Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học ơclit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ HẢI YẾN

HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP
HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI - 2015


Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, khóa luận của tôi đến
nay đã được hoàn thành.
Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phạm
Thanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo và đóng góp nhiều
ý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này.
Tôi chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều
kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian tôi làm khóa luận.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức
nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để
khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Hải Yến


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập,
nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các
bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng
dẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm. Trong quá trình làm khóa
luận tôi có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong
mục tài liệu tham khảo. Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống bài tập
hình học afin và hình học Ơclit” không có sự trùng lặp với các khóa
luận khác.

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Hải Yến


Mục lục
Mở đầu

1

1 Không gian afin
1.1 Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin . . . . . . . .
1.3 Phẳng trong không gian afin . . . . . . . .
1.4 Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . .
1.5 Tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . .
1.6 Tập lồi trong không gian afin . . . . . . . .
1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không
1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin . . . .
1.9 Siêu mặt bậc hai afin . . . . . . . . . . . .
1.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . .
2 Không gian Ơclit
2.1 Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các phẳng trong không gian Ơclit . . . .
2.3 Góc và thể tích trong không gian Ơclit . .
2.4 Ánh xạ đẳng cự và phép biến đổi đẳng cự
2.5 Hình học Ơclit . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Nhóm đồng dạng và hình học đồng dạng .
2.7 Siêu mặt bậc hai Ơclit . . . . . . . . . .
2.8 Các bất biến hàm bậc hai và ứng dụng .

.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
gian afin
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
8
9
12
14
18
20
21
22
25
32

.

.
.
.
.
.
.
.

35
39
40
44
47
52
54
57
61


2.9 Siêu cầu trong không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . 66
2.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Kết luận

74

Tài liệu tham khảo

75

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.
Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.
Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về chuyên ngành hình
học, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trình
toán phổ thông.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu
sâu hơn nữa về hình học afin và hình học Ơclit, tôi đã chọn đề tài
“Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học
Ơclit” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn về
hình học afin và hình học Ơclit.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Nghiên cứu các bài tập hình học afin và hình học Ơclit.
• Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin và hình học
Ơclit.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày hệ thống một số các bài tập cơ bản về hình học afin và
hình học Ơclit.
5. Phương pháp nghiên cứu


Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến
nội dung nghiên cứu.


Chương 1

Không gian afin
Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ bản sau:
1.1. Không gian afin: Cho không gian véctơ V trên trường K, tập
A = ∅ mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A −→ V.
−−→
Kí hiệu ϕ(M, N ) = M N với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V) gọi là không
gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:
−
i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi véctơ →
u ∈ V, có duy nhất điểm N ∈ A
−−→ →
−
sao cho M N = u .
−−→ −−→ −−→
ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P .
Không gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không
gian véctơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K không gian afin A). Không gian véctơ liên kết V thường được kí hiệu là
→
−
A.
Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n.
Khi trường K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực,
khi K = C, ta nói A là không gian afin phức.
1.2. Độc lập afin: Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , ..., Am (m ≥ 1)của không
−−−→ −−−→
−−−→
→
−
gian afin A gọi là độc lập nếu m véctơ A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am của A là

hệ véctơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm một điểm A0 bất kì (tức trường
hợp m = 0) luôn được xem là độc lập.
1.3. Mục tiêu afin: Cho không gian afin n chiều A liên kết với không
3
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

→
−
→
−
−
−
−
gian véctơ A . Gọi ε = {→
e1 , →
e2 , ..., →
en } là một cơ sở của A và O là một
−
−
−
điểm thuộc A . Khi đó tập hợp {O; ε} hay {O; →
e1 , →
e2 , ..., →
en } là một mục
−
tiêu afin của A . O gọi là điểm gốc của mục tiêu, →
ei gọi là véctơ cơ sở

thứ i của mục tiêu.
1.4. Tọa độ afin: Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin
−−→ →
−
−
−
−
{O; →
e1 , →
e2 , ..., →
en }. Với mỗi điểm X ∈ A ta có véctơ OX ∈ A , và vì vậy
có duy nhất n phần tử x1 , x2 , ..., xn của trường K sao cho

−−→
−
−
−
OX = x1 →
e1 + x2 →
e2 + ... + xn →
en .
Bộ n phần tử (x1 , x2 , ..., xn ) đó được gọi là tọa độ điểm X đối với mục
tiêu đã chọn, kí hiệu:

