Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn toán ở phổ thông

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ QUỲNH

MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG
DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG
DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. DƢƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ đại số,
các thầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 và
các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô
ThS. Dƣơng Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn
em trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa do
thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Em xin kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô
và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn và có nhiều ứng
dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh


LỜI CAM ĐOAN
Em xin khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của em, do
bản thân em đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã đƣợc
học và đọc thêm tài liệu tham khảo. Nó không trùng với kết quả của bất cứ
ngƣời nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................ 2
6. Bố cục của khóa luận ..................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ..................................................................... 3
1.1. Ánh xạ ......................................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................. 3
1.1.2. Điều kiện xác định một ánh xạ ............................................................. 4
1.1.3. Các cách xác định một ánh xạ .............................................................. 4

1.1.4. Hai ánh xạ bằng nhau............................................................................ 5
1.1.5. Đồ thị của ánh xạ .................................................................................. 6
1.1.6. Thu hẹp và mở rộng ánh xạ .................................................................. 6
1.2. Ảnh và tạo ảnh ............................................................................................ 7
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 7
1.2.2. Tính chất cơ bản .................................................................................... 8
1.3. Các ánh xạ đặc biệt ..................................................................................... 8
1.4. Tích các ánh xạ.......................................................................................... 10
1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................... 10
1.4.2. Một số tính chất .................................................................................. 11
1.5. Ánh xạ ngƣợc ............................................................................................ 11
1.5.1. Định nghĩa ........................................................................................... 11
1.5.2. Các ví dụ ............................................................................................. 11
1.5.3. Điều kiện có ánh xạ ngƣợc ................................................................. 12


1.5.4. Quy tắc tìm ánh xạ ngƣợc ................................................................... 12
1.6. Phép toán hai ngôi ..................................................................................... 15
1.6.1. Định nghĩa ........................................................................................... 15
1.6.2. Các tính chất thƣờng gặp ở phép toán hai ngôi .................................. 16
1.6.3. Số tự nhiên .......................................................................................... 17
CHƢƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI
NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG ................. 24
2.1. Ánh xạ trong toán tiểu học ........................................................................ 24
2.2. Ánh xạ với nội dung dạy học hàm số ở phổ thông ................................... 29
2.2.1. Các khái niệm về hàm số .................................................................... 29
2.2.2. Đồ thị của hàm số ............................................................................... 34
2.2.3. Miền xác định, miền giá trị của hàm số .............................................. 36
2.2.4. Hàm số hợp ......................................................................................... 37
2.3. Ánh xạ với nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ thông .......................... 38

2.3.1. Hoán vị ................................................................................................ 38
2.3.2. Chỉnh hợp ............................................................................................ 39
2.4. Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình ở phổ thông ....................... 43
2.4.1. Định nghĩa ........................................................................................... 44
2.4.2. Phép tịnh tiến ...................................................................................... 45
2.4.3. Phép đối xứng trục .............................................................................. 45
2.4.4. Phép quay ............................................................................................ 46
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 48


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những quan điểm xây dựng chƣơng trình và sách giáo khoa ở
Việt Nam mấy chục năm gần đây là trình bày các kiến thức cơ bản của môn
Toán dƣới ánh sáng những quan điểm, tƣ tƣởng của toán học cao cấp, toán học
hiện đại. Điều đó đặt ra một yêu cầu về việc dạy học toán cao cấp trong trƣờng
sƣ phạm đào tạo giáo viên, các nội dung dạy học cần phải sát thực, gắn liền với
nội dung toán liên quan ở phổ thông. Nghiên cứu khai thác các yếu tố nghiệp vụ
sƣ phạm trong dạy học toán cao cấp, góp phần nâng cao tính dạy nghề cho sinh
viên là một yêu cầu cần thiết và cấp bách.
Nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc đã có công trình đề cập đến việc cung cấp
các kiến thức cơ bản về những vấn đề thuộc chƣơng trình toán phổ thông cho
giáo viên nhƣ: N. Ia. Vilenkin, Ian stewart, Trần Văn Hạo, Hà Sỹ Hồ, Đỗ Ngọc
Đạt,… đã xuất hiện sự phân tích, giải thích nội dung dạy học toán ở phổ thông
trên cơ sở toán cao cấp, tuy nhiên không phải là mục tiêu của các công trình nên
vấn đề đƣợc nêu còn chƣa đầy đủ và chi tiết. Tuy nhiên, chƣa có công trình nào
ở trên đi sâu vào thiết lập các mối liên hệ giữa toán học cao cấp, hiện đại với nội
dung toán phổ thông liên quan một cách đầy đủ và chuyển tải tới các giáo viên
sự nhận thức đúng đắn về vai trò của toán cao cấp đối với thực tiễn dạy học toán

