Lý thuyết hàm suy rộng và không gian sobolev
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 87 trang )
▲ý t❤✉②Õt ❍➭♠ s✉② ré♥❣ ✈➭ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
➜➷♥❣ ❆♥❤ ❚✉✃♥
❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➭② ✷✵✲ ✶✶✲ ✷✵✵✺
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❤➭♠ s✉② ré♥❣
✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ s✉♥❣
✶✳✶✳✶ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉
N = {1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥✱ Z
+
= {0, 1, 2, . . .} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣
➞♠✱ R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✱ C ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝✳ ➜➡♥ ✈Þ ➯♦
√
−1 = i.
❱í✐ ♠ç✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n ∈ N✱ t❐♣ Z
n
+
= {α = (α
1
, . . . , α
n
)
α
j
∈ Z
+
, j = 1, . . . , n}, t❐♣
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
x
j
∈ R, j = 1, 2, . . .} ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤ù❝ n ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❝❤✉➮♥
❊✉❝❧✐❞
x =
n
j=1
x
2
j
1
2
.
◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣× ➤➷❝ ❜✐Öt✱ ❦ý ❤✐Ö✉ Ω ❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ R
n
.
❱í✐ ♠ç✐ k ∈ Z
+
❦ý ❤✐Ö✉ ❝➳❝ t❐♣ ♥❤➢ s❛✉✿
C
k
(Ω) = {u : Ω → C
u ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Õ♥ ❝✃♣ k}, C(Ω) = C
0
(Ω) = {u : Ω
❧✐➟♥ tô❝
−→ C},
C
k
0
(Ω) = {u : Ω → C
u ∈ C
k
(Ω), supp u ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t}, C
0
(Ω) = C
0
0
(Ω),
C
∞
(Ω) = ∩
∞
k=1
C
k
(Ω), C
∞
0
(Ω) = ∩
∞
k=1
C
k
0
(Ω),
tr♦♥❣ ➤ã✱ supp u = cl{x ∈ Ω
u(x) = 0}.
❱í✐ ♠ç✐ sè t❤ù❝ 1 ≤ p < ∞, ❦ý ❤✐Ö✉
L
p
(Ω) = {u : Ω
➤➤
−→
▲❡❜❡s❣✉❡
C
Ω
|u(x)|
p
< +∞},
✈í✐ p = ∞, ❦ý ❤✐Ö✉
L
∞
(Ω) = {u : Ω
➤➤
−→
▲❡❜❡s❣✉❡
C
ess sup
x∈Ω
|u(x)| < +∞},
tr ó ess sup
x
|u(x)| = inf{M > 0
m{x
|u(x)| > M} = 0}.
ớ 1 p , ý ệ
L
p
loc
() = {u :
s
C
u L
p
(), ớ ọ t ợ }
L
p
compact
() = {u :
s
C
u L
p
(), : u(x) = 0 tr \ },
tr ó ĩ ó cl() t t tr .
ớ ỗ u C
(), = (
1
,
2
, . . . ,
n
) Z
n
+
ý ệ
D
u = D
1
1
D
2
2
. . . D
n
n
u, D
j
j
=
j
x
j
j
, j = 1, 2, . . . .
ó ớ u, v C
(), = (
1
,
2
, . . . ,
n
) Z
n
+
ó tứ t
D
(uv) =
D
uD
v,
tr ó
=
n
j=1
j
j
,
j
j
=
j
!
j
!(
j
j
)!
,
tổ tr t ỉ số Z
n
+
, ĩ 0
j
j
, j = 1, 2, . . . , n.
P ị
ị ĩ ột t tr R
n
. ột ọ ế ợ {(
j
,
j
)}
j=1
, tr
ó
j
t ở tr R
n
,
j
tộ ớ tr R
n
, ợ ọ
ột ị ủ t ế tí t s ợ t
{
j
}
=1
ột ủ ở ủ , (
j=1
j
,
j
t ở
0
j
(x) 1,x , j = 1, 2, . . . ,
j
C
0
(R
n
), supp
j
j
, j = 1, 2, . . . ,
j=1
j
(x) = 1,x .
ò ọ {
j
}
j=1
ị ứ ớ ủ ở {
j
}
j=1
ủ t .
ị ý K ột t t tr R
n
, ọ ữ {U
j
}
N
j=1
ột ủ ở ủ
K. ó tồ t ột ọ ữ {
j
}
N
j=1
ị ột
ị ứ ớ ủ ở {U
j
}
N
j=1
ủ t K.
ể ứ ị ý t ột số ết q s
ừ trở ý ệ : R
n
R ợ ị s
(x) :=
Ce
1
||x||
2
1
, ế||x|| < 1,
0, ế ||x|| 1,
tr ó C số s
R
n
(x)dx = 1.
ể ý r ó tí t s
✸
✭✐✮ ρ ∈ C
∞
0
(R
n
), supp ρ =
¯
B
1
(0) = {x ∈ R
n
||x|| ≤ 1}, ρ(x) ≥ 0,∀x ∈ R
n
,
✭✐✐✮
R
n
ρ(x)dx = 1, ρ ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ||x||✭r❛❞✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳
❱í✐ ♠ç✐ > 0, ➤➷t ρ
(x) =
−n
ρ(
x
)✳ ❍➭♠ ρ
❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤➭♠ ρ✿
✭✐✮ ρ
∈ C
∞
0
(R
n
), supp ρ
=
¯
B
(0) = {x ∈ R
n
||x|| ≤ 1}, ρ
(x) ≥ 0,∀x ∈ R
n
,
✭✐✐✮
R
n
ρ
(x)dx = 1, ρ
❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ||x||✭r❛❞✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳
❱í✐ ♠ç✐ ❤➭♠ f ∈ L
1
loc
(R
n
), ➤➷t
f
(x) = (f ∗ ρ
)(x) =
R
n
f(y)ρ
(x − y)dy.
❱✐Ö❝ ➤➷t ♥➭② ❧➭ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ✈×
R
n
f(y)ρ
(x − y)dy =
R
n
f(x − y)ρ
(y)dy =
¯
B
(0)
f(x − y)ρ
(y)dy.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳ ❈❤♦ f ∈ L
1
loc
(R
n
). ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ s❛✉✳
✭✐✮ f
∈ C
∞
(R
n
).
✭✐✐✮ ◆Õ✉ supp f = K ⊂⊂ R
n
t❤× f
∈ C
∞
0
(R
n
), supp f
⊂ K
= {x ∈ R
n
d(x, K) ≤ }.
✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ f ∈ C(R
n
) t❤× lim
→0
+
sup
x∈K
|f
(x) − f(x)| → 0,∀K ⊂⊂ R
n
.
