Phương pháp giải và sáng tạo một số đề toán về bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.61 MB, 62 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====
TRẦN THỊ QUÝ
PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO
MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Phạm Lƣơng Bằng
HÀ NỘI - 2015
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy giáo, cô
giáo trong tổ Đại số, đặc biệt là thầy giáo - thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng
đã tận tình hƣớng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu
đề tài này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình làm đề tài
nhƣng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu xót, em rất mong nhận
đƣợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa
luận của em đƣợc đầy đủ hơn và hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Trần Thị Quý
Trần Thị Quý
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này là do sự nỗ lực của bản thân, cùng
sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của thầy Phạm Lƣơng Bằng.
Bản khóa luận này không trùng kết quả của các tác giả khác. Nếu
trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Trần Thị Quý
Trần Thị Quý
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ....................................................................... 1
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................. 1
Chƣơng 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ ...................................................................... 2
1.1. Khái niệm bất phƣơng trình ........................................................... 2
1.2. Tập xác định của bất phƣơng trình ................................................ 2
1.3. Tập nghiệm của bất phƣơng trình .................................................. 2
1.4. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng ...................................................... 2
1.5. Phép biến đổi tƣơng đƣơng ........................................................... 2
1.6. Phân loại bất phƣơng trình ............................................................ 2
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH.............. 4
2.1. Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình về bất phƣơng trình hàm ....... 4
2.2. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản khi giải bất phƣơng trình ............ 7
2.3. Phƣơng pháp hàm liên tục ........................................................... 14
2.4. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange ...................................... 17
2.5. Phƣơng pháp phân khoảng tập xác định ...................................... 18
2.6. Sử dụng phƣơng pháp hình học ................................................... 21
2.7. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng ............................................ 22
2.8. Phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số ......................................... 30
2.9. Phƣơng pháp đồ thị...................................................................... 33
2.10. Phƣơng pháp điều kiện cần và đủ .............................................. 36
2.11. Phƣơng pháp tham biến ............................................................. 38
2.12. Phƣơng pháp hàm lồi ................................................................. 39
Trần Thị Quý
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 3. SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG
TRÌNH............................................................................................................... 44
3.1. Sáng tạo một số bài toán sử dụng phƣơng pháp đƣa bất
phƣơng trình về bất phƣơng trình hàm ............................................... 44
3.2. Sáng tạo một số bài toán sử dụng phƣơng pháp hình học ........... 46
3.3. Sáng tạo bài toán sử dụng định lý Lagrange .............................. 48
3.4. Sáng tạo bài toán sử dụng phƣơng pháp hàm liên tục ................ 49
3.5. Sáng tạo các bài toán nhờ ứng dụng của hàm lồi ........................ 52
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 57
Trần Thị Quý
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhƣ chúng ta đã biết bất phƣơng trình có rất nhiều dạng và phƣơng
pháp giải khác nhau và rất thƣờng gặp trong các kỳ thi giỏi toán cũng
nhƣ các kỳ thi tuyển sinh Đại học. Ngƣời giáo viên ngoài nắm đƣợc các
dạng bất phƣơng trình và cách giải chúng để hƣớng dẫn học sinh cần
phải biết cách xây dựng nên các đề toán để làm tài liệu cho việc giảng
dạy. Phần này đƣa ra một số phƣơng pháp giải và sáng tác ra các đề toán
mới về bất phƣơng trình. Qua các phƣơng pháp sáng tác này ta cũng rút
ra đƣợc các phƣơng pháp giải tự nhiên cho các dạng bất phƣơng trình
tƣơng ứng.
Là một giáo viên phổ thông tƣơng lai, em mong muốn đào sâu các
phƣơng pháp giải bất phƣơng trình và sáng tác ra một số đề toán mới về
bất phƣơng trình.