ở phổ thông.
Toán cao cấp là các nội dung quan trọng trong chƣơng trình đào tạo giáo
viên có trình độ đại học, rất thuận lợi trong việc thiết lập các mối liên hệ với nội
dung dạy học toán ở phổ thông, làm rõ đƣợc các mối liên hệ toán phổ thông
trong quá trình dạy học toán cao cấp sẽ giúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh
thần, quan điểm, ngôn ngữ và phƣơng pháp của toán cao cấp trong việc dạy học
toán ở phổ thông.
Tất cả những vấn đề nêu trên là lý do để em chọn đề tài: “Mối liên hệ giữa
nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn Toán ở phổ thông”.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học
môn Toán ở phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chƣơng trình toán ở phổ thông, tìm mối
liên hệ giữa ánh xạ với toán phổ thông.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Ánh xạ, chƣơng trình môn Toán ở phổ thông có liên quan đến ánh xạ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết, hệ thống hóa và khái quát
hóa.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Chương 2. Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học
học môn Toán ở phổ thông.

2


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Ánh xạ
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc
cho tƣơng ứng với mỗi phần tử x  X một phần tử xác định, kí hiệu f(x) của y.
Ta viết

f : X Y
x
f ( x)
X đƣợc gọi là tập xác định hay tập nguồn của ánh xạ f, kí hiệu
Y đƣợc gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ f, kí hiệu
Ví dụ.
1) X là tập hợp các lớp học của một trƣờng phổ thông, Y là tập hợp các giáo
viên của trƣờng đó và f là quy tắc đặt tƣơng ứng mỗi lớp học với giáo
viên chủ nhiệm lớp đó. Ta có ánh xạ f : X  Y.
2) Cho f là ánh xạ đi từ

đến

đặt tƣơng ứng mỗi số nguyên với bình

phƣơng của nó. Nhƣ vậy f(n) =
3) Một hàm số xác định trên tập X

.


là một ánh xạ từ X đến

. Chẳng

hạn:
Hàm số y = 2x + 3 là ánh xạ



f:

y  2x  3

x
Kí hiệu



là tập hợp các số thực không âm. Hàm số y  x là ánh xạ
f:



x


y x

4) Giả sử X = 1; 2 và Y = a; b; c

Tƣơng ứng 1

c

2

a

3


Xác định một ánh xạ từ X đến Y.
5) Giả sử X = a, b, c, Y = 1, 2, 3, 4. Các tƣơng ứng sau đây không phải
là ánh xạ từ X đến Y
X
Y

X

1
2
3
4

a
..
b
.. c 

a

b..
..
c

Y
1
2
3
4

1.1.2. Điều kiện xác định một ánh xạ
Để quy tắc f : X  Y là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau :
Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là mỗi x  X phải có ảnh y
tƣơng ứng thuộc Y.
Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là mỗi x  X chỉ có tƣơng ứng một phần tử
y  Y.
Ví dụ.



1) Quy tắc f :
x

y=x-1

là một ánh xạ với mọi x 
Với mỗi y 
2) Quy tắc f :

, luôn tồn tại y = x – 1 

sẽ có tƣơng ứng một phần tử x = y + 1 


x

không phải là ánh xạ vì quy tắc f không đơn trị
y=√

chẳng hạn với 4  sẽ tồn tại y = 2 hoặc y = -2 thuộc
1.1.3. Các cách xác định một ánh xạ
Để cho một ánh xạ f : X  Y ngƣời ta sử dụng những cách khác nhau:
 Cách 1: Cho bằng bảng tƣơng ứng giữa các giá trị của các tập hợp X và Y.
Ví dụ.

