Hệ thống bài tập về các đường đáng chú ý trên mặt trong e3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (368.58 KB, 37 trang )
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
Nguyễn thị thanh
Hệ thống bài tập về các
đường đáng chú ý trên mặt
trong E 3
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
p.g.s nguyễn năng tâm
Hà nội - 2013
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm
người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành
khoá luận của mình. Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn đến các thầy
cô trong tổ hình học và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn
thành khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa hoc nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được những góp ý của thầy cô và các ban.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em được sự quan tâm của các thầy, cô trong
khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em khẳng định kết quả của đề tài Xây dựng hệ thống bài tâp về
các đường đặc biệt trên mặt trong 3 không có sự trùng lặp với các
kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Mục lục
Mở đầu ................................................................................................ 1
Chương 1: Kiến thức về các đường đặc biệt trên mặt ....................... 4
1.1 Đường chính khúc ...................................................................... 4
1.2 Đường tiệm cận .......................................................................... 5
1.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa .......................................... 8
1.4 Đường trắc địa ............................................................................ 9
Chương 2: Hệ thống bài tập ............................................................... 11
2.1 Đường chính khúc ...................................................................... 11
2.2 Đường tiệm cận .......................................................................... 18
2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa .......................................... 24
2.4 Đường trắc địa ............................................................................ 28
Kết luận............................................................................................... 32
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 33
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ
và phương pháp của phép tính vi phân, tích phân, cũng như đại số tuyến
tính và đại số đa tuyến để nghiên cứu các vấn đề về hinh học.
Hình học vi phân được phát triển từ đầu thế kỉ XIX. Gauss là một
trong những nhà tiên phong trong lĩnh vực hinh học vi phân. Cuối thế kỉ
XIX, tất cả những nhà nghiên cứu được tập hợp và hệ thống hoá lại bởi
các nhà toán học jeangaston darboux và luigi bianchi.
Việc xây dựng hệ thống bài tập của môn hình học vi phân sẽ giúp
tôi hiểu rõ hơn bản chất nghiên cứu của các hình hình học. Nhưng vì thời
gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc xây đựng hệ thống bài tập về các
đường đặc biệt trên mặt trong E 3 .
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt.
3. Đối tượng nghiên cứu
Bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt.
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Giới hạn nội dung: Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc
biệt trên mặt.
Giới hạn đối tượng: Bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt.
Giới hạn thời gian: 6 tháng.
5. Giả thiết khoa học
Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt sẽ giúp
tôi hiểu rõ hơn các tính chất của các đối tượng đặc biệt trên mặt, đồng
thời có thể là tài liệu cho các bạn sinh viên khoá sau.
-1-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu một số kiến thức liên quan đến các đường đặc biệt trên
mặt.
Nghiên cứu các dạng bài tập từ dễ đến khó về các đường đặc biệt
trên măt.
7. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, đọc sách.
8. Dự kiến nội dung công trình
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn được
trình bày ở hai chương.
Chương 1: Lý thuyết về các đường đặc biệt trên mặt.
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên
mặt.
-2-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
kí hiệu
Trong khoá luận này, em đã sử dụng các kí hiệu sau:
1. ru' : (u, v) a ru' (u, v ) , rv' : (u, v) a rv' (u, v ) là các trường vectơ tiếp
xúc dọc theo r .
" , M = n .r " , N = n .r " .
2. E = ru' .ru' , F = ru' .rv' , G = rv' .rv' , L = n .ruu
uv
vv
r r
3. T pS = ( p, a ) : a ẻ ru' (u , v ), rv' (u , v )
{
0
0
0
0
} là không gian tiếp xúc với S
tại p ; ở đó S là mặt hinh học, điểm p ẻ S , r :U đ S ,(u, v ) a r (u, v )
là tham số hoá địa phương gần p = r (u , v ) .
0
0
4. Các vectơ T , N , B lần lượt chỉ phương tiếp tuyến, pháp tuyến chính,
trùng pháp tuyến của cung song chính quy.
5. K p là độ cong Gauss của mặt định hướng trong E 3 .
6. k là độ cong của cung chính quy.
7. k% là độ cong pháp dạng của mặt định hướng trong E 3 theo một
phương nào đó.
8. hp là ánh xạ Weingarten hay ánh xạ dạng của mặt định hướng S
trong E 3 .
