Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẠNH

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI
TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội - 2014


Lời cám ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Thạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành
luận văn thạc sỹ. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy
giáo, cô giáo trong bộ môn Toán giải tích, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại
học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo
sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học tự
nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luôn bên
tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện luận văn của mình.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian
thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong

nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn.

Hà Nội, năm 2014

2


Mục lục
Mở đầu

4

1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
1.1

7

Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . 14

1.1.3

Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

21

2.1

Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨odinger với hàm thế vị h(x, t) 21

2.2

Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

40

3

Mở đầu
Trong hình học vi phân, việc nghiên cứu các hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng
bởi vì không gian các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ tới hình học, topo của đa tạp.
Các hàm điều hòa là nghiệm của một phương trình elliptic ∆u = 0. Nhờ việc nghiên
cứu không gian các hàm điều hòa, người ta thấy được vai trò của giải tích trên đa
tạp trong các bài toán quan trọng liên quan đến topo, hình học. Chính vì vậy, không
gian các hàm điều hòa được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học lớn.
Chẳng hạn, năm 1975, Cheng và Yau đã thu được ước lượng gradient cho hàm điều
hòa (Xem tài liệu [8]). Nhờ các ước lượng gradient này người ta chứng minh được tính
chất Liouville, bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa. Bên cạnh việc nghiên cứu
phương trình elliptic, người ta cũng phát triển và nghiên cứu phương trình parabolic
trên đa tạp. Phương pháp parabolic cũng tỏ ra đặc biệt hữu dụng trong việc chứng
minh các tính chất cơ bản của hàm điều hòa. Trong tài liệu [4], đối với phương trình
nhiệt parabolic ut = ∆u, (Ở đây chỉ số t bên dưới chỉ ký hiệu của phép lấy vi phân
riêng theo t, ∆ là toán tử Laplace trên đa tạp M ), Li và Yau đã thu được ước lượng
gradient như sau
Định lý 0.1. (Li - Yau) Cho M là một đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn
dưới bởi −K , K

0. Giả sử u là một nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆u

trong B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ], khi đó với ∀α > 1, ta có
ut
|∇u|2
−
α
u2
u

C

nα2
nα2
√
+
+
K,
R2
2T
2(α − 1)

(1)

trên B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ]. Ở đây ∇ là toán tử gradient trên M và hằng số dương C
chỉ phụ thuộc vào số chiều n.
Mặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của Perelman về các gradient Ricci soliton để
chứng minh giả thuyết Poincare, người ta đặc biệt quan tâm đến các không gian đo
metric trơn. Không gian đo metric trơn là một đa tạp Riemann (M, g) với một hàm
trọng trơn φ sao cho metric eφ dv là metric đầy. Ở đây dv là dạng thể tích sinh bởi
4


metric g ban đầu. Các gradient Ricci soliton chính là các trường hợp đặc biệt của các
không gian độ đo metric trơn. Toán tử Laplace được mở rộng một cách tự nhiên lên
không gian này thành toán tử ∆u + ∇φ, ∇u và độ cong Ricci được thay thế bởi độ
cong Bakry-Émery m chiều như sau
Ric := Ric − ∇2 φ −

1
∇φ ⊗ ∇φ, m ≥ n,
m−n

trong đó m = n nếu và chỉ nếu φ = 0. Năm 2005, Li Xiangdong [9] đã nghiên cứu
phương trình nhiệt tổng quát trên các không gian đo metric trơn và đã mở rộng các
kết quả của Li-Yau lên không gian này. Li đã xét phương trình nhiệt
ut = ∆u + ∇φ, ∇u .

Giả thiết rằng độ cong Bakry-Émery m chiều bị chặn dưới bởi
−K,

Ric

X. D. Li đã thu được ước lượng gradient như sau
|∇u|2
ut
−α
2
u
u

C
mα2
mα2
√
+
+
K.
R2
2T
2(α − 1)

(2)

Bằng cách sử dụng (2), người ta nhận được bất đẳng thức Harnack dưới đây
u(x1 , t1 )

u(x2 , t2 )

t2
t1

( nα
)
2

exp

nαK
αρ2 (x1 , x2 )
+√
(t2 − t1 ) ,
4(t2 − t1 )
2(α − 1)

với ∀x1 , x2 ∈ M , ρ(x1 , x2 ) chỉ khoảng cách trắc địa giữa x1 và x2 , và 0 < t1 < t2 < +∞.
Lưu ý rằng từ dạng này của bất đẳng thức Harnack, người ta chỉ có thể so sánh
nghiệm ở các thời điểm khác nhau. Tuy nhiên, trong tài liệu [7], Hamilton đã thu
được ước lượng gradient dạng elliptic trên đa tạp compac. Với ước lượng đó, ta có thể
so sánh nghiệm của hai điểm khác nhau cùng lúc. Ước lượng gradient của Hamilton
được phát biểu như sau.
Định lý 0.2. (Hamilton) Cho M là một đa tạp compact không có biên với điều kiện

độ cong Ricci bị chặn bởi - K, K
trình ut = ∆u với u

0. Giả sử u là nghiệm dương bất kỳ của phương

C và ∀(x, t) ∈ M × (0, +∞) thì
|∇u|2
u2

1
C
+ 2K ln .
t
u

(3)

Sau đó, Souplet và Zhang đã tổng quát hóa ước lượng gradient trên đa tạp không
compact (Xem tài liệu [5]) như sau
5


Định lý 0.3. (Souplet - Zhang) Cho M là một đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị
chặn dưới bởi - K, K

0. Giả sử u là nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆u

trong Q2R,2T ≡ B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ] và u
|∇u|
u

C1

C trong Q2R,2T . Khi đó
√
1
C
1
1 + ln
+ 1 + K
,
R T2
u

(4)

trong Q2R,2T . Hằng số C1 chỉ phụ thuộc vào số chiều n, khi n → ∞ thì C1 → ∞.
Lưu ý rằng ước lượng (4) ở trên là ước lượng gradient địa phương. Cho R → ∞,
ta thu được ước lượng gradient toàn cục sau đây
|∇u|
u

C1

1
T

1
2

+

√
K

1 + ln

C
u

.

