Ước lượng gradient địa phương cho các hàm p điều hòa trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN VĂN SƠN

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO
CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP
RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN VĂN SƠN

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO
CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP
RIEMANN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thạc Dũng

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
Mở đầu

4

1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

7

1.1

Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA
L b1

2.1

Ước lượng chuẩn

2.2

Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các hàm p-điều

7

21

cho gradient của hàm p-điều hòa . . . . . . . 21

hòa. Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

1


Lời cám ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Thạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn
thành luận văn tốt nghiệp. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ

của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô của Viện Toán, những người đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, năm 2014

2


Danh mục ký hiệu
C∞

Tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn.

C0k

Tập hợp tất cả các hàm khả vi cấp k có giá compact.

W k,p

Không gian Sobolev chứa các hàm và các đạo hàm yếu của nó tới bậc
k có chuẩn Lp hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước.

W0k,p

Không gian định chuẩn là bao đóng của C0k trong W k,p .

k,p
Wloc

Không gian các hàm khả tích địa phương trong W k,p .

3


Mở đầu
Việc nghiên cứu các hàm điều hòa trên đa tạp Riemann là một trong những
đối tượng chính trong hình học vi phân. Việc nghiên cứu này là cần thiết vì lý
thuyết các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học và tôpô của đa tạp.
Một trong các bài toán được quan tâm trong lý thuyết này là tìm các ước lượng
gradient cho các hàm này. Trong bài báo nổi tiếng của mình, Cheng-Yau [12] đã
chứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann
như sau.
Định lý 0.1. (Cheng-Yau) Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ n-chiều với
Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ 0 là một hằng số. Giả sử u là một hàm điều hòa dương

trên hình cầu trắc địa B(o, R). Khi đó
√
|∇u|
1+R κ
sup
≤ Cn
R
B(o,R/2) u

(1)

trong đó Cn là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n.
Điều quan trọng trong ước lượng của Cheng-Yau là vế phải của Định lý 0.1
chỉ phụ thuộc vào n, κ và R.
Có hai phần chính trong chứng minh của định lý trên. Phần quan trọng đầu
tiên là công thức Bochner được sử dụng để ước lượng cận dưới của toán tử
Laplace tác động lên |∇u|2 của một hàm điều hòa u bởi các số hạng chỉ phụ
thuộc vào cận dưới của độ cong Ricci. Phần quan trọng thứ hai là một kỹ thuật
thông minh về nguyên lý cực đại. Kỹ thuật này là nhân |∇u|2 với một hàm
cut-off được xây dựng bằng cách sử dụng hàm khoảng cách. Kết quả là, bất
đẳng thức vi phân mới liên quan đến Laplace của hàm khoảng cách. Như đã
biết, hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann là Lipschitz đều và toán tử Laplace
tác động lên hàm khoảng cách có một cận trên chỉ phụ thuộc vào cận dưới của
tensor Ricci.
Cách tiếp cận của Cheng-Yau là rất hữu ích và một số kết quả quan trọng
4


của nhiều bài toán khác nhau được ảnh hưởng sâu sắc bởi định lý trên. Lấy ví
dụ, năm 1979, P.Li [4] thu được một ước lượng cận dưới chặt cho giá trị riêng
thứ nhất của toán tử Laplace trên một đa tạp, kết quả này sau đó được tổng
quát bởi Li-Yau [5]. Các kết quả tương tự cho phương trình nhiệt cũng thu được
bởi Li-Yau. Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] đã chứng minh các ước lượng
gradient cho ánh xạ điều hòa,...
Mặt khác, các hàm p-điều hòa (p > 1) được xem là mở rộng tự nhiên của các
hàm điều hòa từ quan điểm biến phân. Nó đã được nghiên cứu rộng rãi vì có
nhiều đặc trưng và ứng dụng thú vị. So với lý thuyết hàm điều hòa, các nghiên
cứu về các hàm p-điều hòa nói chung là khó khăn hơn vì phương trình này mặc
dù là elliptic, nhưng là suy biến và các kết quả về tính chính quy là yếu hơn.
Gần đây, các hàm p-điều hòa được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán
học. Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] đã thiết lập một liên hệ giữa các hàm

p-điều hòa và bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Trong một bài báo

gần đây vào năm 2009, Kotschwar và Ni [2] đã chứng minh được nhiều kết quả
cho hàm p-điều hòa, một trong số đó là một ước lượng gradient địa phương cho
các hàm p-điều hòa với giả thiết rằng độ cong nhát cắt bị chặn hạn dưới. Đáng
chú ý là hằng số trong tính toán của họ không bị tăng vọt khi p → 1, dẫn đến
kết quả thú vị về bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Phương pháp
chứng minh của họ là tương tự với phương pháp được phát triển bởi Cheng và
Yau năm 1975 cho các hàm điều hòa (tức là p = 2).
Kotschwar và Ni đã dự đoán rằng ước lượng của họ có thể giữ nguyên nếu
chỉ giả thiết về cận dưới của tensor Ricci. Năm 2011, X. D. Wang và L. Zhang
[13] đã chứng minh phỏng đoán của Kotschwar và Ni bằng cách thiết lập định
lý sau.
Định lý 0.2. Cho (M n , g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)k .
Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M . Khi đó, tồn
tại một hằng số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p và n) sao cho
Cp,n (1 +
|∇v|
≤
v
R