-3-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Chương 1
kiến thức về những đường đáng chú ý
trên mặt trong E 3
Trong chương này em trình bày những kiến thức cơ bản về các
đường đáng chú ý trên mặt: đường chính khúc; đường tệm cận; độ cong
trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa.
1.1.
Đường chính khúc
Định nghĩa 1.1: Cho mặt định hướng S trong E 3 . Một đường
có phương tiếp tuyến tại mọi điểm của
r trên S
r đều là phương chính của S gọi
là đường chính khúc.
Tính chất 1.1: Nếu mọi điểm của S đều là điểm rốn thì mọi đường trên
S đều là đường chính khúc.
Thật vậy, giả sử điểm bất kì p ẻ S
là điểm rốn. Khi đó,
%
k%
1( p) = k2( p) nên tại p mọi phương đều là phương chính. Do đó phương
tiếp xúc tại p là phương chính. Do p bất kì nên mọi đường trên S đều là
đường chính khúc.
Tính chất 1.2: r : J đ S , t a r (t ) là đường chính khúc trên mặt định
hướng S khi và chỉ khi (n o r )' Pr ' , với n là trường pháp vectơ đơn vị
của S .
Chứng minh:
Gọi k%(t ) là một độ cong chính của S tại r (t ) .
r là đường chính khúc khi và chỉ khi r '(t ) chỉ phương chính của S , tức
hp (r '(t )) = k%(t ).r '(t ) . (1)
-4-
Khúa lun tt nghip
Mặt
khác,
theo
Trng HSP H Ni 2
định
nghĩa
ánh
xạ
Vaigacten
ta
có:
hp (r '(t )) = - (n o r )'(t ) (2)
Từ (1) và (2), suy ra (n o r )'(t ) Pr '(t ) .
Tính chất 1.3: Cho mặt định hướng S trong E 3 , điểm p ẻ S , tham số
hoá địa phương gần p là r :U đ S , (u, v ) a r (u, v) tương thích hướng của
S tại p , và đường
r trên S có tham số hoá r : J đ S , t a r (t ) . Khi đó,
r là đường chính khúc ở gần p khi và chỉ khi
v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t)
E
F
G =0
L
M
N
Chứng minh:
Do r là tham số hoá địa phương tương thích ở gần p nên ta có:
r (t ) = r (u(t ), v(t )) , r '(t ) = u '(t ).ru' + v '(t ).rv' .
Hơn nữa,
r là chính khúc ở gần p khi và chỉ khi r ' (t ) chỉ phương
chính của S tại
r (t ) . áp dụng công thức tìm phương chính suy ra r là
chính khúc ở gần p khi và chỉ khi
v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t)
1.2.
E
F
G =0
L
M
N
Đường tiệm cận.
Định nghĩa 1.2: Cho S è E 3 định hướng, p ẻ S , v ẻ TpS , v ạ 0 gọi là
vectơ chỉ phương tiệm cận nếu độ cong pháp dạng %
k(v) = 0 .
-5-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Ta gọi v là phương tiệm cận của S tại p
Đường
r trên S là đường tiệm cận của S nếu tiếp tuyến tại mọi
điểm của nó đều có phương là phương tiệm cận, hay nếu mọi p ẻ S ta
'
có r (t ) là phương tiệm cận.
Tính chất 1.4: Cho S è E 3 định hướng xác định bởi trường pháp vectơ
đơn vị n. Đường
r trên S có tham số hoá địa phương n là đường tiệm
cận của S khi và chỉ khi (n o r )' ^ r ' .
Chứng minh:
r là đường tiệm cận
k%(r '(t )) = 0
hp (r ' ).r ' = 0
- (n o r )'.r ' = 0
(n o r )'.r ' = 0
(n o r )' ^ r '
Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.5: Đường song chính quy trên mặt định hướng S è E 3 là
đường tiệm cận khi và chỉ khi mặt phẳng mặt tiếp của
r tại mỗi điểm
của nó là tiếp diện của S tại điểm đó.
Chứng minh:
Giả sử
r có tham số hoá ở gần p ẻ S là: r : s đ r (s ) theo tham số
hoá tự nhiên s .
-6-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Theo công thức Meeusnier ta có: k%(r ' ) = k (s ).N (s ).(n o r )(s ) ,
trong đó, N là véctơ pháp tuyến chính của
r , n là pháp véctơ định
hứơng của S .
