Nghiên cứu điều kiện tồn tại soliton trong môi trường sợi quang phi tuyến bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ LÀI

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI SOLITON
TRONG MÔI TRƯỜNG SỢI QUANG PHI TUYẾN BẬC CAO
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Vũ Ngọc Sáu

Vinh 2013


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học –
Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Vũ Ngọc
Sáu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì
những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu
vừa qua.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, PGS. TS.
Hồ Quang Quý, TS. Nguyễn Văn Phú, cùng các thầy, cô giáo ở khoa Vật lý,
khoa đào tạo Sau đại học, các cán bộ tham gia giảng dạy tại lớp cao học và
các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn
này.
Tác giả cảm ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia đình

trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.
Cuối cùng xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và người thân lòng biết ơn
chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.
Vinh, Tháng 6, năm 2013
Lê Thị Lài


3
MỤC LỤC
Trang

MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT
NLSE

Nonlinear Schrodinger

Phương trình Schrodinger phi

GNLSE

Equation.
Generalized Nonlinear

tuyến
Phương trình Schrodinger phi

GVD
SPM
TOD
SS

SRS
FWHW

Schrodinger
Group Velocity Dispersion
Self Phase Modulation
Third-Order Dispersion
Self- Steppening
Stimulated Raman Scatering
Full Width at Half Maximum

tuyến suy rộng
Tán sắc vận tốc nhóm
Tự biến điệu pha
Tán sắc bậc ba
Tự dựng xung
Tán xạ Raman cưỡng bức
Độ rộng toàn phần tại một

Root-mean-square

nửa cực đại xung
Độ rộng căn quân phương.

RMS


4

LỜI MỞ ĐẦU

Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi trường vật chất là
một trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học. Kể từ khi laser ra đời
vào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc và có
nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thông
tin quang. Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối tượng
trực tiếp của các quá trình nghiên cứu. Sự ra đời của nó đã cải tạo mạng lưới
thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âm
thanh có thể truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi do tốc độ
truyền thông tin là rất lớn, sự tổn hao trong quá trình lan truyền thấp. Đặc
biệt, tính ổn định của tín hiệu được truyền đi là rất cao và hầu như không bị
méo. Tính chất này được tạo ra bằng cách sử dụng các Soliton quang học để
truyền thông tin.
Soliton quang học là đối tượng của nhiều nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng
như thực nghiệm trong suốt ba thập kỷ qua bởi những ứng dụng mạnh mẽ,
tiềm tàng trong truyền đạt thông tin đường dài và toàn bộ các thiết bị chuyển
mạch quang cực nhanh. Soliton quang học trong một sợi điện môi được đề
xuất lần đầu tiên vào năm 1973 bởi Hasegawa và Tappert [4], được làm thí
nghiệm kiểm tra bởi Moollenauer vào năm 1980 [5]. Sự tồn tại dạng xung
Soltion trong sợi quang là nội dung quan trọng trong nghiên cứu quá trình lan
truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến nói chung và trong sợi
quang đơn mode nói riêng..
Vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên phương trình Schrodinger phi tuyến
chỉ mô tả gần đúng sự biến đổi hàm bao của các xung laser ngắn (có độ rộng
phổ cỡ ps) hoặc lớn hơn, còn các xung cực ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) sẽ có sự
sai lệch khi mô tả bằng phương trình Schrodinger phi tuyến. Do đó, đối với


5
các xung cực ngắn, ta cần phải kể đến các khai triển bậc cao hơn. Lúc này, lan
truyền của xung cực ngắn được mô tả bởi phương trình Schrodinger phi tuyến

suy rộng. Trong phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, ta đưa vào các
hiệu ứng phi tuyến bậc cao như : tán sắc bậc ba, tự dựng xung , tán xạ Raman
cưỡng bức. Mỗi hiệu ứng sẽ ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang,
đóng vai trò là nhiễu khi ta xem xét chúng độc lập. Tuy nhiên, khi xét đồng
thời ảnh hưởng của các hiệu ứng kể trên, lời giải phương trình Schrodinger
phi tuyến suy rộng vẫn có thể cho ta dạng Soltion lan truyền trong sợi quang,
mặc dù điều kiện để có lời giải Soliton sẽ có phần hơi khác.
Vì vậy, mục đích của đề tài là bằng phương pháp giải tích- khai triển
Jacobian, giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, và bằng phương
pháp sử dụng ansatz biên độ phức , giải phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao, tìm ra lời giải Soltion khi xét đồng thời một số hiệu ứng bậc cao.
Xuất phát từ lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài:
“Nghiên cứu điều kiện tồn tại các Soliton trong môi trường sợi
Quang phi tuyến bậc cao”.
Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương 1: Sử dụng hàm jacobien của phương trình Schrodinger phi
tuyến để tìm nghiệm soliton
Trình bày tổng quan về soliton quang học, hàm jacobien tổng quát của
phương trình Schrodinger và các điều kiện tồn tại soliton quang học.
Chương 2: Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến bậc cao
lên quá trình lan truyền soliton
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan
truyền Soliton và khảo sát ảnh hưởng đồng thời của các hiệu ứng tán sắc và
phi tuyến bậc cao lên sự lan truyền soliton trong sợi quang.


6

CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM JACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER PHI TUYẾN ĐỂ TÌM NGHIỆM SOLITON

1.1

Soliton quang học.