X(x1 , x2 , ..., xn ) hay X = (x1 , x2 , ..., xn ).
1.5. Phẳng trong không gian afin: Cho không gian afin A liên kết
→
−
−
với không gian véctơ A . Gọi I là một điểm của A và →

α là một không
→
−
gian véctơ con của A . Khi đó tập hợp:

−−→ −
α = { M ∈ A IM ∈ →
α}
−
được gọi là cái phẳng (gọi tắt là "phẳng") qua I và có phương là →
α.
→
−
Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là
m - phẳng.
1.6. Vị trí tương đối của các phẳng: Trong không gian afin An
−
cho p - phẳng α và q - phẳng β (với p ≤ q ) lần lượt có phương là →
α và
→
−
β.
a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
−
b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu →
α là không gian con của
→
−
β.
c) Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và

không song song với nhau.
4
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của thuyết tập hợp và
gọi là giao của hai cái phẳng α và β .
e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β , α + β gọi là
tổng của hai cái phẳng α và β .
1.7. Tâm tỉ cự: Cho k điểm P1 , P2 , ..., Pk của không gian afin A và k
k

λi = 0. Khi đó có duy nhất

số thuộc trường K: λ1 , λ2 , ..., λk sao cho
i=1

điểm G sao cho

k

−−→ →
−
λi GPi = 0 .

i=1

Điểm G nói trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ

số λi .
Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ
điểm Pi .
1.8. Tập lồi trong không gian afin thực: Một tập X trong không
gian afin thực gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm P, Q thuộc X thì đoạn
thẳng P Q nằm hoàn toàn trong X .
1.9. Đơn hình m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm .
Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao
cho (với điểm O nào đó)

−−→
OM =

m

−−→
λi OPi với

i=0

m

λi = 1.
i=0

Bây giờ xét tập hợp gồm những điểm M sao cho

−−→
OM =

m

−−→
λi OPi với

i=0

m

λi = 1 và λi ≥ 0, i = 0, 1, ..., m.
i=0

Tập hợp đó được gọi là m - đơn hình với các đỉnh: P0 , P1 , ..., Pm và kí
hiệu là S(P0 , P1 , ..., Pm ).
5
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

1.10. Hình hộp m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm .
Tập hợp những điểm M sao cho
m
−−→
−−→
λi P0 Pi , với 0 ≤ λi ≤ 1 được gọi là m - hộp.
P0 M =
i=1

1.11. Ánh xạ afin: Cho hai không gian afin trên trường K là A và

→
−
→
−
A liên kết với không gian véctơ A và A .
Ánh xạ f : A −→ A được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến
→
−
→
−
→
−
tính f : A −→ A , sao cho với mọi cặp điểm M, N ∈ A và ảnh
−−−→ →
− −−→
M = f (M ), N = f (N ) ta có M N = f (M N ).
→
−
→
− →
−
Ánh xạ tuyến tính f : A −→ A được gọi là ánh xạ tuyến tính liên
kết với f.
1.12. Tỉ số đơn: Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R
−→
−→
là số λ thuộc trường K sao cho RP = λRQ, và kí hiệu là [P, Q, R].
1.13. Đẳng cấu afin: Ánh xạ afin f : A −→ A giữa hai không gian
afin A và A trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh.
Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A nếu có đẳng

f
cấu afin f : A −→ A . Khi đó ta kí hiệu A ∼ A .
1.14. Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A −→ A từ không gian
afin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép
afin.
1.15. Tương đương afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không
gian X , H1 và H2 là hai hình nào đó của X . Khi đó hình H1 gọi là tương
đương với hình H2 (đối với nhóm F , hay còn gọi là F - tương đương)
nếu có phép biến đổi f ∈ F sao cho f (H1 ) = H2 , ta kí hiệu: H1 (F )H2 .
∼

1.16. Bất biến afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian
X , và H là một hình trong X . Một tính chất nào đó của hình H sẽ gọi
là bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H tương đương với hình H
(đối với nhóm F ) đều có tính chất đó.
Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af (A) của không gian afin
6
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

