Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẪN XUÂN DŨNG

TÌM HIỂU SỰ LIÊN HỆ GIỮA
ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN MINH TƯỚC

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước. Thầy đã giao đề tài và tận tình
hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này
em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Minh Tước, người
đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền
tảng để em hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp
em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng Thầy.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực

tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 Cử Nhân Toán đã
nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, Ngày 17 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
TRẦN XUÂN DŨNG


Lời cam đoan
Tên em là: Trần Xuân Dũng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp
K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin
cam đoan đề tài: “Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận”, là
kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em. Các luận cứ, kết quả thu
được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có
gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, Ngày 17 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
TRẦN XUÂN DŨNG


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

1
3

1.1 Một số khái niệm của lí thuyết đồ thị

1.1.1 Đồ thị vô hướng . . . . . . . .
1.1.2 Bậc của đỉnh . . . . . . . . . .
1.1.3 Tính liên thông . . . . . . . .
1.1.4 Sự đẳng cấu . . . . . . . . . .
1.2 Một số khái niệm về ma trận . . . . .
1.2.1 Ma trận . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

3
3
4
4
6
7
7

Chương 2: Mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận kề 10
2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng bằng ma trận . . . . . . .
2.2 Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch và tính liên thông
2.2.1 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch . . . . .
2.2.2 Tính liên thông của đồ thị vô hướng . . . . . . . .
2.3 Sự đẳng cấu của các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đồ thị đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3: Đồ thị Euler và đồ thị vòng.
3.1 Đồ thị Euler. . .
3.2 Đồ thị vòng . .
Kết luận . . . . . .
Tài liệu tham khảo

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

10
12
12
16
21
21
24

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

24

30
32
33


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Việc sử dụng các phương pháp đại số trong việc khảo sát đồ thị đang
được quan tâm. Như chúng ta đã biết cách biểu diễn đồ thị qua ma
trận kề và ma trận liên thuộc. Riêng các đặc tính của đồ thị được
biểu diễn như thế nào trên ma trận kề tương ứng thì còn ít người
nói tới.
Từ nhận thức trên với tên đề tài: "Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vô
hướng và ma trận" em sẽ nghiên cứu ứng dụng của đại số tuyến tính
và lí thuyết ma trận để khảo sát đồ thị vô hướng.
2. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu

• Đối tượng: Đồ thị vô hướng và ma trận kề.
• Phạm vi: Sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận.
Phương pháp nghiên cứu:

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.
3. Mục đích, yêu cầu và nhiệm vụ nghiên cứu

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.

• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
Em xin bắt đầu nhắc lại các kiến thức cơ bản về lí thuyết đồ thị và
ma trận của đồ thị vô hướng nó là cơ sỏ nghiên cứu về mối liên hệ
giữa chúng. Trong khoá luận này em tập trung việc chuyển thể các
đặc tính của đồ thị sang các đặc tính đại số (ma trận kề), và sau
đó sử dụng các phương pháp đại số để đưa ra các tính chất về đồ thị.
4. Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận của em gồm 3 chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị.
Chương này nhắc lại các khái niệm cơ bản về đồ thị và ma trận.
Chương 2. Mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận kề.
Chương này tìm hiểu mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma
trận kề. Biểu diễn các đặc tính của đồ thị qua ma trận kề. Từ
đó chuyển thể đặc tính của đồ thị sang đặc tính của ma trận kề.
Chương 3. Đồ thị Euler và đồ thị vòng.
Chương này nhắc lại khái niệm về vết và mạch Euler và cách
biểu diễn chúng trên ma trận kề. Áp dụng thuật toán Fleury tìm
mạch Euler trên ma trận kề tương ứng. Chương này nói đến cách
biểu diễn đồ thị vòng trên ma trạn kề.