1.1.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học.
Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì hình dạng
của nó liên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các
vận tốc nhóm khác nhau. Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình tự biến
điệu pha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đổi. Quan hệ giữa hiệu
ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho xung giãn
rộng ra hoặc co ngắn lại tùy thuộc vào độ lớn và chiều dài hai hiệu ứng nói
trên.Trong một điều kiện nhất định thì hình dạng ban đầu của xung sẽ giữ
nguyên không đổi trong quá trình xung lan truyền. Điều này xảy ra khi hai
hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha tự bù trừ lẫn
nhau. Các xung ổn định như vậy được gọi là các sóng cô đơn hay còn gọi là
Soliton. Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lan truyền qua
nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ có sự dịch pha
do quá trình tương tác. Do vậy, nó vẫn tiếp tục lan truyền như những thực tại
độc lập.
Xét xung vào dạng Gauss không chirp với tần số dao động là ω0 và tần số
được giữ nguyên trên toàn bộ xung.
Nếu xung này lan truyền qua sợi quang trong chế độ tán sắc dị thường.
Khi đó tần số phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số phần đuôi xung. Các thành
phần tần số lớn hơn sẽ lan truyền với vận tốc nhanh hơn một ít so với các
thành phần tần số nhỏ hơn. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ rộng hơn tín
hiệu ban đầu và trên xung bị dịch tần.
Bây giờ ta giả sử xung lan truyền trong sợi quang phi tuyến không tán

sắc, xung sẽ chịu ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần có giá


7
trị âm ở phần đầu xung và có giá trị dương ở phần cuối xung. Do đó, tần số ở
phần đầu xung sẽ bé hơn tần số ở phần đuôi xung.
Sự lan truyền xung chịu ảnh hưởng độc lập mỗi hiệu ứng được mô tả như
hình H 1.1. Trong hình này xung vào ban đầu là xung dạng Gauss không
chirp, khi lan truyền trong môi trường tuyến tính, xung chỉ chịu ảnh hưởng
của hiệu ứng GVD và sẽ bị mở rộng. Ở chế độ tán sắc dị thường xung bị nén
lại ở phần cạnh trước (tần số dịch về phía sóng xanh) và giãn ra ở phần cạnh
sau (tần số dịch về phía sóng đỏ). Nhưng khi xung lan truyền trong môi
trường phi tuyến không tán sắc, do ảnh hưởng của hiệu ứng SPM, nó sẽ làm
mở rộng xung, lúc này xung bị nén lại ở phần sau và giãn ra ở phần trước của
xung.
Khi xung lan truyền trong sợi quang chịu ảnh hưởng đồng thời bởi hai
hiệu ứng nói trên, với ảnh hưởng có tính trái ngược nhau, kết quả là trong một
điều kiện nhất định nào đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng GDV
và SPM tự cân bằng nhau. Tổng hợp của hai hiệu ứng sẽ làm cho xung không
thay đổi.

H 1.1
1.1.2 Lời giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một)
Một phương pháp cơ bản áp dụng để giải phương trình Schrodinger phi
tuyến là phương pháp tán xạ ngược. Phương pháp này được Zakharov và
Shabat giải vào năm 1971 [3].


8
Phương pháp này tương tự như phép biến đổi Fourier được sử dụng để

giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính. Sự tương tự đó là tìm
ra bài toán tán xạ thích hợp mà thế của nó chính là nghệm. Trường tới tại z=0
được dùng để tìm dữ liệu tán xạ ban đầu, sự tiến triển của chúng theo z được
xác định bằng việc giải các bài toán tán xạ tuyến tính. Sự lan truyền của
trường được xây dựng lại từ sự tiến triển của các dữ liệu tán xạ.
Ta sẽ phi thứ nguyên hóa bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ
nguyên:
U=

A
z
T
, ξ=
, τ=
P0
LD
T0

(1.1)

Trong đó, P0 là đỉnh công suất xung, T0 là độ rộng xung, LD là chiều dài
tán sắc. Sử dụng các biến trong (1.1), ta dễ dàng đưa về phương trình NLS phi
thứ nguyên sau:
∂U
1 ∂2U
2
i
= sgn(β2 )
− N2 U U
2

∂ξ
2 ∂τ
với

L D γP0T0 2
N =
=
L NL
β2
2

(1.2)
(1.3)

Ta có thể khử được thông số bằng cách đưa vào biến:
u = NU = γL D A

(1.4)

Phương trình (1.2) có thể đưa về dạng phương trình NLS chính tắc
không thứ nguyên.
i

∂u 1 ∂ 2 u
2
+
+ u u=0
2
∂ξ 2 ∂τ

(1.5)

Trong (1.5) ta đã chọn sgn( β 2 )=-1 (xung lan truyền trong chế độ tán sắc
dị thường). Từ phương trình (1.5) ta có hệ thức tỉ lệ quan trọng, nếu u (ξ ,τ ) là
nghiệm của phương trình thì εu(ε 2ξ, ετ) cũng là nghiệm của phương trình, với
ε là một thừa số tỉ lệ tùy ý. Trong phương pháp tán xạ ngược bài toán tán xạ

liên quan với phương trình (1.5) là:


9
i

∂ν1
+ uν 2 = ζν1
∂τ

(1.6)

i

∂ν 2
+ u*ν1 = ζν 2
∂τ

(1.7)

trong đó, ν1 , ν 2 là biên độ của hai sóng tán xạ bởi thế u(ξ, τ) . Giá trị
riêng ζ có vai trò tương tự như vai trò của tần số trong giải tích Fourier, ngoại
trừ ra rằng ζ có thể nhận giá trị phức khi u ≠ 0 . Đặc trưng này có thể được

nhận ra bởi sự chú ý rằng trong trường hợp u=0 thì ν 1 ,ν 2 biến thiên theo
exp(±iζτ) .
Phương trình (1.6), (1.7) được áp dụng cho mọi giá trị của ξ . Trong
phương pháp tán xạ ngược, đầu tiên chúng được giải tại ξ =0. Từ dạng ban
đầu của u (0,τ ) , giải hệ hai phương trình trên để tìm dữ liệu tán xạ ban đầu.
Bài toán tán xạ một chiều được đặc trưng bởi hệ số tán xạ r (ζ ) , nó có
vai trò tương tự như hệ số khai triển Fourier. Sự kết hợp của các trạng thái
liên kết (Soliton) tương ứng với các cực của r (ζ ) trong mặt phẳng phức ζ .
Bởi vậy, dữ liệu tán xạ ban đầu bao gồm các hệ số tán xạ r (ζ ) , các cực phức
ζ j , và các thặng dư cj , trong đó, j=1 đến N nếu có N như vậy tồn tại. Mặc dầu