A thường gọi là tính chất afin.
1.17. Siêu mặt bậc hai: Trong không gian afin An trên trường số
−
−
−
thực chọn mục tiêu afin {O;→
e1 , →
e2 , ..., →

en }. Cho phương trình bậc hai:
n

n

ai xi + a0 = 0

aij xi xj + 2

(1)

i=1

i,j=1

trong đó các hệ số aij , ai , a0 đều là số thực, các aij không đồng thời bằng
không và aij = aji.
Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho tọa độ (x1 , x2 , ..., xn )
của nó thỏa mãn phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định
bởi phương trình đó.
Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) thì phương
trình (1) gọi là phương trình của (S).
Với n = 2 và n = 3, các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường
bậc hai và mặt bậc hai.
1.18. Tâm của siêu mặt bậc hai: Tâm của siêu mặt bậc hai (S)
là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì phương trình của (S) có
dạng:
n

aij xi xj + a0 = 0

i,j=1

hay viết dưới dạng ma trận là

xt Ax+a0 = 0 với A = (aij ).
1.19. Điểm kì dị của siêu mặt bậc hai: Một điểm I gọi là điểm
kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I ∈ (S) và I là tâm của (S).

7
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

BÀI TẬP
1.1

Không gian afin

→
−
→
−
Bài tập 1.1.1. Cho (A,ϕ, A ) và (A ,ϕ , A ) là hai không gian afin trên
trường K, xét ánh xạ:
−
→
− →
φ : ((A × A ) × (A × A )) −→
A ×A

((M, M ), (N, N ))
→ (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).
→
−
→
−
Chứng minh rằng (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên
trường K (gọi là tích trực tiếp của hai không gian afin A và A ).
Bài giải
−
→
− →
Ta có (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K vì nó
thỏa mãn hai tiên đề sau, thật vậy:
a) Tiên đề về phép đặt vectơ.
→
−
−
→
− →
−
Với mọi (M, M ) ∈ A × A và mọi (→
u , u ) ∈ A × A suy ra tồn tại
duy nhất cặp điểm (N, N ) ∈ A × A sao cho
→
−
−
ϕ(M, N ) = →
u , ϕ (M , N ) = u
⇒ ((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).

b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ.
→
−
+) Vì (A, ϕ, A ) là không gian afin nên:
∀M, N, P ∈ A : ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ).
→
−
+) Vì (A , ϕ , A ) là không gian afin nên:
∀M , N , P ∈ A : ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ) = ϕ (M , P );
∀(M, M ), (N, N ), (P, P ) ∈ A × A .
Suy ra
φ[(M, M ), (N, N )] + φ[(N, N ), (P, P )]
= (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )) + (ϕ(N, P ), ϕ (N , P ))
= (ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ), ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ))
= (ϕ(M, P ), ϕ (M , P ))
8
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

= φ[(M, M ), (P, P )].
−
→
− →
Vậy (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K.
Bài tập 1.1.2. Chứng minh rằng nếu M0 , M1 , ..., Mm là hệ m + 1 điểm
độc lập thì điều kiện cần và đủ để hệ m + 2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1
không độc lập là với điểm O tùy ý ta có:

−−→
OM m+1 =

m

m

−−→
λi OMi với

i=0

λi = 1.
i=0

Bài giải
−−−→ −−−→
−−−−→
Hệ M0 , M1 , ..., Mm độc lập khi và chỉ khi hệ véctơ M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mm
độc lập tuyến tính. Hệ m+2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1 không độc lập.
−−−→ −−−→
−−−−−−→
Suy ra { M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mm+1 } phụ thuộc tuyến tính.
Suy ra tồn tại các ti không đồng thời bằng không sao cho
m
−−−−−−→
−−−→
M0 Mm+1 =
ti .M0 Mi (với các điểm O tùy ý)
i=1

−−→ −−−−−→
⇒ M0 O + OMm+1 =
−−−−−→
⇒ OMm+1 = (1 −

m

−−→ −−→
ti .(M0 O + OMi )

m
i=1

−−→
ti ).OM0 +

i=1

m

i=1
m

ti , λi = ti , i = 1, 2, ..., m ⇒

Đặt λ0 = 1 −

−−→
ti OMi .

m

i=1

λi = 1.
i=1

Suy ra có điều phải chứng minh.