Chính vì những lí do trên cùng với sự góp ý, động viên và tận tình
giúp đỡ của các thầy cô, đặc biệt là thầy Phạm Lƣơng Bằng cùng với sự
say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận
với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo ra các đề toán mới về bất
phương trình”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải và sáng tác ra các đề toán về
bất phƣơng trình.
Từ đó giúp học sinh nhận dạng và lựa chọn phƣơng pháp giải phù
hợp.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tập về bất phƣơng trình.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, quan sát, điều tra, tổng kết kinh nghiệm.
Trần Thị Quý
1
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1.1. Khái niệm bất phƣơng trình
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lƣợt Df và Dg.
Đặt D = Df Dg. Bất phƣơng trình là kí hiệu của hàm mệnh đề:
“f(x) > g(x)” hoặc “f(x) < g(x)” xác định trên tập xác định chung D.
1.2. Tập xác định của bất phƣơng trình
Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x): D = Df Dg
là tập xác định của bất phƣơng trình.
1.3. Tập nghiệm của bất phƣơng trình
Tập nghiệm của bất phƣơng trình: N D = Df Dg
Giải một bất phƣơng trình là tìm N = { c D: f(c) > g(c) là mệnh đề
đúng}
1.4. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng
Hai bất phƣơng trình ( cùng ẩn) đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chúng
có cùng tập nghiệm.
Nếu f1(x) < g1(x) tƣơng đƣơng với f2(x) < g2(x) thì ta viết:
f1(x) < g1(x) f2(x) < g2(x).
1.5. Phép biến đổi tƣơng đƣơng
Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phƣơng
trình. Ta gọi chúng là các phép biến đổi tƣơng đƣơng. Phép biến đổi
tƣơng đƣơng biến một bất phƣơng trình thành một bất phƣơng trình
tƣơng đƣơng với nó.
1.6. Phân loại bất phƣơng trình
Các bất phƣơng trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng tƣơng
đƣơng f(x) > 0 hoặc f(x) 0. Khi đó phân loại của bất phƣơng trình đƣợc
quy về phân loại của hàm f(x):
Trần Thị Quý
2
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
1. Các bất phƣơng trình đại số bậc k là các bất phƣơng trình trong đó
f(x) là đa thức bậc k
2. Các bất phƣơng trình vô tỷ là các bất phƣơng trình có chứa phép
khai căn
3. Các bất phƣơng trình mũ là các bất phƣơng trình có chứa hàm mũ
4. Các bất phƣơng trình logarit là các bất phƣơng trình có chứa hàm
logarit (chứa biến trong dấu logarit ).
Trần Thị Quý
3
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 2.
CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình về bất phƣơng trình hàm
2.1.1. Phương pháp giải
Dựa vào kết quả: Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu ( giả sử tăng) trên
khoảng (a; b) và x; y (a; b) thì:
f(x) > f(y) x > y
Ta có thể sáng tác và giải đƣợc nhiều bất phƣơng trình hay và khó,
thƣờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi. Để vận dụng đƣợc phƣơng
pháp này ta thƣờng biến đổi bất phƣơng trình đã cho thành bất phƣơng
trình hàm f((x)) > f((x)), trong đó f là hàm đơn điệu. Từ đây dẫn đến
một bất phƣơng trình đơn giản hơn (x) > (x). Để giải đƣợc các bài toán
bằng phƣơng pháp này thì những kiến thức về hàm số nhƣ đạo hàm, xét
sự biến thiên và kĩ năng đoán nghiệm là cực kì quan trọng. Một số
trƣờng hợp đặc biệt thƣờng gặp:
Hƣớng 1: Thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Chuyển bất phƣơng trình về dạng: f(x)>k
(1)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là đồng biến)
Bước 3: Nhận xét:
- Với x x0 f(x) f(x0) = k, bất phƣơng trình vô nghiệm
- Với x > x0 f(x) > f(x0) = k, bất phƣơng trình nghiệm đúng
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x > x0
Hƣớng 2: Thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Chuyển bất phƣơng trình về dạng: f(u) < f(v)
(2)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Trần Thị Quý
4
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3: Khi đó: (2) u < v
2.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
4 |2x-1| (x2-x+1) > x3-6x2+15x-14
(1)
Lời giải:
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
|2x-1| [(2x-1)2+3] > (x-2)3+3x-6
3
3
|2x-1| +3 |2x-1| > (x-2) +3(x-2)
(2)
Xét hàm số f(x) = t3 +3t là hàm đồng biến
Khi đó: (2) f(|2x-1|) > f(x-2) |2x-1| > x-2
x>-1
x<1
2 x 1 x 2
2 x 1 x 2
x
Vậy bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x.
