Các định lí giới hạn và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.96 KB, 39 trang )
Khoa Toán
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn T.s. Trần Minh Tước. Thầy đã giao đề tài và tận
tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân
dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 CN Toán, khoa
Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
1
Khoa Toán
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo một số tác
giả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan đây những kết quả trong khóa luận là kết quả
nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
2
Mục lục
1 Các định lí giới hạn
1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
1.1.1 Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . .
1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình .
1.1.3 Hội tụ theo phân bố . . . . . . . . . .
1.1.4 Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . .
1.2 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . .
1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov . . . . . .
1.3 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng . . . . . .
1.3.2 Tính chất của hàm đặc trưng . . . . .
1.4 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng . . . . . . .
1.4.2 Luật số lớn dạng yếu . . . . . . . . .
1.4.3 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . .
1.5 Định lí giới hạn trung tâm . . . . . . . . . .
1.5.1 Định lí Poisson . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Định lí giới hạn địa phương . . . . . .
1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace . . .
1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm . . . . . .
2 Ứng dụng của các định lí giới hạn
2.1 Ứng dụng của luật số lớn . . . . .
2.1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . .
2.1.2 Bài toán 2 . . . . . . . . .
2.1.3 Bài toán 3 . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
9
10
10
11
13
13
14
15
15
15
20
23
23
24
25
26
.
.
.
.
.
28
28
28
28
29
30
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.2.9
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
31
32
33
34
35
35
37
38
4
Khoa Toán
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Lời nói đầu
Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiện
tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật
trong những hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nó
được ra đời đầu tiên ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17.
Vào năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách "Foundation of
the Theory of Probability" thì giới Toán học mới công nhận Xác suất
là một lĩnh vực toán học chặt chẽ. Các định lí giới hạn là một trong
những thành tựu quan trọng nhất của Xác suất.
Với vấn đề là " Các định lí giới hạn và ứng dụng" khóa luận
này được trình bày theo bố cục:
Chương 1: Các định lí giới hạn.
Chương 2: Ứng dụng của các định lí giới hạn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự
góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cả ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
5
Chương 1
Các định lí giới hạn
1.1
Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Giả sử (X1 , X2 , ..., Xn ) là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác
định trên không gian xác suất cố định (Ω, F, P ).
1.1.1
Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa 1.1.1. Dãy (Xn )n≥1 các b.n.n cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b.n.n X
khi n → ∞ nếu ∀ε > 0 thì
lim P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
n→∞
P
Kí hiệu Xn −
→ X.
Khẳng định (Xn )n≥1 hội tụ theo xác suất tới X nghĩa là:
∀ε > 0, ∀n ≥ 1 thì P (|Xn − X| ≥ ε) + P (|Xn − X| < ε) = 1 .
P
→ X ⇔ ∀ε > 0 thì lim P (|Xn − X| < ε) = 1 .
⇒ Xn −
n→∞
Ví dụ 1.1.1. Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:
P (Xn = 0) = 1 −
1
1
; P (Xn = n) = .
n
n
Khi đó, Xn hội tụ tới 0 theo xác suất. Thật vậy
6
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
Ta có P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) =
1
→ 0, n → ∞ .
n
P
Do đó Xn −
→ 0.
1.1.2
Hội tụ theo bình phương trung bình
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói dãy (Xn )n≥1 các b.n.n hội tụ theo bình
phương trung bình tới b.n.n X nếu
lim (E|Xn − X|2 ) = 0.
n→∞
Như vậy khi Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình thì
khoảng cách giữa Xn và X lấy " trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n khá
lớn.
Ví dụ 1.1.2. Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:
P (Xn = 1) =
1
1
; P (Xn = 2) = 1 − .
n
n
Khi đó, Xn hội tụ tới 2 theo nghĩa bình phương trung bình.
Thật vậy ta có
E(|Xn − 2|2 ) = (1 − 2)2
1.1.3
1
1
1
+ (2 − 2)2 (1 − ) = → 0, n → ∞.
n
n
n
Hội tụ theo phân bố
Định nghĩa 1.1.3. Cho (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n và X là một b.n.n
khác. Ta định nghĩa sự hội tụ theo phân bố của (Xn )n≥1 tới X như sau:
1. Trường hợp (Xn )n≥1 và X là các b.n.n rời rạc nhận giá trị trên
tập đếm được K={c1 , c2 , ...}.
(Xn )n≥1 được gọi là hội tụ phân bố tới X nếu ∀ci ∈ K
lim P (Xn = ci ) = P (X = ci )
n→∞
Như vậy, nếu n khá lớn thì có thể xấp xỉ P( Xn = c) bởi P(X = c).
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
7
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
2. Trường hợp (Xn )n≥1 là dãy b.n.n bất kì (liên tục hoặc rời rạc), X
là b.n.n liên tục.
(Xn )n≥1 được gọi là hội tụ theo phân bố tới X nếu ∀ x ∈ R
lim P (Xn < x) = P (X < x)
n→∞
d
Kí hiệu Xn −
→ X.
Mệnh đề 1.1.1.
Nếu
P
Xn −
→X
thì
d
Xn −
→ X.
Chứng minh. ∀ x ∈ R sao cho F(x) liên tục, ∀ε > 0 ta có
P (X < x − ε) = P (X < x − ε, Xn ≥ x) + P (X < x − ε, Xn < x)
Ta có {X < x − ε, Xn ≥ x} ⊂ {|Xn − X| ≥ ε}.
{X < x − ε, Xn < x} ⊂ {Xn < x} .
⇒ P (X < x − ε) ≤ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x.
⇒ P (X < x − ε) ≤ lim P (|Xn − X| ≥ ε) + lim P {Xn < x}.
n→∞
hay P (X < x − ε) ≤ lim P {Xn < x}
n→∞
(1)
n→∞
Tương tự ta có ∀ε > 0,
P (X < x + ε) = P (X < x + ε, Xn ≥ x) + P (X < x + ε, Xn < x).
Ta có {X < x + ε, Xn ≥ x} ⊃ {|Xn − X| ≥ ε}.
{X < x + ε, Xn < x} ⊃ {Xn < x}.
⇒ P (X < x + ε) ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x.
⇒ P (X < x + ε) ≥ lim P (|Xn − X| ≥ ε) + lim P {Xn < x}.
n→∞
hay P (X < x + ε) ≥ lim P {Xn < x}
n→∞
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
n→∞
(2)
8
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
Từ (1) & (2) ta có
P (X < x−ε) ≤ lim P {Xn < x} ≤ lim P {Xn < x} ≤ P (X < x+ε)
n→∞
n→∞
⇒ lim P {Xn < x} = P {X < x}.
n→∞
d
hay Xn −
→ X.
Ví dụ 1.1.3. Cho X là b.n.n rời rạc xác định bởi:
P {X = 1} =
1
1
; P {X = −1} = .
2
2
Dãy Xn xác định như sau:
Với n chẵn Xn = X;
Với n lẻ Xn = -X.
Khi đó, hiển nhiên với mọi n Xn nhận hai giá trị 1 và -1 với
1
P {X = 1} = P {X = −1} = .
2
Do đó
lim P {Xn = 1} = P {X = 1}
lim P {Xn = −1} = P {X = −1}.
Như vậy dãy Xn hội tụ tới X theo phân bố.
Tuy nhiên Xn không hội tụ tới X theo xác suất. Thật vậy
Với n = 2m + 1:
1
P {|X2m+1 − X| > 1} = P {|2X| > 1} = P {|X| > } = 1
2
Do đó
lim P {|X2m+1 − X| > 1} = 1 ̸= 0.
n→∞
Như vậy điều ngược lại của mệnh đề 1.1 không đúng.
1.1.4
Hội tụ hầu chắc chắn
Định nghĩa 1.1.4. Cho (Xn )n≥1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
(h.c.c) đến b.n.n X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho
Xn (ω) −→ X(ω) với ω ∈
/A
Kí hiệu
h.c.c
Xn −−→ X.
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
9
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
h.c.c
Định lí 1.1.1. Xn −−→ X khi và chỉ khi, với ε > 0 bất kì
P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞.
k≥n
Zn = sup |Xk − X| .
Chứng minh. Đặt
k≥n
h.c.c
h.c.c
Rõ ràng Xn −−→ X ⇔ Zn −−→ 0.
h.c.c
P
Nhưng (Zn ) là dãy giảm nên Zn −−→ 0 tương đương với Zn −
→0
Hay tương đương với P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞.
k≥n
Nhận xét: Từ hệ thức {|Xn − X| > ε} ⊂ {sup |Xk − X| > ε}.
k≥n
h.c.c
P
Ta suy ra, nếu Xn −−→ X thì Xn −
→ X.