1.2

Mục tiêu afin và tọa độ afin

−
−
−
Bài tập 1.2.1. Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin {O; →
e1 , →
e2 , →
e3 } .
→
−
→
−
→
−
→
−
→

−
→
−
Chứng tỏ rằng {O; e1 + e2 , e2 + e3 , e3 + e1 } cũng là mục tiêu afin. Hãy
viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai.
Bài giải
−
→ →
−
→
−
→ − →
−
−
−
Đặt e 1 = −
e1 + →
e2 , e 2 = →
e2 + →
e3 , e 3 = →
e3 + −
e1 thì ma trận C chuyển
−
→
−
→
−
→
−
−

−
từ cơ sở ε = {→
e1 , →
e2 , →
e3 } sang hệ ε = e 1 , e 2 , e 3 là
9
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN


1 0 1


C =  1 1 0  . Ta có det C = 2 = 0.
0 1 1
Suy ra ε là một cơ sở của không gian afin A3 .
→
→ −
−
→ −
Do đó O; e 1 , e 2 , e 3 là mục tiêu afin.


Cho (x1 , x2 , x3 ), (x1 , x2 , x3 ) lần lượt là tọa
mục tiêu {O, ε} và {O, ε }.
Công thức đổi mục

 tiêu





x1
x1





 x2  = C.  x 2  ⇔


x3
x3

độ của điểm X trong hai

x1 = x 1 + x 3
x2 = x 1 + x 2 .
x3 = x 2 + x 3

Bài tập 1.2.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin
−
−
−
−
{O; →
e1 , →

e2 , →
e3 , ..., →
en }
(I)
j
−
→
→
−
Đặt e =
e , j = 1, .., n. Chứng tỏ rằng với i ≤ j thì
j

i

i=1

−
→ −
→
−
→
(II)
{O; e 1 , e 2 , ..., e n }
cũng là mục tiêu afin. Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I)
sang mục tiêu (II).
Bài giải
−
→ −
→

−
→
−
−
−
e1 , →
e2 , ..., →
en }
Ma trận tọa độ của hệ ε = e 1 , e 2 , ..., e n với cơ sở ε = {→
là



1 1 ... 1
 0 1 ... 1 


C=
 . Ta có det C = 1 = 0 .
 ... ... ... ... 
0 0 ... 1
−
→ −
→
−
→
Do đó ε = e 1 , e 2 , ..., e n là một cơ sở.
−
→ −
→

−
→
Suy ra O; e 1 , e 2 , ..., e n là một mục tiêu afin.

10
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

Công thức đổi mục tiêu

n

xi
x
=

1


i=1


n

xi .
x
=
2

x = Cx ⇔
i=2




...............



xn = x n
Bài tập 1.2.3. Trong không gian afin 2 chiều A2 trên trường số thực R
−
→ −
→
−
−
cho mục tiêu: {O, →
e1 , →
e2 } (I) và O , e 1 , e 2 (II). Đối với mục tiêu (I)
ba điểm P, Q, R có tọa độ là P = (2, 1), Q = (1, 1), R = (1, −1). Đối với
mục tiêu (II) chúng có tọa độ là P = (6, −2), Q = (4, −1), R = (2, −3).
Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II).

Bài giải
+)Cách 1 : Ta viết được

−−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
OO = OP − O P = OQ − O Q = OR − O R
−

→
−
→
−
−
= 2→
e1 + →
e2 − 6e 1 + 2e 2
−
→ −
→
−
−
=→
e1 + →
e 2 − 4e 1 + e 2
−
→
−
→
−
−
=→
e −→
e − 2e + 3 e .
1

Giải ra được

2

1

2

−
→ 1−
1−


e1 = →
e1 + →
e2


3
3
−
→
1−
2−
e2 =− →
e1 + →
e2 .

3
3


−→

2−
1−

−
OO = − →
e1 + →
e2
3
3

1
1
2

 x1 = x 1 − x 2 −
3
3
3
Suy ra công thức đổi tọa độ là
1
2
1 .

 x1 = x 1 + x 2 +
3
3
3
11

Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

+)Cách 2 : Giả sử công thức đổi tọa độ là

x1 = a1 x 1 + a2 x 2 + a0
.
x2 = b1 x 1 + b2 x 2 + b0
Với điểm P ta có

2 = 6a1 − 2a2 + a0
1 = 6b1 − 2b2 + b0

(1)
(2)

Với điểm Q ta có

1 = 4a1 − a2 + a0
1 = 4b1 − b2 + b0

(3)
(4)

1 = 2a1 − 3a2 + a0
(5)
−1 = 2b1 − 3b2 + b0
(6)
1

2
Từ (1), (3), (5) ta có a1 = −a2 = , a0 = − .
3
3
1
2
1
Từ (2), (4), (6) ta có b1 = , b2 = , b0 = .
3
3
3
Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm.
Với điểm R ta có

1.3

Phẳng trong không gian afin

Bài tập 1.3.1. Trong không gian afin A cho m - phẳng α và điểm P ∈
/ α.
Chứng minh rằng có (m + 1) - phẳng duy nhất chứa α và P .