Mà, theo định nghĩa đường tiệm cận,
r là đường tiệm cận khi và
chỉ khi k%(r ' ) = 0 k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = 0 . Do r là song chính quy nên
k (s ) ạ 0 nên N (s ).(n o r )(s ) = 0 . Suy ra N ^ n .
Gọi P , Q lần lượt là tiếp diện và mặt phẳng mật tiếp của S tại
r r
r r
r r
r
r
r (s ) . khi đó n ^ P , n ^ Q , r(s) ẻ Q , r(s) ^ n . Do đó,
r
ỡù r
r r
r' r
ùù n ^ N
r
P
N
Q
PP
ớr
r
ùù n ^ r '
ùợ
Hơn nữa, Q và P có điểm chung r (s ) nên Q = P .
Tính chất 1.6: Dọc theo đường tiệm cận thì độ cong Gauss của mặt
Kp Ê 0.
Chứng minh:
Giả sử
r là đường tiệm cận của mặt đinh hướng S trong E 3 .
2
% %
% 2
Theo công thức Euler ta có: k%(r ' ) = k%
1.x 1 + k2.x 2 , trong đó k1, k2 là hai độ
cong chính của S tại
r (s ) , r ' ẻ T pS ; r ' = x1.e1 + x 2.e2 ,e là phương
i
chính ứng với k%
i , i = 1,2.
Do s là tham số hoá tự nhiên của
r nên K = k%%
1.k2 Ê 0
Tính chất 1.7: S è E 3 định hướng với pháp vectơ đơn vị n , p ẻ S tham
số hoá địa phương tại p là r :U đ S ,(u, v ) a r (u, v) ,tương thích với
hướng của S ở gần p . Khi đó, v = a.r ' + b.r ' là chỉ phương tiệm cận khi
u
và chỉ khi a 2.L + 2.a.b.M + b2.N = 0 .
-7-
v
Khúa lun tt nghip
Đường
Trng HSP H Ni 2
r trên S là đường tiệm cận khi và chỉ khi với tham số hoá
r : J đ S , t a r (u (t ), v(t )) , ta có:
(u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = 0
Ta gọi phương trình này là phương trình vi phân của đường tiệm
cận.
Chứng minh:
r
r
Vectơ v chỉ phương tiệm cận khi và chỉ khi k%(v ) = 0
r r
hp (v ).v = 0
hp (a.r ' + br
. ' ).(a.r ' + b.r ' ) = 0
u
v
u
v
a 2.hp (ru' ).ru' + 2.a.bh
. p (ru' ).rv' + b2.hp (rv' ).rv' = 0
a 2.L + 2.a.b.M + b2.N = 0
Đường
r
trên
S
là
đường
tiệm
cận
khi
và
chỉ
khi
r '(t ) = u '(t ).ru' + v '(t ).rv' chỉ phương tiệm cận khi và chỉ khi k%(r '(t )) = 0 ,
hay (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = 0 .
1.3.
Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa.
Định nghĩa 1.3: Cho S è E 3 định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị
khả vi n , cung định hướng chính quy r : J đ S , t a r (t ) . Chọn một
hướng cố định của E 3 và xét tích có hướng trên đó. Với t ẻ J , ta gọi số:
kg (t ) =
là độ cong trắc địa của
r '(t ) r "(t )
r '(t )
3
ìn (r (t ))
r tại r (t ) .
Một cung ( đường) trên S gọi là cung (đường) tiền trắc địa của S
nếu kg (t ) = 0, " t ẻ J .
-8-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Tính chất 1.8: Nếu đổi hướng cung (mặt, không gian) thì cung trắc địa
đổi hướng.
Thật vậy, từ công thức độ cong trắc địa ta thấy nếu đổi hướng của
cung thì r ' đổi dấu, nếu đổi hướng của E 3 thì r ' r " đổi dấu, do đó kg
đổi dấu.
r trên mặt phẳng định hướng S là
tiền trắc địa khi và chỉ khi pháp vectơ chính N của r và pháp vectơ
Tính chất 1.9: Cung song chính quy
n o r định hướng S cùng phương với nhau.
Chứng minh:
Vì
r song chính quy nên k (s ) ạ 0 , s là tham số hoá tự nhiên của
cung. Do đó, kg (s ) =
(r ', r ", n o r )
r ' r "
(s ) = 0 khi và chỉ khi (r ', r ", n ) = 0
n o r ẻ r ', r " = T , N
n o r PN (do n o r ^ T , N ^ T ).
