Ánh xạ đối ngẫu và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TRỌNG ĐOÀN

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại
học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã luôn động viên, quan tâm và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm khoa
Toán - Cơ - Tin trường Đại học khoa học tự nhiên, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã

động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận
văn này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Trọng Đoàn


Mục lục

Lời nói đầu

1

1

2

Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Không gian đối ngẫu X ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Định lý cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Tôpô yếu, yếu∗ trên không gian định chuẩn . . . . . . . .

9

1.5.1. Tôpô yếu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.2. Tôpô yếu∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6. Không gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8. Đạo hàm Gâteaux, Fréchet và dưới vi phân . . . . . . . .

15

1.9. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.10. Không gian Banach lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.11. Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Ánh xạ đối ngẫu và ứng dụng
2.1. Khái niệm và tính chất của ánh xạ đối ngẫu . . . . . . .

2

26
26


3

2.2. Ứng dụng của ánh xạ đối ngẫu

. . . . . . . . . . . . . .

47

2.2.1. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach .

47

2.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . .

56

Thuật toán lặp cho bài toán V I(T − f, K) . . .

64

2.2.3.
Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70


BẢNG KÍ HIỆU

R+

tập hợp số thực dương

∥.∥

chuẩn trên không gian vectơ

L(X, Y )

không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y

L(X, K)

không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn X

σ(X, X ∗ ) tôpô yếu trên không gian định chuẩn X
σ(X ∗ , X) tôpô yếu∗ trên X ∗
w

xn −→ x
w

∗

xn hội tụ theo tôpô yếu đến x

xn −→ x

xn hội tụ theo tôpô yếu∗ đến x

⟨x, y⟩

tích vô hướng trong không gian Hilbert

⟨x∗ , x⟩

giá trị của x∗ tại x

F+′ (x, y)

đạo hàm theo hướng y tại x

∂f

dưới vi phân của hàm f

ρ(τ )

môđun tính trơn của không gian Banach X

ρ(τ, x)

môđun tính trơn tại x ∈ X

∆(ϵ)

môđun tính lồi đều của không gian Banach X

∆(ϵ, x)

môđun tính lồi đều tại x ∈ X

∆(ϵ, x∗ )

môđun tính lồi đều yếu tại x∗ ∈ X

πK

toán tử chiếu suy rộng

V I(T, K) bài toán bất đẳng thức biến phân định nghĩa
bởi ánh xạ T và tập K


LỜI NÓI ĐẦU

Để phát triển sự tương tự của đồng nhất thức từ không gian Hilbert
sang không gian Banach, người ta phải tìm ra một sự thay thế phù hợp
cho tích vô hướng trong không gian Hilbert. Sự thay thế phù hợp đó là
ánh xạ đối ngẫu. Đó là ánh xạ cho một cặp đối ngẫu giữa các phần tử
trong không gian Banach X và các phần tử trong không gian đối ngẫu
của X.
Ánh xạ đối ngẫu được dùng nhiều trong nghiên cứu toán tử phi tuyến
liên quan đến phiếm hàm phi tuyến và phương trình tiến hóa.
Sau khi học xong chương trình cao học toán, với lòng mong muốn
được tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm và ứng dụng, tôi chọn đề tài
”Ánh xạ đối ngẫu và ứng dụng”.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu những tính chất cơ bản của ánh
xạ đối ngẫu và ứng dụng của nó. Nội dung luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1. Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của không

gian Banach, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, yếu∗ , không gian phản xạ,
không gian Hilbert để phục vụ cho việc nghiên cứu chương 2. Đặc biệt
trong chương này chúng ta trình bày các khái niệm về không gian Banach
trơn, không gian Banach lồi chặt, không gian Banach lồi đều.
Chương 2. Trình bày những vấn đề cơ bản của ánh xạ đối ngẫu và
tính chất của nó, đồng thời trình bày những ứng dụng của ánh xạ đối
ngẫu, bao gồm : Toán tử chiếu suy rộng và bất đẳng thức biến phân.
Vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn có thể còn những thiếu
sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đồng học góp ý để luận văn hoàn
thiện hơn.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về
không gian Banach, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu∗ , không
gian phản xạ, không gian Hilbert và các không gian Banach trơn, lồi
chặt, lồi đều.