1.2
1.2.1
Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Chebyshev
Định lí 1.2.1. Cho X là b.n.n không âm, tức là P (x ≥ 0) = 1 và tồn
tại EX. Khi đó, ∀a > 0 ta có
P (X > a) ≤
EX
.
a
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp X là b.n.n rời
rạc.
Giả sử C là tập các giá trị của X. Kí hiệu
C1 = {c ∈ C, c ≤ a}
C2 = {c ∈ C, c > a}.
∑
Khi đó EX =
ci P {X = ci }
ci ∈C
=
∑
ci ∈C1
≥
∑
ci ∈C2
ci P {X = ci } +
∑
ci ∈C2
ci P {X = ci } ≥ a
ci P {X = ci }
∑
ci ∈C2
P {X = ci }
= aP (X > a).
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
10
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
EX
.
a
Bây giờ giả sử X là b.n.n liên tục có hàm mật độ f (x).
Suy ra
Ta có
P (X > a) ≤
EX =
≥
∫∞
0
∞
∫
xf (x)dx =
∫a
xf (x)dx +
xf (x)dx ≥ a
a
xf (x)dx
a
0
∫∞
∫∞
f (x)dx
a
= aP (X > a).
EX
.
a
Hệ quả 1.2.1. Giả sử X là b.n.n với µ = EX . Khi đó với mọi ε > 0
Suy ra
P (X > a) ≤
P {|X − µ| > ε} ≤
DX
.
ε2
Một cách tương đương ta có với mọi ε > 0
P {|X − µ| ≤ ε} ≥ 1 −
DX
.
ε2
Chứng minh. Xét b.n.n Z = (X − µ)2 .
Khi đó
P {|X − µ| > ε} = P {Z > ε2 } ≤
EZ
E(|X − µ|)2
=
ε2
ε2
DX
.
ε2
Ta thường sử dụng bất đẳng thức Chebyshev dưới dạng hệ quả trên.
Bất đẳng thức Chebyshev và hệ quả của nó có nhiều ứng dụng. Trước
hết nó cho phép ta đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để b.n.n
X nhận giá trị sai lệch so với kì vọng EX không quá ε, từ đó lí giải các
sai số trong đo lường vật lí.
=
1.2.2
Bất đẳng thức Kolmogorov
Định lí 1.2.2. a) Giả sử (Xn )n≥1 là dãy b.n.n độc lập và EXk = 0,
DXk < ∞, k = 1, n
Khi đó với ε > 0 tùy ý ta có
P {max |Sn | ≥ ε} ≤
k≤n
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
DSn
.
ε2
11
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
trong đó Sn = X1 + ... + Xn .
b) Nếu có một số c > 0 nào đó mà P {|Xk | ≤ c} = 1, k = 1, n thì
P {max |Sn | ≥ ε} ≥ 1 −
k≤n
(c + ε)2
.
DSn
Chứng minh. a)
Kí hiệu A = {max |Sk | ≥ ε}
k≤n
Ak = {ω : |S1 | < ε, ..., Sk−1 < ε, |Sk | ≥ ε}, k = 1, n.
Ta có A =
n
∑
Ak và
ESn2
≥
ESn2 IA
n
∑
=
k=1
ESn2 IAk .
k=1
Mặt khác ESn2 = E(Sk + Sn − Sk )2 IAk
= ESk2 IAk + 2E(Sn − Sk )Sk IAk + E(Sn − Sk )2 IAk .
≥ ESk2 IAk .
vì Sn − Sk và Sk IAk độc lập, E(Sn − Sk )= 0 nên E(Sn − Sk )Sk IAk = 0.
Do đó, ESn2 ≥
n
∑
k=1
ESk2 IAk ≥ ε2
n
∑
P (Ak ) = ε2 P (A).
k=1
Chứng minh. b)
Ta có ESn2 IA = ESn2 − ESn2 IA ≥ ESn2 − ε2 P (A).
= ESn2 − ε2 + ε2 P (A).
(1.1)
Trên Ak ta có |Sk−1 | ≤ ε , |Sk | ≤ |Sk−1 | + |Xk | ≤ ε + c, nên
ESn2 IA =
=
n
∑
k=1
n
∑
k=1
ESn2 IAk
ESk2 IAk +
≤ (c + ε)2
n
∑
n
∑
E(Sn − Sk )2 IAk
k=1
P (Ak ) + D(Sn )
k=1
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
n
∑
P (Ak )
k=1
12
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
[
]
≤ P (A) (c + ε)2 + D(Sn ) .