(5)

Trong ước lượng (5), hằng số C1 phụ thuộc vào số chiều n, ngoài ra C1 sẽ dần tới vô
cùng khi n dần tới vô cùng, do đó ước lượng gradient này không áp dụng được cho
đa tạp vô hạn chiều. Tuy nhiên, ước lượng gradient (3) của Halminton thì không phụ
thuộc vào số chiều n.
Trong luận văn của mình, chúng tôi sẽ nghiên cứu các ước lượng gradient cho một
phương trình tổng quát hơn. Đó là phương trình Schr¨odinger với hàm thế vị h(x, t)
ut = ∆u + ∇φ, ∇u + hu.

Chúng tôi sẽ chứng minh các ước lượng gradient cho nghiệm của phương trình trên
cho hai trường hợp h là hàm không dương và h là hàm không âm. Với ước lượng
gradient thu được chúng tôi cũng có thể chứng minh được các bất đẳng thức Harnark
và chứng minh được tính chất Liouville cho hàm φ-điều hòa. Các kết quả này có thể
xem là sự mở rộng các kết quả cổ điển của Li-Yau.
Luận văn bao gồm có hai chương. Trong chương một, chúng tôi nhắc lại các khái
niệm cơ bản của hình học vi phân. Các khái niệm này bao gồm khái niệm đa tạp
Riemann, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemann cùng các khái niệm về

liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci và độ cong Bakry-Émery m chiều. Trong
chương hai chúng tôi chứng minh ước lượng kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt
Schr¨odinger được đề cập ở trên. Bên cạnh việc viết lại và đưa ra các tính toán chi
tiết các ý chứng minh trong trường hợp hàm thế vị h là không dương như trong bài
báo [6], chúng tôi cũng đưa ra một định lý mới trong trường hợp h là hàm không âm.
Điều này góp phần làm đầy đủ hơn về bức tranh đánh giá gradient của nghiệm của
phương trình Schr¨odinger. Nội dung của luận văn trong trường hợp h không dương
được viết dựa trên bài báo của Ruan Qihua năm 2007 (xem [6]).
6


Chương 1

TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA
TẠP RIEMANN
1.1

Đa tạp Riemann

1.1.1

Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann

A. ĐA TẠP TRƠN
Định nghĩa 1.1. Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được.
M được gọi là một đa tạp tôpô n - chiều nếu với mỗi p ∈ M, tồn tại một bộ ba
{ϕ, U, V }, trong đó U là một lân cận mở của p trong M, V là một tập con mở

của Rn , và ϕ : U → V là một đồng phôi. Mỗi bộ ba như vậy được gọi là một bản
đồ tại p.

Hai bản đồ {ϕ1 , U1 , V1 } và {ϕ2 , U2 , V2 } được gọi là tương thích nếu phép chuyển
ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) ,

là một đồng phôi. Lưu ý ϕ1 (U1 ∩ U2 ) và ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là mở trong Rn .
Định nghĩa 1.2. Một atlas A trên đa tạp M là một tập các bản đồ {ϕα , Uα , Vα }
tương thích với nhau, thỏa mãn

α Uα

= M . Hai atlas trên M được gọi là tương

đương nhau nếu hợp của chúng cũng là một atlas trên M .
Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n - chiều là một đa tạp tôpô M n - chiều được
trang bị một lớp tương đương của atlas sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn.
Lớp tương đương này được gọi là cấu trúc trơn của atlas.
Ví dụ 1.1. Rn (hoặc không gian véctơ hữu hạn chiều) là một đa tạp trơn.
Ví dụ 1.2. Xét siêu cầu n chiều trong Rn+1
S n = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + . . . + x2n+1 = 1 .
7


Gọi N = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 và S = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Rn+1 lần lượt là điểm cực
bắc và điểm cực nam của S n . Xét U1 = S n − N và U2 = S n − S là các tập mở của
S n . Xét phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi
ϕ1 (x) =

1
(x1 , . . . , xn ) ,
1 − xn+1

ϕ2 (x) =

1
(x1 , . . . , xn ) .
1 + xn+1

Khi đó {ϕ1 , U1 , Rn } và {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành một atlas trên S n . Siêu cầu S n là
một đa tạp trơn.
B. ÁNH XẠ TRƠN
Định nghĩa 1.4. Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn. Ta
nói rằng ánh xạ là trơn nếu với bất kỳ bản đồ {ϕα , Uα , Vα } của M và ϕβ , Uβ , Vβ
của N , ánh xạ
−1
ψβ ◦ f ◦ ϕ−1
Xβ
α : ϕα Uα ∩ f

→ ψβ f (Uα ) ∩ Xβ ,

là trơn. Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi nếu nó là một song ánh và f, f −1
đều là các ánh xạ trơn.
Chú ý
(1) Khi N = R, ta gọi f là một hàm trơn có giá trị thực. Tập các hàm trơn có
giá trị thực trên M được ký hiệu bởi C ∞ (M ).
(2) Mỗi ánh xạ trơn f : M → N đều tạo ra một ánh xạ "kéo - lùi"
f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ) ,

g → g ◦ f.

