  ,E1  p 
v  x, y 

y
2

 u 2  v 2 
1
1
       2
 2.
 x   x   v  x, y  y
Tương tự
16


fE2  f  p   ,fE2  f  p  


H2

 E2  p  ,E2  p 

H2

1
1
fE 2  f  p   ,fE 2  f  p    2 E 2  p  ,E 2  p 
v  x, y 
y
2

 u 2  v 2 

1
1
       2
 2.
 y   y   v  x, y  y

fE1  f  p   ,fE2  f  p  


H2

 E1  p  ,E2  p 

H2

1
1
f
E
f
p
,f
E
f
p

E1  p  ,E 2  p 










1

2
v2  x, y 
y2

 u u v v 
1
u u v v

0


0 
 2

x

y

x

y


x

y

x

y
v
x,
y




2.1.3.2. Mệnh đề (xem [1], [4])
Xét nửa phẳng Poincaré H2 = {(x, y) 

2

/ y > 0} = {z  /Im z > 0}. Khi đó các phép

biến đổi h: H2 → H2 sau là các phép biến đổi đẳng cự:
(1) z

z  a,  a 

(2) z

kz, k 

(3) z

z , (đối xứng thẳng góc qua Oy);

(4) z

1
, (nghịch đảo tâm O phương tích 1);
z

(5) z

az  b
, với a, b, c, d là những số thực, ad − bc > 0;
cz  d

(6) z

az  b
, với a, b, c, d là những số thực, ad − bc > 0;
cz  d



 (phép tịnh tiến với phương song song Ox);


 (vị tự tâm O với hệ số dương);

Chứng minh:

1. Phép biến đổi (1) biểu diễn được dưới dạng:
h1: H2 → H2, (x, y)
Giả sử z   x, y  

(u = x + a, v = y),(a  ).

ta có z + a = (u, v) = (x + a, y). Khi đó

17


u
u
v
v
 1,  0,  0,  1
x
y
x
y
Ta có:

 u 2  v 2 
1
1
 2
      . 2
 x   x   v  x, y  y
 u 2  v 2 
1

1
 2
Tương tự       . 2
 y   y   v  x, y  y
Mặt khác ta có:

u u v v

 0.
x y x xy

Vậy phép biến đổi (1) là phép biến đổi đẳng cự.
2. Phép biến đổi (2) biểu diễn được dưới dạng h2: H2 → H2, (x, y)
Giả sử z   x, y  

(u = kx, v = ky)

ta có kz = (u, v) = (kx, ky). Khi đó

u
u
v
v
 k,  0,  0,  k
x
y
x
y
Ta có:

 u 2  v 2 
 u 2  v 2 
1
1
1
1
       . 2
 k2 2 2  2
      . 2
k y
y
 x   x   v  x, y   y   y   v  x, y 
u u v v

 0.
x y x xy
Vậy phép biến đổi (2) là phép biến đổi đẳng cự.
3. Phép biến đổi (3) biểu diễn được dưới dạng h3: H2 → H2, (x, y)
Giả sử z   x, y  

ta có z = (u, v) = (- x, y). Khi đó

u
u
v
v
 1,  0,  0,  1
x
y
x

y
Ta có

 u 2  v 2  1  u 2  v 2  1
1
      . 2        . 2  2
y
 y   y   v
 x   x   v

18

(u = − x, v = y).


u u v v

 0.
x y x xy
Vậy phép biến đổi (3) là phép biến đổi đẳng cự.
4. Phép biến đổi (4) biểu diễn được dưới dạng
h4: H2 → H2,(x,y)

Giả sử z   x, y  

ta có

(u =

1

= (u, v) =
z

x
y
,v= 2
)
2
x y
x  y2
2

 x
y 
,
(- x, y). Khi đó
 2
2
2
2
x

y
x

y



u

y2  x 2 u
2xy v
x 2  y2 v
2xy
 2
,

,

,

x
x  y2 y
x 2  y2 x
x 2  y2 y
x 2  y2

















Ta có




  4x y  .  y
  x  y  





 


 u 2  v 2  1  y2  x 2
      . 2  
2
2
 x   x   v
 x  y
 u 2  v 2  1  y2  x 2
      . 2  
 2
2
 y   y   v
 x  y

2

2 2

4

2

4

 x2





2 2





 x
2

2xy
2

y

2





1
y2



1
y2

2

x 2  y2

 x

2 2



y2

 2
2
4x y  y  x


.
2
2 4
y2
x y 


u u v v
y2  x 2
2xy


2
x y x xy
x 2  y2
x 2  y2



2 4

2

2

2

y



2 2

 0.

Vậy phép biến đổi (4) là phép biến đổi đẳng cự.
5. Phép biến đổi (5) được viết dưới dạng h 5  z  

az  b
.
cz  d

Xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp c = 0, khi đó

az  b a
b
 z
cz  d d
d
do ad − bc = ad > 0 và

b

d

. Khi đó ta có

 a  az  b

h1◦ h 2  z   h1  z  
 h5  z  .
d
d 
Vậy (5) là tích 2 phép biến đổi đẳng cự. Hay (5) là phép biến đổi đẳng cự.
19


b) Trường hợp c  0, ta có

d
ad

az    b 
az  b
1
ad  bc
c
c a ad  bc
, do ad − bc > 0 nên
> 0.
 
 
2
2
d
d
cz  d
c



c
c
c z  
 z  
c
c


Từ đó (5) là tích các phép biến đổi đẳng cự h1, h2, h3, h4 của (H2, , H ) như sau:

d 3)
1

d
c

 z  
c

ad  bc
1
a ad  bc
1
az  b
2)
1)




 

.
2
2
d
d  cz  d
c


c
c
 z  
 z  
c
c



4)
z 
z 

Do đó (5) là phép biến đổi đẳng cự.
6. Phép biến đổi (6) được đưa về dạng h 6  z  

az  b
.
cz  d

Xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp c = 0, khi đó

az  b a
b
a
 z  , do ad − bc = ad < 0 và   0 .
d
d
cz  d d
Vậy (6) là tích của các phép biến đổi đẳng cự h1, h2, h3, h4 của (H2, , H ) như sau:

b az  b
 a
 a
3)
2)
1)
z 
z 
   z 
    z  
d cz  d
 d
 d

 

 

Nên (6) là phép biến đổi đẳng cự của (H2, , H )
b) Trường hợp c  0, ta có

(ad  bc)
az  b a (ad  bc) 1
,
do
ad
−
bc
>
0
nên
 0.
 
2
c
cz  d c
c2
c
z 
d
Từ đó (6) là tích của các phép biến đổi đẳng cự h1, h2, h3, h4 của (H2, , H ) như sau:

  ad  bc  1
d 4)
1
a   ad  bc  1
az  b
1)

2)
1
z 
 z  







. Do
2
2
d
d
d cz  d
c
c
c
c
z
z
z
c
c
c
đó (6) là phép biến đổi đẳng cự của (H2, , H ).
20

2.1.3.3. Mệnh đề. (xem [4]: Tính bất biến của phép biến đổi đẳng cự)
a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O
tỉ số a 



bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và

đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ).
b) Tồn tại phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích dương biến đường dạng b (ảnh của
nửa đường tròn mở trực giao với Ox) thành đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở
trực giao với Ox).
Chứng minh:
a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O
tỉ số a 



bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và

đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ).
Thật vậy:

z  a a 

i) Ánh xạ f : z

 là phép tịnh tiến với phương song song Ox mà
z  a z  a   k z  a   k z  a   k2  R2

f : z.z  k.z  k.z  k 2  R 2  0

= z.z  az  az  a 2  kz  ka  kz  ka  k2  R 2
= z.z  (a  k).z  (a  k).z  (a  k)2  R 2  0
_

f : z  z  2b  0

z  a  z  a  2b = z  z 2a  2b  0 .

ii) Ánh xạ f : z



az a 

f : z.z  k.z  k.z  k 2  R 2  0



 là phép vị tự tâm O tỉ số a mà
az.az  kaz  kaz  k 2  R 2
= a 2z.z  ak.z  ak.z  k2  R 2  0 .

_

_

f : z  z 2b  0

a z  az 2b  0 .

iii) Ánh xạ f : z

z là phép đối xứng qua trục Oy mà

f : z.z  k.z  k.z  k 2  R 2  0

z. z   kz  kz  k 2  R 2
= z.z  k.z  k.z  k 2  R 2  0

_

f: z  z 2b  0

_

z  z  2b  0  = z  z 2b  0 .

Do đó: Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự
tâm O tỉ số a 



bảo tồn đường dạng a và đường dạng b.

21

b) Ánh xạ f : z

1
là phép nghịch đảo tâm O, phương tích 1 mà:
z
1 1
1
1
.  k  k  k2  R2  0
z
z z
z

f : z.z  k.z  k.z  k 2  R 2  0

k



2



 R 2 z.z  kz  kz  1
z.z

0



 k 2  R 2 z.z  k.z  k.z  1  0
_

Nếu k = R thì f: zz  Rz  R z  0

_

Rz  R z 1  0

Tức là khi đó phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích 1 sẽ biến đường dạng b thành
đường dạng a.
2.2. Đĩa Poincaré
2.2.1. Đĩa Poincaré (xem [1])
Kí hiệu D là hình tròn mở, tâm O, bán kính 1 trong
D = {(x,y) 

2

2

,

/x2 + y2 < 1} = {z = x + iy  / |z| =

x 2  y2  1 }.

Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phẳng Poincaré, ta có D là một đa tạp Riemann
2-chiều với cấu trúc Riemann , D = ψ.can, trong đó   x, y  

1   x

4
2

y

2



2

và can là

cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích vô hướng thông thường trong

2

. Ta

gọi D với cấu trúc Riemann nói trên là đĩa Poincaré, kí hiệu (D, , D ).
2.2.2. Vi phôi đẳng cự giữa nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré (xem [1])
Kết quả dưới đây cho ta mối liên hệ vi phôi đẳng cự giữa nửa phẳng Poincaré và đĩa
Poincaré.
Định lí : Đĩa Poincaré (D, , D ) vi phôi đẳng cự với nửa phẳng Poincaré (H2, , H2 ).
Chứng minh.
Ta chứng minh tồn tại một ánh xạ f từ D vào H2 là song ánh, khả vi, ánh xạ ngược khả vi và
f là một phép biến đổi đẳng cự.
Thật vậy, xét tương ứng

f : D  H2 , z

f (z) 

zi
.
iz  1

1. Chứng minh f là ánh xạ từ D vào H2.
22


Do với mỗi z = x + iy  D, ta có x2 + y2 < 1 nên

f (z) 

z  i x  i  y  1  x  i  y  1   1  y   ix 


iz  1 1  y  ix
1-y 2  x 2



2x

i

1-y 2  x 2

Với u 



1  x 2  y2

  u  iv.

1-y 2  x 2

2x

1-y 2  x 2



1  x 2  y2

 , v

1-y 2  x 2

  0.

Hay f(z) = u + iv  H2.
2. Chứng minh f là song ánh.
Xét tương ứng

g : H2  D, 

g() 

  i
.
i  1

Ta có g là ánh xạ từ H2 vào D.
Thật vậy, với mỗi ω = u + iv  H2, do u, v  R và v > 0 nên

g() 

  i u  iv  i u  i 1  v   u  i 1  v   1  v  iu 



i  1 i  u  iv   1  1  v   iu
1  v 2  u 2



2u

1  v   u 2
2

với x 

i

u 2  v2  1

 x  iy ,

1  v   u 2
2

2u

1  v 2  u 2

u 2  v2  1

 , y

1  v 2  u 2

 .

Ta cần chứng minh x + iy  D tức là x2 + y2 < 1.
Thật vậy, xét biểu thức

x 2  y2  1 



1  v  u 
2





4u 2  u 2  v2  1
2

2

2

1



4u 2  u 4  v4  1  2u 2 v2  2v2  2u 2  1  2v  v2  u 2

1  v  u 
2



2

2

  0.

4v u 2  v2  2v  1
Do v > 0 nên

1  v

2

 u2



2

23



2





.

4v u 2  v2  2v  1

1  v

2

 u2



2


Hay x2 + y2 − 1 < 0. Suy ra x2 + y2 < 1.
Vậy g(ω) = x + iy  D.
Xét các ánh xạ tích g ◦ f: D → D và f ◦ g : H2 → H2. Ta có

 zi 

  i z  i  z  i
iz  1 

(g ◦ f)(z) = g(f(z)) =

 z, z  D.
iz  1  iz  1
 zi 
i
 1
 iz  1 
Nên g ◦ f = idD.
Tương tự

z  i
i
z  i  z  i
iz

1

(f ◦ g)(z) = f(g(z)) =

 z, z  H2 .

z

i
iz  1  iz  1


i
 1
 iz  1 
Nên f ◦ g = id H2 .
Suy ra f là song ánh từ D lên H2 và có ánh xạ ngược là g.
3. Chứng minh f khả vi trên

2

.

Do f là hàm phân thức hửu tỷ nên khả vi trên tập xác định của nó.
Vậy f là một vi phôi từ tập mở D lên tập mở H2 của

2

do f và g đều khả vi.

4. Chứng minh f là một phép đẳng cự.
Thật vậy, gọi {E1, E2} là trường mục tiêu song song chính tắc trên D 

Ta cần chứng minh
2
2
2
 u 2
v   1   u   v   1
4



       2         2 
  y   y   v
  x   x   v
1  x 2  y2



 u u v v


 0.
 x y x y

 

Ta có

1  y   x 2  2x 2
1  y  x2



u
2
2
2
2
2
x
2
1  y   x
1  y 2  x 2
2

2



u

y







4x 1  y 

1  y2  x2 

2

24



2

;

2

.




     4x 1  y


1  y  x 
v 2y  1  y   x   2  y  1 1   x  y   2  x  1  y  


.
y
1  y  x 
1  y  x 
4  1  y   x   16x  y  1

  u   v  
1
1

     
  x   x   v  x, y 


1   x  y 
1  y  x 
4  1  y   x 
4  1  y   2x 1  y   x 


1  y  x  1   x  y  1  y  x  1   x  y 
2
2
2
v 2x 1  y   x  2x 1  x  y

2
x
1  y 2  x 2
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2



1   x

2

2

4

2

2

y

2



2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.





2

4 1  y   x 2  16x 2  y  1
  u 2  v 2 
1
1
      2

2
  y   y   v  x, y 

1  x 2  y2


1  y 2  x 2







2



4

1   x



 

y

2

4 1  y   x 2

2

2

4
2

2




 x  1   x  y  
1  y  x  1   x  y 

4 1  y   2x 2 1  y   x 4

1  y2



2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

Do đó

  u 2  v 2  1   u 2  v 2  1
1
      2        2 
  x   x   v   y   y   v


1  x 2  y2



 



2









2

2
2
u u v v 8 1  y   x x 1  y   8 x  1  y  x 1  y 


 0.
4
2
x y x y
2
1  y   x
2



Hay f thoả mãn điều kiện đẳng cự.

25

2



2



2