Từ (1.1) & (1.2) suy ra
(1.2)
D(Sn ) − ε2
(c + ε)2
=1−
P (A) ≥
(c + ε)2 + D(Sn ) − ε2
(c + ε)2 + D(Sn ) − ε2
(c + ε)2
≥1−
.
D(Sn )
1.3
Hàm đặc trưng
1.3.1
Định nghĩa hàm đặc trưng
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số φX (t) := EeitX = Ecos(tX)+i.Esin(tX),
với t ∈ R được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X.
∑
∑
• φX (t) = cos(txn ).pn + i. sin(txn ).pn nếu X là b.n.n rời rạc.
n
• φX (t) =
+∞
∫
−∞
n
cos(tx).fX (x)dx + i.
+∞
∫
−∞
sin(tx).fX (x)dx nếu X là
b.n.n liên tục.
Ví dụ 1.3.1. Cho X ∼ Poi(λ)
−λ k
∞
∑
itX
itk e λ
Ta có φX (t) = Ee =
e
k!
k=0
∞ (λeit )k
∑
−λ
=e
= e−λ .eλit
k!
k=0
= eλ(e
it
−1)
.
Ví dụ 1.3.2. Cho Z ∼ N(0,1). Tìm φZ (t).
+∞
∫ itZ 1
−Z 2
Ta có φZ (t) = EeitZ =
e . √ .e 2 dz
2π
−∞
+∞
2
∫ 1
−Z 2
−t2
+itZ+ t2
2
√
=
.e
.e 2 dz
2π
−∞
+∞
∫ 1
it √z
−Z
it
−t2
√
√
√
√ .e−[( 2 )−2 2 2 +( 2 )] .e 2 dz
=
2π
−∞
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
13
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
+∞
∫
2
z−it
1
−t2
√
√ .e−( 2 ) .e 2 dz
2π
−∞
+∞
∫ 1
−(z−it)2
−t2
√ .e 2 .e 2 dz
=
2π
−∞
+∞ 1
t2 ∫
−u2
√ .e 2 dz (Đặt u = z - it).
= e− 2
2π
−∞
=
1.3.2
Tính chất của hàm đặc trưng
1. φX (0) = 1.
2. |φX (t)| ≤ φX (0) = 1.
3. φX (t) là hàm liên tục.
4. φX+d (t) = eitd .φX (t) , d là hằng số.
5. φaX+b (t) = eitb .φX (at) , a, b là hằng số.
6.
∂ n φX (t)
∂tn
t=0
= in .EX n , n ∈ N.
Ví dụ 1.3.3. Tìm φX (t) với X ∼ N (µ, σ 2 )
X ∼ N (µ, σ 2 ) ⇔ Z =
⇒ X = σZ + µ
X −µ
∼ N (0, 1)
σ
⇒ φX (t) = φσZ+µ (t)
itµ
itµ
− (σt)
2
2
φX (t) = e .φZ (σt) = e .e
= eitµ−
σ 2 t2
2
.
Mệnh đề 1.3.1. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các b.n.n độc lập.
n
Khi đó φ ∑
Xi
(t) =
i=1
n
∏
φXi (t).
i=1
n
Chứng minh. Ta có φ ∑
Xi
(t) = Ee
i=1
= Ee
itX1
.Ee
itX2
....Ee
itXn
=
n
∏
it
n
∑
Xi
i=1
)
(
= E eitX1 .eitX2 ...eitXn
φXi (t).
i=1
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
14
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
1.4
1.4.1
Luật số lớn
Định nghĩa hàm đối xứng
Định nghĩa 1.4.1. Hàm n biến f (x1 , x2 , ..., xn ) được gọi là hàm đối
xứng nếu f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (xσ1 , xσ2 , ..., xσn ) với mọi σ là hoán vị
của {1, 2, ..., n}.
1.4.2
Luật số lớn dạng yếu
Định nghĩa 1.4.2. Luật yếu số lớn
Cho dãy b.n.n (Xn )n≥1 . Nếu tồn tại dãy số {an }n≥1 và hàm đối
xứng Xn = fn (X1 , X2 , ..., Xn ) thỏa mãn với mỗi ε > 0 cho trước có
lim P (|Xn − an | < ε) = 1
n→∞
thì dãy {Xn } được gọi là tuân theo luật số lớn dạng yếu với hàm fn đã
cho.