C. VÉCTƠ TIẾP XÚC
Cho M là một đa tạp trơn n chiều; C ∞ (M ) là tập các hàm khả vi vô hạn trên
M.

Định nghĩa 1.5. Một véctơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến tính
Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz
Xp (f g) = f (p) Xp (g) + Xp (f ) g (p) .

Ở đây U là một lân cận của p như đã nói trong định nghĩa 1.1.
Tập hợp tất cả các véctơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian
véctơ và được gọi là không gian tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là Tp M . Không
8


gian đối ngẫu được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và được ký hiệu
là Tp∗ M. Cả Tp M và Tp∗ M đều là những không gian véctơ n-chiều.
Giả sử {ϕ, U, V } là một bản đồ của p với ϕ (p) = 0. Khi đó, các ánh xạ
∂i : C ∞ (U ) → R,

f→

∂f ◦ ϕ−1
(0) ,
∂xi

i = 1, 2, . . . , n

là các véctơ tiếp xúc tại p. Các véctơ này là độc lập tuyến tính và tạo thành một
cơ sở của Tp M .
Định nghĩa 1.6. Cho ánh xạ trơn f : M → N , với mỗi p ∈ M , vi phân của f là

ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N được định nghĩa bởi
dfp (Xp ) (g) = Xp (g ◦ f ) .

Với mọi Xp ∈ Tp M và mọi g ∈ C ∞ (N ).
Trong trường hợp đặc biệt f : M → R là một hàm trơn, ta có thể đồng nhất
Tf (p) R với R. Ta được
Xp (f ) = dfp (Xp ) .

Ở đây dfp ∈ Tp∗ M còn được gọi là véctơ đối tiếp xúc tại p.
Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương quanh p. Ta sẽ kí hiệu ϕ =
x1 , . . . , xn với xk là hàm tọa độ thứ k trên U , và ký hiệu bản đồ bởi U ; x1 , . . . , xn .

Vậy cơ sở đối ngẫu của {∂1 , . . . , ∂n } trong Tp∗ M là dx1p , . . . , dxnp , và
dfp = (∂1 f )dx1p + . . . + (∂n f )dxnp .

D. PHÂN THỚ TIẾP XÚC
Định nghĩa 1.7. Cho E và M là hai đa tạp trơn, π : E → M là toàn ánh trơn.
Ta nói (π, E, M ) là một phân thớ véctơ hạng k nếu với mỗi p ∈ M ,
1. Ep = π −1 (p) là một không gian véctơ k chiều.
2. Tồn tại lân cận mở U của p và một vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk sao cho
ΦU (π −1 (p)) = {p} × Rk .

3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V , ΦU , ΦV là các vi phôi trên thì ánh xạ
k
k
gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1
V : {p} × R → {p} × R .

là tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V.
9

Ta gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, và ΦU là ánh xạ tầm thường địa phương.
Một phân thớ véctơ hạng 1 thường được gọi là đường thẳng phân thớ.
Ví dụ 1.3. Đặt T M = ∪p Tp M là hợp rời của các không gian tiếp xúc tại M. Khi
đó, với ánh xạ chiếu
π : T M → M,

(p, Xp ) → p.

T M là một phân thớ véctơ hạng n trên M . Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc trên
M . Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M được cho bởi
T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn ,

với {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M .
E. CẤU TRÚC RIEMANN
Cho M là một đa tạp m chiều khi đó ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann
và định nghĩa đa tạp Riemann như sau.
Định nghĩa 1.8. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng
với mỗi p ∈ M một tích vô hướng gp (·, ·) = ·, ·

p

trên Tp M sao cho với hai trường

véctơ X, Y trên tập con mở U ∈ M , hàm số p → Xp , Yp là hàm khả vi. Đa tạp
M cùng với cấu trúc metric Riemann g xác định trên M được gọi là một đa tạp

Riemann và ký hiệu là (M, g).
Ta chú ý rằng bản thân g không phải là một metric trên M . Tuy nhiên, g sẽ cảm

sinh một cấu trúc metric tự nhiên trên M .
Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau. Cho
U, x1 , . . . , xm

là một hệ tọa độ địa phương, và {∂1 , . . . , ∂m } là trường véctơ tọa

độ tương ứng. Ta ký hiệu
gij (p) = ∂i , ∂j p .

Với bất kỳ véctơ trơn X = X i ∂i và Y = Y j ∂j trên U ta có
Xp , Yp

p

= X i (p)Y j (p) ∂i , ∂j

p

= gij (p)X i (p)Y j (p).

Ta có thể viết g = gij dxi ⊗ dxj , hoặc gọn hơn là g = gij dxi dxj .
Dễ thấy, gij có các tính chất sau
• gij (p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j .
• gij = gji , ma trận (gij (p)) là đối xứng với mọi p.
10


• Ma trận (gij (p)) xác định dương với mọi p.

Định nghĩa 1.9. Cho (M, gM ) và (N, gN ) là hai đa tạp Rieman. Vi phôi f : M →

N được gọi là một vi phôi đẳng cự nếu gM = f ∗ gN .