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình
x2-2x+3 -
x2-6x+11 >
3-x - x-1
(1)
Lời giải:
Điều kiện:
3-x 0
x-1 0
1 x 3
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
x2-2x+3 + x-1 >
3-x +
x2-6x+11
(x-1)2+2 + x-1 > 3-x + (3-x)2+2
Xét hàm số y = f(t) =
(2)
t+2 + t , t [1;3]. Ta có:
f'(t) =
1
1
+
> 0, t [1;3].
2 t+2 2 t
Do đó hàm số đồng biến trên [1;3].
Trần Thị Quý
5
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó (2) đƣợc biến đổi nhƣ sau:
f(x-1) > f(3-x) x-1>3-x x>2
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là 2
3
2(x-1)+1
- 3x x2-4x+3
(1)
Lời giải:
Điều kiện: x-1 0 x 1
Khi đó
(1) 3
3
2(x-1)+1
2(x-1)+1
+ 2(x-1) 3x +x2-2x+1
+ 2(x-1) 3(x-1)+1 + (x-1)2
(2)
Xét hàm số f(t) = 3t+1 + t2, t 1. Ta có:
f'(t) = 3t+1ln3 +2t > 0,t 1.
Do đó hàm số này đồng biến trên [1;+ )
Khi đó (2) đƣợc biến đổi nhƣ sau:
f( 2(x-1)) f(x-1)
2(x-1) x-1
2
2(x-1)
(x-1) (do x 1)
2
x -4x+3
0 x3
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x 3.
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình:
x2-x-12
-x
log3
7-x
x2-x-12 -7.
(1)
Lời giải:
Điều kiện:
2
x -x-12>0
7-x>0
x<-3
4
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
log3 x2-x-12 - log3(7-x) - x
x2-x-12 - 7
log3 x2-x-12 - x2-x-12 log3(7-x) - (7-x)
Trần Thị Quý
6
(2)
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Xét hàm số f(t) = log3t - t, t (0; +). Ta có f'(t) =
1
- 1 < 0, t (0; +)
tln3
Do đó hàm số này nghịch biến trên khoảng (0;+).
Khi đó (2) đƣợc biến đổi nhƣ sau:
f( x2-x-12) f(7-x)
x2-x-12 7-x
x2-x-12 (7-x)2 x
61
13
x<-3
Kết hợp điều kiện, ta đƣợc: 4
13
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là (-;-3) (4;
61
].
13
2.2. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản khi giải bất phƣơng trình
2.2.1. Phép khử trị tuyệt đối
- Để khử trị tuyệt đối, ngƣời ta có thể đƣa thêm một hoặc nhiều ẩn
phụ. Tùy theo dạng của bất phƣơng trình mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ
cho phù hợp. Thông thƣờng ta đi đặt biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối
bằng ẩn phụ. Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
(2x-1)2 - 3|2x-1| + 2 0
(1)
Lời giải:
Đặt t = |2x-1| , điều kiện t 0
Khi đó:
(1) t2-3t+2 0
1 t 2 1 |2x-1| 2
-2 2x-1 2
2x-1 1
2x-1 -1
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là [
Trần Thị Quý
-1 x 3
2
2
x 1
x 0
1 x 3
2
-1 x 0
2
-1
3
;0] [1; ].