4


X

a

b

c

d

Y

0

1

2

3

 Cách 2: Cho ánh xạ dƣới dạng các biểu thức giải tích.
Ví dụ.
Cho ánh xạ f :


ế
{

x

ế
ế

 Cách 3: Cho ánh xạ dƣới dạng biểu đồ.
Ví dụ.
+ Biểu đồ phát triển dân số của một tỉnh nào đó.
+ Biểu đồ tăng hoặc giảm sản phẩm tính theo năm của một nhà máy hoặc xí
nghiệp nào đó.
1.1.4. Hai ánh xạ bằng nhau
Định nghĩa
Hai ánh xạ f và g đƣợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng một tập đích và
cùng quy tắc đặt tƣơng ứng.

Nói cách khác hai ánh xạ f và g bằng nhau nếu:
f : X  Y ; g : X  Y và f(x) = g(x) với x  X.
Ví dụ. Cho hai ánh xạ



a) f :

x2 - 1

x



g:

và

x

(x – 1)(x + 1)

là hai ánh xạ bằng nhau.



b) f :
x

và

sinx

  1,1

g:
x

sinx

là hai ánh xạ khác nhau vì có tập đích khác nhau.

5


1.1.5. Đồ thị của ánh xạ
Định nghĩa
Cho ánh xạ f: X Y. Khi đó ta gọi tập

= (x; f(x))  x  X  X  Y

là đồ thị của ánh xạ f.
Từ định nghĩa ánh xạ suy ra rằng: mọi x  X tồn tại duy nhất y  Y để (x, y) 

Ví dụ.
1) Cho y = f(x) là một hàm số, khi đó biểu diễn của đồ thị của ánh xạ xác
định bởi hàm số này trong mặt phẳng Oxy chính là đồ thị của hàm số mà
ta đã quen biết.
2) Cho X = a, b, c, d, Y = 1, 2, 3, f : X  Y là ánh xạ xác định bởi f(a) =
1, f(b) = 2, f(c) = 2, f(d) = 3 thì đồ thị của f là

= (a,1), (b, 2), (c, 2), (d,

3).
3) Đồ thị của hàm số



f:
x

3x  2

là tập hợp G = (x, 3x + 2)  x 

. Khi biểu diễn G lên một mặt phẳng

tọa độ ta đƣợc một đƣờng thẳng.
1.1.6. Thu hẹp và mở rộng ánh xạ
Định nghĩa
Cho ánh xạ f : X  Y và A  X. Ta gọi ánh xạ
g: A  Y
x

g(x) = f(x)

gọi là cái thu hẹp của ánh xạ f vào bộ phận A và kí hiệu là g  f
gọi là cái mở rộng của g trên tập X.
Ví dụ. Xét các hàm số sau đây:

6

A

, còn ánh xạ f


f:



x

f(x) = sinx

   
g:  ,  
 2 2

x

g(x) = sinx

  1,1

x

h(x) = sinx

h:

   
k:  ,   [-1, 1]
 2 2

x

k(x) = sinx

bốn hàm số này không bằng nhau vì các tập nguồn và các tập đích của chúng

   
khác nhau. Chúng trùng nhau trên X =  ,  và Y = [-1, 1] . Ta không đồng
 2 2
nhất chúng, nhƣng kí hiệu giá trị chung của chúng tại x là sinx

   
g là thu hẹp của f vào  , 
 2 2
   
k là thu hẹp của h vào  , 
 2 2
h đƣợc cảm sinh bởi f bằng cách thu hẹp đích vào [-1, 1]
k đƣợc cảm sinh bởi g bằng cách thu hẹp đích vào [-1, 1]
Nhận xét: Có duy nhất một ánh xạ thu hẹp của một ánh xạ đã cho, song có rất
nhiều ánh xạ mở rộng của một ánh xạ đã cho.
1.2. Ảnh và tạo ảnh
1.2.1. Định nghĩa
Cho ánh xạ f : X  Y
x

y = f(x)

 f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x.
 A  X, tập f(A) =  y  Y  tồn tại x  A sao cho f(x) = y đƣợc gọi là tập ảnh
của tập con A qua ánh xạ f.
 B  Y, tập

