Một số tính chất của vành chính qui mạnh

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2013


3

MỤC LỤC

Trang
Trang phụ bìa..............................................................................................1
Mục lục.......................................................................................................2
Các kí hiệu dùng trong luận văn.................................................................3
MỞ ĐẦU...................................................................................................4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..........................................................6
1.1. Các phần tử và tập hợp đặc biệt trong vành........................................6
1.2. Vành chính qui....................................................................................7
Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH. .15
2.1. Mở rộng R µ M .................................................................................15
2.2. Vành morphic.....................................................................................18
2.3. Một số tính chất của vành chính qui mạnh.........................................19
KẾT LUẬN..............................................................................................31
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................32


4

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Z ( R ) : Tâm của vành R.
⊕ : Tổng trực tiếp.

⊗ : Tích Tenxơ.

End R ( M ) : Vành các tự đồng cấu của R - môđun M .
W: Kết thúc một chứng minh.
R µ M : Mở rộng R chéo M.
R / I : Vành thương.

It ( x ) : Linh hóa tử trái của x.
I p ( x ) : Linh hóa tử phải của x.
Rad ( R ) : Căn Jacobson của vành R.
≅ : Đẳng cấu.

( x ) : Iđêan sinh bởi x.


5

MỞ ĐẦU
Vành R được nói đến trong luận văn này là vành có đơn vị kí hiệu 1 và
không nhất thiết là vành giao hoán. Khái niệm vành chính qui (Von
Neumann) được giới thiệu bởi Von Neumann (1903 – 1957) là một nhà toán
học người Mỹ gốc Hungari vào năm 1936. Vành R được gọi là chính qui nếu
và chỉ nếu với mọi a ∈ R tồn tại x ∈ R sao cho a = axa . Vành chính qui là lớp
vành giữ vai trò quan trọng trong đại số trừu tượng, đại số Banach và hình
học hiện đại. Một kết quả quan trọng là vành các phép biến đổi tuyến tính của
một không gian vectơ trên vành chia được là vành chính qui. Vành R được
gọi là chính qui mạnh (Von Neumann) nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ R tồn tại
x ∈ R sao cho a = a 2 x. Một vành R là vành chính qui mạnh khi và chỉ khi nó là

một vành chính qui và mọi lũy đẳng trong R đều thuộc tâm của R. Mục đích

của luận văn này là tìm hiểu và trình bày một số tính chất của vành chính qui
và vành chính qui mạnh. Trong suốt luận văn này, khái niệm chính qui, chính
qui mạnh được hiểu theo nghĩa Von Neumann. Luận văn của chúng tôi dựa
trên tài liệu [3] “ Morphic rings as trivial extensions” của hai tác giả Jianlong
Chen và Yiqiuang Zhou (2005) đăng trên tạp chí toán học Glasgow
Mathematical Journal Trust số 47 trang 139 đến 148. Do đó luận văn của
chúng tôi có tên đề tài là : “ Một số tính chất của vành chính qui mạnh”.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh và trường
Đại học Sài Gòn dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS. Ngô Sỹ
Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy giáo
hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng
Đào tạo sau Đại học, các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Vinh, các


6

bạn học viên Cao học khóa 19 tại trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và viết luận văn.
Nghệ An, tháng 8 năm 2013
Tác giả


7

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn luôn giả thiết vành là vành giao hoán có đơn vị ký hiệu
1 và các môđun là môđun trái unita.

1.1.

CÁC PHẦN TỬ VÀ TẬP HỢP ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH

1.1.1. Định nghĩa. Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu
e2 = e .

1.1.2. Ví dụ. Phần tử đơn vị và phần tử 0 là các phần tử lũy đẳng, với mọi
vành có đơn vị R.
1.1.3. Mệnh đề. Cho vành R và e ∈ R .
(i) Nếu e lũy đẳng thì en = e, ∀n ∈ ¥ * .
(ii) e lũy đẳng khi và chỉ khi 1 − e lũy đẳng.
1.1.4. Định lý. Nếu tồn tại hệ lũy đẳng trực giao { e1 , e2 ,..., en } của vành R mà
1 = e1 + e2 + .... + en thì R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren và R = e1R ⊕ e2 R ⊕ ... ⊕ en R .

1.1.5. Hệ quả. Nếu e là phần tử lũy đẳng của vành R thì R = Re ⊕ R ( 1 − e ) và
R = eR ⊕ ( 1 − e ) R .

1.1.6. Định nghĩa. Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy linh nếu
∃n ∈ ¥ * sao cho x n = 0.
3
2
3
1.1.7. Ví dụ. Trong vành ¢ 8 các phần tử lũy linh là 2, 4, 6 vì 2 = 4 = 6 = 0 .

1.1.8. Định nghĩa. Phần tử x của vành R được gọi là khả nghịch trái nếu
tồn tại phần tử y thuộc R sao cho yx = 1 . Phần tử x của vành R được gọi là
khả nghịch phải nếu tồn tại phần tử y ' thuộc R sao cho xy ' = 1 . Phần tử x của
vành R được gọi là khả nghịch nếu x vừa khả nghịch trái, vừa khả nghịch
phải.

8

1.1.9. Ví dụ. Trong vành ¢ 4 , phần tử 3 là khả nghịch vì 3.3 = 1 .
1.1.10.Định lý. Cho vành R và u ∈ R . Nếu tồn tại u ' và u '' thuộc R sao cho
u.u ' = 1 và u ''.u = 1 thì u ' = u '' .

1.1.11.Định nghĩa. Tâm của vành R là tập hợp tất cả các phần tử a của R
sao cho ar = ra với mọi r thuộc R . Tâm của R được kí hiệu là Z ( R ) .
1.1.12. Ví dụ. Với R là vành giao hoán thì R = Z ( R ) .
1.1.13. Mệnh đề. Cho R là vành. Z ( R ) là vành con của R .
1.1.14. Định nghĩa. Cho R là vành và x ∈ R . Linh hóa tử trái của x là
It ( { x} ) = { r ∈ R : rx = 0} , được viết gọn là It ( x ) . Tương tự ta có định nghĩa linh

hóa tử phải của phần tử x , được viết gọn là I p ( x ) .
1.1.15. Ví dụ. It ( 0 ) = { r ∈ R : r 0 = 0} = R .
1.1.16. Định nghĩa. Cho môđun R M . Ta gọi giao của tất cả các môđun con
tối đại của R M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của R M và kí hiệu bởi
Rad ( R M ) . Nếu
R

R

M không có môđun con tối đại thì ta qui ước Rad ( R M ) =

M.