✭✐✈✮ ◆Õ✉ f ∈ L
p
(R
n
)(1 ≤ p < ∞) t❤× f
∈ L
p
(R
n
), ✈➭ f
L
p
−→ f ❦❤✐ → 0
+
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉
D
α
x
(
R
n
f(y)ρ
(x − y)dy) =
R
n
f(y)D
α
x
ρ
(x − y)dy.
✭✐✐✮❉♦ supp f = K ♥➟♥
f
(x) =
R
n
f(y)ρ
(x − y)dy =
K
f(y)ρ
(x − y)dy.
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ K
✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ d(x, K) > ❤❛②||x−y|| > ,∀y ∈ K. ▼➭ supp ρ
∈
¯
B
(0)
♥➟♥ ρ
(x − y) = 0,∀y ∈ K. ❉♦ ➤ã✱ f
(x) = 0 ❦❤✐ x ∈ K
❤❛② supp f
⊂ K
.
✭✐✐✐✮ ❉Ô t❤✃②
f
(x) − f(x) =
R
n
f(x − y) − f(x)
ρ(y)dy =
¯
B
1
(0)
f(x − y) − f(x)
ρ(y)dy
♥➟♥ |f
(x) − f(x)| ≤ sup
y∈
¯
B
(0)
|f
(x − y) − f(x)|
♠➭ f ∈ C(R
n
) ❝ã f ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ tr➟♥ tõ♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ R
n
❞♦ ➤ã lim
→0
+
sup
x∈K
|f
(x) − f(x)| → 0,∀K ⊂⊂ R
n
.
✹
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳ ❈❤♦ K ⊂⊂ R
n
. ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐ > 0, ❝ã ♠ét ❤➭♠ ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) t❤♦➯ ♠➲♥
✭✐✮ 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1,∀x ∈ R
n
,
✭✐✐✮ supp ϕ ⊂ K
,
✭✐✐✐✮ ϕ(x) = 1,∀x ∈ K
2
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✃② ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ K
3
4
χ(x) :=
1, ♥Õ✉ x ∈ K
3
4
,
0, ♥Õ✉ x ∈ K
3
4
.
❈ã χ ∈ L
1
(R
n
) ⊂ L
1
loc
(R
n
), supp χ = K
3
4
, ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷ ❝ã
✭✐✮ χ ∗ ρ
4
∈ C
∞
0
(R
n
),
✭✐✐✮ supp(χ ∗ ρ
4
) ⊂ K
,
✭✐✐✐✮0 ≤ (χ ∗ ρ
4
)(x),∀x ∈ R
n
.
➜Ó ý r➺♥❣✱
(χ ∗ ρ
4
)(x) =
¯
B
4
(0)
χ(x − y)ρ
4
(y)dy
♥➟♥
✭✐✮ (χ ∗ ρ
4
)(x) ≤
¯
B
4
(0)
ρ
4
(y)dy = 1,
✭✐✐✮ ◆Õ✉ x ∈ K
2
t❤× (x − y) ∈ K
3
4
,∀y ∈
¯
B
4
, ❞♦ ➤ã (χ ∗ ρ
4
)(x) =
¯
B
4
(0)
ρ
4
(y)dy = 1.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt K ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ {U
j
}
N
j=1
❧➭ ♠ét ♣❤ñ
♠ë ❝ñ❛ K ❝ã
W
1
:= K\(∪
N
j=2
U
j
) ⊂⊂ U
1
♥➟♥ tå♥ t➵✐
1
> 0 s❛♦ ❝❤♦
W
1
⊂ W
1
+ B
1
(0) ⊂ U
1
.
❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ
1
∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦
V
1
:= W
1
+ B
1
2
(0) ⊂ supp ψ
1
⊂ W
1
+ B
1
⊂ U
1
.
▲➵✐ ❝ã✱ W
1
:= K\(∪
N
j=2
U
j
) ⊂ V
1
♠➭ V
1
❧➭ t❐♣ ♠ë ♥➟♥
W
2
:= K\(V
1
∪ (∪
N
j=3
U
j
)) ⊂⊂ U
2
.
✺
❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐
2
> 0 s❛♦ ❝❤♦
W
2
⊂ W
2
+ B
2
(0) ⊂ U
2
.
❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✱ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (0, 1) ❧➭ ψ
2
∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦
V
2
:= W
2
+ B
2
2
(0) ⊂ supp ψ
2
⊂ W
2
+ B
2
⊂ U
2
.
❈ø ♥❤➢ t❤Õ t❛ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢î❝ ❞➲② ❝➳❝ ❤➭♠ {ψ
j
}
N
j=1
t❤♦➯ ♠➲♥
✭✐✮ ψ
j
∈ C
∞
0
(R
n
),
✭✐✐✮ V
j
:= W
j
+ B
j
2
(0) ⊂ supp ψ
j
⊂ W
j
+ B
j
⊂ U
j
,
✭✐✐✐✮
N
j=1
ψ
j
(x) > 0,∀x ∈ ∪
N
j=1
V
j
(⊃ K),
✭✐✈✮
N
j=1
ψ
j
(x) < N + 1,∀x ∈ R
n
.
❈ã K ⊂⊂ ∪
N
j=1
V
j
♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét sè > 0 s❛♦ ❝❤♦
K ⊂ K + B
(0) ⊂ ∪
N
j=1
V
j
.
❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ φ t❤♦➯ ♠➲♥
✭✐✮ φ ∈ C
∞
0
(R
n
),
✭✐✐✮ K ⊂ K + B
2
(0) ⊂ supp φ ⊂ K + B
⊂ ∪
N
j=1
V
j
,
✭✐✐✐✮0 ≤ φ(x) ≤ 1,∀x ∈ R
n
, φ(x) = 1,∀x ∈ K + B
(0).
➜➷t
ϕ
j
(x) :=
ψ
j
(x)
φ(x)
N
k=1
ψ
k
(x)
+ (1 − φ(x))
N + 1 −
N
k=1
ψ
k
(x)
❝ã
✭✐✮ 0 ≤ ϕ
j
(x) ≤ 1,∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✮ ϕ
j
∈ C
∞
0
(R
n
), supp ϕ
j
⊂ U
j
, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✐✮
∞
j=1
ϕ
j
(x) = 1,∀x ∈ K.
❈❤ó ý✳ ➜Ó ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ϕ
j
tõ ψ
j
t❛ ❝ã t❤Ó ❞ï♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝➳❝❤ s❛✉✿
✭✐✮ t❤ø ♥❤✃t
ϕ
j
(x) :=
φ(x)ψ
j
(x)
N
k=1
ψ
k
(x)
, ♥Õ✉ x ∈ supp φ,
0, ♥Õ✉ x ∈ supp φ,
✭✐✐✮ t❤ø ❤❛✐
ϕ
1
(x) = ψ
1
(x), ϕ
2
(x) = (1 − ψ
1
(x))ψ
2
(x), . . . , ϕ
N
(x) = ψ
N
(x)
N−1
j=1
(1 − ψ
j
(x)).