thông số N không nhất thiết phải là một số nguyên, kí hiệu tương tự chỉ nhằm
nhấn mạnh rằng giá trị nguyên của nó được xác định bằng số cực.
Sự tiến triển của dữ liệu tán xạ dọc theo chiều dài ống được xác định
bằng các kĩ thuật quen biết. Nghiệm mong muốn u (ξ ,τ ) được xây dựng lại từ
sự tiến triển của dữ liệu tán xạ bởi sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Bước
này đòi hỏi nhiều tính toán phức tạp. Tuy nhiên trong trường hợp đặc biệt,
trong đó r (ζ ) triệt tiêu với thế ban đầu u (0,τ ) thì nghiệm u (ξ ,τ ) có thể xác
định bằng cách giải hệ các phương trình đại số. Trường hợp này tương ứng
với các Soliton. Bậc của Soliton được đặc trưng bởi số cực N, hoặc các giá trị
riêng ζ j , (j=1,N). Nghiệm tổng quát có dạng:


10
N

u(ξ, τ) = −2∑ λ j*ψ 2 j*

(1.8)

j=1

λ j = c j exp(iζτ + iζ 2ξ) ,

với

(1.9)

ψ 2 j* được xác định bởi giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau:
N

λ j*λ k

k =1

ζ j* − ζ k

N

λ j*λ k

k =1

ζ j* − ζ k

ψ1j + ∑
ψ

*
2j

+∑

ψ2 j = 0

(1.10)

ψ1j = 0

(1.11)

Giá trị riêng ζ j nói chung là các số phức ( 2ζ j = δ j + iη j ). Về ý nghĩa vật
lí, phần thực δ j đưa tới sự thay đổi vận tốc nhóm của thành phần thứ j của
Soliton. Đối với Soliton bậc N thì mọi thành phần của nó phải cùng chuyển
động với một vận tốc, bởi vậy mọi giá trị riêng ζ j cần cùng nằm trên một
đường thẳng song song với trục ảo, nghĩa là δ j = δ; ∀j .
Soliton bậc một tương ứng với trường hợp chỉ có một cực ζ j (N=1). Nó
được cho là Soliton cơ bản vì dạng của nó không thay đổi trong quá trình lan
truyền. Sử dụng các phương trình (1.8)-(1.11) với j=k=1 ta có:
N

λ j*λ k

k =1

ζ j* − ζ k

N

λ j*λ k

k =1

ζ j* − ζ k

ψ11 + ∑
ψ

*
21

+∑

ψ 21 = 0

(1.12)

ψ11 = 0 .

(1.13)
2ζ1 = δ + iη ⇒ ζ1 − ζ1* = iη.

Để ý:

4

Giải hệ (1.12)-(1.13) tìm được ψ 21* = λ*1 (1 + λ1 / η2 ) −1 thay vào (1.8)
tìm được:
4

u(ξ, τ) = −2(λ1* ) 2 (1 + λ1 / η2 ) −1

(1.14)


11
Sử dụng (1.9) cho λ1 với ζ1 = (δ + iη) / 2 và đưa vào các thông số τ s và
φs qua −c1 / η = exp(ητs − iφs ) ta có:

1
1

λ1 = c1 exp  (−ητ + iδτ) + (i(δ 2 − η2 ) − 2δη)ξ 
4
2

i
1
 1

= c1 exp  − (ητ + iδηξ) + (δτ + (δ 2 − η2 )ξ) 
2
2
 2

λ1λ*1 = c1c*1 exp[ − (ητ + δηξ)]=η exp[−η( τ − τs + δξ)]
λ 41 = (λ1λ*1 ) 2 = η2 exp[ −2η(τ − τs + δξ)]

1



(λ*1 ) 2 = c*1 exp  −(ητ + δηξ) − i(δτ + (δ 2 − η2 )ξ) 
2


  (δ 2 − η2 )

= −η exp[−η(τ − τs + δξ)]exp i 
ξ − δτ + φs ÷
2


Từ đó ta nhận được nghiệm
  ( δ 2 − η2 )

2η exp[ −η( τ − τs + δξ)]exp i 
ξ − δτ + φs ÷
2


u(ξ, τ) =
1 + exp[ − 2η(τ − τs + δξ)]
Nhân cả tử và mẫu với 1/ 2exp[−η(τ − τs + δξ)] ta có nghiệm Soliton cơ
bản của phương trình NLS có dạng:
 ( δ 2 − η2 )

u(ξ,τ)=ηsech[η(τ-τs + δξ)]exp i
ξ − δτ + φs ) 
2




(1.15)

trong đó, η , δ , τ , φs là bốn thông số tùy ý đặc trưng cho Soliton. Mỗi sợi
quang sẽ có một họ bốn thông số của Soliton cơ bản.
Bây giờ ta sẽ khảo sát ý nghĩa vật lý của bốn thông số của Soliton nói
trên. Bốn thông số η , δ , τs , φs tương ứng với biểu diễn biên độ, độ dịch tần
số, tọa độ và pha của Soliton tương ứng


12
Pha φs có thể được bỏ qua, bởi vì một hằng số pha là không có ý nghĩa
vật lí. Nó chỉ trở nên quan trọng khi khảo sát sự tương tác phi tuyến giữa các
Soliton.
Thông số τ s xác định tọa độ đỉnh của Soliton, nó cũng có thể được bỏ
qua. Thật vậy, nếu như gốc thời gian ta chọn sao cho đỉnh của Soliton tại
ξ = 0 khi τ = 0 thì τs = 0 .