(B) =  x X  f(x)  B đƣợc gọi là tập tạo ảnh toàn phần của

tập con B qua ánh xạ f.

7


Tập hợp f(x)  Y gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu Imf.
1.2.2. Tính chất cơ bản
+ Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
A =   f(A) = 
+ Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
A  B  f(A)  f(B)
+ Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
f(A  B)  f(A)  f(B)
+ Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
f(A)  f(B) = f(AB)
Ví dụ.
1) Giả sử A = (0, a), a 

 và f :

. Khi đó f(A) = a  a 



2) Với f :

, f(x) =



 hay f(A) =

là ánh xạ f(x,y) = y,  x, y 
.

, thì mỗi phần tử a  A sẽ có phần tạo ảnh tƣơng

ứng nhƣ sau :
 Nếu a < 0 thì

(a) = . Mọi phần tử âm đều không có tập tạo ảnh nào.

 Nếu a = 0 thì

(0) = 0.

 Nếu a > 0 thì

(a) = -√ , √ .

1.3. Các ánh xạ đặc biệt
Đơn ánh: Ánh xạ f : X  Y

x
Với 
Hoặc 

X:

,
,

đƣợc gọi là đơn ánh nếu thỏa mãn

y = f(x)


 f( )  f( )

 X : f( ) = f( ) 

Toàn ánh: Ánh xạ f : X  Y
x

=

đƣợc gọi là toàn ánh nếu thỏa mãn

y = f(x)

 y  Y,  x  X sao cho y = f(x) hoặc tƣơng ứng với nó là f(X) = Y

8

Ngƣời ta còn gọi một toàn ánh f : X  Y là một ánh xạ từ X lên Y.
Song ánh: Ánh xạ f : X  Y là một song ánh hay một ánh xạ một đối một từ X
lên Y, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác nếu với mọi y 
Y có một và chỉ một x  X sao cho y = f(x).
Minh họa

Đơn ánh nhƣng

Toàn ánh nhƣng

không phải toàn ánh

Vừa đơn ánh, vừa toàn ánh

không phải đơn ánh

(song ánh)

Nhận xét : Từ định nghĩa ta suy ra
a) Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh khi và chỉ khi mỗi y  Y có không quá một tạo
ảnh bởi f.
b) Ánh xạ f : X  Y là một toàn ánh khi và chỉ khi mỗi y  Y có ít nhất một tạo
ảnh x  X bởi f nghĩa là với mọi y  Y, ta có f 1 (y)  .
c) Ánh xạ Y là một song ánh khi và chỉ khi mỗi y  Y có một và chỉ một tạo ảnh
x  X bởi f.
Ví dụ.
1) Các hàm số bậc nhất y = ax + b, a  0, vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh tức là
song ánh.

2) Các hàm số bậc hai y = a

+ bx + c, a  0, không là đơn ánh , không là toàn

ánh.
3) Giả sử X là một tập hợp, ánh xạ
f: XX

9


x

x

gọi là ánh xạ đồng nhất của X kí hiêu
4) Ánh xạ f:


2 x
x 
 2 x  1

hoặc

nếu x
nếu x

là song ánh
1.4. Tích các ánh xạ

1.4.1. Định nghĩa
Cho f : X  Y và g : Y  Z là các ánh xạ. Một quy tắc biến mỗi x thuộc X
thành f(x) thuộc Y sau thành g[f(x)] thuộc Z gọi là tích của ánh xạ f với ánh xạ g,
đƣợc kí hiệu là gf.
Nhƣ vậy gf : X  Z và  x  X, (gf)(x) = g(f(x)),