D() s
rộ D
()
D()
ị ĩ D() ồ C
0
() ớ ệ
ộ tụ s {
j
}
j=1
tr C
0
() ợ ọ ộ tụ ế C
0
() ế
ó ột t t K supp
j
K, j = 1, 2, . . . ,
lim
j
sup
x
|D
j
(x) D
(x)| = 0, Z
n
+
.
ó t ết = D
lim
j
j
.
ú ý ế = D
lim
j
j
tì supp K.
ệ ộ tụ tr D() ù ợ ớ trú tế tí tr D(), ĩ ế
, à C,
k
,
k
, , D(), k = 1, 2, . . . , ó
ế D
lim
k
k
= , D
lim
k
k
= tì D
lim
k
(
k
+ à
k
) = + à.
tế t ò ó tể ứ ế C
(), = D
lim
j
j
tì =
D
lim
j
j
. t ế
k
(x) = 0 tì (x)
k
(x) = 0 supp(
k
) supp
k
,
t tứ t ó ớ ỗ Z
n
+
D
(
k
)(x) =
D
(x)D
k
(x)
= D
lim
j
j
ĩ
ó ột t t K supp
k
K, k = 1, 2, . . . ,
lim
k
sup
x
|D
k
(x) D
(x)| = 0, Z
n
+
,
ó
supp(D
k
) K, k = 1, 2, . . . , Z
n
+
supp(
k
) K, supp(D
(
k
)) K, k = 1, 2, . . . ,
sup
x
|D
(
k
)(x) D
()(x)| C
sup
xK
|D
(x)|
sup
x
|D
k
(x) D
(x)|
lim
k
sup
x
|D
(
k
)(x) D
()(x)| = 0, Z
n
+
.
ớ ỗ Z
n
+
, é t D
tế tí tụ tr D() ĩ
D
D(), supp D
supp ,
ế , à C, , D() tì D
( + à) = D
+ àD
,
ế D
lim
k
k
= 0 tì D
lim
k
D
k
= 0.
t tử tế tí P =
||m
a
(x)D
, a
C
() t tử
tế tí tụ tr D() supp P u supp u,u D(). Ptr ứ
ợ r ế t tử tế tí P tr C
0
() t tí t supp P u supp u,u
C
0
() tì P t tử
{
j
}
j=1
ợ ọ ột tr D() ế
ó ột t t K R
n
supp
j
K, j = 1, 2, . . . ,
lim
j
k
sup
xK
|D
j
(x) D
k
(x)| = 0, Z
n
+
.
k
D(), k = 1, 2, . . . , ỗ ì tứ
k=1
k
ợ ọ ộ tụ tr D()
ế tổ r {
k
j=1
j
}
k=1
ộ tụ tr D().
ệ ề D() ủ
ứ {
j
}
j=1
ột tr D() tì
ó ột t t K supp D
j
K, j = 1, 2, . . . ,,
lim
j
k
sup
xK
|D
j
(x) D
k
(x)| = 0, Z
n
+
ớ ỗ {D
j
}
j=1
tr C(K) ớ sup,
C(K) ớ sup ủ ó ó ột
C() s
supp
K,
lim
j
sup
xK
|D
j
(x)
(x)| = 0.
sẽ ứ
= D
0
. ó
0
C
0
()
supp D
0
K,
lim
j
sup
x
|D
j
(x) D
0
(x)| = lim
j
sup
xK
|D
j
(x) D
0
(x)| = 0.
0
= D
lim
j
j
.
ể ứ ề t ỉ ứ = (1, 0, . . . , 0). trờ ợ
= (0, . . . , 0,
j
1 , 0, . . . , 0) t ứ t tự ó q t ứ
trờ ợ ò
ề ể ì D
1
j
ộ tụ ề ế
(1,0,...,0)
tr K,
j
ộ tụ ề ế
0
tr K.
s rộ D
()
ị ĩ ó r f ột s rộ tr ế f ột ế tế
tí tụ tr D().
s rộ f D
() t ộ ỗ D() ợ ết f, . s
rộ f, g D
() ợ ọ ế
f, = g, , D().
tt s rộ tr t D
().
ú ý r D
() ó tể ự ột trú t tr C, ĩ t ó
tể ị ĩ é t tế tí s
é ộ ớ f, g D
() tổ f + g ợ ị s
f + g : f + g, = f, + g, , D(),
ó f + g D
(), ĩ f + g ế tế tí tụ tr D(),
é ớ số ứ ớ C, f D
() tí f ợ ị s
f : f, = f, , D(),
ó f D
(), ĩ f ế tế tí tụ tr D().
tế t ò ó tể ị ĩ é ớ ột tr C
().
ớ C
(), f D
() tí f D
() ợ ị s
f : f, = f, , D(),
ó f D
().
t f D
() ễ t f : D() C tế tí
ể ứ f tụ t {
k
}
k=1
D
lim
k
k
= 0 t ứ lim
k
f,
k
=
lim
k
f,
k
= 0. ề ể ì f tụ D
lim
k
k
= 0.
í ụ ớ ỗ f L
1
loc
() ợ ột s rộ s
f : f, =
f(x)(x)dx, D().
ó tể L
1
loc
() t ủ D
() s rộ f L
1
loc
() ợ ọ
s rộ í q
ớ f, g L
1
loc
(), tì sự t ĩ s rộ t ĩ t tờ
ĩ
f, g L
1
loc
(),
f(x)(x)dx =
g(x)(x)dx, D() tì f = g, h.k.n tr .
í ụ r
: , = (0), D().
s rộ
r trờ ợ ột ế ụ tứ tí từ f C
1
(R),
C
0
(R) ó
+
f
(x)(x)dx = f(x)(x)|
+
+
f(x)
(x)dx = (1)
+
f(x)
(x)dx.
t ó tể ị ĩ ủ ột ột s rộ r
ị ĩ t ó tể ị ĩ f L
1
loc
(R).
ị ĩ f D
(), = (
1
, . . . ,
n
) Z
n
+
. s rộ ủ
s rộ f tr , ý ệ D
f, từ D() C ợ ị ở
D
f : (1)
||
f, D
, D().
ú ý ớ ỗ Z
n
+
, f D
(), s rộ ủ s rộ f tr
ột s rộ ó s rộ D
f ế tế tí
tụ từ D() C, ì
ớ ỗ , à C, , D() ó
D
f, + à = (1)
||
f, D
( + à) = (1)
||
(f, D
+ àf, D
)
= D
f, + àD
f,
ớ
k
D(), k = 1, 2, . . . , D
lim
k
k
= 0 tì D
lim
k
D
k
= 0, Z
n
+
lim
k
D
f,
k
= lim
k
f, D
k
= 0.
ớ ỗ , Z
n
+
, f D
(R
n
) ó s rộ , , + D
f, D
f, D
+
f
D
+
f = D
(D
f) = D
(D
f).
