Tìm hiểu về bài toán điều khiển h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ BÍCH VIỆT

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Th.s Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Nguyễn Trung Dũng người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa. Ngoài ra, trong quá trình thực hiện
khóa luận em còn nhận được rất nhiều sự động viên và giúp đỡ từ phía gia
đình, người thân và các bạn trong lớp.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài khóa luận này.
Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Trần Thị Bích Việt


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: “Tìm hiểu về bài toán điều khiển H∞ ” được
hoàn thành do sự cố gắng, lỗ lực tìm hiểu, nghên cứu của bản thân cùng với
sự giúp đỡ tận tình của Ths. Nguyễn Trung Dũng. Những phần sử dụng
tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham
khảo. Các số liệu, kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực,
nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa và
nhà trường đề ra.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
của các tác giả khác.
Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Trần Thị Bích Việt


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4

1.2. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Điều khiển H∞ độc lập và phụ thuộc trễ thời gian . . .

10

2.1. Điều khiển H∞ độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Điều khiển H∞ phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời sống,
đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu nói riêng. Ta
thường xây dựng mô hình toán học từ các quá trình vật lý. Có rất nhiều lĩnh
vực cơ bản cần nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển.
Phần lớn các hệ thống trong thực tế luôn chịu tác động của các yếu tố
bên ngoài, có thể trong một số trường hợp suy giảm hiệu suất hệ thống nếu
hiệu ứng của chúng không được xem xét kĩ trong giai đoạn thiết kế. Hiện
nay có rất nhiều cách để loại bỏ ảnh hưởng của những ảnh hưởng bên ngoài.
Một trong số đó là kĩ thuật điều khiển H∞ . Nó bao gồm việc thiết kế một
điều khiển tối ưu để giảm thiểu những ảnh hưởng của các tác động đó.
Do đó, để có thể hiểu rõ hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài "Tìm hiểu
về bài toán điều khiển H∞ " để làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp
của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu.
Khóa luận này gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương 2: Điều khiển H∞ độc lập và phụ thuộc thời gian trễ.

3. Mục đích - yêu cầu
[1] Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng của
giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
[2] Nắm bắt được các nội dung cơ bản của lý thuyết (các khái niệm, các
tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng...).
4. Đối tượng nghiên cứu.
Bài toán điều khiển H∞ và Lý thuyết điều khiển H∞ .
5. Phạm vi nghiên cứu
[1]. Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự thu thập và tìm hiểu thêm.
[2]. Thời gian thực hiện khóa luận.
[3]. Nơi thực tập khóa luận.

1


6. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.

2


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
1.1.

Một số khái niệm

1.1.1.

Hệ điều khiển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có
sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy khi mô tả
các quá trình này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi
phân có trễ hay còn gọi là hệ phương trình vi phân hàm.

1.1.2.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h 0. Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm
liên tục trên đoạn [−h, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của φ ∈ C được cho
bởi
φ = sup−h≤θ ≤0 φ (θ ) .
Với t0 ∈ R, A 0 và x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), hàm xt ∈ C := C([−h, 0],
Rn ), t ∈ [t0 ,t0 + A], được xác định bởi xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0].
Cho D ⊂ Rn × C là tập mở và hàm F : D → Rn .
3


Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân
có trễ) là phương trình dạng
x(t)
˙ = F(t, xt ).

(1.1.1)

Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.1) trên [t0 −

h,t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R, A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈
D và x(t) thỏa mãn (1.1.1) với mọi t ∈ [t0 ,t0 + A]. Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói
x(t0 , φ ) là nghiệm của phương trình (1.1.1) với giá trị ban đầu φ tại thời điểm
ban đầu t0 (nghiệm đi qua điểm (t0 ,φ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(t0 ,φ ) là
một nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [t0 − h,t0 + A] và xt0 (t0 ,φ ) = φ .
Khi t0 đã rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 ,φ )(t).

1.1.3.

Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm
(t0 , φ ) ∈ R+ × C hệ (1.1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ ) và xác
định trên [t0 , ∞). Ta cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1.1) có nghiệm
không. Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1.1).
Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định nếu với
mọi ε > 0,t0 0, tồn tại δ = δ (t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ )
của (1.1.1), nếu φ < δ thì x(t, φ ) < ε, ∀t t0 . Nếu δ không phụ thuộc
t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi là ổn định đều.
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định tiệm
cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 0, tồn tại δ0 = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với
mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1.1), nếu φ < δ0 thì lim x(t, φ ) = 0.
t→+∞

1.1.4.

Hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.1.3. [Lớp hàm K ]
Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+ ]. Khi đó, φ

được gọi là W - hàm hoặc K - hàm nếu thỏa mãn
(i) φ là hàm tăng.
4


(ii) φ (0) = 0.
Kí hiệu φ ∈ K .
Định nghĩa 1.1.4. [Hàm Lyapunov]
Cho V : R+ ×C → R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t
Hàm V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1.1) nếu
(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a ∈ K : V (t, x)

0.

a(||x| |), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.1.1)
1
V˙ (t, xt (t0 , φ )) := lim sup [V (t + h), xt+h ((t0 , φ )) −V (t, xt (t0 , φ ))]
h
h→0+

0.

với mọi nghiệm x(t, φ ) của hệ .
Định lý 1.1.1. [Định lý Lyapunov - Krasovskii]
Giả sử rằng F: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong
C ) thành tập bị chặn trong Rn , và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục,
không giảm, ở đó u(s) và v(s) dương ∀s > 0 và u(0) = v(0) = 0.

• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V : R × C → R sao cho
u( φ (0) )

V (t, φ )

v( φ c )

và
V˙ (t, φ )

−w( φ (0) )

thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì
nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì
s→∞

nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định lý 1.1.2. [Định lí Razumikhin]
Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C )
thành tập bị chặn trong Rn ; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không
5


giảm, u(s) và v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+ × Rn → R sao cho
(i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn ,t 0
(ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khiV (t + θ , x(t + θ )) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.

• Nếu w(s) > 0, ∀s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khi V (t + θ , x(t + θ )) pV (t, x(t)), ∀θ ∈
[−h, 0]
thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) = ∞ thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định
s→∞

tiệm cận toàn cục đều.

1.2.

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.2.1. [Bất đẳng thức ma trận tuyến tính]
Giả sử S ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó, với mọi x, y
∈ Rn , ta có
xT Sx + yT S−1 y.

2xT y

Bổ đề 1.2.2. Giả sử M ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
với mọi số ν > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, ν] → Rn , ta có
T

ν

w(s)ds

ν

M

0

ν

w(s)ds
0

ν

wT (s)Mw(s)ds.

0

Bổ đề 1.2.3. Giả sử A, E, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và
F thỏa mãn điều kiện F T F I. Khi đó, với mọi ε > 0 và ma trận P đối xứng
xác định dương, ta có
(i) EFH + H T F T E T εEE T + ε −1 H T H.
(ii) Nếu εI − HPH T > 0 thì
(A + EFH)P(A + EFH)T

APAT + εEE T + APH T (εI − HPH T )−1 HPAT .
6


(iii) Nếu P − εEE T > 0 thì
(A + EFH)T P−1 (A + EFE)

AT (P − εEE T )−1 A + ε −1 H T H.

Bổ đề 1.2.4. [Bổ đề Schur]
Cho ma trận đối xứng
M=

X
Y

Y
,
Z

với X,Y là các ma trận xác định dương. Khi đó ta có
• M xác định không âm nếu và chỉ nếu một trong hai điều sau đúng



Z ≥ 0

Y = L1 Z



X − L1 ZL1 ≥ 0
hoặc



X ≥ 0

Y = XL2



Z − L2 XL2 ≥ 0
trong đó L1 , L2 tùy ý và có số chiều phù hợp.
• M xác định dương nếu và chỉ nếu một trong hai điều sau đúng

Z > 0
X −Y Z −1Y > 0
hoặc

X > 0
Z −Y X −1Y > 0
7


Bổ đề 1.2.5. [Bổ đề A.1]
Cho X,Y là các ma trận thực với số chiều phù hợp. Khi đó
1
X Y +Y X ≤ εX X + Y Y
ε
đúng với mọi ε > 0.

1.3.