 (δ 2 − η2 )

ξ − δτ + φs )  = exp[iφ] trong (1.15) nếu lấy
Từ thừa số pha exp i
2


đạo hàm theo τ được −dφ / dτ = δ . Nên thông số δ biểu diện độ dịch chuyển
tần số của Soliton so với tần số sóng mang của trường quang học ban đầu là
ω0 . Chú ý đến thành phần biểu diễn tần số của trường là exp[−iω0 t] thì tần số

mới của trường sẽ là:
ω'0 = ω0 −

1 dφ
δ
= ω0 +
.
T0 dτ
T0

(1.16)

Cần chú ý rằng sự dịch chuyển tần số cũng làm thay đổi tốc độ lan truyền
của Soliton so với gốc tọa độ ta đã chọn chuyển động với giá trị vận tốc V g.
Điều đó có thể thấy rõ khi thay τ = (t − β1 z ) / T0 vào (1.14) và có thể viết lại nó
như sau:
  τ − β1z
β z 
u(z, τ) = η sec h η 
+ δ 22 ÷ = η sec h[η(τ − β1'z) / T0 ]
T 0 
  T0

(1.17)

'
2
với β 1 = β1 + δ β2 / T 0 , do đó, vận tốc nhóm vg=1/ β1 cũng thay đổi. Sự

thay đổi vận tốc nhóm là hệ quả của sự tán sắc trên sợi quang. Thông số độ

dịch tần δ cũng có thể được bỏ qua bằng cách chọn tần số sóng mang thích
hợp.
Như vậy, Soliton cơ bản chỉ có một thông số được mô tả bởi:
1

u(ξ, τ) = η sec h(ητ)exp  iη2ξ 
2


(1.18)


13
thông số η không chỉ xác định biên độ của Soliton mà còn xác định độ
rộng của nó. Trong hệ đơn vị đo thực, độ rộng của Soliton thay đổi cùng với
η theo hệ thức T0/ η , nghĩa là độ rộng của Soliton tỉ lệ nghịch với biên độ của

Soliton. Mối liên hệ tỉ lệ nghịch giữa biên độ và độ rộng của Soliton là quyết
định chủ yếu hầu hết các tính chất của các Soliton.
Dạng chính tắc của Soliton cơ bản có thể nhận được bởi chọn u(0,0)=1
và η =1. Với lựa chọn này (1.2) sẽ trở thành
1 
u(ξ, τ) = sec h( τ)exp  iξ 
2 

(1.19)

1.1.3 Soliton bậc cao (lời giải N Soliton)
Soliton bậc cao được mô tả bởi nghiệm tổng quát của phương trình (1.5)
và cho bởi (1.8). Sự tổ hợp giữa các giá trị riêng η j và các cực cj một cách

tổng quát đưa tới vô số các trạng thái khác nhau của Soliton. Nếu Soliton
được giả thiết là đối xứng qua τ = 0 thì các cực có quan hệ với các giá trị
riêng theo hệ thức

∏
=
∏

N

cj

(η j + ηk )

k =1
N

k =1

(1.20)

η j −ηk

Điều kiện này cho phép chọn ra một tập hợp con của mọi Soliton có thể
có. Một trong số tập hợp con này có một cực đặc biệt đóng vai trò của Soliton
mà dạng ban đầu của nó tại ξ = 0 cho bởi
u(ξ, τ) = Nsec h(τ)

(1.21)

trong đó, bậc của Soliton N là một số nguyên. Đỉnh công suất của xung
2
đưa vào sợi quang phải thỏa mãn điều kiện N 2=LD/LNL= γp0T0 / β2 và nó

bằng N2 lần điều kiện yêu cầu cho Soliton cơ bản.
Đối với Soliton bậc hai (hay còn gọi là lời giải hai Soliton) thì N=2. Sử
dụng phương trình (1.9) với ζ1 = i / 2(η1 = 1) và ζ 2 = 3i / 2(η2 = 3) cho hai giá
trị

riêng

( δ = 0 ).

Theo

(1.20)

ta

có

C1=4

và

c2=12

từ

đó

14
λ = 2exp(−τ / 2 − iξ / 4) và λ = 2 3 exp(−3τ / 2 − i9ξ / 4) . Sử dụng các
1
1
phương trình (1.9) và (1.11) ta có hệ bốn phương trình sau
ψ11 − 4ie −τψ*21 − i2 3e −2 τ+2iξψ*22 = 0
ψ12 − 2 3ie −2 τ−2iξ ψ*21 − 4ie −3τψ*22 = 0
ψ

*

ψ

*

−τ

21

22

− 4ie ψ
− 2 3ie

*
11

− i2 3e

−2 τ+ 2iξ

−2 τ− 2iξ

ψ12 = 2e

−3 τ

(1.22)
 τ ζ
 − +i ÷
 2 4

ψ11 − i4e ψ12 = 2 3e

 3τ 9 ζ 
 − +i ÷
4 
 2

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được ψ*21; ψ*22 ; ψ11; ψ12 .
Dạng hàm bao các Soliton bậc cao thay đổi liên tục, tuy nhiên sau những
quãng đường lan tuyền nhất định dạng của nó lại trở như ban đầu. Một tính
chất quan trọng của nghiệm Soliton bậc hai đó là u (ξ ,τ ) có chu kì tuần hoàn
theo ξ với chu kì ξ0 = π / 2 . Sử dụng ξ =z/LD ta có chu kì của Soliton trong
π
π T0 2
z0 = LD =
2

2 β2

đơn vị thực là:

(1.23)

Hình H 1.2 mô tả dạng Soliton bậc hai thay đổi theo chu kì trong suốt
quá trình lan truyền. Xung vào có dạng Gauss. Trong quá trình lan truyền,
dạng của xung bị thay đổi. Nhưng sau một quãng đường nhất định (một chu
kì Soliton), dạng của xung lại trở về giống như ban đầu.