1.1.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian vectơ trên trường K. Xét hàm
∥ . ∥: X −→ R.
(a) ∥ . ∥ gọi là sơ chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau với
mọi x, y ∈ X và λ ∈ R; λ ≥ 0
i) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥
ii) ∥ λx ∥= λ ∥ x ∥
(b) ∥ . ∥ gọi là nửa chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau với

mọi x, y ∈ X và λ ∈ K
i) ∥ x ∥≥ 0
ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥
iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥

2


3

(c) ∥ . ∥ gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau với
mọi x, y ∈ X và λ ∈ K
i) ∥ x ∥≥ 0 và ∥ x ∥= 0 ⇔ x = 0
ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥
iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥
Định nghĩa 1.1.2. Không gian vectơ X cùng với chuẩn ∥ . ∥ trên X
được gọi là không gian định chuẩn.
Nhận xét 1.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, dễ thấy rằng hàm số
thực ρ xác định trên X × X bởi công thức ρ(x, y) =∥ x − y ∥ là một
mêtric. Như vậy không gian định chuẩn là một không gian mêtric.
Nếu {xn } là một dãy phần tử của X và x0 ∈ X thì lim xn = x0 có nghĩa
là lim ∥ xn − x0 ∥= 0.

n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian định chuẩn
(i) Dãy {xn } trong X gọi là dãy cơ bản nếu

lim

n,m→+∞

∥ xn − xm ∥= 0

(ii) Dãy cơ bản trong X gọi là hội tụ nếu ∥ xn − xm ∥→ 0 thì tồn tại
x0 ∈ X sao cho ∥ xn − x0 ∥→ 0
Khi đó X được gọi là không gian định chuẩn đủ nếu mọi dãy cơ bản
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian Banach là không gian định chuẩn đủ.
Định lý 1.1.1. Nếu X là không gian định chuẩn, thì hàm chuẩn
x −→∥ x ∥ là liên tục đều trên X.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X ta có:
∥ x ∥=∥ x − y + y ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ y ∥
∥ y ∥=∥ y − x + x ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ x ∥


4

Từ đó ta suy ra
|∥ x ∥ − ∥ y ∥|≤∥ x − y ∥
Vậy ∀ϵ > 0; ∃δ = ϵ sao cho ∀x, y ∈ X ta có ∥ x − y ∥< δ thì ta suy ra
|∥ x ∥ − ∥ y ∥|< ϵ.
Định lý 1.1.2. Nếu X là không gian định chuẩn thì các phép toán:
+ : X × X −→ X
(x, y) −→ x + y
. : K × X −→ X
(λ, x) −→ λx
là liên tục.

Chứng minh. Xét dãy {xn }, {yn } trong X sao cho
lim ∥ xn − x0 ∥= 0

n→+∞

lim ∥ yn − y0 ∥= 0

n→+∞

Ta có
∥ (xn + yn ) − (x0 + y0 ) ∥ =∥ (xn − x0 ) + (yn − y0 ) ∥
≤∥ xn − x0 ∥ + ∥ yn − y0 ∥−→ 0
Vậy lim (xn + yn ) = x0 + y0 .
n→+∞

Xét dãy {λn } trong K mà lim λ = λ0 , ta có
n→+∞

∥ λn xn − λ0 x0 ∥ =∥ λn xn − λn x0 + λn x0 − λ0 x0 ∥
=∥ λn (xn − x0 ) + x0 (λn − λ0 ) ∥
≤| λn |∥ xn − x0 ∥ + ∥ x0 ∥| λn − λ0 |−→ 0.
Vậy lim λn xn = λ0 x0 .
n→+∞


5

Ví dụ 1.1.1. Xét không gian Lp (Ω)
Cho Ω là tập đo được Lebesgue trong Rn , µ là độ đo Lebesgue trong Ω
∫

{

L (Ω) = f : Ω −→ K đo được trên Ω;
p

}
| f (x) |p dµ < +∞

Ω

Không gian Lp (Ω) cùng với chuẩn được xác định bởi
(∫
) p1
p
∥ f ∥p =
| f (x) | dµ
Ω

thì Lp (Ω) là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2. Xét không gian ℓp
ℓp là tập hợp tất cả các dãy số (thực hoặc phức) x = (xn ) sao cho
∞
∑
| xn |p < +∞
n=1

Không gian ℓp cùng với chuẩn
∥ x ∥p =

∞
(∑

| xn |

p

) p1

n=1

là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.5. ([6], chapter 2, definition 5.1) Ta nói không gian
Banach X có tính chất (h)
w

nếu dãy {xn } ⊂ X mà xn −→ x và ∥ xn ∥−→∥ x ∥ thì xn −→ x.

1.2.

Không gian L(X, Y )

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K. Kí hiệu
L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y . Với
f ∈ L(X, Y ), ta đặt ∥ f ∥= inf{k : ∥ f (x) ∥≤ k ∥ x ∥, ∀x ∈ X}.
Định lý 1.2.1. Với mọi f ∈ L(X, Y ) thì
∥ f ∥= sup
x̸=0

∥ f (x) ∥

= sup ∥ f (x) ∥= sup ∥ f (x) ∥ .
∥x∥
∥x∥≤1
∥x∥=1


6

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
∥ f (x) ∥ ≤∥ f ∥∥ x ∥
∥ f (x) ∥
, ∀x ̸= 0
∥x∥
∥ f (x) ∥
∥ f (x) ∥
⇒ ∥ f ∥ ≥ sup
≥ sup
x̸=0 ∥ x ∥
0<∥x∥≤1 ∥ x ∥