Trong lý thuyết xác suất cổ điển người ta lấy
1∑
Xi
fn = (X1 , ..., Xn ) =
n i=1
n
n
1∑
EXi nên dãy {Xn }
n i=1
được gọi là tuân theo luật số lớn dạng yếu nếu ε > 0 cho trước
)
(
n
n
1∑
1∑
Xi −
EXi < ε = 1.
lim P
n→∞
n i=1
n i=1
và giả sử các Xi có kì vọng với mọi i an =
Định lí 1.4.1. Định lí Chebyshev
Nếu (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập từng đôi một, có phương sai
hữu hạn và bị chặn bởi cùng một hằng số D(Xk ) ≤ c, ∀k thì với mọi
ε > 0 cho trước, ta luôn có
(
)
n
n
∑
∑
1
1
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.
n→∞
n k=1
n k=1
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
15
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
(
Chứng minh. Từ giả thiết ta có D =
n
1 ∑
Xk
n k=1
)
=
Vì DXk ≤ c với mọi k nên suy ra
( n
)
1∑
c
nc
Xk ≤ 2 = .
D=
n k=1
n
n
Theo BĐT Chebyshev ta có
(
P
1∑
1∑
Xk −
EXk
n k=1
n k=1
n
n
n
1 ∑
DXk .
n2 k=1
(
n
1 ∑
)
Xk
D
n k=1
<ε ≥1−
ε2
)
Qua gới hạn khi n → +∞, ta có
(
)
n
n
1∑
1∑
lim P
Xk −
EXk < ε ≥ 1
n→∞
n k=1
n k=1
Mặt khác, do xác suất không thể lớn hơn 1 nên
(
)
n
n
1∑
1∑
lim P
Xk −
EXk < ε < 1
n→∞
n
n
k=1
≥1−
c
nε2
(1.3)
(1.4)
k=1
Từ (1.3) & (1.4) ta luôn có
(
)
n
n
1∑
1∑
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.
n→∞
n k=1
n k=1
Định lí 1.4.2. Định lí Bernoulli
Gọi X là số lần xảy ra của biến cố A trong n phép thử độc lập đầu
tiên và p là xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử. Khi đó, với
mọi ε > 0 cho trước, luôn có
(
)
X
lim P
− p < ε = 1.
n→∞
n
Chứng minh.
Gọi Xk là b.n.n thỏa mãn:
Xk = 0 nếu lần thử thứ k biến cố A không xảy ra.
Xk = 1 nếu lần thử thứ k biến cố A xảy ra.
Khi đó
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
16
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
Xk
p
n
∑
Do đó, X =
Xk .
0
1-p
1
p
k=1
Suy ra
EXk = 0.(1 − p) + 1.p = p
DXk = EXk2 − (EXk )2 = p − p2 = p(1 − p)
Áp dụng BĐT Cauchy
√
p + (1 − p) 1
p(1 − p) ≤
=
2
2
1
⇒ p(1 − p) ≤
4
1
⇒ DXk ≤ , ∀k
4
Do đó (Xk ) đồng thời bị chặn bởi c =
Chebyshev ta có
(
lim P
n→∞
1
nên áp dụng định lí
4
n
n
1∑
1∑
Xk −
EXk < ε
n k=1
n k=1
Vậy
(
lim P
n→∞
)
= 1.
)
X
− p < ε = 1.
n
Định lí 1.4.3. Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập sao cho EX1 =
... = EXn = µ và DXi ≤ c, ∀i = 1, 2, ...
n
∑
Khi đó, X n =
i=1
n
Chứng minh. Ta có
hội tụ theo xác suất tới µ.
n
1∑
EXi = µ
n i=1
n
c
1 ∑
n.c
DX n = 2
µ 2 = .
n i=1 n
n
EX n =
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
17
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
Áp dụng BĐT Chebyshev cho ta
(
) DX n
c
P | X n − µ |> ε ≤ 2 ≤
.
ε
n.ε2
(
)
Do đó
lim P | X n − µ |> ε = 0.
n→∞
Định lí 1.4.4. Định lí Marcov
Nếu dãy b.n.n (Xn )n≥1 thỏa mãn điều kiện
[ n
]
∑
1
D
Xk −→ 0
,khi
n2
n→∞
k=1
thì với mọi ε > 0 cho trước, luôn có dãy (Xn )n≥1 tuân theo luật yếu
số lớn.
