Một số yếu tố hình học đại số trong hình học sơ cấp

1
MỤC LỤC

Mục lục................................................................................................................1
Lời nói đầu.......................................................................................................2
CHƯƠNG I . MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ

Phần 1. Các kiến thức về hình học đại số ……………………............................4
Phần 2. Tổng quan về chương trình hình học sơ cấp trong toán phổ thông...... 24
CHƯƠNG II : MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

2.1. Các tập đại số trong hình học sơ cấp...........................................................25
2.2. Cấu xạ trên Tôpô Zariski và đẳng cấu đa thức của một số hình học trong
hình học sơ cấp...................................................................................................28
2.3. Thể hiện iđêan của tập đại số trong hình học sơ cấp...................................33
Kết luận ……………………………………………………. ..........................38
Tài liệu tham khảo ………………………………… ......................................39


2
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học đại số là môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu
hình học. Để làm được điều này người ta đã dùng các phương trình để mô tả
các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của
một hệ phương trình đa thức. Hình học đại số hiện đang đóng một vai trò
trung tâm trong toán học hiện đại và có những mối liên hệ với rất nhiều
chuyên ngành khác, như Giải tích phức, Số học, Tôpô.
Có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học phổ thông như điểm,
đường thẳng, đường tròn,... đều là các tập đại số. Qua quá trình giảng dạy và
học tập chuyên ngành hình học đại số chúng tôi thấy hình học đại số có mối
liên hệ mật thiết với hình học sơ cấp. Để hiểu sâu hơn về các hình học này và

ứng dụng của nó trong hình học sơ cấp, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS
Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp.
Luận văn được chia làm hai chương:
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan
đến nội dung của chương sau. Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và
các tính chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, vành tọa độ và các
nội dung chính của Hình học sơ cấp trong toán phổ thông.
CHƯƠNG II. MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH
HỌC SƠ CẤP.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các yếu tố hình học trong hình học
sơ cấp gồm các nội dung như : Tập đại số trong hình học sơ cấp và iđêan của
chúng, tìm mối liên hệ giữa các tập đại số qua phép đẳng cấu.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán,
người đã đặt bài toán, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân


3
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện, giúp
đỡ tác giả trong quá trình công tác và học tập. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Vinh đã giảng
dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng
nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi

rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Vinh, tháng 07 năm 2013
Tác giả luận văn


4
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
PHẦN A. CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học đại số
như : Tập đại số, idean, idean nguyên tố và tập bất khả quy, cấu xạ và các tính
chất của chúng. Nhiều tính chất trong này chúng tôi đã chứng minh chi tiết mà
trong các tài liệu tham khảo đã chứng minh sơ lược hoặc không chứng minh.
1.1. VÀNH ĐA THỨC
1.1.1. Định nghĩa.
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên không âm.
Vành đa thức A[ x1, x2, ..., xn] của n biến x1, x2, ... , xn trên A được định nghĩa
theo quy nạp như sau:
A[ x1, x2, ..., xn] : A[ x1, x2, ..., xn-1][xn]
Tức là A[ x1, x2, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ x1,x2,...,xn-1].
Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, ..., xn].
Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức
thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa thức f 
A[X] có dạng
f =
với m
biểu thức

và

A.Các phần tử

0 được gọi là các hệ số và các

được gọi là các đơn thức của f;

1.1.2. Bậc của đa thức.
Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + ... + rn |

0} nếu f

0

và đặt degf  - nếu f  0. Khi đó degf được gọi là bậc của f.
Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng
f = a1x1 + a2x2 + ….. + anxn + an+1,
trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không.
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo
giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi


5
nếu r1 + r2 +…..+ rn > s1 + s2 +…..+ sn
hoặc r1 + r2 +…..+ rn = s1 + s2 +…..+ sn và tọa độ khác không đầu tiên của
véctơ (r1 – s1, r2 – s2 ,….., rn - sn ) là dương.
1.1.2. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì degfg = degf + degg với mọi đa
thức f, g  A[X].
Chứng minh. Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f và v
là đơn thức của g. Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g

theo thứ tự nêu trên. Với mọi u
uv

vmax ta có uv < umaxvmax, do đó

umax và v

umaxvmax. Gọi c, d  A là các hệ số tương ứng của umax, vmax. Vì c, d

nên cd

0

0. Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg.