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số khái niệm của lí thuyết đồ thị
Đồ thị vô hướng

Định nghĩa 1.1. Một đồ thị vô hướng G là một cặp G = (V, E), gồm
hai tập hữu hạn V và E thoả mãn điều kiện E ⊆ {{a, b}|a, b ∈ V ; a = b}.
Phần tử của V được gọi là đỉnh, phần tử của E được gọi là cạnh của
đồ thị vô hướng G. Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a và b được gọi
là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e. Ta cũng
thường kí hiệu cạnh {a, b} một cách đơn giản là ab.
Ví dụ 1.1. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và E = {{a, b}, {b, d},
{b, c}, {c, d}}. Khi đó G là một đồ thị vô hướng và có thể được biểu diễn
như sau:

a

b

d

c

Hình 1.1. Ví dụ đồ thị vô hướng.
Như vậy, trong khoá luận này, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới đồ thị vô hướng,
hữu hạn, không có khuyên và không có cạnh bội.
3
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.2

Bậc của đỉnh

Định nghĩa 1.2. Bậc của v , kí hiệu bởi deg(v), lá số cạnh liên thuộc
với v , nghĩa là deg(v) = |E(v)|. Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập.
Bậc nhỏ nhất của G là số δ(G) = min{deg(v)|v ∈ V }; Bậc lớn nhất
của G là số ∆(G) = max{deg(v)|v ∈ V }.
Ví dụ 1.2. Cho đồ thị sau:

f

g

e

c
d
a
b
Hình 1.2. Bậc của đỉnh và bậc của đồ thị.
Ta có: deg(a) = 2; deg(b) = 4; deg(c) = 3; deg(d) = 0; deg(e) = 1;
deg(f ) = 4; deg(g) = 4, δ(G) = 0, ∆(G) = 4.
Có thể kiểm chứng được ngay các kết luận sau đây.
Định lý 1.1. [2, 3] Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng m cạnh.
Khi đó
deg(v) = 2m
v∈V

Hệ quả 1.2. [3] Trong mọi đồ thị G = (V, E), ta có số các đỉnh bậc

lẻ của một đồ thị là một số chẵn.

1.1.3

Tính liên thông

Định nghĩa 1.3. Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Một hành
trình vô hướng trong G là một dãy các đỉnh v0 v1 v2 ...vn sao cho với mọi
i = 0, 1, ..., n − 1, {vi, vi+1} là một cạnh của G. Các cạnh {vi, vi+1},
i = 0, 1, ..., n − 1, được gọi là các cạnh của hành trình. Khi đó n được
gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh vn được gọi là đỉnh
4
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

cuối của hành trình vô hướng trên.
Một hành trình được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của
nó trùng nhau.
Một hành trình được gọi là đường nếu các đỉnh của hành trình đó đều
khác nhau.
Một hành trình được gọi là vết nếu các cạnh của hành trình đó đều
khác nhau.
Một hành trình khép kín được gọi là chu trình nếu các đỉnh của hành
trình đó đều khác nhau.
Một hành trình khép kín được gọi là mạch nếu các cạnh của hành
trình đó đều khác nhau.
Ví dụ 1.3. Cho đồ thị G = (V, E) vô hướng.

C
D

B
A

E
F

Hình 1.3. Minh họa hành trình trong đồ thị.
Khi đó:

• ABCDEF là một đường.
• ABCDEFA là một chu trình.
• ABCDBEDAEFA là một mạch.
Có thể thấy ngay mối liên hệ giữa các khái niệm hành trình, đường, vết,
chu trình, mạch trong sơ đồ sau đây.
Định ngĩa 1.4. Một đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên
thông, nếu với hai đỉnh vi và vj khác nhau bất kì của G tồn tại một
5
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

hành trình vô hướng trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj . Trong
trường hợp ngược lại đồ thị là không liên thông.
Đồ thị con liên thông cực đại G′ = (V ′ , E ′) của một đồ thị vô hướng
G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G.
Ví dụ 1.4. Cho đồ thị vô hướng G:

A

C

B

H

D
E
F
G2
G1
Hình 1.4. Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G1 và G2 .
Đồ thị vô hướng G là đồ thị không liên thông. Nó có hai thành phần
liên thông là G1 và G2 .

1.1.4

Sự đẳng cấu

Định nghĩa 1.5. Hai đồ thị vô hướng G = (V, E) và G′ = (V ′ , E ′)
được gọi là đẳng cấu với nhau va viết là G ∼
= G′ nếu tồn tại song ánh
ϕ : V → V ′ sao cho ab ∈ E khi và chỉ khi ϕ(a)ϕ(b) ∈ E ′ với mọi
a, b ∈ V . Song ánh ϕ như trên được gọi là đẳng cấu giữa G và G′ .
Ví dụ 1.5. Cho G = (V, E) và G′ = (V ′ , E ′) là các đồ thị vô hướng
trong Hình 1.5.

1

2

3

f
e

a

b
c

d
4
5
6
Hình 1.5. Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu.
6
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Khi đó G ∼
= G′ và ánh xạ ϕ : V → V ′ với

ϕ(1) = a, ϕ(5) = b, ϕ(2) = c
ϕ(6) = d, ϕ(3) = e, ϕ(4) = f

là đẳng cấu của G và G′ .

1.2
1.2.1

Một số khái niệm về ma trận
Ma trận

Định nghĩa 1.6. Ma trận là một tập các phần tử trong một bảng chữ
nhật hay vuông.
Với các ma trận ta có các định nghĩa sau đây.
Cho K là một trường tuỳ ý. Một bảng gồm m.n phần từ aij thuộc
trường k có dạng:


a11 a12 ... a1n
 a

 21 a22 ... a2n 


 ... ... ... ... 
am1 am2 ... amn

được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi aij được gọi là một phần tử
của ma trận. Vectơ dòng

ai1 ai2 ... ain
được gọi là dòng thứ i của ma trận. Vectơ cột



a1j
 a 
 2j 


 ... 
amj

7
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

được gọi là cột thứ j của ma trận.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B, .... Ma trận tổng quát
trên có thể được kí hiệu đơn giản: A = (aij )m×n. Ta cũng nói A là ma
trận có m dòng và n cột.
Khi m = n thì ma trận A = (aij )n×n được gọi là ma trận vuông cấp
n và được kí hiệu đơn giản là A = (aij )n .
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử thuộc trường
K được kí hiệu là Mat(m × n, K).
Cho A = (aij )m×n, B = (bij )m×n là hai ma trận cùng thuộc Mat(m ×
n, K).
Ta gọi tổng của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cij )m×n xác
định bởi:
cij = aij + bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
và kí hiệu là C = A + B .
Cho ma trận A = (aij ) ∈ Mat(m × n, K) và B = (bjk ) ∈ Mat(n ×

p, K). Ta gọi tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cik ) ∈
Mat(m × p, K) các phần tử được xác định bởi:
n

cik =

aij bjk , i = 1, ..., m; k = 1, ..., p
j=1

và kí hiệu là C = A.B .
Ví dụ 1.6. a)

 


ax + by + cz at + bu + cv
x t
a b c

 


 d e f   y u  =  dx + ey + f z dt + eu + f v 
gx + hy + iz gt + hu + iv
z v
g h i
b)

2 3 0
1 5 −1


−1 2


 3 0=
4 3


8
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN

7 10
4 −1


CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ma trận đường chéo (diagonal matrix). Ma trận đường chéo là một
ma trận vuông với aij = 0 , ∀i = j .
Một ví dụ với ma trận đường chéo là:


a11 0 0


A =  0 a22 0 
0 0 a33
Ma trận đơn vị (Identity matrix). Ma trận đơn vị có tất cả các phần
tử trên đường chéo chính (i = j) bằng 1. Ma trận đơn vị thường được

biểu thị bởi I hay U.
Một ví dụ về ma trận đơn vị như sau:


1


I=
1

1

Ma trận đối xứng (symmetric matrix). Ma trận đối xứng là một ma
trận vuông thỏa mãn: aij = aji , ∀i, j .

9
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


Chương 2

Mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng
và ma trận kề
Có nhiều cách biểu diễn một đồ thị tuỳ theo mục đích sử dụng. Chẳng
hạn, ta có thể dùng sơ đồ đỉnh - cạnh hay biểu diễn dưới dạng tập hợp
như trong Ví dụ 1.1. Sử dụng ma trận có thể cũng là một cách biểu
diễn đồ thị có hiệu quả. Một số đặc tính liên quan tới đồ thị cũng sẽ thể
hiện trên ma trận biểu diễn nó.

2.1

Cách biểu diễn đồ thị vô hướng bằng ma trận

Xét đồ thị vô hướng G = (V, E), với tập đỉnh hữu hạn V = {v1 , v2 , ...,
vn}. Khi đó ma trận kề của đồ thị G là ma trận:


a11 a12 ... a1n
 a

 21 a22 ... a2n 
A = (aij )n×n = 

 ... ... ... ... 
an1 an2 ... ann

ở đây

aij =

1
0

nếu {vi, vj } ∈ E,
nếu {vi, vj } ∈
/ E.
10

Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN

CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Dễ thấy ma trận kề A của đồ thị vô hướng G hoàn toàn xác định G.
Vì vậy, ma trận kề A được gọi là một biểu diễn của G.
Ví dụ 2.1. Cho đồ thị G vô hướng.

B

D

A

F

E
C
Hình 2.1. Ví dụ biểu diễn đồ thị vô hướng qua ma trận kề.
Khi đó ma trận kề tương ứng của đồ thị G là:








A=







A
B
C
D
E
F

A B C D
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
1

E F












1

1


1
1
1

Chú ý: Để cho đơn giản ta chỉ ghi các phần tử = 1, các phần tử = 0
ta để trống trong ma trận kề của đồ thị.
Nhận xét: Ma trận kề của đồ thị n đỉnh là ma trận vuông cấp n, đối
xứng các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.
Tính chất 2.1.
Tổng các phần tử theo dòng i ( cột j) của ma trận kề chính bằng bậc
đỉnh i (đỉnh j).
Thật vậy ta có:
6

6

a1j =
j=1

6

ai1 = 2 = deg(A);
i=1

a2j =
j=1

11
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN

6

ai2 = 3 = deg(B).
i=1


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ
6

6

a3j =

6

ai3 = 3 = deg(C);

6

a4j =

ai4 = 3 = deg(D).

j=1

i=1

j=1

i=1

6

6

6

6

a5j =
j=1

ai5 = 3 = deg(E);
i=1

a6j =
j=1

ai6 = 2 = deg(F ).
i=1

Ưu điểm của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề là ta dễ
dàng trả lời được câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồ thị hay không

và chúng ta chỉ mất đúng một phép so sánh. Nhược điểm lớn nhất của
nó là bất kể đồ thị có bao nhiêu cạnh ta đều mất n2 đơn vị bộ nhớ để
lưu trữ đồ thị.

2.2

Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch và tính liên
thông

2.2.1

Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch

Ta biểu diễn hành trình, đường, chu trình, vết và mạch của đồ thị vô
hướng trên ma trận kề tương ứng thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 2.2. Cho đồ thị vô hướng:

A

B

D

C

Hình 2.2. Ví dụ hành trình trong đồ thị.
Một số đường đi từ đỉnh A đến đỉnh C là:

• Đường đi d1 : {A, B}, {B, D}, {D, C}. (đường đi có độ dài là 3).
12

Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

• Đường đi d2 : {A, D}, {D, B}, {B, C}. (đường đi có độ dài là 3).
• Đường đi d3 : {A, B}, {B, C}. (đường đi có độ dài là 2).
Đường đi d1 được biểu diễn bằng ma trận kề trong đồ thị hình 2.4 như
sau:


(1)