ó D
= D
1
1
D
2
2
. . . D
n
n
, ớ D
j
j
= D
(0,...,0,
j
1 ,0,...,0)
. . . D
(0,...,0,
j
1 ,0,...,0)
j
, tứ tự
ó tể t ổ
í ụ ế f L
1
loc
() ó t ĩ t tờ D
f L
1
loc
() tì
t ĩ s rộ ủ s rộ f ũ D
f.
í ụ s
(t) :=
1, ế t > 0,
0, ế t 0.
ó s rộ D(t) = (t).
✶✵
❱Ý ❞ô ✺✳ ❈❤♦ f ∈ D
(Ω), ϕ ∈ C
∞
(Ω) ❝ã
D
α
(ϕf) =
β≤α
α
β
D
β
ϕD
α−β
f, tr♦♥❣ ➤ã
α
β
=
n
j=1
α
j
β
j
,
α
j
β
j
=
α
j
!
β
j
!(α
j
− β
j
)!
.
❱Ý ❞ô ✻✳ ➜➷t E(x) = (2π)
−1
ln||x||, ♥Õ✉ x ∈ R
2
\{0}, ❝ß♥ ✈í✐ n ≥ 3 ➤➷t
E(x) = −
1
(n − 2)c
n
||x||
2−n
, x ∈ R
n
\{0},
✈í✐ c
n
❧➭ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ♠➷t ❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ tr♦♥❣ ❣✐❛♥ R
n
.
❑❤✐ ➤ã✱ ∆E = δ tr♦♥❣ D
(R
n
), ∆ = D
2
1
+ . . . D
2
n
.
❚❤❐t ✈❐②✱ tr➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ E ∈ L
1
loc
(R
n
). ❉Ô ❞➭♥❣ t❤✃② E ❦❤➯ ✈✐ ✈➠ ❤➵♥ t➵✐ ♠ä✐
➤✐Ó♠ x = 0, ✈➭ ✈í✐ x = 0 ❝ã
D
j
E(x) =
1
c
n
x
j
||x||
−n
, D
2
j
E(x) =
1
c
n
(||x||
2
− nx
2
j
)||x||
−n
❝❤ó ý c
2
= 2π
∆E(x) = D
2
1
E(x) + . . . D
2
n
E(x) = 0.
◆❤➢ ✈❐② ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ E ∈ L
1
loc
(R
n
) t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ E ❦❤➯ tÝ❝❤ tr♦♥❣ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤➡♥
✈Þ B
1
(0). ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤✉②Ó♥ s❛♥❣ ❤Ö t♦➵ ➤é ❝➬✉ t❛ ❝ã
B
1
(0)
E(x)dx =
2π
0
1
0
1
c
2
ln(r)rdrdθ ♥Õ✉ n = 2,
−
||x||=1
1
0
1
(n−2)c
n
r
2−n
r
n−1
drdS ♥Õ✉ n ≥ 3,
❤❛②
B
1
(0)
E(x)dx =
1
0
ln(r)rdr =
r
2
ln r
2
1
0
−
1
0
r
2
dr =
−1
4
♥Õ✉ n = 2,
−
1
0
1
(n−2)
rdr =
−1
2(n−2)
♥Õ✉ n ≥ 3.
❱í✐ ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) ❝ã ♠ét sè R > 0 ➤Ó supp ϕ ∈ B
R
(0), ❦❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ●❛✉ss
❝❤♦ ❤×♥❤ { ≤ ||x|| ≤ R} ✈í✐ ❤❛✐ ❜✐➟♥ { = ||x||},{||x|| = R}
D
j
E, ϕ = − E, D
j
ϕ = − lim
→0
+
≤||x||≤R
E(x)D
j
ϕ(x)dx
= lim
→0
+
≤||x||≤R
1
c
n
x
j
||x||
−n
ϕ(x)dx + lim
→0
+
=||x||
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS
− lim
→0
+
||x||=R
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS
♠➭ ϕ(x) = 0,||x|| ≥ R, ✈➭ tr➟♥ ❜✐➟♥ { = ||x||} t❤× |E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
| ❧➭ ✈➠ ❝ï♥❣ ❜Ð O(ln(
1
))
♥Õ✉ n = 2 ✈➭ O(
2−n
) ♥Õ✉ n ≥ 3 ♥➟♥
=||x||
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS ❧➭ ✈➠ ❝ï♥❣ ❜Ð O( ln(
1
)) ♥Õ✉
n = 2 ✈➭ O() ♥Õ✉ n ≥ 3 ❦❤✐ → 0
+
♥➟♥
D
j
E, ϕ = lim
→0
+
≤||x||≤R
1
c
n
x
j
||x||
−n
ϕ(x)dx.
✶✶
♥➟♥ ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ D
j
E ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
D
j
E(x) =
1
c
n
x
j
||x||
−n
.
▲➵✐ ❝ã
D
2
j
E, ϕ = − D
j
E, D
j
ϕ = − lim
→0
+
≤||x||≤R
D
j
E(x)D
j
ϕ(x)dx
= lim
→0
+
≤||x||≤R
1
c
n
(||x||
2
− nx
2
j
)||x||
−n
ϕ(x)dx
− lim
→0
+
||x||=R
D
j
E(x)ϕ(x)
x
j
||x||
dS
+ lim
→0
+
||x||=
ϕ(x)
x
2
j
c
n
||x||
n+1
dS
♠➭ ϕ(x) = 0,||x|| ≥ R ♥➟♥
∆E, ϕ = lim
→0
+
1
c
n
n−1
||x||=
ϕ(x)dS = ϕ(0) = δ, ϕ,
❤❛② ∆E = δ.
❱Ý ❞ô ✼✳ ❚r♦♥❣ R
n+1
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R
n
× R ✈➭
E(x, t) = (4πt)
−n
2
e
−
||x||
2
4t
, t > 0, , E(x, t) = 0, t ≤ 0.
❑❤✐ ➤ã✱ E ∈ C
∞
(R
n+1
\{0}) ∩ L
1
loc
(R
n+1
), ✈➭
(D
t
− ∆
x
)u = δ.
❱Ý ❞ô ✽✳ ❚r♦♥❣ R
2
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R × R ✈➭
E
1
(x, t) =
1
2
θ(t − |x|).
❑❤✐ ➤ã✱ (D
2
t
− D
2
x
)E
1
(x, t) = δ.
❚r♦♥❣ R
3
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R
2
× R ✈➭
E
2
(x, t) =
θ(t − ||x||)
2π
t
2
− ||x||
2
, t = ||x|| , E(x, t) = 0, t = ||x||.
❑❤✐ ➤ã✱ (D
2
t
− ∆
x
)E
2
(x, t) = δ.