√
kR)

trên B(o, R/2).
Chú ý rằng khi p = 2, các hàm p-điều hòa chính là hàm điều hòa. Do đó
5

ước lượng gradient này có thể xem là tổng quát hóa của ước lượng gradient của
Cheng-Yau như đã đề cập đến trong phần đầu của lời giới thiệu.
Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định
lý kể trên của Wang-Zhang. Luận văn được viết lại dựa trên bài báo [13] và bao
gồm hai chương. Trong phần chương một, tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về
hình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. Trong chương hai,
tôi phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lý
Wang-Zhang. Trong đó, chúng ta sử dụng một phiên bản của công thức Bochner
cho hàm p-điều hòa, công thức này được sử dụng cho toán tử tuyến tính hóa
của toán tử phi tuyến ∆p và được giới thiệu trong bài báo của Kotschwar-Ni.
Nhờ công thức này, chúng ta thu được một ước lượng chuẩn trong không gian
Lb1 của grandient của hàm p-điều hòa với b1 phù hợp. Phần tiếp theo là chứng

minh một ước lượng cận trên của chuẩn sup theo chuẩn Lb1 này bằng cách sử
dụng phép lặp Moser, kết quả là chứng minh được Định lý 0.2. Tôi cũng đưa
ra chứng minh của hai kết quả liên quan đến ước lượng gradient này. Kết quả
đầu tiên là định lý kiểu Harnack và kết quả thứ hai là định lý Liouville cho hàm
p-điều hòa.

6


Chương 1

TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA
TẠP RIEMANN
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lại một vài khái niệm cơ bản của hình
học vi phân. Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm đa tạp, đa tạp trơn, định
nghĩa đa tạp Riemann. Tiếp sau đó, chúng ta xây dựng một vài phép toán cơ
bản để đưa ra định nghĩa của toán tử Laplace. Cuối cùng, chúng ta giới thiệu

khái niệm độ cong Ricci và một vài tính chất tiêu biểu của các độ cong này.

1.1

Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann

A. Đa tạp trơn
Định nghĩa 1.1. Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếm
được. Nó được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu với mọi p ∈ M , tồn tại một bộ
ba {ϕ, U, V } trong đó U là một lân cận của p trong M , V là một tập con mở của
Rn , ϕ : U → V là một đồng phôi. Một bộ ba như vậy gọi là một bản đồ tại p.
Hai bản đồ {ϕ1 , U1 , V1 } và {ϕ2 , U2 , V2 } được gọi là tương thích nếu hàm chuyển
ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 )

là một đồng phôi. Chú ý rằng các tập ảnh ϕ1 (U1 ∩ U2 ), ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là các tập mở
thuộc Rn .
Định nghĩa 1.2. Một tập A = {ϕα , Uα , Vα } trên M được gọi là một tập bản đồ
nếu các bản đồ của A đều tương thích với nhau và

α Uα

= M . Hai tập bản đồ

trên M được gọi là tương đương nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ trên
M.
7


Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n-chiều M là một đa tạp tôpô n-chiều được

trang bị một lớp tương đương các tập bản đồ sao cho các hàm chuyển là các hàm
trơn. Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc
trơn trên M .
Ví dụ 1.4. Một vài đa tạp trơn cùng với cấu trúc trơn
• Rn là một đa tạp trơn.
• Một tập con mở của đa tạp trơn cũng là một đa tạp trơn.

Ví dụ 1.5. Hình cầu S n = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + · · · + x2n+1 = 1} là một đa
tạp trơn. Cho U1 = S n − {(0, · · · , 0, 1)} và U2 = S n − {(0, · · · , 0, −1)}, ta xét các
phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi
ϕ1 (x) =

1
(x1 , · · · , xn )
1 − xn+1

ϕ2 (x) =

1
(x1 , · · · , xn ).
1 + xn+1

Khi đó {ϕ1 , U1 , Rn }, {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành tập bản đồ trên S n . Có thể tính toán
trực tiếp rằng ánh xạ chuyển ϕ12 là ánh xạ trơn. Do đó, hình cầu là một đa tạp
trơn.
Định nghĩa 1.6. Một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn được gọi là trơn
nếu với mỗi bản đồ {ϕα , Uα , Vα } bất kì của M và {ψβ , Xβ , Yβ } bất kì của N , khi
đó ánh xạ
−1
ψ ◦ f ◦ ϕ−1

(Xβ )) → ψβ (f (Uα ) ∩ Xβ )
α : ϕα (Uα ∩ f

là trơn. Ta nói rằng f : M → N là một vi phôi nếu nó là song ánh và f, f −1 đều
là các ánh xạ trơn.
Khi N = R, ta sẽ gọi f là một hàm trơn giá trị thực. Tập hợp tất cả các hàm
trơn giá trị thực trên M được kí hiệu là C ∞ (M ).
Bất kỳ ánh xạ trơn f : M → N đều cảm sinh một ánh xạ kéo-lùi
f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ), g → g ◦ f.