Bài toán điều khiển H∞

Các hệ thực tiễn luôn chịu tác động của các yếu tố bên ngoài (còn gọi

là nhiễu) có thể ảnh hưởng xấu đến sự vận hành của các hệ thống. Kỹ thuật
điều khiển H∞ là một trong những cách loại bỏ sự tác động của các nhiễu
bên ngoài ảnh hưởng đến sự vận hành của hệ thống.
Xét hệ điều khiển liên tục với trễ thời gian được mô tả bởi


x(t)
˙ = Ax(t) + Ad x(t − τ) + B1 w(t) + Bu(t)




x(t) = 0,t ≤ 0
(1.3.2)


z(t) = C1 x(t) + D11 w(t) + D12 u(t)




y(t) = C2 x(t) + D21 w(t)
trong đó, x(t) ∈ Rn là vector trạng thái, w(t) ∈ Rl là nhiễu đầu vào giả thiết
là bình phương khả tích, u(t) ∈ Rm là vector điều khiển đầu vào, z(t) ∈ R p
là vector điều khiển đầu ra, y(t) ∈ Rq là vector đo đầu ra, τ > 0 là trễ thời
gian và A, Ad , B1 , B, C1 , C2 , D11 , D12 , và D21 là các ma trận hằng số với số
chiều phù hợp.
Bài toán điều khiển H∞ : Cho trước γ > 0, tìm bộ điều khiển sao cho
||z(t)||22
< γ 2.

sup
2
0=w(t)∈L2 [0,∞] ||w(t)||2

8


Định nghĩa 1.3.1. Một bộ điều khiển {u(t),t ≥ 0} được gọi là một bộ điều
khiển phản hồi trạng thái không nhớ nếu nó có thể được biểu diễn là u(t) =
Kx(t),t ≥ 0, trong đó K là một ma trận hằng số.
Định nghĩa 1.3.2. Hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 được cho là ổn định bên trong
nếu nó là ổn định khi w(t) ≡ 0.
Bài toán điều khiển H∞ bao gồm việc lựa chọn một bộ điều khiển u(.)
đảm bảo rằng hệ đóng là ổn định bên trong và đồng thời thỏa mãn
||z(.)||2 < γ||w(.)||2 ,
với γ là một hằng số dương.

9

(1.3.3)


Chương 2

Điều khiển H∞ độc lập và
phụ thuộc trễ thời gian
2.1.

Điều khiển H∞ độc lập với trễ thời gian

Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập tiêu chuẩn kiểm tra hệ thống cưỡng
bức {u(t),t ≥ 0} và đảm bảo chuẩn H∞ không vượt quá mức γ cho trước.
Định lý 2.1.1. Cho γ là một số dương. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng,
xác định dương P, Q sao cho


A P + PA + Q PB1 C1 PAd

B1 P
−γ 2 I D11
0 


(2.1.1)

<0

C1
D11
−I
0 
Ad P
0
0
−Q
đúng, thì hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận và thỏa mãn (1.3.3).
Chứng minh. Định nghĩa xt ∈ C[−τ, 0] xác định bởi xt (s) = x(t + s), s ∈
[−τ, 0) và chọn hàm Lyapunov sau
t

V (xt ) = x (t)Px(t) +
10

x (s)Qx(s)ds.
t−τ

(2.1.2)


Khi đó, theo (1.3.2) ta có
V˙ (xt ,t) = x (t) PA + A (t) x(t) + 2x (t)PAd x(t − τ)

(2.1.3)

+ 2x (t)PB1 w(t) + x (t)Qx(t) − x (t − τ)Qx(t − τ).
Từ (2.1.1) ta có
A P + PA + Q
Ad P

PAd
−Q

< 0,

điều này chứng tỏ hệ ổn định bên trong.
Với T > 0 bất kì, ta định nghĩa một hàm JT như sau
T

JT =

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) ds.

0

Khi đó ta có
T

T

2

z (s)z(s) − γ w (s)w(s) ds −

JT =

0

0

V˙ (xt )ds,

từ điều này, kết hợp với (2.1.3), (1.3.2) và với các điều kiện ban đầu là
0, ta được
T

JT =

0

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) + V˙ (xs ) ds −V (xT )

T

≤
0

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) + V˙ (xt ) ds.

