De cuong on thi vao 10 mon toan nam hoc 20112012

PH PASS GIP P CON Nẩ
PHN I S
Ch 1: RT GN BIU THC
Phn 1: Kin thc cn nh
- Bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ:

( A + B)

2

= A2 + 2 A.B + B 2

( A B ) 2 = A2 2 A.B + B 2
A2 B 2 = ( A + B ).( A B )
( A + B )3 = A3 + 3 A2 .B + 3 A.B 2 + B 3

( A B )3 = A3 3 A2 .B + 3 A.B 2 + B 3
A3 + B 3 = ( A + B ).( A2 2 A.B + B 2 )
A3 B 3 = ( A B ).( A2 + 2 A.B + B 2 )

- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
+ pp đặt nhân tử chung
+ pp sử dụng hằng đẳng thức
+ pp nhóm hạng tử
+ pp phối hợp nhiều pp
+ pp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử
1. iu kin cn thc cú ngha
A Cú ngha khi A 0
2. Cỏc cụng thc bin i cn thc
1)
2)

3)

A, A 0
A2 = A =
A, A < 0
AB = A. B ( A 0; B 0)
A
=
B

A
B

( A 0; B > 0)

4)

A2 B = A B

5)
6)

A B = A2 B

( A 0; B 0)

2

A B = A B

( A < 0; B 0)

AB

( AB 0; B 0)

( B 0)

7)

A 1
=
B B

8)

A
A B
=
B
B

9)

C
C ( A mB )
=
A B2
AB

( B > 0)
( A 0; A B 2 )

1


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
C
C( A m B )
=
A − B2
A± B

( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

Phần 2: Một số ví dụ và bài tập:
VÝ dô 1: Rót gän biÓu thøc sau:
1
1
+
3− 2
3+ 2
1
1
B=
−
7 − 24 + 1
7 + 24 − 1
A=

C = (2 +

3+ 3
3− 3
).(2 +
)
3 +1
1− 3

D = 15 − 6. 6 + 33 − 12. 6
E = 13 + 30. 2 + 9 + 4. 2
F=

Ví dụ 2: Cho M =

(5 + 2. 6).(49 − 20. 6). 5 − 2. 6
9. 3 − 11. 2

− a −a+6
3+ a

a) Rút gọn M
b) Tìm a để M ≥ 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải
a) ĐK: a ≥ 0
M=

−a− a +6

=

(

( a + 3) 2 − a

) = 2−

a
a +3
Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 - a
2 − a ≥ 1
 a ≤1
a ≤ 1
⇔
⇔
b) Để M ≥ 1 ⇔ 2 − a ≥ 1 ⇔ 
a ≥ 9
 a −2 ≥1
 a ≥3
0 ≤ a ≤ 1
Vậy M ≥ 1 ⇔ 
 a≥9
a +3

c) M = 2 - a ≤ 2 Vậy Max M = 2 ⇔ a = 0
VÝ dô 3: Chøng minh ®¼ng thøc:

2

PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
a )2 2.( 3 − 2) + (1 + 2 2) 2 = 9
b)(4 + 15).( 10 − 6). 4 − 15 = 2
c) 2 + 3 + 2 − 3 = 6
d ) (2 + 3).(2 − 3)  : ( 5 − 2) = ( 5 + 2)

Bài tập vận dụng
Bài 1: Rút gọn biểu thức
3+ 5
3− 5
−
P=
10 + 3 + 5
10 + 3 − 5
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) A =

4+ 7 − 4− 7

b) B =

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

c) C =

4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5

Ví dụ 4: Cho biểu thức
 a − 25a

 
25 − a
a −5
a + 2

− 1 : 
−
−
M = 

a
−
25
a
+
3
a
−
10
2
−
a
a
+
5

 

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M < 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải

a) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25


M= 


M=
M=

(

a

(

a −5

−5
a +5

)(

(

)

(

25 − a
a +5

)(

a −2

)

+

a −5
a −2

−

a + 2

a + 5

 25 − a + a − 25 − a + 4 

a +5 a −2


a +5 a −2 
5
=


4−a
a +2


:


.
a +5 
−5

)

 
− 1 : 
a +5
 

a −5

(

)(

)(

)

)

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M =
b) Để M < 1 ⇔

5
a +2

<1 ⇔

5

a +2
5
5− a −2
−1 < 0 ⇔
<0
a +2
a +2

3


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
(Vì a + 2 > 0 )

⇔ 3− a < 0

⇔ a >3⇔ a >9

Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < 1
c) Để M đạt giá trị lớn nhất ⇔

5
a +2

lớn nhất ⇔ a + 2 nhỏ nhất

Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất

Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho biểu thức
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
P=
x +3
x + 2 x − 3 1- x
a) Rút gọn P
b)Tìm các giá trị của x sao cho P =
c) Chứng minh P ≤

1
2

2
3

Bài 2: Cho biểu thức
3a + 9a − 3
a +1
a −2

−
+
P=
a+ a −2
a + 2 1− a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức

a
1   1
2 


−
:
+
P= 



 a −1 a − a   a +1 a −1
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 4: Cho biểu thức
 4 x
8x   x − 1
2 
+

:
−
P = 
 
x 
2+ x 4− x  x −2 x
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 5: Cho biểu thức
4

⇔ a =0


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ

 
x
 x + y + xy  : 
+
P= 
  xy + y
x
+
y

 

y

x + y 
−
xy + x
xy 

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3
Bài 6: Cho biểu thức :

a) Rút gọn A.
b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P=

x+2
x +1
x +1
+
x x −1 x + x +1
x −1

a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <

1
với x ≥ 0 với x ≠ 1.
3

Bài 8: Cho biểu thức

2
 x −2
x + 2   1 − x 



−
.
P=
 x −1
  2 
x
+
2
x
+
1



a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 9: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x +1
x + 10
+
+
P=

x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 10: Cho biểu thức
 x x +1 x −1
−
A = 
 x −1

 
: x +
x − 1  

x 
 với x>0 vàx≠1
x − 1 

a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 11: Cho biểu thức
5


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
 a+ b
a − b   a + b + 2ab 
+
 : 1+
1 − ab 
1 + ab  
 1 − ab

M= 

a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M với a =

2
2− 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài 12: Cho biểu thức

x2 − x
2x + x 2(x −1)
−
+
P=
x + x +1
x
x −1

a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q =

2 x nhận giá trị là số nguyên.
P

Bài 13: Cho biểu thức

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
⋅
−
+
P = 
x − 1  2x + x − 1 2 x − 1
x x −1

a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài14:Chobiểuthức


x −1
−
 x+3 x −4

P = 

x +1 x + 2 x +1
:
+1
x −1
x − 1 

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 15: Cho biểu thức
A=(

1
x −1

+

x2 −1
) .
− 1− x2
2
x +1
1

2

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Giải phương trình theo x khi A = -2
Bài 16: Cho biểu thức
6


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
A=(

2 x+x
x x −1

−


x +2 

) : 
x − 1  x + x + 1 
1

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của

A khi x = 4 + 2 3

Bài 17: Cho biểu thức
A=

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

a) Rút gọn biểu thức A
b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A
Bài 18: Cho biểu thức
1   1

1 
1
 1
A= 
+
−
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 19: Cho biểu thức
 a a −1 a a +1  a + 2
−
÷
÷:
 a− a a+ a  a−2

M = 

a) Với giá trị nào của a thì M xác định
b) Rút gọn M
c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên
Bài 20: Cho biểu thức
P=

1+ 1− a
1− 1+ a

1
+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a
Bài 21:Cho biểu thức
 a +1

a −1
1 
−
+ 4 a  a −

A = 
a −1
a +1
a





a) Rút gọn A.
7


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ

b) Tính A với a=(4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 − 15
Bài 22: Cho biểu thức
P=

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2
a+2

(a>0;a

≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi A = 9
Bài 23: Cho biểu thức
P=

1+ 1− x
1− 1+ x
1
+
+
1− x + 1− x 1+ x + 1+ x
1+ x

a) Rút gọn P.

b) So sánh P với

2
.
2

Bài 24: Cho biểu thức
1
3
2
−
+
P=
x +1 x x +1 x− x +1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 25: Cho biểu thức
P=

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a−5 a +6
a −2 3− a

a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
*

*
*

Chủ đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn:
Phần I : Kiến thức cần nhớ
 ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

 Dạng tổng quát : 

8


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
 Số các nghiệm của hệ:
a b
≠ ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất
a ' b'
a b c
+ Nếu = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm
a ' b' c '
a b c
+ Nếu = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm
a ' b' c '

+ Nếu

 Các phương pháp giải hệ phương trình:

1. Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn
(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia
- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y
- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :
2 x + 3 y = 6
 x+ y =3

(1)
(2)

a) 

Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*)
Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được :
2(3 - y) + 3y = 6
6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0
Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3
x = 3
y = 0

Vậy nghiệm của hệ là: 
 2x + y = 5
4 x − 5 y = 3

(1)
(2)

b) 

Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*)
Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được :
4x – 5 (5 – 2x) = 3
4x -25 + 10x = 3
14x = 28 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y = 1
x = 2
y =1

Vậy nghiệm của hệ là : 

2. Phương pháp cộng :
- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại
KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :
9


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
 x + 2 y = 14
− x + 3 y = −9

a) 

(1)

( 2)

Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y = 1
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :
x + 2.1 = 14 ⇒ x = 12
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1)
− 3 x + 4 y = 11
 5x + 4 y = 3

(1)

b) 

( 2)

Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒ x = −1
Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:
5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒ y = 2
 x = −1
y=2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
3. Chú ý :
 ax + by = c
a ' x + b' y = c '

Với hệ phương trình 

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế
+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế
+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ± 1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm
BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)
.Chú ý 2 : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều
kiện α nào đó ta làm như sau:
+ Coi tham số như số đã biết
+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số
+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :
4 x + 3 y = −1
3 x − 2 y = 12

a) 

(1)
( 2)

Giải
8 x + 6 y = −2
9 x − 6 y = 36

Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được : 
Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :
4.2 + 3y = -1
⇒ 3 y = −9 ⇒ y = −3

x=2
 y = −3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 

10


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
5 x − 4 y = −6
3 x − 2 y = −4

(1)

b) 

( 2)

Nhân phương trình (2) với 2 ta được :
5 x − 4 y = −6

6 x − 4 y = −8

Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2 ⇒ x = −2
Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được:
5.(-2) – 4y = -6
- 4y = 4 ⇒ y = −1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)
VÝ dô4: Cho hệ phương trình:
 x − 2y = 0

mx − 3 y = 2

(1)
( 2)

a) Giải hệ với m = -2
b) Tìm m để hệ có nghiệm dương
Giải
 x − 2y = 0
− 2 x − 3 y = 2

a) Với m = -2 ta có hệ : 

(1)
(3)

Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:
2
4
thay vào (*) ⇒ x = −
7
7
4

x = − 7
Vậy nghiệm của hệ là : 
2
y = −
7


-2.2y – 3y = 2 ⇒ y = −

b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:
m.2y – 3y = 2 ⇔ y (2m − 3) = 2 ⇒ y =

2
2m − 3

4
2m − 3
 4
 2m − 3 > 0
x > 0
⇔
⇒ 2m – 3 > 0
Để hệ có nghiệm 
 2
y > 0

>0
 2m − 3
3
⇒ m>
2

Thay vào (*) ta được : x =

11


PH PASS GIP P CON Nẩ

Vy vi m >

3
thỡ h phng trỡnh cú nghim dng
2

Ví dụ 5: Cho hệ phơng trình:
x y = 3

mx + y = m

Tìm giá trị của m để:
a) Hệ pt có nghiệm x=2; y= -1
b) Hệ pt có một nghiệm duy nhất
c) Hệ pt có vô số nghiệm
d) Hệ pt vô nghiệm
Giải
a) Thay x và y bằng các giá trị tơng ứng đã cho vào hệ pt
b) Hệ pt có một nghiệm duy nhất khi:
c) Hệ pt có vô số nghiệm khi :
có vô số nghiệm

1 1

m 1
m 1
1 1 3
=
= Không có giá trị nào của m để hệ pt
m 1 m

d) Hệ pt vô nghiệm khi :

1 1 3
=
m = 1
m 1 m

Ví dụ 3: Cho hệ phơng trình

(m 1) x + y = 3m 4

x + (m 1) y = m

a) Giải hệ pt với m =-1
b) Tìm giá trị của m để hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 3
Giải
a) Thay m = -1 vào hệ pt và giải
b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt tìm nghiệm x và y theo tham số m
3m 2
m2
;y=
)
Vơí m 0; m 2 hệ pt có nghiệm ( x =

m
m
4m 4
= 3 m = 4 ( Thỏa mãn đk )
Theo đề bài có x + y = 3

m

Vậy với m = 4 thì hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mã đk x+ y = 3
Ví dụ 6: Cho hệ pt

mx y = 2

3 x + my = 5(m 0)

a) Giải hệ pt với m = 2
b) Tìm m để hệ pt có một nghiệm duy nhất thỏa mãn đk : x + y < 1
Giải
12


PH PASS GIP P CON Nẩ

a) Thay giá trị của m vào hệ pt và giải
b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt trình tìm nghiệm theo m
Hệ pt có nghiệm: ( x =

2m + 5
5m 6
;y= 3
)
2
m +3
m +3

7

33
m 2 7m + 4 > 0 (m )2 >
2
4
Theo đề bài có : x + y < 1
7 + 33
7 33
m>
;m <
2
2

Phn II : Mt s bi tp
Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh sau:
2 x + 3 y = 8
3x y = 1

a)

7 x 5 y = 17
6 x + 5 y = 4

b)

12 x + 7 y = 5
9 x 5 y = 14

c)

Bi 2: Cho h phng trỡnh

2 x + 3 y = a

5x y = 1

a) Gii h phng trỡnh vi a = 2
b) Gii h vi a bt k
c) Tỡm a h cú nghim dng
Bi 3: Cho h phng trỡnh
4x 3 y = 6

5 x + ay = 8

a) Gii h phng trỡnh vi a = 3
b) Tỡm giỏ tr ca a h co nghim õm duy nht
Bi 4: Cho h phng trỡnh
3x + (m 1) y = 12

(m 1) x + 12 y = 24

a) Gii v bin lun h phng trỡnh
b) Tỡm m h cú mt nghim sao cho x < y
Bi 5: Cho h phng trỡnh
( a + 1) x y = 3

ax + y = a

a) Gii h vi a = 2
b) Xỏc nh giỏ tr ca a h cú nghim x + y > 0
Bi 6: Cho h phng trỡnh
2 x + (m 4) y = 16

(4 m) x 50 y = 80

a) Gii v bin lun h phng trỡnh
b) Tỡm m h cú mt nghim x +y >1
13


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
Bài 7: Cho hệ phương trình
 mx + my = −3

(1 − m) x + y = 0

a) Giải hệ với m = 2
Bài 8: Cho hệ phương trình

b)Tìm m để hệ có nghiệm âm

 ( a + b) x + ( a − b) y = 1

( 2a − b) x + (2a + b) y + 2

a) Giải hệ với a = 2 và b = 1
b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có nghiệm nguyên
Bài 9: Cho hệ phương trình:
ax + y = 3a − 1

 x + ay = a + 1

a) Giải và biện luận hệ phương trình trên
b) Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có gi¸ trÞ nguyên
Bài 10: Cho hệ phương trình:
 2 x + ay = b + 4

ax + by = 8 + 9a

Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 3; y = -1
Chủ đề 3: Phương trình
I. Phương trình bậc nhất một ẩn số:
II. Phương trình bậc hai một ẩn số:
Phần I: kiến thức cần nhớ
1. Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 )
Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số
Ví dụ: trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn số:
a) x3 + 3x + 5 = 0
b) x2 – 7 = 0
c) 2x2 – 3x + 1 = 0
d) x – 5 = 0
Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai
2. Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:
a) Công thức nghiệm:
Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4.a.c
+ Δ < 0 ð phương trình vô nghiệm
+ Δ = 0 ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

14

−b

2a


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
+ Δ > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

−b+ ∆
2a

x1 =

−b− ∆
2a

b) Công thức nghiệm thu gọn:
Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu b chẵn. Đặt b = 2b’, ta có
Δ’ = b’2 – a.c
+ Δ’ < 0 ð phương trình vô nghiệm
+ Δ’ = 0 ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

− b'
a

+ Δ’ > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

− b'+ ∆ '
a

x1 =

− b'− ∆'
a

Ví dụ : Giải các phương trình sau:
a) 3x2 – 2x + 1 = 0
Δ = (-2)2 – 4.3.1 = 4 – 12 = -8 ; Δ < 0
ð Phương trình vô nghiệm
b) 4x2 -12x + 9 = 0
Δ = (-12)2 -4.4.9 = 144 – 144 = 0
ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

12 3
=
8
2

c) -2x2 +5x + 3 = 0
Δ = 52 – 4 . (-2). 3 = 25 + 24 = 49; ∆ = 7
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =

−5+7
1
=−
−4
2

x2 =

−5−7
=3
−4

3. Hệ thức vi ét – Áp dụng:
a) Định lý vi ét:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
x1 + x2 =
x1.x2 =

−b
a

c
a

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =

c
a

15


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
+ Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 =

−c
a

+ Nếu có hai số x1, x2 sao cho
x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0)
Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0
Ví dụ 1: a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của chúng bằng 72.
- Giải Gọi x1, x2 là hai số cần tìm. Ta có: x1 + x2 = 17
x1. x2 = 72
Vậy x1, x2 phải là nghiệm của phương trình : X2 – 17X + 72 = 0
Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1
ðx1 = (17+ 1) : 2 = 9;
x2 = (17 - 1) : 2 = 8
Vậy hai số cần tìm là 8 và 9
b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7.
Giải
Ta có : x1 + x2 = -3 + 7 = 4
x1 . x2 = -3 . 7 = -21
Vì 42 – 4 . (-21) ≥ 0
Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 – 4x – 21 = 0
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Bài tập về số nghiệm của phương trùnh bậc hai:
Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4.a.c
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ó Δ > 0 (Δ’ > 0)
+ Phương trình có nghiệm kép
óΔ=0
(Δ’ = 0)
+ Phương trình vô nghiệm

óΔ<0
(Δ’< 0)
 Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = 0

 a = 0; b ≠ 0

có 1 nghiệm ó 
a ≠ 0; ∆ = 0

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x2 -3mx + m2 – 1 = 0
b) 2x2 + 4x – m = 0
- Giải a) Ta có : Δ = (-3m)2 – 4.( m2 – 1) = 9m2 – 4m2 +4
Δ = 5m2 + 4 > 0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
16


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m
Δ = 16 + 8m > 0 ó m > -2
Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép.
a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0
b) 15x2 – 90x + m = 0
Giải
a) ĐK để phương trình :
(m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0 là phương trình bậc hai thì : m+ 7 ≠ 0 ð m ≠ -7
Ta có:
Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7). (7m - 15)

= m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105
Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3)
Δ’ = 0 ó (m2 + 2m - 3) = 0
ð m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép
b) Ta có :
Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m
Δ’ = 0 ó 2025 – 15m = 0
ð m = 135
Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép
Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 3x2 – 2x + m = 0
b) x2 + mx + 3 = 0
Giải
2

a) 3x – 2x + m = 0
Để phương trình vô nghiệm ó ∆ < 0
Ta có : ∆ ' = 1 − 3m ; ∆' < 0 ⇔ 1 − 3m < 0 ⇒ m >
Vậy với m >

1
3

1
thì phương trình vô nghiệm
3

b) x2 + mx + 3 = 0
Để phương trình vô nghiệm ó ∆ < 0

Ta có: ∆ = m 2 − 4.3 = m 2 − 12
∆ < 0 ⇔ m 2 < 12 ⇒ − 12 < m < 12
Vậy với - 12 < m < 12 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
17


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
(m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – 1 = 0
Giải
 a = 0

b≠0
Phương trình có nghiệm duy nhất ó a ≠ 0
 ∆ ' = 0


m − 4 = 0
⇔m=4


m
−
2
≠
0

ó 
m−4 ≠ 0

(m − 2) 2 − (m − 4).( m − 1) = 0


(*)

Giải phương trình (*) ta được : m2 -4m + 4 – m2 + 5m -4 = 0
⇒m=0

Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
 ∆ ≥ 0
óc > 0
 a

 ∆≥0
 c
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : ó  > 0
 a
− b > 0
 a

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:

 ∆≥0
 c
ó > 0
 a
− b < 0

 a

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
ó a.c < 0
Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:
a) x2 – 3x + m – 1 = 0
b) x2 – 2mx + 3 = 0
18


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
Giải
2

a) x – 3x + m – 1 = 0
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu :
∆ ≥ 0
9 − 4m + 4 ≥ 0
13

c

m ≤
⇔
⇔
ó  >0 

4
 a
 m − 1 > 0

 m > 1
13
Vậy với 1 < m ≤
thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
4

b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
 ∆ ' ≥ 0

m 2 − 3 ≥ 0

ó c > 0 ⇔ 
 a
 3>0

m≥ 3
⇔
m ≤ − 3

3. Bài tập: dạng thành lập một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0
Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai thường gặp :
a) x12 + x22

b) x13 + x23

1

1

c) x + x
1
2

..v..v

Cách giải
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó pt bËc 2 ®· cho cã nghiÖm x1 , x2
−b

 x1 + x2 = a
Bước2:Ap dông hÖ thøc Vi-et tÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm 
c
 x1.x2 =
a


Bước 3:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau :
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2
x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
1 1
x + x2
+
= 1
x1 x2
x1.x2

Bước 4: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng
Ví dụ : Cho phương trình x2 + mx + 1 = 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Hãy tính:

a) x12 + x22
b) x13 + x23
Giải
Theo vi et ta có : x1 + x2 = m ;

x1.x2 = 1

a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 - 2
19


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
= m3 – 3.m
4. Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm
−b

 x1 + x2 = a
+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et : 
c
 x1.x2 =
a


(1)
( 2)

+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)

+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m.
Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0
Xác định giá trị của m để nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 =
13
Gi¶i
TÝnh biÖt thøc
∆ = (m + 5) 2 − 4.(−m + 6)
∆ = m 2 + 10m + 25 + 4m − 24
∆ = m 2 + 14m + 1

Hệ phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ m 2 + 14m + 1 ≥ 0
∆ m = 49 − 1 = 48

⇒ m1 = −7 + 48; m2 = −7 − 48
m ≥ −7 + 48

Vậy với 

m ≤ −7 − 48

thì phương trình có nghiệm

(*)

Theo vi et ta có :
x 1 + x2 = m + 5
(1)
Vµ x1.x2 = 6 – m
(2)
Theo bài ra :

2x1 + 3x2 = 13
(3)
 x1 + x2 = m + 5

Giải hệ phương trình 
 2 x1 + 3 x2 = 13
Nhân phương trình (1) với 2 ta được

(1)
(3)

2 x1 + 2 x2 = 2m + 10

 2 x1 + 3 x2 = 13

Trừ từng vế của hệ ta được : x2 = 3 – 2m thay vào phương trình (1) ta được : x1 + 3 – 2m =
m + 5 ó x1 = 3m + 2
20


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
Thay x1 = 3m + 2 và x2 = 3 – 2m vào phương trình (2) ta được
(3m + 2). (3 – 2m) = 6 – m
ó 9m – 6m2 + 6 – 4m = 6 – m
m = 0

ó 6m2 – 6m = 0 ⇒ 
thoả mãn ĐK (*)
m = 1
Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn :

2x1 + 3x2 = 13

5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0
Cách giải:
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm ( ∆ ≥ 0 hoÆc a.c < 0)
+ Bước 2: Lập S , P

(x1 + x2 =

−b
c
), x1.x2 =
theo tham số m
a
a

+ Bước 3: Dùng quy tắc công hoặc thế để khử m
+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm.
Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 1 = 0
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Giải

Phương trình có nghiệm : ó ∆ '≥ 0
Ta có : ∆' = (m − 1) 2 − (m 2 − 1) = −2m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1
(1)
S = 2(m − 1)
2
( 2)

 P = m −1
S
S +2
Từ (1) ta có : m = + 1 ⇔ m =
thay vào (2)ta được :
2
2
( S + 2) 2
− 1 ⇔ 4 P = ( S + 2) 2 − 4
P=
4

Áp dụng vi et ta có : 

ó S2 + 4S – 4P = 0
Vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là
(x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) – 4x1.x2 = 0
6. Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì:
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( ∆ ≥ 0 )
Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2
(*)
+Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
( x − α ) + ( x2 − α ) > 0
⇒ 1
 ( x1 − α ).( x2 − α ) > 0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
21

PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
( x − α ) + ( x2 − α ) < 0
⇒ 1
 ( x1 − α ).( x2 − α ) > 0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm > α nghiệm
kia < α
⇒ ( x1 − α ).( x2 − α ) > 0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
Có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
Nếu a. f (α ) < 0 ⇒ x1 < α < x2
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm lớn hơn 2
x2 - 2mx + 8 = 0
(1)
-GiảiĐể phương trình có nghiệm ó ∆' ≥0
m≥2 2

Ta có : ∆' = m 2 − 8 ≥ 0 ⇔ 

m ≤ −2 2

m≥2 2
⇒ Vậy với 
thì phương trình có nghiệm
m ≤ −2 2

Theo vi et ta có: x1 + x2 = 2m
x1 . x2 = 8
Để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2
( x1 − 2) + ( x2 − 2) > 0

ó
 ( x1 − 2).( x2 − 2) > 0

( x1 + x2 ) − 4 > 0
 x1.x2 − 2( x1 + x2 ) + 4 > 0


ó

 2m − 4 > 0
m > 2
⇒
⇔
8 − 4m + 4 > 0
m < 3
Vậy với 2 2 ≤ m < 3 thì phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

Phần 2 : Một số bài tập
Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
e) x2 – 2x + m = 0
f) x2 – 2mx + 2m – 3 = 0
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
a) 2x2 – 6x + m – 2 = 0
b)(3 – 2m )x2 + (m - 1)x – 3 = 0

Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương:
22


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
2x2 – mx + 2m – 8 = 0
Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm
Bài 5 : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + 6 = 0 nhận x = 3 là nghiệm. khi
đó tìm nghiệm còn lại?
Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó xác định dấu các nghiệm
Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) CMR phương trình có nghiệm với mọi m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12+x22 = 4
Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0
a) CMR phương trình luôn có nghiệm. Tìm các nghiệm đó
b) Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm m để
x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
nhất
Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong
các điều kiện sau đây:
a) x12 + x22 = 1
b) x12 – x22 = 12
Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 0. Tìm nghiệm còn lại
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
x12 + x22 = 8
Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = 0
Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 – 4x2 = 11
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2
a) x2 + 6x + k = 0
b) x2 + kx + 8 = 0
Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = 0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 + 2x2 =20
Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = 0
a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 = 6
c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lạp với m
23


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0
a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b)Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
-3 < x1 < x2 < 6
d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + 1 = 0
a)Giải phương trình với m = -1

b)Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = 0
a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b)Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trinh. Tìm m sao cho
( 2x1 – x2 ) . ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
c) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17
b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – 3 = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22
Bài 21: Cho các phương trình:
x2 + ax + bc = 0
x2 + bx + ca = 0
Trong đó bc ≠ ca
Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)
x2, x3 là các nghiệm của phương trình (2)
Hãy viết một phương trình bậc hai có nghiệm là x1, x3.
Bài 22: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
3x2 – 4x + 2.(m - 1) = 0
Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + 2 = 0
Tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 3, nghiệm còn lại nhỏ hơn 3
Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – 1 = 0
a)CMR phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m
b)Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0
a)CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
24


PHÁ PASS GIÚP PÀ CON NÈ
b)Tìm một biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc và m
c)Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn hệ thức
x1 x2
5
+
=−
x2 x1
2

Chủ đề 4: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Phần I : Kiến thức cần nhớ:
I. Hàm số bậc nhất :
1. Dạng tổng quát: y = ax + b
(a ≠ 0 )
2. Tính chất :
+ Đồng biến nếu a > 0
+ Nghịch biến nếu a < 0
3. Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành
tại điểm có hoàng độ bằng

−b
.
a

4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:
Cho hai hàm số : y = ax + b (d)
y = a’x + b’ (d’)
+ Nếu a ≠ a’
ð (d) cắt (d’)
+ Nếu a = a’; b ≠ b’ ð (d) // (d’)
+ Nếu a = a’; b = b’ ð(d) ≡ (d’)
+ Nếu a.a’ = -1
ð (d) ⊥ (d’)
2
II. Hàm số y = ax (a≠0)
1. Tính chất :
+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0
- Hàm số nghịch biến nếu x < 0
+ Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0
- Hàm số nghịch biến nếu x > 0
2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với
trục hoành tại gốc toạ độ.
+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0
+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0
3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2
(P):
+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ópt hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P)
2
a’x = ax+b có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu (d) Tiếp xúc (P) ó pt hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) a’x2 = ax + b có
nghiệm kép
+ Nếu (d) và (P) không có điểm chung ó a pt hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P)
2
’x = ax+b vô nghiệm

25