Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ THỊ MAI HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG
CHO HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy HÀ BÌNH MINH - Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khóa
luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người đã tận
tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoàn
thành bài khóa luận. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến
thức giúp em giải đáp được những điều còn chưa hiểu.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô trong tổ Toán ứng
dụng và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt
bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên

không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
En xin chân thành cảm ơn!


Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ HÀ BÌNH
MINH.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài " Phương pháp chặt cân bằng
cho hệ động lực rời rạc" không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.


Mục lục
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phép biến đổi z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Một số phép toán với ma trận hàm truyền . . . .
1.3 Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu
của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến . . . . . . .
1.3.1 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Biểu diễn tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
.
.
.
.
.

1
3
3
5
6

. 7
. 7
. 9
. 10

Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 13
2.1 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc . . . . . . 13
2.2 Phương trình Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát . . . 16
Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân
bằng
20
3.1 Biểu diễn cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng . . . . 25
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời
sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu
nói riêng. Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hình
hóa bởi một mô hình toán học. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần
nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển. Một trong số những vấn đề
có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển. Nó có ứng dụng rộng
rãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn
là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu. Để có
thể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Phương pháp
chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc” để làm đề tài nghiên
cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này em trình bày về phương pháp chặt cân bằng cho hệ
động lực rời rạc.
Nội dung bao gồm phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.

• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực rời rạc tuyến tính.


• Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng.

3. Mục đích- Yêu cầu

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.

4. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc và các kiến thức
liên quan.


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực tuyến tính rời rạc.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Các khái niệm về hàm truyền.
- Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của
hệ rời rạc.

• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Tính ổn định.

- Phương trình Lyapunov.
- Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát.

• Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng
- Biểu diễn cân bằng.

- Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng.
3. Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.


Chương 1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến được
biểu diễn qua hệ sau:

xk+1 = Axk + Buk ,

(1.1)

yk = Cxk + Duk .

(1.2)

trong đó:
Phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là phương trình trạng thái.
xk là một vectơ thực n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ.
uk là một vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu vào.
yk là một vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra.
vectơ x0 là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của xk là các biến
trạng thái.
Các ma trận A, B , C , D là ma trận thực có kích thước tương ứng là
n × n, n × m, r × n, r × m.
Định lý 1.1.2. Hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến (1.1) và (1.2) có

1
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

nghiệm:
k−1
k

Ak−1−i,

xk = A x0 +

(1.3)

i=0
k−1

yk = CAk x0 +

CAk−i−1Bui + Duk .

(1.4)

i=0

Chứng minh. Từ:

xk+1 = Axk + Buk .
Ta có:

xk = A[Axk−2 + Buk−2] + Buk−1,
= A2xk−2 + ABuk−2 + Buk−1,
= A2[Axk−3 + Buk−3] + ABuk−2 + Buk−1,
..
.
k−1
k

Ak−1−iBui.

= A x0 +
i=0

Thay
k−1
k

Ak−1−iBui.

xk = A x0 +
i=0

vào (1.2) ta có (1.4).
Ví dụ 1.1.3. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi phương trình:

xk+1 = 3xk + 4uk , x0 = 2,
yk = 5xk + 6uk .
Tính x3 và y3 :

2
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Ta có:

x3 = [3x2 + 4u2]
= 32x1 + 3.4u1 + 4u2
2
3

33−1−i4ui.

= 3 x0 +
i=0

Thế x3 ta được:
2
3

5.33−i−14ui + 6u3.

y3 = 5.3 x0 +
i=0

1.2
1.2.1

Hàm truyền
Phép biến đổi z

Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được định
nghĩa như sau:
∞

X(z) =

x(n)z −n.

n=−∞

Chú ý:
Ta sẽ có biến đổi z một phía nếu thay đổi cận n chạy từ 0 đến ∞ :
∞

X(z) =

x(n)z −n.

n=0

Ký hiệu bởi toán tử:

ZT [x(n) = X(z)]
x(n) −→ X(z)

Vùng hội tụ của biến đổi z (ROC)

3
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn.

ROC = {z ∈ C|X(z) = ∞}
Tính chất 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi z
(1) Tuyến tính:

x1n ↔ X1 (z)
x2n ↔ X2 (z)
⇒ a1 x1(n) + a2 x2(n) ↔ a1 X1 (z) + a2 X2(z), ∀a1 , a2

(2) Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:

x(n) ↔ X(n) ⇒

x(n − n0) ↔ z −n0 X1 (z)
x(n + n0) ↔ z n0 X2(z)
(3) Vi phân trong miền Z:

−zdX(z)
dz
Ví dụ 1.2.3. Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau:
x(n) ↔ X(z) ⇒ nx(n) ↔

a, x1 (n) = {2, 5, 7, 3, 9, 1}.

b, x2 (n) = 2nu(n).
Lời giải:

a, Từ định nghĩa:
X1 (z) = 2z 2 + 5z + 7 + 3z −1 + 9z −2 + z −3 .
b, Ta có:
+∞

X2 (z) =

+∞

x(n)z

−n

n=−∞

+∞
n

=

2 u(n)z
n=−∞

4

+∞
n −n

=

2 z
n=0

với: |z| > 2.
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

−n

(2z −1)n

=
n=0

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

1.2.2

Hàm truyền

Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến:

xk+1 = Axk + Buk ,
yk = Cxk + Duk .
Giả sử X(z), Y (z) và U (z), lần lượt là các biến đổi z của xk , yk , uk . Lấy
phép biến đổi z ta được:

zX(z) = AX(z) + BU (z),

(1.5)

Y (z) = CX(z) + DU (z).

(1.6)

Từ (1.5) và (1.6) ta có:

X(z) = RX(z).U (z),

(1.7)

Y (z) = (CR(z) + D)U (z).

(1.8)

Trong đó :

R(z) = (zI − A)−1,

G(z) = C(zI − A)−1B + D.

(1.9)
(1.10)

Vậy ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.4. Ma trận G(z) xác định như trên được gọi là ma
trận hàm truyền. Ma trận hàm truyền G(z) có kích thước r × m. Nhân
tử thứ (i, j) của G(z) biến đầu vào thứ j thành đầu ra thứ i.
Do đó mà được gọi là ma trận hàm truyền hoặc đơn giản là hàm
truyền. Tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(z) được viết như
sau:
A B
G(z) =
.
C D
Các mô hình không gian trạng thái (A, B, C, D) như trên là biểu diễn
5
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

của G(z).
Ví dụ 1.2.5. Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc:

xk+1 = xk + 2uk ,

x0 = 1

(1.11)
(1.12)

yk = 3xk + 4uk

Khi đó hàm truyền G(z) của hệ (1.11), (1.12) được xác định bởi công
thức: G(z) = 3(z − 1)−1.2 + 4.
1.2.3

Một số phép toán với ma trận hàm truyền

Gọi G1 (z) và G2 (z) là hàm truyền của 2 hệ S1 và S2 . Khi đó ta có:
Tổng của 2 hàm truyền G1 (z) + G2 (z) biểu diễn hàm truyền của các kết
nối song song S1 và S2 :


A1 0
B1
A 1 B1
A 2 B2


G1 (z)+G2(z) =
+
=  0 A2

B2
.
C1 D1
C2 D2
C1 C2 D1 + D2
Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1 và
S2 :


A2
0
B1
A 1 B1
A 2 B2


G1 (z)G2 (z) =
=  B1C2 A1 B1 D2  .
C1 D1
C2 D2
D1C2 C1 D1 D2

Ma Trận hàm truyền G(z) có chuyển vị như sau:

GT (z) = B T (zI − AT )−1C T + DT
Tương đương:
T

G (z) =

AT B T
C T DT

6
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

.


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyển vị liên hợp của G(z):

G∼ (z) ≡ GT (−z) = B T (−zI − AT )−1C T + DT
Tương đương:
∼

G (z) =

−AT −C T
−B T −DT

.

Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là G(z).
Ta có G(z)G(z) = G(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận vuông và D là
khả nghịch khi đó:
−1

G(z) ≡ G (z) =

1.3

A − BD−1C −BD−1
D−1 C
D−1

.

Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối
thiểu của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến

1.3.1

Tính điều khiển được

Định nghĩa 1.3.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) được
gọi là điều khiển được nếu cho bất kỳ hai trạng thái x0 , x1 luôn tồn tại
một chuỗi hữu hạn của đầu vào {u0 , u1 , . . . , uN −1} chuyển từ x0 tới x1 ,
sao cho xN = x1 .
Đặc biệt nếu x0 = 0 thì hệ trên gọi là kiểm soát được.
Định lý 1.3.2. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc cặp
(A, B) gọi là điều khiển được khi và chỉ khi ma trận điều khiển được
CM = (B, AB, . . . , An−1B) có hạng bằng n.
Chứng minh. Từ định lý (1.1.1), ta biết rằng nghiệm của hệ động lực
tuyến tính rời rạc là:

xN = AN −1Bu0 + AN −2Bu1 + . . . + BuN −1.
7
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Vì vậy, xN có thể được biểu diễn như một sự tổ hợp tuyến tính của
Ak−1B , k = N, . . . , 1.
Vì vậy, nếu chọn u0 , . . . , uN thích hợp sao cho xN được thực hiện khi và
chỉ khi dãy {Ai B } có hữu hạn các cột sinh ra Rn , điều này của tính điều
khiển được.
Tương đương với rank(CM ) = n.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3.3.
rời rạc 
chobởi phương trình trạng thái:
 Xét hệ
0
1 0 2 3
2
3 5 0 4 
 


xk+1 = 
 xk +   uk .
1
1 3 5 2 
3
1 2 3 1
Hệ này
 


 có:
0
1 0 2 3
2
3 5 0 4 
 


A=
 , B =  .
1
1 3 5 2 
3
1 2 3 1
 




11
787
75
22
1604
183
 





3
2
Khi đó ta có: AB =   , A B = 
.
, A B = 
17
1766
182
1103
116
10


0 11 75 787
2 22 183 1604


⇒ CM = 
.
1 17 182 1766
3 10 116 1103
Mặt khác, hạng của ma trận: rank (CM ) = 4.
Vậy hệ đã cho là điều khiển được.

8
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

1.3.2

Tính quan sát được

Định nghĩa 1.3.4. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) được
gọi là quan sát được nếu có tồn tại một chỉ số N mà trạng thái ban đầu
x0 có thể được xác định hoàn toàn từ chuỗi đầu vào u0, u1, . . . , uN −1 và
các đầu ra y0 , y1 , . . . , yN .
Bằng cách chứng minh tương tự Định lý (1.3.4), ta có kết quả sau:
Định lý 1.3.5. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc cặp
(A,
 C) làquan sát được khi và chỉ khi ma trận quan sát được OM =
C


 CA 


 CA2  có hạng bằng n.


 .. 
 . 

CAn−1

Ví dụ 1.3.6. Xét hệ rời rạc cho

1
1


xk+1 = 
1
1

bởi phương trình trạng thái:

 
1
0 0 0
2 
2 0 0

 
 xk +   ,
3 
2 3 0
4
2 3 4

yk = 1 1 0 2 xk + uk .

Hệ này

 có:
1 0 0 0
1 2 0 0 


A=

, C = 1 1 0 2 .
1 2 3 0 
1 2 3 4
Khi đó ta có:
CA = 4 6 6 8 , CA2 = 24 40 42 32 ,

9
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

CA3 = 138 228 222 128 .


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC


 
1
1
0
2
C
 CA   4
6
6
8 

 

⇒ OM = 
.

=
2
CA   24 40 42 32 
138 228 222 128
CA3
Mặt khác, hạng của ma trận rank (OM ) = 4.
Vậy hệ đã cho là quan sát được.


1.3.3

Biểu diễn tối thiểu

Định nghĩa 1.3.7. Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D)
của hàm truyền G(z) được gọi là biểu diễn tối thiểu của G(z) nếu ma
trận A có kích thước nhỏ nhất có thể, nghĩa là nếu (Ao , Bo , Co, Do ) là
bất kỳ biểu diễn khác của G(z) thì hạng của Ao là lớn hơn hoặc bằng
hạng của A.
Một biểu diễn bất kỳ của hàm G(z) về biểu diễn tối thiểu, phân tích
đó được gọi là phân tích Kalman.
Định lý 1.3.8. (Định lí Kalman). Cho G(z) được biểu diễn dưới dạng:

xk+1 = Axk + Buk
yk = Cxk + Duk
luôn tồn tại một phép biến đổi tọa

 
x¯c¯o(k+1)
A¯c¯o A¯12 A¯13
x

 
 ¯co(k+1)  0 A¯co 0

=
x
¯c¯o¯(k+1)  0
0 A¯c¯o¯
x¯c¯o(k+1)
0
0
0

độ không suy biến x
¯ = T x sao cho:

  
¯c¯o
A¯14
x¯c¯o(k)
B
¯
 B

A¯24
 x
 ¯co 
co(k) 
(1.13)

+ 

A34 x¯c¯o¯(k)   0 
x¯c¯o(k)
A¯c¯o
0



x¯c¯o(k)
x

¯


co(k)
y = (0, C¯co, 0, C¯c¯o ) 
 + Du
x
¯c¯o¯(k) 
x¯c¯o(k)
10

Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

x¯c¯o(k) là điều khiển được nhưng không quan sát được.
x¯co(k) là điều khiển được và quan sát được.
x¯c¯o¯(k) là không điều khiển được và không thể quan sát được.
x¯c¯o(k) là không điều khiển được nhưng quan sát được.

Hơn nữa ma trận hàm truyền từ u tới y được cho bởi:
¯co + D
G(z) = C¯co (sI − A¯co )−1B
¯co, C¯co , D) là biểu diễn tối thiểu của G(z).
Tức là (A¯co , B
Định lý 1.3.9. Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) của
G(z) là tối thiểu khi và chỉ khi (A, B) điều khiển được và (A, C) quan
sát được.
Chứng minh. Ta chứng minh điều kiện cần bằng phương pháp phản
chứng.
Giả sử nếu G(z) là biểu diễn tối thiểu nhưng (A, B) không điều khiển
được hoặc (A, C) không quan sát được, từ phân hoạch Kalman ta thấy
tồn tại một biểu diễn khác của G(z) có kích thước nhỏ hơn mà có tính
điều khiển được và quan sát được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết
G(z) là biểu diễn tối thiểu.
Ngược lại, gọi (A, B, C, D) và (A0 , B0 , C0 , D0 ) là hai biểu diễn tối thiểu
của G(z).
Giả sử rằng bậc của A0 là n0 < n. Khi hai biểu diễn cùng một hàm
truyền và ta cần phải có các thông số đó là:

CAi−1B = C0(A0)i−1B0,
Nghĩa là:

OM CM = O0M C0M .
Với OM , CM tương ứng biểu thị các ma trận quan sát được và điều khiển
được của biểu diễn (A, B, C, D).
O0M , C0M tương ứng biểu thị khả năng quan sát và khả năng điều khiển
11
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

được của biểu diễn (A0 , B0 , C0 , D0 ).
Mặt khác: rank (OM CM ) = n và rank (O0M C0M ) = n0 < n.
Điều này là mâu thuẫn, vì rank (OM CM ) = rank (O0M C0M ) .
Vậy ta có điều phải chứng minh.

12
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


Chương 2

Tính ổn định của hệ động lực
tuyến tính rời rạc
2.1

Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định nghĩa 2.1.1. Trạng thái cân bằng của hệ động lực

xk+1 = Axk ,

(2.1)

là vectơ xe thỏa mãn Axe = 0.
Định nghĩa 2.1.2. Trạng thái cân bằng xe gọi là ổn định tiệm cận nếu
với mọi trạng thái ban đầu , vectơ xk luôn hội tụ về xe khi k tiến đến
dương vô cùng, nghĩa là x(k) → xe, k → +∞ .

Định lý 2.1.3. Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các giá
trị riêng của A nằm trong đường tròn đơn vị.
Chứng minh. Hệ (2.1) có nghiệm tổng quát là:

x k = Ak x 0 .
Do đó:

x(k) −→ 0 ⇐⇒ Ak −→ 0(k −→ ∞)
13
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Ta sẽ chỉ ra rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng
của A nằm trong đường tròn đơn vị.
Lấy:

X −1AX = diag(J1 , J2, . . . , Jk ).
Ta thấy X là ma trận trực giao, (J1 , J2 , . . . , Jk ) là khối Jordan nên A
có dạng chuẩn tắc Jordan.
Do đó ma trận A là ma trận đường chéo.
Suy ra: X −1 AX = diag(J1 , J2 , . . . , Jk ) là dạng chính tắc Jordan của ma
trận A.
Khi đó:

Ak = Xdiag(AJ1 , AJ2 , . . . , AJk )X −1 .
Lấy giá trị riêng λi của A liên kết với Ji .
Để AJit → 0 khi và chỉ khi λi nằm trong đường tròn đơn vị.
Vậy Ak → 0 khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm trong đường tròn

đơn vị.
Định nghĩa 2.1.4. Một ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm trong
đường tròn đơn vị được gọi là một ma trận rời rạc ổn định. Nghĩa là
|λ (A)| < 1.
Ví dụ 2.1.5. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng
thái như sau:

 

1
1 1 2

 

xk+1 = 1 2 1 xk + 2 uk
3
1 0 2

• Ta có:


1 1 2


A = 1 2 1
1 0 2


14
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

CHƯƠNG 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

• Tính các giá trị riêng của ma trận A : Eig(A) = [eig(A)]


−0, 1701


EigA =  3, 4812 
1, 6889

Ta thấy ma trận A có tồn tại 2 giá trị riêng lớn hơn 1. Vậy A không
phải là ma trận ổn định.

2.2

Phương trình Lyapunov

Định lý 2.2.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) là ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận M xác định dương, tồn tại duy nhất
ma trận X xác định dương và thỏa mãn phương trình Lyapunov:

X − AT XA = M.

(2.2)

Chứng minh. Ta đi chứng minh, nếu A là ma trận rời rạc ổn định thì
phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất X đối xứng và xác định dương.

Nghiệm X được xác định bởi:
∞

X=

(AT )k MAk .

(2.3)

k=0

Do A là ma trận rời rạc và ổn định. Mặt khác, ma trận X là ma trận
đối xứng và xác định dương.
Ta thấy X là nghiệm duy nhất của (2.1).
Thật vậy:
T

X − A XA =
Vậy X =

∞

∞
k=0

T k

k

(A ) MA −

∞

(AT )k MAk = M.

k=1

(AT )k MAk thỏa mãn phương trình (2.1).

k=0
15
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

(2.4)


CHƯƠNG 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chứng minh X là duy nhất.
Ta giả sử X1 cũng là nghiệm của phương trình (2.1) và X1 là ma trận
đối xứng và xác định dương.
Thì

X1 − AT X1A = M.
và

X=
=

∞

k=0
∞
k=0

T k

k

(A ) MA =
(AT )k X1 Ak −

∞
k=0
∞

(AT )k (X1 − AT X1 A)Ak
(AT )k X1 Ak = X1 .

k=1

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2.3

Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát

Định nghĩa 2.3.1. Cho A là ma trận rời rạc ổn định, thì ma trận

CG =

∞

Ak BB T (AT )k ,

(2.5)

(AT )k C T CAk .

(2.6)

k=0

và

OG =

∞
k=0

lần lượt được gọi là Grammian điều khiển và Grammian quan sát.
Định lý 2.3.2. Cho A là ma trận rời rạc ổn định thì Grammian điều
khiển CG thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc

CG − ACG AT = BB T
16
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

(2.7)

CHƯƠNG 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi (A, B) là điều khiển được.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử (A, B) điều khiển được được và A
ổn định, ta chứng minh CG xác định dương.
Do A ổn định nên phương trình (2.7) có nghiệm cho bởi:

CG =

∞

Ak BB T (AT )k

k=0

Nếu CG không xác định dương thì tồn tại x = 0 sao cho xT CG x = 0.
Điều này tương đương

∞

BAk x

2

= 0.

k=0

Suy ra: BAk x = 0, ∀k . Do đó: CG x = 0.
Do (A, B) điều khiển được nên rank(CG ) = n , nên điều này vô lý.

Vậy CG xác định dương.
Điều kiện đủ: Giả sử A là ma trận ổn định, CG xác định dương và là
nghiệm của (2.7), ta chứng minh (A, B) là điều khiển được.
Giả thiết phản chứng: (A, B) không điều khiển được khi đó tồn tại vectơ
riêng x của A sao choBx = 0. Cho λ là trị riêng tương ứng vectơ riêng
x. Từ phương trình:
CG − ACG AT = BB T
Ta có:

xCGxT − xACG AT xT = xBB T xT
¯ T = Bx 2 = 0
xCGxT − λxCG λx
T
¯
(1 − λλ)x
CG x = 0.
¯ = 0, do đó xT CG x = 0.
Do A ổn định nên 1 − λλ
Điều này trái với giả thiết CG là ma trận xác định dương.
Vậy (A, B) quan sát được.
Định lý 2.3.3. Cho A là ma trận rời rạc và ổn định thì Grammian quan

17
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

sát CG thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc

OG − AT OG A = C T C

(2.8)

là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi (A, C) là quan sát được.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử (A, C) quan sát được và A ổn định,
ta chứng minh OG xác định dương.
Do A ổn định nên phương trình (2.8) có nghiệm cho bởi:

OG =

∞

(AT )k C T CAk

k=0

Nếu OG không xác định dương thì tồn tại x = 0 sao cho xT OG x = 0.
Điều này tương đương

∞

CAk x

2

= 0.

k=0

Suy ra: CAk x = 0, ∀k . Do đó: OG x = 0.
Do (A, C) quan sát được nên rank(OG ) = n , nên điều này vô lý.
Vậy OG xác định dương.
Điều kiện đủ: Giả sử A là ma trận ổn định, OG xác định dương và là
nghiệm của (2.8), ta chứng minh (A, C) là quan sát được.
Giả thiết phản chứng: (A, C) không quan sát được khi đó tồn tại vectơ
riêng x của A sao choCx = 0. Cho λ là trị riêng tương ứng vectơ riêng
x. Từ phương trình:

OG − AT OG A = C T C
Ta có:

xT OG x − xT AT OG Ax = xT C T Cx
¯ T OG λx Cx 2 = 0
xT OG x − λx
T
¯
(1 − λλ)x
OG x = 0.
¯ = 0, do đó xT OG x = 0.
Do A ổn định nên 1 − λλ
18
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN