Hệ phương trình đối xứng loại 2 (Phần 2)

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
-----------Phần 2--------Biên soạn: Kiều Thị Thùy Linh

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
 f  x, y   0
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng 
. Khi ta thay
 g  x, y   0

đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của
hệ, tức là f  y, x   g  x, y  và g  y, x   f  x, y  .
2. Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đối xứng loại II không chứa tham số
 f  x, y   0
Để giải hệ phương trình đối xứng loại II 
ta thực hiện các bước như sau:
 g  x, y   0

 Ta trừ vế với vế của hai phương trình, do tính chất đối xứng nên ta được về
phương trình hệ quả dạng tích số
f  x, y   g  x, y   0   x  y  h  x , y   0
x  y

 h  x, y   0.



.

Kết hợp với một phương trình của hệ ta có tuyển tương đương
 h  x, y   0

 x  y  0
hoặc 
.

 f  x, y   0
 f  x, y   0

- Nếu h  x, y  là hàm bậc nhất, ta sử dụng phương pháp thế để giải hệ.
- Nếu h  x, y  không là hàm bậc nhất, ta sẽ cộng hai phương trình theo vế và thu
được hệ phương trình đối xứng loại I.
3. Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đối xứng loại II có chứa tham số
 f  x, y , m   0
Hệ phương trình đối xứng loại II có chứa tham số có dạng 
 g  x, y, m   0

 Bài toán tìm điều kiện có nghiệm của hệ
- Đặt điều kiện của bài toán (nếu có).
- Trừ từng vế, cộng từng vế hai phương trình của hệ để ta có hai tuyển tương
đương

 x  y  0
 h  x, y   0
hoặc 
.

 f  x, y, m   0
 f  x, y, m   g  x, y, m   0.


- Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi một trong hai hệ trên có

nghiệm. Từ đó, ta đi tìm điều kiện có nghiệm của hai hệ trên.

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


 Bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
- Điều kiện cần: Thay x  y  x0 vào hệ ta được giá trị tham số m . Đó chính là
điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
- Điều kiện đủ: Với giá trị m  m0 , từ điều kiện cần, ta thay vào hệ phương trình.
Giải hệ ta có điều kiện đủ.
 Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình
- Thực hiện hai bước đầu như bài toán tìm điều kiện có nghiệm.
- Giải và biện luận nghiệm của hệ đối với từng hệ trong tuyển.
- Kết hợp các kết quả và kết luận.
Chú ý
 Hệ phương trình đối xứng loại II luôn có nghiệm  x0 , x0  .
 Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại hai: phương pháp
đặt ẩn phụ, đánh giá, sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
4. Một số ứng dụng của hệ phƣơng trình đối xứng loại II.
Bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa một số phương trình chứa căn thức hoặc một số
phương trình bậc cao về hệ phương trình đối xứng để giải quyết nhanh chóng. Cụ thể, ta
xét một số dạng phương trình tổng quát, tương ứng với cách đặt ẩn phụ như sau:
 Dạng xn  b  a n ax  b .
- Đặt ẩn phụ u  n ax  b  u n  ax  b  u n  b  ax . Khi đó phương trình đã cho
tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x, u như sau:
 x n  b  au
.
 n

u  b  ax.



Dạng n ax  b  c  dx  e    với d  ac, e  bc  a.
n

- Đặt ẩn phụ du  e  n ax  b   du  e   ax  b  c  du  e   dx  e   . Khi đó
n

n

phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình đối xứng loại II theo
du  e  c  dx  e  n  
2 biến x, u như sau: 
.
n
dx  e  c  du  e    .



Dạng x  a  a  x .
- Đặt ẩn phụ u  a  x , u  0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ
 x  a  u

phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x, u như sau: 

u  a  x .



.

Dạng a  b  a  bx 2   x.
2

- Đặt ẩn phụ u  a  bx2 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ
2
a  bu  x
2
a  bx  u.

phương trình đối xứng loại II theo 2 biến x, u như sau: 

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Chú ý: Khi giải các dạng phương trình trên ta cần:
- Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có).
- Giải mỗi hệ phương trình đối xứng loại II trên để tìm ra nghiệm x , so sánh
với điều kiện (nếu có) rồi kết luận.
II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

 x3  2 x  y
 3
 y  2 y  x.

Lời giải
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được
x3  y 3  2 x  2 y  y  x   x  y   x 2  xy  y 2  1  0
x  y  0
 2
2
 x  xy  y  1  0.

Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
x  y
 Ia   3
x  2x  y

hoặc

2
2

 x  xy  y  1  0
Ib
   3 3

x  y  3 x  y 


x  y  0
x  y





2
3
 x  3x

 x  y   3.
 x  x  3  0
x  y

Hệ  Ia   

 x  y 2  xy  1  0
Hệ  Ib   
2
 x  y   x  y   3xy   3  x  y  .



x  y  S
 xy  P

Đặt 

Từ đó ta có

S

2

 4P  .

2

S 2  P  1
S 2  P  1
S  0
S  P  1  0









2
2
 P  1.
S  2 P  2   0
 S  S  3P   3S



S  S  3P  3  0

 x  1

x  y  0
 y  1


Hay 
  x  1
 xy  1

  y  1.

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là

 0;0 , 





3; 3 ,  3;  3 ,  1;1 , 1; 1 .

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Ví dụ 2. Giải hệ phương trình


 2x  3  4  y  4


 2y  3  4 x  4

1
 2 .

Lời giải
 3
 2  x  4
Điều kiện 
 3  y  4.
 2

Lấy vế trừ vế hai phương trình của hệ ta được:




 

2x  3  2 y  3 



4 y  4 x  0

 2 x  3   2 y  3   4  y    4  x   0
2x  3  2 y  3

4 y  4 x




2
1
  x  y

  0
 2x  3  2 y  3
4

y

4

x


 x  y.

Thay x  y vào 1 , ta được:
2x  3  4  x  4  x  7  2

 2 x  3 4  x   16

 2 2 x 2  5 x  12  9  x
x  3
9  x  0
 2

 x  11 .
9
x


38
x

33

0

9


Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là  3;3 , 

11 11 
; .
9 9

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình

2
 x  y  y  m

2
 y  x  x  m.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Lời giải
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được
x  y
x  y   x2  y 2    x  y   x2  y 2  0  

 x   y.

Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


 I


x  y
 2

 x  2 x  m  0 1

hoặc


x   y
 2

x  m  0

 II 

 2 .

Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ  I  hoặc hệ  II  có nghiệm.



Hệ  I  có nghiệm  phương trình 1 có nghiêm  1  0  1  m  0  m  1.



Hệ  II  có nghiệm  phương trình  2  có nghiêm   2  0  m  0  m  0.

Vậy với m  0 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 4. Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất?
 y 2  x3  4 x 2  xa

 2
3
2

 x  y  4 y  ya.

Lời giải
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được

 x  y   x 2  xy  y 2  4  x  y   a  x  y   0
x  y
 2
2
 x  xy  y  3  x  y   a  0.

Trƣờng hợp 1. Thay x  y vào phương trình 1 của hệ ta được :
x  0
x3  5 x 2  ax  x x 2  5x  a  0   2

 x  5 x  a  0.





Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì


  0

25  4a  0


 
f
0

0



a  0


   0

  f  0   0
   0.


 Phương trình vô nghiệm.

   0  25  4a  0  a 

25
.
4

Trƣờng hợp 2. Xét phương trình





x 2  xy  y 2  3  x  y   a  0  y 2   x  3 y  x 2  3x  a  0.

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Ta có    x  3  4  x2  3x  a   3  x  1  12  4a   0, với mọi a 
2

2

Hay x2  xy  y 2  3  x  y   a  0, với mọi a 
Vậy với a 

25
.
4

25
.
4

25
hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  y  0.
4













 x 3  4 y 2  m 3  4m 2
Ví dụ 5. Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình 
2
2

 y 3  4 x  m 3  4m .

Lời giải
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được



x 3 4y

2

  y 3  4x 
2

x  y
  x  y  3  4 xy   0  
 xy   3 .
4


Trƣờng hợp 1. Với x  y. Thế vào phương trình đầu





x  4 x3  3m  4m3   x  m  4 x 2  4mx  4m 2  3  0
x  m
 2
2
 4 x  4mx  4m  3  0.

 Với x  m thì phương trình có nghiệm là x  y  m.
 Với 4 x2  4mx  4m2  3  0, ta có '  12  12m2 .
- Nếu '  0  m  1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu '  0  m  1,  phương trình có nghiệm kép
1
2

1
2

+) m  1, nghiệm kép của phương trình là x   x  y  .
1
2

1
2

+) m  1, nghiệm kép của phương trình là x    x  y   .
- Nếu '  0  m  1, phương trình có hai nghiệm là
x1,2 



m  3 1  m2
2



x y



m  3 1  m 2
2



.

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


3
4

Trƣờng hợp 2. Với xy   . Thế vào phương trình đầu ta được
 3
3x  4 xy 2  m  3  4m2   3x  4    y  m  3  4m 2 
 4
1
 x  y  m  3  4m 2  .
3
1

2
 x  y  3 m  3  4m 
Ta có hệ phương trình 

 xy   3 .

4

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình t 2  m  3  4m2  t   0
1
3

Ta có



  m2 3  4m2



2

3
4

 27  0, m.

2
1
Suy ra, phương trình có hai nghiệm t1,2  m  3  4m2   m2  3  4m2   27  .

6



Từ đó, ta có nghiệm của hệ là  t1; t2  ,  t2 ; t1  .
Kết luận
- Với m  1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là



1;1 , 

 





 



1 1 1
1
1
 1

;  ,  1  26 ; 1  26  ,  1  26 ; 1  26  .
6
6
2 2 6
 6


- Với m  1, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là

 1; 1 ,  



 





 



1 1 1
1
1
 1

;   ,  1  26 ; 1  26  ,  1  26 ; 1  26  .
6
6
 2 2 6
 6


- Với m  1, hệ phương trình có ba cặp nghiệm là

 m; m ,  t1; t2  ,  t2 ; t1  .
- Với m  1, hệ phương trình có năm cặp nghiệm là

 m; m ,  x; y  ,  y; x  ,  t1; t2  , t2 ; t1  .
Ví dụ 6. Giải phương trình sau x3  1  2 3 2 x  1.
Lời giải

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Đặt u  3 2 x 1  u3  2 x  1  u3  1  2 x.
3
 x  1  2u
 3
u  1  2 x.

Khi đó, ta có hệ phương trình

Trừ vế với vế của hai phương trình của hệ ta được
x3  u 3  2u  2 x   x  u   x 2  ux  u 2  2   0  x  u.

Thế u  x vào phương trình x3  1  2u ta có
x  1
x  1  2 x   x  1 x  x  1  0  
 x  1  5 .

2



3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 1;
Ví dụ 7. Giải phương trình sau

3



2

1  5
.
2

x  9   x  3  6.
3

Lời giải
Đặt u  3  3 x  9   u  3  x  9   u  3   x  3  6  x  3   u  3  6.
3

3

3

 x  3   u  33  6

Khi đó, ta có hệ phương trình 
3
u  3   x  3  6.

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được
x  u   u  3   x  3
3

3

2
3
  x  u  1   u  3   u  3 x  3   x  3   0


 x  u.

Thế u  x vào phương trình x  3   u  3  6 ta được
3

x  3   x  3  6  x3  9 x 2  26 x  18  0
3





  x  1 x 2  8 x  18  0  x  1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x  1.

III.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Bài 1. Giải hệ phương trình

2
2

x  2 y  2x  y
 2
2

 y  2 x  2 y  x.

Đáp số:  x; y    0;0 ,  3; 3 .

Bài 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình


2 x  y 

2 y  x 


3
x
3
.
y

Đáp số:  x; y   1;1,  1; 1 ,  3;  3 ,   3; 3 .
 x3  y 2  1
Bài 3. Giải hệ phương trình  3 2
 y  x  1.

1  25 3 69 3 25 3 69
Đáp số:  x; y    0;1, 1;0  và x  y   3 


 1
3


2

2

2

2




Bài 4. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất?
a.

 x  2  2  y 2  m
 2
2
 x   y  2   m.

Đáp số: m  2.

b.


 1 x  7  y  m


 1  y  7  x  m.

Đáp số: m  4.


a3
7
x

y

0

x2


Bài 5. Cho hệ phương trình có chứa tham số a  0 sau: 
3
7 y  x  a  0

y2

Chứng minh rằng với a  0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Xét trường hợp
đối với a  0 ?
Đáp số: Hệ phương trình vẫn có nghiệm duy nhất nếu a  0 .
 x 2  my  1
2
 y  mx  1.

Bài 6. Giải và biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
Đáp số:

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Nếu m  2, phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1 , x1  ;  x2 , x2  với

-

x1,2 

m  m2  4
.

2

- Nếu m  2, phương trình vô nghiệm.
 7  x  11  y  4  4  3 10  3a
Bài 7. Tìm a để hệ phương trình 
có một nghiệm duy

 7  y  11  x  4  4  3 10  3a

nhất?
Đáp số: a  3.
Bài 8. Bằng cách đặt ẩn phụ hãy giải các phương trình sau:
1  29
.
2

a.

7  7  x  x.

Đáp số: x 

b.

1  2 1  2 x   x.

Đáp số: x  1, x 

c.

x2  2 x  2 2 x 1

Đáp số: x  2  2.

2

1 5
.
4

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!