Bài giải
Ta có α là m - phẳng đi qua (m + 1) điểm độc lập A0 , A1 , ..., Am và
→
−
điểm P ∈
/ α. Gọi β là không gian véctơ (m + 1) chiều mà
→
−

−−−→ −−−→
−−−→ −−→
β = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P .
→
−
β là (m + 1) - phẳng đi qua A0 có phương là β . Rõ ràng β đi qua P .
−−−→ −−−→
−−−→
−
Ta có m - phẳng α đi qua A0 phương →
α = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am nên
α ⊂ β. Nếu có (m + 1) - phẳng β thỏa mãn điều kiện đầu bài thì khi
đó
→
−
→
−
−−−→ −−−→
−−−→ −−→
β = A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P = β ,
và đi qua A0 suy ra β = β .

12
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

−
−

−
Bài tập 1.3.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin {O; →
e1 , →
e2 , ..., →
en }
−→
−
và các điểm Pi với OP i = ai →
ei (ai = 0)(i = 1, 2, ..., n). Chứng minh rằng
n điểm P1 , P2 , ..., Pn độc lập và phương trình siêu phẳng đi qua n điểm
ấy có thể viết dưới dạng:
xn
x1 x2
+
+ .... +
= 1.
a1 a2
an
Bài giải
−→
−−→
−−→ −−→
−
Ta có OP i = ai →
ei (ai = 0)(i = 1, 2, ..., n). P1 Pi = OPi − OP1 =
−
−
−
−
−

ai →
ei − a1 →
e1 , i = 2, ..., n. Đặt →
µ i = ai →
e i − a1 →
e1 ta có
n

−
ti →
µi =

i=2

⇒
Hệ

n

→
−
−
−
ti (ai →
ei − a1 →
e1 ) = 0

i=2



 ai ti = 0, i = 2, ..., n
n

 −ai

ti = 0

⇒ t1 = .... = tn = 0.

i=2

−−→ −−→
−−→
P1 P2 , P1 P3 , ..., P1 Pn

độc lập tuyến tính nên P1 , P2 , ..., Pn xác

định một siêu phẳng α có phương trình
u1 x1 + u2 x2 + ... + un xn = b.
Vì O ∈
/ α nên suy ra b = 0 do đó ta có
u2
un
u1
(1) ⇔ x1 + x2 +....+ xn = 1.
b
b
b
Pi có tọa độ thứ i bằng ai còn các tọa độ khác bằng không nên
1

ui
= .
b
ai
x1 x2
xn
Từ (2) suy ra
+
+ ... +
= 1.
a1 a2
an

(1)
(2)

Bài tập 1.3.3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và siêu phẳng
cho bởi các phương trình sau đây:

x1 − b1
x2 − b2
xn − bn
=
= ... =
và
a1
a2
an
13
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân

n

ci xi + d = 0.
i=1


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

Bài giải
Trong không gian afin A đường thẳng ∆ có phương trình
x1 − b1
x2 − b2
xn − bn
=
= ... =
a1
a2
an
và siêu phẳng α có phương trình
n

(1)

n

ci xi + d = 0.

(2)

i=1

Đặt

xi − bi
⇒ xi = tai + bi ; i = 1, ..., n.
ai
Thế vào (2) ta được
t=
n

t

n

c i ai +
i=1

ci bi + d = 0.

(3)

i=1

n

•

ci ai = 0.
i=1

n

ci bi + d = 0 tức là (3) đúng với ∀t ⇒ ∆ ⊂ α.

Nếu
i=1
n

ci bi + d = 0 ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ ∆ không cắt α.

Nếu
i=1

n

ci b i + d

n

•

ci ai = 0 ⇒ t = −
i=1

i=1

⇒ ∆ cắt (α) tại M (x1 , ..., xm ) duy

n

c i ai
i=1

nhất, với xi = ai t + bi (i = 1, ..., n).

1.4

Vị trí tương đối của các phẳng

Bài tập 1.4.1. Cho tập M gồm m + 1 điểm độc lập của không gian afin
An (m < n). Gọi N và N là hai tập con không rỗng của M và không
giao nhau. Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và α sao cho
N ⊂ α và N ⊂ α .

Bài giải

14
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

Không làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết:
M là tập gồm m + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pm ;
N là tập gồm r + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pr ;
N là tập gồm m − r điểm Pr+1 , ..., Pm .
Cả ba hệ điểm trên đều độc lập.
n
−−→

−−→
ti P0 Pi ⇒ N ⊂ α;
α = X : P0 X =
i=1
m−r−1

−−−−→
−−−−−−−→
Y : Pr+1 Y =
1k Pr+1 Pr+1+k ⇒ N ⊂ β;
k=1
→
−
→
−
có thể giả thiết dim α ≥ dim β .
→
−
−
+ Nếu α//β ⇒ β ⊂ →
α.
−−−−−−−→
−−→
−−→
⇒ Pr+1 Pr+1+k biểu thị tuyến tính qua P0 P1 , ..., P0 Pr
−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−→
⇒ P0 Pr+1+k = Pr+1 Pr+1+k + P0 Pr+1
r
−−→
−→

t i P0 Pi .
⇒ P0 I =
β=

i=1

Suy ra hệ điểm P0 , P1 , ..., Pr , Pr+1 , Pr+1+k không độc lập.
Điều này trái với giả thiết.
Nếu α ∩ β = ∅. Lấy I ∈ α ∩ β , ta có
r
−−→
−→
ti P0 Pi ;
P0 I =
i=1
m−r

−−−→
Pr+1 I =

−−−−−−−→
1k Pr+1 Pr+1+k .

(1)
(2)

k=1

Lấy (1) trừ (2) suy ra
−−−→

IPr+1 =

r

−−→ m−r −−−−→ −−−−−−→
ti P0 Pi −
1k (Pr+1 P0 + P0 Pr+1+k ).

i=1

k=1

Suy ra hệ P0 , P1 , ..., Pm không độc lập (trái với giả thiết).
Trường hợp tổng số điểm trong N và N nhỏ hơn (m + 1) thì chứng
minh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N .
Bài tập 1.4.2. Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian afin An .
Chứng minh rằng:
→
−
−→ →
a) α∩β = ∅ khi và chỉ khi với mọi P ∈ α, mọi Q ∈ β có P Q ∈
/−
α+β,
→
−
−→ →
hoặc khi và chỉ khi có P ∈ α, Q ∈ β để P Q ∈
/−
α + β.
15

Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

−
b) Nếu lấy P ∈ α và Q ∈ β và gọi →
γ là không gian véctơ con một
−→
chiều gây bởi bởi véctơ P Q, thì
−−−→ − →
−
α ∩ β = ∅ khi và chỉ khi α + β = →
α + β
−−−→
→
−
−
−
α ∩ β = ∅ khi và chỉ khi α + β = (→
α + β)⊕→
γ.
Bài giải
−
−→ − →
a) Giả sử α ∩ β = ∅ mà có P ∈ α, Q ∈ β sao cho P Q ∈ →
α + β thì
→
−
→

−
→
−
−→
−
−
−
có thể viết P Q = →
a + b với →
a ∈→
α , b ∈ β . Lấy điểm A ∈ α sao
→
−
−
−→
−→ −→
−→ →
−
cho P A = →
a thì b = P Q − P A = AQ ∈ β . Do đó A ∈ β , suy ra
α ∩ β = ∅, điều này trái với giả thiết. Vậy với mọi điểm P ∈ α, Q ∈ β
→
−
−→ →
đều phải có P Q ∈
/−
α + β.
→
−
−→ →

Ngược lại, nếu có P ∈ α, Q ∈ β sao cho P Q ∈
/−
α + β mà α∩β = ∅ thì
−
−→ −→ −→ − →
lấy một điểm chung A ∈ α ∩ β , ta có P Q = P A + AQ ∈ →
α + β , nhưng
→
−
→
−
−→ →
−→ →
điều này mâu thuẫn với giả thiết P Q ∈
/−
α + β . Vậy từ P Q ∈
/−
α + β
phải suy ra α ∩ β = ∅.
−−−→ − →
−
b)+ Nếu α ∩ β = ∅ thì hiển nhiên α + β = →
α + β.
−−−→ − →
−
Ngược lại, α + β = →
α + β.
−
−
−→ − →

−→ − →
−
−
Vì P ∈ α, Q ∈ β nên P Q ∈ →
α + β ⇒ PQ = →
a + b . Vì →
a ∈→
α
nên có duy nhất điểm I ∈ α sao cho
→
−
−
→ −
−→ −→ −→
PI = →
a ⇒ b = P Q − P I = IQ ⇒ I ∈ β ⇒ α ∩ β = ∅.
→
−
−→ →
+ Nếu α ∩ β = ∅ ⇔ ∀P ∈ α, ∀Q ∈ β ⇒ P Q ∈
/−
α + β
−−−→
→
−
−
−
⇒ α + β = (→
α + β)⊕→
γ.