Vì vậy, để chứng minh (1.3.3) ta cần chỉ ra JT < 0 với mọi T > 0. Từ
(2.1.3)
T
0

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) + V˙ (xs ) ds ≤

T
0

ξtT Θ0 ξt dt

với
ξtT = x (t)


Θ0 = 

w (t)

PA + A P + Q +C1 C1
B1 P + D11C1
Ad P

11

x (t − τ) ,
PB1 +C1 D11
−γ 2 I + D11 D11
0



PAd

0 .
−Q


Sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2.4), dễ dàng để kiểm tra được
Θ0 < 0
nếu và nếu


PA + A P + Q


Θ1 =  +C1 C1 + PAd Q−1 Ad P
B1 P + D11C1


PB1 +C1 D11 
 < 0.
−γ 2 I + D11 D11

Chú ý rằng Θ1 có thể được viết lại như sau

PA + A P + Q

Θ1 = 
+ PAd Q−1 Ad P
B1 P
+

C1
D11

C1


PB1 

−γ 2 I

(2.1.4)

D11 < 0.

Sử dụng Bổ đề Schur, ta thấy rằng (2.1.1) tương đương với (2.1.4). Từ lập
luận ở trên, thì nếu tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn
(2.1.1), thì thỏa mãn (2.1.4), nghĩa là JT < 0 với mọi T > 0 . Do đó, ta có
∞

J∞ =

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) dt < 0,

0

ta được (1.3.3). Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 2.1.1. Định lý 2.1.1 có thể được sử dụng để kiểm tra xem hệ thống
không bị cưỡng bức với trễ thời gian là ổn định bên trong và thỏa mãn chuẩn
H∞ không vượt quá mức γ > 0. Chú ý rằng điều kiện của định lý này là điều
kiện đủ. Không thỏa mãn điều kiện này không có nghĩa rằng hệ thống không
cưỡng bức là không ổn định và chuẩn H∞ vượt quá mức γ. Chú ý rằng điều
kiện này cũng không phụ thuộc vào các trễ thời gian của hệ thống.
Trong thực tế nó là mong muốn để tính toán mức độ loại bỏ nhiễu loạn
tối thiểu γ mà các hệ thống động học không bị cưỡng ép với thời gian trễ
được xem xét có thể có. Tối thiểu này có thể thu được bằng cách giải quyết
các vấn đề tối ưu hóa tuyến tính.
12


Định lý 2.1.2. Cho ma trận đối xứng,dương xác định và hằng số dương
µ > 0 là nghiệm của bài toán tối ưu hóa tuyến tính sau
min

µ

PB1
−µI
D11
0

C1
D11
−I
0

P>0,Q>0,µ>0

thỏa mãn

A P + PA + Q

B1 P



C1
Ad P


PAd
0 

 < 0,
0 
−Q

Khi đó (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận và
||z(.)||2 <

√

µ||w(.)||2 .

Chú ý 2.1.2. Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa này đạt được từ các kết quả
của Định lý 2.1.1 bằng cách thay thế γ 2 bới µ và sau đó cực tiểu hóa đối với
µ, P và Q.
Tiếp theo, chúng ta xây dựng bộ điều khiển trạng thái phản hồi có dạng
u(t) = Kx(t) đảm bảo hệ đóng là ổn định tiệm cận và thỏa mãn (1.3.3).
Với bộ điều khiển u(t) = Kx(t) thì hệ đóng (1.3.2) có dạng

¯

˙ = Ax(t)
+ Ad x(t − τ) + B1 w(t)

x(t)
x(t) = 0,t ≤ 0



z(t) = C¯1 x(t) + D11 w(t)

(2.1.5)

trong đó
A¯ = A + BK, C¯1 = C1 + D12 K.
Theo Định lý 2.1.1, nếu tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương P và Q
sao cho



A¯ P + PA¯ + Q PB1 C¯1 PAd

B1 P
−γ 2 I D11
0 


(2.1.6)

<0

C¯1
D11
−I
0 
Ad P
0
0
−Q
13


đúng, khi đó hệ (2.1.5) là tiệm cận ổn định và thỏa mãn (1.3.3). Sử dụng Bổ
đề Schur, (2.1.6) tương đương với
A¯ P + PA¯ + PAd Q−1 Ad P PB1

B1 P
−γ 2 I




C¯1
D11
I
0


C¯1
D11
−I
0


I
0 

 < 0.
0 
−Q−1

(2.1.7)

Đặt X = P−1 và U = Q−1 . Nhân cả hai vế của (2.1.7) với diag{X, X, I, I}
và đặt KX = Y ta được