⇒∥f ∥≥

≥ sup ∥ f (x) ∥≥ sup ∥ f (x) ∥
∥x∥≤1

∥x∥=1

Mặt khác
∥ f (x) ∥ ≤ ∥ x ∥∥ f (

x
) ∥ ≤ ∥ x ∥ sup ∥ f (x) ∥
∥x∥
∥x∥=1

Vậy ∥ f ∥= sup ∥ f (x) ∥.
∥x∥=1

Định lý 1.2.2. Cho X, Y là các không gian định chuẩn
(i) L(X, Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn
∥ f ∥= inf{k : ∥ f (x) ∥≤ k ∥ x ∥, ∀x ∈ X}.
(ii) Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach.
(iii) Nếu f : X −→ Y và g : Y −→ Z là các ánh xạ tuyến tính liên tục
thì g◦ f tuyến tính liên tục và ∥ g◦ f ∥ ≤ ∥ f ∥∥ g ∥.
Chứng minh. (i) Kiểm tra ∥ f ∥ là một chuẩn
+) Hiển nhiên ∥ f ∥ ≥ 0 và ∥ f ∥= 0 ⇔ f = 0.
+) Với mọi f, g ∈ L(X, Y ) ta có
∥ f + g ∥ = sup ∥ f (x) + g(x) ∥
∥x∥=1

≤ sup

∥x∥=1

(

∥ f (x) ∥ + ∥ g(x) ∥

)

≤ sup ∥ f (x) ∥ + sup ∥ g(x) ∥
∥x∥=1

=∥f ∥+∥g∥

∥x∥=1


7

+) Với mọi λ ∈ K ta có
∥ λf ∥= sup ∥ λf (x) ∥=| λ | sup ∥ f (x) ∥=| λ |∥ f ∥
∥x∥=1

∥x∥=1

(ii) Giả sử dãy {fn } là dãy Cauchy trong L(X, Y ), khi đó với mọi ϵ > 0,
tồn tại n0 sao cho với mọi n, m ≥ n0 thì ta có ∥ fn − fm ∥ < ϵ. Từ đó, ta
có với mọi x sao cho ∥ x ∥ ≤ 1 thì ∥ fn (x) − fm (x) ∥ < ϵ. Do đó {fn (x)}
là dãy Cauchy trong Y , mà Y là không gian đủ nên tồn tại g(x) ∈ Y
sao cho lim fn (x) = g(x), ∀x ∈ X, ∥ x ∥≤ 1.
n→+∞
( x )
Với x ∈ X, ∥ x ∥> 1, đặt g(x) =∥ x ∥ g
thì hàm g xác định trên
∥
x
∥
( x )
X vì g(x) =∥ x ∥ lim fn

= lim fn (x).
n→+∞
n→+∞
∥x∥
Với mọi λ, µ ∈ K và x, y ∈ X ta có:
lim fn (λx + µy) = g(λx + µy)

n→+∞

Mặt khác
lim fn (λx + µy) = lim

n→+∞

[

n→+∞

]
fn (λx) + fn (µy)

= λ lim fn (x) + µ lim fn (y)
n→+∞

n→+∞

= λg(x) + µg(y)
Do đó
g(λx + µy) = λg(x) + µg(y)
Vậy g ∈ L(X, Y ).

(iii) Dễ dàng ta chứng minh g◦ f là tuyến tính liên tục
Nếu ∥ x ∥= 1 thì
∥ g◦ f (x) ∥ ≤ ∥ g ∥∥ f (x) ∥ ≤ ∥ g ∥∥ f ∥
⇒ ∥ g0 f ∥ = sup ∥ g◦ f (x) ∥ ≤ sup ∥ g ∥∥ f (x) ∥=∥ g ∥∥ f ∥ .
∥x∥=1

∥x∥=1


8

1.3.

Không gian đối ngẫu X ∗

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, kí hiệu
X ∗ = L(X, K) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X. Hiển nhiên các phiếm hàm tuyến tính liên tục có tất cả các tính chất
của toán tử tuyến tính liên tục.
Định nghĩa 1.3.1. i) f ∈ X ∗ gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số k > 0
sao cho
| f (x) | ≤ k ∥ x ∥ ∀x ∈ X

(1.1)

ii) Số k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là chuẩn của phiếm
hàm f và kí hiệu là ∥ f ∥, ta có
∥ f (x) ∥= sup
x̸=0

| f (x) |
= sup | f (x) | .
∥x∥
∥x∥=1

Nhận xét 1.2. a) f ∈ X ∗ là bị chặn khi và chỉ khi f liên tục, nghĩa là
nếu lim xn = x0 thì lim f (xn ) = f (x0 ).
n→+∞
∗

n→+∞

b) X = L(X, K) với chuẩn xác định như trên là không gian Banach.

1.4.

Định lý cơ bản của giải tích hàm

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một tập hợp và một quan hệ

′′

≤′′ thỏa

mãn:
(i) x ≤ x ∀x ∈ X
(ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z
(iii) x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
Khi đó X cùng với quan hệ

′′

≤′′ được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận.

Xét tập A ⊂ X, phần tử a ∈ X gọi là cận trên của A nếu x ≤ a, ∀x ∈ A.
Phần tử a gọi là phần tử cực đại của X nếu không tồn tại x ∈ X sao
cho x ̸= a và a ≤ x.


9

Tập con A gọi là thứ tự tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ A thì x ≤ y hoặc
y ≤ x.
Định lý 1.4.1. (Định lý Hahn-Banach thực) Giả sử X là không gian
vectơ thực, p là sơ chuẩn trên X và F là không gian con của X. Khi đó
mọi phiếm hàm tuyến tính f : F −→ R thỏa mãn f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ F
thì tồn tại phiếm hàm fˆ : X −→ R sao cho
fˆ(x) = f (x), ∀x ∈ F
fˆ(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X
Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn, F là không gian con
của X và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục fˆ trên X sao cho fˆ |F = f và ∥ fˆ ∥=∥ f ∥.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn, F là không gian con của
X và v ∈ X \ F . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X
là sao cho
f |F = 0, ∥ f ∥= 1, f (v) = inf{∥ v − y ∥: y ∈ F }.
Hệ quả 1.3. Cho X là không gian định chuẩn, x ∈ X, x ̸= 0. Khi đó
tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f (x) =∥ x ∥ và
∥ f ∥= 1.

1.5.
1.5.1.

Tôpô yếu, yếu∗ trên không gian định chuẩn
Tôpô yếu

Định nghĩa 1.5.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, X ∗ là không
gian đối ngẫu của X. Tôpô yếu nhất trên X sao cho các phiếm hàm
x∗ ∈ X ∗ vẫn còn liên tục được gọi là tôpô yếu trên X và kí hiệu là
σ(X, X ∗ ).


10

Nhận xét 1.3. a) Cho x ∈ X, phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi là liên tục tại x
khi và chỉ khi tập
U (x∗ , x, ξ) = {y ∈ X : | x∗ (y) − x∗ (x) |< ξ}
là tập mở.
b) σ(X, X ∗ ) là tôpô sinh bởi họ các tập nói trên, tức là tôpô bao gồm tất
cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã chỉ ra. Một cách
cụ thể nếu W ∈ σ(X, X ∗ ) khi và chỉ khi ∀x ∈ W, ∃x∗1 , x∗2 , .., x∗n ∈ X ∗ và
ξ > 0 sao cho
U (x∗1 , ..., x∗n , x, ξ) ⊂ W
với
U (x∗1 , ..., x∗n , x, ξ)

=

n
∩

U (x∗i , x, ξ) = {y ∈ X : sup | x∗i (y) − x∗i (x) |< ξ}

i=1

U (x∗1 , ..., x∗n , x, ξ) được gọi là cơ sở của tôpô yếu trên X.
c) Dãy {xn } ⊂ X gọi là hội tụ yếu đến x ∈ X nếu mọi lân cận yếu U của
x thì tồn tại n0 sao cho xn ∈ U, ∀n ≥ n0 . Nói cách khác ∀x∗1 , .., x∗p ∈ X ∗
và ξ > 0 thì tồn tại n0 sao cho
xn ∈ U (x∗1 , .., x∗p , x, ξ), ∀n ≥ n0 .
d) Tôpô yếu trên không gian định chuẩn X là một tôpô Hausdorff và
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X đối với tôpô yếu
trùng với không gian đối ngẫu X ∗ của X.
Định lý 1.5.1. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu
đến x ∈ X khi và chỉ khi lim f (xn ) = f (x), ∀f ∈ X ∗ .
n→+∞

w

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử xn −→ x và f ∈ X ∗ . Với mọi ξ > 0
thì tồn tại n0 để xn ∈ U (f, x, ξ), ∀n ≥ n0 , do đó
| f (xn ) − f (x) |< ξ, ∀n ≥ n0


11

Vậy lim f (xn ) = f (x).
n→+∞

Điều kiện đủ: Cho lim f (xn ) = f (x), ∀f ∈ X ∗ , chọn lân cận tùy ý

n→+∞

có dạng U (f1 , ..., fp , x, ξ) của x. Vì lim fi (xn ) = fi (x), ∀i = 1, ..., p nên
n→+∞

tồn tại n0 sao cho | fi (xn ) − fi (x) |< ξ, ∀n ≥ n0 . Điều này có nghĩa là
xn ∈ U (f1 , ..., fp , x, ξ), ∀n ≥ n0
w

tức là xn −→ x.
w

Nhận xét 1.4. Nếu xn −→ x thì xn −→ x, điều ngược lại chỉ đúng khi
X là không gian hữu hạn chiều.
1.5.2.