Do đó: deguv  degumaxvmax = degumax + degvmax = degf + degg
Vậy degfg = degf + degg.
1.1.3. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các phần
tử khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh. Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X]. Khi đó degf,
degg

0 nên degfg

0 và do đó fg

0. Vì vậy A[X] là miền nguyên.

Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; do
đó f, g là những phần tử khác 0 của A. Vì vậy f, g là những phần tử khả

nghịch của A.
1.1.4. Nhận xét. Nếu K là một trường thì
1/ Với mọi f, g  K[X] ta luôn có
deg(fg) = degf + degg.
2/ K[X] là miền nguyên vì fg

0 nếu f, g

0.

3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg

1 nếu f  K hoặc g  K.

1.1.5. Nghiệm của một đa thức.
Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và f =
m  N. Với a = (a1, a2, ... an)  An ta có giá trị:

với


6
.Khi đó điểm a được gọi là nghiệm của f

f(a)=

nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại a.
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi là
ánh xạ đa thức.
1.1.6. Bổ đề. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Nếu f(a) = 0 với

a  Kn thì f = 0.
Chứng minh.
+) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f chỉ
có hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn.
+) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn khi đó ta viết f dưới dạng
f = f0 + xnf1 + xn2f2 + ….. + xnmfm ;
trong đó f0, f1, ..., fm  K[ x1, x2, ..., xn-1] và fm 0. Suy ra tồn tại bộ số (a1, a2,
..., an-1) sao cho f(a1, a2, ..., an-1) 0.
Do đó f0(a1, a2, ..., an-1) + f1(a1, a2, ..., an-1) xn + ... + fm(a1, a2, ..., an-1)xnm là đa
thức một biến của xn có bậc m nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức này triệt
tiêu với mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí). Vậy f = 0. Từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
1.1.7. Nhận xét. Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn. Chẳng
hạn K = {1,2, ...,n } thì đa thức f = (x-1)(x-2) ... (x-n) là một đa thức
khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K.
1.1.8. Hệ quả. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Cho f và g là hai
đa thức trong K[X]. Nếu f(a) = g(a) với mọi a  Kn thì f = g.
Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.2. TẬP ĐẠI SỐ.
1.2.1. Định nghĩa. Tập V  Kn được gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một
họ các đa thức trong K
V={ x=(

, nghĩa là:

) kn / fi (x) =0

fi

S

k

}

Ta có thể coi các tập đại số là các hình học trong K.
1.2.2. Ví dụ.
1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm.


7
2/ Mọi điểm a = (a1, a2, ... , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của
hệ phương trình:

3/ Không gian Kn là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm của
K n.
4/ Các m – phẳng trong không gian afin An là các tập đại số vì đó là nghiệm
của một hệ phương trình tuyến tính có dạng:

Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và
n - m ≤ p ≤ n.
5/Tập tất cả các số thực
6/ Lấy K=

hoặc

và tất cả các số phức

và cho tôpô trên

là các tập đại số .

là tôpô thông thường ( tôpô sinh

bởi khoảng cách ơcơlit d(x,y) =

, trong đó x = (x1,x2,…,xn);

y = (y1,y2,…,yn). Thì mỗi tập đại số V trong
ánh xạ đa thức f :

; a

là những tập đóng vì các

f(a) là ánh xạ liên tục ( với tôpô thông

thường) và tập đại số V=

là giao của các tập đóng f-1(o) nên V

đóng trong
1.2.3. Siêu mặt.
a) Định nghĩa. Cho f  K[X]. Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức là Z(f)
là tập nghiệm của đa thức f. Khi đó:
1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0).
2/ Z(f) = Kn nếu f = 0 (degf   )
3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0.
Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng.

Ta chỉ có thể tính Z(f) trong một số trường hợp cụ thể.


8
b) Ví dụ. Trong vành đa thức K[x, y], cho f = x3 – y, thì Z(f) = { (a, a3) | a
K }.
Thật vậy, đặt V = { (a, a3) | a  K }.
(a, a3) V

f(a) = a3 – a3 = 0

V  Z(f).

• Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f). Nếu a1 = 0 thì a2 = 0 nên (a1, a2) = (0, 02)
V. Khi a1

0

a2

0, ta có

Do đó ta có (a1, a2)  V. Từ đó suy ra Z(f)  V.
Vậy ta có V = Z(f).
1.2.4. Tập Zariski.
a) Định nghĩa: Cho S là một tập con của K[X], kí hiệu Z(S) = {a  Kn : f(a)
= 0, f  S}; Vậy

thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy

mọi tập đại số đều là giao của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là
tập đại số của tập các đa thức S và được gọi là tập Zariski của tập S.
b) Nhận xét.
1/ Khi n  1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại số
của nó trong K là tập hữu hạn. Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập
nghiệm của đa thức một biến. Vì vậy Z(f) =  hoặc Z(f) là tập hữu hạn hoặc
Z(f) = K. Từ đó suy ra khi n  1 các tập đại số trong K là các tập rỗng, tập
hữu hạn hay K.
2/Giả sử S1và S2 là hai tập đa thức trong K[X]. Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2).
3/ Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính.
c). Bổ đề. Cho S1 và S2 là hai tập các đa thức trong K[X].
Đặt S = {fg │f  S1, g  S2 }. Ta có: Z(S1)  Z(S2) = Z(S).
Chứng minh.
Z(S1) Z(S2)  Z(S)


9
Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1)

Z(S2) thì

- Nếu a  Z(S1) thì f(a) = 0 với f  S1, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S1 và g  S2. Do đó a  Z(S).
- Nếu a  Z(S2) thì g(a) = 0 với g  S2, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S1 và g  S2 . Do đó a  Z(S).
Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

(1) .

+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

Lấy phần tử tùy ý a  Z(S). Khi đó (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với f  S1 và
g  S2.
, do K là trường nên
a  Z(S1)  Z(S2).
Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
d) Bổ đề. Cho {Si}iI là một họ các tập đa thức trong K[X]. Khi đó:
= Z(
Chứng minh.
Lấy phần tử tùy ý a 
a  Z(Si) với i  I

khi đó:

f(a) = 0 với f  Si, i  I
f(a) = 0 với f 
a  Z(

Vậy

= Z(

e) Bổ đề. Cho S  K[X] và T  K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý. Nếu ta coi S T
như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S  T).
Chứng minh.
Giả sử a  Kn và b  Km. Khi đó (a, b) là nghiệm của S  T khi và chỉ
khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T. Điều này chứng tỏ

10
Z(S) x Z(T) = Z(S  T).
1.2.5. Nhận xét. Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:
1/  là tập đại số.
2/ Kn là tập đại số.
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số.
5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số.
6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho bởi S  Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các
tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin
Kn.
7/ Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2) ;
8/ Z(0) = Kn;
9/ Z(f) =

với

0

f  K.

Từ nhận xét trên ta có kết quả sau.
1.2.6. Định lí. Họ tất cả các tập đại số trong không gian afin Kn lập nên một
tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng).
Chứng minh. Ký hiệu Z(Kn) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong Kn. Thế thì
họ này chứa rỗng, chứa Kn và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó lập
thành một tôpo (theo ngôn ngữ tập đóng) trên Kn.
1.2.7. Tô pô Zariski.

a) Định nghĩa. Họ TZ= {U | U = Kn | V là tập đại số} lập thành một tôpô trên
không gian afin Kn và gọi là tôpô Zariski.
b) Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski).
1/ Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành
một cơ sở cho tô pô Zariski.
Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong Kn đều là phần bù của một tập đại số
Z(S).
Do Z(S) =
U=

nên U = Kn \
(đpcm).

=


11
2/ Khi K =R, C (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong Rn,
Cn với tôpô thông thường trên Rn, Cn là các tập đóng vì Z(S) =
trong đó f-1 là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng
trong K.
3/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong Kn) không rỗng của Kn luôn giao nhau;
Chứng minh: Mỗi tập mở đều là hợp của các tập mở cơ sở D(f), nên ta chỉ
cần chứng minh D(f)  D(g)

với mọi D(f) và D(g) không rỗng. Thật vậy,

D(f)  D(g) = Kn \ Z(f)  Z(g) = Kn \ Z(fg).
Nhưng D(f), D(g) khác rỗng nên Z(f) và Z(g) khác Kn, do đó f và g khác 0, vì
vậy fg  0. Nên Z(fg)  Kn.

