Tam thức bậc hai ứng dụng trong giải bài toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng
trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” tôi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè.
Trước hết, với lòng kính trọng và biết ơn chân thành, em xin gửi
lời cảm ơn tới ThS. Phạm Lương Bằng đã tận tình quan tâm giúp đỡ,
hướng dẫn, chỉ bảo em trong suôt quá trình nghiên cứu đề tài.
Em xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo trường Đại hoc Sư Phạm Hà
Nội 2, đặc biệt là tập thể giảng viên khoa toán, đã hết sức quan tâm giúp
đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên tôi, tạo
điều kiện cho tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này mặc dù đã rất cố gắng,
nhưng không tránh khỏi được những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Minh

Đinh Thị Minh

K35G –Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng trong
giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” dưới sự hướng dẫn của ThS.
Phạm Lương Bằng là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
không trùng với các kết quả đã được công bố.
Nếu có gì không trung thực tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đinh Thị Minh

Đinh Thị Minh

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI ................................................................................. 2
1.1. Kiến thức cơ bản ............................................................................ 2

1.2. Bất phương trình bậc hai. ................................................................ 5
1.3 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. ......................................... 7
1.4. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền ........................................ 16
1.5. Định lý Vi - ét. .............................................................................. 20
1.6. Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức. ............................................ 23
1.7.Ứng dụng tìm GTLN-GTNN của hàm số ....................................... 26
CHƯƠNG 2 . PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH
QUY VỀ BẬC HAI ............................................................................ 31
2.1. Phương trình bậc 3. ....................................................................... 31
2.2. Phương trình bậc 4. ....................................................................... 34
2.3. Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối............. 44
2.4. Phương trình - bất phương trình vô tỷ. ........................................... 47
2.6. Phương trình - bất phương trình lượng giác. .................................. 54
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI ............................................................................... 57
3.1. Hệ phương trình bậc hai. ............................................................... 57
3.2. Một số hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc hai ................ 61
CHƯƠNG 4: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP ..................... 76
KẾT LUẬN ......................................................................................... 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 93

Đinh Thị Minh

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán sơ cấp, tam thức bậc 2 là xương sống, là
phần quan trọng của chương trình. Khi giải toán lựa chọn được phương
pháp giải là một bước rất quan trọng.Tam thức bậc 2 là một trong những
phương pháp giải hay và có ứng dụng nhiều trong giải toán sơ cấp.
Với những lý do trên cùng với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu và
được sự giúp đỡ nhiệt tình của ThS. Phạm Lương Bằng tôi đã chọn đề
tài: “Tam thức bậc hai- ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài
toán sơ cấp”,để là đề tài khóa luận tốt nghiệp. Với mong muốn giúp học
sinh có cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp giải cho từng bài toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và thấy
được vị trí quan trọng của tam thức bậc 2 trong chương trình toán sơ cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Ứng dụng của tam thức bậc 2 trong giải toán và sáng tạo các bài
toán sơ cấp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
 Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ,
phương trình logarit, phương trình lượng giác, …
- Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ, logarit, …
- Hệ phương trình bậc hai.
 Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán trong chương trình toán sơ cấp.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, so sánh phân tích tổng hợp.

Đinh Thị Minh

1

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
CHƯƠNG 1

TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1.1. Kiến thức cơ bản
1.1.1. Phương trình bậc hai thực sự:
ax 2  bx  c  0  a  0, a, b, c 

  b 2  4ac







  0:

(  '  b '2  ac , b ' 

(1)

b
)
2

(1) có 2 nghiệm phân biệt : x1,2 =

  0 : (1) có nghiệm kép x 



b  
2a

b
2a

  0 : (1) vô nghiệm

1.1.2. Dấu của tam thức bậc hai
A. Định lý:
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c


Nếu   0 thì

af  x   0 , x  R



Nếu   0 thì

af  x   0 , x 



Nếu   0 thì

f  x  có 2 nghiệm x1 và x2

+ af  x   0 ,

x   x1 , x2 

+ af  x   0 ,

x   x1 , x2 

 a  0

b
2a

 x1  x2 

B. Ý nghĩa hình học.


0

Đinh Thị Minh

2

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

y

y

x1

O

x1

O

x2

x2

x

x

a0

a0

 x  x2
+ f  x  0  
 x  x1

+ f  x   0  x1  x  x2

+ f  x   0  x1  x  x2

 x  x2
+ f  x  0  
 x  x1



0

y

y

x0

O
O

x0

x

a  0 : f  x   0 , x  x0


x

a  0 : f  x   0 , x  x0

0

y

y

O
O

x

a  0 : f  x   0 , x 

Đinh Thị Minh

x

a  0 : f  x   0 , x 

3

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

C. Thí dụ minh họa
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau:
a) f  x   2 x 2  5 x  7 b) g  x   9 x 2  12 x  4 c) h  x   2 x 2  x  1
Giải
a) f  x  là tam thức bậc hai của x có a  2  0 và   81  0
vậy f  x  >0 khi 1  x 

7
2

7

x

f  x  <0 khi
2

 x  1

b) g(x) là tam thức bậc hai của x có a  2 ,   0
Vậy g  x   0 , x 

2
.
3

c) h  x  là tam thức bậc hai có a  2  0 ,   7  0
Vậy h  x   0 , x  .
D. Nhận xét


f  x   0 x 

a  0
 
  0



f  x   0 x 

a  0
 
  0



f  x  0

x 

a  0

 
  0

f  x   0 x 

a  0
 
  0



E. Bài tập.
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f  x   x 2  5 x  7

Đinh Thị Minh

b) f  x    x 2  2  a  1 x  3

4

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Bài 2. Tìm m để biểu thức sau luôn dương với mọi x
f  x    m  1 x 2   2m  1 x  m  1

Gợi ý: xét 2 trường hợp:
+) m  1  0  m  1  f  x   3 x  2  0  x  
+) m  1 , khi đó f  x   0 x 

2
( loại m  1 ).
3

m  1  0
 
  4m  5  0

m  1

 
5
m   4

(vô nghiệm)

Vậy không có giá trị của m để biểu thức luôn dương với mọi x .
1.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
1.2.1. Định nghĩa
Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có dạng f  x   0
hoặc f  x   0 hoặc f  x   0 hoặc f  x   0 . Trong đó f  x  là một
tam thức bậc hai.
1.2.2 Cách giải
+ Xét dấu f  x   ax 2  bx  c
+ Lựa chon x để f  x   0 hoặc f  x   0 hoặc f  x   0 hoặc

f  x  0 .

1.2.3. Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho bất phương trình: mx 2   m  1 x  2  0
a) Giải bất phương trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Giải
a) với m=1  BPT trở thành: x 2  2 x  2  0

Đinh Thị Minh

5

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Đặt f  x   x 2  2 x  2 , có  ' f  1  0 , a  1
 f  x   0 , x 

Vậy BPT có nghiệm x
2

b) Có    m  1  8m  m 2  4m  1
Để BPT có nghiệm x 

khi và chỉ khi

 m 2  4m  1  0
a  0



  0
m  0

2  3  m  2  3

m  0

 2 3m2 3

Vậy với 2  3  m  2  3 thì BPT có nghiệm x .
Ví dụ 2. Giải và biện luận BPT sau:
x 2  2mx  m  2  0

Giải
Có  '  m 2  m  2
m  2
+) Nếu  '  0  
thì phương trình x 2  2mx  m  2  0
 m  1

có 2 nghiệm x1 , x2  x1  x2  :
x1  m   ,

x2   m  

 x  x1
 BPT có nghiệm là : 
 x  x2

+) Nếu 1  m  2 thì BPT có nghiệm

x 

 m  1
+) Nếu 
thì BPT có nghiệm là x  x1 và
m

2


x  x2

1.2.4. Bài tập
Bài 1: Cho bất phương trình:

 m  5 x 2  4mx  m  2  0

Tìm m để: a) BPT vô nghiệm.