−−−→
→
−
−−−→
→
−
−
Ngược lại, giả sử α + β = ( α + β ) ⊕ →
γ . Nếu α ∩ β = ∅ ⇒ α + β =
→
−
→
−
α + β . Điều này trái với giả thiết. Vậy α ∩ β = ∅.
Bài tập 1.4.3. Cho hai siêu phẳng α và α có phương trình lần lượt là:
n

n

ai xi + b = 0 và
i=1

a i xi + b = 0.
i=1

a) Tìm điều kiện để α và α cắt nhau, để α và α song song, để α và
α chéo nhau, để α và α trùng nhau.
b) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của các siêu phẳng đi qua
α ∩ α (nếu có) hoặc song song với α và α (nếu α ∩ α = ∅) có thể viết
16

Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

dưới dạng:
n

λ

n

= 0 với |λ| + |µ| = 0.

a i xi + b

ai x i + b + µ
i=1

i=1

Người ta gọi phương trình đó là phương trình chùm siêu phẳng xác
định bởi α và α .

Bài giải
a) Hai siêu phẳng α và α có phương trình lần lượt là:
n

n

a i xi + b = 0.

ai xi + b = 0 và
i=1

i=1

Suy ra

→
−
−
α = {→
x (x1 , ..., xn ) thỏa mãn

n

ai x i = 0

(1)};

i=1
n

→
−
−
α = {→
y (y1 , ..., yn ) thỏa mãn
a i yi = 0

(2)}.
i=1
→
−
−
+ α//α ⇔ →
α ≡ α ⇔ (1) và (2) tương đương.
→
−
→
−
α =α
+α≡α ⇔
có điểm chung

 (1) tương đương với (2)
n
⇔
.

(ai − a i )xi + b − b = 0 có nghiệm
i=1

+ α ∩ α ⇔ (1) và (2) không tương đương.
b) Phương trình
n

λ

n

ai xi + b +µ
i=1

+ α∩α =∅

a i xi + b

= 0 với |λ|+|µ| = 0.

i=1
n

(∗) ⇔

(λai + µa i )xi + λb + µb = 0.
i=1

Nếu λai + µai = 0, i = 1, 2, ..., n.
µ
Với λ = 0 ⇒ ai = − ai , i = 1, 2, ..., n.
λ
Suy ra (1) và (2) tương đương, trái với giả thiết.
Do đó (*) là phương trình siêu phẳng γ .
+ α ∩ α = ∅ thì α ∩ α có phương trình

17
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân

(∗)

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN









n

ai xi + b = 0
i=1
n

⇒ α ∩ β ⊂ γ.
a i xi + b = 0

i=1

µ
+ α ∩ α = ∅. Nếu λai + µai = 0, i = 1, n thì b = − bi ⇒ α ≡ α
λ
trái với giả thiết. Cho nên (*) là phương trình siêu phẳng γ .
1.5

Tâm tỉ cự của hệ điểm

Bài tập 1.5.1. Cho G là tâm tỉ cự của họ k điểm {P1 , P2 , ..., Pk } gắn
k

với họ hệ số {λ1 , λ2 , ..., λk };

λi = 0 . Cho G là tâm tỉ cự của họ
i=1

(m − k) điểm {Pk+1 , Pk+2 , ..., Pm } gắn với họ hệ số {λk+1 , λk+2 , ..., λm };
m

λj = 0 . Cho G là tâm tỉ cự của họ m - điểm {P1 , P2 , ..., Pm }
j=k+1
m

gắn với họ hệ số { λ1 , λ2 , ..., λm } ;

λi = 0 . Chứng tỏ rằng khi đó
i=1

G là tâm tỉ cự của họ hai điểm G , G gắn với họ hệ số:
k

λ =

m

λi và λ =
i=1

λj .
j=k+1

Bài giải
Do điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1 , P2 , ..., Pk } gắn với họ hệ số
k
−−→ →
−
{λ1 , λ2 , ..., λk } nên
λi G Pi = 0 .
(1)
i=1