#

B1



C1 X + D12Y
X

B1
−γ 2 I
D11
0

XC1 +Y D12
D11
−I
0


X
0 

<0
0 
−U

(2.1.8)

với # = XA +Y B + AX + BY + Ad UAd . Dó đó chúng ta có định lý sau.
Định lý 2.1.3. Với γ là một hằng số dương cho trước. Nếu tồn tại các ma
trận đối xứng, dương xác định X, U, và một ma trận Y thỏa mãn (2.1.8),
khi đó bộ điều khiển u(t) = Kx(t) với K = Y X −1 ổn định hóa hệ (1.3.2), hệ
đóng và thỏa mãn (1.3.3).
Cho bài toán tối ưu hóa tuyến tính sau

min

P>0,Q>0,µ>0

µ

(2.1.9)

thỏa mãn (2.1.8) với γ 2 thay bởi µ.
Hệ quả 2.1.1. Giả sử γ, X > 0,U > 0 và Y là một tập nghiệm của bài toán
tối ưu hóa (2.1.9). Khi đó, bộ điều khiển u(t) = Kx(t) với K = Y X −1 ổn định
√
hóa hệ (1.3.2) và hệ đóng thỏa mãn (1.3.3) với mức ν = γ.
Ví dụ 2.1.1. Xét một hệ động lực với trễ thời gian được mô tả bởi (1.3.2),

14


giả sử rằng các dữ liệu hệ thống như sau:
−2
1

A=

1
1

0.2 0.1
0.3 0.1

Ad =

1
0


1 0


C1 = 0 1
0 0
 
1
 
D11 = 0
0

1
1

B=

B1 =

C2 = 1
 
0
 
D12 = 0
1

D21 = 1.
Với những dữ liệu này, giải bài toán tối ưu hóa (2.1.9) ta được các nghiệm
sau đây:
X=

0.4989
−0.6368

U=

14.9726
−11.3380

−0.6368
−0.3052

Y = −0.8763

−11.3380
12.3149

−0.8763

γ = 1.7526.

Theo hệ quả, điều khiển u(t) = Kx(t) với
K = Y X −1 = 0.5210

1.7842

ổn định hóa hệ đang xét và hệ đóng với mức γ = 1.3274.

2.2.

Điều khiển H∞ phụ thuộc trễ thời gian

Các kết quả ở mục trước là độc lập với trễ thời gian của hệ, điều này có
nghĩa là các kết quả đúng với bất kì trễ thời gian nào. Đây chính là sự bảo
thủ (conservative) của các tiêu chuẩn đã xét. Trong mục này, chúng ta sẽ
15


trình bày bài toán điều khiển H∞ phụ thuộc vào trễ thời gian. Định lí dưới
đây thiết lập một điều kiện đủ phụ thuộc vào trễ thời gian kiểm tra hệ (1.3.2)
có ổn định và thỏa mãn (1.3.3) không.
Định lý 2.2.1. Với γ > 0 là một hằng số cho trước. Nếu tồn tại các ma trận
đối xứng, dương xác định X , Q1 , Q2 , Q3 thỏa mãn


#
B1
XC1
A


−γ 2 I




 B1
D
0
11

<0
(2.2.1)
+τB1 Q3 B1




C1 X
D11
−I
0 
A
0
0
−Q
với
# = [A + Ad ] X + X [A + Ad ] + τAd Q1 Ad + τAd Q2 Ad
A = XA

1
τ Q1

Q= 0
0

XAd

Ad


0
1
τ Q2
0

0

0 ,
1
τ Q3

thì hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định và thỏa mãn (1.3.3).
Chứng minh. Chúng ta có
t

x(t − τ) = x(t) −

x(s)ds.
˙
t−τ

Thay (1.3.2) với u(t) ≡ 0 vào công thức trên ta được
t

x(t − τ) = x(t) −

t−τ

[Ax(s) + Ad x(s − τ) + B1 ω(s)] ds.