Đinh Thị Minh

6

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

b) BPT có nghiệm x 
Gợi ý:
a) BPT vô nghiệm khi f  x    m  5 x 2  4mx  m  2  0 , x  .


m  5  f  x   20 x  3  0  x 



m  5  f  x   0 x 

3
 ( loại m  5 ).
20

m  5  0
  '
2
  3m  7m  10  0

m  5

  10

 3  m  1

Vậy 

 

10
 m  1.
3

10
 m  1 là giá trị cần tìm.
3

Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:
a)  m  1 x 2  2mx  2m  0

c)  m  2  x 2  2  m  1 x  1  0

b)  x 2  4 x  m  0

d)  m 2  1 x 2  4mx  3  0 .

1.3 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
1.3.1. Định lý
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c

 a  0

Nếu có số  sao cho af    0 thì tam thức có 2 nghiệm x1 , x2

( x1  x2 ) và x1    x2

 Nhận xét:
+) Nếu af    0 thì f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
( x1  x2 ) và x1    x2

+) Nếu af    0 thì  là 1 nghiệm của f  x 
+) Nếu af    0 thì

Đinh Thị Minh

7

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Nếu   0 thì f  x   0 vô nghiệm.
Nếu   0 thì f  x   0 có 2 nghiệm và
 S b
 2  2a      x1  x2

 S  b    x  x  
1
2

 2 2a

1.3.2. Các ứng dụng.
1.3.2a. So sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số thực 
cho trước.
a) Phương Pháp
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c ,  a  0  , số thực  ,
f  x  có 2 nghiệm thỏa mãn:

1) x1    x2  af    0

3)   x1  x2

2)


  0

  af     0
S
 
2

4) x1    x2

 f    0

 S
 
2


  0

6) x1  x2    af    0
S
 
2

 f    0

5) x1    x2   S
 
2

Đinh Thị Minh

x1  x2   


  0

af    0
S
 
2

8

K35G –Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng


  0

7)   x1  x2  af    0
S
 
2

b) Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:

 m  2  x 2  2  m  1 x  m  5  0

(1)

có nghiệm nhỏ hơn 1 .
Giải
TH 1: Với m  2 , ta được:
(1)  6 x  3  0  x  

1
 1 ( loại m  2 )
2

TH 2: Với m  2 , điều kiện là
 x1  x2  1

 x1  1  x2
 x  1  x
2
 1

1
 2
 3



9m  9  0
 '  0


Giải (1)  af  1  0   m  2  4m  5   0
S
 m 1
  1

 1
2
m  2



m  1

m  1


m  2
m  2


 
 
5
5
  m  4
  m  4


 2m  1  0
1  m  2
 m  2
 2

Đinh Thị Minh

9

 1 m 

5
4

K35G –Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

5

 f  1  0
m

5


4
 
 m
Giải (2)   S
4
1  m  2
  1
2
 2

Giải (3)  af  1  0   m  2  4m  5   0 

5
m2
4

Vậy 1  m  2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình :
f  x  =x 2  6mx  9m 2  2m  2  0

(1)

Tìm m để (1) : a) có 2 nghiệm thỏa mãn x1  4  x2 .
b) có 2 nghiệm đều lớn hơn 1.
Giải
a) (1) có 2 nghiệm thỏa mãn:
x1  4  x2  af  4   0
 9m 2  26m  18  0



13  17
13  17
m
9
9

b) (1) có 2 nghiệm đều lớn hơn 1, tức là

1  x1  x2


 '  0
 2m  2  0



 af 1  0  9m 2  8m  3  0 
3m  1
S

 1
2


m  1

m

1
m 
3


 m 1

Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
1.3.2b. So sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực

, .
a) Chú ý:

Đinh Thị Minh

10

K35G –Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

  0

af    0
1)   x1  x2    af     0

  S  

2

 f    0
8) x1      x2  
 f     0


  0

2) x1  x2      af    0
S
 
2


 f    0


9)   x1  x2    af     0
S
 
2

af    0
3) x1    x2    
af     0


 f    0

10)     x1  x2  af    0
S
 
2

af    0
4) x1      x2  
af     0

 f    0

11) x1  x2       S
 
2


  0


5)     x1  x2  af     0
S
 
2


 f    0

12)   x1    x2  af    0
S
 
2

af    0
6)   x1    x2  
af     0

 f    0
13) x1      x2  
af    0

 f    0
7) x1      x2  
af     0

b) Thí dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định a để phương trình:

Đinh Thị Minh

11

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

 a  1 x 2   8a  1 x  6a  0

(1)

Có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
Giải
6
+) Nếu a  1 thì (1) trở thành: 7 x  6  0  x    0,1
7

 a  1 (thỏa mãn)
 x1  0  x2  1 i 

+) Nếu a  1 thì ycbt  0  x1  1  x2  ii 
0  x  x  1 iii
 
1
2



i 

af  0   0
6a  a  1  0
1  a  0
 
 
 
1  a  0
af 1  0
 a  a  1  0
 1  a  0 .

af  0   0
6a  a  1  0



af 1  0
 a  a  1  0



 ii  



  0



(iii)  
b
0


1

2a

a  0

a  0
 a  1
 

 a  1
a  0
  a  1


40a 2  8a  1  0

(vô lý)

b
0


1


2a


Vậy a  0 , phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thuộc (0,1).
Ví dụ 2: Cho phương trình :

x 2  mx  2m  2  0

(1)

Xác định m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x  2 .
Giải
Xét phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc  2;2  hoặc vô nghiệm.
+) (1) vô nghiệm khi và chỉ khi
  m 2  4  2 m  2   m 2  8m  8  0

Đinh Thị Minh

12

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
(*)

 42 2 m42 2

+) (1) có 2 nghiệm x   2,2  khi và chỉ khi 2  x1  x2  2
  0
 m 2  8m  8  0


af  2   0
2  0
 af  2   0  4m  2  0


2  S  2
2   m  2


2
2



m  4  2 2

  m  4  2 2

1

m 
2

4  m  4




1
  m42 2
2

(**)

1
Kết hợp (*) và (**) ta được :   m  4  2 2
2

Vậy để (1) có nghiệm thỏa mãn: x  2 khi m  4  2 2 hoặc
1
m .
2

1.3.2c. Tổng kết
f  x   ax 2  bx  c có nghiệm x  D ( D là một khoảng, một đoạn,

nửa khoảng, nửa đoạn)
1)

  x1  x2
f  x   0 có nghiệm x     x1    x2
 x1    x2

2)

 x1  x2  

f  x   0 có nghiệm x     x1    x2
 x1  x2  

3)

  x1  x2
f  x   0 có nghiệm x    
 x1    x2

Đinh Thị Minh

13

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
 x1  x2  
x    x
 1
2

4)

f  x   0 có nghiệm x   

5)

 x1    x2  
f  x   0 có nghiệm x   ,      x1    x2
  x1  x2  
  x1  x2  
  x1    x2  
  x1    x2

6)

f  x   0 có nghiệm x   ,  

7)

 x1    x2
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x    
  x1  x2

8)

 x    x2
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x     1
 x1  x2  

9)

 x 1    x2  
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x   ,      x 1    x2
  x1  x2  

 x1      x2

  x  x  
1
2

10) f  x   0 có đúng 1 nghiệm x   ,     x1    x2  

  x1    x2
 x1    x2  


11) f  x   0 có đúng 1 nghiệm x   ,     ,  
 x1    x2  
  x    x
1
2

   x1  x2

 x1  x2  

12)

x  
x  
f  x   0 có nghiệm 
(hoặc 
)
x  
x  

Đinh Thị Minh

14

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

x  
Xét bài toán ngược: f  x   0 không có nghiệm thỏa mãn 
x  
x  
(hoặc 
)
x



 f  x  vô nghiêm
 
 f  x  có nghiệm thỏa mãn   x1  x2  

(Lưu ý: nếu f  x  có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0 ).
1.3.2d. Bài tập
Bài 1: Cho phương trình:

 m  2  x 2  2  m  8 x  5m  10  0

tìm m

để phương trình
a) có 2 nghiệm lớn hơn 1 .
b) Có 2 nghiệm trái dấu.
c) Có đúng 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
Bài 3: Cho phương trình: mx 2  2  m  1 x  m  2  0 tìm m để phương
trình có nghiệm thỏa mãn x  1 .
Bài 4: Cho phương trình:  m  2  x 2  3x  m  1  0 . Xác định m để:
a) Phương trình có đúng một nghiệm thuôc  0;1 .
b) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
c) Phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng  0;3 .
Bài 2: So sánh các nghiệm của phương trình sau với -2

 m  3 x 2  2  m  3  x  m  2  0
Gợi ý:
Ta có:  '  7m  15
af  2    m  3 9m  2 

Đinh Thị Minh

15

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

S
3m  3
2
2
m3

Ta có bảng sau:
m





af  2 

'

+

3
+

+
0
-

1

S

2
2
+

So sánh các nghiệm với -2
Phương trình có 2 nghiệm: 2  x1  x2
Phương trình có 2 nghiệm: 2  x1  x2

0
Phương trình có 2 nghiệm:

+

2
9

-

+
Phương trình có 1 nghiệm x 

0
+

15
7

+

+

+

8
 2
29

Phương trình có 2 nghiệm: 2  x1  x2
Phương trình có nghiệm kép

0
-

x1  2  x2

+

1
x    2
6

Phương trình vô nghiệm



1.4. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền
1.4.1. Cho tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c , a  0
a)

b)

+) f  x   0 x 

a  0
 
  0

+) f  x   0 x 

a  0
 
  0

 a  0

  0
1) f  x   0 x    
 a  0

  x1  x2  

Đinh Thị Minh

16

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

 a  0

  0
2) f  x   0 x    
 a  0

   x1  x2

3) f  x   0 x   ,  

 a  0

      x1  x2
   x1  x2    
 
     0

 a  0
  x1      x2


4) f  x   0 x   ,  

 a  0

   x1  x2    
      x1  x2
  

     0

 a  0
  x1      x2


5) Tương tự với các trường hợp

f  x   0 , x  D

- Nếu f  x  có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0 .
+) Lưu ý:


Nếu yêu cầu bài toán là tìm điều kiện để f  x   0 , không có

nghiệm x  D thì ta đi xét bài toán ngược : f  x   0 , x  D .
1.4.2. Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:  m  2  x 2  3  m  6  x  m  1  0
nghiệm đúng với mọi x   1,0  .
Giải
Đặt f  x    m  2  x 2  3  m  6  x  m  1  0

Đinh Thị Minh

17

(1)

K35G –Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

+) Nếu m  2 thì (1) trở thành: f  x   12 x  3  0  x 

1
4

 f  x   0 , x   1,0 

Vậy m=2 thỏa mãn.
+) Nếu m  2
  x1  1  0  x2
1

m

2


 m  2
 
 2
   9  m  6  2  4  m  2  m  1  0
 f  x   0 x   1,0   
 m  2
 3


x

x


1

0

1
2

 m  2

 4
 1  0  x1  x2
m  2

(1)   m  2  m  1  0

 m  2  3m  21  0

m  2

 m  1
m  7


m  2

(2)  
2
13m  112m  316  0

( vô nghiệm)


 '  0

(3)  af  1  0 
S
  1
2

Đinh Thị Minh



2
13m  112m  316  0

 m  2  3m  21  0 

 3  m  6   1
 2  m  2 

18

 2m7

m  7

m  2
(VN).

2  m  22

7

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng


 '  0
  m  2  m  1  0



(4)  af  0   0   3  m  6 

0
2 m  2
S

 
 0

2

1  m  2

m  6
m  2


 1  m  2 .

Vậy 1  m  7 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho tam thức: f  x   mx 2  2  m  2  x  m  3 . Tìm m để
f  x   0 x .

Giải
3
+) Nếu m  0 thì f  x   4 x  3  0  x  .
4

 m  0 (loại).

+) Nếu m  0
m  0
a  0

 f  x   0 x  
2
 '  0
 m  2   m  m  3  0
m  0


4  m  0

m  0
 
m  4

(vô nghiệm)

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu để bài.
1.4.3. Bài tập.
Bài 1: Tìm m để bất phương trình:  m  2  x 2  2mx  m  2  0 có nghiệm.
Bài 2: Cho bất phương trình: x 2  2 x  m  1  0
Xác định m để: a) Bất phương trình vô nghiệm.
b) Bất phương trình có đúng 1 nghiệm .
c) Bất phương trình có nghiệm là 1 đoạn có độ dài bằng 1.
Gợi ý:
a) BPT vô nghiệm khi  '  0   m  0  m  0 .

Đinh Thị Minh

19

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

b) BPT có đúng 1 nghiệm   '  0  m  0 .
c) Để BPT có nghiệm là 1 đoạn có độ dài bằng 1 thì tam thức ở
VT của BPT phải có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và thỏa mãn x1  x2  1 .
 '  0
m  0

m  0
'
 
 
 
 m  1 .
m  1
  m  1
 a 1


Bài 3: Tìm m để bất phương trình:

x 2  2  m  1 x  m 2  2m  0

nghiệm đúng x   0,1 .
1.5. Định lý Vi- ét.
1.5.1. Định lý
Nếu phương trình: f  x   ax 2  bx  c  0

 a  0  (1),

b


 S  x1  x2   a
Có 2 nghiệm x1 , x2 thì 
P  x x  c
1 2

a

 Hệ quả:
c
.
a



Nếu a  b  c  0 thì (1) có 2 nghiệm : x1  1 và x2 



Nếu a  b  c  0 thì (1) có 2 nghiệm: x1  1 và x2  

c
a

1.5.2. Định lý Vi - ét đảo
 x  x2  S
Nếu có 2 số x1 , x2 thỏa mãn:  1
 x1 x2  P

và S 2  4 P  0 thì

x1 , x2 là nghiệm của phương trình: X 2  SX  P  0 .

1.5.3. Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho phương trinh:

Đinh Thị Minh

 m  1 x 2  2  m  1 x  m  2  0

20

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Xác định m để pt có nghiệm x1; x2 thỏa mãn 4  x1  x2   7 x1 x2
Giải
Để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi:
m  1  0
m  1




2
3  m  0
 '   m  1   m  1 m  2   0

m  1
(*)

m  3

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:

2  m  1
 x1  x2 
m 1

x x  m  2
1 2
m 1


 4  x1  x2   7 x1 x2  4

2  m  1 7  m  2 

m 1
m 1

 8m  8  7m  14
 m  6 (thỏa mãn (*))

Vậy m  6 là giái trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn hệ:
 x1  x2  x1 x2  0


( x1  x2 )  mx1 x2  2m  1

(I)

a) Hãy lập phương trình bậc hai đó.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trài dấu nhau.
Giải
S   P
S  P  0
a) Ta có: (I)  
 
 S  mP  2m  1
 P  m  1  2m  1
S   P
+) Nếu m  1 thì (I)  
(vô nghiệm)
0  3

Đinh Thị Minh

21

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

2m  1

 P  m  1
+) Nếu m  1 thì 
 S  2m  1
1 m

2

2
 2m  1 
 2m  1  2m  1 5  2m 4m  8m  5



4
Có S  4 P  



2
 1 m 
 m 1  m 1 m 1
 m  1
2


9
m  4


 S 2  4P  0  
1
m


 
4

m  1

Khi đó, phương trình bậc 2 cần tìm là:
X2 

2m  1
2m  1
X
0
1 m
m 1

b) Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, khi và chỉ khi
ac  0 

2m  1
1
 0    m  1.
m 1
2

1.5.4. Bài tập

Bài 1:

Cho phương trình:

 m  1 x2  2  m  1 x  m  2  0

(1).

Tìm m để phương trình:
a) Có 1 nghiệm là 3 tìm nghiệm còn lại.
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:
4  x1  x2   7 x1 x2 .

1.5.6. Định lý Vi- et tổng quát
Cho phương trình:

an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a 0  0 , có n

nghiệm là: x1 , x2 ,..., xn .
Khi đó:

Đinh Thị Minh

22

K35G –Sp Toán