❚r♦♥❣ R
4
, ❦ý ❤✐Ö✉ (x, t) ∈ R
3
× R ✈➭
E
3
(x, t) =
1
2π
θ(t)δ(t
2
− ||x||
2
).
❑❤✐ ➤ã✱ (D
2
t
− ∆
x
)E
3
(x, t) = δ.
r trờ ợ = R, ớ f, F D
(R), t ó F s rộ ủ
s rộ f ế s rộ ủ F f, ĩ DF = f.
ệ ề ọ s rộ f D
(R) ề ó s rộ
ứ ớ ỗ C
0
(R) t
(x) = (x) (x)
+
(t)dt
(x) =
x
(t)dt.
ó (x) C
0
(R) ớ ỗ s rộ f D
(R),t ó tể t
F, = f, .
ó F D
(R)
DF, = F,
= f, (x)
x
(y)
+
(t)dtdy = f, .
ế s rộ F ó s rộ DF = 0 tì
F, = F, +
+
(t)dt
F,
= DF, +
+
(t)dt
F,
=
+
(t)dt
F, .
ó ế s rộ F ó s rộ DF = 0 tì F t ứ ớ
F F, tr ớ tí ị L
1
loc
(R)
ó ớ ỗ s rộ f D
(R), ó ột ọ s rộ
tr ọ s ột s rộ ó tể ể ễ ớ
tí ị
ủ s rộ
ị ĩ K , f D
(). ó s rộ f ó ữ tr K
ế ó ột số k ột số C s
|f, | C
||k
sup
xK
|D
(x)|, C
0
(), supp K.
ố k ỏ t tr số t ó t tứ
ợ ọ ủ s rộ f tr t K.
ế ó ột số k ể ó ớ số C ó tì t ó
r s rộ f ó tr t K.
ể t ó r s rộ f D
() ó k ế ó ó k tr .
✶✸
❱Ý ❞ô ✾✳ ▼ä✐ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ f ∈ L
1
(Ω) ➤Ò✉ ❝ã ❝✃♣ 0.
❱Ý ❞ô ✶✵✳ ❚r➟♥ R
n
, ❤➭♠ ❉✐r❛❝ δ(x) ∈ D
(R
n
) ❝ã ❝✃♣ 0. ❱í✐ α ∈ Z
n
+
, ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ❝✃♣
α ❝ñ❛ ❤➭♠ ❉✐r❛❝ D
α
δ ❝ã ❝✃♣ |α|. ❚❤❐t ✈❐②✱ ❝❤ä♥ φ ∈ C
∞
0
(R
n
) s❛♦ ❝❤♦ φ(0) = 1, supp φ ⊂
B
1
(0). ➜➷t φ
(x) = x
α
φ(
x
) ❝ã
D
α
δ, φ
= (−1)
|α|
δ, D
α
φ
= (−1)
|α|
D
α
(x
α
φ(
x
))(0) = (−1)
|α|
α!.
▲➵✐ ❝ã ❞♦ ♥Õ✉ ||x|| ≥ t❤× φ
(x) = 0 ♥➟♥
sup
x∈R
n
|D
β
φ
(x)| ≤ C
|α−β|
→ 0 ❦❤✐ → 0, β < α,
❞♦ ➤ã ✈í✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ k < |α|, ✈í✐ ❜✃t ❦ú sè c > 0 t❛ ➤Ò✉ t×♠ ➤➢î❝ sè > 0 ➤Ó
|D
α
δ, φ
| = α! > c
|β|≤k
sup
x∈R
n
|D
β
φ
(x)|,
❝ß♥ ✈í✐ k = |α| t❤×
|D
α
δ, ϕ| = |D
α
ϕ(0)| ≤ C
|β|≤k
sup
x∈R
n
|D
β
ϕ(x)|,∀ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
).
❱Ý ❞ô ✶✶✳ ❚r➟♥ R, ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉
f, ϕ =
+∞
j=0
ϕ
(j)
(j)
❝ã ❝✃♣ ✈➠ ❤➵♥✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❝❤ä♥ φ ∈ C
∞
0
(R) ♠➭ φ(x) = 1, x ∈ [−
1
2
,
1
2
], supp φ ⊂ (−1, 1). ➜➷t φ
j
(x) =
(x − j)
j
φ(
x−j
j
),
j
❝❤ä♥ s❛✉✳ ❈ã D
k
φ
j
(k) = 0, k = j, ✈➭ D
j
φ
j
(j) = j! ♥➟♥ f, φ
j
= j!.
◆❤➢♥❣✱ ❞♦ ♥Õ✉ |x − j| ≥
j
t❤× φ
j
(x) = 0 ♥➟♥
sup
x∈R
|D
k
φ
j
(x)| ≤ c
j−k
j
, k < j,
t❛ ❝❤ä♥
j
> 0 s❛♦ ❝❤♦
|f, φ
j
| = j! > j
j−1
k=1
sup
x∈R
|D
k
φ
j
(x)|.
❉♦ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐ k > 0, c > 0 ❝❤ä♥ j = max{k + 1, c + 1} ❝ã
|f, φ
j
| = j! > j
j−1
l=1
sup
x∈R
|D
l
φ
j
(x)| > c
k
l=1
sup
x∈R
|D
k
φ
j
(x)|
❤❛② ❝✃♣ ❝ñ❛ f ❧➭ ✈➠ ❤➵♥✳
ị ý ỗ ế tế tí f tr D() ột s rộ ỉ
tr ỗ t t K ó ột số k ột số C s
|f, | C
||k
sup
x
|D
(x)| = C
C
k
()
, C
0
(), supp K.
ứ ể ứ ề ệ ủ t ỉ ứ tí tụ ủ f t ố
ĩ ế ó ột {
j
}
j=1
tr C
0
() D
lim
j
j
= 0 tì lim
j
f,
j
= 0.
ề ễ t từ tết
ể ứ ề ệ t ù ứ ĩ sử ó ột t t
K ớ ỗ k Z
+
t ề ó
sup
C
0
()
supp K,=0
|f, |
C
k
()
= +
ó tồ t
k
C
0
(), supp K,
k
C
k
()
> 0 s |f,
k
| > k
k
C
k
()
.
ọ
k
(x) =
1
k
1
2
k
C
k
()
k
(x) ó
k
C
0
(), supp
k
K,
D
lim
k
k
= 0,|f,
k
| k
1
2
,
f D
(), tr ớ tết
ề sử s t ó ề ứ
ự ộ tụ tr s rộ D
()
ị ĩ f
k
, f D
(), k = 1, 2, . . . . ó r {f
k
}
k=1
ộ tụ ế f
tr D
() k tế r ù ế
lim
k
f
k
, = f, , D().
ó t ết D
lim
k
f
k
= f.