2
2
7
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình
|x2-3x+1| -
2
0
|x -3x+1|+1
(1)
2
Lời giải:
2
Đặt t = |x -3x+1|, điều kiện t 0
Khi đó (1) t-
2
t2+t-2
2
0
0 t + t -2 0 -2 t 1
t+1
t+1
2
2
x2-3x+2 0
2
x -3x 0
x 2
x 1
0 x 3
2
-2 |x -3x+1| 1 |x -3x+1| 1 -1 x -3x+1 1
0 x 1
2 x 3
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là [0;1] [2;3].
2.2.2. Phép khai căn
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất
phƣơng trình với một ẩn phụ
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất
phƣơng trình với một ẩn phụ nhƣng các hệ số vẫn còn chứa x
- Dùng 2 ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một
bất phƣơng trình 2 ẩn phụ và khéo léo biến đổi bất phƣơng trình thành
bất phƣơng trình tích
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một hệ
bất phƣơng trình với 2 ẩn phụ
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một hệ
bất phƣơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x
Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
x+
Trần Thị Quý
2x
>3 5
x2-4
8
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
x<-2
Điều kiện: x2-4 > 0 x>2 |x| > 2
Trƣờng hợp 1: Với x < -2
Ta thấy VT < 0; VP > 0 Bất phƣơng trình vô nghiệm
Trƣờng hợp 2: Với x > 2
Bình phƣơng hai vế của bất phƣơng trình ta đƣợc:
2
4x2 > 45 x4 + 4x2 > 45
x2 + 4x
+
x2-4
x2-4
x2-4
x2-4
(2)
2
x
Đặt t = 2 , t > 0
x -4
Khi đó (2) có dạng:
x2 > 5
x2-4
t2 + 4t - 45 > 0 t > 5
2
x <5
x - 25x + 100 > 0 2
x >25
4
2
|x|>5
|x|< 5
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là (2; 5 ) (5;+ ).
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình
5 x +
5
2 x
< 2x +
1
+4
2x
Lời giải:
Điều kiện: x > 0
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
5( x +
Đặt
t= x +
Trần Thị Quý
1
2 x
2
1
2 x
) < 2( x +
1
x.
2 x
9
1
) +4
4x
= 2 t
2
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
t2 = ( x +
1
2 x
)2 = x +
1
1
+1 x +
= t2-1
4x
4x
Khi đó bất phƣơng trình có dạng:
5t < 2(t2-1) + 4 2t2-5t+2 > 0
t<1
2
t>2
x +
t > 2 (do t
1
2 x
2)
>2
Đặt u = x , u > 0. Khi đó:
u+
1
> 2 2u2-4u+1> 0
2u
u<2- 2
2
u>2+ 2
2
0
u>2+ 2
2
0< x<2- 2
2
x>2+ 2
2
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là (0;
0
x>3+ 2
2
3
3
- 2 ) ( + 2; + ).
2
2
Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình
2x2-6x+8 - x x-2
(1)
Lời giải:
Điều kiện: x 0
Biến đổi bất phƣơng trình về dạng:
2(x-2)2+2x x-2+ x
u= x
Đặt
; u 0
v=x-2
Trần Thị Quý
10
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó bất phƣơng trình có dạng:
2v2+2u2
u+v
u+v 0
2
2
2
2v +2u (u+v)
u+v 0
2
(u-v) 0
u=v 0
x-2 0
x=x-2
x 2
2
x -5x+4=0
x=4
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x=4.
2.2.3. Một số phép đặt ẩn phụ khác
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình mũ hoặc bất phƣơng trình
logarit về bất phƣơng trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phƣơng
trình bậc hai. Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
2512x x 912x x 34.152x x
2
2
2
(1)
Lời giải:
(1) 25.252x x 9.92x x 34.(3.5)2x x
2
2
2
25.52(2x x ) 9.32(2x x ) 34.32x x .52x x
2
2
2
2
Chia hai vế của bất phƣơng trình cho 32(2x x ) 0 ,ta đƣợc:
2
5
5
25( )2(2x x ) 9 34.( )2x x
3
3
2
2
5
5
25( )2(2x x ) 34.( )2x x 9 0
3
3
2
5
5
Đặt t ( ) 2x x , 0
3
2
2
(bởi 2x-x2 1)
2
Khi đó: (2) 25t - 34t + 9 0
Trần Thị Quý
(2)
11
t 1
t 9
25
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Kết hợp với điều kiện của t, ta đƣợc:
9
5 2x x
9
0
t
0
(
)
25
3
25
1 t 5
1 ( 5 ) 2x x 5
3
3
3
2
2
2
2x-x -2
2
0 2x-x 1
x 1- 3
x 1+ 3
0 x 2
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: (- ;1- 3] [0;2] [1+ 3;+ ).
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình
3
log23x
1
x
log3
- 18.x
+3>0
(1)
Lời giải:
Điều kiện: x>0
Đặt t= log3x x= 3t
t2
Khi đó:
-18.(3t)-t +3 > 0
(1) 3
t2
3
-t2
- 18.3
t2
3
- 18.
+ 3> 0
1
t2
+ 3> 0
(2)
3
t2
Đặt u= 3
,u>0
Khi đó:
(2) u
Trần Thị Quý
18
+3 > 0 u2 + 3u -18 > 0
u
u<-6
u>3
3t 6 (loaïi)
t
3 3
2
2
12
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
t2
3
t<-1
2
t >1
t>1
>3
log3x<-1
log3x>1
x<1
3
x>3
1
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: (0; ) (3;+ ).
3
Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình
log23x
3
1
x
log3
- 18 x
+3>0
(1)
Lời giải:
Điều kiện: x>0
Đặt t = log3x, t R x = 3t
Khi đó bất phƣơng trình (1) có dạng:
t2
t2
3 - 18 (3 ) +3 > 0 3 t -t
18
t2
+3>0
(2)
3
t2
Đặt u = 3 , u > 0
Khi đó (2) u -
u<-6(loại)
18
+3 > 0 u2+3u-18>0 u>3
u>3
u
t2
t<-1
log3x<-1
3 > 3 t2 > 1 t>1 log x>1
3
x<1
3
x>3
0
x>3
1
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là (0; ) (3;+).
3
Trần Thị Quý
13
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình
1
log1 x < log1 (1+ 3 x-1 )
2
3
3
(1)
Lời giải:
Điều kiện: x>0
Biến đổi bất phƣơng trình về dạng:
log1 x < log1 (1+ 3 x-1 )
3
Do x > 0
3
Khi đó (2)
x > 1 + 3 x-1 > 0
(2)
3
x-1 > -1 1+ 3 x-1 > 0 (luôn đúng)
x > 1+ 3 x-1 x > (1+ 3 x-1 )2
x > 1+2 3 x-1 + 3 (x-1)2
x-1-2 3 x-1 - 3 (x-1)2 > 0
Đặt t= 3 x-1 ,
(3)
t > -1 (do x>0)
Khi đó (3) t3 - 2t - t2>0 t3 - t2 - 2t > 0 t(t+1)(t-2) > 0
-1< 3 x-1<0
3
x-1>2
-1
-1
0
x>9
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là (0;1) (9;+).
2.3. Phƣơng pháp hàm liên tục
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:
3
x+6 + x-1 x2 - 1
Lời giải:
Điều kiện: x 1. Trƣớc hết ta giải phƣơng trình:
Trần Thị Quý
14
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
3
x+6 + x-1 = x2 – 1
(1)
( 3 x+6 - 2) +( x-1 -1) = x2 - 4
x-2
3
+
(x+6)2+2 3 x+6+4
x=2
1
+
3
(x+6)2+2 3 x+6+4
x-2
= (x-2)(x+2)
x-1+1
1
=x+2(2)
x-1+1
Với x 1, ta có: x+2 3, trong khi
1
3
2
+
3
(x+6) +2 x+6+4
1
x-1+1
1
3
+1<2
3
49+2 7+4
Vậy (2) vô nghiệm, do đó (1) x = 2
Bất phƣơng trình đã cho đƣợc viết lại: 3 x+6 + x-1 - (x2-1) 0
Xét hàm số f(x) =
3
x+6 +
(3)
x-1 - (x2-1) là hàm liên tục trên nửa
khoảng [1; +). Theo kết quả giải phƣơng trình (1) thì f chỉ đổi dấu
đúng một lần tại điểm x = 2. Ta có:
f(5) = 3 11 + 2 - 24 < 0.
Vậy f(x) 0 x [1;2]
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình đã cho là [1;2].
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình:
5+4 9- 2x 2 13(13-x).
Lời giải:
Điều kiện: 0 x
Trần Thị Quý
81
. Trƣớc hết ta giải phƣơng trình:
2
15
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
5+4 9- 2x = 2 13(13-x)
(1)
x13(2)
2
5+4 9- 2x=52(13-x) (3)
Do điều kiện và (2) nên ta giải (3) với điều kiện 0 x13. Ta có:
(3) ( 5+4 9- 2x) - 13 = 52(13-x)2 - 13
4(
Vì
9- 2x -2) = 13[4(13-x)2 -1]
5- 2x
13
=
(25-2x) (27-2x)
9- 2x+2 4
25-2x
13
=
(25-2x) (27-2x)
4
( 9- 2x+2)(5+ 2x)
25-2x=0(4)
1
( 9- 2x+2)(5+
13
(27-2x)(5)
2x) 4
=
1
1
< 1; 27-2x 1 nên (5) vô nghiệm, còn (4)
( 9- 2x+2)(5+ 2x) 5
cho ta nghiệm x =
25
25
. Vậy (1) x =
2
2
Vì hàm số f(x)=
81
5+4 9- 2x - 2 13(13-x) liên tục trên 0; 2 và
f(x) = 0 x =
25 81
25
, f(1) < 0, f(13) > 0 nên f(x) 0 x 2 ; 2
2
25 81
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là 2 ; 2 .
Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình:
x+1 + 3 7-x > 2
Lời giải:
Điều kiện: x -1. Xét phƣơng trình:
Trần Thị Quý
16
x+1 + 3 7-x = 2
(*)
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Đặt x+1 = 1 - t, điều kiện t 1. Kết hợp với (*), ta đƣợc:
x+1=1-t
2
x=t -2t
-x=t3+3t2+3t-6 t3 + 4t2 + t - 6 = 0 t {1, -2,-3}
3 7-x=1+t
Với t = 1 ta có x = -1, với t = -2 ta có x = 8, với t = -3 ta có x = 15.
Thử lại thấy x = -1, x = 8, x = 15 thỏa mãn (*). Do đó (*) có ba nghiệm
x = -1, x = 8, x = 15
Vì f(x) =
x+1 +
3
7-x - 2 là hàm số liên tục trên nửa khoảng [-1; +)
nên f chỉ đổi dấu khi đi qua các điểm x = -1, x = 8, x = 15. Ta có
f(7) = 8 – 2 > 0, f(9) = 10 + 3 -2 -2< 0, f(34) = 35 + 3 -27 - 2 > 0.
Do đó tập nghiệm của bất phƣơng trình (-1;8) (15; +).
2.4. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange
Đây là một phƣơng pháp đặc biệt, mới xuất hiện trong thời gian gần
đây. Cơ sở c ủa phƣơng pháp này là định lý sau:
Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có
đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c (a; b) sao cho:
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
Sau đây ta sẽ trình bày một vài dạng bất phƣơng trình đƣợc giải bằng
cách vận dụng định lý trên.
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:
x2-4
3
+ (x2-4) 3x-2 1
Lời giải:
Xét hàm số f(x)= 3x xác định và liên tục trên R, có f(0) = 1 và
f'(x) = 3x ln3, x R. Theo định lý Lagrange, có c nằm giữa 0 và x2-4
sao cho:
Trần Thị Quý
f(x2-4) - f(0) = f'(c)(x2-4-0).
17
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Bất phƣơng trình đã cho viết lại:
f(x2-4) - f(0) + (x2-4) 3x-2 0 f'(c) (x2-4) + (x2-4) 3x-2 0
3c ln3 (x2-4) + (x2-4) 3x-2 0
(x2-4) (3c ln3 + 3x-2) 0
x2 - 4 0
x (-; -2] [2; + )
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: x (- ;-2] [2; + ).
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình:
2x - 22x+1 (x+1) 3x
Lời giải:
Tập xác định R. Xét hàm số f(x) = 2x xác định và lien tục trên R, có
f'(x) = 2x ln2, x R. Theo định lý Lagrange, có c nằm giữa x và 2x+1
sao cho:
2x - 22x+1 = f(x) - f(2x+1)= f'(c) [x - (2x+1)] = - (x+1)2c ln2
Bởi vậy bất phƣơng trình tƣơng đƣơng:
- (x+1) 2c ln2 (x+1) 3x (x+1)(3x + 2c ln2) 0 x -1
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là x -1.
2.5. Phƣơng pháp phân khoảng tập xác định
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:
(2+
2
x2-7x+12) x-1
(
14x-2x2-24+2) logx
2
x
Lời giải:
x>0
2
Điều kiện: x -7x+120
2
-2x +14x-240
x=3
x=4
- Với x = 3 bất phƣơng trình trở thành bất đẳng thức:
Trần Thị Quý
18
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
-
1
3
2
2
1
2
2
2 3-1 2 log3 - log3 3
3
3
3
3
-
1
3
2
log3 log33
3
23 32 (Sai)
- Với x = 4 bất phƣơng trình trở thành:
2
2
1
1
-1
1
24-1 2log4 - log4 -log4 2 = - ( đúng)
4
2
2
2
2
Vậy bất phƣơng trình đã cho có nghiệm là x = 4.
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình:
-3x2+x+4+2
<2
x
Lời giải:
4
Điều kiện: x 0 và -3x2+x+40 -1 x ; x 0 (*). Với điều kiện
3
đó, ta có:
2x-2>0
-3x2+x+4 < 2x - 2 -3x2+x+4<(2x-2)2
x>1
7x2-9x>0
x>1
x<0
9
x>7
x>
9
7
9
4
Kết hợp với điều kiện (*) ta đƣợc:
3
9 4
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là ( ; ].
7 3
Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình:
(
x2-4x+3+1) log5
Trần Thị Quý
x 1
2
+ ( 8x-2x -6+1) 0
5 x
19
(1)
K37C - Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
x>0
x1
x3
1x3
x>0
2
Điều kiện: x -4x+30
8x-2x2-60
x = 1; x = 3
1
+1 0 -1 + 1 = 0 0(luôn đúng)
5
- Với x =1 thì (1) log5
-
- Với x = 3 thì (1) log5
3 1
3
+ 0 5
5 3
5
1
3
27
1
(loại)
125 5
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình:
x2-4
3
+ (x2-4) 3x-2 1
(1)
Lời giải:
Điều kiện: D = R
x2-4
2
- Với |x| > 2 thì x - 4> 0 và x - 2 > 0. Do đó 3
> 30 = 1 (vì hàm đồng
biến).
Nên VT(1) > 1=VP(1). Bất phƣơng trình không có nghiệm trong
khoảng trên.
x2-4
2
- Với |x| < 2 thì x - 4 < 0 và x -2< 0. Do đó 3
< 30 = 1 (vì hàm đồng
biến).
Và (x2-4) 3x-2 < 0 nên VT(1) < 1 =VP(1). Bất phƣơng trình không có
nghiệm trong khoảng trên.
- Với x = 2 thay vào (1) thỏa mãn.
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Trần Thị Quý
20
K37C - Toán
