Một bài Toán HH 8 học Kì II

ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN : TOÁN 8
Câu 4. (3điểm). Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AD có AB = 3cm, AC
= 4cm. Từ B kẻ tia phân giác BE của góc ABC cắt AC tại E và cắt AD tại F
a. Tính độ dài đoạn thẳng AD
b. Chứng minh: AD2 = BD . DC
c. Chứng minh:

DF AE
=
FA EC

Hình vẽ đúng

Giả thiết_Kết luận
a. Tính độ dài đoạn AD = ( AB*AC) : BC = 2,4 (CM )
b. Chứng minh: chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác CAD
ta có

^

^

BHA = BHC = 9O O
^

^

^

BAC = C (cùng phụ với ABC )

Vậy hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc
Từ câu a
suy ra
AD2 = BD . DC
DF AE
=
c. Chứng minh:
FA EC
áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABD, tam giác ABC và tam giác DAB đồng dạng tam
DF AE
=
giác ABC suy ra
FA EC
Bài 4: ( 3.5 điểm) : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12 cm, BC = b = 9 cm. Gọi H là chân đường vng
góc kẻ từ A đến BD.
a. Chứng minh rằng ∆ AHB ~ ∆ BCD.
b. Tính độ dài AH.
a = 12 cm
B
c. Tính diện tích ∆ AHB.
A
- Hình vẽ + GT, KL:

b = 9 cm
H
D

1

C

4cm 3cm
6cm

2cm
6cm

- Xét ∆ BCD và ∆ AHB có:
∠AHB = ∠BCD = 900
∠ABH = ∠BDC
⇒ ∆ BCD ~ ∆ AHB.
- Xét ∆ ABD vuông tại A. Theo định lý Pitago ta có:
BD2 = AD2 + AB2
⇒ BD = AD 2 + AB 2 = 9 2 + 12 2 = 15 (cm)
- Từ ∆ BCD ~ ∆ AHB.
BC
BD
Ta có:
=
AH
AB
BC. AB
9 .12
36
⇒ AH =
=
=
= 7,2 (cm)
BD

15
5
1
1
- Diện tích ∆ BCD là: . BC. DC = . 9. 12 = 54 (cm2)
2
2
AB 12
4
- Do ∆ AHB ~ ∆ BCD theo tỷ số:
=
=
BD 15 5
S ∆AHB
4
16
= ( )2 =
S ∆BCD
5
25
⇒ Diện tích tam giác AHB là:
16
16
. S ∆BCD =
. 54 = 30,56 (cm2)
25
25
Câu 4.
Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Biết BH = 4cm ; CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
của H lên AB và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật.
b) Tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC.
c) Tính diện tích ∆ ABC.
·
·
·
a) Tứ giác AIHK có IAK
= 90° (gt)
= AKH
= AIH
Suy ra tứ giác AIHK là hcn (Tứ giác có 3 góc vuông)
·
·
b) ACB
+ ABC
= 900

·
·
HAB
+ ABH
= 900
·
·
Suy ra : ACB
(1)
= HAB

Tứ giác AIHK là hình chữ nhật ⇒ HAB = AIK (2)
·

·
Từ (1) và (2) ⇒ ACB
= AIK
⇒ ∆ AIK đồng dạng với ∆ ABC (g - g)
c) ∆ HAB đồng dạng với ∆ HCA (g- g)

⇒

HA HB
=
HC HA

⇒ HA 2 = HB.HC = 4.9 = 36
⇒ HA = 6(cm)
2
3cm


1
SABC = AH.BC = 39(cm 2 )
2
·
·
Bài 4(3điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD và DAB
= DBC
) biết AB = 2,5cm;
AD = 3,5cm ; BD = 5cm.
a/ Chứng minh ∆ADB : ∆BCD
b/ Tính độ dài các cạnh BC và CD.
s ADB 1

=
c/ Chứng minh rằng
S BCD 4
Vẽ hình đúng, đưa đầy đủ gt lên hình vẽ
2,5

A

3,5

D

B

5
C

a/ AB//DC ⇒ ABˆ D = BDˆ C (slt)
DAˆ B = DBˆ C (gt)
Do đó ∆ADB đồng dạng với ∆BCD.
AB AD BD
=
=
b/ Vì ∆ABD đồng dạng ∆BDC ⇒
BD BC DC
2.5 3.5
5
=
=
hay