1.1.17. Định lý. Với mọi vành R ta có Rad ( RR ) = Rad ( R R) .
1.1.18. Định nghĩa. Đối với vành R , Rad ( RR ) được gọi là căn Jacobson (hay

đơn giản là căn) của R và được viết là Rad ( R) .
1.1.19. Định lý. Giả sử R là một vành, với mỗi r ∈ Rad ( R ) , 1 − r khả nghịch.
1.2.

VÀNH CHÍNH QUI

1.2.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành chính qui nếu và chỉ nếu với
mọi a ∈ R tồn tại x ∈ R sao cho a = axa .
1.2.2. Ví dụ. (1) Mọi thể, mọi trường đều là vành chính qui.
(2) Miền nguyên là chính qui nếu nó là một trường.


9

(3) Cho K là một trường. Gọi M n ( K ) là vành ma trận vuông cấp n trên
K . Với mọi A ∈ M n ( K ) , kí hiệu r = rank ( A) . Khi đó tồn tại hai ma trận khả

nghịch U , V sao cho
 Ir 0 
÷V
0 0 

A =U 

(Với I r là ma trận đơn vị cấp r ).
 I r 0  I r 0 
 Ir 0 
÷
÷V = U 
÷V = A . Vậy M n ( K ) là

 0 0  0 0 
0 0 

Đặt X = V −1U −1 thì AXA = U 
vành chính qui.

(4) Mọi tích trực tiếp của các vành chính qui là chính qui.
(5) Nếu V là không gian vectơ trên vành chia được D thì End DV là chính
qui.
Thật vậy, đặt R = End DV . Lấy f ∈ R . Vì Im f là một không gian vectơ con
của V nên ta có thể chọn một cơ sở

( ei ) i∈J của nó và bổ sung vào đó ( ei ) i∈J '

để được cơ sở của V .
Với i ∈ J chọn bi sao cho f ( bi ) = ei và đặt f ' ( ei ) = bi và với i ∈ J ' đặt
f ' ( ei ) = 0 . Vì mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi ảnh

của một cơ sở nên f ' ∈ R .
yi ei trong đó
Bây giờ, với mọi x ∈V ta có f ( x ) ∈ Im f nên f ( x ) = ∑
i∈J
yi ∈ D, ∀i ∈ J .




 i∈J



Do đó, ( ff ' f ) ( x ) = ff '  ∑ yi ei ÷ = ∑ yi ff ' ( ei ) =∑ yi f ( bi ) =∑ yi ei = f ( x ) . Vậy,
i∈J

i∈J

i∈J

ff ' f = f . Suy ra R là vành chính qui. W

1.2.3 Mệnh đề. Trong vành chính qui, phần tử không là ước của 0 thì khả
nghịch.


10

Chứng minh. Giả sử R là vành chính qui và a ∈ R , a không là ước của 0. Khi
đó, tồn tại x ∈ R sao cho a = axa . Ta suy ra a ( 1 − xa ) = 0 . Vì a không là ước
của 0 nên 1 − xa = 0 hay xa = 1 . Lập luận tương tự ta cũng có ( 1 − ax ) a = 0 nên
ax = 1 . Vậy a khả nghịch. W

1.2.4. Định lý. (Von Neumann, 1936) Tâm của vành chính qui là chính qui.
Chứng minh. Giả sử R là vành chính qui và Z ( R ) = { a ∈ R ar = ra, ∀r ∈ R} là
tâm của R . ∀a ∈ Z ( R ) ⇒ a ∈ R . Vì R là vành chính qui nên ∃x ∈ R : a = axa
kéo theo a = a 2 x

2
(vì a ∈ Z ( R ) ). Vì thế a x ∈ Z ( R ) . Do đó, ∀z ∈ R ta có

a 2 xz = za 2 x nên lại suy ra xa 2 z = xaaz = axaz = a 2 xz = za 2 x = zaax = azax = a 2 zx

hay

a2 z

giao

hoán

được

x,

với

do

đó

x3a 2 z = x 2 xa 2 z = x 2 a 2 zx = xxa 2 zx = xa 2 zx 2 = a 2 zx 3 hay a 2 z giao hoán được với
x3 .

Thêm

vào

đó

∀a ∈ Z ( R ) ⇒ a 2 ∈ Z ( R )

a 2 x3 z = x3a 2 z = a 2 zx3 = za 2 x3 .

Đặt

y = a 2 x3

nên
thì

từ

đó

y ∈ Z ( R) .

ta

có

Lại

vì

a 2 x 2 = a 2 xx = ax nên y = ax 2 . Rõ ràng aya = aax 2 a = a 2 x 2 a = axa = a nên suy ra
Z ( R ) chính qui. W

1.2.5. Mệnh đề. Trong vành chính qui giao hoán, một iđêan là nguyên tố khi
và chỉ khi nó tối đại.
Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử P , I là iđêan của vành giao hoán R , P nguyên tố
và P ⊂ I , P ≠ I . Vì P ≠ I nên ∃a ∈ I \ P ⇒ a ∈ R \ P . Vì R chính qui nên

∃r ∈ R : a = ara ⇒ a − ara = 0 ⇒ a ( 1 − ra ) = 0 ∈ P . Vì P là iđêan nguyên tố nên
1 − ra ∈ P ⇒ 1 − ra ∈ I ⇒ 1∈ I ⇒ I = R. Vậy P tối đại.

