Biến đổi fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ
em trong thời gian vừa qua. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và xâu sắc nhất tới thầy giáo, Tiến sĩ. Bùi Kiên Cường đã tận tình
hướng dẫn, nghiêm khắc để em hoàn thành tốt khoá luận và trong suốt quá
trình học tập.
Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp
những ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này.

Phúc Yên, ngày 09 tháng 5 năm 2007
Tác giả
Mai Thị Thu Trang.


Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Mục lục .............................................................................................................. 1
Mở đầu .............................................................................................................. 3
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................... 3
5. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 4
Kí hiệu ............................................................................................................... 5
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn, không gian banach ........................................ 6
1. Không gian định chuẩn, không gian Banach ....................................... 6
2. Toán tử tuyến tính ................................................................................ 7
3. Không gian liên hợp ............................................................................. 8

1.2. Không gian Hilbert ............................................................................... 9
1.3. Không gian Lp    , 1  p    ........................................................ 11
1. Không gian L1    ............................................................................. 11
2. Không gian L p    ( 1  p   ) ........................................................ 12
3. Không gian L    ............................................................................ 13
4. Tích chập ............................................................................................ 13

 
Không gian Schwartz S   ............................................................ 18
Sự hội tụ trong không gian S   .................................................... 21

1.4. Không gian Schwartz - S  n ........................................................... 18
1.
2.

n

n

1.5. Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r) ................................................................ 23
1. Đạo hàm suy rộng .............................................................................. 23
2. Tính chất của đạo hàm suy rộng ......................................................... 23
Chương 2. biến đổi Fourier

Mai Thị Thu Trang
1


Khoá luận tốt nghiệp
n

2.1. Phép biến đổi Fourier trong L1 (  ) ................................................ 27
1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 27
2. Các tính chất ....................................................................................... 28

  ................................................. 33

2.2. Phép biến đổi Fourier trong S 

n

1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 33
2. Các tính chất ....................................................................................... 34
3. Biến đổi Fourier ngược ...................................................................... 38

  ..................................... 43

2.3. Biến đổi Fourier trong không gian L2 

n

1. Định nghĩa .......................................................................................... 43
2. Các tính chất ....................................................................................... 43
Chương 3. Không gian các hàm suy rộng
3.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 46
3.2. Toán tử trong không gian .................................................................... 50
các hàm suy rộng ......................................................................................... 50
3.3. Giá của hàm suy rộng......................................................................... 53

  ......................................................... 55

3.4. Biến đổi Fourier trong S 

n

Chương 4 Toán tử giả vi phân
4.1. Biểu trưng............................................................................................ 60
4.2. Toán tử giả vi phân ............................................................................ 65
1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 65
2. Các tính chất ....................................................................................... 66
4.3. Nhân Schwartz và tích phân động ..................................................... 70
1. Nhân Schwartz ................................................................................... 70
2. Tích phân động ................................................................................... 72
Chương 5. nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
1. Phương trình đạo hàm riêng với hệ số hằng ...................................... 78
2. Phương trình không dừng với hệ số hằng. ......................................... 82
3. Phương trình đạo hàm riêng (giả) eliptic ........................................... 84
Kết luận ........................................................................................................... 89
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 90

Mai Thị Thu Trang
2


Khoá luận tốt nghiệp

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm suy rộng và xây dựng các không gian hàm có nhiều ứng

dụng lớn trong vật lý và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, nó phục vụ
cho việc nghiên cứu tính kì dị của hàm và hàm suy rộng trong giải tích vi địa
phương. Chính vì thế việc nghiên cứu các không gian hàm là cần thiết đối với
mỗi sinh viên.
Trong quá trình học tập em đã tiếp thu được một số kiến thức: mở đầu
là chuỗi Fourier, đẳng thức Parseval trong giải tích, tiếp đến là tích phân
Lebegeus, phương trinh đạo hàm riêng, giải tích hàm….Chính những kiến
thức này đã tạo điều kiện, động lực thôi thúc em tìm hiểu và quyết định chọn
đề tài: “Biến đổi Fourier, hàm suy rộng và giải tích vi địa phương”.