1.4.
Đường trắc địa.
Định nghĩa 1.4: Cho S è E 3 định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị
khả vi n , cung định hướng chính quy r : J đ S , t a r (t ) được gọi là
cung trắc địa nếu r "(t ) P(n o r )(t ) .
Tính chất 1.10: Mỗi tham số hoá của cung thẳng trên mặt S è E 3 đều là
cung trắc địa.
Chứng minh:
Mọi cung thẳng
r trên mặt S đều có độ cong bằng 0 nên r " = 0 .
Do đó, r " Pn .
-9-
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Tính chất 1.11: Mọi cung trắc địa
r trên mặt S è E 3 đều là tiền trắc
địa và r " = const .
Chứng minh:
Vì
r là cung trắc địa nên r " P(n o r ) . Do đó, kg = 0 . Suy ra r là
cung tiền trắc địa.
Vì r " Pn , r ' ^ n nên r ' ^ r " hay r '.r " = 0 . Do đó (r '2 )' = 0 . Suy
ra r '2 = const , hay r ' = const .
Tính chất 1.12: Mọi tham số hoá tự nhiên của cung tiền trắc địa song
chính quy đều là cung trắc địa.
Chứng minh:
Giả sử
S è E3
r là cung tiền trắc địa song chính quy trên mặt định hướng
và r : s đ r (s ) là tham số hoá tự nhiên của
r "(s ) = T '(s ) = k(s ).(N o r )(s ) .
Mặt khác, kg (s ) =
(r ' r ").(n o r )
=0
r ' r "
n o r ẻ r ', r " = T , N
n o r PN (do n o r ^ T , N ^ T ).
Do đó, r "(s ) P(n o r )(s ) hay
r là cung trắc địa.
- 10 -
r thì
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Chương 2
hệ thống bài tập
Trong chương này, em đưa ra hệ thống bài tập về các đường đặc
biệt trên mặt, đồng thời sử dụng các kiến thức ở chương 1 để giải các bài
tập đó.
2.1. Đường chính khúc
Bài 2.1: Giả sử S là mặt định hướng trong E 3 có tham số hoá địa
phương r :U đ S , (u, v ) a r (u, v) tương thích với hướng của S sao cho
tại mỗi điểm S hai cung toạ độ trực giao với nhau. Chứng minh rằng mỗi
cung toạ độ là chính khúc khi và chỉ khi M = 0 .
Giải
'
'
Ta có ru , rv là hai vectơ tiếp xúc của hai cung toạ độ v = v0, u = u 0 .
Do hai cung toạ độ trực giao với nhau nên F = ru' .rv' = 0 . Do đó, v = v0
khi và chỉ khi
v'2 - u'.v' u'2
E
L
F G =0
M N
0 0 u'2
E 0 G =0
L M N
M .(E .u '2 ) = 0
M = 0, (do E = ru' .ru' ạ 0, u ' ạ 0)
Tương tự, u = u 0 chính khúc khi và chỉ khi M = 0 .
Bài 2.2: Chứng minh rằng trên mặt tròn xoay trong E 3 vĩ tuyến, kinh
tuyến là những đường chính khúc.
Giải
Giả sử S là mặt tròn xoay trong E 3 sinh bởi đường
r (u ) = (x (u ), 0, z (u )) quay quanh OZ .
Khi đó phương trình tham số của S là:
- 11 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
r (u, v) = (x (u )cos v, x (u )sin v, z (u )), 0 Ê v Ê 2p
Vĩ tuyến có phương trình: u = u 0
Kinh tuyến có phương trình: v = v0
Ta có:
r
ru' = (x '(u )cos v, x '(u )sin v, z '(u ))
r
rv' = (- x (u )sin v, x (u )cos v, 0)
r r
ru' rv' = (- x (u )z '(u )cos v, - z '(u )x (u )sin v, x (u )x '(u ))
r r
ru' rv' = x (u ) z '2(u ) + x '2(u )
r r
(- z '(u )cos v, - z '(u )sin v, x '(u ))
r
ru' rv'
Suy ra n o r = r ' r ' =
ru rv
z '2(u ) + x '2(u )
Do F = ru' .rv' = 0 nên vĩ tuyến và kinh tuyến trực giao với nhau.
' = (- x '(u )sin v, x '(u )cos v, 0) nên M = (n o r ).r ' = 0 . Theo bài
Lại có, ruv
uv
2.1, vĩ tuyến và kinh tuyến trên mặt tròn xoay là những đường chính
khúc.