( ⇐) Giả sử I là iđêan của vành giao hoán R . Ta có I nguyên tố khi và chỉ
khi R / I là miền nguyên và I tối đại khi và chỉ khi R / I là trường. Mặt khác
một trường là miền nguyên. Từ đó suy ra I tối đại kéo theo I nguyên tố. W


11

1.2.6. Bổ đề. Nếu R là vành chính qui giao hoán và M là iđêan tối đại của
R thì vành địa phương hóa RM của R tại M là một trường.

Chứng minh.

Ta có

RM = { r / m r ∈ R, m ∉ M }

và

MM =

{ m / m'|

m ∈ M , m ' ∉ M } . Vì M là iđêan tối đại của R nên M là iđêan nguyên tố. Do

đó, M M là iđêan tối đại duy nhất của RM , suy ra RM là vành địa phương.
Để chứng minh RM là trường ta chỉ cần chứng minh M M = 0 do đó cần
chứng minh với mọi m ∈ M tồn tại s ∉ M sao cho sm = 0 . Vì R là vành chính

qui giao hoán nên ∃x ∈ R : m = mxm = xm 2 . Vì thế ( 1 − xm ) m = 0 ∈ M . Đặt
s = 1 − xm thì s ∉ M vì nếu ngược lại thì 1∈ M ⇒ M = R (vô lý). W

1.2.7. Định lý. (Armenradiz, 1974) Cho R là một vành với tâm Z ( R ) . Nếu
Z ( R ) là chính qui thì R / MR ≅ RM với M là idean tối đại của Z ( R ) .

Chứng minh. Đặt S = Z ( R ) \ M . Ta có RM = { x / s x ∈ R, s ∈ S } là địa phương
hóa của R tại M . Gọi

f : R → RM

là đồng cấu tự nhiên cho bởi

f ( x ) = x /1, ∀x ∈ R . Ta có:

1. f là toàn ánh. Thật vậy, lấy bất kì x / s ∈ RM , x ∈ R, s ∈ S . Vì Z ( R ) chính
qui nên tồn tại c ∈ Z ( R ) sao cho s = scs . Suy ra s ( 1 − cs ) = 0 ⇒ s ( 1x − csx ) = 0 ⇒
s ( 1x − cxs ) = 0 ⇒ cx /1 = x / s . Do đó, tồn tại cx ∈ R sao cho f ( cx ) = cx /1 = x / s .

2. Ker ( f ) = MR . Thật vậy, giả sử f ( x ) = 0 ⇒ x /1 = 0 ⇒ ∃s ∈ S : sx = 0 . Vì
Z ( R ) chính qui nên ∃c ∈ Z ( R ) : s ( 1 − cs ) = 0 ∈ M ⇒ 1 − cs ∈ M (vì M nguyên tố

và s ∉ M ) ⇒ x = ( 1 − cs ) x ∈ MR . Vậy Ker ( f ) ⊆ MR . Để chứng minh chiều
ngược lại, ta chứng minh f ( ax ) = 0, ∀a ∈ M , ∀x ∈ R . Ta có f ( ax ) = ax /1
= ( a /1) ( x /1) . Áp dụng Bổ đề 1.2.6 với vành chính qui giao hoán Z ( R ) ta có
a /1 = 0, ∀a ∈ M . Vậy, f ( ax ) = 0 . Do đó, ax ∈ Ker ( f ) ⇒ MR = Ker ( f ) .


12

Áp dụng định lý đồng cấu vành ta có điều phải chứng minh. W
1.2.8. Mệnh đề. Cho { ei } i =1, n là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R thỏa
n

ei = 1 . Khi đó
∑
i =1

R là vành chính qui nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ ei Re j tồn tại

y ∈ e j Rei sao cho x = xyx .

Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử R là vành chính qui và x ∈ ei Re j . Khi đó, tồn tại
a ∈ R sao cho x = ei ae j . Mặt khác, vì R là vành chính qui nên tồn tại z ∈ R sao
2
2
cho x = xzx . Từ đó ta có x = ei ae j zei ae j = ei a(e j ) z (ei ) ae j = ei ae j (e j zei )ei ae j

= x(e j zei ) x . Đặt y = e j zei thì ta có điều phải chứng minh.

( ⇐ ) Hiển nhiên. W
1.2.9. Định lý. Cho R là một vành. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) R là vành chính qui.
(ii) Mọi iđêan chính trái (phải) được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
(iii) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh được sinh bởi một lũy đẳng.
(iv) Mọi R - môđun trái (phải) là phẳng (môđun R M được gọi là môđun
phẳng nếu mỗi đơn cấu R - môđun phải f : AR → BR đều cảm sinh một đơn
cấu f ⊗1M : A ⊗ M → B ⊗ M . Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun
phẳng là: R M là môđun phẳng khi và chỉ khi với mỗi iđêan phải hữu hạn
sinh A của R , phép nhúng chính tắc i : A → RR cảm sinh đơn cấu i ⊗1M , xem

trong [1]).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử Rr là một iđêan trái của R . Vì R là vành chính
2
qui nên tồn tại x ∈ R sao cho r = rxr . Đặt e = xr , ta có e2 = ( xr ) = xrxr = xr = e

và re = rxr = r nên Re ⊂ Rr ⊂ Re ⇒ Rr = Re .


13

(ii) ⇒ (iii) Trước hết xét iđêan trái sinh bởi hai phần tử A = Rr1 + Rr2 . Theo

(ii) tồn tại lũy đẳng e1 sao cho Rr1 = Re1 . Vì r2 = r2e1 + r2 ( 1 − e1 ) nên
A = Rr1 + Rr2 = Re1 + Rr2 = Re1 + R ( r2e1 + r2 ( 1 − e1 ) ) ⊂ Re1 + Rr2e1 + Rr2 ( 1 − e1 )
= Re1 + Rr2 ( 1 − e1 ) ⊂ Re1 + Rr2 + Rr2e1 = A . Suy ra A = Re1 + Rr2 ( 1 − e1 ) .