Sau đây ta sẽ trình bày một số cách để xây dựng đa tạp Riemann.
Có nhiều cách để xây dựng một đa tạp Riemann mới từ đa tạp cũ, như một số
ví dụ sau
1. Cho (M, gm ) và (N, gN ) là các đa tạp Riemann, khi đó gM ⊕ gN định nghĩa
bởi:
(gM ⊕ gN )(p,q) ((Xp , Xq ), (Yp , Yq ) = (gM )p (Xp , Yp ) + (gN )q (Xp , Yq ),

là một metric Riemann trên M × N . Ta gọi gM ⊕ gN là tích metric Riemann.
2. Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và f : M → N là một phép dìm trơn,
vd dfp : Tp M → Tf (p) N là toàn ánh với mọi p ∈ M , ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ gN
định nghĩa bởi
(f ∗ gN )p (Xp , Yp ) = (gN )f (p) (dfp (Xp ), dfp (Yp )),

là một metric Riemann trên M . Ta gọi f ∗ gN là metric cảm sinh, và f là một
phép dìm đẳng cự.
3. Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và M ⊂ N là đa tạp con dìm. Khi
đó ánh xạ nhúng dìm ι : M → N là một phép dìm, xác định một metric
Riemann cảm sinh trên M . Ta gọi (M, ι∗ gN ) là một đa tạp con Riemann của
(N, gN ). Chú ý rằng trong trường hợp này, (i∗ gN )p chỉ là thu hẹp của gN trên
Tp M ⊂ Tp N.

4. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann bất kỳ, và ϕ : M → R là một hàm dương,
trơn, tùy ý trên M . Khi đó ϕg định nghĩa bởi
(ϕg)p (Xp , Yp ) = ϕ(p)gp (Xp , Yp ),

là một metric Riemann trên M , nó còn được gọi là metric bảo giác với g .
Dưới đây là một số ví dụ về đa tạp Riemann.
Ví dụ 1.4. Một tích vô hướng chuẩn trong Rm xác định một metric Riemann

chính tắc go trên Rm với (g0 )ij = δij . Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương
11


cấp m × n,
gp (Xp , Yp ) := XpT AYp

xác định một metric Riemann trên Rm với gij = Aij .
Ví dụ 1.5. Cho M = S 2 là mặt bậc hai trong R3 . Để tính toán metric cảm sinh
Riemann từ metric chuẩn tắc trong R3 , ta cần chọn một hệ tọa độ địa phương.
Ta sử dụng tọa độ trụ θ và z để tham số hóa S 2
1 − z 2 cosθ,

x=

y=

1 − z 2 sinθ,

z = z,

với 0 ≤ θ < 2π, −1 < z < 1. Ta có
dx = √

−z
1 − z2

cosθdz −

1 − z 2 sinθdθ,

dy = √

−z
1 − z2

sinθdz +

1 − z 2 cosθdθ.

Vậy,
gS 2 = [dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz]|S 2
z2
dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ + dz ⊗ dz
1 − z2
1
=
dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ.
2
1−z

=

F. TOÁN TỬ LAPLACIAN
Cho (M, g) là một đa tạp Rieman. Vì g không suy biến nên ta có một phép đẳng
cự giữa các trường véctơ trên M và một dạng vi phân trên M
: Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T ∗ M,

(X)(Y ) := g(X, Y ).

Trong tọa độ địa phương, nếu ta ký hiệu X = X i ∂i và cho Y = ∂j với mỗi j , ta có
(X)(∂j ) = g(X, ∂j ) = gij X i ,

vậy
(X i ∂i ) = gij X i dxj .

Ta ký hiệu ánh xạ ngược của

bởi : Γ∞ (T ∗ M ) → Γ∞ (T M ). Vậy
(wi dxi ) = g ij wi ∂j ,

với (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ) , và xác định theo từng điểm, và cho
T ∗ M một cặp tích vô hướng
w, w

p

:= gp ( w, w ).

Giả sử f là một hàm trơn trên M . Khi đó df là một 1-dạng vi phân trên M .
12


Định nghĩa 1.10. Véctơ gradient của f là ∇f = (df ).
Định nghĩa trên là tương đương với ∀X ∈ Γ(T M ) thì
g(∇f, X) = Xf.

Trong tọa độ địa phương, ta có
∇f = g ij ∂i f ∂j .

Trong trường hợp đặc biệt, với g = g0 trong Rm , ta có gradient thông thường của
f.

Toán tử divergence
Giả sử X là một trường véctơ trơn trên M . Xét hệ tọa độ địa phương (U, x1 , · · · , xm )
trên M , phần tử
dVol =

√
Gdx1 ∧ · · · ∧ dxm ,

là một dạng vi phân dương trên U . Trong đó G = det(gij ), gij = g(∂i , ∂j ) và
dx1 ∧ · · · ∧ dxn là độ đo Lebesgue trên Rn . Ta định nghĩa toán tử divergence như

sau
Định nghĩa 1.11. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa
bởi
(divX)dV ol = d {ι(X)dV ol} .

Ở đây ι(X) là ánh xạ tích trong của một trường vector xác định bởi
(ιX w)(Y1 , . . . Yn−1 ) = w(X, Y1 , . . . , Yn−1 )p

với Y1 , . . . Yn−1 ∈ Tp M với mọi p ∈ M .
n

Giả sử X =

X i ∂i , dễ dàng tính toán được,

i=1

ιX dV ol(Y1 , ..., Yn−1 )

√
=

G

X 1 dx1 (Y1 ) · · ·

dx1 (Yn−1 )

X 2 dx2 (Y1 ) · · ·

dx2 (Yn−1 )

..
.

..
.

...

X n dxn (Y1 ) · · ·

..
.
dxn (Yn−1 )

13



=

√  1
G
X

dx2 (Y1 ) · · ·

..
.

...

dxn (Y1 ) · · ·

dx1 (Y1 ) · · ·

dx2 (Yn−1 )

..
.

..
.

− X2

dxn (Yn−1 )

...

dxn (Y1 ) · · ·



dx1 (Yn−1 )

..
.
dxn (Yn−1 )



+ ...


√
= X i G(−1)i−1 dx1 ∧ ...dxi ... ∧ dxn (Y1 , · · · Yn−1 ).

Do đó
√
√
(divX)dV ol = d{X i G(−1)i−1 dx1 ∧ ...dxi ... ∧ dxn } = ∂i (X i G)dx1 ∧ ... ∧ dxn .

Vậy
√

1
divX = √ ∂i (X i G).
G

Ở đây ta đã sử dụng Quy ước tổng Einstein. Nếu trong một biểu thức xuất hiện
chỉ số trên và chỉ số dưới tương tự nhau. Khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng
của tất cả các giá trị có thể có của chỉ số đó(thường là từ 1 đến số chiều).
Toán tử Laplace
Định nghĩa 1.12. Cho hàm trơn f trên (M, g), ta định nghĩa toán tử Laplace ∆
tác động lên f như sau
∆f := div(∇f ).

Nghĩa là,

√
1
∆f = div(g ij ∂i f ∂j ) = √ ∂i ( Gg ij ∂j f ).
G

Người ta chứng minh được toán tử Laplace là một toán tử elliptic và là toán tử
tự liên hợp nếu đa tạp M là compact.
1.1.2

Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann

1. Liên thông tuyến tính Cho M là một đa tạp trơn

Định nghĩa 1.13. Một liên thông tuyến tính ∇ trên M là một ánh xạ tuyến tính
∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T M ),

sao cho với mọi X, Y ∈ Γ∞ (T M ) và f ∈ C ∞ (M ) thì
• ∇f X Y = f ∇X Y,
• ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y
14

(X, Y ) → ∇X Y.


Véctơ ∇X Y được gọi là đạo hàm hiệp biến của trường véctơ Y dọc theo trường
véctơ X .
Ví dụ 1.6. Cho M = Rm . Khi đó, đạo hàm theo hướng cho ta một liên thông tuyến
tính. Thật vậy, nếu X = X i ∂i và Y = Y j ∂ , thì
∆X Y = ∆X i ∂i (Y j ∂j ) = X i ∂i (Y j )∂j .
2. Liên thông Levi - Civita
a. Liên thông tương thích với metric

Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Ta nhắc lại rằng liên thông tuyến tính ∇ là tương
thích với metric g nếu ∇g = 0, tức là với mọi X, Y, Z ∈ Γ(T M ),
∇X Y, Z = ∇X Y, X + Y, ∇X Z .

b. Liên thông không xoắn
Cho ∇ là một liên thông tuyến tính trên M . Ta định nghĩa toán tử
T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].

Dễ dàng kiểm tra được T có tính chất tensor, tức là
T (f X, Y ) = f T (X, Y )
T (X, f Y ) = f T (X, Y ).

Định nghĩa 1.14. Ta gọi T là tensor xoắn của ∇. Nếu T = 0, ta gọi ∇ là liên thông
không xoắn , hoặc là liên thông đối xứng.

Cho U, x1 , · · · , xm là một bản đồ tọa độ, khi đó tồn tại các hàm Γkij trên U sao
cho
∇∂i ∂j = Γkij ∂k .

Các hàm Γkij ∂k được gọi là các ký hiệu Christof f el của ∇ đối với bản đồ đã cho.
Mệnh đề 1.1. ∇ là một liên thông không xoắn nếu và chỉ nếu Γkij = Γkji với mọi i, j .
Chứng minh. Nếu ∇ là một liên thông không xoắn, khi đó với i, j bất kỳ
T (∂i , ∂j ) = ∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i − [∂i , ∂j ]
= Γkij ∂k − Γkji ∂k
= 0.
15


Điều này kéo theo, Γkij = Γkji .
Ngược lại, nếu Γkij = Γkji , khi đó bằng tính toán như trên, T (∂i , ∂j ) = 0. Từ T là một
tensor, ta có T (X, Y ) = 0 với mọi X, Y . Vậy ∇ là một liên thông không xoắn. Ta có
điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1. Trong trường hợp đặc biệt, ta thấy rằng điều kiện đối xứng "Γkij = Γkji
với mọi i, j " là độc lập với việc chọn tọa độ địa phương.
c. Liên thông Levi - Civita
Định nghĩa 1.15. Một liên thông ∇ trên đa tạp Riemann (M, g) được gọi là liên
thông Levi - Civita (Liên thông Rieman) nếu có tensor xoắn T = 0 và liên thông là
tương thích với metric g .
Định lý 1.1. (Định lý cơ bản của hình học Riemann) Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann,
khi đó tồn tại duy nhất một liên thông tuyến tính Levi - Civita trên M .
Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng tồn tại liên thông Levi - Civita trên M . Ta sẽ
chứng minh liên thông này là duy nhất. Thật vậy, ta có
∇X Y, Z = X ( Y, Z ) − Y, ∇X Z
= X ( Y, Z ) − Y, ∇Z X − Y, [X, Z]
= X ( Y, Z ) − Z ( Y, X ) + ∇Z Y, X − Y, [X, Z]

= X ( Y, Z ) − Z ( Y, X ) + ∇Y Z, X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X ( Y, Z ) − Z ( Y, X ) + Y ( Z, X ) − Z, ∇Y X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X ( Y, Z ) − Z ( Y, X ) + Y ( Z, X ) − Z, ∇X Y − Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]

Từ đó sẽ dẫn tới ∇X Y phải là véctơ thỏa mãn
2 ∇X Y, Z = X ( Y, Z ) − Z ( Y, X ) + Y ( Z, X ) − Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] .

Vế phải của công thức trên được xác định bởi metric. Vậy tính duy nhất được chứng
minh.
Tiếp theo, để chứng minh sự tồn tại ta chỉ cần kiểm tra rằng ∇X Y được xác
định bởi công thức trên thỏa mãn các điều kiện của liên thông Levi - Civita. Thật
vậy, dễ thấy ∇X Y xác định một liên thông tuyến tính trên M . Tính chất tương thích
với metric là kết quả trực tiếp của công thức trên, để chứng minh ∇X Y là môt liên

16


thông tự do xoắn, ta đặt X = ∂i , Y = ∂j và Z = ∂k , khi đó đồng nhất thức bên trên
trở thành
2Γlij glk = ∂i gjk − ∂k gij + ∂j gki .

Nói cách khác,
2Γlij = g lk (∂j gki + ∂i gj k − ∂k gi j) .

Vậy, rõ ràng ∇X Y là một liên thông đối xứng (hay liên thông không xoắn).
Vậy liên thông Levi - Civita là liên thông tuyến tính đối xứng duy nhất mà tương
thích với metric g. Ta cũng có thể ký hiệu liên thông Levi - Civita bởi ∇LC . Ví dụ,
nếu ta xét M = Rn với metric chính tắc g0 thì gij = δij và dẫn tới Γlij = 0.
1.1.3

Tensor độ cong, độ cong Ricci

1. Tensor độ cong
Cho (M, g) là đa tạp Riemann với ∇ là liên thông Levi - Civita. Cho ánh xạ
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ),

(X, Y, Z) → R(X, Y )Z,

bởi công thức
R(X, Y )Z := −∇X ∇Y Z + ∇y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z.

Bổ đề 1.1. R là một C ∞ tensor loại (1,3)
Chứng minh. Ta có R tuyến tính theo từng biến. Tuy nhiên, với mọi f ∈ C ∞ (M ),
R(f X, Y )Z = −f ∇X ∇Y Z + ∇Y (f ∇X Z) + ∇(f X)Y −Y (f X) Z
= f (−∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z) + (Y f )∇X Z − (Y f )∇X Z
= f R(X, Y )Z .

Tương tự, ta có R(X, f Y )Z = R(X, Y )(f Z) = f R(X, Y )Z.
R(X, Y )Z(p) chỉ phụ thuộc vào Xp , Yp và Zp . Tương tự, ánh xạ đưới đây
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → R

cho bởi
R(X, Y, Z, ) = g(R(X, Y )Z, W )

là tensor loại (0,4).
Định nghĩa 1.16. Hai tensor R ở trên được gọi là tensor độ cong của đa tạp Riemann
(M, g).
17

2. Các tính chất đối xứng
Mệnh đề 1.2. Tensor độ cong R có các tính chất đối xứng sau
(a) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z.
(b) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.
(c) R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z).
(d) R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ).
Chứng minh. (a) Hiển nhiên
(b) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y
= −∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X X + ∇[X,Y ] Z − ∇Y ∇Z X + ∇Z ∇Y X + ∇[Y,Z] X − ∇Z ∇X Y +
∇X ∇Z Y +∇[Z,X] Y = −∇X [Y, Z]−∇Y [Z, X]−∇Z [X, Y ]+ ∇[X,Y ] Z +∇Y,Z X + ∇Z,X Y

= −[X, [Y, Z]] − [Y, [Z, X]] − [Z, [X, Y ]] = 0.
(c) Ta ký hiệu f = Z, Z , khi đó
1
∇X Z, Z = Xf − Z, ∇X Z ⇒ ∇X Z, Z = Xf,
2

và
1
∇X ∇Y Z, Z = ∇X ∇Y Z, Z − ∇Y Z, ∇X Z = X(Y f ) − ∇Y Z, ∇X Z .
2

Vậy
1
1
1
R(X, Y, Z, Z) = − X(Y f ) + Y (Xf ) + [X, Y ]f = 0.
2
2
2

Tiếp tục như vậy, ta có (c.)
(d) Từ (b), ta có
R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0.
R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(W, Y, Z, X) = 0.
R(Z, W, X, Y ) + R(W, X, Z, Y ) + R(X, Z, W, Y ) = 0.
R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) = 0.

Cộng vế với vế và áp dụng (a), (c), ta có
R(Z, X, Y, W ) + R(W, Y, Z, X) = 0.

18


Do đó
R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ).

Mệnh đề 1.3. Với mọi trường vectơ X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ),
(∇X R)(Y, Z)W + (∇Y R)(Z, X)W + (∇Z R)(X, Y )W = 0.

3. Độ cong Ricci
Rút gọn tensor độ cong loại (1,3) R, ta được
Ricp (Xp , Yp ) := T r(Zp → R(Xp , Zp )Yp ),

sẽ xác định một tensor loại (0, 2), được gọi là tensor Ricci.
Lấy cơ sở trực chuẩn er của Tp M , thì
Ricp (Xp , Yp ) =

R(Xp , er , Yp , er ).
r

Trong trường hợp đặc biệt, ta thấy tensor Ricci là một tensor đối xứng loại (0,2)
Ric(X, Y ) = Ric(Y, X).

Định nghĩa 1.17. Với mọi véctơ tiếp xúc Xp ∈ Sp M ⊂ Tp M , ta gọi Ric(Xp ) =
Ric(Xp , Xp ) là độ cong Ricci của M tại p theo phương của Xp .

Định lý 1.2. Độ cong Ricci của M tại p với mọi véctơ Xp ∈ Sp M xác định tensor
Ricci tại p.
Chứng minh. Với mọi Xp = 0, ta có
Ric(Xp , −Xp ) = −||Xp ||2 Ric(

Xp
).
||Xp ||

Với mọi Yp = −Xp , bởi tính đối xứng của tensor Ricci, ta có
Ric(Xp , Yp ) =

Xp + Yp
Xp
Yp
1
) − ||Xp ||2 Ric(
) − ||Yp ||2 Ric(
) .
||Xp + Yp ||2 Ric(
2
||Xp + Yp ||
||Xp ||

||Yp ||

Chú ý rằng với mọi p, Ricp là một ánh xạ tuyến tính
Ric : Tp M × Tp M → R,

(Xp , Yp ) → Ricp (Xp , Yp ).
19


Cho (M, g) là một đa tạp Riemann với số chiều n, cho φ ∈ C(M ). Với mỗi m ≥ n, độ
cong Bakry-Émery m chiều Ric được định nghĩa bởi
Ric := Ric − ∇2 φ −

1
∇φ ⊗ ∇φ.
m−n

Ở đây ta quy ước m = n nếu và chỉ nếu φ = 0. Khái niệm độ cong Bakry-Émery m
chiều có thể xem như là một sự mở rộng của độ cong Ric bởi vì khi φ là hàm hằng,
hai độ cong này là như nhau.

20


Chương 2

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO
PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP
RIEMANN

Cho M là một đa tạp đầy n chiều, không compact với điều kiện độ cong Ric
−K, K

0. Giả sử h là hàm thế vị xác định trên M × (0, +∞) (h là hàm C 1 theo biến

x), xét phương trình Schr¨
odinger
ut = ∆u + ∇φ, ∇u + hu.

(2.1)

Trong chương này, chúng tôi chứng minh các ước lượng gradient cho nghiệm
dương của phương trình (2.1). Trường hợp hàm thế vị h(x, t) là hàm âm được chứng
minh trong định lý 2.1, chứng minh của định lý này được xây dựng dựa trên bài báo
[6]. Bằng cách lập luận tương tự chứng minh của Ruan trong trường hợp h(x, t) âm,
chúng tôi chứng minh được một ước lượng gradient trong trường hợp h(x, t) là hàm
không âm. Đó chính là nội dung của định lý 2.2. Toàn bộ các kết quả này được đưa
ra trong mục 1. Trong mục 2, chúng tôi giới thiệu một vài ứng dụng của ước lượng
gradient để chứng minh một tính chất Liouville cho các hàm φ-điều hòa và một bất
đẳng thức Harnack cho phương trình Schr¨odinger.

2.1

Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨
odinger với hàm
thế vị h(x, t)

Định lý 2.1. Cho M là một đa tạp đầy n chiều, không compact, thỏa mãn điều kiện
về độ cong là Ric

−K, K

0. Giả sử h là hàm thế vị xác định trên M × (0, +∞) (h

là hàm C 1 theo biến x), và u là nghiệm dương bất kỳ của phương trình Schr¨
odinger
21


(2.1) với u

C với mọi (x, t) ∈ M × (0, +∞). Khi đó, nếu h
|∇u|
u

1
t

1
2

+

√
√
1
2K + |∇ −h| 2

1 + ln

0 thì
C
u

.

Giả sử u là nghiệm dương của phương trình (2.1). Trước khi chứng minh định lý
2.1, chúng ta giới thiệu hai toán tử sau L = ∆ + ∇φ, ∇ và

= L − ∂t . Khi đó, ta có

u = Lu − ut
= ∆u + ∇φ, ∇u − ut
= ∆u + ∇φ, ∇u − (∆u + ∇φ, ∇u + hu)
= −hu.

Chú ý rằng không mất tổng quát, ta có thể coi u
Thật vậy, do u

u
thì u
C , đặt u =
C
ut =

1.

1, ta có

ut

∇u
∆u
|∇u|
; ∇u =
; ∆u =
; |∇u| =
.
C
C
C
C

Thay u = C u; ut = C ut ; ∇u = C∇u; ∆u = C∆u vào phương trình (2.1), ta được
C ut = C∆u + ∇φ, C∇u + Chu
= C (∆u + ∇φ, ∇u + hu) .

Vậy
ut = ∆u + ∇φ, ∇u + hu.

Do đó, u cũng là nghiệm của phương trình (2.1). Ngoài ra ta cũng có
|∇u|
|∇u|
=
.
u
u

Thật vậy, thay |∇u| = C|∇u| ta được
|∇u|
C|∇u|

|∇u|
=
=
.
u
Cu
u

Vì thế bằng cách thay u bằng u, ta có thể coi u

1. Ta có bổ đề tính toán sau

Bổ đề 2.1. Đặt f = lnu và w = |∇ln(1 − f )|2 . Khi đó, ta có
ln(1 − f ) = −
Chứng minh. Vì u
• f

0; ∇f =

f
h
− |∇ln(1 − f )|2 =
− f w.
1−f
1−f

1, từ giả thiết f = lnu và w = |∇ln(1 − f )|2 ta có

∇u
|∇u|2

∆u |∇u|2
ut
; |∇f |2 =
;
∆f
=
−
; ft = .
2
2
u
u
u
u
u
22

(2.2)


• ∇ln(1 − f ) = −

∇f
|∇f |
1
; w 2 = |∇ln(1 − f )| =
.
1−f
1−f

• w = |∇ln(1 − f )|2 =

|∇f |2
(1 − f )2

=

|∇u|2
.
u2 (1 − f )2

Khi đó
f = ∆f + ∇φ, ∇f − ft
∆u |∇u|2
ut
∇u
−
−
+ ∇φ,
2
u
u
u
u
1
|∇u|2
= (∆u + ∇φ, ∇u − ut ) −
u
u2
1

−hu
=
u − |∇f |2 =
− |∇f |2 = −h − |∇f |2 .
u
u
=

Vậy
f = u−1 u − |∇f |2 = −h − |∇f |2 .

Hay là
lnu = u−1 u − |∇(lnu)|2 = −h − |∇lnu|2 .
Từ đó, ta có
ln(1 − f ) =

(1 − f )
− |∇ln(1 − f )|2 .
1−f

Mặt khác
(1 − f ) = ∆(1 − f ) + ∇φ, ∇(1 − f ) − (1 − f )t
= −∆f − ∇φ, ∇f + ft
= −(∆f + ∇φ, ∇f − ft ) = − f.

Do đó
ln(1 − f ) =
=
=
=

=
=
=

− f
− |∇ln(1 − f )|2
1−f
− f
−w
1−f
h + |∇f |2
−w
1−f
h
|∇f |2
+
−w
1−f
1−f
h
|∇f |2
+ (1 − f )
−w
1−f
(1 − f )2
h
+ (1 − f )w − w
1−f
h
− f w.

1−f
23


Vậy
ln(1 − f ) = −

f
h
− |∇ln(1 − f )|2 =
− f w.
1−f
1−f

Ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo, ta xét hai toán tử độ cong Γ và Γ2 định nghĩa bởi Bakry - Emery (Xem
trong tài liệu [1]). Toán tử độ cong Γ được xác định bởi
Γ(f, g) =

1
{L(f g) − f Lg − gLf } ,
2

∀f, g ∈ C 2 (M ).

Và toán tử độ cong Γ2 được xác định bởi
Γ2 (f, g) =

1
{LΓ(f, g) − Γ(Lf, g) − Γ(f, Lg)} , ∀f, g ∈ C 2 (M ).

2

Bổ đề 2.2. Toán tử Γ có các tính chất sau
a. Γ là một toán tử song tuyến tính.
b. Γ(f, g) = Γ(g, f ).
c. Γ(f, g) = ∇f, ∇g .
d. Γ(f, f ) = |∇f |2 .
Chứng minh.

a. Γ là một toán tử song tuyến tính.

Thật vậy, dễ thấy Γ thỏa mãn các tính chất sau
Γ(f1 + f2 , g) = Γ(f1 , g) + Γ(f2 , g),
Γ(f, g1 + g2 ) = Γ(f, g1 ) + Γ(f, g2 ),
Γ(kf, g) = kΓ(f, g) = Γ(f, kg).

b. Γ(f, g) = Γ(g, f ).
Thật vậy
1
{L(gf ) − gLf − f Lg}
2
1
= {L(f g) − f Lg − gLf }
2

Γ(g, f ) =

= Γ(f, g).

24

c. Γ(f, g) = ∇f, ∇g .
Thật vậy, ta có
∇(f g) = g∇f + f ∇g; ∆(f g) = g∆f + f ∆g + 2 ∇f, ∇g .

Nên
L(f g) = ∆(f g) + ∇φ, ∇(f g)
= (g∆f + f ∆g + 2 ∇f, ∇g ) + ∇φ, g∇f + f ∇g
= g(∆f + ∇φ, ∇f + f (∆g + ∇φ, ∇g ) + 2 ∇f, ∇g
= gLf + f Lg + 2 ∇f, ∇g .

Do đó, dễ thấy
1
{L(f g) − f Lg − gLf }
2
1
= {(gLf + f Lg + 2 ∇f, ∇g ) − f Lg − gLf }
2

Γ(f, g) =

= ∇f, ∇g .

d. Γ(f, f ) = |∇f |2 .
Thật vậy, ta có
1
L(f 2 ) − f Lf − f Lf
2
1

=
L(f 2 ) − 2f Lf .
2

Γ(f, f ) =

Trong đó
Lf = ∆f + ∇φ, ∇f ;

L(f 2 ) = ∆(f 2 ) + ∇φ, ∇(f 2 ) .

Vì
∇(f 2 ) = 2f ∇f ; ∆(f 2 ) = 2f ∆f + 2|∆f |2 .

Nên ta suy ra
L(f 2 ) = 2f ∆f + 2|∇f |2 + 2f ∇φ, ∇f .

Do đó
1
L(f 2 ) − 2f Lf
2
1
=
2f ∆f + 2|∇f |2 + 2f ∇φ, ∇f − 2f (∆f + ∇f + ∇φ, ∇f )
2

Γ(f, f ) =

= |∇f |2 .

Bổ đề được chứng minh.
25