=

và

=

Chú ý: Để tồn tại tích gf thì miền giá trị của ánh xạ f phải trùng với miền xác
định của ánh xạ g, nhƣ thế có thể không tồn tại fg. Ngay cả khi tồn tại gf và fg
nhƣng nói chung gf  fg. Nghĩa là tồn tại khi và chỉ khi

1
, x
x2

Ví dụ. Cho hai ánh xạ f : x

= (0, ) 

(gf)(x) = g(f(x)) = g( ) = 2(
+ 1, x

 gf : x
=

Để fg tồn tại thì
Vậy với

:x

. Do đó gf tồn tại

=
+1



 (-, 0) =

=


. Do đó fg không tồn tại

 2x – 1  0  x 

2x + 1, x 

,x

thì

10

2x + 1, x 

=

= (1, )

,

+ Xét fg. Ta có

và ánh xạ g : x

= (0, )

= (, 0),
+ Xét gf. Ta có :



tồn tại.

,

=


1.4.2. Một số tính chất
Định lý 1
Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp. Tức là với mọi ánh xạ f: X  Y, g: Y
Z, h : Z  V ta có : (hg)f = h(gf).
Định lý 2
a) Tích của hai đơn ánh là một đơn ánh.

b) Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh ( nếu các tích trên xác định.
Đặc biệt tích của hai song ánh là song ánh.
Định lý 3
a) Nếu gf là đơn ánh thì f là đơn ánh.
b) Nếu gf là toàn ánh thì g là toàn ánh.
1.5. Ánh xạ ngƣợc
1.5.1. Định nghĩa
Cho ánh xạ f: X  Y. Nếu có ánh xạ g: Y  X sao cho gf =

và fg =

thì

g đƣợc gọi là ánh xạ ngƣợc của f.
Ánh xạ ngƣợc của f (nếu có) đƣợc kí hiệu là
Ta có f 1 f  I X , ff 1  IY
Từ định nghĩa ta có :
+ Nếu f có ánh xạ ngƣợc

thì

cũng có ánh xạ ngƣợc và (

)-1 = f .

+ Nếu f : X  Y và g: Y  Z đều có ánh xạ ngƣợc thì gf : X  Z cũng có ánh xạ
ngƣợc và  gf   f 1 g 1 .
1

+ Ánh xạ đồng nhất 1X : X  X có ánh xạ ngƣợc và

=

.

1.5.2. Các ví dụ



a) Ánh xạ f :

x



có ánh xạ ngƣợc là g :

3x  2

x

11

1
2
x
3
3

Thật vậy  x 

: (gf)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = (3x + 2) =x+ -

=x=

(x)  gf =

Mặt khác
x

: (fg)(x) = f(g(x)) = f ( x - ) = 3( x - ) + 2 = x =

(x)

 fg =


b) Ánh xạ f :

x


0



có ánh xạ ngƣợc là g :

loga x , 0 < x  1

x


0

ax

Thật vậy
x

, (gf)(x) = g(f(x)) = g(logax) = alogax = x =

(x)  gf =

Mặt khác  x  , (fg)(x) = f(g(x)) = f(ax) = logaax = x =

(x)  fg =

.

1.5.3. Điều kiện có ánh xạ ngược
Ánh xạ f : X  Y có ánh xạ ngƣợc khi và chỉ khi f là song ánh
Chứng minh
] Giả sử f : X  Y có ánh xạ ngƣợc là g : Y  X
Khi đó gf =
và fg =

là đơn ánh  f là đơn ánh

là toàn ánh  f là toàn ánh

Kết hợp lại ta có f là song ánh
] Ngƣợc lại cho f : X  Y là song ánh ta xác định quy tắc g : Y  X nhƣ sau :
biến y  Y thành x  X sao cho y = f(x). Do f là song ánh nên g là ánh xạ.
Mặt khác :  x  X, (gf)(x) = g(f(x)) = g(y) = x =
 y  Y, (gf)(y) = f(g(y)) = f(x) = y =

(y)  fg =

(x)  gf =
.