│u(ξ,τ│


15

ξ
τ
H 1.2 Dạng Soliton bậc hai thay đổi theo chu kì trong
suốt quá trình lan truyền
1.1.4 Soliton tối.
Nghiệm Soliton trong phương trình (1.8) không phải là nghiệm Soliton
duy nhất. Rất nhiều dạng Soliton được tìm ra, nó phụ thuộc vào tính chất phi
tuyến và tính chất tán sắc của sợi quang. Trong mục này sẽ xét dạng Soliton
tối.
Soliton tối là nghiệm Soliton của phương trình (1.7) tương ứng với
trường hợp sgn( β 2 )=1, nghĩa là xung lan truyền trong chế độ tán sắc thường
của sợi quang. Đặc điểm của dạng Soliton này là cường độ của nó là một
hằng số, nhưng trong một khoảng thời gian ngắn nó giảm xuống bằng không
(tạo thành một cái hố sâu) nhưng sau đó lại trở lại không đổi. Vì vậy, nó được

gọi là Soliton tối. Còn Soliton ở các mục trước được gọi là Soliton sáng.
Phương trình NLS mô tả quá trình lan truyền Soliton tối nhận được từ
(1.10) khi ta đổi dấu số hạng đạo hàm theo thời gian (sgn( β 2 )=1).
∂u 1 ∂ 2 u
2
i −
+ u u=0
2
∂ξ 2 ∂τ

(1.24)

Tương tự như trường hợp Soliton sáng , phương pháp tán xạ ngược cũng
có thể dùng để tìm nghiệm Soliton cho (1.24). Tuy nhiên, cũng có thể tìm
nghiệm bằng phương pháp giải tích bằng việc giả thiết có tồn tại nghiệm


16
Soliton dạng u(ξ, τ) = V(τ)exp[iφ(ξ, τ)] . Hàm V(τ) trong trường hợp này là
một hằng số khi τ → ∞ . Thay u(ξ, τ) vào (1.24) và cân bằng phần thực và
phần ảo thu được hệ phương trình cho V (τ ) và φ (ξ ,τ )
2

∂ 2V
∂φ
 ∂φ 
2V − 2 + V  ÷ − 2V = 0
∂τ
∂ξ
 ∂τ 

(1.25)

∂V ∂φ
∂ 2φ
2
+V 2 =0
∂τ ∂τ
∂τ

(1.26)

3

Nghiệm tổng quát của hệ (1.25), (1.26) có dạng
V(τ) = η(1 − B2 sec h 2 [ηB(τ − τs )]1/2

(1.27)

 B tanh(ηBτ) 
1
φ(ξ, τ) = η2 (3 − B2 )ξ + η 1 − B2 τ + arctg 
÷
2
1 − B2 


(1.28)

các thông số η và τ s biểu diễn biên độ của Soliton và vị trí (tọa độ) của

hố tương ứng. Tương tự như trong trường hợp Soliton sáng ta có thể chọn
τ s = 0 mà không mất đi tính tổng quát.

Trong nghiệm Soliton xuất hiện thông số mới là B. Về ý nghĩa vật lí của
B là độ sâu của hố trũng ( B ≤ 1 ). Trong trường hợp B=1 cường độ tại tâm hố
trũng sẽ bằng không, còn các giá trị khác của B cường độ tại tâm hố trũng sẽ
lớn hơn không. Trường hợp B < 1 thì gọi là Soliton tối. Còn trường hợp B=1
gọi là Soliton sáng.

H 1.3 Dạng của Soliton tối không đổi trong quá trình
lan truyền


17

1.2. Hàm jacobien tổng quát của phương trình Schrodinger.
Sự lan truyền của xung femto giây trong các sợi quang được mô tả thông
qua phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, trong đó bao hàm các hiệu
ứng bậc cao như tán sắc bậc hai và bậc ba, Sự tự biến điệu pha bậc hai và bậc
ba, sự tự dựng xung và tán xạ Raman cưỡng bức. Trong trường hợp tổng quát,
phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng không khả tích hoàn toàn. Vì
vậy, lời giải soliton chỉ tìm được trong những điều kiện cụ thể của từng bài
toán. Rất nhiều phương pháp bao gồm các phương pháp số và các phương
pháp giải tích đã được sử dụng để giải phương trình Schrodinger phi tuyến
suy rộng này. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển Jacobien để
tìm nghiệm soliton cho phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng.
Xét xung ngắn cỡ femto giây lan truyền trong sợi quang đơn mode. Sự
thay đổi của hàm bao U của xung khi đó được mô tả bởi phương trình
Schrodinger phi tuyến suy rộng:
2

∂ ( U U)
∂U
∂U
∂2U
∂3U
2
= i(α1 2 + α 2 U U) + α 3 3 + α 4
+ α5U
∂z
∂t
∂t
∂t
∂t

2

(1.29)

Trong đó các tham số α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 tương ứng với các hiệu ứng GVD,
SPM, TOD, SS. SRS, U là hàm bao biến thiên chậm đã được chuẩn hóa, z, t
lần lượt là tọa độ chuẩn hóa và thời gian chuẩn hóa. Ở đây, ta đã bỏ qua sự
mất mát xảy ra trong sợi quang.
Để tìm lời giải Soliton của phương trình (1.29), trước hết ta thực hiện
việc đổi biến: z,t → ξ , θ .
Khi đó hàm U(z,t) biểu diễn theo biến mới như sau:
U(z, t) = u(ξ)exp(iθ) , ξ = kz + ct + σ1 , θ = pz + qt + σ 2

(1.30)

trong đó k, c, p , q, σ1 , σ2 là các hệ số dẫn xuất từ các tham số αi , chúng
có ý nghĩa vật lý như sau: k có thứ nguyên là số sóng nên nó đặc trưng cho sự


18
lan truyền sóng, c có thứ nguyên là vận tốc lan truyền sóng, p đặc trưng cho
tốc độ thay đổi pha theo không gian, q đặc trưng cho tốc độ biến đổi pha theo
thời gian, δ1 và δ2 là hai tham số tương ứng với tọa độ ban đầu và pha ban đầu
của xung.
Trong hệ tọa độ mới, ta biểu diễn được hàm bao và các đạo hàm của
chúng dưới dạng:
2

U = U × U * = u 2 ( ξ)

(1.31)

∂U ∂u
∂exp(iθ)
= exp(iθ) + u
=  ku ' + ipu  exp(iθ)
∂z ∂z
∂z

(1.32)

∂U ∂u
∂exp(iθ)
= exp(iθ) + u
= cu ' + iqu  exp(iθ)

∂t ∂t
∂t

(1.33)

∂2U ∂
 cu ' + iqu  exp(iθ)
=
2
∂t
∂t

(

)

= c 2 u '' + 2icqu ' − q 2 u  exp(iθ)

(1.34)

∂3U ∂
c 2 u '' + 2icqu ' − q 2 u  exp(iθ)
=
3
∂t
∂t
= c3u ''' − 3cq 2u ' + i(3c 2qu '' − q 3u  exp(iθ)

(

)

(1.35)

2

∂U
∂u 2
=
= 2cuu '
∂t
∂t

(1.36)

2

∂ ( U U) ∂ 3
= (u exp(iθ)) = 3cu 2 u ' + iqu 3  exp(iθ)
∂t
∂t

(1.37)

Thực hiện thay các biểu thức từ (1.31) ÷ (1.37) vào phương trình (1.30)
ta thu được:
ku ' + ipu = i { c 2α 1u '' − α 1q 2u + α 2u 3 + 3α 3c 2qu '' − α 3q 3u + α 4qu 3} − 2α 1cqu ' +
+ α 3c3u ''' − 3α 3cq 2 u ' + 3α 4cu 2 u ' + 2α 5cu 2 u '

(1.38)

Bằng cách cân bằng phần thực với phần thực và phần ảo với phần ảo của
phương trình (1.38), thu được hệ hai phương trình sau:
ku ' + 2α1cuq ' − α 3c3u ''' + 3α 3cq 2u ' − 3α 4cu 2u ' − 2α 5cu 2u ' = 0

(1.39a)


19
pu − α1c2 u '' + α1q 2 u − α 2 u 3 − 3α 3c 2qu '' + α3q 3u − α 4qu 3 = 0

(1.39b)

Giả thiết rằng hàm u được khai triển dưới dạng:
l

u(ξ) = a 0 + ∑ Sn j−1 (ξ) a jSn(ξ) + b jCn(ξ) 
j=1

(1.40)

trong đó, Sn(ξ) = Sn(ξ,m) , Cn(ξ) = Cn(ξ,m) tương ứng là kí hiệu của
hàm eliptic dạng sin và cosin.
Dựa vào tính chất của hàm eliptic và cân bằng bậc lũy thừa khi thay
(1.40) vào (1.39a,b) ta được l =1. Do đó, trong hệ hàm cơ sở eliptic thì hàm u
được viết:
u(ξ) = a 0 + a1Sn(ξ) + b1Cn(ξ)

(1.41)

trong đó, các tham số ao, a1, b1 là các hệ số khai triển trong hệ cơ sở các
hàm Sn và Cn
Nghiệm (1.41) là dạng nghiệm tổng quát và a1, b1, c, p, q có thể xác định
được bằng cách thay (1.41) vào hệ hai phương trình (1.39a), (1.39b). Bằng
cách này, chúng ta tìm được nghiệm chính xác mô tả dạng của Soliton và điều
kiện tồn tại của nó.
1.3 Kết quả tính toán
Để dễ dàng hơn, ta xét hai trường hợp cụ thể:
Trường hợp 1) Xét trường hợp đặc biệt, khi giá trị ban đầu a 0 gần đúng
bằng 0 và chỉ chứa phần hàm Cn, nghiệm u (ξ ) trong (1.41) tương ứng có
dạng:
u(ξ) = bCn(
ξ)
1
⇒ U(z,t)=b1Cn(kz + ct + σ1 )exp(pz + qt + σ 2 )

(1.42)
(1.43)

Thực hiện tính các đạo hàm của u ta có:
u(ξ) = b1Cn(ξ) = b1Cn
u' (ξ) = − bSndn
1
2
u,'' (ξ) = bCn[1-2dn
]= u(ξ)[1-2dn 2 ]
1
2
'
2

u''' (ξ) = (− bSndn)[-1+2m
− 6m 2Cn 2 ]=u[-1+2m
− 6m 2Cn 2 ]
1

(1.44)


20
Thay (1.44) vào phương trình (1.40a) và sắp xếp lại các số hạng ta được:
[k +2α1qc + 3α 3q 2c + α 3c3 -2m 2α 3c3 ]+[6m 2α 3c3 − (3α 4c + 2α 5c) b12 ]Cn 2 = 0

(1.45)

Phương trình (1.45) có nghiệm khi các số hạng trong các dấu […] ở vế
trái phải đồng thời triệt tiêu. Vì vậy ta có:
k+2α1qc + 3α 3q 2c + α 3c3 -2m 2α3c3 = 0
 2 3
2
6m α3c − (3α 4c + 2α 5c) b1 = 0

(1.46a)
(1.46b)

Từ phương trình (1.46b) ta rút ra được:
b1 = ± 6

α3
mc
3α 4 + 2α5

(1.47)

Tương tự, thay (1.44) vào phương trình (1.40b) ta đưa về được:
[( p + q 2α1 + α 3q 2 )-α 1c 2 + 3α 3qc 2 (−1 + 2m 2 )] − [α 2 + α 4 q) b12 − 2m 2 (α 1c 2 + 3α 3qc 2 )]Cn 2 = 0

(1.48)

Phương trình (1.48) có nghiệm khi các biểu thức trong dấu […] của
phương trình (1.48) đồng thời triệt tiêu, nghĩa là:
2
2
2
2
2
[p + q α1 + α 3q ]-α1c + 3α 3qc (−1 + 2m = 0

2
2
2
2
(α 2 + α 4q) b1 − 2m (α1c + 3α 3qc ) = 0

(1.49a)
(1.49b)

Từ phương trình (1.49b) ta xác định được tham số q như sau:
α 2 b12 − 2m 2α1c 2 1 −2α1α 5 + 3α 2α 3 − 3α1α 4
= .
α 4 b1 − 6m 2c 2α 3 6

α 3 (α 4 + α 5 )

q=

(1.50)

Thay q vừa thu được ở (1.50) vào phương trình (1.46a) ta tìm k như sau:
k+2α1qc + 3α3q 2c + α 3c3 -2m 2α 3c3 = 0
Hay
1
[(-24m 2α 32α 4 2c 2m 2 − 3α12α 4 2 + 12α 32α 4 2c 2 − 8α12α 5α 4 +
12
+ 24α 32α 4α5c 2 − 48m 2α3 2α 4α 5c 2 − 6α1α 2α 3α 4 − 24m 2α3 2α5 2c 2 −

k=−

− 4α12α5 2 + 9α 2 2α32 + 12α 32α5 2c 2 )c]/(α 3 (α 4 + α 5 ) 2 ).