Lại theo (ii), tồn tại phần tử lũy đẳng e2 sao cho Rr2 ( 1 − e1 ) = Re2 ⇒
e2 = sr2 ( 1 − e1 ) , s ∈ R . Từ đó ta có
A = Re1 + Re2 và e2e1 = sr2 ( 1 − e1 ) e1 = 0

Đặt e = ( 1 − e1 ) e2 + e1

(a)
(b)

Thì ta có e2 = ( ( 1 − e1 ) e2 + e1 ) = ( 1 − e1 ) e2 ( 1 − e1 ) e2 + ( 1 − e1 ) e2e1 + e1 ( 1 − e1 ) e2
2

+ e12 = ( 1 − e1 ) ( e2 − e2e1 ) e2 + e1 = ( 1 − e1 ) e2 + e1 = e .

Từ (a) và (b) suy ra Re ⊂ A
2
và e1e = e1 ( 1 − e1 ) e2 + e1 = e1 ; e2e = e2 ( 1 − e1 ) e2 + e2e1 = e2

Từ (d) suy ra e1 , e2 ∈ Re , do đó A = Re1 + Re2 ⊂ Re

(c)
(d)
(e)

Từ (c) và (e) suy ra A = Re .
Bằng qui nạp, ta chứng minh được mọi iđêan trái hữu hạn sinh đều sinh bởi
một lũy đẳng. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh với iđêan phải hữu hạn sinh.
(iii) ⇒ (iv) Giả sử A là iđêan phải hữu hạn sinh của R , ta cần chứng minh

phép nhúng chính tắc i : A → RR cảm sinh đơn cấu i ⊗1M . Theo (iii), tồn tại
phần tử lũy đẳng e ∈ R sao cho A = eR . Theo Hệ quả 1.1.5 ta có
RR = eR ⊕ ( 1 − e ) R . Gọi p : RR → eR là phép chiếu chính tắc, ta có pi = 1A . Vì

vậy ( p ⊗1M ) ( i ⊗1M ) = ( pi ⊗1M ) = ( 1A ⊗ 1M ) = 1A⊗M . Suy ra i ⊗1M là đơn cấu.
(iv) ⇒ (i) Để chứng minh điều này ta sử dụng kết quả sau, đã được chứng

minh trong [1]: “Giả sử R M là môđun phẳng, N là môđun con của R M . Khi


14

đó, M / N là môđun phẳng khi và chỉ khi IN = IM I N với mọi I là iđêan
phải hữu hạn sinh của R ”.
Với mỗi r ∈ R thì R / Rr là R - môđun phẳng. Do đó áp dụng kết quả trên

với R M = R R, N = Rr , I = rR thì ta có rRr = ( rR ) ( Rr ) = ( rR ) R I Rr = rR I Rr . Vì
r ∈ rR I Rr = rRr nên tồn tại x ∈ R sao cho r = rxr . Vậy R chính qui. W

1.2.10. Hệ quả. Mọi vành chính qui có căn Jacobson bằng 0. Do đó vành
chính qui là nửa nguyên tố (vành nửa nguyên tố là vành có căn nguyên tố
bằng 0. Trong tài liệu [1] đã chứng minh căn nguyên tố là tập con của căn
Jacobson).
Chứng minh. Giả sử r ∈ Rad ( R) . Vì R là vành chính qui nên tồn tại phần tử
lũy đẳng e sao cho rR = eR . Do đó e ∈ Rad ( R) . Vì vậy 1 − e khả nghịch. Mà
e ( 1 − e ) = 0 nên e = 0 . Vậy r = 0 . W

1.2.11. Hệ quả. Nếu số lượng lũy đẳng của một vành chính qui R là hữu hạn
thì R là nửa đơn (vành R nửa đơn khi và chỉ khi nó Artin và nửa nguyên tố,
xem trong [1]).
Chứng minh. Vì số lượng các lũy đẳng là hữu hạn mà mọi iđêan chính trái
đều sinh bởi một lũy đẳng nên R có hữu hạn các iđêan chính trái. Vì mỗi
iđêan trái là tổng của những iđêan chính trái nên số lượng các iđêan trái của
R là hữu hạn. Do đó R là vành Artin. Mà theo Hệ quả 1.2.10, R cũng là nửa

nguyên tố nên R là nửa đơn. W
1.2.12. Định lý. Cho R là một vành chính qui giao hoán. Khi đó:
(i) Mọi iđêan xyclic I của R là lũy đẳng (tức là II = I).
(ii) Mọi iđêan bất khả qui là ideal nguyên tố.


15





n

*
Chứng minh. ( i ) Ta biết II = ∑ aibi : ai , bi ∈ I , n ∈ ¥  nên hiển nhiên II ⊆ I .

 n =1



Ngược lại, vì R chính qui nên I = ( e ) với e là phần tử lũy đẳng trong R . Do
e = ee nên e ∈ II . Vậy I ⊆ II .

( ii ) Giả sử x, y ∈ R thỏa xy ∈ I . Đặt I1 = ( x ) + I và I 2 = ( y ) + I . Ta chứng
minh x ∈ I hoặc y ∈ I . Rõ ràng I ⊆ I1 I I 2 . Ngược lại, mọi z ∈ I1 I I 2 ta suy ra
z ∈ I1 và z ∈ I 2 . Vì z ∈ I1 = ( x ) + I nên z = a + b, a ∈ ( x ) , b ∈ I . Vì z ∈ I 2 = ( y ) + I
2
nên z = c + d , c ∈ ( y ) , d ∈ I . Do đó z = ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd ∈ I vì rõ

ràng

ad , bc, bd ∈ I

và

do

a ∈ ( x ) ⇒ a = xr1

và

c ∈ ( y ) ⇒ c = yr2

nên

ac = xyr1r2 ∈ I . Vậy z 2 ∈ I . Vì z ∈ ( z ) = ( z ) ( z ) ⇒ ∃r ∈ R : z = z 2r nên z ∈ I . Vậy
I1 I I 2 ⊆ I .
 I = I1 = ( x ) + I

Do đó: I = I1 I I 2 ⇒ 

 I = I 2 = ( y ) + I

x ∈ I

⇒

y∈I

⇒ I nguyên tố. W


16

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH
2.1. MỞ RỘNG R µ M
2.1.1. Xây dựng mở rộng R µ M . Cho R là một vành và M là một song
môđun

trên

R.