Tôpô yếu∗

Cho X là không gian định chuẩn, không gian liên hợp thứ hai của X
là X ∗∗ = (X ∗ )∗ = L(X ∗ , K) là một không gian Banach.
Với mỗi x ∈ X, ta xét hàm số Hx : X ∗ −→ K
x∗ −→ Hx (x∗ ) = x∗ (x)
là một phiếm hàm tuyến tính trên X ∗ và ∥ Hx ∥=∥ x ∥.
Như vậy Hx là một phiếm hàm tuyến tính giới nội trên X, tức là Hx ∈
X ∗∗ .
Ánh xạ H : X −→ X ∗∗
x −→ H(x) = Hx
là toán tử tuyến tính. Vì ∥ Hx ∥=∥ x ∥ nên H là phép đẳng cự tuyến
tính, H được gọi là phép nhúng chuẩn tắc.
Khi đó H(X) là một không gian con tuyến tính của X ∗∗ , mỗi x ∈ X

được đồng nhất với một phần tử của X ∗∗ .
Định nghĩa 1.5.2. Tôpô xác định bởi họ ánh xạ H(X) là tôpô yếu nhất
trên X ∗ đảm bảo các phiếm hàm x ∈ X ≡ H(X) ⊂ X ∗∗ vẫn còn liên tục
gọi là tôpô yếu∗ trên X ∗ và được kí hiệu là σ(X ∗ , X).


12

Nhận xét 1.5. a) Họ tập hợp có dạng
∗

U (x1 , ..., xn , x , ξ) =

n
∩

{y ∗ ∈ X ∗ : | y ∗ (xi ) − x∗ (xi ) |< ξ}

i=1

trong đó x∗ ∈ X ∗ , {x1 , ..., xn } là họ hữu hạn các phần tử của X, ξ > 0.
U (x1 , ..., xn , x∗ , ξ) được gọi là một cơ sở của tôpô yếu∗
b) Trên X ∗ có ba tôpô khác nhau:
(i) Tôpô τ xác định bởi chuẩn
(ii) Tôpô yếu σ(X ∗ , X ∗∗ )
(iii) Tôpô yếu∗ σ(X ∗ , X)
Hiển nhiên τ ⊃ σ(X ∗ , X ∗∗ ) ⊃ σ(X ∗ , X)

1.6.

Không gian phản xạ

Định nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian định chuẩn, nếu phép nhúng
chuẩn tắc H : X −→ X ∗∗ là toàn ánh thì X là không gian phản xạ.
Vậy X là không gian phản xạ khi và chỉ khi ∀x∗∗ ∈ X ∗∗ , ∃x ∈ X sao
cho x∗∗ (x∗ ) = x∗ (x), ∀x∗ ∈ X ∗ .
Định lý 1.6.1. ([3], Định lý 3.1) Cho X là không gian phản xạ, Y là
không gian Banach đồng phôi tuyến tính với X thì Y là không gian phản
xạ.
Định lý 1.6.2. Không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi không
gian đối ngẫu X ∗ phản xạ.
Chứng minh. Điều kiện cần: Cho X là không gian phản xạ, với mọi x∗∗∗
thuộc không gian liên hợp thứ hai của X ∗ . Gọi H : X −→ X ∗∗ là phép
nhúng chuẩn tắc, khi đó x∗ = x∗∗∗ ◦ H là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X. Vì X phản xạ nên ∀ x∗∗ ∈ X ∗∗ ta có
x∗∗ (x∗ ) = x∗ (H◦−1 x∗∗ ) = (x∗∗∗ ◦ H)(H◦−1 x∗∗ ) = x∗∗∗ (x∗∗ )


13

Vậy X ∗ phản xạ.
Điều kiện đủ: X là không gian Banach, X ∗ là phản xạ thì theo cách
chứng minh trên ta có X ∗∗ phản xạ. Vì H(X) là đẳng cự tuyến tính với
X và X là không gian đủ nên H(X) là một không gian con đóng tuyến
tính của X ∗∗ . Theo định lý trên thì H(X) là không gian phản xạ, do đó
X là không gian phản xạ.

1.7.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.7.1. Cho H là không gian vectơ trên trường phức C, xét
hàm số ⟨.⟩ : H × H −→ K
(x, y) −→ ⟨x, y⟩
Ta nói ⟨.⟩ là tích vô hướng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
Với mọi x, y, z ∈ H, λ ∈ K
a) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩
b) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩
c) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩
d) ⟨x, x⟩ ≥ 0 và ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0
Khi đó cặp (H, ⟨.⟩) được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.6. Từ định nghĩa không gian tiền Hilbert ta suy ra:
Với mọi x, y, z ∈ H, λ ∈ K
+) ⟨x, λy⟩ = λ⟨x, y⟩
+) ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩
Định lý 1.7.1. (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Nếu (H, ⟨.⟩) là không
gian tiền Hilbert thì
| ⟨x, y⟩ |2 ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩, ∀x, y ∈ H
Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với y = 0
Giả sử y ̸= 0 và với mọi λ ∈ K ta có


14

⟨x + λy, x + λy⟩ ≥ 0
⇔ ⟨x, x⟩ + λ⟨y, x⟩ + λ⟨x, y⟩+ | λ |2 ⟨y, y⟩ ≥ 0
⟨x, y⟩
Chọn λ = −
thì ta được
⟨y, y⟩