Để tính p, ta thay q đã tính được ở (1.50) vào (1.49a) ta thu được:

(1.51)


21
 27α13α 43 − 108α 32 c 2α1α 43 + 216α 43α 32 c 2α1m2


÷
3
2

3
2
2
2
3 2 2
 +72α1 α 4 α 5 + 324α 3 α 4 α 2 c − 648α 4 α 2α 3 m c ÷

÷
2 2
2
2
2
2
 +432α 4 c α 3 m α1α 5 − 27α 2α 3α1 α 4
÷
 −216α 2 c 2α α α 2 − 72α 2α α α α
÷
3
5 1 4
1
5 2 3 4
÷
1 
1
2 2 2
2
3 2
p=−
 +216α 4α 3 m c α 5 α1 + 648α 3 c α 5α 2α 4
÷

3
216 
÷ [α 3 (α 4 + α 5 )]
3
2
2
2
+
60
α
α
α
−
27
α
α
α
α
1
5
4
3
2
1 4

÷
 −108α 2 c 2α 2α α − 1296α α α 3m 2 c 2α
÷
3
5

1 4
4 2 3
5

÷
 −648α 2α 33m 2c 2α 52 + 16α13α 53
÷

÷
 −36α 5 2α12α 2α 3 + 27α 33α 23 + 324α 33c 2α 2α 52
÷



(1.52)

ở đây c là hằng số bất kỳ.
Khi m → 1, nghiệm (1.43) trở thành nghiệm Soliton sáng có dạng:
U(z, t) = b1Sech(kz + ct + σ1 )expi(pz+qt+σ2 )

(1.53)

với b1, k và q được xác định tương ứng theo (1.47), (1.50) và (1.51)
nhưng lấy tại giá trị m =1.
Trường hợp 2) Chúng ta giới hạn xét cho trường hợp đặc biệt, khi giá trị
ban đầu gần đúng bằng 0 và nghiệm chứa phần phụ thuộc hàm Sn.
Trong trường hợp này hàm u biễu diễn theo (1.42) sẽ trở thành
u(ξ) = a1Sn(ξ) . Khi đó, hàm bao xác định theo biểu thức (31) được viết
U(z, t) = a1Sn(kz + ct + σ1)exp [i(pz+qt+ σ 2 ) ]

(1.54)

Thực hiện tính toán các đạo hàm của u rồi thay vào các phương trình
(1.40a,b) để tính các hệ số tương tự như trong trường hợp 1, cuối cùng ta thu
được:
u(ξ) = a 1S n(ξ) = a 1S n
u' (ξ) = a 1Cndn
u,'' (ξ) = −a 1Sn[dn 2 +m 2Cn 2 ]=-u(ξ)[m 2 -1+2dn 2 ]

(1.55)

u,''' (ξ) = u' (ξ)[6m 2Sn 2 -1-m 2 ]
Thay (1.55) vào (1.40a) ta được:
k 2 +2α1 qc + 3α 3 q 2 c + α 3 c 3 +m 2α 3 c 3 = 0

(1.56a)

6m 2α 3c 3 + (3α 4c + 2α 5c)a 12 = 0

(1.56b)


22
Giải (1.56b) sẽ xác định đươc tham số a1 như sau:
a 1= ±

−6α 3
mc
3α 4 + 2α 5

(1.57)

Thay (1.57) vào (1.40a) ta thu được
[(p + q 2α1 + q 2α 3 ) − (α1c 2 + 3qα 3c 2 )(m 2 + 1)] − [(α 2 + α 4 q )a 12 +

(1.58)

m 2 (α1c 2 + 3qα 3c 2 )]Sn 2 = 0

Phương trình (1.58) có nghiệm khi tổng trong các dấu […] ở vế trái phải
đồng thời triệt tiêu. Do đó, ta thu được hệ hai phương trình sau:
(p + q 2α1 + q 2α 3 ) − (α1c 2 + 3qα 3 c 2 )(m 2 + 1) = 0

(1.59)

(α 2 + α 4 q )a 12 + m 2 (α1c 2 + 3qα 3c 2 ) = 0

Giải (1.58) với

a 1= ±

−6α 3
mc tìm q, ta thu được:
3α 4 + 2α 5

1 −2α1α 5 + 3α 2α 3 − 3α1α 4
q= .
6
α 3 (α 4 + α 5 )

(1.60)

Giải (1.56a) ta tìm được k bằng cách thay q vừa tìm được ở (1.60)
1
c (12α 32c 2 m 2α 4 2 + 24α 32c 2 m 2α 4α 5 + 12α 32c 2 m 2α 5 2 − 8α 5α12α 4
12
(1.61)
− 4α 5 2α12 − 6α1α 2α 3α 4 − 3α12α 4 2 + 12α 32α 4 2c 2

k =−

+ 24α 32c 2α 4α 5 + 12α 32c 2α 5 2 + 9α 32α 2 2 ) / (α 3 (α 4 + α 5 ) 2 )
Từ (1.58), xác định được p như sau:
1
 27α 33α 23 − 27α 2α 3α12α 4 2 − 36α 5 2α12α 2α 3 + 16α 13α 53 −
216
− 72α12α 5α 2α 3α 4 − 27α 32α 2 2α1α 4 + 60α13α 5 2α 4 + 72α 13α 4 2α 5 −

p=−

− 216α 32 c 2α 5α1α 4 2 − 108α 32 c 2α 5 2α1α 4 + 648α 33c 2α 5α 2α 4 +

(1.62)

− 324α 33α 4 2α 2 c 2 + 324α 33c 2α 2α 5 2 − 108α 3 2c 2α1α 4 3 + 27α13α 43 −
− 108α 4α 32 m 2 c 2α 5 2α1 + 648α 4α 2α 33 m 2 c 2α 5 + 324α 4 2α 2α 33 m 2 c 2 −
−216α 4 2 c 2α 32 m 2α1α 5 − 108α 3 2 c 2 m 2α1α 43 + 324α 2α 32 c 2α 5 2 m 2 

1
[α 3 (α 4 + α 5 )]3

Với c là hằng số tuỳ ý. Khi m → 1 bậc thấp nhất, lời giải tương ứng trở
thành một lời giải có dạng Soliton tối:
U( z , t ) = a1 tanh(kz + ct + δ1 )expi(pz+qt+δ 2 )

(1.63)


23
1.4 Các điều kiện tồn tại Soliton quang học.
Từ các biểu thức mô tả lời giải Soliton sáng, Soliton tối (1.53) và (1.63)
ta xét điều kiện tạo thành soliton ứng với khi có mặt và khi không có mặt tán
xạ Raman cưỡng bức, nhận thấy rằng:
* Trong trường hợp không xét đến hiệu ứng SRS ( α 5 = 0 ):
- Soliton sáng chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD, SS và
α 3α 4 > 0

thỏa mãn

(1.64)

Soliton tối chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD,SS và thỏa
α 3α 4 < 0

mãn

(1.65)

-Nếu hiệu ứng tán sắc bậc ba không đáng kể, có thể bỏ qua ( α 3 → 0 );
2

a1=b1=0 => E → 0 , dễ thấy rằng cả Soliton sáng và Soliton tối đều biến mất.
-Trường hợp hiệu ứng SS không được xét đến ( α 4 → 0 => E → ∞ )
2

Soliton sáng và Soliton tối cũng đều bị phá huỷ.
Vì vậy, để tạo thành soliton thì phải có sự cân bằng giữa TOD (được đặc
trưng bởi α3) và sự tự dựng xung (đặc trưng bởi α4). Điều này đã được xác
định trong các nghiên cứu trước đây.
* Trường hợp xét đến hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức ( α 5 ≠ 0 ):
-Hai điều kiện để tồn tại Soliton sáng, tối (1.64), (1.65) sẽ không còn cần
thiết. Và trong trường hợp này nếu ảnh hưởng của TOD không đáng kể, nghĩa
là α3→ 0 thì các soliton sáng và tối đều bị phá hủy. Tuy nhiên nếu ảnh hưởng
của SS cũng không đáng kể, nghĩa là α4 → 0, thì các soliton tối và sáng vẫn
tồn tại. Đây là điểm khác biệt quan trọng giữa trường hợp có mặt và không có
mặt hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức. Vì vậy, ta có thể thấy rằng tán xạ
Raman cưỡng bức đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành loại soliton
mới – được tạo thành do sự cân bằng từ cả ba hiệu ứng: SRS, TOD, SS. Hơn
nữa, nếu cộng thêm sự cân bằng giữa tán sắc vận tốc nhóm và sự tự biến điệu
pha thì khi có mặt tất cả các hiệu ứng này vẫn có thể tạo ra các soliton tối và


24
sáng. Mặt khác, trường hợp tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng SRS lên xung,
Soliton sáng có thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc thông thường
α

3
nếu 3α + 2α > 0 và Soliton tối thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc
4

5

α

3
dị thường nếu 3α + 2α < 0 . Điều này khác với kết quả thu được khi chỉ xét
4
5

đến ảnh hưởng của hai hiệu ứng GVD và SPM đã được biết đến ở các nghiên
cứu trước rằng Soliton sáng chỉ tồn tại trong sợi quang trong trường hợp tán
sắc dị thường ( α1 > 0 ) và Soliton tối chỉ tồn tại trong sợi quang với trường hợp
tán sắc thuờng ( α1 < 0 ).
Kết luận chương 1
-Trong chương này chúng tôi đã trình bày tổng quan về Soliton quang
học. Bao gồm cơ sở xuất hiện Soliton quang học, Phương pháp tán xạ ngược,
nghiệm các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao, Soliton tối.
-Trình bày sơ lược về hàm Jacobian eliptic.
-Trên cơ sở của phương pháp giải tích Jacobian, xuất phát từ phương
trình Schrodinger phi tuyến suy rộng và xem xét một số hiệu ứng phi tuyến,
các biểu thức mô tả Soliton sáng, tối đã được dẫn giải. Từ kết quả thu được,
điều kiện tồn tại Soliton đã được bình luận. Như vậy, khi xét đồng thời ảnh
hưởng của các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc ba, tự dựng xung, tán xạ
Raman cưỡng bức, vẫn thu được Soliton lan truyền trong sợi quang. Đặc biệt,
khi xét đến sự có mặt của hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức, lời giải soliton
thu được có phần khác với lời giải soliton khi chỉ xét đến ảnh hưởng của tán
sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha hoặc sự hình thành soliton gây ra khi
xét đến sự có mặt của hai hiệu ứng tán sắc bậc ba và tự dựng xung.

25

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG PHI
TUYẾN BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON
2.1 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá
trình lan truyền Soliton.
Chúng ta sẽ tìm nghiệm soliton của phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao mô tả quá trình lan truyền sóng ánh sáng trong môi trường quang học
phi tuyến bằng phương pháp sử dụng khai triển các hàm Jacobi elliptic.
Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng chính tắc

∂F ∂F ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F 

N F, F ,
,
, 2 , 2,
... = 0
∂
t
∂
x
∂
t
∂
x
∂
x
∂
t




(2.1)

Và giả thuyết sóng lan truyền có dạng
F = u (ξ )ei ( kx −ωt ) ,

ξ = cx − λt + x0

(2.2)

Trong đó u (ξ ) là một hàm số thực, λ là một thông số không đổi, k và ω
tương ứng với số sóng và tần số của sóng. Thay (2.1) và (2.2) nhận được
phương trình vi phân