cac dang toan on thi lop 10

Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ch II:
Phơng trình bậc hai một ẩn

--------------------------

Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2+ bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: giải phơng trình:
3 x 2 6 x 0 3 x( x 2) = 0

3x = 0 x = 0
x2=0 x =2

Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2+ c = 0
+ Phơng pháp:
-Biến đổi về dạng x 2 = m x = m
2

- Hoặc x 2 m = 0 ( x + m )( x m ) = 0

x+ m =0 x= m
x m =0 x= m

+ Ví dụ: Giải phơng trình:
4x 2 8 = 0 x 2 = 2 x = 2

Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau:
a) 7x2 - 5x = 0 ;
b) 3x2 +9x = 0 ;
c) 5x2 20x = 0

2
2
d) -3x + 15 = 0 ;
e) 3x - 3 = 0 ;
f) 3x2 + 6 = 0
2
2
g) 4x - 16x = 0
h) -7x - 21 = 0
h) 4x2 + 5 = 0
2
Cách giải phơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0) bằng công thức nghiệm:
1. công thức nghiệm:

Phơng trình: ax2 + bx + c = 0

= b 2 4ac
* Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = -b - ; x2 = -b +
2a
2a
* Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
* Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
2. ví dụ giải p.t bằng công thức nghiệm:
Giải phơng trình:
x 2 3x 4 = 0
( a =1; b = - 3; c = - 4)

-b
2a

Ta có: = (3) 2 4.1.(4) = 9 + 16 = 25
= 25 = 5 > 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

(3) + 5
=4
2.1

x2 =

(3) 5
= 1
2.1

Bài tập luyện tập Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau:
Bài 1:
1.a) 2x2 - 7x + 3 = 0 ;
b) y2 8y + 16 = 0 ;
c) 6x2 + x - 5 = 0
2
2
d) 6x + x + 5 = 0 ;
e) 4x + 4x +1 = 0 ;
f) -3x2 + 2x +8 = 0
2.a)3x2 + 12x - 66 = 0
b) 9x2 - 30x + 225 = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------

1


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) x2 + 3x - 10 = 0
d) 3x2 - 7x + 1 = 0
2
e) 3x - 7x + 8 = 0
f) 4x2 - 12x + 9 = 0
2
g) 3x + 7x + 2 = 0
h) x2 - 4x + 1 = 0
Bài 2:
a/ 2x2 - 5x + 1 = 0
b/ 5x2- x + 2 = 0
c/ -3x2 + 2x + 8 = 0
2
2
d/ 4x - 4x + 1 = 0
e/ - 2x - 3x + 1 = 0
f/ 5x2 - 4x + 6 = 0
2
2
g/ 7x - 9x + 2 = 0
h/ 23x - 9x - 32 = 0
i/ 2x2 + 9x + 7 = 0

k/ 2x2 - 7x + 2 = 0
l/ x2 - 6x + 8 = 0
m/ x2 + 6x + 8 = 0
Bi 3: a) 5x2 - 6x - 1 = 0 ;
b) -3x2 +14x 8 = 0 ;
c) 4x2 + 4x + 1 = 0
2
2
2
d) 13x - 12x +1 = 0 ;
e) 3x - 2x - 5 = 0 ;
f) 16x - 8x +1 = 0
Bài 4:
a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x)
b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2)
Bài 5:
a/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
2
d/ 2x - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
e/ 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
Bài 6:
a, 2x2 - 2 2 x + 1 = 0
b, 2x2 - (1-2 2 )x - 2 = 0
c,

1 2
2
x - 2x - = 0
3

3

d, 3x2 - 2 2 x =

7
3

Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng P2đặc biệt:
1. Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một
c
nghiệm
x 1 = 1 và x 2 =
a
2. Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một
c
nghiệm
x 1 = - 1 và x2 =
a
3. Ví dụ:
Giải phơng trình: 2 x 2 5 x + 3 = 0
Ta có: a + b + c = 2 + (5) + 3 = 0 x1 = 1; x 2 =
Giải phơng trình:

3
2

x 2 3x 4 = 0

Ta có: a b + c = 1 (3) + (4) = 0 x1 = 1; x2 =

(4)
=4
1

Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt:
a) 7x2 - 9x + 2 = 0 ;
b) 23x2 - 9x - 32 = 0 ;
2
c) x - 39x - 40 = 0 ;
d) 24x2 - 29x + 4 = 0 ;
Các dạng toán về biện luận phơng trình bậc hai:
1. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ Điều kiện: > 0 ; (hoặc / > 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải: (a = 1; b = 2; c = 2m) = 2 2 4.1.(2m) = 4 + 8m
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt > 0 4 + 8m > 0 8m > 4 m >
Bài tập luyện tập
Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim.