1
1


1

1
1

A=

1 0
1 (1) (1)
Trong đó mỗi cạnh mà d1 đi qua được kí hiệu là (1).
Vì các cạnh của đường đi d1 là đôi một khác nhau do đó đường đi d1
được gọi là vết d′1 . Như vậy vết d′1 cũng được biểu diễn giống đường đi

d1 trong ma trận kề của đồ thị.
Ta xét đường đi từ đỉnh A đến đỉnh A qua 3 đỉnh trung gian là
B, C, D:
Đường đi d4 : {A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, A}. (đường đi có độ dài là
4).
Đường đi d4 được biểu diễn bằng ma trận kề trong đồ thị hình 2.4
như sau:


(1)
(1)
1
1 1


A=

 (1) 0 (1)
1 1 1
Trong đó mỗi cạnh mà d4 đi qua được kí hiệu là (1).
Vì các cạnh của đường đi d4 là đôi một khác nhau do đó đường đi d4
được gọi là vết d′4 . Như vậy vết d′4 cũng được biểu diễn giống đường đi
d4 trong ma trận kề của đồ thị.
Vì vết d′4 là một vết kín nên vết d′4 được gọi là mạch l4 . Như vậy mạch
l4 cũng được biểu diễn giống đường đi d4 trong ma trận kề của đồ thị.
Một dãy các vị trí {i, j} = 1 của ma trận kề mà hai vị trí (và không
13
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN

CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

qua hai) liên tiếp của dãy luôn nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một
cột gọi là dây chuyền.
Như vậy đường đi và vết của đồ thị được biểu diễn trong ma trận kề
tương ứng là một dây chuyền.
Ta thấy d4 là một đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối. Người ta
nói d4 là một chu trình.
Ví dụ 2.3: Cho đồ thị vô hướng:

B

D

A

F
.

E
C
Hình 2.3: Minh hoạ chu trình trong đồ thị.
Xét chu trình C1 : {A, B}, {B, D}, {D, F }, {F, E}, {E, C}, {C, A}.
Chu trình C1 được biểu
 đồ thị như sau:
 diễn trong ma trận kề của
A B C D E F




A
(1)
(1)



B 1
1
1




A = C 1 1
1




D
(1)
1
(1)


E
(1) 1
(1)



F
1 1
Trong đó mỗi cạnh mà C1 đi qua được kí hiệu là (1).
Một dây chuyền được gọi là một chu trình trong ma trận kề nếu nó
thoả mãn điều kiên sau:

• Hai vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua nằm trên cùng một hàng
hoặc một cột.
• Không có 3 vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua nằm trên cùng
một hàng hoặc một cột.
14
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

• Vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua đầu tiên nằm cùng một hàng
hay một cột với vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua cuối cùng.
Nhận xét: Chu trình của đồ thị được biểu diễn qua ma trận kề tương
ứng là một dây chuyền khép kín xuất phát từ đỉnh đầu tiên theo một
quy luật hàng cột hàng cột cho ta một chu trình trên ma trận kề tương
ứng là một tập hợp gồm 2 vị trí {i, j} = 1 trên mỗi hàng và mỗi cột của
ma trận kề.
Tính chất 2.2 [2] Cho một đồ thị vô hướng được biểu diễn bằng ma
trận kề tương ứng.
Nếu ký hiệu apij , i, j = 1, 2, ....., n là các phần tử của ma trận Ap =
A.A...A(p lần) khi đó:

apij , i, j = 1, 2, ......, n
Cho ta số đường đi khác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p − 1 đỉnh

trung gian.
Ví dụ 2.4. Cho đồ thị vô hướng:

A

B

D

C

Hình 2.4. Ví dụ về tìm số đường đi giữa hai đỉnh bất kì.
Được biểu diễn bằng ma trận kề tương ứng là:


1

1
1
1 1

A=

1
1
1 1 1
15
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN









CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Tìm số đường đi khác nhau đi từ đỉnh 1 đến đinh 3 có độ dài là 3?
Với p = 3 ta có:

2
1
A2 =
1
1

1
3
1
2

2
1
2
1

2 5 [2] 5
1
5 4 5 5

2
; A3 =
2 5 2 5
1
5 5 5 4
3

Như vậy A3 cho ta 2 đường đi có độ dài là 3 khác nhau từ đỉnh 1 đến
đỉnh 3 qua 2 đỉnh trung gian.
Khi dùng đồ thị để biểu diễn một hệ thống nào đó, chẳng hạn hệ
thống các máy tính kết nối với nhau, một trong những điều ta quan tâm
nhất là liệu hai máy tính nào đó có thể được nối với nhau hay không?
Đây là tính chất liên thông của một mạng, nếu tính liên thông không
được đảm bảo thì mạng máy tính sẽ không thể hoạt động được.

2.2.2

Tính liên thông của đồ thị vô hướng

Tính chất cơ bản của quan hệ liên thông hai đỉnh:

• ∀v ∈ V thì v liên thông với chính nó.
• v liên thông với u thì u liên thông với v .
• Nếu v liên thông w và w liên thông u thì v và u liên thông.
⇒ Quan hệ liên thông hai đỉnh là quan hệ tương đương.
Đỉnh cắt: v được gọi là đỉnh cắt nếu bỏ nó cùng các cạnh liên thuộc
sẽ làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị con.
Cạnh cầu: e được gọi là cạnh cầu nếu xoá nó thì sẽ làm tăng số thành
phần liên thông của đồ thị con.
Cho một quan hệ R trên đồ thị G. Dãy a0 , a1 , ..., ak được gọi là đường

đi trong R và có độ dài là k nếu (ai , ai+1) ∈ R, ∀i = 1...k − 1. Nếu
a0 = ak thì đường đi gọi là chu trình. Như vậy mỗi đỉnh của đồ thị G có
16
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

thể xuất hiện nhiều lần trên một đường đi.
Quan hệ liên thông của quan hệ R (được kí hiệu là T ) là quan hệ chứa
các cặp (i, j) sao cho có ít nhất một đường đi nối i và j qua R. Có nghĩa
là (i, j) ∈ T nếu có tồn tại số nguyên dương k sao cho (i, j) ∈ Rk (tức
có đường đi độ dài k từ i đến j ).
Từ định nghĩa trên ta có
∞

Rk

T =
k=1

Định lí 2.2. Cho R là quan hệ trên đồ thị Gn đỉnh, khi đó
∞

n−1
k

Rk , ∀i = j

R =

T =
k=1

k=1

Chứng minh:
k
Hiển nhiên T ⊇ n−1
k=1 R . Ngược lại lấy ∀(i, j) ∈ T . Theo định lí tồn
tại và đường đi có độ dài k từ i đến j .

• Nếu k ≤ n − 1 thì tồn tại (i, j) ∈
Định lí thoả mãn.

n−1 k
k=1 R

do đó T ⊆

n−1 k
k=1 R .

• Nếu k > n − 1 thì trong dãy đỉnh của đường đi có ít nhất hai
đỉnh trùng nhau. Cắt bỏ chu trình chứa 2 đỉnh trùng nhau này và
tiếp tục ta có thể nhận được đường không vượt quá n − 1 do đó
n−1 k
k
(i, j) ∈ n−1
k=1 R . Định lí được chứng minh.

k=1 R . Từ đó T ⊆
Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa
hai đỉnh bất kỳ của nó. Như vậy để xét tính liên thông của một đồ thị
dựa trên ma trận kề tương ứng của đồ thị đó thì ta tìm đường đi của
hai đỉnh bất kì.
Ta xét một bài toán đường đi:
Cho đồ thị G và hai đỉnh i, j thuộc G. Có hay không một đường đi
từ đỉnh i đến đỉnh j trên đồ thị G?
17
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Từ định nghĩa của quan hệ liên thông ta có bao đóng bắc cầu của
quan hệ R là R R2 ... Rn−1 . Dễ thấy ma trận của bao đống bắc
cầu chính là hợp của các ma trận trên từ đó ta có thể xây dựng thuật
toán cho bài toán trên. Tham khảo trong [5]
Thuật toán 2.1.

• Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G.
• Tính ma trận bao đóng bắc cầu của ma trận kề A
T = A + A2 + . . . + An−1
• Nếu T [i, j] ≥ 1 thì kết luận là có đường đi từ đỉnh i đến đỉnh j ,
ngược lại thì kết luận là không có.

18
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN

CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Ví dụ 2.5. Xét tính liên thông của đồ thị sau:

A

B

D

C

Hình 2.5. Ví dụ xét tính liên thông của đồ thị.
Được biểu diễn bằng ma trận kề tương ứng là:


1

1
1
1 1

A=

1
1
1 1 1

Khi đó ta tính lần lượt An−1 với n = 4

2
1
A2 =
1
1

1
3
1
2

2
1
2
1







2 5
1
5 4
2
; A3 =
2 5
1
5 5

3

2
5
2
5

5
5
5
4

Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3
Ta có:




T =


4
7
3
7

7
7
7
8

4
7
4
7

7
8
7
7







Nhận xét: Vì T [i, j] ≥ 1 nên có đường đi từ đỉnh i đến đỉnh j hay đồ
thị trên là liên thông.

19
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Ví dụ 2.6. Xét tính liên thông của đồ thị sau:

A

B

E

C

D

Hình 2.6. Xét tính liên thông của đồ thị.
Ta tính lần lượt An−1 với n = 5

0
1
A= 1
1
0
4
5
3
A = 5
5
0

5
2
5
2
0

1

0
1
0
0
5
5
4
5
0

1
1
0
1
0
5
2
5
2
0

1
0
1
0
0

3 1
0
1 2

0
2
0 ;A = 2 1
1 2
0
0 0
0

2
1
3
1
0

1
2
1
2
0

0
0
0
0
0

0
15 9 14 9 0
0
9 10 9 10 0

4
0 ; A = 14 9 15 9 0
0
9 10 9 10 0
0 0 0 0 0
0

Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3 + A4
Ta có:

22
16
T = 22
16
0

16
14
16
14
0

26
16
22
16
0

16
14

16
14
0

0
0
0
0
0

Nhận xét: Vì T [5, j] = T [i, 5] = 0 ≤ 1 nên đồ thị là không liên thông.

20
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

2.3
2.3.1

Sự đẳng cấu của các đồ thị
Đồ thị đẳng cấu

Tính chất:

• Hai đồ thị đẳng cấu có cùng số đỉnh và số cạnh.
• Đẳng cấu ϕ giữa hai đồ thị bảo toàn bậc của tất cả mọi đỉnh.
Ta xét tính đẳng cấu của 2 đồ thị trên ma trân kề tương ứng thông qua
ví dụ sau:

Ví dụ 2.7. Xét tính đẳng cấu của 2 đồ thị sau:

U3
U2

V2
U4 V3

V5

V4
U5 V1
U1
Hình 2.7. Ví dụ xét tính đẳng cấu của 2 đồ thị.
Bước 1: Tìm các đỉnh có cùng bậc của 2 đồ thị:
- Các đỉnh có cùng bậc 2 tương ứng là U2 , V2
- Các đỉnh có cùng bậc 4 tương ứng là U2 , U4 với V3 , V5
- Các đỉnh có cùng bậc 3 tương ứng là U1 , U5 với V1 , V4
Bước 2: Định nghĩa hàm ϕ
Căn cứ vào bước 1 ta có thể định nghĩa hàm ϕ tạm thời như sau:
Ta có: ϕ(U3 ) = V2
Vì đỉnh U3 nối với 2 đỉnh bậc 4 là U2 và U4 , và đỉnh V2 cũng nối với 2
đỉnh bậc 4 là V3 và V5 nên ta chọn tiếp:
ϕ(U2) = V3 .
ϕ(U4) = V5 .
Căn cứ vào tính chất liền kề của các đỉnh tương ứng vừa chọn, ta thấy
21
Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN