Xây dựng và sử dụng hệ thống câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học phần III sinh học vi sinh vật, chương III virut và bệnh truyền nhiễm sinh học 10 nâng cao 2006

Khoá luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm hà Nội 2
Khoa: Sinh - KTNN
-------***------

Lò Thị Bích Yến

Xây dựng và sử dụng hệ thống
câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học
sinh trong dạy học phần III: sinh học vi sinh vật,
chương III: Virut và bệnh truyền nhiễm sinh học 10 nâng cao 2006

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học
Thạc Sĩ Trần Thị Hường

Hà Nội – 2007

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
1


Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, em đã nhận được sự giúp đỡ
ủng hộ của các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là
thầy Nguyễn Văn Hùng người đã tận tình trực tiếp hướng dẫn em. Qua đây

em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện cho em hoàn
thành khoá luận tốt nghiệp này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên

Tạ Anh Hoài

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
2


Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Phần 1:Mở đầu

1

Phần 2: Nội dung

3

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

3

Đ1: Số gần đúng và sai

3

Đ2: Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

7

Đ3: Cách viết số xấp xỉ

8

Đ4: Sai số quy tròn

8

Đ5: Xấp xỉ ban đầu

9

Đ6: Ma trận nghịch đảo

12

Đ7: Phương trình phi tuyến tính

15

Bài tập chương 1

20

Chương 2:Tính gần đúng nghiệm của hệ pt phi tuyến tính

21

Đ1: Phương pháp lặp đơn

21

Đ2: Phương pháp Seidel

26

Đ3: Phương pháp lặp Newton-Raphson

32

Chương 3: Bài tập vận dụng

37

Phần 3: Kết luận

50

Tài liệu tham khảo

51

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
3

Khoá luận tốt nghiệp

Phần 1: Mở đầu
Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu, nhưng từ khi máy tính
điện tử ra đời ngành khoa học này phát triển rất nhanh, nhằm xây dựng những
thuật toán đơn giản, có hiệu lực, giải kết quả bằng số những bài toán của khoa
học kỹ thuật trên máy tính. Vì vậy, ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi
tính trong các cơ quan, xí nghiệp, các kiến thức của môn học "giải tích số"
càng trở nên hết sức cần thiết.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết
xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường
gặp…Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế được mô hình hoá bằng ngôn ngữ toán học.
Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có các
dữ kiện của bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán, tiếp theo là công
việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương trình để máy tính
tính toán cho ta kết quả gần đúng. Khi giải bài toán thực tế ta đều phải làm
việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban đầu. Chính vì vậy không tránh
khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán.
Vì vậy cần phải sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng
thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính
toán. Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa
lý thuyết và ứng dụng rất lớn, là cơ sở của môn giải tích số.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
4

Khoá luận tốt nghiệp

Với niềm yêu thích bộ môn " Giải tích số" em đã lựa chọn đề tài cho
khoá luận tốt nghiệp của em là "Một số phương pháp giải gần đúng hệ
phương trình phi tuyến".

Khoá luận được chia làm 3 phần:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Phần 3: Kết luận
Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến tính.
Chương 3: Bài tập vận dụng

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
5


Khoá luận tốt nghiệp

Phần 2:

Nội dung
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Đ1: Số gần đúng và sai số
1. Số gần đúng :

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a* nếu như a không sai khác a*
nhiều, hiệu số =a*-a gọi là sai số thực sự của a, nếu  > 0 thì a là giá trị gần

đúng thiếu, còn nếu  <0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*. Vì rằng a* nói
chung không biết nên cũng không biết , tuy nhiên có thể thấy tồn tại  a  0 ,
thoả mãn điều kiện:
a*  a   a

(1.1.1)

Số a thoả mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn
a 

a
là sai số tương đối của số a
a

Rõ ràng a, a càng nhỏ càng tốt.
Chú ý: Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a =100m và đoạn CD có số đo
b = 10m với a = b= 0,01m. Khi đó có  a 