B. Vectơ tiếp xúc
Cho M là một đa tạp trơn n-chiều.
Định nghĩa 1.7. Một vectơ tiếp xúc tại một điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến
tính Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz
Xp (f g) = f (p)Xp (g) + Xp (f )g(p).
8


Ở đây U là một lân cận của p như trong Định nghĩa 1.1.
Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian vectơ
và được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là Tp M . Không
gian đối ngẫu của Tp M được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và ký
hiệu là Tp∗ M . Cả hai không gian Tp M và Tp∗ M đều là không gian vectơ n-chiều.
Hơn nữa, người ta đã chỉ ra rằng cho {ϕ, U, V } là một bản đồ tại p với ϕ(p) = 0.
Khi đó các ánh xạ
∂i : C ∞ (U ) → R,

f→

∂f ◦ ϕ−1

(0),
∂xi

i = 1, 2, · · · , n

là các vectơ tiếp xúc tại p. Chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của
Tp M . Để mô tả không gian đối tiếp xúc Tp∗ M , chúng ta cần đưa ra định nghĩa

sau.
Định nghĩa 1.8. Cho f : M → N là một ánh xạ trơn. Khi đó, với mỗi p ∈ M ,
vi phân của f là một ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N được định nghĩa bởi
dfp (Xp )(g) = Xp (g ◦ f ),

∀Xp ∈ Tp M, ∀g ∈ C ∞ (N ).

Trong trường hợp đặc biệt, f : M → R là một ánh xạ trơn, chúng ta có thể
nhận biết Tf (p) R như với R.
Khi đó ta có
Xp (f ) = dfp (Xp ).

Nói cách khác, dfp ∈ Tp∗ M là một vectơ đối tiếp xúc tại p.
Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương tại p. Từ bây giờ, chúng ta sẽ viết
ϕ = (x1 , · · · , xn ) với mỗi xk là một hàm tọa độ thứ k trên U và ký hiệu bởi
{U, x1 , · · · , xn }. Khi đó, cơ sở đối ngẫu của {∂1 , · · · , ∂n } trong Tp∗ M là {dx1p , · · · , dxnp }

và
dfp = (∂1 f )dx1p + · · · + (∂n f )dxnp .

Quy ước tổng Einstein: Nếu trong một biểu thức xuất hiện chỉ số trên và chỉ
số dưới tương tự nhau, khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng của tất cả các giá

trị có thể có của chỉ số đó (thường là từ 1 đến số chiều). Vì vậy, biểu thức trên
có thể viết lại thành dfp = ∂k f dxkp .

9


Định nghĩa 1.9. Một trường vectơ X trên đa tạp trơn M là một phép tương
ứng mỗi điểm p ∈ M với một vectơ tiếp xúc Xp ∈ Tp M . Nó được gọi là trơn nếu
với mỗi f ∈ C ∞ (M ), hàm
Xf (p) = Xp (f )

là trơn trên M . Tập hợp các trường vectơ trơn trên M ký hiệu là Γ∞ (T M ).
C. Phân thớ vectơ
Định nghĩa 1.10. Cho E, M là các đa tạp trơn và π : E → M là một toàn ánh
trơn. Chúng ta nói rằng (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mọi
p ∈ M,

1. Ep = π −1 (p) là một không gian vectơ k -chiều.
2. Tồn tại một lân cận mở U của p và vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk sao cho
ΦU (π −1 (p)) = {p} × Rk .

3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V , và ΦU , ΦV là các vi phôi xác định như
trên, khi đó ánh xạ
k
k
gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1
V : {p} × R → {p} × R

là tuyến tính và phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V
Chúng ta thường gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, π −1 (p) là một thớ trên

p, và ΦU là tầm thường địa phương. Một phân thớ vectơ hạng một thường được

gọi là phân thớ đường thẳng.
Ví dụ 1.11. Ta đặt T M = ∪p Tp M là hợp rời của các không gian vectơ tiếp xúc.
Khi đó, với ánh xạ chiếu
π : T M → M, (p, Xp ) → p,
T M là một phân thớ vectơ hạng n trên M . Chúng ta sẽ gọi T M là phân thớ

vectơ tiếp xúc trên M . Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M cho bởi
T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn

trong đó {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M .
Ví dụ 1.12. Phân thớ vectơ T ∗ M = ∪p Tp∗ M cũng là một phân thớ vectơ hạng
n trên M . Nó là phân thớ đối ngẫu của T M .
10


Bây giờ, cho (π1 , E1 , M ) và (π2 , E2 , M ) là hai phân thớ vectơ hạng k1 , k2 trên
M . Chúng ta xác định phân thớ từ tensor (π1 ⊗ π2 , E1 ⊗ E2 , M ) là phân thớ vectơ

có hạng k1 k2 trên M với thớ sau
(π1 ⊗ π2 )−1 (p) = (E1 )p ⊗ (E2 )p = span{ei1 ⊗ ej2 },

trong đó ei1 , ej2 tương ứng là cơ sở của (E1 )p và (E2 )p , ei1 ⊗ ej2 có thể coi như một
ánh xạ song tuyến tính
ei1 ⊗ ej2 : E1∗ × E2∗ → R,

(v1 , v2 ) → ei1 (v1 )ej2 (v2 ).

Định nghĩa 1.13. Một lát cắt trơn của phân thớ vectơ (π, E, M ) là một ánh xạ

trơn s : M → E thỏa mãn π ◦ s = IdM . Tập hợp các lát cắt trơn của E được ký
hiệu là Γ∞ (E).
D. Gradient
Định nghĩa 1.14. Cho M là một đa tạp trơn n-chiều. Một metric Riemann g
trên đa tạp M là một ánh xạ cho tương ứng với mỗi p ∈ M , một tích vô hướng
gp (., .) = ., .

p

trên Tp M mà phụ thuộc trơn vào p. Cặp (M, g) khi đó được gọi là

một đa tạp Riemann. Người ta thường ký hiệu g(., .) = ., . .
Ví dụ, tích vô hướng chuẩn tắc trên Rn định nghĩa một metric Riemann g0 trên
Rn với g0 = ei , ej = δij .
Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau:
Cho U, x1 , . . . , xm là một hệ tọa độ địa phương và {∂1 , . . . , ∂m } là trường véctơ
tọa độ tương ứng. Ta ký hiệu:
gij (p) = ∂i , ∂j

p

Với bất kỳ véctơ trơn X = X i ∂i và Y = Y j ∂j trên U ta có
Xp , Yp

p

= X i (p)Y j (p) ∂i , ∂j

p

= gij (p)X i (p)Y j (p)

Ta có thể viết g = gij dxi ⊗ dxj , hoặc gọn hơn là g = gij dxi dxj .
Dễ thấy, gij có các tính chất sau
• gij (p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j .
• gij = gji , ma trận (gij (p)) là đối xứng với mọi p.
• Ma trận (gij (p)) xác định dương với mọi p.
11


Chú ý rằng, ma trận (gij ) không suy biến và ta ký hiệu (g ij ) là ma trận nghịch
đảo của (gij ).
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Ta có một phép đẳng cấu giữa các trường
vectơ trên M và các dạng vi phân trên M
: Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T ∗ M ),

(X)(Y ) := g(X, Y ).

Trong tọa độ địa phương, nếu ta ký hiệu X = X i ∂i và cho Y = ∂j với mỗi j ta có
(X)(∂j ) = g(X, ∂j ) = gij X i .

Vì vậy
(X i ∂i ) = gij X i dxj

bởi : Γ∞ (T ∗ M ) → Γ∞ (T M ). Khi đó

Ta ký hiệu ánh xạ ngược của

(wi dxi ) = g ij wi ∂j ,

với (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ) ,

và

xác định theo từng điểm và

cảm sinh trên T ∗ M một tích vô hướng
w, w

p

:= gp ( w, w ).

Giả sử f là một hàm trơn trên M . Khi đó df là một dạng vi phân trên M .
Định nghĩa 1.15. Vectơ gradient của f là ∇f = (df ).
Định nghĩa trên là tương đương với mọi X ∈ Γ(T M )
g(∇f, X) = Xf.

Trong tọa độ địa phương, ta có
∇f = g ij ∂i f ∂j .

E. Toán tử divergence
Giả sử X là một trường vectơ trơn trên M . xét hệ tọa độ (U, x1 , · · · , xn ) trên M ,
phần tử
dVol =

√

Gdx1 ∧ · · · ∧ dxn

là một dạng vi phân dương trên U , trong đó G = det(gij ) và dx1 ∧ · · · ∧ dxn là độ
đo Lebesgue trên Rn .
Cho w là một n-dạng vi phân w = f dx1 ∧ ... ∧ dxn , xét ánh xạ
ιX : ∧n (M ) → ∧n−1 (M ).
12


xác định bởi
(ιX w)(Y1 , . . . Yn−1 ) = w(X, Y1 , . . . , Yn−1 )p

với Y1 , . . . Yn−1 ∈ Tp M với mọi p ∈ M .
Định nghĩa 1.16. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa
bởi
(divX)dV ol = d {ιX dV ol} .
n

Giả sử X =

X i ∂i , dễ dàng tính toán được,

i=1

(ιX dV ol)(Y1 , ..., Yn−1 )
X 1 dx1 (Y1 ) · · ·

dx1 (Yn−1 )

√
X 2 dx2 (Y1 ) · · · dx2 (Yn−1 )
= G .

..
..
...
..
.
.
X n dxn (Y1 ) · · ·


√  1
= G
X

dx2 (Y1 )

..
.

dxn (Yn−1 )

···

dx2 (Y

...

..
.

dxn (Y1 ) · · ·

dx1 (Y

n−1 )

..
.

− X2

dxn (Yn−1 )

1)

···

dx1 (Y

...

..
.

dxn (Y1 ) · · ·

n−1 )

dxn (Yn−1 )





+ ...


√
= X i G(−1)i−1 dx1 ∧ ...dxi ... ∧ dxn (Y1 , · · · Yn−1 ).

Do đó
√
√
(divX)dV ol = d{X i G(−1)i−1 dx1 ∧ ...dxi ... ∧ dxn } = ∂i (X i G)dx1 ∧ ... ∧ dxn .

Vậy
√
1
divX = √ ∂i (X i G).
G

Trên đa tạp Riemann (M, g), ta có định lý divergence sau đây.
Định lý 1.17. (xem [14, 15]) Cho X là một trường vectơ trơn với giá compact
trên đa tạp Riemann (M, g), khi đó
div(X)dV ol = 0.
M

F. Toán tử Laplace
Cho hàm trơn f trên đa tạp Riemann (M, g), toán tử Laplace trên M được xác
định bởi
∆f = div(∇f ),
13

nghĩa là

√
1
∆f = div(g ij ∂i f ∂j ) = √ ∂i ( Gg ij ∂j f ).
G

Toán tử Laplace có thể viết gọn lại như sau
√
1
∆ = √ ∂i ( Gg ij ∂j ).
G

Từ định lý divergence ta có thể dễ dàng chứng minh định lý sau.
Định lý 1.18. (Công thức Green I)
Giả sử f và h là các hàm trơn trên M , có giá compact. Khi đó
f ∆hdV ol = −
M

g(∇f, ∇h)dV ol =

h∆f dV ol.

M

M

Cho Cc0 (M ) là không gian các hàm liên tục, có giá compact trên M .

Định nghĩa 1.19. Với mọi 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa chuẩn Lp trên không gian
Cc∞ như sau

1/p

f

p

|f | dV ol

Lp =

.

M

Không gian Cc0 (M ) cùng với chuẩn Lp trên lập thành không gian Lp (M ).
Trong trường hợp p = 2, ta có định nghĩa tích vô hướng trên L2 (M )
f1 , f2

L2

:=

f1 f2 dV ol.
M

Bổ đề 1.20. Với M compact, toán tử Laplace ∆ là toán tử tự liên hợp trên
L2 (M ).

Bổ đề 1.21. Với mọi f ∈ Cc∞ (M ),

1.2

M

∆f dV ol = 0.

Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita

A. Liên thông tuyến tính
Cho M là một đa tạp trơn.
Định nghĩa 1.22. Một liên thông tuyến tính ∇ trên M là một ánh xạ song
tuyến tính
∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T M ),

(X, Y ) → ∇X Y

thỏa mãn với mọi X, Y ∈ Γ∞ (T M ) và với mọi f ∈ C ∞ (M )
14


• ∇f X Y = f ∇X Y .
• ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y .

Trường vectơ ∇X Y được gọi là đạo hàm hiệp biến của Y theo X (đối với liên
thông ∇).
Ví dụ 1.23. Cho M = Rm . Khi đó, đạo hàm theo hướng cho ta một liên thông
tuyến tính. Chính xác hơn, nếu X = X i ∂i và Y = Y j ∂j , khi đó ta có

∇X Y = ∇X i ∂i (Y j ∂j ) = X i ∂i (Y j )∂j .

B. Liên thông Affine
Định nghĩa 1.24. Một liên thông Affine ∇ trên M là một ánh xạ tuyến tính
∇ : Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T ∗ M ⊗ T M ).

thỏa mãn điều kiện, với mọi X ∈ Γ∞ (T M ) và với mọi f ∈ C ∞ (M )
∇(f X) = df ⊗ X + f ∇X.

Sử dụng tính chất đối ngẫu của cặp T ∗ M và T M , ∇ tạo ra một ánh xạ (vẫn
ký hiệu là ∇)
∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T M )

thỏa mãn với bất kỳ X, Y ∈ Γ∞ (T M )
∇X Y = X, ∇Y ∈ Γ∞ (T M )

trong đó ·, · được định nghĩa để sao cho X, ω ⊗ Y = ω(X)Y .
Sử dụng liên thông Affine để có thể xác định toán tử độ cong sau
R(X, Y ) := ∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] : Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T M ),

trong đó [X, Y ] = XY − Y X .
C. Liên thông Levi-Civita
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Nhắc lại rằng một liên thông tuyến tính ∇
là tương thích với metric g nếu ∇g = 0, nghĩa là với mọi X, Y, Z ∈ Γ(T M ),
∇X Y, Z = ∇X Y, Z + Y, ∇X Z .
15


Cho ∇ là một liên thông tuyến tính trên M . Ta nhận thấy
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]

là một (1, 2) − tensor, nghĩa là T (f X, Y ) = f T (X, Y ) và T (X, f Y ) = f T (X, Y )
Định nghĩa 1.25. Chúng ta gọi T là tensor xoắn của ∇. Nếu T = 0, chúng ta
gọi ∇ là liên thông xoắn tự do, hay là một liên thông đối xứng.
Cho (U, x1 , · · · , xm ) là một bản đồ địa phương, khi đó tồn tại hàm Γkij trên U
thỏa mãn
∇∂i ∂j = Γkij ∂k .

Hàm Γkij được gọi là ký hiệu Christoffel của ∇ đối với bản đồ trên.
Mệnh đề 1.26. ∇ là một liên thông xoắn tự do nếu và chỉ nếu Γkij = Γkji với
mọi i, j .
Chứng minh. Nếu ∇ là một xoắn tự do, khi đó với i, j bất kỳ
T (∂i , ∂j ) = ∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i − [∂i , ∂j ] = Γkij ∂k − Γkji ∂k = 0.

Do đó, Γkij = Γkji .
Ngược lại, nếu Γkij = Γkji , khi đó ta suy ra T (∂i , ∂j ) = 0. Từ T là một tensor,
chúng ta kết luận T (X, Y ) = 0 với mọi X, Y . Vậy ∇ là một xoắn tự do.
Nhận xét 1.27. Đặc biệt, chúng ta thấy rằng điều kiện đối xứng "Γkij = Γkji
với mọi i, j " là độc lập với việc chọn tọa độ địa phương.
Bây giờ, giả sử (M, g) là một đa tạp Riemann.
Định nghĩa 1.28. Một liên thông ∇ trên M được gọi là một liên thông LeviCivita (còn gọi là liên thông Riemann) nếu nó là một xoắn tự do và tương thích
với g .
Định lý 1.29 (Định lý cơ bản của hình học Riemann). Trên mỗi đa tạp Riemann
(M, g), có duy nhất một liên thông Levi-Civita.

Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta giả sử rằng tồn tại liên thông Levi-Civita. Khi

16

đó
∇X Y, Z = X( Y, Z ) − Y, ∇X Z
= X( Y, Z ) − Y, ∇Z X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + ∇Z Y, X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + ∇Y Z, X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X )
− Z, ∇Y X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X ) − Z, ∇X Y
− Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] .

Từ đó suy ra ∇X Y phải là một vectơ thỏa mãn
2 ∇X Y, Z = X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X )
− Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] , ∀Z

Tính duy nhất được chứng minh.
Để chứng minh sự tồn tại, chỉ cần kiểm tra ∇X Y được xác định theo công thức
trên có thỏa mãn các điều kiện liên thông Levi-Civita. Rõ ràng, đây là một liên
thông tuyến tính, tương thích với metric g trên M . Để chứng minh là một xoắn
tự do, chúng ta lấy X = ∂i , Y = ∂j , Z = ∂k . Sau đó đồng nhất với đẳng thức trên
ta được
2Γlij glk = ∂i gjk − ∂k gij + ∂j gki .

Nói cách khác
2Γlij = g lk (∂j gki + ∂i gjk − ∂k gij ).

Vậy, liên thông Levi-Civita là liên thông tuyến tính đối xứng duy nhất tương
thích với g .

1.3

Tensor độ cong, độ cong Ricci

Cho (M, g) là một đa tạp Riemann với ∇ là liên thông Levi-Civita. Ta xác định
một ánh xạ
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ),
17

(X, Y, Z) → R(X, Y )Z


bởi công thức
R(X, Y )Z := −∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z.

Bổ đề 1.30. R là một trường C ∞ tensor kiểu (1, 3)
Chứng minh. Rõ ràng, R là tuyến tính với mỗi biến. Hơn nữa, với bất kỳ f ∈
C ∞ (M )
R(f X, Y )Z = −f ∇X ∇Y Z + ∇Y (f ∇X Z) + ∇(f X)Y −Y (f X) Z
= f (−∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z) + (Y f )∇X Z − (Y f )∇X Z
= f R(X, Y )Z.

Tương tự, ta có
R(X, f Y )Z = R(X, Y )(f Z) = f R(X, Y )Z.

R(X, Y )Z(p) chỉ phụ thuộc vào Xp , Yp , Zp . Các ánh xạ sau đây cũng tương tự

như vậy, được ký hiệu là R.
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → R,

cho bởi
R(X, Y, Z, W ) = g(R(X, Y )Z, W )

là một trường C ∞ tensor kiểu (0, 4).
Định nghĩa 1.31. Cả hai tensor R trên được gọi là tensor độ cong của (M, g).
l ∂ . Khi
Tại mỗi bản đồ địa phương chúng ta có thể biểu thị R(∂i , ∂j )∂k ) = Rijk
l

đó với các trường vectơ X, Y, Z tùy ý, ta có
l
R(X, Y )Z = X i Y j Z k Rijk
∂l .

Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết ra các thành phần của tensor R kiểu
(0, 4)
s
Rijkl = g(R(∂i , ∂j )∂k , ∂l ) = gsl Rijk
.

Mệnh đề 1.32. Tensor độ cong R có các tính chất sau
18


(a) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z .
(b) (Đồng nhất thức Bianchi thứ nhất) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.
(c) R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z).
(d) R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ).
Chứng minh. .
(a) Dễ dàng thấy được
R(X, Y )Z = −∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z
= −(−∇Y ∇X Z + ∇X ∇Y Z + ∇[Y,X] Z)

= −R(Y, X)Z.
(b) Ta có
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y
= ∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z − ∇Y ∇Z X + ∇Z ∇Y X + ∇[Y,Z] X
− ∇Z ∇X Y + ∇X ∇Z Y + ∇[Z,X] Y
= −∇X [Y, Z] − ∇Y [Z, X] − ∇Z [X, Y ] + ∇[X,Y ] Z + ∇[Y,Z] X + ∇[Z,X] Y
= −[X, [Y, Z]] − [Y, [Z, X]] − [Z, [X, Y ]]
= 0.
(c) Ta có
X(Y ( Z, W )) = X( ∇Y Z, W + Z, ∇Y W )
= ∇X ∇Y Z, W + ∇Y Z, ∇X W + ∇X Z, ∇Y W + Z, ∇X ∇Y W .

Tương tự như vậy, ta có
Y (X( Z, W )) = ∇Y ∇X Z, W + ∇X Z, ∇Y W + ∇Y Z, ∇X W + Z, ∇Y ∇X W .

Hơn nữa, ta lại có
[X, Y ]( Z, W ) = ∇[X,Y ] Z, W + Z, ∇[X,Y ] W

Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai và áp dụng phương
trình thứ ba ta thu được
0 = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z, W + Z, ∇X ∇Y W − ∇Y ∇X W − ∇[X,Y ] W
= R(X, Y, Z, W ) − R(X, Y, W, Z).
19


Ta suy ra (c).
(d) Từ (b) ta có
R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0
R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(W, Y, Z, X) = 0
R(Z, W, X, Y ) + R(W, X, Z, Y ) + R(X, Z, W, Y ) = 0

R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) = 0.

Cộng hai vế lại và sử dụng (a), (c), ta suy ra
R(Z, X, Y, W ) + R(W, Y, Z, X) = 0.

Nhận xét 1.33. Sử dụng tọa độ địa phương, các đồng nhất thức trên có thể
viết lại thành
l
l
(hoặc Rijkl = −Rjikl ).
= −Rjik
(a) Rijk
l + Rl + Rl
(b) Rijk
jki
kij = 0 (hoặc Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0).

(c) Rijkl = −Rijlk .
(d) Rijkl = Rklij .
Định nghĩa 1.34. (Độ cong Ricci) Ánh xạ
Ricp (Xp , Yp ) := T r(Zp → R(Xp , Zp )Yp ),

xác định một tensor kiểu (0, 2), được gọi là tensor Ricci.
Chọn một cơ sở trực chuẩn {ei } của Tp M . Khi đó
Ricp (Xp , Yp ) =

R(Xp , er , Yp , er ).
r

Đặc biệt, chúng ta thấy rằng tensor Ricci là tensor đối xứng kiểu (0, 2).

Ric(X, Y ) = Ric(Y, X).

20


Chương 2

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO
CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA
Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh một ước lượng gradient cho các hàm
p-điều hòa dương trên một đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới đồng

thời đưa ra hai áp dụng của kết quả này. Áp dụng thứ nhất là một định lý dạng
Harnack và áp dụng thứ hai là một định lý kiểu Liouville cho các hàm p-điều
hòa dương. Trong mục đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng các công thức tính toán
liên quan đến tích phân của hàm p-điều hòa dương, công thức này được trình
bày trong Bổ đề 2.5. Nhờ bổ đề này chúng ta chứng minh được một ước lượng
cho chuẩn Lb1 của hàm p-điều hòa dương trong Bổ đề 2.7. Trong mục 2, chúng
ta sẽ sử dụng phương pháp lặp Moser để ước lượng chuẩn sup của hàm p-điều
hòa thông qua chuẩn Lb1 xét trong Bổ đề 2.7. Các định lý Harnack và Liouville
cũng lần lượt được chứng minh trong mục này.

