VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP

Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC
TRONG HỆ VI PHÂN TẬP
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
1
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Một số kí hiệu
Tổng quan vấn đề
Chương I HỆ VI PHÂN TẬP
§1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Tập affine, tập lồi
1.1.2 Giới hạn của dãy tập
1.1.3 Không gian mêtríc Hausdorff
§1.2 Đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập
1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập
1.2.2 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập
§1.3 Hệ vi phân tập
1.3.1 Định nghĩa hệ vi phân tập
1.3.2 Định lý về so sánh nghiệm
Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP
§2.1 Bài toán điều khiển tập
2.1.1 Bài toán điều khiển tập
2.1.2 Ổn định nghiệm
§2.2 Phân loại điều khiển tập
2.2.1 Phân loại các bài toán điều khiển tập
2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu
2.2.3 Hệ vi phân tập mờ
Chương III. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG
HỆ VI PHÂN TẬP

§3.1 Hệ vi phân tập có điều khiển
3.1.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển
3.1.2 Xấp xỉ nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển
3.1.3 Sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển
§3.2 Điều khiển ngược đối với hệ vi phân tập
3.2.1 Bài toán điều khiển ngược
3.2.2 Điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn
3.2.3 Điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
03
04
05
06
06
08
08
12
12
13
15
15
15
19
19
20
24
24
25

26
29
29
33
36
37
37
37
46
54
55
2
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học cao học và viết luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận được
nhiều điều kiện thuận lợi của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Đồng Tháp, lãnh đạo và
các đồng nghiệp của Trường THPT Hồng Ngự I, sự giúp đỡ quý báu của Trường Đại
Học Cần Thơ, tất cả các thầy cô đang trực tiếp giảng dạy tại Khoa Toán của Trường
Đại Học Cần Thơ và Khoa Toán – Tin của Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại
Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh. Tác giả còn nhận được sự động viên, chia sẻ
và giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và người thân.
Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận được sự
hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH PHƯ về chuyên môn, người thầy
luôn nhiệt tình và tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấp
nhiều tài liệu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua học
tập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này.
Luận văn này còn được các Giáo sư phản biện, các thầy đã đọc và cho những ý
kiến đóng góp quý báu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quý
giá này.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Duy Trương
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
3
K
c
(R ) - Không gian các tập compact khác rỗng
K(R ) - Tập tất cả các tập compact khác rỗng
∫
F
(
s
)
ds
- Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập F
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
MỘT SỐ KÝ HIỆU
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
R - Tập hợp các số thực
R n - Không gian Euclide thực n – chiều

n
n
d H (A,B) - Khoảng cách từ tập A đến tập B
D(A,B) - Khoảng cách giữa hai tập không rỗng A và B
DH
(
X,t
0
)
- Đạo hàm Hukuhara của X tại
t
0
t
t
0
A
- Chuẩn của tập A
( ) - Kết thúc chứng minh.
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
4
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học có nhiều
ứng dụng trong kinh tế và kĩ thuật. Có nhiều loại bài toán điều khiển như điều khiển
được hoàn toàn, điều khiển tối ưu và ổn định hóa điều khiển tối ưu. Gần nửa thế kỉ qua,
lý thuyết điều khiển toán học không ngừng được phát triển vì nó có nhiều ứng dụng.
Tồn tại hai xu hướng giải bài toán tối ưu: điều kiện cần và điều kiện đủ. Nguyên lý cực
đại Pontriagin trở thành công cụ rất tốt đối với các hệ vi phân.
Gần đây, việc nghiên cứu phương trình vi phân tập trong không gian mêtric đã
được nhiều sự quan tâm chú ý. Một số kết quả chính theo hướng này đạt được do giáo

sư V. Lakshmikantham và các tác giả khác xem trong [6]-[13].
Luận văn này chọn đề tài: “Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân
tập”. Trên cơ sở khảo sát lý thuyết các nguyên lý về điều khiển ngược trong hệ vi phân
tập, tác giả đưa ra một số bài toán ngược cùng với các ứng dụng của chúng.
Nội dung luận văn này được chia ra làm 3 chương:
Chương I HỆ VI PHÂN TẬP
Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về tập, dãy tập, giới hạn của dãy tập, mêtríc
Hausdorff, đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, đưa ra khái niệm hệ vi phân
tập, các định lý về so sánh nghiệm,….
Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP
Giới thiệu những khái niệm về bài toán điều khiển, bài toán điều khiển được,
điều khiển trong hệ vi phân tập, điều khiển tối ưu hệ vi phân, ổn định nghiệm, hệ vi
phân tập mờ,.… Trong chương này, những vấn đề cơ bản đã trình bày một cách cô
đọng nhưng đầy đủ.
Chương III BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP
Đây là nội dung chính của luận văn. Giới thiệu một số khái niệm về hệ vi phân
tập có điều khiển như: sự tồn tại nghiệm, xấp xỉ nghiệm, sự sai lệch nghiệm của hệ vi
phân tập có điều khiển. Từ đó đưa ra một số ứng dụng của điều khiển ngược vào một
số bài toán có liên quan như: điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn,
điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn.
Cuối cùng là phần kết luận.
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
5
Tập M ⊂ R được gọi là tập affine nếu ∀ x, y ∈ M ,  ∈ R thỏa mãn:
( x + y) =
x + 1 −  y ∈ M do x + y = 2  ( x + y)  ∈ M
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
Chương I HỆ VI PHÂN TẬP
Nội dung của chương này là nhắc lại một số khái niệm cơ bản có liên quan trực
tiếp đến việc giới thiệu định nghĩa đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, cuối

cùng tác giả dựa vào các khái niệm đó để xây dựng khái niệm hệ vi phân tập (xem
trong [16 – 20]).
§ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Để định nghĩa được hệ vi phân tập, ta cần nắm được một số khái niệm cơ bản về
tập affine, tập lồi, giới hạn của dãy tập, không gian mêtríc Hausdorff....
1.1.1 Tập affine, tập lồi
1.1.1.1 Tập affine
Trong không gian R n , đường thẳng đi qua hai điểm x, y ∈ R n là họ các điểm:
(1 −  ) x +  y = x +  ( y − x) ;  ∈ R.
n
(1 −  ) x +  y ∈ M .
Tập M + a được gọi là chuyển dịch affine (tịnh tiến affine) của tập M trên
vectơ a ∈ R n :
M + a =
{
x + a x ∈ M , a ∈ R
n
}
.
Tập affine M được gọi là song song affine với tập affine L ⇔ M = L + a , hay M
là tịnh tiến affine của L trên vectơ a ∈ R n .
Định lí 1.1.1 Tập rỗng ∅ và không gian R n là các tập affine.
Định lí 1.1.2 Các không gian con của R n đều là các tập affine qua gốc tọa độ.
Chứng minh: Thật vậy, mỗi không gian con của R n đều chứa gốc tọa độ 0,
đồng thời đóng đối với phép cộng và phép nhân hai ngôi, nên ta có:
 x = (1 −  )0 +  x ∈ M , ∀x ∈ M , y = 0 ∈ R n , nên y ∈ R n .
Ngoài ra:
1 1
2 2