Bài 2.3: Cho mặt định hướng S è E 3 có tham số hoá địa phương r (u, v )
r r
r ' r '
và hướng xác định bởi n = ru' rv' . Chứng minh rằng: nếu F = ru' .rv' = 0
ru rv
tại mọi điểm của S thì các đường toạ độ của S là đường chính khúc khi
và chỉ khi M = h(ru' ).rv' = 0 tại mọi điểm của S .
Giải
Điều kiện cần: Giả sử các đường toạ độ của S là: v = v0, u = u 0 là
các đường chính khúc, các vectơ chỉ phương tiếp tuyến của các đường đó
lần lượt là ru' , rv' . Do đó ru' , rv' là hai phương chính tại p = r (u, v) . Vậy
h(r ' ) = k%.r ' , h(r ' ) = k%.r ' . Mà F = r ' .r ' = 0 nên k%.r ' .r ' = 0 .
u
Do đó,
v
1 u
'
'
h(ru ).rv =
2 v
u v
1 u v
0 hay M = 0 ( " p ẻ S ) .
Điều kiện đủ: Giả sử M = h(ru' ).rv' = 0 tại " p ẻ S . Khi đó,
hp (ru' ) ^ rv' . Do F = ru' .rv' = 0 , " p ẻ S nên ru' ^ rv' . Vì hp (ru' ), ru' , rv' cùng
thuộc không gian vectơ hai chiều T S nên hp (ru' ) Pru' , suy ra hp (ru' ) = l ru'
hp (rv' ) =
mrv' .
p
'
ru , rv'
Tương tự:
Như vậy
là hai phương chính của S tại p .
Suy ra, v = v0, u = u 0 là các đường chính khúc.
- 12 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Bài 2.4: Trong E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số
hoá r : Ă Ă đ E 3 xác định bởi r (u, v) = (5cos v, 5sin v, u ) . Hãy tìm các
đường chính khúc.
Giả sử
r
Giải
trên r (u, v) = (5cos v, 5sin v, u ) là dường chính khúc. Khi
đó ta có:
ru' = (0, 0, 1)
rv' = (- 5sin v, 5cos v, 0)
'' = (0, 0, 0)
ruu
'' = (0, 0, 0)
ruv
rvv'' = (- 5cos v, - 5sin v, 0)
r ' rv' = (- 5cos v, - 5sin v, 0)
u
r ' rv' = 5
u
r ' r '
n = ru' rv' = (- cos v, - sin v, 0)
ru rv
E = (0, 0, 1).(0, 0, 1) = 1
F = (0, 0, 1).(- 5sin v, 5cos v, 0) = 0
G = (- 5sin v, 5cos v, 0).(- 5sin v, 5cos v, 0) = 25
L = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
M = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
N = (- cos v, - sin v, 0).(- 5cos v, - 5sin v, 0) = 5
Thay vào (1) các giá trị vừa tính ta được:
v'2 - u'.v' u'2
u '.v '.5 =
1
0
25 = 0
0
0
5
0
0
ộu ' =
ờ
ờ
ờ '
ờv =
ờở
0
ộu =
ờ
ờ
ờv =
ờ
ờở
u0
v0
- 13 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Vậy các đường chính khúc cần tìm là: v = v0, u = u 0 .
Bài 2.5: Cho mặt định hướng S è E 3 có tham số hoá xác định bởi
r (u, v) = (5cos v, 5sin v, u ) - măt trụ tròn xoay. Tìm đường chính khúc
của S .
Giải
Giả sử r : J đ S ,(u, v ) a r (u, v ) là đường chính khúc. Khi đó ta có:
v'2 - u'.v' u'2
E F G = 0 (1)
L
M N
Ta có: ru' = (0, 0, 1)
rv' = (- R sin v, R cos v, 0)
'' = (0, 0, 0)
ruu
'' = (0, 0, 0)
ruv
rvv'' = (- R cos v, - R sin v, 0)
r ' rv' = (- R cos v, - R sin v, 0)
u
r ' rv' = R
u
r ' r '
n = ru' rv' = (- cos v, - sin v, 0)
ru rv
E = (0, 0, 1).(0, 0, 1) = 1
F = (0, 0, 1).(- R sin v, R cos v, 0) = 0
G = (- R sin v, R cos v, 0).(- R sin v, R cos v, 0) = R 2
L = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
M = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
N = (- cos v, - sin v, 0).(- R cos v, - R sin v, 0) = R
Thay vào (1) các giá trị vừa tính ta được:
- 14 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
v'2 - u'.v' u'2
1
0
u '.v '.R
=0
0
0
R 2 =0
R
ộu ' =
ờ
ờ
ờ '
ờv =
ờở
0
0
ộu =
ờ
ờ
ờv =
ờ
ờở
u0
v0
Vậy các đường chính khúc cần tìm là: v = v0, u = u 0 .
Bài 2.6: Cho tham số hoá của mặt Enneper
3
3
r (u, v ) = (u - u + uv 2, v - v + vu 2, u 2 - v 2 )
3
3
Chứng minh rằng: Các đường toạ độ là các đường chính khúc.
Giải
'
2
2
Ta có: ru = (1 - u + v , 2uv, 2u )
rv' = (2uv, 1 - v 2 + u 2, - 2v )
'' = (- 2u, 2v, 2)
ruu
'' = (2v, 2u, 0)
ruv
rvv'' = (2u, - 2v, - 2)
ru' rv' = (- 2uv 2 - 2u - 2u 3, 2u 2v + 2v + 2v 3, 1 - 2u 2v 2 - u 4 - v 4 )
2
3
2
3
2 2
4
4
n = ( - 2uv -' 2u' - 2u , 2u v +' 2v +' 2v , 1 - 2u v' - u' - v )
ru rv
ru rv
ru rv
F = 2uv - 2u 3v + 2uv 3 + 2uv - 2uv 3 + 2u 3v - 4uv = 0
M=0
Theo bài 2.3, suy ra các đường toạ độ là các đường chính khúc.
Bài 2.7: Xác định các đường chính khúc của mặt z = xy .
Giải
Phương trình tham số của măt z = xy có dạng r (u, v) = (u, v, uv) .
Ta có: ru' = (1, 0, v )
rv' = (0, 1, u )
" = (0, 0, 0)
ruu
" = (0, 0, 1)
ruv
rvv" = (0, 0, 0)
- 15 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
r ' rv' = (- v, - u, 1)
u
v2 + u2 + 1
r ' rv' =
u
n=
ổ
ỗỗ
ỗỗ
ỗỗỗ
ỗỗ
ỗỗ
ỗố
-v
-u
,
v2 + u2 + 1
1
,
v2 + u2 + 1
v2 + u 2 +
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
1 ữữữứữ
E = 1+ v2
F = u.v
G = 1+ u2
L= 0
1
M=
v2 + u2 + 1
N =0
Giả sử r là đường chinh khúc của mặt đã cho. Theo tính chất 1.3, r là
đường chính khúc khi và chỉ khi
v'2 - u'.v' u'2
E
F
L
M N
v '2
G
= 0 (1)
- u '.v '
1 + v2
u '2
1+ u2 = 0
u.v
1
0
2
0
2
v +u + 1
ỡù 1 + v 2
ùù
.u '2 = 0
ùù 2
2
ùù v + u + 1
ớ
ùù 1 + u 2
ùù
.v '2 = 0
ùù v 2 + u 2 + 1
ùợ
ùỡù u ' = 0
ùỡù u = u
0
ùù
ù
ùớù
ớ '
ùù v = 0
ùù v = v 0
ùù
ùợ
ợ
- 16 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Vậy các đường chính khúc của mặt là: v = v0, u = u 0 .
Bài 2.8: Xác định các đường chính khúc của mặt Catenoid xác định bởi
tham số hoá r (u, v ) = (cos v cos u, cos v sin u, v)
Giải
Ta có: ru' = (- cos v sin u, cos v cos u, 0)
rv' = (- sin v cos u, - sin v sin u, 1)
r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0)
uu
''
ruv
= (- sin v sin u, sin v cos u, 0)
r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0)
vv
r ' rv'
u
= (cos v cos u, cos v sin u, cos v sin v )
ru' rv' = cos v 1 + sin 2 v
n=
ổ
ỗỗ
ỗỗ
ỗỗ
ỗỗ
ỗố
cos u
,
2
sin u
,
2
1+ sin v
1+ sin v
ửữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
2 ữ
sin v ữữứ
sin v
1+
Nhận thấy F = 0 và M = 0 nên theo bài 2.3 suy ra các đường toạ độ là
các đường chính khúc.
Bài 2.9: Cho đường r chính quy là giao của mặt định hướng S với mặt
phẳng P . Nếu góc giữa S và P là hằng số dọc theo r thì r là đường
chính khúc.
Giải
Giả sử n , n 1 là các trường pháp vectơ đơn vị của S và P (tương
ứng) dọc theo r .
Do P là mặt phẳng, n 1 = const nên n 1' = 0 . Vì n .n 1 = const nên
(n .n 1)' = 0 n '.n + n .n ' = 0 . Suy ra n '.n = 0 , hay n ' ^ n .
1
1
1
1
n'
Lại có n là trường pháp vectơ đơn vị của S nên
^ n . Suy ra
Do đó r là đường chính khúc.
Bài 2.10: Cho mặt định hướng S và S 1 trong E 3 cắt nhau theo một
đường r dưới một góc không đổi. Chứng minh rằng nếu r là đường
chính khúc của S thì nó cũng là đường chính khúc của S 1 .
Giải
n ' Pr ' .
- 17 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Gọi n , n1 là các trường pháp vectơ đơn vị của S và S 1 . Xét tham
số hoá tự nhiên của r là r : s đ r (s ) .
Do góc giữa S và S 1 không đổi nên góc (n , n 1) không đổi dọc
theo r . Khi đó n .n 1 = const , đạo hàm hai vế theo s ta được:
ộn (s ).n (s ) ự' =
ờở
ỳ
1
ỷ
n '(s ).n1(s ) + n (s ).n1' (s ) = 0
(ở đó n (s ) = (n o r )(s ), n 1(s ) = (n1 o r )(s ) )
Mặt khác, r là đường chính khúc của S nên n '(s ) P r '(s ) . Lại vì
r '(s ) ^ n 1(s ) nên n '(s ) ^ n (s ) . Do đó, n '(s ).n (s ) = 0 . Khi đó, ta có:
1
ộn (s ).n (s ) ự' =
ờở
ỳỷ
1
1
n (s ).n 1' (s ) =
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: n (s ) Pn (s )
1
0 (1)
hay
n (s ) = n (s ) ,
1
suy
ra
n ' (s ) = n '(s ) P r '(s ) . Như vậy r là đường chính khúc của S 1 .
1
Trường hợp 2: n (s ) không song song với n 1(s ) . Khi đó,
r '(s ) ^ n (s ), r '(s ) ^ n (s ) . Từ (1) ta có n (s ) ^ n 1' (s ) . Vì n1(s ) = 1 nên
1
n (s ) ^
1
n 1' (s ) .
Do đó, r '(s ) Pn ' (s ) . Vậy r là đường chính khúc của S 1 .
1
2.2. Đường tiệm cận
Bài 2.11: Chứng minh rằng mọi cung thẳng trên S đều là đường tiệm
cận.
Giải
Giả sử r là một cung thẳng trên S có tham số hoá
r r r
r (t ) = 0 + t .a , a ạ o
r
r
r
Ta có: r '(t ) = a , r "(t ) = o . Vì n ^ r '(t ) nên (n o r ).r ' = 0 . Lấy đạo
hàm hai vế theo t ta được 0 = (n o r )'.r ' + (n o r ).r '' = (n o r )'.r ' . Do đó,
(n o r )'.r ' = 0 hay (n o r )' ^ r ' . Vậy r là đường tiệm cận.
Bài 2.12: Cho mặt đinh hướng S è E 3 . Cung toạ độ v = v0 là đường tiệm
cận khi và chỉ khi L = 0 , cung toạ độ u = u 0 là đường tiệm cận khi và chỉ
khi N = 0 .
Giải
- 18 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
Cung v = v0 có v '(t ) = 0 , thay vào phương trình vi phân của đường
tiệm cận (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = 0 ta được (u '(t ))2.L = 0
khi và chỉ khi L = 0 . Vậy v = v0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi L = 0 .
Tương tự, u = u 0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi N = 0 .
Bài 2.13: Trong E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số
hoá r : Ă Ă đ E 3 xác định bởi r (u, v) = (cos v, sin v, u ) . Hãy tìm các
đường tiệm cận của S .
Giải
Giả sử đường tiệm cận trên S có phương trình vi phân là:
(u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = 0 (1)
Ta có: ru' = (0, 0, 1)
rv' = (- sin v, cos v, 0)
'' = (0, 0, 0)
ruu
'' = (0, 0, 0)
ruv
rvv'' = (- cos v, - sin v, 0)
r ' rv' = (- cos v, - sin v, 0)
u
r ' rv' = 1
u
r ' r '
n = ru' rv' = (- cos v, - sin v, 0)
ru rv
L = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
M = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = 0
N = (- cos v, - sin v, 0).(- cos v, - sin v, 0) = 1
Thay L, N , M vào (1) ta được: v '2(t ) = 0 v '(t ) = 0 v(t ) = c
Vậy họ đường tiệm cận là v = c .
Bài 2.14: Cho tham số hoá của mặt Enneper
3
3
r (u, v ) = (u - u + uv 2, v - v + vu 2, u 2 - v 2 )
3
3
Chứng minh rằng: Các đường u v = const là các đường tiệm cận.
Giải
Ta có: ru' = (1 - u 2 + v 2, 2uv, 2u )
- 19 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
rv' = (2uv, 1 - v 2 + u 2, - 2v)
'' = (- 2u, 2v, 2)
ruu
'' = (2v, 2u, 0)
ruv
rvv'' = (2u, - 2v, - 2)
ru' rv' = (- 2uv 2 - 2u - 2u 3, 2u 2v + 2v + 2v 3, 1 - 2u 2v 2 - u 4 - v 4 )
2
3
2
3
2 2
4
4
n = ( - 2uv -' 2u' - 2u , 2u v +' 2v +' 2v , 1 - 2u v' - u' - v )
ru rv
ru rv
ru rv
2
4
2 2
2
4
L = 4u + 2u + 4u' v +' 4v + 2v + 2
ru rv
M= 0
- (4u 2 + 2u 4 + 4u 2v 2 + 4v 2 + 2v 4 + 2)
N=
ru' rv'
Thay L, N , M vào phương trình vi phân của đường tiệm cận ta được:
ộ '2
ờu (t ) ờở
ộ '2
ờu (t ) ờở
ự
v ' 2(t )ỳỳ.L = 0
ỷ
ự
v ' 2(t ) ỳ=
ỳ
ỷ
0 (do L > 0 " (u, v ))
ộu ' = v '
ờ
ờ
ờ '
'
ờu = - v
ờở
ộu - v = c
ờ
1
ờ
ờu + v = c
ờ
2
ờở
Như vậy các đường u v = const là các đường tiệm cận.
Bài 2.15: Xác định các đường chính khúc của mặt Helicoid xác định bởi
tham số hoá r (u, v ) = (cos u sin v, sin u sin v, cu ) c ạ 0
Ta có:
ru'
Giải
= (- sin u sin v, cos u sin v, c)
rv' = (cos uco s v, sin uco s v, 0)
r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0)
uu
''
ruv
= (- sin uco s v, cos uco s v, 0)
r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0)
vv
- 20 -
Khúa lun tt nghip
Trng HSP H Ni 2
r ' rv' = (- c sin u cos v, c cos u cos v, - sin u cos v)
u
ru' rv' = cos v c 2 + sin 2 v
n=
ổ
ỗỗ
ỗỗ
ỗỗ
ỗỗ
ỗố
cos u
2
sin u
,
2
2
c + sin v
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
2 ữ
sin v ữứữ
sin v
,
2
c2 +
c + sin v
L= 0
M=
c cos v
c 2 + sin 2 v
N =0
Thay L, N , M vào phương trình vi phân của đường tiệm cận ta được:
2.u '(t ).v '(t ).
c cos v
2
=0
2
c + sin v
ộ '
ờv = 0
ờ
ờ '
ờu = 0
ờ
ờ
ờcos v =
ờ
ở
ộu = u
ờ
0
ờ
ờv = v
0
ở
0
Vậy các đường tiệm cận của mặt Helicoid là v = v0, u = u 0 .
Bài 2.16: Xác định các đường tiệm cận của mặt Catenoid xác định bởi
tham số hoá r (u, v ) = (cos v cos u, cos v sin u, v)
Ta có:
ru'
Giải
= (- cos v sin u, cos v cos u, 0)
rv' = (- sin v cos u, - sin v sin u, 1)
r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0)
uu
''
ruv
= (- sin v sin u, sin v cos u, 0)
r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0)
vv
r ' rv' = (cos v cos u, cos v sin u, cos v sin v)
u
ru' rv' = cos v 1 + sin 2 v
- 21 -