í ụ D
lim
k
1
k
= .
t ớ ỗ C
0
(R
n
) ó
|
1
k
, (0)|
R
n
1
k
(y)|(y) (0)|dy =
B
1
k
(0)
1
k
(y)|(y) (0)|dy
sup
yB
1
k
(0)
|(y) (0)|
lim
k
|
1
k
, (0)| = 0 t ó ề ứ
í ụ ự ộ tụ tr D
() trù ớ sự ộ tụ ế tr L
1
loc
() ĩ ế
f
k
, f L
1
loc
(), D
lim
k
f
k
= f, tì
lim
k
f
k
(x)(x)dx =
f(x)(x)dx, C
0
().
ú ý ệ ộ tụ ợ ị ĩ ở tr ù ợ ớ trú tế tí tr
D
() ĩ ớ , à C, f
k
, g
k
, f, g D
(), k = 1, 2, . . .
D
lim
k
f
k
= f, D
lim
k
g
k
= g
tì
D
lim
k
(f
k
+ àg
k
) = f + àg.
a(.) C
() é t ớ a(.) ế f D
() t af D
()
tế tí tụ ĩ
a(f + àg) = af + àag,, à C, f, g D
(),
ế f
k
, f D
(), k = 1, 2, . . . D
lim
k
f
k
= f tì D
lim
k
af
k
= af.
ớ ỗ Z
n
+
é t s rộ D
ũ tế tí tụ
tr D
(), ĩ
D
(f + àg) = D
f + àD
g,, à C, f, g D
(),
ế f
k
, f D
(), k = 1, 2, . . . D
lim
k
f
k
= f tì D
lim
k
D
f
k
= D
f.
f
k
D
(), k = 1, 2, . . . , ỗ ì tứ
k=1
f
k
ợ ọ ộ tụ tr D
()
ế tổ r {
k
j=1
f
j
}
k=1
ộ tụ tr D
(). ó ỗ
k=1
D
f
k
ũ ộ
tụ tr D
()
D
k=1
f
k
=
k=1
D
f
k
.
{f
k
}
k=1
ợ ọ tr D
() ế ớ ỗ D() {f
k
, }
k=1
tr C.
ị ý D
() ủ
ể ứ ị ý t ế ổ ề s
ổ ề {
k
}
k=1
tr D() D
lim
k
k
= 0, {f
k
}
k=1
tr D
() ó lim
k
f
k
,
k
= 0.
ứ ứ ứ sử f
k
,
k
0 k , ĩ
ó ột số c > 0 ột ể ý ệ t ó tể sử
|f
k
,
k
| > c, k = 1, 2, . . . .
r ột ủ tr ể ý ệ t ó tể ó
|D
k
(x)|
1
4
k
,x ,|| k, k = 1, 2, . . . .
t
k
= 2
k
k
ó
k
C
0
(), supp
k
supp
k
,
D
lim
k
k
= 0, lim
k
f
k
,
k
= +.
ự {f
k
,
k
}
k=1
q s
lim
l
f
l
,
l
= + ó ột số tự l
1
s |f
l
1
,
l
1
| > 1.
t f
1
= f
l
1
,
1
=
l
1
.
D
lim
l
l
= 0 ó ột số tự k
1
> l
1
s |f
1
,
l
| < 1,l k
1
.
{f
l
,
1
}
l=1
ị ò lim
l
f
l
,
l
= + ó ột số tự
l
2
> k
1
s |f
l
,
l
| > |f
l
,
1
| + 1,l l
2
.
t f
2
= f
l
2
,
2
=
l
2
. ó
|f
1
,
2
| <
1
2
,
|f
2
,
2
| > |f
2
,
1
| + 1.
sử t ó f
1
, . . . , f
k1
,
1
, . . . ,
k1
(k > 2, f
j
= f
l
j
, l
1
< l
2
< ããã < l
k1
)
|f
j
,
k1
| <
1
2
k1j
, j = 1, . . . , k 2,
|f
k1
,
k1
| >
k2
j=1
|f
k1
,
j
| + k 1.
D
lim
l
l
= 0 ó ột số tự k
2
> l
k1
s
|f
j
,
l
| <
1
2
lj
, j = 1, . . . , k 2,l k
2
.
ớ ỗ j = 1, . . . , k 2, {f
l
,
j
}
l=1
ị ò lim
l
f
l
,
l
=
+ ó ột số tự l
k
> k
2
s
|f
l
,
l
| >
k2
j=1
|f
l
,
j
| + k,l l
k
.
t f
k
= f
l
k
,
k
=
l
k
. ó
|f
j
,
k
| <
1
2
kj
, j = 1, . . . , k 1,
|f
k
,
k
| >
k1
j=1
|f
k
,
j
| + k.
ó {
k
}
k=1
= {
l
k
}
k=1
ủ {
k
}
k=1
k
= 2
k
k
ó ột t t K s supp
k
K, k = 1, 2, . . . ,
ớ ỗ Z
n
+
, m
2
, m
1
Z
+
, m
2
> m
1
> || ó
m
2
k=m
1
sup
x
|D
k
(x)| =
m
2
k=m
1
sup
x
|D
l
k
(x)| <
m
2
k=m
1
1
2
l
k
k=m
1
1
2
k
=
1
2
m
1
1
.
ó {
k
l=1
l
}
k=1
ộ tụ tr D(), ĩ ó ột D()
= D
lim
k
k
l=1
l
.
ó ó
|f
k
, | |f
k
,
k
|
k1
j=1
|f
k
,
j
| lim
l
l
j=k+1
|f
k
,
j
|
k lim
l
l
j=k+1
1
2
jk
= k 1,
ĩ {f
k
, }
k=1
ị ó ũ
{f
k
}
k=1
tr D
(). ề tr ớ tết ề sử s
t ó ề ứ
ứ ờ t ứ ị ý {f
k
}
k=1
tr
D
(). ứ ó ột s rộ f D
() f = D
lim
k
f
k
{f
k
}
k=1
tr D
() ớ ỗ D() {f
k
, }
k=1
tr C ó tồ t ột tử ý ệ f, C lim
k
f
k
, = f, .
õ r t ứ ý ệ f : f, ế tế tí từ D() C. sẽ
ứ f tụ ó f = D
lim
k
f
k
.
ứ ứ sử ó ột {
k
}
k=1
tr D() D
lim
k
k
=
0, f,
k
0 k , ĩ ó ột số c > 0 ột ể
ý ệ t ó tể sử |f,
k
| = lim
l
|f
l
,
k
| > c, k = 1, 2, . . . . ó ớ ỗ k ó
ột số l
k
s |f
l
k
,
k
| > c.
t f
k
= f
l
k
ó
{f
k
}
k=1
tr D
(),
D
lim
k
k
= 0,
|f
k
,
k
| > c, k = 1, 2, . . . ,
t ổ ề ó lim
k
|f
k
,
k
| = 0 r ề t ó ề sử s
f tụ
ị
1
,
2
t ở tr R
n
1
2
. ớ ỗ C
0
(
1
) ó tể
tr
2
s
2
(x) =
(x) , ế x
1
,
0 , ế x
2
\
1
,
tì C
0
(
2
).
ó ớ ỗ f D
(
2
) t ột s rộ tr
1
s
f|
1
, = f,
2
, D(
1
).
ế f, g D
(
2
), f = g tì f|
1
= g|
1
ế f|
1
= g|
1
tì
f = g. ế C
0
(
2
), supp
1
tì ó tể C
0
(
1
) f, = f|
1
, .
ị ĩ t ở tr R
n
, ể x , s rộ f, g D
().
ó r f = g t x ế ó ột ở ủ x ể
f|
= g|
.
ú ý f, g D
(). ó f = g t ột ể x ế ớ ọ ở
ủ x ề ó ột D(), supp s
f, = g,
ó ột ì B
r
k
(x) r
k
0 k ột
k
C
0
()
supp
k
B
r
k
(x) s
f,
k
= g,
k
.
f, g D
(). ế f = g tr D
() tì f = g t ọ ể x .
ị ý s t t ề ợ ũ ú
ị ý f, g D
(). ế ớ ọ x ề ó f = g t x tì f = g tr
D
().
ứ ớ ỗ D() ó K = supp t t tr . ừ tết ớ
ỗ x K ó ột ở
x
ủ x f|
x
= g|
x
.
ó K
xK
x
K t ó ột số ữ ể x
1
, . . . , x
m
K K
m
j=1
x
j
. ị ý ị ý ị ó ột ọ ữ {
j
}
m
j=1
tr D() s
✶✾
✭✐✮ 0 ≤ ψ
j
(x) ≤ 1,∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✮ supp ψ
j
⊂ ω
x
j
, j = 1, 2, . . . ,
✭✐✐✐✮
m
j=1
ψ
j
(x) = 1,∀x ∈ K.
❑❤✐ ➤ã✱ ❝ã
f, ϕ = f, (
m
j=1
ψ
j
)ϕ
=
m
j=1
f|
ω
j
, ψ
j
ϕ( ✈× ψ
j
ϕ ∈ D(ω
x
j
))
=
m
j=1
g|
ω
j
, ψ
j
ϕ
= g, ϕ,
♥➟♥ t❛ ❝ã f = g tr♦♥❣ D
(Ω).
E() s rộ
ớ t E
()
E()
ị ĩ E() ồ C
() ớ ệ
ộ tụ s
{
k
}
k=1
tr C
() ợ ọ ộ tụ ế C
() tr E() ế
lim
k
sup
xK
|D
k
(x) D
(x)| = 0, Z
n
+
, K .
ó t ết E
lim
k
k
= .
ú ý ó tể t t =
k=1
k
ớ
k
ở
k
compact
k+1
k
= {x | ||x|| < k & d(x, ) >
1
k
} ó ột {
k
}
k=1
tr C
() ợ
ọ ộ tụ ế C
() tr E() ế ột tr trờ ợ s r
lim
k
sup
x
j
|D
j
(x) D
(x)| = 0, Z
n
+
, j = 1, 2, . . . ,
lim
k
k
C
j
(
j
)
= 0, j = 1, 2, . . . ,
tr ó
k
C
j
(
j
)
=
||j
sup
x
j
|D
k
(x) D
(x)|.
ó ột {
k
}
k=1
tr C
() ợ ọ tr E() ế ột tr
trờ ợ s r
lim
k
l
sup
x
j
|D
k
(x) D
l
(x)| = 0, Z
n
+
, j = 1, 2, . . . ,
lim
k
l
k
l
C
j
(
j
)
= 0, j = 1, 2, . . . .
ệ ộ tụ tr E() ù ợ ớ trú tế tí ủ ó ĩ ớ
, à C,
k
, ,
k
, E(), k = 1, 2, . . . ,
ế E
lim
k
k
= , E
lim
k
k
= tì lim
k
(
k
+ à
k
) = + à.
ế a(.) C
() tì é ớ a(.) ế E() t a E()
tế tí tụ
ớ ỗ Z
n
+
, é t D
tế tí tụ tr E().
C
0
() trù t tr E(). t
k
t t tr t
ệ ề ó ột
k
C
0
()
k
(x) = 1, x
k
. ó ớ ỗ E()
ó (
k
) C
0
() E
lim
k
k
= .
ế
k
, C
0
(), k = 1, 2, . . . , D
lim
k
k
= tì E
lim
k
k
= . ó t ó
é ú tụ D() E().
✷✶
❱Ý ❞ô ✶✹✳ ❚r➟♥ R, ➤➷t ❤➭♠
ρ(x) =
e
1
|x|
2
−1
♥Õ✉ |x| < 1,
0 ♥Õ✉ |x| ≤ 1,
✈➭ ρ
(k)
(x) = ρ(x − k), t❤× ρ, ρ
(k)
∈ C
∞
0
(R) ✈➭
• E
−
lim
k→∞
ρ
(k)
= 0, lim
k→∞
sup
x∈[−k,k]
|ρ
(k)
(x)| = e
−
4
3
> 0,
• ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐í✐ ❤➵♥ D
−
lim
k→∞
ρ
(k)
.
❱Ý ❞ô ✶✺✳ ❚r➟♥ R, ✈í✐ k ∈ N, ❞♦ [
1
3k
,
2
3k
] ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸ ❝ã ♠ét ❤➭♠
ψ
k
∈ C
∞
0
(R) ♠➭ ψ
k
(x) = 1, x ∈ [
1
3k
,
2
3k
], supp ψ
k
⊂ [0,
1
k
]. ➜➷t ϕ
k
(x) = (x−
1
2k
)
k
ψ
k
(x) ❝ã
|D
j
ϕ
k
(x)| = |
j
l=0
j
l
k!
(k − l)!
(x −
1
2k
)
k−l
D
k−l
ψ
k
(x)|
≤
j
l=0
j
l
k!
(k − l)!
(
1
2k
)
k−l
|D
k−l
ψ
k
(x)|,
♠➭ lim
k→∞
j
l
k!
(k−l)!
(
1
2k
)
k−l
= 0, j, l = 1, 2, . . . , ♥➟♥ E
−
lim
k→∞
ϕ
k
= 0,
❧➵✐ ❝ã
|D
k
ϕ
k
(x)| = |
k
l=0
k
l
k!
(k − l)!
(x −
1
2k
)
k−l
D
k−l
ψ
k
(x)|,
♥➟♥ ❦❤✐ x =
1
2k
❝ã |D
k
ϕ
k
(
1
2k
)| = |ψ
k
(
1
2k
)| = 1.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✵✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ E(Ω) ❧➭ ➤ñ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✃② {ϕ
k
}
∞
k=1
❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ E(Ω). ❈ã
lim
k→∞
l→∞
sup
x∈Ω
j
|D
α
ϕ
k
(x) − D
α
ϕ
l
(x)| = 0,∀α ∈ Z
n
+
, j = 1, 2, . . . .