]
[ n
∑
1
Chứng minh. Từ giả thiết
D
Xk −→ 0 ,khi n → ∞
n2
k=1
Theo BĐT Chebyshev
( n
)
1 ∑
(
)
D
Xk
n
n
n k=1
1∑
1∑
P
Xk −
EXk < ε ≥ 1 −
n
n
ε2
k=1
k=1
Qua gới hạn khi n → ∞ , ta có
(
)
n
n
∑
∑
1
1
lim P
Xk −
EXk < ε ≥ 1
n→∞
n
n
k=1
k=1
Mặt khác, do xác suất không thể lớn hơn 1 nên
)
(
n
n
∑
∑
1
1
Xk −
EXk < ε ≤ 1
lim P
n→∞
n
n
k=1
(1.5)
(1.6)
k=1
Từ (1.5) & (1.6) ta có
(
)
n
n
∑
∑
1
1
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.
n→∞
n k=1
n k=1
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
18
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
1.4.3
Luật mạnh số lớn
Luật mạnh số lớn nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn của trung
bình cộng
n
1∑
[Xk − EXk ]
n k=1
n
1 ∑
(Xk − ak ) với 0 < bn ↑ +∞.
bn k=1
hoặc tổng quát hơn
Định lí 1.4.5. Bổ đề Kronecker
Giả sử {xn , n ≥ 1} là dãy các số thực và {bn , n ≥ 1} là dãy các số
dương tăng đến +∞.
n
+∞
∑ xn
1 ∑
hội tụ thì
xk −→ 0 khi n → +∞.
Khi đó nếu
bn k=1
k=1 bn
rn =
Chứng minh. Đặt
+∞
∑
xk
k=n+1 bk
;
r0 =
+∞
∑
xk
k=1 bk
xn
= rn−1 − rn
bn
n
n
n−1
n
∑
∑
∑
∑
⇒
xk =
bn (rk−1 − rk ) =
bk+1 rk −
bk rk
Khi đó
k=1
=
⇒
n
∑
k=1
n−1
∑
k=0
rk (bk+1
k=1
n−1
∑
xk ≤
k=1
k=1
− bk ) + b1 r0 − bn rn
|rk |(bk+1 − bk ) + b1 |r0 | + bn |rn |
k=1
Do rn −→ 0 nên với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N: ∀n ≥ N
|rn | < ε và r = sup |rn | < +∞ . Do đó
n≥1
n
∑
k=1
Xk ≤
N∑
−1
|rk |(bk+1 − bk ) + ε
k=1
n−1
∑
(bk+1 − bk ) + b1 |r0 | + bn |rn |
k=N
≤ r(bN − b1 ) + ε(bn − bN ) + b1 |r0 | + bn |rn |
Chia hai vế cho bn , sau đó cho n −→ +∞ suy ra
1 ∑
xk −→ 0, n → ∞.
bn k=1
n
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
19
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
Định lí 1.4.6. Định lí Kolmogorov (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp tổng quát)
∞ DX
∑
n
Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy b.n.n độc lập,
< +∞ với
2
n=1 bn
0 < bn ↑ +∞ thì
n
1 ∑
h.c.c
[Xk − EXk ] −−→ 0.
bn k=1
Chứng minh. Với 0 < bn ↑ +∞ , ta có
( )
+∞
+∞
∑
DXn ∑
Xn
< +∞.
=
D
2
b
b
n
n
n=1
n=1
ra
+∞
∑
1
[Xn − EXn ] hội tụ h.c.c
n=1 bn
+∞
∑ 1
[Xn − EXn ] hội tụ h.c.c nên suy
Theo bổ đề Kronecker, do
n=1 bn
Do đó, chuỗi
1 ∑
h.c.c
[Xk − EXk ] −−→ 0.
bn k=1
n
Định lí 1.4.7. Luật mạnh số lớn Kolmogorov (trường hợp
cùng phân phối)
Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối. Khi đó
1∑
h.c.c
Xk −−→ a, ∀a ∈ R
n k=1
n
khi và chỉ khi E|X1 | < +∞ và a = EX1 .
Chứng minh. Giả sử E|X1 | < +∞
Đặt
Vì
Xn′ = Xn .I|Xn |≤n
∞
∑
n=1
P (Xn′′ ̸= 0) =
và X ′′ = Xn − Xn′
∞
∑
P (|Xn | > n) =
n=1
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
∞
∑
P (|X1 | > n)
n=1
20
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
=
=
∞ ∑
∞
∑
n=1 m=n
∞
∑
P (m < |X1 | ≤ m + 1)
mP (m < |X1 | ≤ m + 1)
(1.7)
m=1
= E|X1 | < ∞.