⟨x, y⟩
⟨x, y⟩
| ⟨x, y⟩ |2
.⟨y, x⟩ +
.⟨x, y⟩ −
.⟨y, y⟩ ≥ 0
⟨y, y⟩
⟨y, y⟩
| ⟨y, y⟩ |2
| ⟨x, y⟩ |2
⇔ ⟨x, x⟩ ≥
⟨y, y⟩

⟨x, x⟩ −

⇔ | ⟨x, y⟩ |2 ≤ ⟨x, x⟩.⟨y, y⟩

Nhận xét 1.7. +) Nếu (H, ⟨.⟩) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số
∥ x ∥=

√
⟨x, x⟩, ∀x ∈ H

là một chuẩn trên H.
+) Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định như trên là một không
gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.7.2. Một không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Định lý 1.7.2. Cho H là không gian tiền Hilbert, thế thì
a) Tích vô hướng là một hàm số liên tục trên H × H.

b) Với mỗi phần tử y ∈ H thì phiếm hàm x∗ (x) = ⟨x, y⟩, x ∈ H là tuyến
tính liên tục và ∥ x∗ ∥=∥ y ∥.
Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 và lim yn = y0 trong H, khi đó
n→+∞

n→+∞

| ⟨xn , yn ⟩ − ⟨x0 , y0 ⟩ | ≤| ⟨xn , yn ⟩ − ⟨xn , y0 ⟩ | + | ⟨xn , y0 ⟩ − ⟨x0 , y0 ⟩ |
=| ⟨xn , yn − y0 ⟩ | + | ⟨xn − x0 , y0 ⟩ |
≤ ∥ xn ∥∥ yn − y0 ∥ + ∥ xn − x0 ∥∥ y0 ∥−→ 0


15

Vậy lim ⟨xn , yn ⟩ = ⟨x0 , y0 ⟩.
n→+∞
∗

b) x là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Thật vậy, theo bất đẳng thức Schwarz ta có
| x∗ (x) |=| ⟨x, y⟩ | ≤ ∥ x ∥∥ y ∥, ∀x ∈ H
do đó x∗ bị chặn và ∥ x∗ ∥ ≤ ∥ y ∥
Mặt khác
| x∗ (y) |=| ⟨y, y⟩ | ≤ ∥ y ∥2 ≤ ∥ x∗ ∥∥ y ∥
suy ra ∥ y ∥ ≤ ∥ x∗ ∥
Vậy ∥ x∗ ∥=∥ y ∥.
Định lý 1.7.3. ([2], Mệnh đề 5.2.5)(Định lý Pitago) Cho x, y ∈ H, ta
nói x trực giao y nếu ⟨x, y⟩ = 0 và kí hiệu x ⊥ y. Giả sử x ⊥ y thì ta có
∥ x + y ∥2 =∥ x ∥2 + ∥ y ∥2
Định lý 1.7.4. ([2], Mệnh đề 5.2.6)(Đẳng thức hình bình hành) Với mọi

x, y ∈ H ta có
(
)
∥ x + y ∥2 + ∥ x − y ∥2 = 2 ∥ x ∥2 + ∥ y ∥2

1.8.

Đạo hàm Gâteaux, Fréchet và dưới vi phân

Trong phần này ta xét X, Y là các không gian Banach thực. X ∗ , Y ∗
là không gian đối ngẫu của X và Y tương ứng và kí hiệu L(X, Y ) là
không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y .
Định nghĩa 1.8.1. Cho tập mở D ⊂ X, xét ánh xạ F : D −→ Y
(i) Đạo hàm của hàm F theo hướng y ∈ X tại x là giới hạn sau, nếu
nó tồn tại
F+′ (x, y) = lim+
t→0

F (x + ty) − F (x)
t


16

(ii) Nếu tồn tại F ′ (x) ∈ L(X, Y ) sao cho
F (x + ty) − F (x)
= F ′ (x)y, ∀y ∈ X
t→0
t

lim

thì ta nói F là khả vi Gâteaux tại x
(iii) Ta nói F là khả vi Fréchet tại x nếu nó khả vi Gâteaux tại x và
thỏa mãn điều kiện sau:
lim sup

t→0 ∥y∥=1

F (x + ty) − F (x)
− F ′ (x)y = 0
t

Nhận xét 1.8. (a) Nếu F là khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì F có đạo hàm
mọi hướng y ∈ X và ta có
F+′ (x, y) = F+′ (x, −y), F−′ (x, y) = −F+′ (x, −y)
(b) Xét hàm f : D −→ R là khả vi Gâteaux tại x ∈ D thì f ′ (x) ∈ X ∗ và
⟨f ′ (x), y⟩ =

d
f (x + ty) |t=0 , ∀y ∈ X
dt

Nếu F khả vi Gâteaux cấp hai trên D thì f ′′ (x) ∈ L(X, X ∗ ) và ta có
d2
⟨f (x)y, y⟩ = 2 f (x + ty) |t=0 , ∀x ∈ D, y ∈ X
dt
′′

Định nghĩa 1.8.2. Ta nói rằng hàm f : X −→ [−∞, +∞] là dưới khả

vi tại x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi là dưới gradient
của f tại x sao cho
f (y) − f (x) ≥ ⟨x∗ , y − x⟩, ∀ y ∈ X
Tập hợp tất cả dưới gradient của f tại x được kí hiệu là ∂f (x) và được
gọi là dưới vi phân của hàm f .
Nhận xét 1.9. (i) ∂f (x) là tập lồi đóng yếu∗ của X ∗ vì đó là giao của
các không gian đóng yếu∗ :
∩{
}
∂f (x) =
x∗ ∈ X ∗ : ⟨x∗ , y − x⟩ ≤ f (y) − f (x)
y∈X

(ii) x0 là điểm cực tiểu của hàm f khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x0 )


17

Chứng minh. Thật vậy, vì x0 là điểm cực tiểu khi và chỉ khi
f (x) − f (x0 ) ≥ 0, ∀ x ∈ X ⇔ 0 ∈ ∂f (x0 ).

1.9.

Không gian Banach trơn

Định nghĩa 1.9.1. ([6], Chapter 1, Definition 3.1) Một không gian Banach X gọi là trơn nếu với mỗi 0 ̸= x ∈ X thì tồn tại duy nhất x∗ ∈ X ∗
sao cho ∥ x∗ ∥= 1 và ⟨x∗ , x⟩ =∥ x ∥.
Định lý 1.9.1. ([6], Theorem 3.5) Không gian Banach X là trơn nếu
và chỉ nếu chuẩn của X là khả vi Gâteaux trên X \ {0}, nghĩa là tồn tại
giới hạn

∥ x + ty ∥ − ∥ x ∥
; ∀ x, y ∈ U = {x ∈ X : ∥ x ∥= 1}
t→0
t

lim

Định nghĩa 1.9.2. ([6], Chapter 1, Definition 3.9) Một không gian Baρ(τ )
nach X gọi là trơn đều(tương ứng trơn đều địa phương) nếu lim
= 0,
τ →0 τ
ρ(τ, x)
tương ứng lim
= 0, ∀x ∈ X \ {0}. Trong đó
τ →0
τ
(
)
1
ρ(τ ) =
sup
∥ x + τ y ∥ + ∥ x − τ y ∥ −2 , τ > 0
2 ∥x∥=∥y∥=1
(
)
1
ρ(τ, x) = sup ∥ x + τ y ∥ + ∥ x − τ y ∥ −2 ∥ x ∥ , τ > 0, x ∈ X
2 ∥y∥=1
lần lượt được gọi là mô đun tính trơn của X và mô đun tính trơn tại x.
Mệnh đề 1.9.1. ([6], Chapter 1, proposition 3.11) Nếu X là không gian

Banach trơn đều địa phương thì X là trơn.
Định lý 1.9.2. ([6], Chapter 1, theorem 3.12) (i) Chuẩn trên X là khả
vi Fréchet nếu và chỉ nếu X là không gian Banach trơn đều địa phương.


18

(ii) Chuẩn trên X là khả vi đều Fréchet trên hình cầu đơn vị, nghĩa là
lim

sup

τ →0 ∥x∥=∥y∥=1

∥ x + ty ∥ − ∥ x ∥
− ⟨f ′ (x), y⟩ = 0
τ

nếu và chỉ nếu X là trơn đều

1.10.

Không gian Banach lồi chặt

Định nghĩa 1.10.1. Không gian Banach X là lồi chặt nếu với mọi
x, y ∈ X, x ̸= y, ∥ x ∥=∥ y ∥= 1 thì ta có
∥ λx + (1 − λ)y ∥< 1, ∀λ ∈ (0, 1)
Mệnh đề 1.10.2. ([6], Chapter 2, proposition 1.2) Cho X là không gian
Banach, các khẳng định sau là tương đương:
(i) X là lồi chặt.

(ii) Biên của hình cầu đơn vị không chứa đoạn thẳng.
(iii) Nếu x ̸= y, ∥ x ∥=∥ y ∥= 1 thì ∥ x + y ∥< 2.
(iv) Nếu x, y, z ∈ X và có ∥ x − y ∥=∥ x − z ∥ + ∥ z − y ∥ thì tồn tại
λ ∈ [0, 1] sao cho z = λx + (1 − λ)y.
(v) Bất kỳ x∗ ∈ X ∗ đạt cực đại tại nhiều nhất một điểm trên hình cầu
đơn vị của X.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được (i) ⇒ (ii), (i) ⇒ (iii), (iii) ⇒
(ii), giờ ta đi chứng minh:
(ii) ⇒ (i) Giả sử x, y ∈ X, x ̸= y, ∥ x ∥=∥ y ∥= 1 và λ0 ∈ (0, 1) sao cho
λ0 x + (1 − λ0 )y = 1, ta sẽ chứng minh rằng đoạn thẳng [x, y] trên hình
cầu đơn vị là không xảy ra.
Xét λ0 < λ < 1, ta có
λ0 x + (1 − λ0 )y =