(2.2.2)

Thay (2.2.2) vào (1.3.2), ta được

t


x(t)
˙
=
[A
+
A
]
x(t)
−
A
[Ax(s) + Ad x(s − τ) + B1 w(s)]ds
d
d


t−τ
+ B1 w(t)





x(t) = 0, ω(s) = 0, s ∈ [−2τ, 0] .
(2.2.3)
16


Định nghĩa xt ∈ C [−2τ, 0] với xt (s) = x(t + s), s ∈ [−2τ, 0] và xét phiếm
hàm Lyapunov sau:
V (xt ) = V0 (xt ) +V1 (xt ),
(2.2.4)
với
V0 (xt ) = x (t)Px(t)
0

V1 (xt ) =

t

−τ t+θ
t

0

+
−τ t−τ+θ
0

+
−τ t+θ

x (s)A Q−1
1 Ax(s)dsdθ

x (s)Ad Q−1
2 Ad x(s)dsdθ

(2.2.5)

w (s)B1 Q3 B1 w(s)dsdθ .

Sử dụng (2.2.3), ta được
V˙0 (xt ) = x (t) P [A + Ad ] + [A + Ad ] P x(t)
t

−2x (t)PAd A

t

t−τ

x(s)ds + Ad

t−τ

t

x(s − τ)ds + B1

w(s)ds

t−τ

+2x (t)PB1 w(t).
(2.2.6)
Dựa trên Bổ đề A.1 (Bổ đề 1.2.5), tương ứng, ta được,
t

−2x (t)PAd A

t−τ

x(s)ds ≤ τx (t)PAd Q1 Ad Px(t)
(2.2.7)

t

+

x (s)A
t−τ

Q−1
1 Ax(s)ds

t

−2x (t)PAd Ad

t−τ

x(s − τ)ds ≤ τx (t)PAd Q2 Ad Px(t)
(2.2.8)

t

+

x
t−τ

t

−2x (t)PAd B1

t−τ

(s − τ)Ad Q−1
2 Ad x(s − τ)ds

w(s)ds ≤ τx (t)PAd Q−1
3 Ad Px(t)
(2.2.9)

t

+
t−τ

17

w (s)B1 Q3 B1 w(s)ds.


Hơn nữa, tính toán đơn giản ta được
t

V˙1 (xt ) = τx (t)A Q−1
1 Ax(t) −
+τx (t)Ad Q−1
2 Ad x(t) −

t
t−τ

t−τ

x (s)A Q−1
1 Ax(s)ds

x (s − τ)Ad Q−1
2 Ad x(s − τ)ds

(2.2.10)

t

+τω (t)B1 Q3 B1 ω(t) −

t−τ

w (s)B1 Q3 B1 w(s)ds.

Kết hợp (2.2.7) - (2.2.10) ta được
V˙ (xt ) ≤ x (t) P [A + Ad ] + [A + Ad ] P x(t)
+τx (t) PAd Q1 Ad P + A Q−1
1 A x(t)
(2.2.11)

+τx (t) PAd Q2 Ad P + Ad Q−1
2 Ad x(t)
τ
+τx (t)PAd Q−1
3 Ad Px(t) + τw (t)B1 Q3 B1 w(t)

+2x (t)PB1 w(t).
Chứng minh của sự ổn định bên trong ta tiến hành các bước tương tự như
trong Định lý 2.1.1. Bây giờ ta xác đinh các hàm đặc trưng của
T

JT =

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) dt.

0

Lưu ý rằng
T

JT =

0

T

2

z (t)z(t) − γ w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt −
T

=
0

0

V˙ (xt )dt

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt −V (xT )
T

≤
0

(2.2.12)

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt.

Theo (2.2.11), chúng ta có
˜
z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) ≤ x (t) w (t) Θ
18

x(t)
w(t)

(2.2.13)


với






P [A + Ad ]


 + [A + Ad ] P


 +τPAd Q1 Ad P



−1 
+τA Q1 A



 +τPAd Q2 Ad P


˜ = 
Θ
 +τA Q−1 A 
d

d 2


−1
 +τPAd Q3 Ad P


+C1 C1



B1 P + D11C1

PB1 +C1 D11

τB1 Q3 B1
+D11 D11 − γ 2 I

˜ với diag {X, I} ta được
Đặt X = P−1 . Nhân cả 2 vế Θ


[A + Ad ] X



 +X [A + Ad ] 




+τA
Q
A
1
d
d

 +τXA Q−1 AX 


1
B1 + XC1 D11




+τA
Q
A
d 2 d

 +τXA Q−1 A X 
d 


d 2


−1
 +τXAd Q3 Ad X 


+XC1 C1 X


τB1 Q3 B1

B1 + D11C1 X
+D11 D11 − γ 2 I






















(2.2.14)











 < 0.










Sử dụng Bổ đề Schur, bất đẳng thức trên đúng nếu và chỉ nếu (2.2.1) thỏa
mãn. Từ các lập luận ở trên, nếu các ma trận đối xứng, xác định dương X,

Q1 , Q2 và Q3 thỏa mãn (2.2.1), thì P = X −1 > 0, Q1 > 0, Q2 > 0, Q3 > 0
˜ < 0, có nghĩa là JT < 0 với bất kỳ T > 0. Định lý 2.2.1 đã được
thỏa mãn Θ
chứng minh.
Dựa vào Định lý 2.2.1, chúng ta thiết kế một bộ điều khiển không nhớ
u(t) = Kx(t) ổn định hóa hệ (1.3.2) và đảm bảo hệ đóng thỏa mãn (1.3.3).

19


Thay u(t) = Kx(t) vào (1.3.2), chúng ta có được hệ đóng sau:
¯
x(t)
˙ = Ax(t)
+ Ad x(t − τ) + B1 w(t)

(2.2.15)

z(t) = C¯1 x(t) + D11 w(t)

(2.2.16)

với A¯ = A + BK, C¯1 = C1 + D12 K.
Theo Định lý 2.2.1, chúng ta thấy rằng nếu tồn tại các ma trận đối xứng,
xác định dương X, Ql , Q2 , Q3 thỏa mãn



A¯ + Ad X





 +X A¯ + Ad 

B1
X C¯1
A


 +τAd Q1 Ad 




+τAd Q2 Ad


(2.2.17)
<0



τB
Q
B
1 3 1

B1
D11

0 
2


−γ
I





C¯1 X
D11
−I
0 
A
0
0
−Q
trong đó
A = X A¯
và



1
τ Q1


Q= 0

0

XAd
0
1
τ Q2
0

Ad

0

0 
1
τ Q3

thì hệ đóng (1.3.2) là ổn định dưới họ điều khiển u(t) = Kx(t) và thỏa mãn
(1.3.3). Do đó, chúng ta có được định lý sau đây.
Định lý 2.2.2. Với γ > 0 là một số cho trước. Nếu tồn tại các ma trận đối
xứng, xác định dương X, Ql , Q2 , Q3 và ma trận Y thỏa mãn


H11
B1
H13 H14




τB1 Q3 B1


 B1
D
0
11
2

<0
(2.2.18)
−γ
I




D11
−I
0 
H13
H14
0
0
−Q
20


với
H11 = [A + Ad ] X + X [A + Ad ] + BY +Y B + τAd Q1 Ad + τAd Q2 Ad
H13 = XC1 +Y D12
H14 = (XA +Y B , XAd , Ad )

1
1
1
Q = diag( Q1 , Q2 , Q3 ),
τ
τ
τ
thì hệ đóng (1.3.2) với bộ điều khiển u(t) = Kx(t), K = Y X −1 là ổn định và
thỏa mãn (1.3.3).
Chứng minh. Chứng minh từ sau (2.2.17) bằng cách cho K = Y X −1 Sử dụng
các định lý trên, một bộ điều khiển ổn định hóa hệ (1.3.2) và thỏa mãn
(1.3.3).
Định lý 2.2.3. Với ký hiệu được định nghĩa trong Định lý 2.2.2, nếu tồn tại
các ma trận đối xứng, xác định dương X, Q1 , Q2 , Q3 , một ma trận Y, và một
vô hướng dương ρ0 là những nghiệm có thể tìm được của bài toán tối ưu hóa
sau
min
ρ
(2.2.19)
X>0,Q1 >0,Q2 >0,Q3 >0,Y,ρ>0

thỏa mãn


H11


 B1




H13
H14

B1
τB1 Q3 B1
−ρI

H13
D11
−I
0

D11
0

H14





0 
 < 0,


0 
−Q

thì hệ đóng (1.3.2) dưới điều khiển u(t) = Kx(t), K = Y X −1 là ổn định

√
và thỏa mãn (1.3.3) với γ = ρ 0 .
Để thể hiện tính hữu dụng của các kết quả của phần này chúng ta hãy
xem xét ví dụ bằng số sau đây.

21