1
2

--------------------------------------------------------------------------------------------

2


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0
b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0
2
c/ - x + 4x + m + 2 = 0
d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0
2
Bài 2: Cho phơng trình : x + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng trỡnh: x2 + kx + 3 = 0
1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phân biệt?
2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + 2m2 + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x2 2mx + m 2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phơng trình với k = 3
b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm kép:
+ Điều kiện: = 0 ; (hoặc / = 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?
Giải: (a = 1; b = 2; c = k ) = 2 2 4.1.( k ) = 4 + 4k
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt = 0 4 + 4k = 0 4k = 4 m = 1
Bài tập luyện tập
Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp.

a/ x2 4x + k = 0
b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0
c/ - x2 - 5x + 3m + 1 = 0
d/ x2 (k + 2)x + k2 + 1 = 0
2
Bài 2: Cho phng trỡnh: 5x + 2x 2m 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp.
Bài 3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài 4:: Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài 5: Cho phng trỡnh: kx2 (2k-1)x + k + 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú ?
3. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm :
+ Điều kiện: < 0 ; (hoặc ' < 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?
Giải: (a = 1; b = 2; c = n) = 2 2 4.1.n = 4 4n
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt = 0 4 4n < 0 4n < 4 n > 1
Bài tập luyện tập
Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ?
a/ x2 + 2x + m + 3 = 0
b/ - x2 - 3x + 2m - 1 = 0
c/ mx2 (2m 1)x + m + 1 = 0
d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc

.Tìm nghiệm thứ 2

--------------------------------------------------------------------------------------------

3


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc
+) Ta thay x = x1 vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số
Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình
Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 x + 2m 6 = 0. (1)
a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x1 = 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:
a/ Thay x1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 12 1 + 2m 6 = 0 2m = 6 m = 3
Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x1 = 1.
b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có:
x 2 x + 2.3 6 = 0
x 2 x = 0 x( x 1) = 0


x=0
x =1

Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0
Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2: Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1.
(Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của
phơng trình
Trình bày ở mục 61)
5. Chứng minh phơng trình luôn luôn có nghiệm :
Phơng pháp:
- Lập biểu thức
- Biện luận cho 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về
dạng:
= ( A B) 2 + m với m 0
Ví dụ: Cho phơng trình x 2 (m 2) x + m 5 = 0
Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có: a = 1; b = (m 2); c = m 5 = [ (m 2)] 2 4.1.(m 5) = (m 2 4m + 4) 4m + 20
= m 2 8m + 24 = m 2 2.m.4 + 4 2 + 8
= (m 4) 2 + 8 > 0

Vì > 0 với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập

Bi 1. Cho phng trỡnh: 2x2 mx + m 2 = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------

4


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bµi 2:
Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0
1/Giải phương trình khi k = 2
2/Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k.
Bµi 3:
Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0
Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN

(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0

8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 =

−b
c
; P = x1.x2 = )
a
a

* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ
động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x 1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm

--------------------------------------------------------------------------------------------

5


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥

2
3

2
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x = (là nghiệm)
2

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =
Khi đó x =

−

2
(thoả mãn m ≠ 1)
3

1
1
=−
=3
2
m −1
−1
3

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =

3
4

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

3
1
-1= − ≠ 0)
4
4

−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
1
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − 1
−
4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên
phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải

--------------------------------------------------------------------------------------------

6


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
1  15

’
2
a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– 3 – m ) =  m −  +
2
4




1
2

2

Do  m −  ≥ 0 với mọi m;

15
> 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
4

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2(m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0

 m ≥ 3

3

2
m
−
3
≥
0
m≥

2



⇔
⇔
⇔
2
 m ≤ 0

m ≤ 0



m ≤ 0

3
2m − 3 ≤ 0

 m ≤
2


Vậy m ≥

3
hoặc m ≤ 0
2

e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6

Theo định lí Viet ta có: 

⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = −
Vậy x1 = −

8 + x2
1 + 2 x2

8 + x2
1 + 2 x2

1
2

( x2 ≠ − )

Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

--------------------------------------------------------------------------------------------

7


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + ; y 2 = x 2 +
với x1; x2 là nghiệm của
x2
x1

phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔

⇔
⇔
⇔m=2
m − 1 = 1
m = 2
P = 1

Vậy m = 2
b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1 + x2 = −2

Từ (1) và (3) ta có: 

3 x1 + 2 x2 = 1

⇔

 2 x1 + 2 x2 = −4  x1 = 5
 x1 = 5
⇔
⇔

3 x1 + 2 x2 = 1
 x1 + x2 = −2  x2 = −7

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm

d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
+ y2 = x1 + x2 +

Khi đó: y

1

y y = (x +
1

2

1

1
x

)( x +
2

2

1
x1
1
x

1

+

1
x2

= x1 + x2 +

)=xx +
1

2

1
xx
1

x1 + x2
x1 x2

= −2 +

+ 2 = m −1+
2

⇒ y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -

1
m −1

−2

m −1
+2=

=

2m
1− m

m

(m≠1)

2

m −1

(m≠1)

2m
m2
.y +
= 0 (m≠1)
1− m
m −1

Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác

nhiều cách giải khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6

--------------------------------------------------------------------------------------------

8


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
*) CMR: A = 8m2 – 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm
x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y1 + y2 = x1 + x2 và

y1
y2
+
=3
1 − y 2 1 − y1

7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x2 thoả
x
mãn :  1
 x2

2

2


x 
 +  2  > 7

 x1 

8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
* Tìm m sao cho x1 − x 2 ≥ 2

Dạng: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức
cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m − 1 ) x + m 2 − 3 m = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn
x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình : x 2 − ( 2 m − 1 ) x − 4 m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn
x12 + x22 = 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình : ( 2 m − 1 ) x 2 − 2( m + 4 ) x + 5 m + 2 = 0. có 2 nghiệm x1,x2
thoả mãn x 12 + x 22 = 2 x 1 x 2 + 16.
Bài 4: Tìm m để phương trình: ( m − 1 ) x 2 − 2 mx + m + 1 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn
x1 x2 5
+
+ = 0.
x 2 x1 2

Bài 5: Tìm m để phương trình: mx 2 − ( m − 4 ) x + 2 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
2( x 12 + x 22 ) − 5 x 1 x 2 = 0.

Bài 6: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m − 2 ) x + m + 5 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
x 12 + x 22 = 10.

--------------------------------------------------------------------------------------------

9


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bi 7: Tỡm m phng trỡnh : x 2 ( m 2 ) x 2 m = 0. cú 2 nghim x1,x2 tho món

x 12 + x 22 = 8.

Bi 8: Tỡm m phng trỡnh : x 2 ( m + 3 ) x + 3m = 0. cú 2 nghim x1,x2 tho món
x 12 + x 22 = 10.

Bi 9: Tỡm m phng trỡnh : x 2 2( m 2 ) x 4 m + 5 = 0. cú 2 nghim x1,x2 tho món
x1 x2
+
= 1.
x2 x1

Bi 10: Tỡm m phng trỡnh : ( m + 2 ) x 2 ( 2 m 1 ) x + m 3 = 0. cú 2 nghim x1, x2 tho
món x1 = 2x2.
Bi 11: Tỡm m phng trỡnh : x 2 2( m + 1 ) x + 4 m 3 = 0. cú 2 nghim x1, x2 tho món
2x1 + x2 = 5.
DNG : lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 1: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m + 2 ) x 2 2( m 1 ) x + 3 m = 0. Hóy lp h
thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 2: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x 2 2( m 1 ) x + m 3 = 0. Hóy lp h thc
liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 3: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m 3 ) x 2 2( m 1 ) x + m 5 = 0. Hóy lp h
thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 4: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( 4 m 3 ) x 2 3( m + 1 ) x + 2 m + 2 = 0.
Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 5: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x 2 ( 2 m + 1 ) x + m 2 + m 1 = 0. Hóy lp h
thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.
Bi 6: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m 1 ) x 2 2( m + 1 ) x + m = 0. Hóy lp h
thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m.