1 
 1 
 2   2 
(

)
Định lí 1.1.3 Mỗi tập affine khác rỗng song song với một không gian con tuyến
tính duy nhất, đó là không gian:
L = M − M =
{
x − y x ∈ M , y ∈ M
}
.
Ví dụ 1.1.1
Tập affine rỗng được quy ước có dim ∅ = -1
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
6
∑ 
Chứ ng m in h: Mỗ i tập :
C
i
=
{
x ∈ R
(
x, b
i
)
≤


i
đóng Ci này là lồi nên C = ∩ Ci là giao hữu hạn các tập lồi, do đó C là tập lồi.
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
Một điểm được quy ước có dimM = 0
Một đường trong R n có dimM = 1
Một mặt trong R n có dimM = 2
Một siêu phẳng trong R n có dimM = n -1.
Chúng ta biết siêu phẳng và các tập affine đều có thể nhận được từ các hệ
phương trình đại số tuyến tính, các hàm tuyến tính,… chúng ta có định lí sau:
1.1.1.2 Tập lồi
Tập C trong R n được gọi là lồi nếu với mọi điểm x, y ∈ C và số thực  ,
0 ≤  ≤ 1 thỏa mãn:
(1 −  ) x +  y ∈ C.
Chú ý: Nếu tập affine chứa nguyên đường thẳng thì tập lồi chỉ chứa một đoạn
của đường thẳng nối hai điểm x và y .
Tổng vectơ 1x1 + 2 x2 + ... + m xm được gọi là tổ hợp lồi của x1, x2 ,..., xm
nếu 
≥ 0
và
m
i =1
i
= 1 .
Cho tập S là lồi, khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa S được gọi là bao lồi của
S và kí hiệu là convS . Như vậy, bao lồi convS là tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa
tập S.
Bao lồi của hữu hạn các điểm trong không gian R n được gọi là đa diện lồi.
Định lí 1.1.4 Giao hữu hạn của các tập lồi trong R n là một tập lồi.
Định lí được chứng minh là dễ dàng bằng quy nạp.
Hệ quả 1.1.4 Cho bi ∈ R n , i ∈ R với i ∈ I tập các chỉ số, khi đó tập:

C =
{
x ∈ R
n
( x, bi ) ≤ i , ∀i ∈ I
}
.
là một tập lồi.
n
}
là không gian con đóng (cũng có thể là rỗng hoặc toàn bộ R n ). Các không gian con
i∈I
Định lí 1.1.5 Tập con trong R n là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp
lồi các phần tử của nó.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử C là một tập con lồi trong R n , chúng ta cần chỉ ra rằng C
chứa tổ hợp lồi các phần tử x1, x2 ,..., xm ∈ C. Thật vậy, đối với hai phần tử ta luôn có:
x, y ∈ C thì y − x ∈ C và (1 −  ) x +  y = x +  ( y − x) ∈ C
Bằng quy nạp cho m phần tử x1, x2 ,..., xm ta cũng có 1x1 + 2 x2 + ... + m xm ∈ C.
Điều kiện đủ: Giả sử tập C ⊂ R n chứa các tổ hợp lồi, chúng ta cần chứng minh
C là tập lồi. Thật vậy, đặt:
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
7
Khi đó: 1 + 2 + ... + m = 1, i' ≥ 0 và y là tổ hợp lồi thuộc C. Ta có y ∈ C nên suy ra:
{ }
N
>0
n
≥
N

{ }
lim inf
K
n
= ∩ ∪ ∩
B
(
K
n
,
∑
).
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
n
→∞
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
y = 1x1 + 2 x2 + ... + m xm

1 −  i
'
x = (1 −  1 ) y + 1x ∈ C . Hay C là tập lồi. ( )
1.1.2 Giới hạn của dãy tập
Giả sử X là không gian mêtric,
K n
⊂
X
, n =1,2,. . . là dãy tập con của X.
1.1.2.1 Giới hạn trên của dãy tập
Giới hạn trên của dãy tập Kn là tập:
lim sup
Kn
:=
x
∈
X
: lim→∞inf
d
(
x
,
K
n
)
= 0
n
→∞
lim sup
Kn

chính là tập mọi điểm tụ của các dãy
xn
∈
Kn
bất kỳ có
thể lập được;
lim sup
Kn
còn được định nghĩa là tập mọi điểm tụ của các dãy “ xấp
xỉ ” , tức là các dãy {xn} thỏa:
∀∑ >
0,
∃
N
(
∑
) :
∀
n
>
N
(
∑
),
x
n
∈
B
(
K

n
,
∑
)
(
ôû
ñaây
B
(
K
n
,∑
)
=
{
x
:
d
(
x
,
K
n
)
< ∑
}
)
;
lim sup
K n

= ∩ ∪
Kn
= ∩ ∩ ∪
B
(
K n
,∑ ).
∑ >0
N
>0
n
≥
N
1.1.2.2 Giới hạn dưới của dãy tập
Giới hạn dưới của dãy tập Kn là tập:
lim inf
Kn
:=
x
∈
X
: lim
d
(
x
,
Kn
) = 0 .
lim inf
Kn

chính là tập các giới hạn của mọi dãy xn ∈ K n .
∑ >0
N
>0
n
≥
N
Chú ý: Nếu lim→∞inf
Kn
= lim sup
K n
, ta nói tập này là giới hạn của dãy Kn và kí
n
→∞
hiệu là lim
K n
.
1.1.3 Không gian metric Hausdorff
Cho x ∈ R n , A ∈ R n , A ≠ ∅ . Khoảng cách từ x tới A được định nghĩa như sau:
d
( x, A) = inf
{
x
−
a , a
∈
A
}
Đặt:
S∑

( A) =
{
x
∈
R
n
: d
( x, A) < ∑
}
;
S ∑
( A) =
{
x
∈
R
n
: d
( x, A) ≤ ∑
}
.
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
8
Đặc biệt, ta kí hiệu:
S
1
= S
1
(