1.5.4. Quy tắc tìm ánh xạ ngược
Bƣớc 1: Kiểm tra ánh xạ f : X  Y có phải là song ánh.
Bƣớc 2: Xét phƣơng trình f(x) = y ta tìm đƣợc x = g(y).
Khi đó xác định ánh xạ g: Y  X là ánh xạ ngƣợc cần tìm.

12


Ví dụ.
a) Xét hàm số bậc nhất : y = ax + b, a, b 

, a  0, đƣợc xem là ánh xạ



f:
x

ax  b

Kiểm tra thấy ngay f là song ánh  f có ánh xạ ngƣợc.
Xét phƣơng trình f(x) = y  ax + b = y  x =
tức là g(y) =
hay g(x) =

y b 1
b
= y
a
a
a

1
b
x  lại là hàm số bậc nhất.
a
a

b) Xét hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c, a, b, c, 
Giả sử a > 0, giả sử đồ thị có dạng:

,a0
y

đƣợc xem là ánh xạ



f:

x

a2 x  bx  c

Không là đơn ánh vì

x

b
b
Chọn x1 =    , x2 =    ,  > 0
2a
2a

O

Ta lại có x1  x2 nhƣng f(x1) = f(x2)
f không là toàn ánh vì  y <

 b  
 ,

 2a 4a 


thì phƣơng trình ax2 + bx + c = y vô nghiệm
4a

Từ hàm số bậc hai ta có thể xây dựng hàm số mới là song ánh

 b
  

Thật vậy xét ánh xạ g :  ,     ,  
 2a
  4a


x

ax 2  bx  c

Kiểm tra đƣợc là song ánh
Tìm ánh xa ngƣợc của g

13


 

Xét phƣơng trình g(x) = y với y   ,  
 4a

 ax2 + bx + c = y
 ax2 + bx + (c – y) = 0
có 1 = b2 – 4a(c – y) = b2 – 4ac + 4ay =  + 4ay
y>


 4ay > -   -  = 0
4a

do đó phƣơng trình bậc 2 trên có nghiệm
x1,2 =

1
b  1 b
=

2a 2a
2a

1
b
 b

Do x   ,    chỉ lấy giá trị x1 = 
2a 2a
 2a


Và có hàm số ngƣợc là: g 1 ( y ) 
Hay hàm số y 

b 2  4 a (c  y )
b


2a
2a

b 2  4 a (c  x )
b

2a
2a

Chú ý: Đồ thị của hàm số f và

đối xứng nhau qua đƣờng thẳng y = x.

Gọi H là đồ thị của ánh xạ f.
(b, a) 

là đồ thị của ánh xạ

.

c) Cho ánh xạ f : x

2 x  3 , x R, x > 0. Tìm
Giải

Xét ánh xạ f : x

2 x  3, x  R, x  3

Ta có Df = (0,∞), Rf = (3,∞)

+) Xét tính song ánh của ánh xạ f

x1 , x2  (0, ) . Giả sử f(x1) = f(x2)

 2x1  3  2x2  3  2 x1  2 x2  x1  x2
Vậy f là đơn ánh (1)

14

?

. Khi đó (a, b)  H 


y  2 x  3  (3, ), x  (0, ) thỏa mãn
f(x) = 2x + 3 = y
Vậy f là toàn ánh (2)
Từ (1) và (2) ta có f là song ánh nên f có ánh xạ ngƣợc
Đặt f ( x)  y  2 x  3  y  2 x  y  3  x 

f 1 ( y)  x  f 1 ( y) 
 f 1 ( x) 

y 3
2

y 3
2

x 3

2

x 3
, x , x  3,
2

Vậy f 1 : x

D f  (3, ) và R f   0,  
1

1

1.6. Phép toán hai ngôi
1.6.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp không rỗng. Ta gọi là một phép toán hai ngôi trên tập
hợp X một ánh xạ f từ tập hợp X  X đến tập hợp X
f:XXX
Ánh xạ này cho tƣơng ứng với mỗi cặp (a, b)  X  X một phần tử c  X hoàn
toàn xác định; phần tử c này đƣợc gọi là hợp thành của các phần tử a và b bởi
phép toán hai ngôi f. Nó chính là ảnh của phần tử (a, b)  X  X qua ánh xạ f:
(a, b)  X  X

c = f(a, b) = X.

Kí hiệu T(x, y).
Ví dụ.
1) Phép cộng và phép nhân thông thƣờng là các phép toán hai ngôi trên tập
hợp số tự nhiên
tâp

. Nhƣng phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên

.

15




2) Trong tập hợp

, phép nâng lên lũy thừa an là một phép toán hai ngôi,

nhƣng phép chia không phải là phép toán hai ngôi.
Tƣơng ứng
an

(a, n)
Với a, b 



, xác định một ánh xạ từ

Nhƣng tƣơng ứng (a, b)
Với a, b 
3) Trên tập hợp











đến

.

ab

, không xác định một ánh xạ từ







đến



.

các số tự nhiên, các quy tắc tƣơng ứng sau đây đều là các

phép toán hai ngôi:
(a, b)

f(a, b) = (ab) (UCLN của a và b)

(a, b)

f(a, b) = (ab) (BCNN của a và b)

(a, b)

f(a, b) =

(a, b)

f(a, b) = max (a, b) (số lớn nhất trong 2 số a và b)

(a, b)

f(a, b) = min (a, b) (số nhỏ nhất trong 2 số a và b)

1.6.2. Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi
Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X.
+ Tính chất kết hợp:  x, y, z  X: (xTy)Tz = xT(yTz)
+ Tính chất giao hoán :  x, y  X: xTy = yTx
+ Tính chất phân phối :  x, y, z  X: xT(yz) = (xTy)(xTz)
 x, y, z  X: (yz)Tx = (yTx)(zTx)
Ví dụ. Trong

, phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán ; phép

nhân phân phối đối với phép cộng.
Ta có:
a + (b + c) = (a + b) + c
a(bc) = (ab)c
a+b=b+a
ab = ba

16


a(b + c) = ba + bc
với mọi a, b, c 
1.6.3. Số tự nhiên
a. Bản số
Mỗi tập hợp có một bản số, sao cho hai tập hợp tƣơng đƣơng có cùng một
một bản số.
Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card (A). Vậy theo định nghĩa: Card (A) = Card
(B)  A  B
b. Số tự nhiên
Bản số của một tập hợp hữu hạn đƣợc gọi là một số tự nhiên.
Tập hợp tất cả các số tự nhiên đƣợc kí hiệu là

. Nhƣ vậy a 

khi và chỉ khi

tồn tại một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card (A).
Ví dụ.

a)  là một tập hợp hữu hạn, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là số không :
Card () = 0
b) A =  là một tập hợp đơn tử, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là số
một: Card  = 1.
c. Các phép toán trên
Cho a, b là các số tự nhiên, gọi A, B là các tập hợp mà a = Card(A), b =
Card(B) và A  B = .
+ Phép cộng:


(a, b)


a + b = Card(AB)

+ Phép nhân:


(a, b)


a.b = Card(A  B)

17


Dựa vào các tính chất của phép toán hợp và tích Đề-các của các tập hợp ta
suy ra các tính chất của phép cộng và nhân các số tự nhiên:
Tính chất của phép cộng
Phép cộng có tính chất giao hoán : a + b = b + a.

Phép cộng có tính chất kết hợp: a + (b + c).
Số 0 là phần tử trung hòa: 0 + a = a.
Phép cộng có tính chất giản ƣớc đƣợc: a + b = a + c kéo theo b = c.
Tính chất của phép nhân
Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba.
Phép nhân có tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c.
Số 1 là phần tử trung hòa
Tính chất giữa phép nhân và phép cộng
a(b + c) = ab + ac
Một số bài tập
Bài 1. Các quy tắc sau có phải là ánh xạ không? giải thích tại sao?



a) f :

x



b) g :

x 1

x



c) h :

y sao cho y2 = x

x

1
x

Giải
a) Có là ánh xạ vì thỏa mãn 2 điều kiện xác định khắp nơi và đơn trị, tức là
 x , luôn tồn tại y = x + 1  .
Với mỗi y 

sẽ có tƣơng ứng một phần tử x = y – 1  .

b) g không là ánh xạ vì với x < 0 thì không tồn tại y 
c) h không là ánh xạ vì với x = 0 thì

để y2 = x.

1
không có nghĩa.
x

Bài 2. Lập tất cả các tƣơng ứng giữa tập hợp A = a, b và tập hợp C = c. Hãy
chỉ ra những tƣơng ứng nào trong đó là ánh xạ từ tập hợp A đến tập C.

18


Giải

Các tƣơng ứng có thể giữa A và C là f = (a, c), (b, c); g = (a, c); h = (b, c)
Tƣơng ứng f là ánh xạ từ A đến C vì thỏa mãn định nghĩa của ánh xạ: mọi phần
tử trong A đều có ảnh trong C và ảnh đó là duy nhất.
Bài 3.
a) Lập tất cả các tƣơng ứng giữa các tập hợp A = a, b và tập hợp B = 1, 2.
b) Những tƣơng ứng nào trong câu a) là ánh xạ từ tập hợp A đến tập hợp B.
c) Những ánh xạ nào trong câu b) có ánh xạ ngƣợc.
Giải
a) Ta có các tƣơng ứng :
(a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) ; (a,1), (a, 2), (b, 1) ; (a,1), (a, 2), (b, 2);
(a,1), (b, 1), (b, 2); (a, 2), (b, 1), (b, 2) ; (a,1), (a, 2); (a,1),(b, 1)
(a,1), (b, 2) ; (a, 2), (b, 1); (a, 2), (b, 2); (b, 1), (b, 2); (a,1);
(a, 2); (b, 1) ; (b, 2).
b) Các tƣơng ứng sau đây là ánh xạ:
(a, 1), (b, 1) ; (a, 1), (b, 2) ; (a, 2), (b, 2) ; (a, 2), (b, 1).
c) Các tƣơng ứng sau đây có ánh xạ ngƣợc:
(a, 1), (b, 2) ; (a, 2), (b, 1);
Bài 4. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của các ánh xạ sau. Trƣờng hợp f là
song ánh thì tìm ánh xạ ngƣợc của nó.



a) f:

x
c) f:



b) f:

x5  1

x

d) f: 1,    5,  

\ 2 

x

x 2  5x  4

3x  1
x2

x

x2  2 x  4

Giải
a)  x1  x2  x15 - 1  x25 – 1  f (x1)  f(x2). Vậy f là đơn ánh.

19


y

,x=

5

y  1 để f(x) = y. Vậy f là toàn ánh.


Do đó f là song ánh và ánh xạ ngƣợc của f là f 1 :
x

5

x 1

b) f(1) = f(4) = -1  f không đơn ánh ; f 1 (-4) =   f không toàn ánh.
c) Phƣơng trình y 

3x  1
 y(x – 2) = 3x – 1 (y – 3)x = 2y – 1
x2

Nếu y  3 thì phƣơng trình có một nghiệm duy nhất
Nếu y = 3 thì phƣơng trình vô nghiệm
Do đó f là đơn ánh không là toàn ánh.
d) Phƣơng trình x2 – 2x – 4 = y,  y  [-5, +) có hai ngiệm là 1  y  5 , chỉ có
1+

y  5  [1, +), do đó f là song ánh.

Bài 5. Cho ánh xạ f:



x

x2  3x  1

Hãy xác định
a) f(0), f(1), f(-1)
b) f([-1,2])
c) f 1 1 , f 1  1
d) f 1 ([-1, 1])
Giải

5 3
 a) f(0) = 02 – 3.0 + 1 = 1, f(1) = -1, f(-1) = 5.
4 2
3
b)

x
2
-1
2


f(x)

-1

5



5
4

20