D(f)  D(g)
.
4/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpo Zariski);
5/ Không gian afin Kn với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff.
Kết luận 4/ và 5/ suy từ 3/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở
khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong Kn
đều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn.
1.3. IĐÊAN
Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất, các phép toán về iđêan và
các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng.
1.3. 1. Định nghĩa. Tập con I của vành A gọi là idean nếu nó là vành con của A
và có tính chất
hf  I với mọi h  I và f  A.
1.3.2. Ví dụ.
1/ Tập {0} và A là idean. Chúng gọi là các idean tầm thường. Những idean còn
lại gọi là idean thực sự.
2/ Với mọi f  A, tập (f) : = {gf ; g  A} là một idean, gọi là idean chính sinh
bởi f.
3/ Cho S  A là tập con bất kỳ.
Thế thì tập
(S) : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…, hr  S; f1 , f2 ,…., fr  A }
là một idean bé nhất chứa S, gọi là idean sinh bởi S.
1.3.3. Mệnh đề.
Cho I, J là các iđêan trong vành A, ta có:


12
1/ I+J := { f+g| f

là iđêan nhỏ nhất chứa I và J;

2/ I J := { f

là một iđêan;

3/ Tập IJ : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…,hr  I và f1 , f2 ,…., fr  J } là
iđêan và được gọi là iđêan của tích IxJ;
4/ IJ I J và nói chung hai iđêan này khác nhau;
5/ M(I + J) = MI + MJ với mọi iđêan I, J, M.
Chứng minh.
1/ Giả sử u, v I+J
; fi I, gi
u+v =
=
u.v =
=
Vì
I,

, i=1,2.

+
+
+
+
J nên
A

I+J.

A,

A

+
J
u.v I+J.
h A và
I+J
= f+g
h(f+g) = hf + hg I+J.
Vậy I+J là iđêan
2/;3/ Chứng minh tương tự 1/
4/ Giả sử u I.J, khi đó u = h1f1 + h2f2 +……+ hrfr với h1, h2,…,hr  I và f1 ,
f2 ,…., fr  J.
Vì

nên

I J,

u I J
IJ I J.
5/Áp dụng định nghĩa.
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f  I và g J.
1.3.4. Nhận xét.
1/ Phép cộng và phép nhân các iđêan thõa mãn tính chất kết hợp, giao hoán và
phân phối;

13
2/ Phần tử 0  I vì 0 = 0.x với x  V;
3/ Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;
4/ I

V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

5/ Cho S  V. Kí hiệu:
Lúc đó

={g1f1 + g2f2 +...+grfr / r N,fi

S ,gi A, i =

}.

là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan sinh bởi

S. Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì
phần tử thì

=

=

, nếu S có một

= { fh h V} được gọi là iđêan chính.

1.3.5. Ví dụ. Cho I = (x2, y) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn

K[x, y], ta có:
vì I = {x2f + yg | f, g  K[x, y]}, J = {yh | h  K[x, y]}

1/ I + J =

nên I + J = { x2f + yg + yh | f, g, h  K[x, y]} = { x2f + ey | f, e  K[x, y]}.
do IJ = {( x2f + yg)yh | f, g, h  K[x, y]}

2/ IJ =

= { x2yu + y2v | u, v  K[x, y]} =
3/ I  J = {x2f + yg | f, g  K[x, y]}

.

{yh | h  K[x, y]}

= {x2 yf + yg | f, g  K[x, y]}
=

.

1.3.6. Bổ đề. Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan nào đó.
Chứng minh.
Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I=

là iđêan sinh bởi S.

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập
đại số của iđêan I. Thật vậy:

Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I)

(3).

Ta chứng minh Z(S)  Z(I):
Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S. Suy ra g(a) = 0 với
g I vì g = h1f1 + h2f2 +……+ hnfn;
i=

K[X], fi S, i=

. Do đó a  S(I).

Vậy từ (3) và (4) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).
1.3.7. Bổ đề. Cho I và J là hai iđêan tùy trong K[X]. Khi đó:

và fi(a) = 0,
(4).


14
1/ Z(I) S(J) = Z(I
2/ Z(I)

J) = Z(IJ);

Z(J) = Z(I + J).

Chứng minh.
1/ Đặt S = {fg| f  I, g  J}.

Ta có S  IJ  I

J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I


Z(S)  Z(IJ)  Z(I

Mặt khác Z(S) = Z(I)

Z(J).

Vậy Z(I)

J) = Z(IJ).

S(J) = Z(I

J)  Z(I), Z(J)

J)  Z(I)

2/ Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J). Suy ra Z(I)
Mà Z(I)

Z(J) = Z(I

Z(I + J) = Z(I
Vậy Z(I + J) = Z(I)

Z(J).

Z(J)  Z(I + J).

J), I + J =

J).
Z(J).

1.3.8. Định lí. Cho V là tập con của Kn. Khi đó tập
IV:= {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V} là iđêan của K[X] và là iđêan lớn
nhất có tập nghiệm chứa V; IV gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X];
V

Z(IV). Khi V = {a} thì ta viết IV = Ia.

Chứng minh. Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:
i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:
Thật vậy: Do f, g  IV nên f(a) = 0 và g(a) = 0 với a  V, suy ra
(f + g)(a) = f(a) + g(a) = 0 với a  V. Do đó f + g  IV (đpcm).
ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:
Vì f  IV nên f(a) = 0 với a  V. Do đó (fh)(a) = f(a)h(a) = 0 với a  V.
Vậy fh  IV.
Kết luận: IV là iđêan trong K[X].
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được
cho trong sơ đồ sau
;


15
trong đó Z : S  Z(S) và I : V  IV ; (X) là ký hiệu họ tất cả các tập

con của X.
Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các song ánh
ngược nhau.
1.3.9. Ví dụ.

1/

= K[X];

2/

= {0};

3/ Ia = (x1 – a1, x2 – a2,….., xn – an) với a = ( a1, a2, ….., an );
4/ Nếu V  K2 là tập vô hạn điểm trên đường cong y = x3 thì IV = (x3 – y) ;
5/ Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  Kn }
thì
IV = (xd+1, xd+2,…., xn).
Chứng minh.
1/ Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;
2/ Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn.
3/ Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0). Mọi đa thức
f  K[X] đều viết được dưới dạng
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b
với b  K. Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f
có dạng
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn,
nghĩa là khi và chỉ khi f  (x1, x2 ,…., xn ). Vậy I0 = (x1, x2 ,…., xn ).
4/ Ta chỉ cần chứng minh IV  (x3 – y). Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa

thức của ẩn y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể
viết
f = h(x3 – y) + g với g  K[x].
Do V  Z(x3 – y) = { (a, a3) ; a  K } nên với f  IV thì f(a, a3) = g(a) = 0
với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x3 – y),
nghĩa là f  (x2 – y).


16
5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn + g
trong đó g  K[x1, x2 ,…., xd]. Thế thì f  IV khi và chỉ khi
f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = 0
với mọi a1, a2 ,…., ad  K. Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn  (xd+1, xd+2 ,….., xn).(đpcm).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu:
sao cho f r I }. Khi đó ta có bổ đề sau:
1.3.10. Bổ đề. Cho I là iđêan, thế thì

={f

A, sao cho

số tự nhiên r

cũng là iđêan và I 

=

. Nếu

I = I thì I gọi là iđêan căn.
Chứng minh. Giả sử f, g 
Và h A và f
Thật vậy:

ta có hf

ta cần chứng minh
.

nên tồn tại r sao cho: fr , gs  . Khi đó
=
.
Trong cặp số tự nhiên (r + s – k, k) , k = 1, …, r + s luôn có hoặc thành phần
đầu lớn hơn r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy g
fk luôn thuộc I
Vì f, g 

nên (f + g) r+ s luôn thuộc I, nghĩa là f + g  I . Tiếp theo, với mọi f  A thì
(fh)r = fr hr I, nghĩa là fh
I . Cuối cùng ta thấy fg
I.
1.3.11. Bổ đề. Cho V  Kn, khi đó IV là iđêan căn.
Chứng minh. Ta cần chứng minh IV = IV .
Thật vậy: Ta có IV  IV , bây giờ ta sẽ chứng minh IV  IV.
Lấy phần tử bấy kỳ f  IV thì fm  IV với m > 0 nào đó. Suy ra:
fm(a) = 0 với a  V, m > 0
f(a) = 0 với a  V
f  IV

IV  IV.
Vậy IV là iđêan căn. (đpcm).
1.3.12. Mệnh đề. Giải sử I, J là các iđêan trong K[X]. Khi đó:


17
.
Chứng minh.
Ta có: IJ  I

J


I

(5)

J  I, I

JJ



,



Từ (5) và (6) suy ra



Ta cần chứng minh








(6)
.



, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f
f

. Khi đó tồn tại m, n  N* sao cho fm  I, fn  J.

,f

Do đó fmn  IJ, nên f 

. Suy ra

Vậy



.

1.3.13. Mệnh đề. Cho V, W là các không gian con của Kn. Khi đó:
1/ Nếu V  W thì IV  IW;
2/ IV

IW =

;

3/ IV + IW 

;

Chứng minh.
1/ IW  IV: Lấy phần tử bất kỳ f  IW thì f(a) = 0 với a  W
f(a) = 0 với a  V vì V  W
f  IV
IW  IV (đpcm).
2/ Để chứng minh IV
IV
+) IV

IW 
IW 

IW =

ta sẽ chứng minh IV

.
. Lấy tùy ý f  IV

IW suy ra

IW 

và


18
f(c) = 0, c  V

W

f
Vậy IV
+) IV

IW 

.

IW 

:

Ta có: V  V

Vậy IV

W và W  V

IW 

W. Do đó IV 

và IW 

.

.

3/ Chứng minh: IV + IW 

.

Lấy phần tử bất kỳ f  IV + IW thì f = g + h với g  IV, h  IW
g(a) = 0, a  V và h(b) = 0, b  W
g(c) = 0 và h(c) = 0 với c  V
f(c) = g(c) + h(c) = 0 với c  V
f

W
W

.

Vậy IV + IW 

(đpcm).

1.3.14. Định nghĩa. Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số nhỏ
nhất chứa V và được gọi là bao đóng của V. Kí hiệu là: .
1.3.15. Bổ đề. Cho V là một tập tùy ý trong Kn. Khi đó:
1/

= Z(IV) .

2/

=IV

Chứng minh.
1) Để chứng minh
+)

= Z(IV) ta sẽ chứng minh

Z(IV) :

Z(IV) :

Ta có: Vì V

Z(IV) nên

+) Chứng minh
Đặt

Z(IV) và

= Z(IV) .

Z(IV) :

= Z(S). Khi đó các đa thức của S triệt tiêu trên V nên S  IV , suy ra
Z(S)  Z(IV).

Vậy
Kết luận:

Z(IV) .
=

.


19
2) Chứng minh.
Do V
IV

=IV.

nên IV

.Vì thế để chứng minh

=IV ta cần chứng minh

.

Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f  IV. Khi đó f(a) = 0 với a  V và
nên f(a) = 0 với a 
Kết luận:

. Suy ra f

IV tức là IV

= Z(IV)

.

=IV.

1.3.16. Hệ quả. Nếu V là tập đại số thì V = Z(IV).
Chứng minh.
Do V là tập đại số nên V

. Theo bổ đề 3.1.13 thì

= Z(IV) .

Từ đó suy ra V = Z(IV) (đpcm).
1.3.17. Bổ đề. Cho V và W là hai tập điểm tùy ý trong Kn. Khi đó
=

.

Chứng minh.
Ta có:

= Z(IV) ,

đại số, suy ra

nên

là các tập đại số. Vì thế

là tập

= Z(IVxW)

Tương tự ta cũng có:

=Z(

Bây giờ ta sẽ chứng minh:
Do

=

nên

Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f

).
.
. Ta cần chứng minh

.

thì f(a, b) = 0 với a  V, b  W

f(a, Y) = 0 trên W
f(a, Y)  IW
f(a, b’) với b’ Z(IW)= .
Tương tự ta được f(X, b’)  IV
f(a’, b’) = 0 với a’Z(IV)= .
Vậy f(a’, b’) = 0 với a’ , b’
Kết luận:

=

suy ra f 

, tức là

.

1.3.18. Nhận xét.
1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV).

.

20
Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV. Vì vậy, IV còn gọi
là iđêan định nghĩa của tập đại số V.
2/ Các ánh xạ I và Z trong sơ đồ
IV

V =Z(IV)

thu hẹp trên họ Z(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau.
Nói cách khác, trong sơ đồ sau,
 Im I

Z(Kn)

Z, I là các song ánh ngược nhau. Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập
đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng IV. Hơn nữa, họ tất cả các iđêan IV
dạng { IV V Kn là tập đại số } lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với
tôpô Zariski trong Kn. Do đó cần nghiên cứu kỹ các iđêan dạng IV.
3/ Trong sơ đồ trên, Im I gồm những idean căn. Nhưng có những idean căn của
K[X] không thuộc Im I.Để thấy điều này, ta lấy K[X] có idean I  K[X] vô
nghiệm. Khi đó I cũng vô nghiệm. Nếu
đó thì phải có V = Z(IV) = 

I = IV là idean của tập đại số V nào

(vì I vô nghiệm).

Từ đây suy ra I = I  = K[X], do đó 1  I, vì vậy I = K[X]. Mâu thuẩn với I

 K[X].

Ví dụ.

I =

 x2 1

 R  x  là idean căn với Z(I) =  vì đa thức x2 + 1

 

vô nghiêm trong R. Vì thế I không là idean xác định bởi tập đại số nào trong R.
4/ Về sau ta sẽ thấy, nêu mọi idean trong K[X] đều có nghiệm thì mọi idean căn
của nó đều là idean của một tập đại số nào đó.
1.3.19. Iđêan nguyên tố.
a) Định nghĩa. Iđêan thực sự I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu fg
thì hoặc f

I hoặc g

I.

b) Ví dụ.
1/ iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;
2/ iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;
3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy:

 I.

I

21
Giả sử f

, khi đó tồn tại r sao cho:

=

I

I

Nếu

ta có điều phải chứng minh.

Nếu

, tương tự ta có

từ đó ta có điều phải chứng minh.

Dưới đây ta có một tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố.
c) Bổ đề. iđêan căn I

A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao

của 2 iđêan lớn hơn thực sự.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan căn I

A, nguyên tố và I = J1 J2 với J1 ,J2 là

hai iđêan căn lớn hơn I. Vì J1 ,J2 là iđêan nên

J1J2

J1 J2 = I.

Do đó J1 và J2 không thể chứa những phần tử không thuộc I
J1

I và J2

I (mâu thuẫn)

Đảo lại, giả sử I là iđêan căn nhưng I không nguyên tố, khi đó tồn tại f, g
mà fg I. Đặt J1 =

và J2 =

, thì rõ ràng I

I

J1, J2.

I J 1 J 2.
Lấy h J1 J2 thì tồn tại m sao cho hm (I, f)
Từ đây suy ra h2m

h

(I, g).

(I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I.

I.

J1 J2
Vì vậy I = J1 J2 với J1 và J2 thực sự chứa I.
1.3.20. Tập bất khả quy.
a) Định nghĩa. Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được
thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự.
b) Ví dụ.
1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì nó chỉ có 1 tập đại số nhỏ hơn là tập
rỗng.
2/ Kn là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2
tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2
tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau.


22
Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng của tập bất khả quy là idean nguyên
tố qua kết quả sau.
c) Định lý. Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi IV là idean nguyên tố.
Chứng minh. Nếu V bất khả quy mà IV không nguyên tố thì theo bổ đề
3.1.17.3 ta có IV = I1 I2 với I1 và I2 là 2 idean thực sự lớn hơn IV. Khi đó
V = Z(IV) = Z(I1  I2) = Z(I1)  Z(I2). Vì vậy
, suy ra

(mâu thuẫn).

Đảo lại, giả sử IV là nguyên tố và V không bất khả quy.
Vì V = V1 V2 với V1, V2 là 2 tập đại số thực sự bé hơn V.
IV =
nhưng IV nguyên tố nên
IV

(vô lý)
d) Ví dụ.
1/ Ia là idean cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy;
2/ Kn bất khả quy vì
= 0 là idean nguyên tố.
e) Chú ý. Không phải idean nguyên tố nào trong K[X] cũng là idean của một
tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi idean nguyên tố mà vô nghiệm, thì nó
không là idean của 1 tập đại số nào.
f) Ví dụ. Mọi idean nguyên tố chứa x2 + 1 trong R[x] đều vô nghiệm trong Rn.
g) Mệnh đề. Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X]. Nếu IZ(f) = (f) thì Z(f)
là tập bất khả quy.
Chứng minh. Vì f bất khả quy nên (f) là ifean nguyên tố.
là idean nguyên tố.
Do vậy Z(IZ(f)) = Z((f)) là tập bất khả quy.(đpcm).
1.4. VÀNH TỌA ĐỘ
Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niện cơ bản và các tính chất
về vành toạ độ.
1.4.1. Định nghĩa. Cho V  Kn, hàm F : V  K gọi là hàm đa thức nếu tồn
tại đa thức f sao cho F = f |V , nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a  V.


23

• Chú ý. Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đổi
tọa độ , tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn.
•Ví dụ. Vành tọa độ của mọi d - phẳng đẳng cấu với vành đa thức d - biến.
1.4.2. Định nghĩa. Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên V. Do
tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành giao
hoán, có đơn vị là hàm f = 1. Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.
•Ví dụ. Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng.
Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K.
Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau. Tuy
nhiên, do

=

suy ra f – g

I, nên ta có khái niệm sau:

1.4.3. Định nghĩa. Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g  A. Ta nói f
đồng dư với g trên I nếu f – g  I.
Rõ ràng quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương trên A. Lớp
tương đương chứa f là tập
f + I : { f + h | h  I}.
Định nghĩa trên tập thương A/I theo quan hệ này hai phép toán
(f + I ) + (g + I) = (f+g) + I
(f + I ) (g + I) = fg + I
thì A/I lập thành một vành.
Ký hiệu

 : A  A/I ; f   (f) = f + I

gọi là ánh xạ chính tắc. Ta thấy  là một toàn cấu vành và ker  = I.
Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu
J/I : { f + I ; f  J}.
Thế thì J/I là iđêan của A/I. Ngược lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có dạng
Q = J/I trong đó
J = {f  A; f + I  Q} .
Vì vậy tương ứng: J



J/I cho tương ứng 1 – 1 giữa các iđêan chứa I với

các iđêan trong A/I, nên có thể quy việc nghiên cứu các iđêan trong A chứa
iđêan I về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I.


24
1.4.4. Bổ đề.

 (A/I)/(J/I).

A/J

Chứng minh. Ký hiệu

π A/I 
π'  A/I 
φ: A 

 J/I 

.

thì    '  là toàn cấu (vì , ’ là các toàn cấu) và ker  = J nên
A/J  (A) = (A/I)/(J/I).

PHẦN B. TỔNG QUAN VỀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC SƠ CẤP
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

Đường thẳng, mặt phẳng.
1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (Các yếu tố, kiến thức chuẩn
bị được dạy ở lớp 2, học chính thức ở lớp 6 và lớp 11)
+) Khái niệm về đường thẳng được nêu trong Sách giáo khoa môn toán
lớp 6 (Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003) và mặt phẳng được nêu trong
Sách giáo khoa hình học lớp 11(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007)
Đa giác.
1. Tam giác (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở tiểu học, học
chính thức từ lớp 6 đến lớp 10)
2. Tứ giác (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở tiểu học, học chính
thức ở lớp 8 và lớp 9)
3. Đa giác (Học chính thức ở lớp 8)
+)Các khái niệm tam giác, tứ giác, đa giác được nêu trong Sách giáo khoa
hình học lớp 8,9,10 (Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003)
Đường tròn, elip, parabol.
1. Đường tròn, hình tròn (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 1,
3, 5 và học chính thức ở lớp 6 và lớp 9, 10)
2. Elip, parabol (Học chính thức ở lớp 10)


25

+) Các khái niệm đường tròn, hình tròn được nêu trong Sách giáo khoa
hình học lớp 9,10(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003)
Hình đa diện(Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 5 và học chính
thức ở lớp 7 và lớp 11, 12)
+) Khái niệm hình đa diện được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp
11(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007)
Mặt cầu (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 9 và học chính thức ở
lớp 12)
+) Phương trình mặt cầu được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp 12(Nhà
xuất bản Giáo dục, năm 2007)

CHƯƠNG II. MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Trong chương này chúng tôi trình bày một số tập đại số và iđêan của chúng
cũng như đẳng cấu giữa các hình trong hình học sơ cấp.
2.1.Các tập đại số trong hình học sơ cấp.
2.1.1. Định nghĩa. Tập V  Rn ( n=1,2,3.) được gọi là tập đại số nếu V là
nghiệm của một họ các đa thức K
V={ x=(

) Rn , n =1,2,3./ fi (x) =0

fi

S

k

}

ta có thể coi các tập đại số là các hình học trong Rn và là tập đóng trong Rn.
2.1.2. Mệnh đề . Trong hình học sơ cấp các tập sau là tập đại số.
1/ Tập rỗng .
2/ Tập hữu hạn điểm.
3/ Không gian Rn (n=1,2,3).
Chứng minh.1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm.
2/ Tập hữu hạn điểm V= {a1, a2, ... , an} là tập đại số vì là nghiệm duy nhất
của phương trình: (x- a1)(x- a2)… (x- an) =0.
3/ Không gian Rn (n=1,2,3) là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi
điểm của Rn.