)
.Từ đó
S
∑
(
A
)
= A +
∑
S
1n
.
na + ∑ ci = ∑ bi + ∑ ci ;
na + c1 = ∑ bi n+1;
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
n
Với mọi ∑ > 0 , A ∈ R n , A ≠ ∅ .
Cho A, B là hai tập con khác rỗng của R n . Ta định nghĩa khoảng cách từ A tới B
là:
Tương đương với:
d H
( B, A) = sup
{
d
(b, A) : b ∈ A
}
.
d H
( B, A) = inf
{

∑ > 0 : B ⊆ A + ∑ S
1n
}
.
Ta có một số tính chất:
(a) d H
( B, A) ≥ 0 với d H ( B, A) = 0 ⇔ B ⊆ A ;
(b) d H
( B, A) ≤ d H ( B, C ) + d H (C, A) ;
(c) d H
( B, A) ≠ d H ( A, B ) ;
Với A, B, C khác rỗng con R n .
Bây giờ, ta định nghĩa khoảng cách giữa hai tập con không rỗng A, B là:
D
( A, B ) = max
{
d
H
( A, B ) , d H ( B, A)
}
.
Ta cũng có một số tính chất:
(a) D
( B, A) ≥ 0 với D ( B, A) = 0 ⇔ A = B ;
(b) D
( B, A) ≤ D ( B, C ) + D (C, A) ;
(c) D
( B, A) = D ( A, B ) ;
Với A, B, C khác rỗng con R n .
Định lí 1.1.8 Nếu A, B ∈ KC ( R n ) và C ∈ K (R n ) thì D

( A + C , B + C ) = D ( A, B ).
Chứng minh: Ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.8 Cho A, B ∈ KC (R n ) , C ∈ K (R n ) và A + C ⊆ B + C thì A ⊆ B .
Chứng minh bổ đề: Cho a ∈ A bất kì. Ta cần chỉ ra rằng a ∈ B . Cho bất kì
c1 ∈ C , ta có a + c1 ∈ B + C , điều đó có nghĩa là tồn tại b1 ∈ B và c2 ∈ C sao cho
a + c1 = b1 + c2 . Một cách tương tự, tồn tại b2 ∈ B và c3 ∈ C sao cho a + c2 = b2 + c3 .
Lặp lại quá trình trên và lấy tổng của n đẳng thức ta được:
n n n+1
i =1 i =1 i =2
tương đương với:
n
+ c
i =1
thì:
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
9
∑ =i 1 bi + n n1 .
−
∑ =i 1 bi , thì a = xn + n n1 .
−
Ta thấy rằng xn ∈ B với mọi n, vì B lồi và C là compact nên
c
n+1
c
1
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
a =
1 n c n + 1 c
n
Đặt:

x
n
=
1 n c n + 1 c
n
− → 0 .
n n
Do đó xn hội tụ về a. Vì B compact do đó a ∈ B . Bổ đề được chứng minh. ( )
Bây giờ ta chứng minh định lí 1.1.8. Cho  ≥ 0 và S là hình cầu đơn vị đóng
trong không gian. Ta xét các bao hàm:
(1) A +  S ⊃ B;
(2) B +  S ⊃ A;
(3) A + C +  S ⊃ B + C;
(4) B + C +  S ⊃ A + C.
Đặt: d1 = D
( A, B ) và d1 = D ( A + C, B + C ) .Thì d1 là infimum của những số 
dương thỏa (1) và (2). Tương tự, d2 là infimum của những số  dương thỏa (3) và (4).
Vì (1) và (2) suy ra (3) và (4) bằng cách cộng thêm C nên d1 ≥ d 2 và (3) và (4) bằng
cách xóa C suy ra (1) và (2) nên d1 ≤ d 2 .Vậy d1 = d 2 .
Định lí 1.1.9 Nếu A, B ∈ K (R n ) thì D(coA, coB) ≤ D( A, B)
Nếu A, A’, B, B’∈ KC (R n ) thì:
D(tA, tB) = tD( A, B) với mọi t ≥ 0;
D( A + A ', B + B ') ≤ D( A, B) + D( A ', B ')
( )
(1)
(2)
(3)
hơn nữa:
trong đó:
và:

D( A − A ', B − B ') ≤ D( A, B) + D( A ', B ')
A − A ', B − B ' là tồn tại, và với  = max
{ , }
D( A,  B) ≤  D( A, B) +  − 
[
D( A,

) + D( B,

)
]
D( A,  B) ≤  D( A − B, ) nếu A − B là tồn tại.
(4)
(5)
(6)
Chứng minh: Chứng minh (1), (2) là hiển nhiên, bây giờ ta chứng minh (3).
Với mọi a ∈ A và u ∈ A ' . Do B và B’ là compact nên tồn tại b(a) ∈ B và v(u) ∈ B '
sao cho:
inf a − b = a − b(a) ; inf u − v = u − v(u) .
b∈B v∈B '
Ta lại có:
Do đó:
a + u − b(a) − v(u) ≤ a − b(a) + u − v(u)
sup inf a + u − b − v ≤ supinf a − b + supinf u − v
a∈A,u∈A ' b∈B ,v∈B ' a∈A b∈B u∈A ' v∈B '
Từ đó suy ra (3).
Chứng minh (4), ta thấy:
D( A − A ', B − B ') ≤ D( A − A '+ A '+ B ', B − B '+ B '+ A ')
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
10

Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
= D( A + B ', B + A ') ≤ D( A, B) + D( A ', B ')
Chứng minh (5), cho  −  ≥ 0 , thì:
D( A,  B) ≤  D( A, B) +
(  −  ) D( A, ),
và nếu  −  ≤ 0 , thì:
D( A,  B) ≤  D( A, B) +
(  −  ) D(B, ),
từ đó suy ra (5).
Chứng minh (6) suy ra từ (4).
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
( )
11
lim+
lim+
lim
−
.
i i
i i
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
§1.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HUKUHARA
CỦA ÁNH XẠ TẬP
Tiếp theo, trong không gian này ta sẽ xét tính liên tục, đạo hàm và tích phân
Hukuhara của ánh xạ tập có liên quan trực tiếp đến khái niệm hệ vi phân tập.
1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập
Định nghĩa 1.2.1
Cho I là một khoảng trong tập R và một tập ánh xạ X : I → KC ( R n ) . X được
gọi là có đạo hàm Hukuhara tại t0 ∈ I nếu tồn tại DH X (t0 ) ∈ KC (R n ) sao cho giới hạn:
và