Định lý Vi-et và hệ quả:
1.Định lý Vi ét: Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
S = x1 + x 2 = p = x1x2 =

b
a

c
a

* o lại: Nu cú hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thì hai số đó l nghiệm (nếu
có)của pt bậc hai:
x2 S x + p = 0
2 Toán ứng dụng định lý Viét:
a)Tìm nghiệm thứ 2; biết phơng trình có một nghiệm

x = x1 :

Phơng pháp:
+Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để tính nghiêm thứ hai.
Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ 2

--------------------------------------------------------------------------------------------

10


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ:
Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Giải: Cách1:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 2.1 + 5m 4 = 0 m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 + x2 =

b
1 + x2 = 2 x2 = 1
a

Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 2.1 + 5m 4 = 0 m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 .x 2 =

c
1.x 2 = 1 x 2 = 1
a

Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
* Bi tng t - AD Định lý Vi ét: Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. 3x2 7x - 10 = 0
5. x2 (1+ 2 )x + 2 = 0
2. x2 3x + 2 = 0
6. 3 x2 (1- 3 )x 1 = 0
2

3. x 4x 5 = 0
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x 2 + 3 = 0
2
4. 3x 2 3 x 3 = 0
Bi 2:
Tỡm hai s u v v bit: u + v = 42 v u.v = 441
Gii
Du u+v = 42 v u.v = 441 nờn u v v l nghim ca phng trỡnh
x2 42x + 441 = 0 (*)
Ta cú: = (- 21)2- 441 = 0
Phng trỡnh (*) cú nghim x1 = x2 = 21
Vy u = v = 21
*Bi tng t:
1. Tỡm hai s u v v bit:
a) u+v = -42 v u.v = - 400
b) u - v = 5 v u.v = 24
c) u+v = 3 v u.v = - 8
d) u - v = -5 v u.v = -10
2. Tỡm kớch thc mnh vn hỡnh ch nht bit chu vi bng 22m v din tớch bng 30m 2
Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau
(phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai)
a) x3 + 3x2 2x 6 = 0
b)

2x
x2 x + 8
=
x + 1 ( x + 1)( x 4)

c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 x2

d) 3(x2+x) 2 (x2+x) 1 = 0
Gii
a) Gii phng trỡnh x3 + 3x2 2x 6 = 0 (1)
(1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0
x=- 2;x= 2;x=-3
Vy phng trỡnh (1) cú nghim x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3

--------------------------------------------------------------------------------------------

11


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2x
x2 − x + 8
=
b) Giải phương trình
(2)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)

Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả
mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
− (−3) + 23 13

= (thoả mãn t ≥ 0) ;
2 .5
5
− (−3) − 23
= −2 (loại)
t2 =
2.5
13
13
13
Với t =
⇔ x2 =
⇔x= ±
5
5
5
13
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = −
; x2 =
5

Nên: t1 =

13
5

d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = −

1
3

t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – 1 = 0
∆1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =
1
3

−1 − 5
−1 + 5
; x2 =
2
2

1
3

t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6.

x
x +1

− 10.
=3
x +1
x

−1 − 5
−1 + 5
; x2 =
2
2

7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2

1
1


8.  x +  − 4 x +  + 3 = 0
x
x


x+2
6
+3 =
9.
x−5
2− x

Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .

--------------------------------------------------------------------------------------------

12


Trường THCS Thanh An ----------- ĐẠI SỐ 9 -----------ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
1
1
+ ; B = x12 + x22 ; C = 2 + 2 ;
A=
D = x13 + x23
x2 x2
x2
x2
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ; x1.x2 = − 5
A=

x + x2
1
1
− 3 1

+
= 1
=
=
15 ;
x2
x2
x1 .x 2
− 5 5

B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3 ) 2 − 2(− 5 ) = 3 + 2 5
x12 + x 22 3 + 2 5 1
= (3 + 2 5 ) ;
C= 2 2 =
x1 .x 2
(− 5 ) 2 5

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− 3 )[3 + 2 5 − (− 5 )] = −(3 3 + 3 15 )
* Bài tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
1
1
+ ; B = x12 + x22 ; C = 2 + 2 ;
A=
D = x13 + x23
x2 x2
x2

x2
E=

6 x12 + 10 x1 x 2 + 6 x 22
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 22
;
F
=
5 x1 x 23 + 5 x13 x 2
4 x1 x 22 + 4 x12 x 2

Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi 1:
Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0
Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại.
Bµi 2 BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi 3: BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i
b).LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI khi biÕt hai nghiÖm x1;x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Gi¶i:
 S = x1 + x2 = 5
 P = x1 x2 = 6

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 

Vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

Bµi tËp luyÖn tËp:
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm:
1/
x1 = 8
vµ
x2 = -3
2/
x1 = 36
vµ
x2 = -104
--------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------

13


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chủ đề III
đồ thị
tơng quan giữa đồ thị

y = a ' x 2 ( a ' 0)

y = ax + b

và đồ thị

y = a ' x 2 (a ' 0)

I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 ( a ' 0)
iểm thuc hay không thuộc đồ thị:
Hệ số a đợc tính theo công thức: a =

y
x2

Để vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 ( a ' 0) ta lập bảng giá trị ( thờng cho x 5 giá trị tuỳ ý)
im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
Vớ d :
a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không?
Gii:
a/ Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.22
a=1
2
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 9. Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = ax2 (a 0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
ax2 = ax + b ax2- ax b = 0 (1)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax 2 tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P).
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:

Từ phơng trình (1) ta có: a ' x 2 ax b = 0 = (a ) 2 + 4a ' .b
phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > 0

a) (d) v (P) ct nhau

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau

phng trỡnh (1) cú nghim kộp = 0

c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (1) vụ nghim < 0
3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số:
+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: ax2 = ax + b có :
+ > 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= ( A B) 2 + m với m > 0 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= ( A B) 2 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ < 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
2
= ( A B ) + m với m > 0 thì đờng thẳng không cắt pa ra bol

[

]

--------------------------------------------------------------------------------------------

14

Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.Bài tập luyện tập:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x2.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
Bài 2: Cho (P): y =

1 2
x và đờng thẳng (d): y = ax + b .
2

1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
2

Bài 4: Cho (P) y = x và (d): y = x + m
4

1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Bài 5: Cho hàm số (P): y = x 2 và hàm số(d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)

1. Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P): y = a.x 2 đi qua A
1
4

Bài 7: Cho hàm số (P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = mx 2m 1
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

II. Bài tập mẫu- VN:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ
thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua
một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng:
y = (k - 3)x - 3k + 3 (d 1) và y = (2k + 1)x + k + 5
(d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
e. (d1) và (d2) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
--------------------------------------------------------------------------------------------

15


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến ,
b.
c.
d.
e.
f.
g.

nghịch biến)
(d) đi qua điểm (2;-1)
(d)// với đờng thẳng y =3x-4
(d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
(d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
(d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
1
2

Bi 5: Cho hm s: y = x 2 cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.

b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta
tip im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x2 cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x2.
Bi 8:
8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax2 v hai ng thng sau:
4
3

(d1): y = x 1
a)
b)
c)
d)

(d2): 4x + 5y 11 = 0

Tỡm a bit (P), (d1), (d2) ng quy.
V (P), (d1), (d2) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c.
Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d2).

Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d1).
1
2

Bi 10: Cho Parabol (P): y = x 2 v ng thng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng 2.
b) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im
c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng.
--------------------------------------------------------------------------------------------

16


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d) Tỡm m sao cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x 1 x2 tha món:
1 1 1
+ =
x12 x22 2

Bi 11: Cho hm s: y = ax2 cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).

Ch IV

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
I, Lí thuyết cần nhớ:

* Bớc 1: + Lập PT hoặc hệ phơng trình;
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập PT.hoặc HPT
* Bớc 2: Giải PT hoặc HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

A. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc 1 : Lập hệ phơng trình(phơng trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu
tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
Bớc 2 : Giải hệ phơng trình, (phơng trình)
Bớc 3 : Kết luận bài toán.
b. Bài toán:
Dạng toán qui về đơn vị
Bài tập 1: Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph . Nếu chảy
riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn
vòi trớc 4 h .
Giải
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1
( bể )
x
1
1 giờ vòi sau chảy đợc

( bể )
y
1
1
1 giờ hai vòi chảy đợc + ( bể )
y
x

1 giờ vòi đầu chảy đợc

(1)

Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =

15
h
4

--------------------------------------------------------------------------------------------

17


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15
4
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1: = ( bể ) ( 2)
4 15
1
1

4
Từ (1) và (2) ta có phơng trình + =
y 15
x

Mt khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4 giờ tức là y x=4
Vậy ta có hệ phơng trình
1 1 4
4 x 2 14 x 60 = 0
2 x 2 7 x 30 = 0
+ =
x y 15

y = x + 4
y = x + 4
y x = 4


x = 6
(a)
x = 6


y = 10

x = 2,5
x = 2,5
y = x + 4

(b)

y = 1,5

Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng
số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó
trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian
?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l; để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12

1
2

(1)

thời gian ngời thứ nhất làm riêng l để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất
làm đợc

1
công việc
2x

Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai

làm đợc

1
công việc
2y

1
1
1
1
công việc nên ta có pt :
+
=
6
2x 2 y 6
1

15
x = 5

x + y = 12 2

x =

Từ (1) và (2) ta có hệ pt :
2
15
1 + 1 =1
y = 2 y = 5
2 x 2 y 6

1 giờ cả hai ngời làm đợc

(2)

Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm
trong 5 giờ
Bài tập 3:
Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong .
Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao
lâu sẽ xong việc ?
Giải
-------------------------------------------------------------------------------------------18


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x > 4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )

1
( con đờng )
x
1
Trong 1 giờ tổ 2 sửa đợc
(con đờng )
x+6
1
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc

(con đờng )
4
1
1
1
Vậy ta có pt: +
=
4( x + 6) + 4 x = x ( x + 6) x 2 2 x 24 = 0 x1= 6; x2 =
x
x+6
4

Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc

-4
X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày

Bài tập 4:
Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2
đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày .
Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đờng .Hỏi mỗi đội đã làm bao
nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?
Giải
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30
( ngày )
1
( đoạn đờng )
2x

1
Mỗi ngày đội 2 làm đợc
( đoạn đờng )
2( x + 30)
1
Mỗi ngày cả hai đội làm đợc
( đoạn đờng )
72
1
1
1
Vậy ta có pt :
+
=
2 x 2( x + 30) 72

Mỗi ngày đội 1 làm đợc

Hay

x2 - 42x - 1080 = 0
' = 212 + 1080 = 1521 = 392
x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5:
Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian .
Đội 1 phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn
2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội
1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông
thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng nhau . Tính thời

gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x - 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
--------------------------------------------------------------------------------------------

19


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------40
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
(ha)
x2
90
Mỗi ngày đội 2 trồng đợc
(ha)
x+2
40
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc
(x + 2) (ha)
x2
90
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc
(x - 2) (ha)
x+2

Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta
có pt:

Hay
x1 =

40
90
(x + 2) =
(x - 2)
x2
x+2

5x2 52x + 20 = 0
/ = 262 5.20 = 576 ,

/

= 24

26 + 24
26 24 2
= 10 ; x2 =
=
5
5
5

x2 < 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
Bài 6: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất
làm trong 3 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi
mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Giải:

Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó
(x>0,y>0)
1 1 1
x + y = 16
x = 24


Ta có hệ pt
y = 28
3 + 6 = 1
x y 4

Bài 7 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu
vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc

2
bể . Hỏi mỗi vòi
5

chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y
>0)
1
x +

Ta có hệ pt
2 +
x

1 1
3 3 1
=
x + y = 2
y 6
x = 10



3 2
y = 15
2 + 3 = 2
=
x y 5
y 5

x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi
thứ hai chảy một mình mất 15 giờ .
Bài tập 8 Hai ngời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với
nhau đợc 8 giờ thì ngời thứ nhất nghỉ , còn ngời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng
tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ
--------------------------------------------------------------------------------------------

20


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

20phút . Hỏi nếu mỗi ngời thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất

bao lâu mới xong công việc nói trên ?
Gii
Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc
với năng suất dự định ban đầu .
1
(công việc )
x
1
Một giờ ngời thứ hai làm đợc (công việc )
y
1
Một giờ cả hai ngời làm đợc (công việc )
12
1
1
1
Nên ta có pt : + =
(1)
y 12
x
1
2
trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8. = (công việc )
12 3
2 1
Công việc còn lại là 1 - = ( công việc )
3 3

Một giờ ngời thứ nhất làm đợc

1
y

2
(Công việc )
y
10
Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là (giờ) nên ta có pt
3
1 2 10
y 10
: =
hay =
(2)
3 y
3
6
3

Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2. =

Từ (1) và (2) ta có hệ pt :
1 1 1
+ =

x y 12


y = 10

6 3

x = 30

y = 20

Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết
20 giờ .
Bài tập 9: Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm
xong công việc trong đó trong 63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong
56 giờ . Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm
xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ?
Giải
:
Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc

1
x

( công việc).Ngời B một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ
1
( công việc)Ngời C một mình làm xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì
y
1
mỗi giờ làm đợc ( công việc)
z

làm đợc

--------------------------------------------------------------------------------------------

21


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 1
504

x + y = 72
x = 3 = 168


504
1 1 1

= 126
Ta có hpt : + = y =
x
z
63
4


504
5
1 1 1

y + z = 56
z = 5 = 100 4

1 1 1
12
+ + =
( công việc )
y
x
z 504
504
Vậy cả ba ngòi cùng làm sẽ hoàn thành cong việc trong
= 42 (giờ )
12

Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc

Bài tập 10: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc . Thời gian để đội I
làm một mình xong công việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc
đó là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong
công việc đó . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong .
Giải :
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x giờ ( x > 0 )
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 4 giờ

1
1
2x + 4
+
=
( công việc )

x x + 4 x ( x + 4)
x ( x + 4)
Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là
(giờ)
2x + 4
x ( x + 4)
Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5 .
hay x2 + 4x 32 = 0 x1 = - 8 ( loại ) x2 = 4
2x + 4

Trong 1 giờ hai đội làm chung đợc :

( thoả mãn điều kiện của ẩn ).
Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ .

Dng toỏn chuyn ng
Bài 1 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đờng, sau 3 giờ
thì hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe
cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô.
HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h).
3 x + 3 y = 156
x = 12

y x = 28
y = 40

ta có hệ phơng trình :

Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h).
Bài 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với

vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50
km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB và thời gian dự
định đi từ A đến B.
HD : Gọi quãng đờng AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ).
(x > 0 ; y > 1).

--------------------------------------------------------------------------------------------

22


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x
35 2 = y
x = 350

Ta có hệ phơng trình :
y = 8
y x = 1

50

Vậy quãng đờng AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ).
Bài 3 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca
nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là
3km/h.
HD : Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là x(km/h), vận tốc ca nô đi ng ợc dòng
là y (km/h) (x,y > 3)
x + 3 ( y 3) = 9

x = 27


Theo bài ra ta có phơng trình : 5
5
3 ( x + 3) + 3 ( y 3) = 85 y = 24

Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là
24 (km/h)
Bài 4 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội
thứ nhất làm 3 ngày, đội thứ hai làm trong 6 ngày thì hoàn thành đợc

1
công việc.
4

Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
HD : Gọi thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( ngày). Thời
gian đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là y ( ngày).
1
x +


3 +
x

1 1
=
y 16
x = 24

. Vậy thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình
6 1
y = 48

=
y 4

là 24 ( ngày). Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là 48 ( ngày).
Bài 5 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở
vòi thứ nhất trong 10 phút, vòi thứ hai trong 12 phút thì đợc

2
bể nớc. Hỏi nếu chảy
15

một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể ?
HD : Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy một
mình đầy bể là y (phút).
80 80
x + y =1
x = 120



. Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 120 (phút),
y = 240
10 + 12 = 2
x
y 15

thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 240 (phút).
Bài 6: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính
diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3
lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
HD : Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m).
( x> 0, y > 0).
-------------------------------------------------------------------------------------------23


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y x = 45
x = 15


Diện tích của thửa ruộng là : 900 m2.
y
y
=
60
2
(
x
+
y
)
=
2
(
3

x
+
)


2

Bài 7 : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị.
HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab ( 0 < a 9,0 b 9 ).
a + b = 11
a = 4


. Vậy số cần tìm là 47.
ba ab = 27 b = 7

C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. nếu vận tốc tăng
thêm 20 km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời
gian tăng lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ,
đi ngợc chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ
nguyên vận tốc, nhng ngời đi chậm hơn xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sễ gặp
nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài
5km. Một ngời đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút ( vận tốc lên
dốc và xuống dốc lúc đi và lúc về nh nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc
xuống dốc.
Bài 4 : Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sễ hoàn thành công việc.

nhng lúc đầu, đội một làm đợc 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm một ngày nữa
thì công việc mới hoàn thành. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong
công việc ?
Bài 5 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đày bể. Nếu
từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ băng nớc vòi II chảy vào bể trong 2 giờ.
Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể ?
Bài 6 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn
vị là 3 đơn vị. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27
đơn vị.
Bài 7: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m
thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện
tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô (vận tốc ca nô khi nớc yên lặng và không đổi) biết rằng vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô
ngợc dòng là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
HD : Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô đi xuôi dòng, x > 0.


5
5
x + (x - 9) = 85 x = 30. Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là : 27
3
3

km/h. Vận tốc thật của ca nô đi ngợc dòng là 24km/h.
Bài 2 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 45 km. Một ca nô đi từ A đến B
nghỉ ở B 30 phút rồi quay trở lại A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến bến A là
--------------------------------------------------------------------------------------------

24


Trng THCS Thanh An ----------- I S 9 -----------ễN TP THEO CH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi nớc yên lặng, biết vận tốc của dòng nớc là 6
km/h.
HD : Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng (x > 6).
45

45

1

1

+
+ = 4 2 x 2 45 x 72 = 0 , phơng trình chỉ có
Ta có phơng trình :
x6 x+6 2
2
nghiệm x = 24 (TM). Vậy vận tốc của ca nô khi dòng nớc yên lặng là 24 km/h.
Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi làm
mối giờ thêm 2 sản phẩm nên ngời đó đã làm xong trớc dự định 1 giờ mà còn làm
thêm 6 sản phẩm nữa. Hỏi ngời đó dự định mỗi giờ làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
HD : Gọi x là số sản phẩm ngời đó dự định làm trong một giờ ( x > 0)


120 126

= 1 x 2 + 8 x 240 = 0 , phơng trình chỉ có nghiệm x = 12 (TM). Vậy dự
x
x+2

định mỗi giờ làm đợc 12 sản phẩm.
Bi 4: Hai đội cùng đào một con mơng. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì
thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công
việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con m ơng
trong bao lâu?
HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (giờ). 25 > x > 0. Thời
gian đội hai hoàn thành công việc một mình trong 25 x ngày.


1
1
1
+
= x 2 25 x + 150 = 0 x1 = 10; x 2 = 15 . Thời gian đội I hoàn thành công
x 25 x 6

việc một mình là 10 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc một mình là 15
(giờ).
Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ). Thời gian đội II hoàn
thành công việc một mình là 10 (giờ).
Bài 5: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu
mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Nếu mở
riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể thì x + 2 ( giờ) là thời gian
vòi II chảy một mình đầy bể. Ta có phơng trình:

1
1
12
+
=
6 x 2 23x 35 = 0 .
x x + 2 35

Bài 6: Trong một phòng họp có 80 ngời, đợc sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta
bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc
đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy đợc xếp bao nhiêu chỗ ngồi?
HD: Gọi x là số dãy ghế trong phòng họp, x N*, thì chỗ ngồi trên một dãy là
+ Nếu bớt đi hai ghế thì số chỗ ngồi trên mỗi dãy là :
+ Theo bài ra ta có phơng trình:

80
.
x

80
.
x2

80
80
= 2 x1 = 9; x2 = - 8. Vậy số dãy ghế
x2
x

trong phòng họp là 10 dãy, mỗi dãy đợc xếp 8 chỗ ngồi.
C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Quãng sông từ A đến B dài 36 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngợc
dòng từ B trở về A hết tổng cộng 5 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng
nớc là 3 km/h.
--------------------------------------------------------------------------------------------

25