Mở

rộng

tầm

thường

của

R

và

M

là

R µ M = { ( a, x ) : a ∈ R, x ∈ M } cùng với phép cộng và phép nhân được định

nghĩa như sau:
Cộng: ( a, x ) + ( b, y ) = ( a + b, x + y ) , ∀ ( a, x ) , ( b, y ) ∈ R µ M
Nhân: ( a, x ) . ( b, y ) = ( ab, ay + xb ) , ∀ ( a, x ) , ( b, y ) ∈ R µ M
 a x 

÷: a ∈ R, x ∈ M 

 0 a 


Khi đó, R µ M là một vành, đẳng cấu với vành con 
R M 

2
của vành ma trận vuông cấp hai 
÷ . Đặc biệt, R µ R ≅ R  x  / ( x ) .
0 R 

Chứng minh. * Trước hết ta chứng minh R µ M một vành.
1. R µ M là nhóm giao hoán với phép cộng.
Dễ thấy vì phép cộng trong R và phép cộng trong M có tính chất kết hợp,
giao hoán. Phần tử 0 trong R µ M là ( 0R ,0M ) , phần tử đối của ( a, x ) là

( − a, − x ) .
2. R µ M là nửa nhóm với phép nhân.


17

( a, x ) , ( b, y ) , ( c, z ) ∈ R µ M ta có ( a, x ) ( b, y )  ( c, z )

Vì với mọi

( ab, ay + xb ) ( c, z )
( a, x ) ( bc, bz + yc )

( abc

=

abz + ayc + xbc )

,

và

( a, x ) ( b, y ) ( c, z ) 

=
=

= ( abc, abz + ayc + xbc ) nên phép nhân có tính chất kết hợp.

3. Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng.

( a, x ) , ( b, y ) , ( c, z ) ∈ R µ M ta có ( a, x ) + ( b, y )  ( c, z ) =

Vì với mọi

( a + b, x + y ) ( c , z )

=

( ac + bc, az + bz + xc + yc ) và ( a, x ) ( c, z ) + ( b, y ) ( c, z )

( ac, az + xc ) + ( bc, bz + yc )

=

= ( ac + bc, az + bz + xc + yc ) nên phép nhân phân phối

bên phải với phép cộng. Hoàn toàn tương tự ta có phép nhân phân phối bên
trái với phép cộng.
4. Tồn tại phần tử đơn vị là ( 1R , 0 M ) .
Từ đó ta có R µ M là một vành.
 a x 

÷: a ∈ R, x ∈ M  của vành
 0 a 


* Dễ thấy R µ M đẳng cấu với vành con 
R M 

ma trận vuông cấp hai 
÷.
0 R 
*

Xét

ánh

xạ

ϕ : R  x  → R µ R

xác

định

bởi

∀f = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n ∈ R  x  , n ∈ ¥ , đặt ϕ ( f ) = ( a0 , a1 ) .

Khi đó: ϕ là đồng cấu vành vì

∀f = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n ,

g = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bm x m ∈ R  x  , n, m ∈ ¥ và giả sử m ≥ n thì ta có ϕ ( f + g )
=

( a0 + b0 , a1 + b1 )

=

( a0 , a1 ) + ( b0 , b1 )

= ϕ ( f ) + ϕ ( g ) và ϕ ( fg ) =

= ( a0 , a1 ) ( b0 , b1 ) = ϕ ( f ) ϕ ( g ) .

Dễ thấy ϕ là toàn ánh nên Im ( ϕ ) = R µ R .

( a0b0 , a0b1 + a1b0 )

18

Vì Ker ( ϕ ) = { f ∈ R  x  : ϕ ( f ) = 0} nên nếu f ∈ Ker ( ϕ ) thì f có dạng
f = a2 x 2 + a3 x3 + ... + an x n , n ≥ 2 suy ra

f = x 2 ( a2 + a3 x + ... + an x n−2 ) . Do đó

f ∈ ( x 2 ) . Ngược lại, dễ thấy nếu f ∈ ( x 2 ) thì f ∈ Ker ( ϕ ) . Vậy Ker ( ϕ ) = ( x 2 ) .
2
Áp dụng định lý đồng cấu vành ta có R µ R ≅ R  x  / ( x ) . W

2.1.2. Chú ý. Cho R là một vành. Ta biết:
n
n −1
• R  x  = { f : f = an x + an−1x + ... + a1x + a0 , ai ∈ R, i = 1,..., n; n ∈ ¥ } là một

vành với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
∀f = a0 + a1 x + ... + an x n , ∀g = b0 + b1 x + ... + bm x m , n, m ∈ ¥ và giả sử m ≥ n ta
n
n +1
có f + g = ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) x + ... + ( an + bn ) x + bn+1 x + ... +bm x m , fg =

c0 + c1 x + ... + cn+ m x n + m trong đó ck = ∑ ai b j , k = 0,1,..., n + m .
i + j =k

• Với σ : R → R; r a σ ( r ) là đồng cấu vành thì R  x, σ  bao gồm các
phần tử là các đa thức biến x , hệ số trong R cùng với phép cộng được định
nghĩa giống với phép cộng trong R  x  và phép nhân được định nghĩa bởi
xr = σ ( r ) x , thì R  x, σ  là một vành.

Ví dụ: Với

f = a0 + x, g = b0 + b1 x + x 2 thì f + g = ( a0 + b0 ) + ( 1 + b1 ) x + x 2

2
3
và fg = a0b0 + ( a0b1 + σ ( b0 ) ) x + ( a0 + σ ( b1 ) ) x + x .

• Với σ : R → R; r a σ ( r ) là đồng cấu vành thì R ( σ ) bao gồm các phần
tử là các phần tử của R cùng với phép cộng hai phần tử là phép cộng trong
R , phép nhân vô hướng bên trái và bên phải xác định bởi ∀r ∈ R, m ∈ R ( σ ) ta
có rm = rm và mr = mσ ( r ) , thì R ( σ ) là ( R, R ) – song môđun.
2.1.3. Mệnh đề. Nếu R là một vành và σ : R → R là một tự đồng cấu vành
2
của R thì R  x,σ  / ( x ) ≅ R µ R ( σ ) .


19

Chứng

minh.

Xét

ánh

xạ

ϕ : R  x, σ  → R µ R ( σ )

xác

định

bởi

∀f = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n ∈ R  x, σ  , n ∈ ¥ , đặt ϕ ( f ) = ( a0 , a1 ) .

Khi đó: ϕ là đồng cấu vành vì ∀f = a0 + a1 x + ... + an x n , an ≠ 0,
∀g = b0 + b1 x + ... + bm x m , bm ≠ 0, n, m ∈ ¥ và giả sử m ≥ n thì ta có ϕ ( f + g )

( a0 + b0 , a1 + b1 )

=

( a0 , a1 ) + ( b0 , b1 )

=

= ϕ ( f ) + ϕ ( g ) ; ϕ ( fg ) = ( a0b0 , a0b1 + a1σ ( b0 ) )

và ϕ ( f ) ϕ ( g ) = ( a0 , a1 ) ( b0 , b1 ) = ( a0b0 , a1σ ( b0 ) + a0b1 ) nên ϕ ( fg ) = ϕ ( f ) ϕ ( g ) .
Dễ thấy ϕ là toàn ánh nên Im ( ϕ ) = R µ R ( σ ) .
Do Ker ( ϕ ) = { f ∈ R  x  : ϕ ( f ) = 0} suy ra nếu f ∈ Ker ( ϕ ) thì f có dạng
f = a2 x 2 + a3 x3 + ... + an x n , n ≥ 2 nên f = x 2 ( a2 + a3 x + ... + an x n− 2 ) . Do đó f ∈ ( x 2 )
2
2
. Ngược lại, dễ thấy nếu f ∈ ( x ) thì f ∈ Ker ( ϕ ) . Vậy Ker ( ϕ ) = ( x ) .
2

Áp dụng định lý đồng cấu vành ta có R µ R ( σ ) ≅ R  x, σ  / ( x ) . W

2.2. VÀNH MORPHIC
2.2.1. Định nghĩa. Một phần tử a của vành R được gọi là morphic trái nếu
R / Ra ≅ It ( a ) với It ( a ) là linh hóa tử trái của a trong R .

Vành R được gọi là morphic trái nếu mọi phần tử của R là morphic trái.
Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa vành morphic phải.
Vành R được gọi là morphic nếu nó vừa là morphic trái vừa là morphic
phải.
2.2.2. Mệnh đề. Cho R là một vành. Khi đó:
(i) Phần tử a trong R là morphic trái nếu và chỉ nếu tồn tại b trong R
sao cho Ra = It ( b ) và Rb = It ( a ) .


20

(ii) Phần tử a trong R là morphic phải nếu và chỉ nếu tồn tại b trong R
sao cho aR = I p ( b ) và bR = I p ( a ) .
Chứng minh. (i)
• Giả sử a ∈ R là phần tử morphic trái thế thì tồn tại đẳng cấu
σ : R / Ra → It ( a ) . Đặt b = σ ( 1 + Ra ) .

Ta chứng minh

Rb = It ( a ) .

Vì

σ

là toàn cấu nên

Im ( σ ) = It ( a ) = { r ∈ R : ra = 0} . Để chứng minh Rb = I ( a ) ta chứng minh
Rb = Im ( σ ) . Thật vậy, với mọi rb ∈ Rb, r ∈ R , tồn tại r + Ra ∈ R / Ra sao cho
σ ( r + Ra ) = rσ ( 1 + Ra ) = rb , nên suy ra rb ∈ Im ( σ ) . Mặt khác, với mọi
y ∈ Im ( σ ) , tồn tại duy nhất

x + Ra ∈ R / Ra

sao cho

σ ( x + Ra ) = y

⇒ y = xσ ( 1 + Ra ) = xb ⇒ y ∈ Rb .

Ta chứng minh

Ra = It ( b ) . Với mọi

ra ∈ Ra

ta có

rab = raσ ( 1 + Ra ) = rσ ( a + Ra ) = rσ ( 0 ) = 0 nên ra ∈ It ( b ) . Ngược lại, với mọi
y ∈ It ( b )

ta

có

yb = 0

nên

σ ( y + Ra ) = yσ ( 1 + Ra ) = yb = 0 .

Suy

ra

y + Ra ∈ Ker ( σ ) = 0 , do đó y ∈ Ra .

• Giả sử a là phần tử trong R thỏa mãn tồn tại b trong R sao cho
Ra = It ( b ) và Rb = It ( a ) ta sẽ chứng minh a là morphic trái.

Vì ánh xạ δ : R / It ( b ) → Rb; r + It ( b ) a rb là đẳng cấu nên R / It ( b ) ≅ Rb . Vì
Rb = It ( a ) nên Rb ≅ It ( a ) . Do đó R / Ra = R / It ( b ) ≅ Rb ≅ It ( a ) .

Vậy a là morphic trái.
(ii) Chứng minh tương tự (i). W
2.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH


21

2.3.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là chính qui mạnh nếu và chỉ nếu với
mọi a ∈ R tồn tại x ∈ R sao cho a = a 2 x .
2.3.2. Định lý. Cho R là một vành. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) R là vành chính qui mạnh.

(ii) R là vành chính qui và không có phần tử lũy linh nào khác không.
(iii) R là vành chính qui và mọi lũy đẳng trong R đều thuộc tâm của R .
Chứng minh. ( i ) ⇒ ( ii ) Vì R là vành chính qui mạnh nên với mọi a ∈ R , tồn
tại x ∈ R sao cho a = a 2 x . Do đó a = a 2 x = aax = aa 2 xx = a3 x 2 = ...
= a n x n −1 , n ≥ 2 . Giả sử tồn tại phần tử lũy linh 0 ≠ a ∈ R . Suy ra, tồn tại n ≥ 2

sao cho a n = 0 . Vậy a = a n x n−1 = 0 . Ta có điều mâu thuẫn. Vậy, trong R không
có phần tử lũy linh nào khác 0.
Từ đó ta lại có ( a − axa ) = a 2 − a 2 xa − axa 2 + axaaxa = a 2 − a 2 − axa 2 + axa 2 = 0
2

nên suy ra a = axa . Vậy R là vành chính qui.

( ii ) ⇒ ( iii ) Giả sử

e là phần tử lũy đẳng và a là phần tử bất kì trong R .

2
2
Đặt f = 1 − e . Ta có ( eaf ) = ea ( 1 − e ) ea ( 1 − e ) = 0 ⇒ eaf = 0 . Mặt khác ( eaf )

=

2
( ea − eae ) nên

ea = eae. Tương tự

( fae )

2

= ( 1 − e ) ae ( 1 − e ) ae = 0 ⇒ ae = eae .

Vậy, ae = ea . Do đó mọi lũy đẳng đều thuộc tâm.

( iii ) ⇒ ( i ) Giả sử a ∈ R . Vì R là chính qui nên tồn tại x ∈ R sao cho a = axa .
Vì ax là lũy đẳng nên ax thuộc tâm. Do đó a = a 2 x . Vậy R là chính qui
mạnh. W
2.3.3. Hệ quả. Cho R là chính qui mạnh, với mọi a ∈ R , gọi x ∈ R sao cho
a = a 2 x . Khi đó:

(i) a = a 2 x = xa 2
(ii) xa = ax
(iii) Đặt e = ax thì ta có aR = eR = Re .


22

Chứng minh. (i) Vì ax lũy đẳng nên ax thuộc tâm của R. Do đó ta có (i).
(ii)

Ta có a = a 2 x ⇒ xa = xa 2 x = ax .

(iii)

Vì R chính qui nên aR = eR . Mà e thuộc tâm của R nên eR = Re . W

2.3.4. Ví dụ. (1) Mọi vành chính qui giao hoán là vành chính qui mạnh.
(2) Mọi vành chia được D là vành chính qui mạnh.

Thật vậy, vì D là vành chia được nên D là chính qui. Mặt khác, D chỉ có
hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1. Vì giả sử 0 ≠ e ∈ D thỏa e2 = e . Tồn tại e−1 sao
cho e−1.e = e.e−1 = 1 . Do đó, 1 = e.e−1 = e2e−1 = e.e.e−1 = e.1 = e . Rõ ràng 0 và 1
thuộc tâm của D. Vậy D là vành chính qui mạnh.
(3) Tích trực tiếp của các vành chia được là chính qui mạnh.
(4) Cho V là không gian véctơ trên vành chia được D thỏa DimV = 1 . Khi
đó End DV là chính qui mạnh vì End DV ≅ D .
2.3.5. Định lý. Nếu R là vành chính qui mạnh thì với mọi a ∈ R , tồn tại phần
tử khả nghịch u ∈ R , sao cho a = aua .
Chứng minh. Giả sử a ∈ R . Vì R là vành chính qui mạnh nên tồn tại x ∈ R sao
cho a = a 2 x. Khi đó ta cũng có a = axa . Đặt e = xa. Ta có e là phần tử lũy
đẳng.

Đặt f = 1 − e , u = ex + f , v = ea + f . Ta có v.u = ( ea + f ) ( ex + f ) =

eaex + eaf + fex + f 2 . Vì e thuộc tâm, f

lũy đẳng và af = 0 , nên v.u =

eax + f = xaax + f = xa + f = e + f = 1 . Tương tự ta có uv = 1 .

Vậy: aua = a ( ex + f ) a = aexa + afa = axaxa = axa = a. W
2.3.6. Hệ quả. Nếu R là vành chính qui mạnh thì với mọi a ∈ R , a = v.e với v
là phần tử khả nghịch và e là phần tử lũy đẳng.
2
Chứng minh. Từ Định lý 2.3.5 ta có v.e = ( ea + f ) e = eae = xaaxa = xa = a . W

2.3.7. Định lý. Nếu R là vành chính qui mạnh thì:
(i) Mọi iđêan chính trái (phải) đều sinh bởi một lũy đẳng.
(ii) Mọi iđêan một phía là iđêan hai phía.

23

Chứng minh. (i) Dễ thấy, vì vành chính qui mạnh cũng là vành chính qui.
(ii) Giả sử a ∈ R . Vì R là vành chính qui mạnh nên a = v.e với v là phần tử
khả nghịch và e là phần tử lũy đẳng. Do đó aR = veR = vRe = Re = Rve = Ra. Từ
đó suy ra mỗi iđêan một phía là iđêan hai phía. W
2.3.8. Định lý. (Armandariz, 1974) Vành R với đơn vị 1 là chính qui mạnh
nếu và chỉ nếu RM là vành chia được với tất cả các iđêan tối đại M của
Z ( R) .

Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử R là vành chính qui mạnh, M là iđêan tối đại trong
Z ( R ) . Để chứng minh RM là vành chia được ta chứng minh mọi phần tử khác

0 trong RM là khả nghịch.
Lấy 0 ≠ x / s ∈ RM , x ∈ R, s ∈ Z ( R ) \ M . Suy ra với mọi t ∈ Z ( R ) \ M ta có
t ( x.1 − 0.s ) ≠ 0 hay tx ≠ 0 . Vì R là vành chính qui nên tồn tại y ∈ R sao cho
x = xyx . Suy ra xy = e là phần tử lũy đẳng do đó e ∈ Z ( R ) nên 1 − e ∈ Z ( R ) . Ta

có ( 1 − e ) x = ( 1 − xy ) x = x − xyx = 0 nên 1 − e ∈ M vì nếu ngược lại thì ( 1 − e ) x ≠ 0
theo lập luận ở trên. Suy ra e ∈ Z ( R ) \ M vì nếu ngược lại thì 1 = e + ( 1 − e ) ∈ M
là vô lý.
Ta có

( x / s ) .( sy / e ) = 1 vì tồn tại

1. ( xsy.1 − 1.se ) = xsy − se = sxy − se = 0 .
f ∈ Z ( R ) \ M và

Tương

( sy / f ) .( x / s ) = 1 . Vậy

tự,

1 ∈ Z ( R ) \ M sao cho

nếu

đặt

f = yx

thì

x / s khả nghịch. Do đó RM là vành

chia được.