2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện tính nghiêm túc, tư duy logic, từ đó có phương pháp
nghiên cứu khoa học thích hợp thích hợp và đúng đắn.
- Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về biến đổi Fourier và hàm suy
rộng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier trong một số không gian hàm:
không gian L1   n  ,S   n  ,L2   n  và không gian hàm suy rộng S    n  .
- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng .
- Bước đầu làm quen và tìm hiểu về giải tích vi điạ phương.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp.
- Phương pháp phân nhóm học tập.

Mai Thị Thu Trang
3

Khoá luận tốt nghiệp

5. Cấu trúc luận văn
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị: trình bày về các không gian hàm và
tích chập, dùng tích chập để chứng minh tính trù mật của

S   n  trong

Lp   n  , 1  p   .
Chương 2 Biến đổi Fourier trên một số không gian hàm L1   n  ,

S   n  , L2   n  .
Chương 3 Không gian các hàm suy rộng: định nghĩa, đạo hàm của hàm
suy rộng, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng.
Chương 4 Toán tử giả vi phân.
Chương 5 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: phương trình đạo
hàm riêng với hệ số hằng, phương trình không dừng với hệ số hằng, phương
trình giả eliptic.

Mai Thị Thu Trang
4


Khoá luận tốt nghiệp

kí hiệu
 supp f là kí hiệu của hàm liên tục f , nghĩa là bao đóng của tập hợp

x : f  x   0 .
 Một đa chỉ số  là một bộ n số nguyên không âm   1 , 2 ,..., n  .

 Nếu  , là các đa chỉ số thì   1   2  ...   n

 !  1 ! 2 !...n ! .     1  1 , 2  2 ,..., n  n 
  n là kí hiệu của không gian Euclied n chiều và x   x1 ,x2 ,...,xn  ,

y   y1 , y2 ,..., yn  ,   1 ,2 ,...,n  là các phần tử trong  n .
 Nếu x   n và  là một da chỉ số thì:

x  x11 x22 ...xnn ,

 xk 


,
xk

x  x11 x22 ...xnn
Dx   i  x , i  1 .


Dxk  i xk ,

 C    n  là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi vô hạn trên

 n.
 C0   n  là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi vô hạn trên

 n với giá compact.
 Công thức Leibnitz

 
D  uv      D  uD  v
    
 
!
Trong đó u,v :  n   là các hàm trơn   
    !     !
và      i  i ,i  1,n .

Mai Thị Thu Trang
5


Khoá luận tốt nghiệp

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn,
không gian banach
1. Không gian định chuẩn, không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính) là
không gian tuyến tính X trên trường k ( k   hoặc k   ) cùng với một ánh
xạ từ X vào tập số thực  kí hiệu là  và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề
sau:
1) x  X, x  0, x  0  x   , (  là phần tử không của X).
2) x  X,  k,  x   x .
3) x, y  X, x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của vector x . Không gian định chuẩn được kí hiệu là X.
Các tiên đề 1),2),3) gọi là các tiên đề chuẩn.

Định nghĩa 1.2. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
xn  x  0 .
tới điểm x , nếu lim
n

kí hiệu: lim xn  x hay xn  x khi n   .
n
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ

xn  xm  0 .
bản nếu lim
n
m

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Mai Thị Thu Trang
6


Khoá luận tốt nghiệp

2. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường k . ánh xạ
A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thoả mãn các
điều kiện:
1) x, x  X ta có A x  x  Ax  Ax .
2) x  X,   X thì A x   Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi A chỉ thoả mãn 1)

thì A gọi là ánh xạ cộng tính. Khi A chỉ thoả mãn 2) thì A gọi là toán tử thuần
nhất. Khi Y  k thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.6. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

c  0 sao cho:
Ax  c x ,x  X .

(1.1)

Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y hằng số c  0 nhỏ nhất thoả mãn hệ
thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và ta kí hiệu là A .
Định lý 1.8. Cho A là một toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y khi đó 3 mệnh đề sau tương đương.
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X.
3) A bị chặn.
Định lý 1.9. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Nếu A bị chặn thì

Mai Thị Thu Trang
7


Khoá luận tốt nghiệp

A  sup Ax .
x 1

3. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X trên trường k . Ta gọi không
gian I  X, k  các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp
(hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X* (thay cho kí hiệu

I  X, k  ).
Định nghĩa 1.11. KG định chuẩn X gọi là kg phản xạ nếu X  X** .
Định nghĩa 1.12.
nếu X  X * .