Tương tự vì G là tâm tỉ cự của họ (m − k) điểm {Pk+1 , Pk+2 , ..., Pm }
m
−−−→ →
−
(2)
gắn với họ hệ số {λk+1 , λk+2 , ..., λm } nên
λ j G Pj = 0 .
j=k+1

Từ (1) và (2) suy ra
k

−−→
λi G Pi +

i=1

m

j=k+1
18

Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân

−−−→ →
−
λj G Pj = 0


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN
k

⇔

−−→ −−→
λi (GPi − GG ) +

i=1
k

⇔

j=k+1

−−→
λi GPi +

i=1
m

⇔

−−→ −−→
→
−
λj (GPj − GG ) = 0

m

−−→
λj GPj −

m

k

i=1

−−→
λi GG +

i=1

j=k+1

−−→

λi GPi =

k

−−→
λi GG +

i=1

m

m

−−→
λj GG

→
−
= 0

j=k+1

−−→
λj GG .

(3)

j=k+1

Mặt khác do G là tâm tỉ cự của họ m - điểm {P1 , P2 , ..., Pm } gắn với họ

m
−−→ →
−
λi GPi = 0 .
(4)
hệ số {λ1 , λ2 , ..., λm } nên
i=1
k

Từ (3) và (4) suy ra

−−→
λi GG +

i=1
m

m

−−→ →
−
λj GG = 0 .

j=k+1
k

λi = 0 nên λ =

Theo giả thiết
i=1

(5)
m

λi và λ =
i=1

λj thỏa mãn
j=k+1

λ +λ = 0.
(6)
Từ (5) và (6) suy ra G là tâm tỉ cự của họ hai điểm G , G gắn với họ
hệ số λ , λ .
Bài tập 1.5.2. Cho bốn điểm phân biệt P1 , P2 , P3 , P4 . Xét các đường
thẳng đi qua một trong bốn điểm đó và đi qua trọng tâm của ba điểm còn
lại (có bốn đường thẳng như vậy). Lại xét các đường thẳng đi qua trung
điểm của đoạn thẳng nối hai điểm còn lại (có ba đường thẳng như vậy).
Chứng minh rằng bảy đường thẳng nói trên cùng đi qua một điểm.
Mở rộng bài toán cho trường hợp có m điểm phân biệt.

Bài giải
Gọi G là trọng tâm của hệ bốn điểm P1 , P2 , P3 , P4 .
Theo Bài tập 1.5.1, G thuộc đường thẳng nối hai trung điểm của các
cạnh đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 và G thuộc đường thẳng nối đỉnh
với trọng tâm của mặt đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 suy ra bảy đường
thẳng đồng quy tại G.
Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt.
Chia hệ m điểm thành hai tập N và N khác ∅ và không giao nhau.
19

Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân


CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN

Khi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểm
trong N đồng quy tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu.

1.6

Tập lồi trong không gian afin

Bài tập 1.6.1. Chứng minh rằng nếu M nằm giữa hai điểm P và Q thì
−−→
−−→
M P = k M Q với k < 0.

Bài giải
Vì M nằm giữa hai điểm P và Q nên với điểm O bất kì ta luôn có
−−→
−→
−→
OM = αOP + (1 − α)OQ với 0 < α < 1.
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
⇔ OM = αOM + αM P + (1 − α)OM + (1 − α)M Q
−−→

−−→ →
−
⇔ αM P + (1 − α)M Q = 0
−−→ α − 1 −−→
⇔ MP =
MQ
α
α−1
Đặt
= k.
α
α−1
α−1<0
Ta thấy 0 < α < 1 ⇒
⇒k=
< 0.
α
α>0
−−→
−−→
Vậy M nằm giữa P và Q thì M P = k M Q với k < 0.
Bài tập 1.6.2. Chứng minh rằng giao của hai tập lồi (nếu có) là một
tập lồi.

Bài giải
Giả sử A và B là hai tập lồi. C = A ∩ B = ∅.
M ∈ C ⇒ M ∈ A, M ∈ B;
N ∈ C ⇒ N ∈ A, N ∈ B.
Suy ra đoạn M N ⊂ A và đoạn M N ⊂ B do đó đoạn M N ⊂ C .
Vậy C là tập lồi.

20
Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân