Dãy fibonacci Những điều bí ẩn và lý thú

Dãy số Fibonacci – những điều bí ẩn và lý thú… « Maths 4
Physics & more…
Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo
Fibonacci công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính
điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta
say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó.
Leonardo
Fibonacci

Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?
Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau:

(1170 – 1240)

Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp
mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết cả
thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …
Trong đó: các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó.
Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp bạn sẽ được một dãy số tương tự.
Vậy dãy số Fibonacci này có gì đặc biệt? Này nhé:
1. Điều đặc biệt đầu tiên:
Gọi An là số hạng thứ n trong dãy số, ta có:
An x An+1 = An-1 x An+2 ± 1
An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2
An x An+1 = An-3 x An+4 ± 6
An x An+1 = An-4 x An+5 ± 15
Chúng ta hãy thử lại đẳng thức đầu tiên bằng cách chọn một số An bất kỳ (An là số ở vị trí thứ n
của chuỗi), chẳng hạn 34. Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 . Ta có:
34 x 55 = 21 x 89 + 1. Các đẳng thức này được áp dụng trong toàn dãy số.

Lấy một cặp số bất kỳ khác, chẳng hạn 3 x 5 = (2 x 8 ) – 1.
Nếu lấy thêm các ví dụ khác nữa, bạn sẽ nhận ra rằng nếu n là số chẵn ta cộng 1. Nếu n là số
lẻ ta trừ đi 1.
Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai:
An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2
Chọn An = 8, do đó 8 x 13 = 3 x 34 + 2. Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 – 2.
Cũng tương tự như trên ta trong trường hợp An= 8 thì n =6 (chẵn) nên cộng 2, còn An = 34 thì
n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2.


Những đẳng thức còn lại có thể kiểm chứng dễ dàng theo cách tương tự. Chú ý rằng, trong
những số trên, những con số mà chúng ta thêm hay bớt theo thứ tự là:
±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104 …
Hiệu số giữa những số này sẽ là:
1 4 9 25 64 …
Hay:
12 22 32 52 82
Đây lại là một điều thú vị nữa, bởi từ kết quả trên ta thấy hiệu của những con số được thêm vào
(hay bớt đi) ở các đẳng thức trên không gì khác hơn là bình phương của các số hạng của dãy
Fibonacci.
2. Điều bất ngờ kế tiếp:
Chúng ta tiếp tục xét và thử lại các đẵng thức sau:

3. Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác:
Bây giờ, nếu bạn đem nhân đôi một số hạng bất kỳ rồi trừ đi số hạng kế tiếp nó thì kết quả sẽ
bằng số hạng đứng trước nó 2 vị trí:

Này nhé: với A5 = 5: 2 x 5 – 8 = 2 = A3
4. Điều thú vị có tên bình phương:
Bây giờ từ dãy Fibonacci ta tạo một dãy mới bằng cách đem bình phương các số hạng có trong

dãy đó.
Với dãy Fibonacci:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …
Ta có dãy số mới là:
1 1 4 9 25 64 169 441 1156 3025 7921 20736 54289 … (*)
Bây giờ, cộng mỗi cặp số liên tiếp trong dãy số mới. Ta có:
2 5 13 34 89 233 610 1597 …


dãy số sau cùng này chính là các số có mặt trong dãy Fibonacci ở các vị trí lẻ.
Tiếp theo, cũng từ dãy số bình phương (*), ta lấy hiệu của hai số cách nhau 1 số ở giữa, ta tiếp
tục có:
3 8 21 55 144 377 987 …
đây cũng chính là những số có mặt trong dãy Fibonacci ở vị trí chẵn.
5. Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm:
Nếu bạn biết được điều thú vị sau đây của dãy Fibonacci thì bạn sẽ luôn luôn thắng
trong mọi cuộc đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số này. Và, vì thế, trò chơi này
thường được gọi tên là tính nhẩm Fibonacci.
Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, và gạch dưới 1 số bất kỳ trong cột này.
Tổng của các số nằm ở phía trên đường kẻ luôn luôn bằng số hạng thứ 2 sau
đường kẻ trừ đi 1.
Giả sử bạn gạch dưới số 21. thì tổng các số phía trên đường kẻ là : 1 + 1 + 2 + 3 +
+ 8 + 13 + 21 = 54 . Còn số hạng đứng dưới đường kẻ 2 vị trí là 55.

5

Hay bạn gạch dưới số 233 thì chắc chắn tồng các chữ số từ số ở vị trí đầu tiên đến
số 233 sẽ phải bằng 610 – 1 = 609.
Do vậy, trò chơi này chắc chắn sẽ làm ngơ ngẩn những ai không quen thuộc
với dãy số Fibonacci. Các con số ở đây dường như được chọn ngẫu nhiên,

nhưng bí mật của trò ảo thuật nằm ở chỗ đáp số luôn luôn bằng số thứ hai
sau nó trừ đi 1.
6. Định lý Pitagore trong dãy Fibonacci (F):
Bây giờ, nếu ta ký hiệu 4 số liên tiếp trong dãy F là a, b, c, d và gọi n là vị trí của a trong dãy số
thì ta luôn có công thức tuyệt đẹp liên quan đến định lý Pitagore nổi tiếng. Đó là:

Hay ta luôn có:

Đây là một phương trình rất đặc biệt, được khám phá bởi Tiến sĩ Jekuthiel Ginsburg.
Chúng ta thử kiểm chứng lại kết quả này nhé. Ví dụ ta chọn dãy 4 số liên tiếp là 5 8 13 21. Ở
đây n = 5. Ta có:
. Rõ ràng, số 233 chính là số ở vị trí 2.5 + 3
= 13 trong dãy (F).
Bạn có thể kiểm chứng lại kết quả này bằng 1 dãy 4 số liên tiếp bất kỳ trong dãy (F).
Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông ới độ dài các cạnh được tạo nên từ các số có
mặt trong dãy (F).
7. Lại một điều thú vị được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg:


TS Jekuthiel Ginsburg khi nghiên cứu về dãy (F) ông đã tìm ra một điều hết sức đặc biệt. Số 89
ở vị trí thứ 11 của dãy (F) là 1 con số vô cùng quan trọng. Bởi lẽ, Số nghịch đảo của nó bằng
tổng tất cả các số trong dãy (F). Điều này không thể giải thích nổi và nó được viết ra như sau:

8. Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg:
Ông cho biết:
Trong 3 số liên tiếp của dãy (F)
thì tổng lập phương của 2 số lớn trừ đi lập
phương của số nhỏ nhất luôn luôn là 1 số trong dãy (F).
Ta thử kiểm chứng với 3 số liên tiếp bất kỳ. Giả sử: 5 8 13

Ồ ! 2584 chính là số ở vị trí thứ 18 trong dãy Fibonacci. Ngạc nhiên chưa!!!
9. Dãy Fibonacci chứa đựng tỷ số vàng:
Bạn đã bao giờ nghe đến “tỷ số vàng” chưa? Đó là con số tỷ lệ
. Tỷ lệ này có được
từ một hình chữ nhật có tính chất đặc biệt với độ thẩm mỹ rất thú vị. “Hình chữ nhật với
chiều rộng là 1, chiều dài là x. Khi lấy đi một hình vuông có cạnh bằng 1 thì hình chữ
nhật còn lại sẽ có các tỷ lệ như nhau so với hình chữ nhật ban đầu”.
Vì hình chữ nhật mới có chiều rộng là x – 1 và chiều dài là 1 nên sự tương đương các tỷ
lệ có nghĩa là:

Từ đó, ta có được “tỷ số vàng”
rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng và mỹ thuật.

. Hiện nay, Tỷ lệ nàyđược sử dụng

Trở lại với dãy số Fibonacci. Thật kỳ lạ khi thấy rằng tỷ số này có mặt suốt trong dãy.
Thật vậy, khi nhân lần lượt các số trong dãy với tỷ số vàng , bạn sẽ tiến càng lúc càng
chính xác đến giá trị của số kế tiếp.
Này nhé:
1 x 1.618033989… = 1.618033989 89 x 1.618033989… = 144.005025 =
= 2 – 0.381966011
144 + 0.005025


2 x 1.618033989… = 3.236067977 144 x 1.618033989… = 232.9968944
= 3 + 0.236067977
= 233 – 0.003105622
3 x 1.618033989… = 4.854101966 233 x 1.618033989… = 377.0019194
= 5 – 0.145898033
= 377 + 0.0019194

5 x 1.618033989… = 8.090169944 377 x 1.618033989… = 609.9988138
= 8 + 0.090169944
= 610 – 0.001186246
8 x 1.618033989… = 12.94427191 610 x 1.618033989… = 987.0007331
= 13 – 0.05572809
= 987 + 0.0007331
13 x 1.618033989… = 21.03444185 987 x 1.618033989… = 1596.999547
= 21 + 0.03444185
= 1597 – 0.00045312
21 x 1.618033989… = 33.97871376 987 x 1.618033989… = 1596.999547
= 34 – 0.021286236
= 1597 – 0.00045312
34 x 1.618033989… = 55.01315562 1597 x 1.618033989… = 2584.00028
= 55 + 0.01315562
= 2584 + 0.00028
55 x 1.618033989… = 88.99186938
= 89 – 0.008130619

…………………………………