Không gian định chuẩn X gọi là không gian tự liên hợp

Mai Thị Thu Trang
8


Khoá luận tốt nghiệp

1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K   hoặc
K   ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích

Descarts X  X vào trường k kí hiệu là (,) thoả mãn tiên đề:
1) x, y  X, thì

 x, y   x, y .

2) x, y, z X ta có

 x  y, z   x, z   y, z .

3) x, y  X, k ta có  x, y    x, y .
4) x  X khi đó  x.x  0,x   và  x, x  0  x   .
Các phần tử x, y, z,... được gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số  x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x, y . Các tiền đề 1),2),3),4) gọi là hệ tiền đề
tích vô hướng.
Định lý 1.14 (Bất đẳng thức Schwartz)
Đối với mỗi x  X ta đặt x 

 x, x

(1.2) khi đó x, y  X ta có bất

đẳng thức schwartz

 x, y

 x.y.

(1.3)

Hệ quả 1.15. Công thức (1.2) xác định 1 chuẩn trên không gian X .
Định nghĩa 1.16. Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z... nào đấy
là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường k .
2) H được trang bị một tích vô hướng (,) .
3) H là không gian Banach với chuẩn x 

 x, x ,

x H .

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian Hilbert H .

Mai Thị Thu Trang
9


Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.17. Kí hiệu 
x   xi    , y   yi   
n

n

là không gian vector thực n chiều. Với
n

n

ta đặt  x,y   xi yi .

(1.4)

i 1

Hệ thức (1.4) thoả mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.4) là

x 

n

 x,x    xi2 ,

x   xi    n .

i 1

Chuẩn này trùng với chuẩn của x trong không gian 
chuẩn). Nên không gian vector thực 

n

n

(không gian định

cùng với tích vô hướng (1.4) là một

không gian Hilbert.
Định lý 1.18 (Định lý Riesz). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
x  H.

f (x)  x,a  ,

trong đó phần tử a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ta có

f  a.

(1.5)

Chứng minh: (xem giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy).
Nhận xét: Nhờ định lý Riez mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không
gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a trong H . Hiển nhiên
tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi
phiếm hàm f  H * với phần tử a  H nghĩa là H   H . Nói cách khác
không gian Hilbert là không gian tự liên hợp.

Mai Thị Thu Trang
10


Khoá luận tốt nghiệp

1.3. Không gian Lp    , 1  p   
1. Không gian L1   
Định nghĩa 1.19. Cho  là tập mở của 

n

trang bị độ đo Lebesgue. Ta kí

hiệu L1    là không gian các hàm khả tích trên  lấy giá trị trong  , và đặt
f

L1

  f  x  dx .


Định nghĩa 1.20. Ta gọi giá của hàm f xác định trên  và kí hiệu là suppf
và supp   x  : f  x   0 .
Khi supp f   và suppf là tập compact thì ta nói f có giá compact trên
.

Định nghĩa 1.21. Một hàm f xác định hầu khắp nơi trên  được gọi là khả
tích địa phương trên  nếu f  L1  A với mọi tập đo được A  và kí
hiệu là f  L1,loc    .
Bổ đề 1.22 (Bổ đề Fatou)
Giả sử  fk  là dãy các hàm trong L1    sao cho
1) Với mỗi k ta có fk  x  0 hầu khắp nơi trên  .
2) sup  fk   .
Với mỗi x đặt f  x  liminf fk  x . Khi đó f  L1    và ta có:
k

 f  lim f
k

Bổ đề 1.23.

k

.

Giả sử f  L1 , l o c   sao cho

hầu khắp nơi trên  .

Mai Thị Thu Trang
11

 fu  0,u C   thì
0

f =0


Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 1.24. Không gian C0    các hàm khả vi liên tục có giá compact trù
mật trong L1    tức là f  L1   và   0,f1  C0    sao cho
f  f1

L1

 .

2. Không gian Lp    ( 1  p   )
Định nghĩa 1.25. Cho  là tập mở trong  n . Không gian L p    là tập hợp
tất cả các hàm f với luỹ thừa bậc p khả tích trên  nghĩa là



Lp      f /  f  x      cùng với chuẩn f
 


1
p

Lp



p
   f  x  dx  .



Định lý 1.26 (bất đẳng thức Holder). Giả sử f  L p    ; g Lq    trong đó
p  1, q  1,

1 1
  1 (khi đó p được gọi là mũ liên hợp với q ) thì
p q

gf L1    và

 f  x  g x  dx 



f

Lp

gL .
q

Định lý 1.27 (bất đẳng thức Minkovsky). Giả sử f  L p    g  L p    ,
p>1. Khi đó:

f gL  f
p

Lp

 gL

p

Định lý 1.28 (Tính trù mật)
Không gian C0    trù mật trong L p    với 1  p   .
Định lý 1.29. Kí hiệu

 L  



p

là không gian liên hợp của L p   

( 1  p   ). Khi đó  Lp     = Lq    trong đó q>1 thoả mãn


Mai Thị Thu Trang
12

1 1
 1
p q


Khoá luận tốt nghiệp

Nghĩa là nếu  : Lp      là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
L p    thì tồn tại duy nhất một hàm g  Lq    sao cho   f    gf dx và


g   . Ngược lại với mỗi hàm g  Lq    đều tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính liên tục  sao cho   f    gf dx,f  Lp    .


Định lý 1.30. L2    là không gian Hilbert với tích vô hướng

 f ,g   f  x  g x dx .


Hệ quả 1.31. L2    là không gian tự liên hợp.
Định lý 1.32. Không gian L2    là không gian phản xạ với 1  p   .

3. Không gian L   
Định nghĩa 1.33. L    là tập hợp tất cả các hàm f :    đo được và bị
chặn hầu khắp nơi trong . Nghĩa là c  0: f  x   c hầu khắp nơi trong  .
Kí hiệu: f

f








 inf c: f  x   c h.k.n /
 essup p f  x  .
x

Định lý1.34. L p    là không gian Banach  1  p    .
Hệ quả 1.35. Nếu  1  p    thì một dãy Cauchy trong L p    bao giờ cũng
có một dãy con hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trên  .
Hệ quả 1.36
Lp     L1.loc    , 1  p   trong đó  là miền tuỳ ý trong  n .

4. Tích chập
Bổ đề 1.37

Mai Thị Thu Trang
13


Khoá luận tốt nghiệp

Nếu hàm f ,g L1  

 thì h x   f  x  yg y dy là khả tích trên 

n



n

.

n

Chứng minh. Theo định lý Fubini ta có:





h x  dx 

n

f  x  y  g y  dydx 

 



n



n



f
x

y
g
y
dy




dx
n  n
 




=  g y   f  x  y  dx dy  f



L1

. f

L1

.

Định nghĩa 1.38. Giả sử các hàm f ,g khả tích trên  n . Khi đó hàm
h x  

 f  x  yg y dy được gọi là tích chập của hàm



f và g. Ta kí hiệu

n

tích chập của f và g là f  g.
Định lý 1.39 (Bất đẳng thức Young). Nếu f  L1  

1  p   thì f  g  Lp  

n

 và

f g  f

L1

n



và g Lp  

n



với

.gL .
p

Chứng minh
+Xét với p = 1. Đặt h x  

 f  x  y g x dx . Theo bổ đề 1.36 thì h x khả



tích trên 

n

n

và h x  hữu hạn với hầu khắp x   n . Hơn nữa ta có

f g L 
1

 
n











n

f  x  y  g y  dy dx 

n



f
x

y
g

y
dy





dx
n n
 




g y    f  x  y  dx  dy  f
 n


Vậy định lý đúng với p = 1.

Mai Thị Thu Trang
14

L1

gL.
1


Khoá luận tốt nghiệp

+ Xét với 1  p   đặt hp  x  

 f  x  y g x

p

dy thì hp  x  hữu hạn với

n



1 1
  1 . áp
p p

hầu khắp x   n . Gọi p là số mũ liên hợp của p nghĩa là
dụng bất đẳng thức Holder ta có
1
p

 f  x  y g y dx    f  x  y  f  x  y



n





   f  x  y 
 n


1
p

1
p

g y dy

n

1
p



p
.  f  x  y  g y  dx   f
 n


1
p
L1

 h  x
p

1
p

.

Như vậy f  g x  tồn tại với hầu khắp x   n . Theo bổ đề 1.36 ta có:


p
f  g L     f  g x  dx 
p
n


1
p


 
n


1

p
f  x  y  g y  dy dx 



p



n

1

p
 
p

     f  x  y  g x  dy  dx   f
 n   n





 f

1
p
L1

 f

1
p

L1

 f

 
 
p
    f  x  y  g x  dy  dx 
 n n

 
 



  f  x  y  dx 
n


1
p
L1

f

1
p
L1

gL  f

p

1
p

L1

1

1
p
L1


p
h
x
dx


  p

n


1
p




p
  g y  dy 
n


1
p

gL .
p

Vậy định lý đúng với 1  p   .
+ Xét với p   ta có:

 f  x  y g y dy 



n

gL



 f  x  y dy  g



n

Mai Thị Thu Trang
15

L

f

L1

.


Khoá luận tốt nghiệp

Như vậy tồn tại

 f  x  y g y dy,x  



Tổng quát:

n

.

n

Nếu f  Lp  

n

1 1 1
   r thì f  g  Lr  
r p q

,
n

g  Lp  

 và

Mệnh đề 1.40. giả sử   L1  

n

n



với

f g L  f

Lp

r

1 1

  1, p, n,q  1 đặt
p q

gL .
p

 sao cho    x dx  a,   0. Ta định


n

 x
nghĩa hàm:   x    n   , x   n khi đó với mỗi hàm f trong Lp  

, 1  p   ta có f    af trong Lp  

n

n



 khi   0 .

Chứng minh. Từ bất đẳng thức Minkovsky dạng tích phân và đẳng
thức

   x dx  a,  0. ta có:


n

1


p
p
f    af     f    af   x  dx 
n



p
    f *    x   a. f  x  dx 
n


 
n


1
p

1

p
f  x  y    y  dy  f  x     y  dy dx 

n


p



n


 
n




f
x

y

f
x

y
dy
dx









 
n 





 
n



n  f  x  y  f  x    y dy dx 



p

p

Mai Thị Thu Trang
16

1
p

1

p


Khoá luận tốt nghiệp





   f  x  y  f  x 

n

p

n

1
p


p
  y  dy  dx

1
p






p

y
f
x


y

f
x
dx







 dy
n
 n






   y



fy  f

Lp

n

dy .

trong đó fy  x   f  x  y .
Do C0   n  trù mật trong Lp  

g C0   n  sao cho f  g Lp 

fy  f

Lp



nên với mỗi   0 tồn tại hàm


. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
3

 fy  gy

nhỏ. Điều này suy ra: fy  f

n

Lp

Lp

 gy  g L  f  g L   khi y đủ
p

p

 0 khi   0 .

Như vậy ta có f * g  af trong Lp  

n

.



Mệnh đề 1.41. Giả sử f  C0   n  và g L1,loc   n  thì f  g  C0   n  .
Mệnh đề 1.42. Giả sử f ,g C0   n  khi đó f  g cũng có giá compact. Hơn
nữa supp( f  g)  supp(f) + supp(g).
Chứng minh
Vì

 f * g x    f  x  y  g y dy

do đó nếu x  supp( f  g) thì tồn tại

n

y supp(g) sao cho x - y  supp(f) hay x  supp(f)+supp(g).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.43. C0   n  trù mật trong Lp  

Mai Thị Thu Trang
17

n

,

1 p   .


Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh. Giả sử  C0   n  là một hàm không âm sao cho

   x  dx  1. Với   0, đặt   x  


 x
   , x   n . Khi đó theo mệnh


n

n

đề 1.40 với mỗi hàm g C0   n  thì g*  C0   n  . Do đó theo mệnh đề
1.39 ta có g*   g trong Lp  
Giả sử   0 và hàm f  Lp

(1.6)
.
   . Khi đó C    trù mật trong L   
n

n

n

n

0

nên tồn tai hàm h  C0   n  sao cho f  h L 
p


2

p

.

Theo (1.6), với h  C0   n  ta có thể tìm hàm   C0  
h 

Lp




2

n



sao cho

. Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
f 

Lp

 f  h L  h 
p

Lp





2




2

 .

Vậy định lý được chứng minh. 

1.4. không gian Schwartz - S  n 
1. Không gian Schwartz S 

n



Định nghĩa 1.44. Ta nói rằng f  S 

f

 ,

n

 nếu

f khả vi vô hạn và thoả mãn:

 sup p x x f  x    với mọi đa chỉ số  ,  .

Hiển nhiên S 

n

 là một không gian tuyến tính. Nếu

f  S 

n

 với mọi

đa chỉ số  và mọi số nguyên dương k ta có:

x f  x   c ,  1  x  .
k

trong đó c , là hằng số phụ thuộc vào  và  . Do đó hàm f  S 
gọi là hàm giảm nhanh. Dễ dàng ta thấy C0   n   S 

Mai Thị Thu Trang
18

n

.

n

 được


Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.45. Hàm f  x   e x thuộc vào S 
2

n

.

Thật vậy,
+ Trước hết ta chứng minh với n=1. Khi đó f  x   e x . Ta có:
2

f   x   2xe x   2x  e x
2

1

2

2
f   x    4x2  2 e x   2x   A2  x  e x


2

2

3
f   x    8x3  4x  e x   2x   A3  x  e x


...
2

2

f    x    2x   A  x   e x ,   * .




2

trong đó A  x  là các hàm đa thức theo biến x và degA  x    . Với x đủ

 1
lớn ta có:  2x   A  x   2x .



Do đó x x f  x    2x  A  x e x




 x 2x

2

2 1e   1
e =
, ,    .
2
ex

  1  x2

áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm f  x   ex ta có:
2

k

 x2 

i 0

i!

ex  
2

i

   x k 1  .

Thế vào (1.7) ta được:

2 1 x2m

x  x f  x 
 

m

x 

i 0

i!



2 i

ex  m!.2 1   khi x   .
2

   xm1 

Trong đó m =  +  + 1. Từ đó suy ra

x x f  x   , ,    hay f
Vậy f  S 

1

.

Mai Thị Thu Trang
19

 ,

 , ,    .

(1.7)


Khoá luận tốt nghiệp

+ Với n tuỳ ý ta có:
Với

đa

mọi

chỉ

x   x1, x2 ,.., xn   

  1, 2 ,..., n  ,

số
n

   1, 2 ,..., n 

và

x  x11 x22 ...xnn . Khi đó

thì

f  x   e x  e x1 e x2 ...e xn .
2

Đặt

2

2

2

fi  x   e xi , i  1,n ta có f  x  f1  x f2  x ...fn  x  . Mà theo chứng
2

  , i  1,n nên:

minh trên ta có fi  S 

n

xi xi fi  x   ,i  1,n,i , i  

 f

 ,

Vậy f  S 

 sup x  x f  x   , đa chỉ số  ,  .
x

n

.

n



Bổ đề 1.46. Nếu f  S(R n ) thì

x x f

 , 

x x f (x)  S(Rn ) và

c



     

f

 , 

      

Với mọi đa chỉ số  ,  , ,   .
Chứng minh
Cho f  S 

n

 khi đó theo định nghĩa không gian Schwartz ta có:
f

 ,

 sup x   f  x   c ,   .
x n

Với mọi đa chỉ số  ,  .

  
Ta lại có: x    x x f (x)   x      x     x f (x) 
     
  
  
    x    x       f ( x)   c.   f
     

      
    

Vậy bổ đề được chứng minh. 

Mai Thị Thu Trang
20

 ,  

.


Khoá luận tốt nghiệp

Bổ đề 1.47. Cho m là một số nguyên không âm, f  S 

n

 và y 

n

là một

điểm cố định. Nếu f và các đạo hàm đến cấp m của nó triệt tiêu tại y thì tồn

  sao cho:

tại h  S 

n

f  x 


 x  y h  x  ,x  

 

n

.

(1.8)

m1

:

Chứng minh. Cho   C0  

n



và   1 trong một lân cận của điểm

y. Đặt f1   1    f , f2   f . Hiển nhiên hàm
h x   x  y

2m 2

f1  x   x  y

2m 2

f1  x   S 

h x  

n

 . Ta có:


 x  y P  x  yh x 

 
m1

:

Trong đó P là các đa thức. Suy ra hàm f1 biểu diễn được dưới dạng (1.8)
theo công thức Taylor: f2  x  


 x  y h  x  trong đó h

 

:

trơn vô hạn. nếu   C0  

n



là các hàm

m1

và   1 trên sup p thì nhân cả hai vế của

đẳng thức trên với  ta được sự mở rộng (1.8) cho f2 .
Định lý 1.48. S 

n

 trù mật trong L   
n

p

1 p   .

  S   nên cl  C     cl  S   .
Mặt khác theo định lý 1. 42 ta có L     cl  C     . Suy ra
S   trù mật trong L    . 
Mệnh đề 1.49. S   không trù mật trong L    .

2. Sự hội tụ trong không gian S  
Chứng minh. Do C0  

n


0

n


0

n

p

n

n

p

n



n

Mai Thị Thu Trang

21

n

n

n

n


Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.50. Ta nói rằng
không gian S 

n

 và viết

 fk   S  n 

S
fk 
 f nếu f  fk

hội tụ về f  S 
 ,

n



trong

 0 khi k   , với mọi

đa chỉ số  ,  .
S
* fk 
 f trong S 

một metric trên S 

n

n



khi và chỉ khi   f , fk   0 trong đó  là

.

  f ,g  

f  g  ,

    !  1 

Mai Thị Thu Trang
22

f  g  ,



.


Khoá luận tốt nghiệp

1.5.

Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r)

1. Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.51. Giả sử   1, 2 ,.., n  là một đa chỉ số. Hàm

f   x   L2,loc    được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  trong miền   

n

của hàm f  x  L2,loc   , nếu đối với hàm tuỳ ý g C0    ta có:



 f  x D g x dx   1  f  x  g x dx .





Bổ đề 1.52. Cho f  L2    nếu


 f  x  g x dx  0,g  C   thì f  x  0
0



hầu khắp nơi trên  .
Bổ đề 1.53. f  x   0 hầu khắp nơi trên ,   thì f  x   0 hầu
khắp nơi trên  .

2. Tính chất của đạo hàm suy rộng
Tnh chất 1.54. Nếu hàm f có d. h. s. r cấp  thì đạo hàm suy rộng cấp 
của f là duy nhất.
Chứng minh. Thật vậy giả sử f có 2 d.h.s.r cấp  là f1 , f2 trong
miền    n . Khi đó:



 f  x D g x  dx   1  f  x g x  dx
1





=  1





 f  x g x  dx, g C   .
2

0



Từ đó suy ra:




 f  x g x  dx   f  x g x  dx  0, g  C   
1



2

0



   f1  x   f2  x  g x  dx  0, g  C0   .



 f1  f2 hầu khắp nơi trên  , từ đó ta có điều phải chứng minh.

Mai Thị Thu Trang
23


Khoá luận tốt nghiệp

Tinh chất 1.55. Đạo hàm suy rộng cấp  không phụ thuộc vào thứ tự lấy
tích phân.
Tinh chất 1.56. Nếu các hàm f1, f2 có đạo hàm suy rộng f1 , f2 trong miền
 thì hàm số f  c1 f1  c2 f2 cũng có đạo hàm suy rộng cấp  trong  và

f   c1 f1  c2 f2 .
Chứng minh. Với mọi   C0   ta có:




  x   c f  x   c f  x  dx   c   x  f  x dx   c   x  f  x dx
1 1

2 2

1



1



2

2




 
=  1 c1  f1  x D  x  dx  c2  f2  x  D  x dx 
 


  1




 c f  x   c f  x D   x  dx
1 1

2 2



  1



 f  x  D   x  dx.




Từ đó ta có điều phai chứng minh. 
Ví dụ 1.57. Cho   B 0,1  x   n / x  1, f  x   x1 xác định trên  ,
có các đạo hàm suy rộng cấp 1:

f
f
 signx1;
 0,i  2,n .
x1
xi
Thật vậy: Với mỗi i  2 thì f = const đối với biến xi nên nó có đạo hàm suy
rộng

f
f
 0 . Vì vậy f có đạo hàm suy rộng
 0,i  2,n trên  .
xi
xi

 

+ Với   C01  ta có:

 f  x






dx   f  x 
dx   f  x 
dx .
x1

x

x
1
1



trong đó    x  : x1  0,    x  : x1  0 , nên

 f  x







dx   x1
dx   x1
dx .
x1

x

x


1
1



Mai Thị Thu Trang
24