5
BC DC
tính được BC = 7 (cm) ; DC = 10 (cm)
c/ ∆ABD đồng dạng ∆BDC theo tỷ lệ đồng dạng k
AB 2.5 1
⇒ k=
=
=
BD
5
2
2
S
1
1
Vậy ADB = k 2 =   = .
S BCD
4
2
3.
Cho ∆ ABC vuông tại A, AB=9 cm; AC=12 cm, đường cao AH, đường phân giác BD. Kẻ DE ⊥
BC ( E ∈ BC), đường thẳng DE cắt đường thẳng AB tại F. (3đ)
B
a. Tính BC, AH?
b. Chứng minh: ∆ EBF ~ ∆ EDC.
H
c. Gọi I là giao điểm của AH và BD Chứng minh: AB.BI=BH.BD
E
d. Chứng minh: BD ⊥ CF.
I

e. Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABC và BCD
A
D

4/ a. Sử dụng định lý Pytago tính BC=15 (0,25đ)
@ C/m được : ∆ ABH ~ ∆ CBA.
F

3

C


AH AB
CA. AB 12.9
=
⇒ AH =
=
= 7, 2 .(0,5đ)
CA CB
CB
15
b. C/m: ∆ EBF ~ ∆ EDC( gg) (0,5đ)
c. C/m : ∆ ABD ~ ∆ HBI( gg) (0,5đ)
AB BD
=
Suy ra:
do đó: AB.BI= BH. BD (0,25đ)
HB BI
d. Chỉ ra ∆BFC có 2 đường cao CA và BF cắt nhau tại D được 0,5đ

Suy ra D là trực tâm của∆BFC dẫn đến kết luậnđược 0,5đ
S ABD AD BA
=
=
S BCD DC BC
e.C/m được:
Mỗi ý 0,25đ
S ABD 3
=
S DCB 5
Bài 2( 3,5) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại
D
a/ Tính BC,CD
b/ Trên BC lấy một điểm I sao cho CI = 6,25cm. Chứng minh ID // AB
FH DA
=
c/ Đường cao AH cắt BD tại F . Chứng minh
FA DC
Bài 3 (3 điểm): Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và AB < CD, đường chéo BD vuông góc với cạnh bên
BC. Vẽ đường cao BH.
a) Chứng minh: BDC∽HBC.
b) Cho BC = 12cm; DC = 25cm; Tính HC, HD..
c) Tính diện tích hình thang ABCD.
Hình vẽ và ghi giả thiết và kết luận
A
D
F
B
H I

C

a/ 1,75Tính được BC2 = AC2 + AB2 ( Định lí Py Ta Go)
BC = 10 cm
DC CB
=
DA AB
DC
CB
=
DC + DA AB + BC
DC
10
10 5
=
= =
AC 6 + 10 16 8
5
5
CD = . AC = .8 = 5
8
8
CD CI
=
b/ Chứng minh được
CA CB
Suy ra DI // AB

4

c/ Chứng minh được:

FH BH
=
;
FA AB

AD AB
BH AB
=
=
;
DC BC
AB BC

Kết luận
a) (1 điểm)
Xét BDC và HBC có:
·
·
= 900 (gt)
DBC
= BHC
Góc C chung
Vậy: BDC∽HBC.
b) (1 điểm) Vì BDC∽HBC ⇒
2

⇒ HC =

A

B
12cm

DC BC
=
BC HC

D

2

BC
12
=
= 5,76 (cm)
DC
25

H

C

25cm

⇒ HD = CD – HC = 25 – 5,76 = 19,24 (cm).
c) (1 điểm) Ta có ABCD là hình thang cân, suy ra AB = CD – 2HC = 25 – 2.5,76 = 13,48 (cm).
BH =

2
2
BC2 − HC 2 = 12 − 5,76 ≈ 10,5 (cm)

SABCD =

1
1
(AB + CD).BH = (13,48 + 25).10,5 = 139,02 (cm2).
2
2

Câu 4:Trên 1 cạnh của 1 góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên cạnh thứ 2 của góc đó đặt
các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm.
a. Chứng minh rằng ∆AEF
∽ ∆ADC.
b.Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC
Câu a(1,5đ):Xét tam giác ABE và tam giác ADC có:
AE 3
= (1)
C
AD 4
(GT)
(0,5đ)
AF 6 3
= = (2)
E
AC 8 4
AE AF

