Tài liệu Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 " pptx

86
Bài 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng:
f(x,y) 0
f(y,x) 0
=
⎧
⎨
=
⎩

2. Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:
f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0
f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0
−= −=
⎧⎧
∨
⎨⎨
=+=
⎩⎩

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Hãy xác đònh a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
23 2
23 2
yx4xax (1)
xy4yay (2)

⎧
=− +
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩

(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996)
(1) - (2):
22
(x y) x y xy 4(x y) a y x 0
⎡⎤
−++−++++=
⎣⎦

22
yxx y xy3(xy)a0⇔=∨ + + − + +=
*
32 2
xy:(1) x 5x ax0 x(x 5xa)0=⇔−+=⇔−+=
2
x0f(x)x 5xa0 (1)⇔=∨ = − +=
Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có:
0
0
f(0) 0
∆=
⎧
∨∆<

⎨
=
⎩

0
f(0) 0VN
∆=
⎧
⎨
=
⎩

25
0254a0a
4
∆< ⇔ − < ⇔ >

*
22 2 2
xyxy3(xy)a0y(x3)y(x3xa)0++− ++=⇔+− + −+=
22 2
2
(x3) 4(x 3xa) 3x 6x94a
3(x 1) (12 4a) 0
∆= − − − + =− + + −
=−−+− <


87
Khi

25
a
4
>
. Vậy khi
25
a
4
>
hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y = 0
Ví dụ 2:

Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2
2
2
a
2x y
y
(I) (a 0)
a
2y x
x
⎧
=+
⎪
⎪
≠
⎨

⎪
=+
⎪
⎩

Giải
Điều kiện x > 0, y > 0
Hệ
222
222
222
2x y y a
2x y y a
(I)
(x y)(2xy x y) 0
2y x x a
⎧
⎧
=+
=+
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
++ =
⎪
=+
⎪
⎩
⎩

322
xy
(*)
2x x a
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩

Đặt
32 2
f(x) 2x x f'(x) 6x 2x=−⇒ =− ;
1
f'(x) 0 x 0 x
3
=
⇔=∨=
Bảng biến thiên:

Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên (I)⇒ có nghiệm duy
nhất.

88
Ví dụ 3:
Đònh m để hệ phương trình:

32 2
32 2
xy7xmx
yx7ymy
⎧
=+ −
⎪
⎨
=+ −
⎪
⎩

Có nghiệm duy nhất:
Giải
Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ.
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y.
⇒
phương trình :
32 2 3 2
xx7xmx0x8xmx0−− +=⇔− +=
có
nghiệm duy nhất.
32 2
x8xmx0x(x8xm)0−+=⇔ −+= (*)
2
x0
x 8x m 0 (**)
=
⎡

⇔
⎢
−+=
⎢
⎣

Để (*) có nghiệm duy nhất
(*)⇔ có nghiệm x = 0 và (**) VN
'16m 0 m16⇔∆ = − < ⇔ >
.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
3.1. Giải hệ phương trình:
3
3
x2xy
y2yx
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩


3.2. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2
x2ym
y2xm

⎧
++ =
⎪
⎨
⎪
++ =
⎩


3.3. Giải và biện luận hệ :
22
22
x(34y)m(34m)
y(34x)m(34m)
⎧
−=−
⎪
⎨
−=−
⎪
⎩


89
Hướng dẫn và giải tóm tắt

3.1.
3
3
x2xy (1)

y2yx (2)
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩

(1) – (2):
33 22
x y x y (x y)(x y xy 1) 0− =−⇔ − + + − =
22
xy
xyxy10
=
⎡
⇔
⎢
++−=
⎢
⎣

Hệ đã cho tương đương với:
22
3
33
xy
xyxy10
(I) (II)

x2xy
xy3(xy)
⎧
=
⎧
+
+−=
⎪⎪
∨
⎨⎨
=+
⎪
+= +
⎪
⎩
⎩

Giải
x0 x 3 x 3
(I):
y0
y3 y 3
⎧⎧
== =−
⎧
⎪⎪
∨∨
⎨⎨ ⎨
=
==−

⎩
⎪⎪
⎩⎩

Giải
2
2
(x y) xy 1 0
(II):(II)
(x y) (x y) 3xy 3(x y)
⎧
+−−=
⎪
⇔
⎨
⎡⎤
+
+− =+
⎪
⎣⎦
⎩

22
2
22
s0
sp10 sp1 sxy
VN
pxy
s1p

s(s 3p) 3s s 3p 3
⎧⎧
=
⎧
−
−= = + = +
⎛⎞
⎪⎪⎪
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
⎜⎟
=
−=
⎪
⎝⎠
−= =+
⎪⎪
⎩
⎩⎩

s0 x1 x 1

p1 y1 y1
=
==−
⎧⎧ ⎧
⇔⇔ ∨
⎨⎨ ⎨
=
−=− =

⎩⎩ ⎩

Đáp Số: (0,0) ,
(3,3),(1, 1),( 1,1),( 3, 3)−− − −

3.2.
2
00
2
0000 00
x 2 y m Nếu he ä co ù nghiệm (x ,y )thì cũng có
y 2 x m nghiệm( x , y ),(y ,x ),( y , x )
⎧
++ =
⎪
⎨
⎪
++ = − − − −
⎩

Vậy điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là
00
xy0
=
= thế vào hệ ta
được
m2=
. Thử lại:
m2=

2
2
x2y 2
x2x 2
⎧
++ =
⎪
⎨
⎪
++ =
⎩


90
. Nếu
2
x2 2
x0: VN
y0
⎧
+>
⎪
≠
⎨
≥
⎪
⎩

. Nếu
2

y2 2
y0:
x0
⎧
+>
⎪
≠
⎨
≥
⎪
⎩
VN
Vậy x = y = 0 là nghiệm khi
m2= .

3.3.
22
22
x(3 4y ) m(3 4m ) (1)
y(3 4x ) m(3 4m ) (2)
⎧
−=−
⎪
⎨
−=−
⎪
⎩

(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0
TH 1: x = y :

23
(1) 4x 3x 3m 4m 0⇔−+− =
2
22
(x m)(4x 4mx 3 4m) 0
xm
4x 4m 3 4m 0 (3)
⇔− + −+ =
=
⎡
⇔
⎢
+−+=
⎣

2
'4(m 4m3)∆= − +
. m 1 m 3:≤∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm
12
x,x ⇒ hệ có 3 nghiệm.
. m 1 m 3 :=∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép:
12
m
xx
2
=
=− ⇒hệ
có 2 nghiệm.
TH 2:
3

34yx0 xy
4
+=⇔=−
.
Mặt khác (1) + (2):
22 2
3(x y) 4xy 4x y 2m(3 4m )+−−=−

2
2
(x y)(3 4xy) 2m(3 4m )
m(3 4m )
xy
3
⇔+ − = −
−
⇒+=

x,y⇒ là nghiệm phương trình:
2
2
m(3 4m ) 3
tt0
34
−
−−=

giải tương tự như trên.