Bài tập giới hạn có lời giải

Bài: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1|BÀI TẬP GIỚI HẠN H

3.1. Các định nghĩa

Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận điểm x 0, không nhất thiết
phải xác định tại x0.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {x n} trong lân cận của
x0 thõa:

và

thì

Kí hiệu:

.

hay f(x) ® L khi x ® x0.

Định nghĩa 2: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x ® x 0 nếu với mọi
tồn tại số

cho trước (bé tùy ý)

dương sao cho với mọi x thỏa:
ta có

.

Định nghĩa 3: Số L được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) khi x ® x 0 nếu với mọi
(bé tùy ý) tồn tại số
có

dương sao cho với mọi x thỏa

ta

.

Kí hiệu:

(

).

Định nghĩa 4: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x ®
số

(lớn tùy ý) sao cho với mọi x thõa

Kí hiệu:

ta có

hay f(x) ® L khi x ®

nếu với mọi
.

.

Ví dụ 1:

1.

Chứng minh:

2.

Chứng minh:

3.

Chứng minh:

.

.

.

Giải:

1.

cho trước

Vì x ® 0 ta có thể chỉ rút:

bé tùy ý:

(bé tùy ý) tồn tại


Vậy

2.

Khi x

2|BÀI TẬP GIỚI HẠN H

3

x–3

0 ta có:

.

Vậy:

3.

Xét:

với mọi

> 0 (bé tùy ý),

.

Vậy

3.2. Các tính chất
Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các tính chất sau:
1.

Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

2.
Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x ® x 0 và L > a (hay L < a) thì trong một lân cận nào đó
của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x) < a).
3.

Nếu f(x) £ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

,

x0 thì

thì b £ a.

4.

Nếu f(x) = C (với C là hằng số) thì

5.

Nếu

f(x)

là

một

hàm

số

.
sơ

cấp

xác

định

tại

điểm

x 0 và

ở

trong

lân

cận

.

6. Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x 0,
không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x) £ f(x) £
h(x) và

thì

.

7. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tùy ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu
tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x ® +


8. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f(x) là
hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x ® - .

3|BÀI TẬP GIỚI HẠN H

9.

=

.

10. Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x®x 0 thì các hàm [f(x) ± g(x)], f(x).g(x),
cũng có giới hạn và ta có:
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).
lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).

11. Xét hàm hợp f(u) và u = u(x), khi đó ta có:

Nếu
thì

,

f(u)

xác

định

trong

một

lân

cận

.

Ví dụ 2: Tính:
Đặt

; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta có

Vậy

3.3. Các giới hạn cơ bản

.

.

. Đặt biệt

.

của

u 0 và


4|BÀI TẬP GIỚI HẠN H
hay

.

Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định như :
,

. sau đây là một vài ví dụ minh họa.

Ví du 3:

1.

Tính:

2.

Tính:

3.

Tính:

4.

Tính:

.

.

.

.

5. Tính:

6. Tính:

7. Tính:

.

.
Giải:

1)

2)

3)

.

,

,


5|BÀI TẬP GIỚI HẠN H
4)

5)

=

.

6)

=

=

.

7)

.

Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau:
tan x − x
I = xlim
→0
x − sin x

0
Giải bài 1: Thấy khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là .
0
Áp dụng quy tắc L’Hospital:
1
1− cosx 1 + cosx
tan x − x
cos2 − 1
(
)(
) 1 + cosx 2
lim
= lim

= lim
= lim
= =2 
x
x→0

x − sin

x

x→0

1−
cosx

x→
0

1 − cos x cos 2
)
x

(

Bài 2: Tính giới hạn sau đây:
1

I = xlim
→+∞

e x −1

1
x
Giải bài 2:

0
Khi x  +∞ thì giới hạn đã cho có dạng bất định là .
0
Áp dụng quy tắc L’Hospital
1

1

I=
lim

e x −1
=

lim

x1 e x
=e =1

2

x→
0

cos2 x 1


x→+∞

x→+∞
1
1
x
x2
6 | Bhạn
À I sau
TẬ
P GIỚI HẠN H
Bài 3: Tính giới
đây:
ln x
I = lim
x→ 0
1
x
Giải bài 3:

∞
Khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là .
∞
Áp dụng quy tắc L’Hospital
1
ln x
I = lim

= lim = 0 
x
x→0

x→0

−

1

1

x
x2
Bài 4: Tính giới hạn khi n∈N, a ≥1
I = lim x
x→+∞

n

x

a
Giải bài 4:

∞
Khi x  +∞ thì giới hạn có dạng bất định là
∞
Áp dụng quy tắc L’Hospital

I = lim
x→+∞

x = lim
n
x

x→+∞

a

n−1

nx

= lim n(n
−1)xn−2

= lim

ax
(lna)2

x→+∞

x

x→+∞

a lna

n!

= 0 (vì n là một số) 

a x (lna)n

Bài 5: Tính giới hạn sau đây khi µ > 0
I = limx µ ln x
x→0

Giải bài 5:
Khi x0, giới hạn đã cho có dạng bất định là 0.∞ , ta đưa về dạng bất định
I = limx µ ln x = lim
x→0

x→0

0∪ ∞
0

ln x

∞

1
µ

x

Áp dụng quy tắc L’Hospital
ln x
I = lim
x→0

1
µ

1
x

ln x

= lim
x→0

µ

−

x

= lim
x→0
+1)

x
Bài 6: Tính
sau:
 2giới hạn

1 
I = lim cot x − 
x→0
2
x 


−µx

−( µ

xµ x

(µ
+1)

x
= lim
x→0

−µx

xµ

= lim

= lim

x→0

x→0

−µx

=0

−µ

Giải bài 6:
Khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là ∞ − ∞
0
Đưa ∞ − ∞ về dạng
0

 2

2
2
 2
 2
I = lim cot x − 1
cos x 1 = lim x cos x − sin x

 = lim

x→0
2
2
x→0 
x→0

x
sin
x
−2

sin 2 x x 2
x 






 xcos2 x − sin x xcos x + sin 
x 
x→0 
x sin x 
sin x
= lim




 tiến hành thay thế VCB tương đương

Tới đây
Khi x  0 thì ta có:
xcosx ~ x
sinx ~ x
x2sinx ~ x3

Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x
xcosx – sinx không thay được VCB tương đương vì x – x = 0x
 xcos x − sin x xcos x + sin x 
xcos x − sin x
xcos x + sin x
I = lim 
lim
lim


=






 x→0
x2 sin x
x→0
 x→0
xx 2 sin
sin
x




sin
x








xcos x3 − sin x
xcos x3− sin x
2x
lim 
x→0 
x→0 
= lim
x→0
 = 2lim

x
x


 x 


Áp dụng quy tắc L’Hospital









 cos x − xsin
 x

 x
xcos
x3 − sin x
x − cos
−xsin
I = 2lim
2lim 
x→0 
 = x→0
x→0
= 2lim3x
2

3x2
x



 1
 sin x 
 1 
2


= 2 × − lim
=2× −
×1 = −

 x→ 0  


3
 3
 x 
 3

Bài 7: Tính giới hạn sau đây:
1 + x3
sin
− sin1
I = lim
x→0 5
1 − 2xlncosx −1
Giải bài 7:
Nhận xét, vì:
và lim 5 1− 2xlncosx −1 =
lim sin 1+ x3 − sin1 = 0
x→0
0

(

x→0

ta mới tiến hành thay thế VCB

(

tương đương được.
sin

2cos

− sin1
= lim

1+x
I = lim
3

sin
1+x +1
1 +2x3 −1

2cos1×sin
1 + x −1

3

3

2

5

1 − 2xlncosx −1 x→0
1 − 2xlncosx −1
Khi x  0, ta có:
1+ x3
1+ x3
−1
−1 1 x3 x3
sin
~
~ × =
2
2
2 2
4
5
1 − 2xlncos x
2
2

= lim

x→0 5

= lim
I
x→0

x→0

5

1 − 2xlncosx −1

x2
2

2





−1 ~ − x lncos x = x ln(1 + cos x −1) ~ x(cos x −1) ~
x −


−
−
−
5
5
5
5
2



3

=x

5
Vậy:

2

3

x cos1
= 5 cos1 
2
3

x
2
5
Bài 8: Tính giới hạn sau đây:


x2 + 4
x
I = lim

x→+∞

x +4
x2 − 4
2

+ 2x + 3
x2 − 4 + x

Giải bài
8:
Vì lim

x→+∞

( +3 2x +

= +∞ ∧ lim
x

x→+∞

+

x = +∞ nên ta tiến hành thay

)

VCL

)

tương đương được.
Khi x → +∞ ta tiến hành lượt bỏ các VCL có bậc thấp hơn, chỉ chọn những VCL có bậc cao
nhất của cả tử và mẫu.
x2 + 4
x2 − 4
~ x và

Như vậy, ta có:

~x


I = lim

3x

3

=
x→+∞
2xgiới
2 hạn sau đây:
Bài 9: Tính
ln 1 + x tan x
I=
(2
)
3
x
+
sin
x
lim
x→0

Giải bài 9:
+

= ∧
+
=
Vì, limln(1 x tan x ) 0 lim x2 sin3 x
nên ta thay được các VCB tương đương.
0
x→0

(

x→0

Khi x  0, ta tiến hành thay các VCB tương đương:
ln 1+ x tan x ~ x tan x ~ x2

(

)

sin3 x ~ x3
Dưới mẫu được x2 + x3 , lượt bỏ VCB có bậc cao hơn, như vậy dưới mẫu ta được x2
Như vậy:
2

I = lim x = 1 
2
x→0
Bài 10:xTính giới hạn sau đây:
ln cosx
I = lim (

)
x→0
ln(1 + x2 )
Giải bài 10:
Vì limln cosx = 0 ∧ limln(1 + x2 ) = nên thay VCB tương đương được.
( )
0
x→0

x→0

Khi x  0, ta được:
ln(cosx) = ln(1 + cosx −1) ~ cosx −1 ~ −
ln(1+ x ) ~ x
Như vậy:
2

x

2

2

2

2

− x2
1
I = lim = − 

x→0

2

x
Bài 11: Tính
giới2 hạn sau đây:
sin e x −1 −1
I=
(ln x )
lim
x→1

Giải bài 11:
Vì limsin ex−1 −1 = 0 ∧ limln x = 0 nên thay VCB tương đương được.
x→1

I=
lim

(

x→1

sin e x −1 −1

(

)

= lim
ln
x
Khi x  1, ta có:
x→1

sin e x −1 −1
x→1
ln(1( + x −1))

sin ex −1 −1 ~ e x −1 −1 ~ x −1

(

)


ln(1+ x −1) ~ x −1
Vậy,
x −1
I = lim
=1
x→1

− 1 giới hạn sau đây:
Bài 12:xTính
e x −1 cos x −1
I=
( sin3)x( + 2x4 )

lim
x→0

Giải bài 12:

Vì lim e x −1 cos x −1 = 0 ∧ lim sin 3 x + 2x 4 = nên ta thay VCB tương đương được.
0
)
( ) (
(
)
x→0

x→0

Khi x0, ta có:
ex −1 ~
x

2

và cosx −1 ~ −x và sin3 x ~ x3
2

Như vậy,
− x23
1
I = lim = − 
3

x→0

x
2 hạn sau:
Bài 13: Tính
giới
sin 2x + 2arctan 3x + 3x2
I=
lim
ln 1 + 3x + sin2 x + xex

(

x→0

)

Giải bài 13:
Vì lim sin 2x + 2arctan 3x + 3x2

(

=0

x→0

)


= 0 ∧ lim ln 1+3x + sin2 x

(

x→0

)

+ xex



tương đương được.
ln 1+ 3x + sin2 x ~ 3x + sin2 x ~ 3x + x 2
Khi x0, ta có:
(
)
sin 2x ~ 2x ; 2arctan3x ~ 6x
;
xex ~ x.1 = x
Như vậy, ta được:

I = lim
x→0

8x

=2

Bài 14:4x
Tính giới hạn sau đây:

2
x +4
x
+ 2x + 3
I = lim

nên thay VCB


x2 − 4 + x

x→+∞

x2 + 4
x2 − 4
Giải bài
14:

( +3 2x +

Vì lim

x→+∞

được.
Khi x → +∞, ta có:
x2 + 4
x2 − 4
~ x ;

~x

= +∞ ∧ lim
x

x→+∞

+

x = +∞ nên thay VCL tương

)

đương

)


Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có bậc < 1 sẽ bị giản lược
đi bớt. Như vậy, ta có:
I = lim 3x

3

=
x→+∞
2x giới
2 hạn sau đây:
Bài 15: Tính
x2 + 14

+x
I = lim
x→+∞
x2 − 2 + x
x2 − 2
Giải bài 15:

(

Vì lim

x→+∞

x = +∞ ∧
lim
x2 +14
+

+

x→+∞

x −2
Khi x → +∞, ta có:
Ta thấy:
2

lim

x→+∞

(

x 2 +14 + x = +∞

)

và

lim

x→+∞

+

x = +∞ nên ta thay VCL tương đương được.

)
)

(

x = +∞ . Nên ta mới tiến hành thay VCL

)

tương

đương được.
x2 + 14

~x
x −2
2

~x
Như vậy,
I = lim 2x

=1

x→+∞

2x giới hạn sau đây:
Bài 16: Tính
x2 + 14
+x
I = lim
x→−∞
x2 − 2 + x
x2 − 2
Giải bài 16:
Vì lim

x→−∞

(

x =0∧
lim
2

x +14
+

x→−∞

+ x = nên ta không thể thay thế VCL tương
0

)

)


đương được mà chỉ có thể tính bằng các giới hạn cơ bản hoặc thay bằng VCB tương đương
bằng cách biến đổi biểu thức.
−x
14
1+
2

+ xx
−x x

+

2

−



+x



2

x
2



14
1−1+
 
1 + − −1
2
x

x

2

2



#CÁCH 1:
x2 + 14
+x

I = lim
x→−∞

1+

x2 − 2 +
x

lim

= lim

x→−∞

x→−∞

=

−1 ~

14

1 
× −2

2

=−

1

x
Khi x → −∞, ta có:
1 14 7
−1 ~ ×
= ;


1+ −
2




2

x2

x2


2

x

2


x

2


x
2



Như vậy,






7
x2
= −7 
I = xlim
→−∞
1
−
2

# CÁCH 2:x
Đặt
t = −x
Như vậy, giới hạn đã cho trở thành:
t 2 + 14 − t

t2 − 2 − t
t 2 + 14 − t t 2 − 2 + t t 2 + 14 + t
t 2 − 2 − t t 2 − 2 + t t 2 + 14 + t
= lim
I = lim
t→+∞ 

t→+∞



= lim 14 t 2 − 2 + t

  −2 2
t→+∞
t + 14 + t

Khi t → +∞ , ta được:
t2 − 2
t 2 +14






~ t và
~t
Như vậy,
 14 2t 

14
I = lim
= − = −7 
3x


t→+∞
−2 2t  2

Bài 17: VCL nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞: 3x + ln3 x , xln x
, x(2 + sin4 x)
,
Giải bài 17:
(Phương pháp: Giống như thuật toán tìm giá trị Max, thì đầu tiên ta gán một phần tử bất kì
xem như là nó max ban đầu, sau đó so sánh tiếp với các phần tử khác. Nếu có phần tử nào
mà lớn hơn phần tử đã gán ban đầu thì giá trị Max sẽ gán cho phần tử mới đó. Tương tự, so
sánh dần dần và ta được giá trị Max nhất trong dãy)
Chọn 3x + ln3 x
ln x
Khi x → +∞thì 3x + ln3 x ~
xln
x
lim
= +∞
lim
=
3x
So sánh với hàm kế tiếp là xlnx:
x→+∞

3x
Như vậy: xlnx có bậc cao hơn 3x + ln x
3

1

3x
3

x→+∞

3


Có
Trong
3x

=

x 2 . Như vậy 3x + ln3x có bậc cao nhất là 1 bé hơn bậc của xlnx đã bị loại.

khi
có bậc là 1/2 < 1 nên cũng bị loại.
Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x):
x(2 + sin4 x) ~ (do hàm sinx là hàm bị chặn)
2x
lim 2
= 0  xlnx có bậc cao hơn x(2 + sin4x)
lim 2x

=
x→+∞

x→+∞

xln xcó bậcln
x nhất là xlnx 
Vậy: VCL
cao
Bài 18: VCL nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞: 2x, x2, x2 + sin4x, xlnx
Giải bài 18:
Tương tự bài 17.


Nhận định đầu tiên là giữa 2x và x2 thì ta thấy 2x là VCL có bậc cao hơn vì 2x tiến ra vô cùng
nhanh hơn x2.
Xét x2 + sin4x ~ x2 (do hàm sinx là hàm bị chặn)
Nên 2x là VCL có bậc cao hơn x2 + sin4x
Tương tự, ta thấy xlnx tiến ra vô cùng chậm hơn 2x, như vậy:
2x là VCL có bậc cao nhất khi x → +∞
Bài 19: Tính giới hạn sau đây:
1

x+

I = x→−∞
lim xe x
Giải bài 19:
Đặt t = -x, ta được giới hạn sau:


1 
− t−
 t

= lim −t−t1

#CÁCH 1: I = lim − te
t→+∞

Dạng



t

e
. Tiến hành dùng L’Hospital

∞
∞

I = t→+∞
lim

t→+∞

−1
1



t−

1 + 2 e

 t 
#CÁCH 2:

t

 1
− t−
 t 

1

t

= +∞


−t 1t
= lim e = 0 (Do 0.1 = 0 vì hàm t chạy ra vô cùng chậm hơn so với hàm et
t
t→+∞
e

I = lim − te



t→+∞

nên –t/et =
0)
Vậy I = lim
xe



lim 1 12  e
t
+
t→+∞



=0.
Do

1

t−

x+

1
x

=0 

x→−∞

Bài 20: Tính giới hạn sau đây:
 2
I = lim x + 4 x2
 2

x→+∞

x −4
Giải bài 20:
Dạng bất định 1∞
x2

8x 2
2



x −4

x

2
−4

 + 4
1
8

+
=
lim
8




I = lim  x

x→+∞ 

x2 − 4
2
x→+∞
x −4


 2 


8x
=8
Vì lim
x→+∞ x 2 − 4

2

8x 2

= e lim
x

→+∞

x −4

= e8 
2


Bài 21: Tính giới hạn sau đây:
1

I = x→0
lim 1+ 2x4 sin

2x

(


Giải bài 21:
Dạng bất định 1∞
1

1
4 sin 2

= lim  1 + 2x 4 2x 4

(
x
(
)
)

x→0
x→0


4
2x
4
2x
Vì lim
=
=0
lim
2
2
x→0
x→0 x
sin x
Bài 22: Tính giới hạn sau đây:
I = lim 1 + 2x

I = lim ln e + x
x

( (

x→0

))

Giải bài 22:
Dạng bất định 1∞
I = lim ln e + x

( (

4

2x

lim

=e

x →0

2

sin x

=1

cot




x  cot
= lim 1 + xln 1 +

cot x

))

cot x

  
x 
= lim ln e 1 +

x→0

x→0



2x 4
sin 2 x



 


e 
 

 ln1+
 x cot x  

x→0




e





e
x   1 x
x


 ln 1+  
lim 1 ln 1
lim ln1+ cot x
e  e
eI


e 


=

 +
+
=
=

x→0


e




x cosx 1
Tính I2 = limln 1 + 
=
e
sin
x
e


x→0

 
Vì khi x  0 thì 
x
x
ln 1 +
~ ; cosx ~ 1; sinx ~ x



e e




2

Như vậy:
1

I = lim ln e + x
x→0

( (

))

= ee 

Bài 23: Tính giới hạn sau;
1

I = x→0
lim 1− tan x
(
Giải bài 23:
Dạng bất định 1∞
2

sin2 2x

−

1

I = lim 1 − tan 2 x

(

2x
x→0

)

sin 2

1


= lim 1 + − tan 2

(
x

))

x→0

(

 sin2 x

tan2 x








x→0

cot x





tan2 x
−sin2 2x

= eI

2


−tan 2 x

− cos2 x
−sin 2 x
1
2
2
2
4
=
lim
=
lim
=
−
Tính I2 = lim 2
4sin xcos x
4sin xcos x 4
sin 2x
x→0
x→0
Như vậy, x→0
1

(

I = 2x
lim 1 − tan x
x→0

2

sin2

1
−4

=e



Bài 24: Tính giới hạn sau đây:


I = lim cos x x1
( 10
) |BÀI TẬP GIỚI HẠN H
x→0
2

Giải bài 24:
Dạng bất định 1∞

1

1

Ilim
= cos x

(

x→0

)


=
I=
lim

x2

x

1 + cos x −1 cos
(
) 

x→0



x→0

lim

cos x−1
2

2

x −1

Tính:
I 2 = lim

cos
x−1



=e

x→0



cosx −1
2

Khi x  0, xcosx – 1 ~ -x2/2
−x 2
cosx − 1
2
1
I = lim
= lim = −
2

x→0

2

x
I = lim cos x
x→0

(

)

1
x2

x→0
1
− 2

=e

2

x


2

Bài 25: Tính giới hạn sau đây:
 2
I = lim 2x + 3 x2

 2

x→+∞

 2x − 1 
Giải bài 25:
Dạng bất định 1∞

4x 2

x2

2x 2 −1



−1



 2
2x + 3 = lim 1
4
4   
+
I = lim

x→+∞
 2 
2x 2 −1


x→+∞
 
 
 2x − 1



4x 2
=2
Vì lim 2
x→+∞ 2x −1
Bài 26: Tính giới hạn sau đây:
x


1
I = lim e x +1


x→+∞
x


Giải bài 26:
Dạng bất định 1∞
Đặt t = 1/x, ta 1được giới
hạn sau
1
I = lim

et + t t
t→0
Tính I2

lim ln(et +t)

t→0 
t

=e

=( e

I

2

2

2x

= e2 

x

= eI

2




1
1
t 
 e t + t  = lim  ln e t +t = lim ln e t 1 +
ln
t→0


11 | B À) I t→0
T Ậ P G I (Ớ I H )Ạ t→0
N H
t (
t
et 
t

1
= lim lne t + ln 1








t

1
t
1

+
= lim t
= lim 1 +
=2





+
t→0


t→0
t
t→0
t
t
t
t e 
 e 
 e 

Như vậy,
x
1


I = lim e x + 1  = e2

I 2 = lim

1