( ⇐ ) Ngược lại, giả sử RM là vành chia được với mọi iđêan tối đại

M của

Z ( R ) . Để chứng minh R là vành chính qui mạnh ta chứng minh R không có

phần tử lũy linh nào khác không và là vành chính qui.


24

• Nếu R có phần tử lũy linh khác 0 thì tồn tại 0 ≠ x ∈ R sao cho x 2 = 0 .
Đặt I = { s ∈ Z ( R ) : sx = 0} . Ta có I ≠ ∅ vì 0 ∈ I và I là iđêan con thực sự của
Z(R) vì 1∉ I . Do đó, tồn tại iđêan tối đại M của Z ( R ) sao cho I ⊆ M . Khi
2
đó, trong vành chia được RM , ta có ( x /1) = 0 , suy ra x /1 = 0 . Từ đó lại suy ra

tồn tại s ∈ Z ( R ) \ M sao cho sx = 0 . Điều này mâu thuẫn với I ⊆ M . Vậy trong
R không có phần tử lũy linh nào khác 0.

• Nếu R không là vành chính qui thì tồn tại x ∈ R sao cho x ≠ xzx với
mọi z ∈ R . Khi đó tồn tại z ∈ R để xzx = sx với s ∈ Z ( R ) , chẳng hạn với z =
0 thì ta chọn s = 0 . Đặt X

{ s ∈ Z ( R ) : xzx = sx, z ∈ X } . Ta có

=

{ z ∈ R : ∃s ∈ Z ( R ) , xzx = sx}

và J =

J ≠ ∅ và 1∉ J nên J là iđêan thực sự của

Z ( R ) . Do đó, tồn tại iđêan tối đại M của Z ( R ) sao cho J ⊆ M . Từ đó suy ra
x /1 ≠ 0 trong RM vì với mọi s ∈ Z ( R ) \ M thì sx ≠ 0 vì nếu ngược lại sx = 0 thì

tồn tại 0 = z ∈ X sao cho xzx = sx ⇒ s ∈ J ⊆ M (vô lý). Vì RM là vành chia
được nên x /1 khả nghịch. Do đó tồn tại y / t ∈ RM , y ∈ R, t ∈ Z ( R ) \ M sao cho

( x /1) . ( y / t ) = 1 . Suy ra tồn tại u ∈ Z ( R ) \ M sao cho u ( xy − t ) = 0 . Từ đó ta có
uxy = ut ⇒ xuy = ut ⇒ x ( uy ) x = utx ⇒ ut ∈ J ⊆ M (vô lý). Vậy R là chính qui. W

2.3.9. Định lý. (Pere Ara, 1996) Nếu R là vành chính qui mạnh và
R = aR + bR; a, b ∈ R thì tồn tại r ∈ R sao cho a + br khả nghịch.

Chứng minh. Vì R là vành chính qui mạnh nên tồn tại phần tử khả nghịch u
và phần tử y thuộc R sao cho a = aua và b = byb , khi đó e = au và f = by là
các phần tử lũy đẳng. Hơn nữa ta còn có aR = eR và bR = fR . Vì vậy ta có
aR + bR = eR + fR = eR + ( 1 − e ) fR .

Sở

dĩ

có

đẳng

thức

cuối

là

vì


25

R = eR ⊕ ( 1 − e ) R

do

đó

∀r ∈ R

ta

r = er1 + ( 1 − e ) r2 .

có

Suy

ra

fr = fer1 + f ( 1 − e ) r2 = efr1 + ( 1 − e ) fr2 ⇒ fR ⊆ eR + ( 1 − e ) fR ⇒ eR + fR ⊆ eR + ( 1 − e ) fR .

Và dễ thấy eR + ( 1 − e ) fR ⊆ eR + fR (phần tử lũy đẳng trong vành chính qui
mạnh thuộc tâm).
Vì

( 1 − e)

R

là

chính

qui

nên

tồn

tại

w∈ R

sao

cho

f = ( 1 − e ) fw ( 1 − e ) f = ( 1 − e ) fw ( 1 − e ) ( f 2 = f và f giao hoán được).

Đặt g = ( 1 − e ) fw ( 1 − e ) ta có g 2 = g , eg = ge = 0 và R = eR + ( 1 − e ) fR =
eR + gR . Do đó tồn tại α, β∈ R sao cho eα + gβ = 1 . Từ đó suy ra eα = e và
gβ = g . Vậy e + g = 1 ⇔ e + ( 1 − e ) fw ( 1 − e ) = 1 ⇔ au + ( 1 − e ) byw ( 1 − e ) = 1 ⇔
au + ( 1 − au ) byw ( 1 − e ) = 1 ⇔

au + byw ( 1 − e ) − aubyw ( 1 − e ) = 1 ⇔

au

+

byw ( 1 − e ) − (au )2 byw ( 1 − e ) = 1 ⇔ au ( 1 − aubyw ( 1 − e ) ) + byw ( 1 − e ) = 1 ⇔

au ( 1 − efw ( 1 − e ) ) + byw ( 1 − e ) = 1 .
−1
Nhân bên phải hai vế đẳng thức cuối với γ = 1 + efw ( 1 − e )  u ta được

au ( 1 − efw ( 1 − e ) ) ( 1 + efw ( 1 − e ) ) u −1 + byw ( 1 − e ) γ = γ ⇔ a + byw ( 1 − e ) γ = γ . Dễ thấy
γ khả nghịch. Ta có điều phải chứng minh. W

2.3.10. Định lý. Nếu R là một vành chính qui mạnh và σ : R → R là một tự
đồng cấu vành sao cho σ ( e ) = e với mọi e là lũy đẳng trong R thì
R  x,σ  / ( x 2 ) là morphic trái.
2
Chứng minh. Đặt S = R  x, σ  / ( x ) =

=

{ r + sx : r , s ∈ R} .

Không

mất

{ f = f + ( x ) : f = r + sx + a x
2

tính

tổng

2

quát

ta

có

2

+ ... + an x n

thể

}

viết