=
Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
(0,5đ)
AD AC
A
I
Hai tam giác AEF và tam giác có Â chung (4)
(0,25đ)
Từ (3) và (4) => ∆AEF∽∆ADC (trường hợp đồng dạng thứ 2) (0,25đ)
D
Câu b(0,5đ): ∆AE F ∽ ∆ADC =>EFA = DCA(1)
(0,25đ)
F
Mặt khác: DIF = EIC (đối đỉnh).
(0,25đ)
DF 2
= .
Suy ra : ∆IDF∽ ∆IEC theo tỉ số đồng dạng là k =
(0,25đ)
FC 5
2
S DIF
4
 2
= k2 =   =
(0,25
S EIC
25
5

Bài 3: (2 điểm) Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Đường thẳng d vuông góc với BC

tại B.Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
a) Tính AC.
5


b) Chứng minh ∆ ADB
c) Tính AD.

∆ BAC

d
-Nói
được: AC2 = BC2 – AB2 = 102 – 62 = 64
-Suy ra được:A AC = 8cm
D
·
-Nói được: ∆ ADB và ∆ BAC có: ·ADB = BAC
= 90 0
·
·
- Chứng minh được: DAB
= ABC

-Suy ra ∆ ADB

∆ BAC

- Nói
được: ∆ ADB
B
-Suy ra: AD =

∆ BACC ⇒

AD AB
=
AB BC

AB 2 62
=
= 3,6 (cm)
BC 10

Câu 10 : (2.5đ) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng :
a/ AH . AD = AE . AC
b/ Hai tam giác AHB và EHD đồng dạng với nhau .
a/ ∆ AHE ∽∆ ACD (g.g)
A
AH AE
=
=>
0.5đ
E
AC AD
=> AH . AD = AE . AC
0.5d

H

B

D

C

b/ ∆ AHE ∽∆ BHD (g.g)
AH HE
=
=>
BH HD
·
Lại có : ·AHB = EHD
(đối đỉnh)

Vậy : ∆ AHB ∽∆ EHD (c.g.c)

0.5đ

Câu 6: Cho tam giác vuông ABC có µA = 900 , AB = 12cm, AC =16cm,đường phân giác góc A cắt BC
tại D;đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA
b) Tính AH , BC, BD
c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABD và tam giác ACD

Câu 6:

6

a)Xét 2 tam giác ABC , HBA có:
µA = H
µ = 900
µ : chung
B
∆HBA (g.g)
Suy ra ∆ABC
2
2
b) BC = AB + AC2
= 122 + 162
= 144 + 256
= 400
=>BC = 20
∆HBA ta có:
* ∆ABC
AC BC
AB. AC 12.16
=
⇔ AH =
=
= 9, 6
HA AB
BC
20

AD là đường phân giác góc A nên ta có:
DB AB

DB
AB
=
=
=
DC AC DC + DB AC + AB
DB 12
12.20
⇔
=
⇒ DB =
= 8, 6
20 28
28
1
AH .BD
S ABD 2
DB 8, 6 43
=
=
;
=
S ACD 1 AH .DC DC 11, 4 57
2

Câu 9. Cho tam giác ABC có AB=4cm, AC=6cm, BC=8cm. Đường cao AH(H ∈ BC);Tia phân giác
góc A cắt BC tại D.
a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HAC.
b/ Chứng minh AC 2 = BC.HC
c/Tính độ dài đọan thẳng DB

DB DC
=
AB AC
DB DC DC + DB
6
6
=
=
=
=
AB AC AB + AC 3 + 4 7

Viết được Áp dụng TC tia phân giác:
Theo T/C tỉ lệ thức Suy ra được
Từ

DB 6
6.3 18
= ⇒ DB =
=
Vậy BC= 2,86 (cm)
AB 7
7
7

Câu 2: Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 5 cm; AC = 12 cm. Tia phân giác
của góc ABC cắt AH và AC theo thứ tự tại E và F.
a. Tính : BC, AF, FC.
b. Chứng minh: ∆ ABF ~ ∆ HBE
c. Chứng minh : ∆ AEF cân

d. AB.FC = BC.AE
7


Vẽ hình
1/ Tính BC = 13 cm
Tính AF =

10
cm
3

FC=

26
cm
3

2. ∆ ABF ~ ∆ HBE
(gg)
3. ∆ AEF cân
4. AB.FC = BC.AE
Chứng minh ∆ABE ~ ∆BFC ( gg )

8