] (
λ0 )
λ0 [
λx + (1 − λ)y + 1 −
y
λ
λ


19

ta suy ra
1 =∥ λ0 x + (1 − λ0 )y ∥≤

λ0
λ0

∥ λx + (1 − λ)y ∥ +1 −
λ
λ

khi đó ta được
∥ λx + (1 − λ)y ∥≥ 1
Vậy
∥ λx + (1 − λ)y ∥= 1
Trường hợp 0 < λ < λ0 ta chứng minh tương tự
(i) ⇒ (iv) Giả sử x, y, z ∈ X sao cho ∥ x − y ∥=∥ x − z ∥ + ∥ z − y ∥,
ta giả sử ∥ x − z ∦= 0, ∥ z − y ∦= 0, ∥ x − z ∥≤∥ z − y ∥, ta có
1 z−y
1 x−z
+
≥
2∥ x − z ∥ 2∥ z − y ∥
1 x−z
1 z−y
1 z−y
1 z−y
+
−
−
2∥ x − z ∥ 2∥ x − z ∥
2∥ x − z ∥ 2∥ z − y ∥
1∥ x − y ∥ 1∥ z − y ∥ − ∥ x − z ∥
−
=
2∥ x−z ∥ 2
∥x−z ∥

1∥ x − z ∥ + ∥ z − y ∥ − ∥ z − y ∥ + ∥ x − z ∥
=
=1
2
∥x−z ∥
≥

Do đó

z−y
z−y
x−z
x−z
+
=
= 2, thế thì
∥x−z ∥ ∥z−y ∥
∥x−z ∥ ∥z−y ∥

Vậy
z=

∥z−y ∥
∥x−z ∥
.x +
.y
∥x−z ∥+∥z−y ∥
∥x−z ∥+∥z−y ∥

x+y

2
∥ x + y ∥=∥ x ∥ + ∥ y ∥, do đó tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho
(iv) ⇒ (iii) Xét x ̸= y sao cho ∥ x ∥=∥ y ∥=

= 1, thế thì

z = 0 = λx − (1 − λ)y
suy ra x =

1
1−λ
y. Do đó nếu chọn λ = thì x=y, mâu thuẫn điều kiện
λ
2

ban đầu.
(i) ⇒ (v) Giả sử rằng x∗ ∈ X ∗ , mà có hai vectơ x1 ̸= x2 , ∥ x1 ∥=∥ x2 ∥=


20

1 với ⟨x∗ , x1 ⟩ = ⟨x∗ , x2 ⟩ =∥ x∗ ∥. Cho λ ∈ (0, 1), ta có
∥ x∗ ∥∥ λx1 + (1 − λ)x2 ∥ ≥

⟨

x∗ , λx1 + (1 − λ)x2

⟩

= λ⟨x∗ , x1 ⟩ + (1 − λ)⟨x∗ , x2 ⟩
=∥ x∗ ∥
thế thì 1 ≤∥ λx1 + (1 − λ)x2 ∥< 1, vô lý.
(v) ⇒ (iii) Cho x, y ∈ X, sao cho x ̸= y, ∥ x ∥=∥ y ∥= 1, ∥ x + y ∥= 2,
theo định lý Hahn-Banach thì tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho ∥ x∗ ∥= 1 và
⟨ ∗ x + y⟩
x+y
x,
=
=1
2
2
do đó ⟨x∗ , x⟩ + ⟨x∗ , y⟩ = 2, nếu ⟨x∗ , x⟩ ≤ 1, ⟨x∗ , y⟩ ≤ 1 thì
⟨x∗ , x⟩ = ⟨x∗ , y⟩ =∥ x∗ ∥= 1, mâu thuẫn với (iii).
Ví dụ 1.10.3. Không gian Hilbert H là lồi chặt.
Thật vậy, giả sử x, y ∈ H, x ̸= y, ∥ x ∥=∥ y ∥= 1. Theo đẳng thức hình
bình hành trong không gian Hilbert ta có
∥ x + y ∥2 + ∥ x − y ∥2 = 2(∥ x ∥2 + ∥ y ∥2 )
⇔
⇒
⇔

x+y
2
x+y
2
x+y
2

2

2

x−y
1
+
= (∥ x ∥2 + ∥ y ∥2 )
2
2
2
1
< (∥ x ∥2 + ∥ y ∥2 )
2
2

<1

⇔ ∥ x + y ∥< 2
Vậy H lồi chặt.
Định lý 1.10.1. ([6], Chapter 2, theorem 1.3) (i) Nếu X ∗ là không gian
Banach trơn thì X là lồi chặt.
(ii) Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì X trơn.