0,01
0,01
và  b 
vậy b=10a
100
10

và phép đo AB chính xác hơn phép đo đoạn thẳng CD. Từ đó ta thấy độ chính
xác của 1 phép đo thường được phản ánh qua sai số tương đối.
2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số:

Xét một số thập phân dạng tổng quát:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
6


Khoá luận tốt nghiệp
a  ( p .10 p  ...   i .10 i  ...   p  s .10 p  s )

(1.1.2)

Trong đó j  N,  j, ap  0, 0  aj  9
Nếu (p-s)  0 thì a là số nguyên; nếu (p-s) = - k (k > 0) thì a có phần lẻ
gồm k chữ số, nếu (p-s)   thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được a
gọn hơn và gần đúng với số a.
Quy tắc làm tròn: xét số a ở dạng (1.1.2) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i,
phần bỏ đi là  thì:
  ( P .10 p  ....   i 1 .10 i 1   i .10 i )

Trong đó:
1
2

1
2

 i  0    .10 i hoặc   .10 i khi   2
i 
1
2

1
2

 i 1    .10 i hoặc   .10 i khi  i  2  1,   Z

Ta ký hiệu sai số của phép làm tròn là a, như vậy a  a  a , rõ ràng
1
2

là a  .10 i
Vì a *  a  a *  a  a  a   a  a , do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối
tăng thêm a

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
7


Khoá luận tốt nghiệp
3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc:

Xét số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó,
chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai chữ
số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.1.2)
a  ( p .10 p  ...   i 10 i  ...   p  s .10 p  s )

Chữ số j ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu:
 a  .10i ,  là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chữ số chắc thì ai+1 cũng là chữ số chắc.
a  ( p .10 p  ...   j .10 j  ...   p  s .10 p  s )

4. Sai số tính toán:

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:
y=f(x1, x2,…, xn)
Gọi x*= (x1*, x2*,…,x*n), y*= f(x*) là giá trị đúng còn x = ( x1, x2,
…xn), y=f(x) là giá trị gần đúng y*,  x  xi*  xi giả sử f(x1, x2, …, xn) là
i

hàm số khả vi liên tục thì:
n

 y  y  y *  f ( x1 , x 2 ,..., x n )  f ( x1* , x 2* ,..., x n* )   f x'i . xi  xi*
i 1

Với f x' là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian vì f là khả vi liên
i

tục,  x khá bé nên:
i

n

 y  i1 f x' ( x1 , x2 ,..., xn )  x
i

i

(1.1.3)

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
8


Khoá luận tốt nghiệp

Vậy  y 

y n 

.ln f . x
y i 1 xi

i

(1.1.4)

a) Sai số của phép toán cộng trừ
n

n

thì y x' i  1, vì vậy ta có:  y    xi

Nếu y   xi
i 1

i1

n

y

i 1

y

Chú ý rằng nếu tổng đại số y   xi bé về giá trị tuyệt đối thì

lớn,

phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu của hai số gần nhau.
b) Sai số của phép toán nhân, chia:
n

Giả sử, y 

x

i 1
q p

x
i 1

i

áp dụng (1.1.3) và (1.1.4)

p i

Ta có:
 y   x  ....   x và  y  y . y
1

q

c) Sai số của phép tính luỹ thừa:
Xét y  x (  R,x  0) , khi đó  y   . x
Như vậy, nếu  >1 thì độ chính xác giảm đi, nếu  <1 thì độ chính xác tăng
lên. Nếu  =-1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi, nếu


1
, k  N * (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k

d) Sai số của phép tính Logarit:
Xét y = lnx, ta có  y   x
5. Bài toán ngược của sai số:

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức:
y =f(x1, x2,…, xn). Yêu cầu đặt ra là cần tính  x như thế nào để  y   ,
i

và  là cho trước. Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
9


Khoá luận tốt nghiệp
n

 y  i1

f
. x  
xi
i

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu  x 
i


n. f x'

i

Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò "đều nhau" thì ta có thể lấy

x 
i


khi đó  y  
n. f x'

i

Đ2 : Sai số tương đối và sai số tuyệt đối
1. Sai số tuyệt đối:

Trong tính toán, thường ta không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng
của nó là a. Lúc đó ta nói "a xấp xỉ A" và viết " a  A " . Độ lệch h=A - a được
gọi là sai số thực sự của A.
Vì không biết A nên ta cũng không biết h. Tuy nhiên ta có thể tìm được
số dương  a  h sao cho a   a  A  a   a .
Số  a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là  a , ta viết:
A  a  a

Với nghĩa a -  a  A  a   a

(1.2.1)
(1.2.2)

2. Sai số tương đối

Tỷ số  a 

a
a

(1.2.3) gọi là sai số tương đối của a.

Ta suy ra  a  a . a (1.2.4). Do đó (1.2.1) có thể viết thành: A  a(1   a )
Công thức (1.2.3) và (1.2.4) cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số

tương đối.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
10


Khoá luận tốt nghiệp

Đ3 : Cách viết số xấp xỉ
1. Chữ số có nghĩa:

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể
các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa. Chẳng
hạn số 1,35 có 3 chữ số có nghĩa.Số 0,0310 cũng có 3 chữ số có nghĩa.
2. Chữ số đáng tin:

Mọi số thập phân a đều có thể viết dưới dạng: a   s.10s (1.3.1)
Trong đó s là những số nguyên từ 0 đến 9. Chẳng hạn số 28,134 viết là:
28,134 = 2.101 + 8.100 +1.10-1 + 3.10-2 + 4.10-3
Tức là a có dạng (1.3.1) với 1= 2; 0= 8; -1= 1; -2= 3; -3= 4; chữ số
s ở (1.3.1) của chữ số a là chữ số đáng tin (chữ số chắc) nếu  a  0,5.10 s .
Nếu  a > 0,5.10s thì nói s là chữ số đáng nghi.
3. Cách viết số xấp xỉ:

Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối  a
Cách thứ nhất là viết kèm sai số như công thức (1.2.1)
Cách thứ hai là viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin.
Một số viết theo cách thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn
hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng.
Đ4 : Sai số quy tròn

1. Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn:

Trong tính toán, khi gặp một số có quá nhiều chữ số đáng nghi, người ta
thường bỏ đi một vài chữ số cuối cho gọn. Việc làm đó gọi là quy tròn số.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
11


Khoá luận tốt nghiệp

Việc quy tròn số sẽ tạo ra sai số mới gọi là sai số quy tròn bằng hiệu số
giữa số quy tròn và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu này được gọi là
sai số quy tròn tuyệt đối.
Quy tắc quy tròn phải chọn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối càng bé
càng tốt. Ta chọn quy tắc sau đây : quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối
không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị
ở hàng bỏ đi đầu tiên. Cụ thể là nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5
thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số đầu tiên nhỏ
hơn 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
2. Sai số đã quy tròn:

Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối  a . Giả sử ta đã
quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối là a , tức là: a '  a   a
Bây giờ tính  a của a', ta có : a'-A = a'- a + a - A
Suy ra a '  A  a '  a  a  A   a   a
Vậy có thể lấy  a '   a   a
Rõ ràng  a '   a , tức là việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối. Do vậy
sai số quy tròn có thể có tác hại trong quá trình tính toán.
Đ5 : Xấp xỉ ban đầu

Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình f(x) = 0 (1.5.1)
ở đây f(x) là một hàm thực một biến x, được chia làm hai phần. Một là,
phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm (thường được gọi là nghiệm xấp xỉ). Hai là,
tinh chế nghiệm xấp xỉ đó để có được một nghiệm xấp xỉ mới có độ chính xác
mong muốn.
Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 là nghiệm r của phương trình (1.5.1) thường
là do sự đoán dựa trên những thông tin về hàm f có được, hoặc là bằng cách
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
12


Khoá luận tốt nghiệp

vẽ đồ thị tìm điểm x0 sao cho f ( x0 )  0 . Ngoài ra, ta cũng có thể tìm x0 dựa
vào định lý sau:
Nếu f(x) là một hàm thực liên tục trên [a;b], (atại ít nhất một nghiệm r của f(x) trong khoảng. Việc tìm một khoảng [a;b] như
vậy được gọi là cô lập nghiệm.
Bây giờ ta xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của
phương trình đại số có dạng:
f(x) = Pn(x) = a0.xn + a1.xn-1 + …+an-1.x + an = 0 (1.5.2)
với các hệ số thực ai , i =0,1,2…,n. Phương trình đại số (1.5.2) nói
chung, có thể có các nghiệm thực khác nhau hoặc nghiệm thực kép. Nếu ta kí
hiệu nghiệm của (1.5.2) là các số r1 , r2 ,....,rn thì Pn(x) có thể viết dưới dạng:
Pn(x) =a0 (x-r1)(x-r2)( x-r3)…(x-rn)
Giả thiết rằng: r1  r2  ...  rn
Nếu các nghiệm ri có môdun khác nhau nhiều, thì xấp xỉ ban đầu của
nghiệm có thể lấy từ định lý:
a1
 ri

a0

a2
   ri r j
i j
a0

;

a3
   ri r j rk ;
i  j k
a0

... ;

;

an
 (1) n r1r2 ...rn ;
a0

Vì r1 có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác, cho nên từ đẳng
thức đầu tiên ta có:
r
a1
r
 r1 (1  2  ...  n )
a0
r1

r1

Suy ra a1  r1a0
Từ đẳng thức thứ hai của hệ trên suy ra:

r  r
r  r .r
r .r 
a2
r
 r1r2 1  3  ...  n    3  ...  n   3 4  ...  n1 n 
a0
r2   r1
r1  r1.r2
r1.r2 
 r2

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
13


Khoá luận tốt nghiệp

a2  rr
a
1 2 0

Suy ra

Quá trình này được tiếp tục cho đến đẳng thức cuối cùng ta được:

a1  r1a0

;

a2  r1r2 a0

a3  r1 .r2 .r3 a0

;

an  r1r2 r3 ...rn a0 ;

a1  r1a0  0

;

a2  r2 a1  0

a3  r3 a2  0

;

an  rn an1  0 ;

;

r2  

;

Từ đây suy ra:
;

Vì vậy:
r1  

a1
a0

a2
;…;
a1

rn  

an
;
an1

Nguyên lý Đecart:
Nếu trong phương trình (1.5.2) hai hệ số cạnh nhau khác dấu ta nói rằng
có sự đổi dấu, nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ
nguyên dấu.
Lưu ý rằng ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0.
Phương trình (1.5.2) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào
bằng 0.
Nguyên lý Đecart được phát biểu như sau:
Số nghiệm dương của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số
chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0
không tính đến.

Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn
số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(-x) = 0
Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên
dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn.
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
14


Khoá luận tốt nghiệp

i- tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số
(1.5.2). Nghiệm đơn của (1.5.2) với a0=1, có môđun lớn nhất cũng có thể
được xấp xỉ từ phương trình:
x 2  a1 x  a  0 hoặc x + a1= 0

Nếu nghiệm đơn có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác thì các
xấp xỉ này cho ta kết quả tương đối chính xác. Nghiệm có giá trị môđun nhỏ
nhất của (1.5.2) cũng có thể tính xấp xỉ từ phương trình:
an2 .x n  an1 .x n1  an  0 hoặc a n1 .x  a n  0

ii- lược đồ Horner
Lược đồ Horner dùng để chia một đa thức
a0 xn  a1 xn1  ...  an1 x  an

cho một nhị thức x-x0. Kết quả sau phép chia sẽ là một đa thức bậc n-1 là
b0 x n1  b1 x n2  ... b n2 x  bn1 và phần dư R, sẽ chỉ là một số sao cho thoả mãn :





a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an  ( x  x0 ) b0 x n1  b1 x n2  ...  bn1  R