Suy ra
n
1 ∑
h.c.c
Xk′′ −−→ 0
n k=1
(1.8)
Giả sử F(x)là hàm phân phối của X1 . Khi đó
∫n
DXn′ ≤ E(Xn′ )2 =
x2 dF (x)
−n
và
∞ 1 ∫n
∞
∞ 1 ∑
∫
∑
∑
2
x
dF
(x)
=
x2 dF (x)
2
2
n=1 n −n
n=1 n k=1 k−1<|x|≤k
∞
∞ 1
∫
∑
∑
2
=
x dF (x)
2
k=1 k−1<|x|≤k
n=k n
)
( ∞
∞
∫
∑
∑ 1
≤
|x|dF (x) k
2
k=1 k−1<|x|≤k
n=k n
≤ 2E|X1 |.
)
(
∞ 1
∞
∑
∑
1
1
k
=
(vì k
<
k
−
< 2 với k ≥ 2,
2
n
n
−
1
n
k
−
1
n=k
n=k
∞ 1
∑
còn với k=1 thì
< 1 + 1 = 2.)
2
n=1 n
∞ DX ′
∑
n
<∞
Vậy
2
n=1 n
n
∑
(Xk′ − EXk′ )
h.c.c
Do đó k=1
−−→ 0
n
Mặt khác theo định lí Stolz (gải tích cổ điển)
1∑
lim
EXk′ = lim EXn′ = lim
n n
n
n
k=1
n
∫n
xdF (x) = EX1 = a
−n
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
21
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
n
∑
Như vậy
k=1
Xk′
n
h.c.c
−−→ a
Từ (1.8) & (1.9) ta có
(1.9)
n
1 ∑
h.c.c
Xk −−→ EX1
n k=1
n
1 ∑
h.c.c
Xk −−→ a, ∀a ∈ R
n k=1
(
)
n
∑
Xn
1 ∑
n−1
1 n−1
h.c.c
Vì a hữu hạn nên
=
Xk −
Xk −−→ 0
n
n k=1
n
n − 1 k=1
Ngược lại, giả sử
Và do đó với xác suất 1 chỉ có một số hữu hạn các biến cố
{|Xn | > n} xảy ra, suy ra
∞
∑
P {|Xn | > n} =
n=1
∞
∑
P {|X1 | > n} < ∞.
1
Từ đó và (1.7) ta có
E|X1 | ≤
∞
∑
(m + 1)P {m < |X1 | ≤ m + 1} < ∞.
m=0
Khi đó, theo chứng minh trên
⇒ a = EX1 .
1.5
1.5.1
n
1 ∑
h.c.c
Xk −−→ EX1
n k=1
Định lí giới hạn trung tâm
Định lí Poisson
Định lí 1.5.1. Cho (Xn ) là dãy các b.n.n có phân bố nhị thức, ở đó
với mỗi n, Xn có phân vố nhị thức với tham số (n, pn ).
Giả sử rằng tồn tại giới hạn lim npn = λ. Khi đó Xn hội tụ theo
phân bố tới b.n.n X có phân bố Poisson với tham số λ.
Chứng minh. Ta phải chứng minh với mỗi k = 0, 1, 2,...
−λ λ
lim P (Xn = k) = P (X = k) = e
n→∞
k
k!
Ta có P (Xn = k) = Cnk .pkn .(1 − pn )n−k
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
22
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
n(n − 1)...(n − k + 1) k
pn (1 − pn )n−k
k!
(
)(
) (
)
(npn )k
1
2
k−1
=
1−
1−
... 1 −
(1−pn )n (1−pn )−k .
k!
n
n
n
λk
(npn )k
=
Ta có
lim
n→∞
k!
k!
=
Đặt λn = npn . Khi ấy
[(
lim (1 − pn )n = lim
n→∞
n→∞
λn
1−
n
) λn ]−λn
n
= e−λ
Các thừa số khác có giới hạn 1.
λk −λ
lim P (Xn = k) = e .
n→∞
k!
Vậy
Như vậy với n khá lớn và pn khá bé thì phân bố nhị thức với tham
số (n, pn ) có thể xấp xỉ bởi phân bố Poisson với tham số λ = npn . Xấp
xỉ là tốt nhất khi n > 50 và pn < 0, 1.