❉♦ ➤ã✱ tr➟♥ tõ♥❣ Ω
j
❞➲② {ϕ
k
}
∞
k=1
❤é✐ tô ➤Ò✉ ➤Õ♥ ♠ét ❤➭♠ ϕ
(j)
.
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ Ω ❝ã ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ j s❛♦ ❝❤♦ x ∈ Ω
j
, t❛ ➤➷t ϕ(x) = ϕ
(j)
(x).
❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ϕ ∈ C
∞
(Ω) ✈➭
lim
k→∞
sup
x∈Ω
j
|D
α
ϕ
k
(x) − D
α
ϕ(x)| = 0,∀α ∈ Z
n
+
, j = 1, 2, . . . ,
❤❛② E
−
lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
s rộ E
()
ị ĩ ủ s rộ f D
(). ủ s rộ f ợ
ị s
supp f = {x
f = 0 t x}.
s rộ f ợ ọ ó t ế supp f t t ợ tt
s rộ ó t ợ ý ệ E
().
ú ý ố 0 tr ị ĩ s rộ ợ ị s
0, = 0, D().
s rộ f = 0 t x ĩ ớ ọ ở ủ x ề ó ột
C
0
() f, = 0. ó t ò ó tể ị ĩ ủ s rộ s
t W ợ tt t ở tr s f, = 0, C
0
(). ó
ủ s rộ f sẽ supp f = \W. õ r supp f t ó tr .
f E
(), C
0
() supp f supp = tì f, = 0.
f D
(), C
() tì supp(f) supp supp f. ế f, g E
() tì
supp(f + g) (supp f supp g) D
f E
(), supp D
f supp f, Z
n
+
.
E
() ó ố ớ é t tế tí é ớ
ột C
(), é s rộ
ớ ột f : C ợ tì ệ t ĩ t tờ
ó ý ĩ ể t ợ ề t ét í ụ s ớ = (0, 1) ò f : (0, 1) C
ợ ị s
f(x) :=
1, ế x ữ tỷ,
0, ế x tỷ,
ó f = 0 h.k.n tr (0, 1) supp f = (0, 1) = = supp 0.
ớ ột tụ f C() tì t tờ ủ s rộ t ứ
ớ f
í ụ supp = {0}.
í ụ supp = [0, +).
í ụ ổ
c
D
, tr ó ỉ ó ột số ữ c
= 0 ó {0}. ột
s rộ f E
(), 0 ó supp f = {0} tì f ó tr
t f E
() f ó t t ị ý f ó ữ ĩ
ó ột số tự m, ột số c > 0 s
|f, | c
||m
sup
x
|D
(x)|, C
0
().
ớ ỗ C
0
() ó supp = K t t tr t ệ ề ó
ột h C
0
() h(x) = 1,x K. ó ó
(x) = h(x)
||m
1
1
!...
n
!
D
(0)x
C
0
(),
= C
0
(),|D
(x)| = O(||x||
m+1||
) ||x|| ủ ỏ (|| m),
f, = f, + f, =
||m
c
D
(0) + f, , c
=
1
1
!...
n
!
f, h(x)x
.
t
(x) =
B
2
(0)
(x y)dy ó ớ > 0 ủ ỏ
C
0
(), supp
{0} = ,
(x) = 1 ||x|| , f, = f,
.
ó
|f,
| c
||m
sup
x
|D
(
(x))|,
D
(
)(x) =
||||
D
(x)D
(x),
|D
(x)| =
B
2
(0)
(x y)dy = ()
||
B
2
(0)
D
(x y)dy c
||
,
ớ ọ > 0 ủ ỏ |f,
| c
||||
|O(
m+1||
)|
||
ó 0 tì |f, | =
|f,
| 0 |f, | = 0.
f, =
||m
c
D
(0) =
||m
c
D
, .
ị ý ị ĩ ủ s rộ ó t
s rộ ớ t f E
(). ó t ó tể t trể f t
ế tế tí tụ tr E().
sử f ột ế tế tí ị tr E(). ó t ó tể t ẹ f
t s rộ ó t
t ứ tr t ột s ữ s rộ ớ t
E
() ế tế tí tụ tr E().
ét ừ ị ý ỗ s rộ ó t ó tể ợ ột
ế tế tí tụ tr E(), s rộ ó t
E
() ó tể ế tế tí tụ tr E().
ừ ị ý ỗ s rộ ó t f E
() ề ó ữ tr .
ữ ó ột t t K , ột số m ột số C s
|f, | C
||m
sup
xK
|D
(x)|, C
(),
ột ế tế tí f : E() C t t tứ ó f : E() C
tụ
ứ sử f E
() ó supp f = K t t tr . ệ ề
ó ột C
0
() (x) = 1 ớ x tr ó ủ K.
t
f ế từ E() C ợ ị s
f, = f, , E().
ễ t
f ụ tộ ệ ọ , ĩ ế ó
1
,
2
C
0
()
1
(x) = 1 x tr K
1
ủ K,
2
(x) = 1 x tr K
2
ủ K,
tì supp(
1
2
) K = f,
1
= f,
2
, E(),
f E
(), ĩ
ế , à C, , E() tì
f, + à =
f, + à
f, ,
ế E
lim
k
k
= 0 tì lim
k
f,
k
= 0,
f
D()
= f, ĩ ớ ỗ D() ó K
1
= (K supp ) t ệ
ề ó ột C
0
() (x) = 1 ớ x tr ó ủ K
1
ó (x)(x) = (x), x
f, = f, = f, .
sử f, g E
()
f = g tì f =
f
D()
= g
D()
= g, f
f
từ E
() ế tế tí tụ tr E().
g ế tế tí tụ tr E(), t f = g|
D()
. é D()
E() tụ f D
(). ỉ ò ứ supp f t t
ứ ứ ĩ sử supp f t ó tể ết
t =
k=1
k
ớ
k
ở
k
compact
k+1
supp f
k
, k = 1, 2, . . . , ớ
ỗ k ó x
k
\
k
f = 0 t x
k
. ó ớ ỗ k ó ột ở
k
(\
k
),
ột
k
C
0
(
k
) s f,
k
= 1.
ớ ỗ t t K ề ó ột số tự k
0
s K
k
,k k
0
.
supp
k
(\
k
)
k
(x) = 0, x K, k k
0
. ó E
lim
k
k
= 0.
ó
E
lim
k
k
= 0,
g,
k
= f,
k
= 1,
g tụ tr E().
ề tr ớ tết ề sử s ĩ supp f t
ớ t sẽ ứ f
f t từ E
()
ế tế tí tụ tr E(), ụ tể t ứ g g|
D()