So sánh các hệ số của hai đa thức bằng nhau ta được:
b0 = a0; b1= a0x0; b2= b1x0 + a2
bn-1= bn-2x0 + an-1; R= bn-1.x0 + an
Thông thường lược đồ chia đa thức cho một nhị thức được sắp xếp như
sau
…

a0

a1

a2

a3

x0

b0x0

b1x0

b2x0 …

b0=a0b1

b2

b3

…

an-1

an

bn-2.x0

bn-1x0

bn-1

R

Đ6 : Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu
A-1 thoả mãn điều kiện
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
15


Khoá luận tốt nghiệp

A.A-1 = A-1.A = I
Ma trận A có ma trận nghịch đảo A-1 khi và chỉ khi det A  0 và khi đó ta
có thể tìm A-1 bằng cách tính giá trị các phần bù đại số Aij , i, j = 1,2…n sau
đó ta có thể áp dụng công thức:
A12 .......... A1n 

 A11
A
A 22 ........... A 2n 
21

1


A1 
...............................
det A 

..............................


 An1
A n2 ........... A nn 

Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng phương pháp dưới đây hay được dùng
trong khi lập trình tính toán bằng máy tính.
Viết thêm ma trận I vào bên phải của ma trận A
 a11 a12  a1n 1 0 0 
a

 21 a22  a2 n 0 1 0 

  (1.6.1)
 A, I  




 

 an1 an 2  ann 0 01



Bằng phép biến đổi sơ cấp lên hàng của ma trận [A, I] này cho đến khi ta
được ma trận dạng:
1 0 0 C1,n 1 C1,n  2 C1,2 n 


0 1 0 C2,n 1 C2,n  2 C2,2 n 
 

 

 (1.6.2)

 
 
0 01 C
Cn,n  2 Cn,2 n 
n , n 1



Khi đó:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

16


Khoá luận tốt nghiệp

C1,n  2 ............. C1,2n 
C1,n 1
C
C 2,n  2 ............C2,2n 
 2,n 1
A 1  .................................................


.................................................
C n ,n 1
C n,n  2 .............C n , 2 n 


Để tìm các thành phần Cij ta áp dụng công thức vào ma trận [A, I] sao
cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Muốn vậy, ở bước l=1,2,...,n-1 ta phải
chia các thành phần của hàng thứ l cho all(l 1) và dùng phép biến đổi sơ cấp đối
với hàng như thế nào để cho tất cả các thành phần ở cột thứ l bằng 0 trừ all(l-1).
Cũng lưu ý rằng mỗi lần chia cho all(l-1) như vậy bắt buộc phải kiểm tra all(l-1) .q
có khác không hay không?
Cụ thể, sau khi chia hàng thứ nhất của (1.6.1) cho a11, tức là ta có
aij( i ) 

aij
a11

Tiếp theo, nhân hàng đầu của ma trận trên với -a21, sau đó cộng vào
hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:
a 12 .......a
1
1
0............0 
1n
a11
a 11


(1)
(1)
(1)
a
a 22 ..........a 2 n
a 2,n 1
1............0 
21

A, I  ...................................................................................
...................................................................................


a n1 a n2 .........a nn
0
0............1 

ở đây a 2(1j)  a 2 j 

a 2i .a1 j
a11

, j =2,3,….., n+1

Cách làm này được áp dụng vào hàng 3,4,…cho đến hàng cuối cùng là
hàng thứ n để cho a31, a41,…, an1 trở thành số 0
Vì vậy, với mỗi hàng i:
aij(1)  aij 

a i1 .a1 j
a11

, i= 2,3, …., n+1

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
17


Khoá luận tốt nghiệp

Bây giờ giả thiết là ta đã đưa được ma trận về dạng
(l-1)
1

0.............a1l(l-1) ...............a1(nl 1)
a1,n
1...........0



(l-1)
( l 1)
(l-1)
1.............a 2l ...............a2 n
a 2,n 1............0 
0
......................................................................................


( l 1)
0............a (l-1)
a (l-1)
0
nl .................ann
n,n 1..........1 


Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:
1.Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả alj(l 1) cho all(l 1) , j = l, l+1, …, n+l
2. Với mỗi i = 1, 2, ..., n, i  1 thay alj(l 1) bằng :
(l )
ij

a

( l 1)
ij

a



aik(l 1) .alj(l 1)
all(l 1)

; j = l, l+1, … ,1 + n

Và vấn đề tìm A-1 trở thành tìm :
a

(l )
lj



a lj( l 1)
a ll( l 1)

; l= 1, 2, …, n; j = l,…,n+l

aij(l )  aij(l 1)  ail(l 1) .alj(l ) ; i = 1, 2, …, l-1, l+1, …n

j = l, l+1, …, n+l
Thông thường i chỉ số hàng, j chỉ số cột còn l gán cho giá trị 0 và sau đó
được thay ngay bằng l+1 là chỉ số của các phần tử đường chéo chính hiện
tại. Nên thay all(l 1) bằng Q để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần ở hàng
thứ l có thể chia cho all(l 1) . Nếu không chuyển all(l-1) đến chỗ Q, thì
a

(l )

lj

all( l i )
 ( l 1)  1 sẽ giữ nguyên giá trị vì nó chỉ chia cho 1 thôi.
all

Đ7 : Phương trình phi tuyến tính
Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến
1. Phương pháp chia đôi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
18


Khoá luận tốt nghiệp

Đặt  0 = [a;b] và ta chia đôi  0 và chọn  1 = [a1;b1] là một nửa của  sao
cho f(a1).f(b1)  0.
Nói chung, đến bước thứ n, ta có  n  a n ; bn    n1  ...  1   0
Ngoài ra, ta còn có bn  a n 

(b  a)
 0 khi n   .Dễ dàng thấy rằng,
2n

dãy a n  đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi b còn dãy bn  đơn điệu giảm và bị
chặn dưới bởi a. Hơn nữa do bn  a n 

(b  a)
 0 suy ra a n , bn  r khi n  
2n

Vì f(a).f(b)  0, cho n   ta có  f (r )2  0 suy ra f(r) = 0. Tức là r là
nghiệm của phương trình (2.1). Do đó, nghiệm xấp xỉ xn có thể được lấy theo
công thức:
xn 

a n  bn
2

(1.7.1)

Ngoài ra, ta còn có đánh giá
0  xn  r 

r  a n bn  r
ba

 bn  a n  n
2
2
2

Do đó, để tìm xấp xỉ xN sao cho:
xn  r   ,suy ra phải có

ba


2n

Tức là ln(b  a)  N ln 2  ln  .Như vậy, phải tiến hành đến bước lặp thứ N tính
bởi:
 ln( b  a)  ln  
N  int eger 

ln 2


2. Phương pháp dây cung

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
19


Khoá luận tốt nghiệp

Phương pháp chia đôi là lấy điểm giữa của khoảng trước làm điểm mới
của quá trình lặp. Phương pháp dây cung, về nguyên tắc không khác gì
nguyên tắc chia đôi. Chỉ có điều là điểm tiếp theo của phương pháp dây cung
không phải là điểm giữa mà là giao điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm
(a,f(a)) và (b,f(b)) với trục hoành. Dễ dàng kiểm tra điểm c được tính theo
công thức:
c b

f (b).(b  a)
f (b)  f (a)

Có 3 khả năng xảy ra:

i) f(c) = 0, tức là r = c
ii) f(c).f(b)>0 tức là f(c) và f(b) cùng dấu, như vậy f(c) khác dấu với
f(a).Suy ra nghiệm r nằm trong đoạn [c;b]. Dựa vào đó ta có thể tìm được
khoảng [an;bn] chứa nghiệm phải tìm .Khi có khoảng [an; bn] ta tìm cn theo
công thức:
c n  bn 

f (bn )(bn  a n )
f (b)  f (a )

Phương pháp dây cung khác với phương pháp chia đôi ở chỗ bn- an
không tiến dần đến 0, vì trong quá trình lặp như vậy có thể xảy ra trường hợp
một điểm a hoặc b không thay đổi.
3. Phương pháp lặp đơn

Giả sử ta có thể đưa phương trình (1.5.1) về dạng:
x   (x)

(1.7.2)

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
20


Khoá luận tốt nghiệp

Chọn một điểm bất kỳ thuộc khoảng [a;b]. Các xấp xỉ tiếp theo được tính
theo công thức:
xn1   ( xn ) ; n = 0,1,…

(1.7.3)

Ta có:
Nếu  (x) là một hàm khả vi liên tục và
a)  ' ( x)  q  1 ,  x  a; b
b)  ( x)  a; b , x  a; b thì phương trình (1.7.3) có nghiệm duy
nhất r trên [a;b], phép lặp hội tụ, hơn nữa có:
x n  r  q n (1  q) 1 . x1  x0

4. Phương pháp lặp Newton - Raphson

Xấp xỉ ban đầu của nghiệm có thể làm việc tốt lên nhờ phương pháp lặp:
x n 1  x n 

f ( xn )
, n = 0,1,2…
f ' ( xn )

(1.7.4)

Công thức này cho phép ta tính được giá trị xấp xỉ mới xn+1 khi đã biết
giá trị xấp xỉ xn. Để giảm việc tính toán ta có thể dùng phương pháp lặp
Newton cải tiến bằng cách thay f'(xn) trong (1.7.4) bằng f'(x0)

Để nghiên cứu khả năng hội tụ của phương pháp, ta khai triển f(x) theo
chuỗi TayLor:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
21

Khoá luận tốt nghiệp

f ( x)  f ( xn )  ( x  xn ) 

( x  xn )2
. f "()
2

ở đây  là một điểm nằm trong khoảng giữa xn và x. Thay x = r, vì r là
nghiệm của f và với giả thiết rằng f ' ( xn )  0 ta được:
r  xn 

f ( xn ) (r  xn ) 2 f "()

.
f '( xn )
2
f '( xn )

Khi đó ta có:
( x n  r ) 2 . f " ( )
x n 1  r 
2. f ' ( x n )

Đặt En = xn- r, sai số xấp xỉ ở bước lặp thứ n. Suy ra:
E n 1

( E n ) 2 f " ( )


.
2
f ' ( xn )

Nếu E0<1, tức là việc chọn xấp xỉ ban đầu tương đối gần nghiệm r, và:
f " ( )
 M1
2. f ' ( x n )

Với M1 là một số bất kỳ thì phương pháp lặp Newton - Raphson hội tụ.
Có thể sử dụng phương pháp này để tìm ma trận nghịch đảo của một ma
trận không suy biến A. Ta biết rằng nghịch đảo của một số a là một số x sao
cho a.x=1. Tức là x phải thoả mãn phương trình f ( x) 

a 1
 0 , áp dụng
x

phương pháp lặp Newton - Raphson tìm nghiệm phương trình f(x) = 0 ta được:
x n 1  xn (2  a.x n )

n = 0,1,2….

Ta có thể viết tương tự cho quá trình lặp tìm ma trận nghịch đảo cho ma
trận A là:
X(n+1) = X(n) (2I - A.X(n)) , n=0,1,2….
Với X(0) là ma trận ban đầu của bước lặp. Dễ dàng nhận thấy, nếu
 X ( n ) và quá trình lặp được dừng. Nếu phương trình
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
22

AX ( n)  I thì X

( n 1)


Khoá luận tốt nghiệp

(1.5.1) có nghiệm kép với bậc là  thì công thức (1.7.3) trong trường hợp này
có thể thay thế bằng:
xn 1  xn   .

f ( xn )
f ' ( xn )

Và nó được gọi là phương pháp lặp Newton - Raphson suy rộng. Nếu x0
chọn gần với nghiệm r của (1.5.1) với bậc (   1) và của f"(x) = 0 với bậc là
(   2) ,…. Cho nên các biểu thức:

x0   .

f ( x0 )
f ' ( x0 )

;

x0  (   1)

f ' ( x0 )
;
f ' ' ( x0 )

x0  (   2).

f " ( x0 )
;
f ( 3) ( x 0 )

có cùng giá trị
Vì vậy nhiều khi ta có thể dùng giá trị này để tính các giá trị tiếp theo.
5. Phương pháp tiếp tuyến:

Nếu trong vòng thực lặp Newton - Raphson ta thay f'(xn) bằng biểu thức
xấp xỉ
f ( x n )  f ( x n 1 )
, n =1,2,3….
x n  x n 1

Trong thuật toán này giá trị xấp xỉ mới xn+1 được xác định nhờ vào 2 giá
trị trước xn-1 và xn. Phương pháp này về mặt công thức giống như phương
pháp dây cung nhưng khác ở chỗ x0 và x1 chọn bất kỳ nghiệm gần r, không
nhất thiết phải nằm ở hai phía của nghiệm như phương pháp dây cung đòi hỏi.

Bài tập chương 1
Bài 1: Dùng phương pháp chia đôi, tìm nghiệm gần đúng của các
phương trình sau:
a) x3 - x - 1 = 0. Biết khoảng cách ly nghiệm là (1; 2)

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
23

Khoá luận tốt nghiệp

b) x3 + 3x2 -3 = 0 với độ chính các 10-3, biết khoảng cách ly nghiệm là
(-3;-2)
Bài 2: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng của phương trình
a) 5x3 - 20x +3 = 0, Với độ chính xác 10-4 biết khoảng cách ly nghiệm là
(0;1)
b) x3 + 3x2 - 3 = 0, với độ chính xác 10-3 biết khoảng cách ly nghiệm là
(- 2,75;-2,5)
Bài 3: Dùng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng với độ chính
xác 10-2 của:
a) x3 + 3x + 5 = 0
b) x4 - 3x + 1 = 0
Bài 4: Dùng phương pháp lặp Newton - Raphson tìm nghiệm của các
phương trình
a)

x3 - 2x - 5 = 0

b)

x5 + 5x + 1 = 0

c)

x3 - 5x + 3 = 0
Chương 2
Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến

Cho hệ phương trình phi tuyến
f1(x1,x2, …., xn) = 0
f2(x1,x2, …., xn) = 0

(2.1.1)

f3(x1,x2, …., xn) = 0
……………………
fn(x1,x2, …., xn) = 0
ở đây fi và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết là
liên tục và giới nội
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
24


Khoá luận tốt nghiệp

Đ1 : Phương pháp lặp đơn
1. Phương pháp lặp đơn

Trước tiên ta đưa hệ (2.1.1) về dạng:
x1 =g1(x1, x2,…, xn)
x2 =g2(x1, x2,…, xn)

(2.1.2)

……………………
xn =gn(x1, x2,…, xn)
Nếu có:
g1 g1

g

 .....  1  1
x1
x 2
x n

,

g 2
g 2
g 2

 ..... 
1 ,
x1
x 2
x n

……………………
g n
g n
g n

 .... 
1 ,
x1
x 2
x n

Tại lân cận của nghiệm r = (r1, r2, …., rn) thì phương pháp lặp đơn :
x(k+1) = g(x(k))

(2.1.3)

hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (2.1.1), ở đây

x ( k 1)

 x1( k 1) 
 ( k 1) 
x
 2 
 ....... 
 ( k 1) 
 x n 

,

 g1 
g 
g   2
.... 
 
gn 

2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến:
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

25