1.5.2
Định lí giới hạn địa phương
Định lí 1.5.2. Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số
(n, p).
Kí hiệu
pk = P {X = k} = Ckn .pk .q n−k
k − np
xk = √
npq
−x2
1
1
k
(1 + εn,k )
Khi đó pk = √ .e 2 . √
npq
2π
c
Ở đó |εn,k | < √ với c là hằng số.
n
Như vậy, khi n lớn ta có thể xấp xỉ
(
)
1
k − np
P (X = k) ≈ √
f √
npq
npq
1
−x2
Ở đó f (x) = √
e 2 là hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc.
2π
Đặt
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
23
Khoa Toán
1.5.3
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Định lí giới hạn Moivre-Laplace
Định lí 1.5.3. Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số
(n, p)
Xn − np
Đặt Sn = √
npq
Khi đó với mọi x ∈ R
lim P {Sn < x} = P {Z < x}
n→∞
ở đó Z là b.n.n có phân phối chuẩn tắc.
Nói cách khác Sn hội tụ theo phân bố về Z.
Nhận xét:
Kí hiệu X là b.n.n có phân bố chuẩn với kì vọng µ = np, phương sai
σ 2 = npq . Ta có khi n lớn
(
)
(
)
k − np
k − np
P (X < k) = P Sn < √
≈P Z< √
npq
npq
= P (X < k)
)
k1 − np
k2 − np
P (k1 < X < k2 ) = P
< S2 < √
√
npq
npq
(
)
k1 − n.p
k2 − np
≈P
npq
npq
= P (k1 < X < k2 )
(
Ta có thể nói: Phân bố nhị thức B(n, p) có thể xấp xỉ bởi phân bố
chuẩn N (np, npq). Người ta thấy rằng xâp xỉ là tốt hơn khi np và nq
lớn hơn 5 hoặc npq > 20.
Ngoài ra vì ta đã xấp xỉ một phân bố rời rạc bằng một phân bố liên
tục, nên ta cần một sự "hiệu chỉnh" để sai số giảm đi. Cụ thể ta có
hiệu chỉnh sau:
Nếu k là số nguyên thì P (X ≥ k) được xấp xỉ bởi P (X > k − 0, 5)
P (X > k) được xấp xỉ bởi P (X > k + 0, 5)
Nếu k1 , k2 là các số nguyên thì
P (k1 ≤ X ≤ k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 − 0, 5 < X < k2 + 0, 5)
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
24
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Khoa Toán
P (k1 < X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 − 0, 5)
P (k1 ≤ X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 − 0, 5 < X < k2 − 0, 5)
P (k1 < X ≤ k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 + 0, 5).
1.5.4
Định lí giới hạn trung tâm
Định lí 1.5.4. Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập có cùng phân
bố với kì vọng EXi = µ và phương sai DXi = σ 2 .
Sn =
Đặt
X1 + X2 + ... + Xn − nµ
√
σ n
Khi đó với mọi x ∈ R
lim P (Sn < x) = P (Z < x).
n→∞
ở đó Z là b.n.n có phân bố chuẩn tắc.
Nói cách khác, Sn hội tụ theo phân bố tới Z.
n X −µ
1 ∑
i
Chứng minh. Ta có Yn = √
, ∀n ≥ 1
n i=1 σ
(
)
n X −µ
1 ∑
i
EYn = E √
=0
n i=1 σ
)
)
(
(
n X −µ
n
1∑
1 ∑
Xi − µ
i
DYn = D √
=
D
n i=1 σ
n i=1
σ
n
n
1 ∑
1 ∑ 2
=
DX
=
σ = 1.
i
nσ 2 i=1
nσ 2 i=1
Xi − µ
Đặt Zi =
, i=1,2,...
σ
n
1 ∑
Zi
⇒ Yn = √
n i=1
(
) (
(
))n
n
n
∏
∏
1
1
n (t) =
⇒ φYn (t) = φ √1 ∑
φ √1 Zi (t) =
φZi √n t = φZi √n t
n
n
i=1
i=1
i=1
(
)
1
√
Khai triển Taylor hàm φZi
t tại t = 0 ta có
n
(
φZi
t
√
n
)
φ′Zi (0) t
φ′′Zi (0) t2
t2
=1+
.√ +
. + 0.
1!
n
2! n
n
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán
25