⊗t →0
⊗t →0
X ( t 0 + ⊗ t ) − X ( t 0 )
⊗t
X ( t 0 ) − X ( t 0 − ⊗ t )
⊗t
(1)
(2)
tồn tại và bằng DH X (t0 ).
Trong định nghĩa trên (2) không thể thay thế bởi giới hạn:
X ( t 0 + ⊗ t ) − X ( t 0 )
⊗t →0 ⊗t
Bởi vì X (t0 ) − X (t0 − ⊗t ) tồn tại không kéo theo X (t0 + ⊗t ) − X (t0 ) là tồn tại.
Định lí 1.2.3 Nếu tập ánh xạ X : I → KC ( R n ) có đạo hàm Hukuhara trên I thì
hàm thực t → diam( X (t )) , t ∈ I là không giảm trên I.
Chứng minh: Nếu X là có đạo hàm Hukuhara tại t0 ∈ I , thì có  (t0 ) > 0 sao
cho X (t0 + ⊗t ) − X (t0 ) và X (t0 ) − X (t0 − ⊗t ) là xác định với 0 < ⊗t <  (t0 ) . Bởi
vì A − B , A, B ∈ K C (R n ) là xác định khi và chỉ khi B ⊂ A , do đó A − B tồn tại khi và
chỉ khi diam( A) ≥ diam( B). Cho là cố định với t1 < t2 . Thì với mỗi  ∈
[
t
1
, t
2
]
có một
 ( ) > 0 sao cho diam( X (s)) ≤ diam( X ( )) với s ∈
[
 −  ( ),
]

, và
diam( X (s)) ≥ diam( X ( )) với s ∈
[
 , +  ( )
]
. Ta có họ:
{I :  ∈
[
t
1
, t
2
]
, I

= (

−

(

),

+

(

)
} là một phủ mở của
[

t
1
, t
2
]
. Chọn một phủ con
hữu hạn I r1 ,..., I rN với  i <  i +1 thì diam( X (t1 )) ≤ diam( X ( 1 )) và
diam( X ( N )) ≤ diam( X (t2 )) . Không mất tính tổng quát giả sử I r ∩ I r +1 ≠ ∅ ,
i = 1,..., N − 1. Do đó với mỗi i = 1,..., N − 1, tồn tại si ∈ I r ∩ I r +1 với  i < si <  i +1 và từ
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
12
lim
+
lim
−
D
[
X (t ), X (t
0
)
]
t − t
0
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
đây: diam( X ( i )) ≤ diam( X (si )) ≤ diam( X ( i +1 )) . Do đó, ta có:
diam( X (t1 )) ≤ diam( X (t2 )) .
( )
Chú ý: Sự tồn tại của giới hạn trong (1) và (2) không là không sử dụng trong
chứng minh định lí trên. Thực vậy, thay cho việc sử dụng giả thiết X (t ) ta có thể sử
dụng giả thiết với mỗi t ∈ I hiệu X (t + ⊗t ) − X (t ) và X (t ) − X (t − ⊗t ) là tồn tại với

⊗t > 0 đủ nhỏ.
Ví dụ 1.2.5 Cho X (t ) = (2 + sin t )S1n ( S1n là quả cầu đóng đơn vị trong R n ). X
không có đạo hàm Hukuhara trên (0, 2  ). Bởi vì diam( X (t )) = 2(2 + sin t ) không giảm
trên (0,2  ).
Ví dụ 1.2.6 Nếu X (t ) =
[
t, 2t
]
,
0 < t < 1
, thì D
H
(t ) =
[
1, 2
]
,
0 < t < 1
và
X (t1 ) ⊄ X (t2 ) , X (t2 ) ⊄ X (t1 ) với bất kì t1, t2 , 0 < t1 < t2 < 1 .
Định lí 1.2.4 Ánh xạ X là ánh xạ hằng khi và chỉ khi DH X = 0 xác định trên T.
Chứng minh: Nếu X là ánh xạ hằng hiển nhiên DH X = 0 , ngược lại giả sử ta
có DH X = 0 . Cố định t0 ∈ (0,1) , nếu t > t0 ta có:
D
[
X (t ), X (t
0
)
]
= D

[
X (t ) − X (t
0
),
]
suy ra:
Tương tự, nếu t < t0 ta có:
t →t
0
t →t
0
D
[

X

(

t

),

X

(

t

0

)

]

t − t0
D
[

X

(

t

),

X

(

t

0

)

]

t − t0
và do đó:

lim .
t →t0
Cố định t1 ∈ (0,1) , từ bất đẳng thức:
D
[
X (t
1
), X (t )
]
− D
[
X (t
1
), X (t
0
)
]
≤ D
[
X (t ), X (t
0
)
]
Chia 2 vế cho t − t0 . Thì hàm giá trị thực: t → D
[
X (t
1
), X (t )
]
là hằng số.

Mà tại t1 hàm đạt giá tri không. Do đó X (t ) = 0 .
( )
1.2.3 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập
Do K C ( R n ) là không gian metric nửa tuyến tính nên có thể xem như một nón
được nhúng vào không gian Banach tương ứng ta sẽ có những kết quả tương tự tích
phân Bochner.
Ta thấy nếu:
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
13
 
∫ t t∫ f (s)ds : f ∈ F , f ∈ L ( I ) .
F (s)ds =
∫ ∫ ∫ F (s)ds , t
(ii) ∫ ∫ F (s)ds ,  ∈ R, t0 ≤ t ≤ T ;
 
(iii) D ∫ ∫ ∫ D
[
F (s), G(s)
]
ds.
 
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
t
F (t ) = X 0 + ∫ √(s)ds , X 0 ∈ K C ( R n )
t0
ở đây √ : I → K C (R n ) là khả tích theo nghĩa Bochner, thì DH F (t ) tồn tại và
DH F (t ) = √(t ) trên I.
Từ đó ta có tích phân Hukuhara của hàm F là:
t t
1

0  0 
Cho bất kì tập compact con R+ .
Ta có một số tính chất của tích phân Hukuhara:
Cho F , G :
[
t
0
,T
]
→ K
C
(R
n
) là khả tích Bochner:
(i)
t2
t1
t2
t0
t0
t1
F (s)ds = F (s)ds +
0
≤ t1 ≤ t2 ≤ T ;
t t
 F (s)ds =
t0 t0
t t t
F (s)ds, G(s)ds  ≤
 t0 t0  t0

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
14
Ở đây F ∈ C  R+ ⋅ K C C (R n ) và DH X là đạo hàm Hukuhara của X.
Ánh xạ X ∈ C  J , K C (R n ) với J =
[
t
0
, t
0
+ a
]
, a > 0 được gọi là nghiệm của
Định lí 1.3.1 Giả sử F ∈ C  J ⋅ K C C (R n ) và t ∈ J , X ,Y ∈ KC (R n ) ,
 
m(t ) = D  X
0
+
∫
F (s, X (s))ds,Y
0
+
∫
F (s,Y (s))ds 
 
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
§1.3 HỆ VI PHÂN TẬP
Sau đây ta định nghĩa thế nào là hệ vi phân tập, một số tính chất về nghiệm của
hệ vi phân tập cũng trình bày trong mục này như định lý về so sánh nghiệm.
1.3.1 Định nghĩa hệ vi phân tập
Chúng ta xét hệ vi phân tập với giá trị ban đầu:

DH X = F (t, X ) , X (t0 ) = X 0 ∈ KC ( R n ), t0 ≥ 0
(SDE)
(R n ), K
1
(SDE) trên J nếu nó thỏa (SDE) trên J.
Bởi vì X (t ) là khả vi liên tục, ta có:
t
X (t ) = X 0 + ∫ DH X (s)ds , t ∈ J ;
t0
hay:
t
X (t ) = X 0 + ∫ F (s, X (s))ds , t ∈ J .
t0
Ở đây, tích phân là tích phân Hukuhara và X (t ) là một nghiệm của (SDE) khi và
chỉ khi nó có dạng trên.
1.3.2 Định lý về so sánh nghiệm
(R n ), K
D
[
F (t, X ), F (t,Y )
]
≤ g
(
t, D
[
X ,Y
]
)
(1)
Ở đây g ∈ C

[
J ⋅ R
+
, R
+
]
là đơn điệu tăng theo w, với mỗi t ∈ J . Giả sử thêm
rằng nghiệm max r (t, t0 , w0 ) của phương trình vi phân vô hướng:
w ' = g (t, w), w(t0 ) = w0 ≥ 0 tồn tại trên J. Thì nếu X (t ) , Y (t ) là hai nghiệm có giá trị
ban đầu tương ứng (t0 , X 0 ),(t0 ,Y0 ) , ta có:
D
[
X (t ),Y (t )
]
≤ r (t, t
0
, w
0
),
t ∈ J ,với
D
[
X
0
,Y
0
]
≤ w
0
.

Chứng minh: Đặt m(t ) = D
[
X (t ),Y (t )
]
sao cho m(t
0
) = D
[
X
0
,Y
0
]
≤ w
0
.Do tính
chất của metric D ta có:
t t
t0 t0
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
15
 
≤ D  X
0
+
∫
F (s, X (s))ds, X
0
+
∫

F (s,Y (s))ds 
 
 
+ D  X
0
+
∫
F (s,Y (s))ds, X
0
+
∫
F (s,Y (s))ds 
 
 
= D ∫ ∫ F (s,Y (s))ds  + D
[
X 0 0
]
.
m(t ) ≤ m(t
0
) +
∫
D
[
F (s, X (s)), F (s,Y (s))
]
ds
≤ m(t
0

) +
∫
g
(
s, D
[
X (s),Y (s)
]
)
ds
= m(t
0
) +
∫
g
(
s, m(s)
)
ds ,
t ∈ J
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
t t
t0 t0
t t
t0 t0
t t
F (s, X (s))ds, ,Y
 t0 t0 
Do tính chất của tích phân và điều kiện (1), ta có:
t

t0
t
t0
t
t0
Từ đó : m(t ) ≤ r (t, t0 , w0 ) , t ∈ J .
( )
Định lí 1.3.2 Giả sử giả thiết trong định lí 1.3.1 thỏa mãn ngoại trừ tính chất
hàm g (t, w) là hàm không tăng theo w. Thì kết luận vẫn đúng.
Chứng minh: Cho h > 0 đủ nhỏ thì khoảng cách Hukuhara X (t + h) − X (t ) ,
Y (t + h) − Y (t ) tồn tại và với t ∈ J ta có:
m(t + h) − m(t ) = D
[
X (t + h),Y (t + h)
]
− D
[
X (t ),Y (t )
]
.
Do tính chất của metric D ta có:
D
[
X (t + h),Y (t + h)
]
≤ D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ))
]
+ D

[
X (t ) + hF (t, X (t )),Y (t + h)
]
và:
D
[
X (t ) + hF (t, X (t )) + Y (t + h)
]
≤ D
[
Y (t ) + hF (t,Y (t )) + Y (t + h)
]
+ D
[
X (t ) + hF (t, X (t )),Y (t ) + hF (t,Y (t ))
]
D
[
X (t ) + hF (t, X (t )),Y (t ) + hF (t,Y (t ))
]
≤ D
[
X (t ) + hF (t, X (t )), X (t ) + hF (t,Y (t ))
]
+ D
[
U (t ) + hF (t,Y (t )),Y (t ) + hF (t,Y (t ))
]
= D
[

hF (t, X (t )), hF (t,Y (t ))
]
+ D
[
X (t ),Y (t )
]
Do đó:
m ( t + h ) − m ( t )
m(t )
≤
1
h
D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ))
]
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
16
h→0
h
≤ limsup  
D
[
X (t ) + hF (t, X (t )),Y (t ) + hF (t,Y (t ))
]
− D
[
X (t ),Y (t )
]
h→0

h→0
h
limsup   ≤ g (t, D
[
X ,Y
]
,
t ∈ J .
D
[
X + hF (t, X ),Y + F (t,Y (t ))
]
− D
[
X ,Y
]
h→0
 h 
 Y (t + h) − Y (t ) 
+ limsup D  
h→0
 h 
 X (t + h) − X (t ) 
≤ limsup D  
h→0
+ D
[
hF (t, X (t )), hF (t,Y (t ))
]
+ D

[
Y (t ) + hF (t,Y (t )),Y (t + h)
]
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
1
h
1
h
Suy ra:
D
+
m(t ) ≤ limsup
+
1
h
[
m(t + h) − m(t )
]
, F (t, X (t ))
+
F (t,Y (t )),
+
+ D
[
F (t, X (t )), F (t,Y (t ))
]
.
ở đây chúng ta đã sử dụng:
D
[

X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ))
]
= D
[
X (t ) + Z (t, h), X (t ) + hF (t, X (t ))
]
= D
[
Z (t, h) + X (t ), X (t ) + hF (t, X (t ))
]
= D
[
Z (t, h), hF (t, X (t ))
]
= D
[
X (t + h) − X (t ), hF (t, X (t ))
]
Từ đó: m(t ) ≤ r (t, t0 , w0 ) , t ∈ J .
( )
Định lí 1.3.3 Giả sử rằng F ∈ C  J ⋅ K C (R n ), KC (R n ) và
1
+
Ở đây X ,Y ∈ KC (R n ) , g ∈ C
[
J ⋅ R
+
, R
]
và r (t, t

0
, w
0
) là nghiệm max của
phương trình vi phân vô hướng w ' = g (t, w), w(t0 ) = w0 ≥ 0 tồn tại trên J.
Thì kết luận trong định lí 1.3.1 vẫn đúng.
Chứng minh: Cách chứng minh tương tự định lí 1.3.2, ta có:
m(t + h) − m(t ) = D
[
X (t + h),Y (t + h)
]
− D
[
X (t ),Y (t )
]
≤ D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t )
]
+ D
[
Y (t ) + hF (t,Y (t ),Y (t + h)
]
+ D
[
X (t ) + hF (t, X (t ),Y (t ) + hF (t,Y (t )
]
− D
[
X (t ),Y (t )

]
D
+
m(t ) = limsup
+
1
h
[
m(t + h) − m(t )
]
1
+
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
17
+ limsup D   + limsup D  F (t,Y (t )),
 X (t + h) − X (t )  
 h  
h→0 h→0

Hệ quả 1.3.1 Giả sử F ∈ C  J ⋅ KC (R ), KC (R ) và thỏa một trong hai điều
b) limsup   ≤ g
(
t, D
[
X ,
]
)
,
D
[

X + hF (t, X ),
]
− D
[
X ,
]
h
h→0
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
, F (t, X (t ))
+ +
≤ g
(
t, D
[
X (t ),Y (t )
]
)
= g (t, m(t )) , t ∈ J .
Suy ra điều phải chứng minh.
Y ( t + h ) − Y ( t ) 
h 
( )
n n
kiện sau:
a) D
[
F (t, X ),
]
≤ g

(
t, D
[
X ,
]
)
;
1
+
ở đây g ∈ C
[
J ⋅ R
+
, R
]
, thì nếu D
[
X
0
,
]
≤ w
0
, ta có D
[
X (t ),
]
≤ r (t, t
0
, w

0
) , t ∈ J .
Với r (t, t0 , w0 ) là nghiệm max của phương trình vi phân vô hướng:
w ' = g (t, w), w(t0 ) = w0 ≥ 0 trên J.
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
18
 
limsup
[ ]
V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t )) − V (t, X (t ),U (t ))
h
h→0
 
 2 
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG
HỆ VI PHÂN TẬP
Nội dung chính của chương này là trình bày một số bài toán điều khiển trong hệ
vi phân tập, phân loại một số bài toán điều khiển tập như: điều khiển tập tối ưu, ổn định
nghiệm, giới thiệu khái niệm điều khiển tập mờ,….(xem trong [17-20]).
§2.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TẬP
Các hệ thống luôn luôn có mục đích để tồn tại. Các trạng thái của hệ thống
không ngừng biến đổi và luôn đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống muốn hoạt động
tốt phải có đủ độ tin cậy và mang tính ổn định. Cần phải duy trì một chế độ kiểm soát
sự diễn biến trạng thái của hệ thống mà tiến hành công việc đó cần phải có điều khiển.
2.1.1 Bài toán điều khiển tập
Hệ vi phân tập có dạng: DH X = F (t, X (t ),U (t )) , X (t0 ) = X 0
(SCDE)
Trong đó
F ∈ C  I ⋅ K

C
(R
n
) ⋅ K
C
( R
p
), K
C
(R
n
)
,
t ∈ I ⊂ R+ ,
trạng thái
X (t ) ∈ K C (R n ) , điều khiển U (t ) ∈ K C ( R p ).
Giả sử V ∈ C  R+ ⋅ KC (R n ) ⋅U , R+  là hàm tựa Lyapunov của SCDE. Từ
nghiệm của phương trình vi phân tập (SDE) ta có một kết quả cho nghiệm của phương
trình SCDE dưới đây:
Định lí 2.1.1 Giả sử: V ∈ C  R+ ⋅ KC (R n ) ⋅U , R+ 
(i) V ∈ C  R+ ⋅ KC (R n ) ⋅U , R+  và
V (t, X (t ),U (t )) − V (t, X (t ),U (t )) ≤ LD  X (t ), X (t ) ,
với L là hằng số Lipschitz địa phương với X (t ), X (t ) ∈ KC (R n ) , U (t ),U (t ) ∈U và
t ∈ R+ .
(ii) D +V (t, X (t ),U (t )) ≡
1
+
≤ g (t,V (t, X (t ),U (t )) .
Ở đây g ∈ C  R+ , R  và cho t ∈ R+ , X (t ) ∈ K C (R n ) , U (t ) ∈U . Thì:
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01

19
D
+
m(t ) = limsup
[
m(t + h) − m(t )
]
≤ D
+
V (t, X (t ),U (t ))
h
h→0
D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))
]
+ L limsup  
h
h→0
D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))
]
= D 
, hF (t, X (t ),U (t ))
D
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))
]
limsup  

h
h→0
= limsup D  
 X (t + h) − X (t ) 
 h 
h→0
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
nếu X (t ) = X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) là nghiệm bất kì của (SCDE) xác định trên
[
t
0
.T
)
với
X(t 0 ) = X 0 , U (t ) ∈U sao cho V (t0 , X 0 ,U 0 ) ≤ w0 , ta có:
V (t, X (t ),U (t )) ≤ r (t, t0 , w0 ) , t ∈
[
t
0
.T
)
trong đó r (t, t0 , w0 ) là nghiệm max xác định trên
[
t
0
.T
) của phương trình vi phân:
w ' = g (t, w), w(t0 ) = w0 ≥ 0.
Chứng minh: Cho X (t ) = X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) là nghiệm bất kì của (SCDE) xác
định trên

[
t
0
.T
) . Đặt m(t ) = V (t, X (t ),U (t )) sao cho m(t0 ) = V (t0 , X 0 ,U 0 ) ≤ w0 . Cho
h > 0 đủ nhỏ, do (i) ta có:
m(t + h) − m(t ) = V (t + h, X (t + h),U (t + h)) − V (t, X (t ),U (t ))
=V (t + h, X (t + h),U (t + h)) − V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t + h))
+V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t + h)) − V (t, X (t ),U (t ))
≤ LD
[
X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))
]
+V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t + h)) − V (t, X (t ),U (t ))
Do đó:
1
+
1
+
Vì:
Ta có:
1
h
 X ( t + h ) − X ( t )
 h
1
+
, hF (t, X (t ),U (t ))
+
= D

[
D
H
X (t ), hF (t, X (t ),U (t ))
]
= 0
.


Do đó ta có bất phương trình vi phân vô hướng: D
+
m(t ) ≤ g (t, m(t )) , m(t
0
) ≤ w
0
;
Suy ra: m(t ) ≤ r (t, t0 , w0 ) , t ∈
[
t
0
.T
).
Hệ quả 2.1.1 Nếu hàm g (t, w) = 0 thì V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) .
2.1.2 Ổn định nghiệm
Trong mục này sẽ trình bày các kết quả về ổn định nghiệm SCDE. Ta có thể
giả sử F (t, ) =  , khi đó nghiệm tầm thường tồn tại với mọi t ≥ t0 .
Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm tầm thường của SCDE được gọi là:
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
( )
20

[ ]
D V (t, X ,U ) ≡ lim sup
V (t + h, X + hF (t, X ,U ) − V (t, X ,U ) ≤ 0
(2.1.2)
h
h→0
 
 
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
(S1) Ổn định, nếu với mọi ∑ > 0 và t 0 ≥ 0 , tồn tại  = (t 0 , ∑) > 0 sao cho
D
[
X(t
0
), 
]
< 
thì
D
[
X(t), 
]
< ∑
với mọi
t ≥ t
0
.
(2.1.1)
(S2) Ổn định đều nếu trong (S1)  = (∑) > 0 là độc lập với t 0 .
(S3) Ổn định tiệm cận nếu thỏa (S1) và tồn tại T > 0 sao cho (2.1.1) thỏa mãn

với mọi t ≥ t 0 + T .
(S4) Ổn định tiệm cận đều nếu (S2) và (S3) thỏa mãn đồng thời.
Định lí 2.1.2 Giả sử:
(i) V ∈ C  R+ ⋅ S (〉 ) ⋅ K C ( R p ), R+  ,
V (t, X 1 (t ),U1 (t )) − V (t, X 2 (t ),U 2 (t )) ≤ LD
[
( X
1
,U
1
),( X
2
,U
2
)
]
,
với: L > 0, (t, X (t ),U (t )) ∈ R+ ⋅ S (〉 ) ⋅ KC ( R p ) , S (〉 ) =  X ∈ K C ( R n ) : D
[
X ,
]
< 〉 
+ 1
+
(ii) b
(
X
)
≤ V (t, X ,U ) ≤ a
(

t, X
)
với (t, X (t ),U (t )) ∈ R
+
⋅ S (〉 ) ⋅ K
C
( R
p
) ,
b, a(t,.) ∈ K =
{
⌠ ∈ C 
[
0, 〉
) , R+ 
}
sao cho:⌠ (0) = 0 , ⌠ (w) là tăng theo w.
Thì nghiệm tầm thường SCDE là ổn định.
Chứng minh: Cho 0 < ∑ < 〉 và t0 ∈ R+ . Chọn  =  (t0 , ∑ ) sao cho:
a(t0 , ) < b(∑ ) (2.1.3)
Chúng ta chỉ ra rằng với  này sẽ có điều phải chứng minh. Ngược lại sẽ tồn tại
một nghiệm: X (t ) = X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) của SCDE và t1 > t0 sao cho:
X (t1 ) = ∑ và X (t ) ≤ ∑ < 〉 , t0 ≤ t ≤ t1
(2.1.4)
với bất kì X 0 <  . Theo hệ quả 2.1.1. ta có:
V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) , t0 ≤ t ≤ t1 .
Từ (ii), (2.1.3), (2.1.4) ta có mâu thuẫn sau:
b(∑ ) = b
(
X (t

1
)
)
≤ V (t
1
, X (t
1
),U (t
1
)) ≤ V (t
0
, X
0
,U
0
) ≤ a
(
t
0
, X
0
)
≤ a(t
0
, ) < b(∑ )
Do đó ta có điều phải chứng minh. ( )
Định lí 2.1.3 Giả sử giả thiết trong định lí 2.1.1 thỏa mãn mà trong đó (2.1.2)
được thay bởi : D +V (t, X ,U ) ≤ − V (t, X ,U ) , (t, X ,U ) ∈ R+ ⋅ S (〉 ) ⋅ KC (R p ) (2.1.5)
thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận.
Chứng minh: Dễ thấy nghiệm tầm thường của SCDE là ổn định. Đặt: ∑ = 〉 và

 0 =  (t0 , 〉 ) theo định lí 2.1.1 ta có:
X 0 <∂ 0 suy ra X (t ) < 〉 , t ≥ t0 ; trong đó X (t ) = X (t, t0 , X 0 ,U 0 ).
Do đó từ (2.1.5) ta có:
V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) exp
[
−

(t − t
0
)
]
, t ≥ t
0
.
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
21
V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t
0 0 0
(t )) −
∫
c
(
X (s)
)
ds ,
t
0 0
t + T
D V (t, X ,U ) ≤ 0
b

(
X (t )
)
≤ V (t, X (t )) ≤ a(t
0
, )e
−  (t − t
< b(∑ ) , t ≥ t
0
+ T .
b(∑ )
1 a(t
0
,
0
)
Cho ∑ > 0 , chọn T = (t
0
, ∑ ) =
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
ln +1. Thì dễ thấy:
0
Định lí được chứng minh. ( )
Định lí 2.1.4 Giả sử rằng, cho (t, X ,U ) ∈ R+ ⋅ S (〉 ) ∩ S ( ) ⋅ K C ( R p ) với mỗi
0 <  < 〉 , V ∈ C  R+ ⋅ S (〉 ) ∩ S ( ) ⋅ KC (R p ), R+  , ta có:
V (t, X 1,U1 − V (t, X 2 ,U 2 ) ≤ LD
[
( X
1
,U

1
),( X
2
,U
2
)
]
, L > 0;
và
+
b
(
X
)
≤ V (t, X ,U ) ≤ a
(
t, X
)
, a, b ∈ K
(2.1.6)
(2.1.7)
thì nghiệm tầm thường SCDE là ổn định đều.
Chứng minh: Cho 0 < ∑ < 〉 và t0 ∈ R+ . Chọn  =  (∑ ) > 0 sao cho
a( ) < b(∑ ) . Ta chỉ ra rằng với  này thì suy ra được nghiệm tầm thường SCDE là ổn
định đều. Nếu không sẽ tồn tại một nghiệm X (t ) của (SCDE), và t2 > t1 > t0 thỏa:
X (t1 ) =  , X (t2 ) = ∑ và  ≤ X (t ) ≤ ∑ < 〉 , t1 ≤ t ≤ t2
(2.1.8)
Cho  =  . Từ (2.1.6) ta có: V (t2 , X (t2 ),U (t2 )) ≤ V (t1, X (t1 ),U (t1 )) ;
và từ (2.1.7), (2.1.8) kết hợp với định nghĩa  , ta có:
b(∑ ) = b

(
X (t
2
)
)
≤ V (t
2
, X (t
2
),U (t
2
)) ≤ V (t
1
, X (t
1
),U (t
1
)) ≤ a
(
t
1
, X (t
1
)
)
≤ a( ) < b(∑ )
Từ mâu thuẫn này suy ra định lí được chứng minh.
( )
Định lí 2.1.5 Giả sử giả thiết trong định lí 2.1.3 thỏa mãn mà trong đó (2.1.6)
được thay bởi:

D +V (t, X ,U ) ≤ − V (t, X ,U ) , (t, X ,U ) ∈ R+ ⋅ S (〉 ) ⋅ KC (R p )
(2.1.9)
thì nghiệm tầm thường SCDE là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh: Từ định lí 2.1.3 ta có nghiệm tầm thường là ổn định đều. Cho
∑ = 〉 và kí hiệu 0 =0
(
〉
)
. Thì:
X 0 <0 suy ra X (t ) < 〉 , t ≥ t0 .
Bây giờ ta chỉ ra rằng tồn tại
t
*
sao cho: nếu
t
0
≤ t
*
≤ t
0
+ T
và
T = 1 +
a

(



0

)

c
(

)
thì:
X (t * ) < 
Ngược lại, ta có: X (t ) ≥  với mọi t0 ≤ t ≤ t0 + T và từ (2.1.9) ta có:
t
, X (t ),U ≤ t ≤
t0
Ta có mâu thuẩn:
0 ≤ V (t
0
+ T , X (t
0
+ T ),U (t
0
+ T )) ≤ a
(

0
)
− c
(

)
< 0.

Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
(2.1.10)
22
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
Do đó, tồn tại t * thỏa (2.1.10) và tính ổn định đều chỉ ra rằng :
X 0 <0 suy ra
Vậy
X
(
t
)
là ổn định tiệm cận đều.
X (t ) < 〉 , t ≥ t0 + T
( )
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
23
Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
§2.2 PHÂN LOẠI ĐIỀU KHIỂN TẬP
Trong mục này, ta nghiên cứu một số dạng bài toán điều khiển tập như: bài toán
điều khiển được, điều khiển hệ phi tuyến, điều khiển hệ tuyến tính liên tục ,….
2.2.1 Phân loại các bài toán điều khiển tập
Quá trình xây dựng lớp các bài toán điều khiển tập, ví dụ lớp các bài toán điều
khiển được, điều khiển tập tối ưu và ổn định hóa điều khiển tập tối ưu.
2.2.1.1 Bài toán điều khiển được
thời gian
Cặp trạng thái (X0 ,X1) được gọi là cặp điều khiển được, nếu sau khoảng
t1 tìm được một điều khiển U(t) ∈ K C
( R n ) sao cho:
X(0, X0 ,U) = X0 , X(t1, X0 ,U) = X1 .
Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu hai trạng thái bất kì

(X0 ,X1) nào cũng tìm được t1 để cặp trạng thái đó điều khiển được.
Hệ thống được gọi là đạt được hoàn toàn nếu hai trạng thái (, X1) luôn
tìm được t1 để cặp trạng thái đó điều khiển được.
Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu hai trạng thái
bất kì (X1, ) nào cũng tìm được t1 > 0 để cặp trạng thái đó điều khiển được.
2.2.1.2 Bài toán điều khiển tập tối ưu
Mỗi một hệ thống tồn tại luôn kèm theo một hoặc nhiều mục đích. Các
đại lượng đầu vào, đầu ra đặc trưng cho hệ. Bài toán điều khiển tập để đầu ra có chất
lượng tốt nhất được gọi là điều khiển tập tối ưu.
a) Hàm mục tiêu
Trong bài toán điều khiển tập tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng
đầu ra của hệ thống. Hàm mục tiêu có thể phụ thuộc vào các biến trạng thái của hệ
thống lẫn tập điều khiển như dạng I(X,U) hoặc chỉ phụ thuộc vào tập điều khiển như
dạng I(U).
Hàm mục tiêu có chất lượng tốt nhất là khi nó đạt giá trị tốt nhất hoặc
nhỏ nhất trong phạm vi cục bộ hoặc toàn cục của hệ thống.
b) Tập điều khiển tối ưu
Một hệ thống có đầu ra đạt chất lượng cao bởi điều khiển tập U * (t) ,
nghĩa là I(X * (t),U * (t)) = max I(X(t),U(t)) hoặc I(X * (t),U * (t)) = min I(X(t),U(t)) ,
khi đó U * (t) được gọi là điều khiển tập tối ưu.
(Trường hợp hàm mục tiêu chỉ phụ thuộc tập điều khiển thì I(U * (t)) = max I(U(t))
hoặc I(U * (t)) = min I(U(t)) ).
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
24
( ) ( )
a) Giải bài toán tối ưu hệ vi phân tập: X(t) ∈ K C C R p ;

R , U(t) ∈ K
 I(U) → max
X

(
t
o o o o
+
∫
X
(
t
,
s
)
B
(
s
)
U
(
s
)
ds
.
,
X
,
U
)
=
X
'(
t

,
t
)
X
( )

X
(
to o C R
,
t
∈
R
)
=
X
,
X
(
t
)
∈
K
dạng tích phân:
X
(
t
,
t
o o

)
=
X
o
+
∫
F
( )
ds
.

Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập
2.2.1.3 Bài toán ổn định hóa điều khiển tập tối ưu
Là bài toán bao gồm:
 DH X = F(t, X(t), U(t))
n

b) Giải bài toán tìm hàm điều khiển ngược khi hệ thống là tối ưu có
nghiệm ổn định.
2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu
Trong bài toán điều khiển tập tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng đầu ra
của hệ thống, vì thế có thể phân loại các bài toán theo dạng hàm mục tiêu I.
2.2.2.1 Điều khiển tập của hệ tuyến tính liên tục
Một hệ tuyến tính liên tục có điều khiển tập được mô tả bởi hệ vi phân
tập:
DH X
(
t
)
=

A
(
t
)
X
(
t
) +
B
(
t
)
U
(
t
).
Trong đó: t ∈ R + , X (t ) ∈ K C
( R n ) là tập gốc và U (t ) ∈ K C ( R n ) là tập điều
khiển; A(t), B(t) là các toán tử phụ thuộc t.
Lớp tập U(t) khả tích địa phương và nhận giá trị trong K C
( R n ) .
Nghiệm của hệ có thể viết dưới dạng:
t
to
Với X (t, to ) - tập nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính:
DH X
(
t
)
=

A
(
t
)
X
(
t
).
2.2.2.2 Điều khiển tập của hệ phi tuyến

DH X
=
F
(
t
,
X
(
t
),
U
(
t
)
)

n
+
Với
F

(
t
,
X
(
t
),
U
(
t
)
)
là tập ánh xạ phi tuyến đảm bảo hệ có nghiệm dưới
t
,
X s
,
X
(
s
),
U
(
s
)
to
2.2.2.3 Điều khiển của hệ vi phân tập
Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01
25