2.1

Ước lượng chuẩn Lb1 cho gradient của hàm p-điều hòa

Cho (M, g ) là một đa tạp Riemann và Ω ⊂ M là một tập mở. Một hàm v ∈
1,p
Wloc
(Ω) là p-điều hòa nếu

∆p v := div |∇v|p−2 ∇v = 0

theo nghĩa yếu, tức là với mọi tập mở U ∈ Ω
|∇v|p−2 ∇v, ∇ξ = 0
U

với mọi ξ ∈ Wo1,p (Ω). Ta có bổ đề tính toán đơn giản sau.

21


Bổ đề 2.1. Nếu v là một hàm p-điều hòa dương. Đặt u = −(p − 1)logv . Khi đó
u thỏa mãn phương trình
div |∇u|p−2 · ∇u = |∇u|p .

Chứng minh. Từ định nghĩa hàm u ta có
∇u =

−(p − 1)
· ∇v.
v

Dễ dàng thấy rằng
|∇u| = (p − 1) ·

|∇v|
.
v

Trong trường hợp v là hàm trơn đến cấp hai, ta chứng minh trực tiếp như sau.
∇|∇u|p−2 = ∇

(p − 1)p−2 ·

= (p − 1)
=

p−2

·

|∇v|
v

p−2

v p−2 · ∇ |∇v|p−2 − |∇v|p−2 · (p − 2) · v p−3 · ∇v
v 2(p−2)

(p − 1)p−2
· v · ∇ |∇v|p−2 − (p − 2) · |∇v|p−2 · ∇v .
p−1
v

Từ đó, ta tính được
∇|∇u|p−2 · ∇u =

−(p − 1)p−1
· v · ∇ |∇v|p−2 · ∇v − (p − 2) · |∇v|p−2 · |∇v|2 .

vp

Mặc khác,
v · ∆v − |∇v|2
v2

∆u = −(p − 1) ·
=

−(p − 1)
· v · ∆v − |∇v|2 .
v2

Nhân cả hai vế của biểu thức trên với hàm h = |∇u|p−2 , ta nhận được
h · ∆u =

−(p − 1)p−1
· |∇v|p−2 · v · ∆v − |∇v|2 .
p
v

Từ các tính toán ở trên và áp dụng công thức cơ bản
div (h · ∇u) = ∇h · ∇u + h · ∆u,

22


ta có
div |∇u|p−2 · ∇u =∇|∇u|p−2 · ∇u + |∇u|p−2 · ∆u
−(p − 1)p−1

· v · ∇ |∇v|p−2 · ∇v − (p − 2) · |∇v|p−2 · |∇v|2
p
v
−(p − 1)p−1
+
· |∇v|p−2 · v · ∆v − |∇v|2
vp
−(p − 1)p−1
=
· v · ∇ |∇v|p−2 · ∇v + |∇v|p−2 · ∆v
vp
(p − 1)p−1
+
· (p − 2) · |∇v|p−2 · |∇v|2 + |∇v|p−2 · |∇v|2 .
p
v
=

Chú ý rằng do v là một hàm p-điều hòa nên v thỏa mãn
div |∇v|p−2 ∇v = 0,

điều này tương đương với,
∇ |∇v|p−2 · ∇v + |∇v|p−2 · ∆v = 0.

Do đó
(p − 1)p−1
· (p − 2) · |∇v|p−2 · |∇v|2 + |∇v|p−2 · |∇v|2
vp
(p − 1)p
=

· |∇v|p = |∇u|p .
p
v

div |∇u|p−2 · ∇u =

Trong trường hợp v không khả vi đến cấp hai, v là hàm p-điều hòa theo nghĩa
yếu, ta cần chứng minh rằng với mọi ϕ ∈ C0∞ (M ), ta có
div |∇u|p−2 · ∇u φ =
M

|∇u|p φ. (theo nghĩa yếu)
M

Theo Định lý 1.18, ta cần chứng minh
|∇u|p−2 ∇u, ∇φ =

−
M

|∇u|p φ.
M

Ta có các tính toán sau
|∇u|p−2 ∇u, ∇φ = −

−
M

(p − 1)p−2

M

|∇v|p−2 p − 1
−
∇v, ∇φ
v p−2
v

|∇v|p−2 ∇v, v −(p−1) ∇φ

= (p − 1)p−1
M

|∇v|p−2 ∇v, ∇(v −(p−1) φ)

= (p − 1)p−1
M

|∇v|p−1 ∇v, φ∇(v −(p−1) ) .

− (p − 1)p−1
M

23

(a)