TOM TAT KIEN THUC VA PHUONG PHAP GIAI TOAN 12

TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠0)
+ TXĐ : D = ¡
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac
∆/ ≤ 0
∆/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò

• Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

 +∞ (a > 0)
(ax3 + bx 2 + cx + d ) = 
+ Giới hạn: • xlim
→+∞
 −∞ (a < 0)
+ Bảng biến thiên:
a > 0:
x
-∞
+∞
x
y’
+

y’
y
+∞
y
-∞
a < 0:
x
-∞
y’
y
+∞

+∞

x
y’

-

y

-∞

 −∞ (a > 0)
(ax3 + bx 2 + cx + d ) = 
• xlim
→−∞
 +∞ (a < 0)

-∞

+
-∞

x1
0
yCĐ

+∞
+

+∞

yCT

-∞
+∞

x2
0

x1
0

-

+

x2
0
yCĐ

+∞
-

yCT

-∞

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?

•

b

b

Điểm uốn I(− 3a ;f(− 3a ))

(giải pt y’’ = 0 )

• điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox

a>0 ; có 2 CT

a<0; có 2 CT

a>0,không CT

a<0,không CT

ax + b
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
cx + d
ad − bc
 d
+ TXĐ : D = ¡ \ − 
+ Đạo hàm : y ' =
(cx + d )2
 c
2.Hàm phân thức : y =

ad−bc < 0
y < 0, ∀ x ∈D
/

ad−bc > 0
y > 0 , ∀ x ∈D
/

Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
đònh


+ Tiệm cận:

d
• x = − là tiệm cận đứng vì

c
• y=

lim

+

d 
x →− ÷
c

ax + b
ax + b
= −∞ ( +∞ ) lim −
= +∞ ( −∞ )
,
 d  cx + d
cx + d
x →− ÷
c

a
ax + b
ax + b a
=
lim
=
là tiệm cận ngang vì xlim
→−∞ cx + d
x →+∞ cx + d

c
c

+Bảng biến thiên :
y’ > 0
x

-∞

y’

−

d
c

+

+∞
+

y
a
c

y’ < 0

a
c

+∞

−∞

x= −d/ c

x
y’
y= a/c

y

-∞
+∞

x= −d/ c

+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Chú ý đồ thò đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận .

−
-

d
c

−∞

y= a/c

+∞
-

a
c

a
c

3 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
(a≠0)
D
=
¡
+ TXĐ :
, Hàm số chẵn
/
+ Đạo hàm: y = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
/
y=0 ⇔ x=0
y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=±
•KL: tăng? Giảm
•Giá trò cực trò : y(0) = c có một cực trò

b
2a

•KL: tăng? Giảm?

• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(± −
trò

 +∞ (a > 0)
(ax 4 + bx 2 + c) = 
+ Giới hạn : xlim
→±∞
 −∞ (a < 0)

−

∆
b
) =− 4a Có 3 cực
2a


+ Bảng biến thiên :
a>0
x -∞
0
y’

+∞

y

-

+∞

0

+

x
y’

+∞

y

yCT

-∞
+∞

-

x1
0 +

0
0
yCĐ

-

yCT

x2
0

+∞
+

+∞

yCT

a<0
x
y’

-∞

y

-∞

+∞

0
0
yCĐ

+

x
y’

-

y

-∞

-∞
+
-∞

x1
0 yCĐ

0
0
yCT

+

x2
+∞
0 yCĐ
-∞

+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
a> 0
b>0

a< 0

b>0

a< 0
b <0

a> 0
b <0

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là : y - f(x0) = f/(x0)(x− x0) hay y = y/(x0)(x− x0)+ y(x0)
Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y - f(x0) = f/(x0)(x− x0)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
1

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a
+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
3. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
f(x)

hệ phương trình : 

f

/

= k(x − x1 ) + y1

(x) = k

(1)
(2)

có nghiệm

Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m)
Đặt: M = g(m)


+ ∆: y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò ∆: y = M
Bài toán 4: Xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) :
+ TXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng
; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...

Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m) :
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ TXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.



/

3) x0 là cực trị của hàm số ⇔ y / ( x 0 ) = 0
y ( x ) đổi dấu khi qua x0
• Dấu hiệu II:
+ TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).

Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
Và y/ =

u

u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D

v

u′v − v′u
2
v

=

g(x)
2
v

dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trò tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=>

u′
v′

=

u
v

. Do đó giá trò cực trò y(x0) =

u′(x 0 )
v′(x 0 )

Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……….
So sánh → KL
y(a) ; y(b)


max y =
[a;b] ?

+

min y =
[a;b] ?

2. P.pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT

min y =

yCT

max y =
( a;b )

yCĐ

( a;b )

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
f (x) = g(x)

Đồ thò (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt 
có nghiệm
f ′(x) = g′(x)
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
*Tiệm cận đứng : lim+ f (x) = +∞ ( −∞ ) hoặc lim− f (x) = +∞ ( −∞ ) => x = x là tiệm cận đứng
x →x0

0

x →x0

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác đònh

y = y0 hoặc lim y = y0 => y = y0 là tiệm cận ngang
*Tiệm cận ngang : xlim
→−∞
x →+∞
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có
tiệm cận ngang

Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a−n =

1

a

n

; a0 = 1 0 ;

m
n m
an = a

• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y

(a.b)x =ax.bx
x

a
a

( m; n nguyên dương , n > 1)

x
y =a

x −y

x

x
a
a 
=
b ÷
x

b
 

( ax )

• Hàm số mũ : y = a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R
MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến :
x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2
* Hàm số logarit:
α = logaN ⇔ aα = N
logax = b ⇔ x= ab
• Đặc biệt : a loga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:

y

( y)

= a

x

=a

x.y

B
log a  ÷ = log a B − log a C
C
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log a (B.C) = log a B + log a C

log c a.log a b =

log c b

⇔

log a b =

log c b

0 < a, b ≠ 1 :

log c a

Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ )
MGT : ¡
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1; h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)

= a g(x) ⇔ f(x) = g(x)
a
v(x)
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
u
f (x)
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b
a
f (x) > 0 hoặc
g(x) > 0
log a f(x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) = g(x)
log a f (x) = b
dạng: 
⇔ f(x) = a b
0 < a ≠ 1

v(x) > 0 ; u(x) > 0 ; u(x) ≠ 1
log u(x) v(x) = b
⇔ 
b

v(x) = [ u(x)]
• Đặt ẩn phụ :
α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0
;
Đặt : t = a f (x) Đk t > 0
α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ;

Đặt : t =

a

α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
α. a 2f (x) +β. ( a.b )

f (x)

f (x)

Đk t > 0

f (x) 1
; = b f (x)
t
f (x)
a

a

+ γ. b 2f (x) = 0 ; Đặt t =  ÷
b

• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
f (x) > g(x) khi a > 1
f (x)
> a g(x) ⇔ 
a

f (x) < g(x) khi 0 < a < 1
f (x)
> b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
a
Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1
f(x) < log a b nếu 0 < a < 1
f (x)
< b ⇔
Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
a
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1
f(x) > log a b nếu 0 < a < 1
•log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 :
bpt là f(x) > a b
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b
•log a f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 :
bpt là 0 < f(x) < a b
* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

log aα

log a b =

β
B

1
log b a

=

β
α

log a B


• ( u(x) )

v(x)

> 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• ( u( x )) v( x ) < 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
* trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dỡ dang
hơn: a f (x) > a g(x) (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x)−g(x)) > 0. (mở rộng thi đại
học).
* Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm
số trên.
*Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.

Phần 3: Nguyên hàm.
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
 I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt

Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

;

1

a2 + x2 ;

thì đặt x = asint

2
2
a −x

1
2
a + x2

thì đặt x = atant.

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx,

dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1

∫

u = f ( x )
du = f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 
⇒






dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
ax
ax
e

e 



a.dx

u = ln( ax + b ) du =
⇒
Đặt 

ax + b
dv = f ( x ) dx
v = ∫ f ( x ) dx

sin ax 
f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức: Đặt
 ax 
e 

@ Dạng 2:

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

sin ax 
ax
cosax dx Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e


Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
@ Dạng 3:

Dạng 1:

∫e

ax

.

∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx

∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:

∫ sin (u(x)).cos
n

m

(u(x))dx

(n,m là các số nguyên dương)

* Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x)).
* nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x)).
* Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
* n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x)).
Dạng 3:

∫ R(sinx,cosx)dx

R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).

* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
* Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính

f (x)

∫ g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x)
r(x)
= h(x) +
g(x)
h(x)

. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là

một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
f (x)

r(x)

∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx .Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
r(x)
phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau.
r(x)

Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
Nên

* Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
* Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2

(*) ( x1;

x2 là nghiệm của g(x).
* ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các
hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .

Phần 4: Tích phân. ( Tương tự phần nguyên hàm cần chú ý thêm về cận )
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/

∫ f [u(x)]u dx bằng cách
a
Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx

Dạng 1: Tính I =

đặt t = u(x)


 Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
 I=
Dạng 2: Tính I =

b
/
∫ f[u(x)]u dx
a
β
∫ f (x)dx
α

u(b)

=

∫ f (t)dt

u(a)

Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các

hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

;

1
2
2
a −x

thì đặt x = asint

a2 + x2 ;

1
2
a + x2

thì đặt x = atant.

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối.
Tính

b
∫ f (x) dx
a

+ Tìm nghiệm của f(x) = 0.

Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có nghiệm x = a hoặc x = b thì
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì

b
∫ f (x) dx
a

=

c
b
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
c

b
∫ f (x) dx
a

=

b
∫ f (x)dx
a

*Chú ý: Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như
thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).

Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
y
• Hình phẳng giới hạn bởi :
hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]


trục hoành y = 0; x = a;x = b
b
Diện tích : S = ∫ | f (x) | .dx
a

b
a

x

Chú ý : nên giải pt : f(x) = 0 trên [ a; b ] ( đặc biệt nếu thiếu cận a, b)
• Hình phẳng giới hạn bởi :
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]

 hàm số y = g(x) liên tục trên [a; b]
x = a; x = b


Diện tích : S =

b
∫ | f (x) − g(x) | .dx
a

y

y=f(x)
y=g(x)
a

b

x

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính qua tổng hoặc
hiệu của nhiều hình.
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]

quay
trục hoành y = 0; x = a; x = b

quanh trục Ox thì V =

b
2

π ∫ f (x) .dx
a

Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1. a+bi = c+di  a = c; b = d.

2. mơđun số phức z = a + bi = a 2 + b2

3. số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi.
4. (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5. (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6. (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.

c + di

1

7. z = a + bi = 2 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i]
a +b

b
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 = x 2 = − 2a (nghiệm thực)
−b ± ∆
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: x = 4a

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x =

−b ± i ∆
4a

B. HÌNH HỌC.
Phần 7: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nón,trụ,cầu.
 Khối nón: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l).
 Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l).
 Khối cầu: S = 4πr2 .


Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.
* Khối hình chóp V =

1
Bh
3

; * Khối nón V =

* Khối hình trụ V = πr2h

; * Khối cầu V

1 2
πr h
3
4 3
= 3 πr

* Khối lăng trụ: V= Bh.

1
1
abc
a.ha = ab sin C =
= pr =
2
2
4R

* Diện tích tam giác: S =

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

a+b+c
: là nửa chu vi của tam giác.)
2

( R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.) ( p =

Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a,b,c:

Phần 8: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
→
a

= (x;y;z)

Tính chất :

Tích

Cho

→
a

⇔

→
a =

→
→
→
i + y. j + z. k
→
a3) , b = (b1;b2; b3)

x.

= (a1;a2;

→ →
• a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
→
• a k. = (ka1;ka2;ka3)
k∈R

→→
→
→
vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3

Cos ϕ =

→ →
a ⊥ b

a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

Toạ độ điểm:
→
→
M = (x;y;z)⇔ OM = x. i + y.
• I là trung điểm của AB

x M =


 yM =


 zM =


ϕ

→
j +

z.

→
a cùng
→
k

phương

→ → →
b ; a ≠ 0

→
b =

⇔

k.

→
→
a ⇔ a

∧

→
b

=

→
0

→
AB =

( xB− xA ; yB−yA;zB −zA)
• G là trọng tâm tam giác ABC
1

 x G = 3 (x A + x B + x C )

1

 yG = (y A + y B + yC )
3


1
 zG = (z A + z B + zC )
3


xA + xB

2
yA + yB
2
zA + zB
2

• Tích có hướng của 2 vectơ :

uur uur 
a∧b=



a 2 a3

a 3 a1 a1 a 2
;
;
b2 b3 b3 b1 b1 b2


÷
÷
÷


*(

→ →
a ^ b )

⊥

→
a

;(

→ →
a ^ b )

⊥

→
b

Bài tốn 1:Xác đònh điểm trong không gian , cm tính chất hình học ...
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:

Phần 9: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình của mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A 2 + B2 + C2 − D
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
(x1 − a) 2 + (y1 − b) 2 + (z1 − c) 2
x A + x B yA − yB z A − z B
; 2 ; 2 )

2

• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 =
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I là trung điểm AB => I(


+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p.pháp : (S): x2 + y2+ z2- 2.Ax- 2.By - 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α): bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S ( (α) là mp tiếp diện) : (α) ∩ (S) ={M0} ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận

→
IM0

làm VTPT

• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C): tâm H; bán kính r
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
→

+ Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng d qua I nhận nα làmVTCP
d

 x = a + At


:  y = b + Bt
z = c + Ct


thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H

Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu uuuu
(S)r
+ Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận IM 0 làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng(α).
+ bán kính r =

R 2 − [ d(I ; ( α ) )]2
→

Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng d qua I nhận nα làmVTCP
(d)

 x = a + At

 y = b + Bt
z = c + Ct


thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H

Phần 10: Mặt phẳng, đường thẳng.

r r
r
1.Vectơ pháp tuyến của mpα : n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của (α) ⇔ giá của n ⊥ (α)
r r
2.Cách xác đònh VTPT của mpα : a , b không cùng phương có giá song song với (α) hoặc nằm trong (α)
r r r
thì n = a ∧ b
r
3. Pt mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C):
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
r
4. (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:

1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

x y z
+ + =1
a b c

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
Bài tốn 1: cáchuuu
viết
phương
trình mặt phẳng:
r
uuur
AB

=
?
;
AC
=
?
* (ABC): + tính
r uuur uuur
+ VTPT của (ABC) n = AB ∧ AC
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
Mặt phẳng xác định bởi: r uur uuur
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a; B ∈ b.
r uur uur
Nếu a cắt b thì n = u a ∧ u b
r uur uuur
*(A;a) thì VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a.
uur uur
* (α) //(β) thì VTPT n α = nβ


uur uur

* (α) ⊥ a thì VTPT n α = u a
uuur uuur uuuur
r
*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP a thì n α = u a ∧ AB ( thay
r
a)
uur uur uuur

*(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT n α = n P ∧ n Q
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+ Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
uuur
+Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .
uur uur uur
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì n α = nβ ∧ u a .
* (α) chứa đ.thăng d và ⊥(β) .
+ chọn M trên đ.thẳng
d.
uur uur uur
+ VTPT của (α) là n α = u d ∧ nβ
Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.
r
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)
x = x o + a1t

d : y = y o + a 2 t ; t ∈R
z = z + a t

o
3

2.Phương trình chính tắc của d
*∆ đi qua điểm A và có VTCP

r
u

(d) :

x − xo
a

=

1

y − yo
a2

=

z-z

0

a3

uuur

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A cóuurVTCP AB .
*∆ đi qua A và // d => ∆ qua A có VTCP u d .
uur
*∆ qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là n α .
r uur uur
* ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì VCTP của ∆ là u = n α ∧ nβ .

Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
uur
+ Viết PT đ.thẳng d qua M có VTCP là n α .
+ giải hệ gồm

pt(α)

pt d

+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d.uur
+ Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+ giải hệ gồm

pt(α)

pt d

+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
uur
+ Viết PT đ.thẳng d qua M có VTCP là n α .
+ giải hệ gồm

pt(α)

pt d

+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.
/

+ Tọa độ điểm đối xứng A :

 x = 2x H − x A

 y = 2y H − y A

z = 2z H − z A

(H là trung điểm AA’)

* Đối xứng qua đường thẳng d.
+ Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
pt(α)

uur
ud .

+ giải hệ gồm pt d

+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.

uur
ua =


/

+ Tọa độ điểm đối xứng A :

 x = 2x H − x A

 y = 2y H − y A

z = 2z H − z A

(H là trung điểm AA’)

Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
→
→
với n =(A;B;C) và n′ =(A/; B/ ; C/ )
(P) ≡ (Q) <=>

A
A/

B

C

= B/ = C / =

D
D/

A
B
C
D
= B/ = C / ≠ D /
A/
A
B
B
C
C
A
(P) cắt (Q)<=> A / ≠ / ∨ B/ ≠ C / ∨ C / ≠ A /
B
→ →
/
Chú ý :• α ⊥ α <= > n . n′ = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/
→
→
• α cắt α/ <=> n và n′ không cùng phương

(P) // (Q)<=>

=0

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng d1 và d2.
Ta giải hệ gồm pt d1,d 2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ).
+ hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm.
+ hệ có vơ số nghiệm t và t/ thì d1 trùng d2
+ nếu hệ vơ nghiệm :

Xác định các VTCP

→
u =(a;b;c)

→
→
u = k u ' ⇒ thì

,

→
/ /
u / =(a ;b ;

c/ )

d1 chéo d2.
Ngược lại thì d1 // d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng d và mặt phẳng (P).
+ thay PTTS của đ.thẳng d vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
+ nếu PT vơ nghiệm thì d//mp(P).
Nếu PT vơ số nghiệm thì d ⊂ (P).
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì d cắt (P) =>giao điểm?
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D = 0 .
d(A;(α)) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A 2 + B2 + C 2

* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ( khơng có cơng thức tính trong chương trình mới phân ban)
nhưng ta có thể tính như sau:
+ lập PT mp(Q) qua A và vng góc với d.
+ tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng d.
+ khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
Bài tốn 6: Viết pt hình chiếu ∆ của đ.thẳng d lên mp (P) ( trường hợp d cắt (P) )
+ Tìm giao điểm A của d và (P)
+ Chọn M trên đ.thẳng d. (M khác A)
+Tìm hình chiếu của M lên (P) là H
uuur
+ VTCP của ∆ là AH
(d1)
+ ∆ qua A và H nên viết được pt
Bài tốn 7: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG
M
Giả sử có hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình như sau :
x = x + a t
0
1

d : y = y + a t
1
0
2

 z = z 0 + a3t

và

x = x ' + b t '
0
1

d : y = y ' + b t '
2
0
2

 z = z '0 + b3 t '
N

(d2)


 Lấy điểm M ∈ d1 ; N ∈ d2
M( x 0 + a1t ; y 0 + a2 t ; z0 + a3 t )

⇒ MN = (........)

N( x 0 + b1t ' ; y 0 + b2 t ' ; z0 + b3 t ' )

uuuur uur
uuuur uur
MN ⊥ a
MN.a = 0
 MN ⊥ d



1
1
⇔  uuuur uu1r ⇔  uuuur uur
 MN là đường vuông góc chung : 
MN ⊥ d
MN ⊥ a2
 MN.a2 = 0

2
 Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào d1 có tọa độ của M, t’ thế vào d2 có tọa độ N.
 Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm.
Bài toán 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 :
Độ dài MN ở bài toán 7 chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 2 :
B
 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2)

qua
điểm
A
∈
(d
1)

mp(P) :  uur r r
nβ = a ∧ b
 Lấy điểm B ∈ (d2) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :

(

d d ,d
1

2

) = d ( B,(P))

= BH

d1

d2

H

P

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

(

)

d M ,(α) =
0

Ax + By + Cz + D
0

0

0

A + B + C2
2

2

Chú ý: (Khi thi tốt nghiệp thí sinh chỉ làm theo kiến thức chương trình chuẩn )
Chương trình chuẩn
Chương trình nâng cao
 a1 = kb1

r
r 
r r
a và b cùngphương ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2
 a = kb
3
 3

r
r r
r r r
a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ R : c = ma + nb
r r
( a , b không cùng phương)

uuur uuur 2

1
AB 2 . AC 2 − AB. AC
2
uuur uuur
AB. AC
1
= ABAC sin A với cos A = uuur uuur
2
AB . AC

 Diện tích: S ABC =
S ABC

(

)

1
 Thể tích: VABCD = S ABC .d ( D, ( ABC ) )
3
 Thể tích khối hộp:
VABCD.A’B’C’D’= 2 S ABC .d ( A ', ( ABC ) )

rr
r r
1.Tính chất :  a, b  là a ∧ b
rr
r
rr
r

  a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b
rr
r r
rr
  a, b  = a b sin(a, b)
rr r
r
r
 a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0
rr r
r r r
 a , b , c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
2.Các ứng dụng tích có hướng :
1 uuur uuur
 Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ]
2

1 uuur uuur uuur
 Thể tích tứ diệnVABCD= [ AB, AC ]. AD
6
 Thể tích khối hộp:
uuur uuur uuur
VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD]. AA '

Phần (bổ sung)
 Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900)


(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
 Góc giữa hai đường thẳng

r
a = (a1 ; a2 ; a3 )
uur
(∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 )
r uur
a
.a '
r uur
a1.a '1 + a2 .a '2 + a3 .a '3
cosϕ = cos(a, a ') = r uur =
a . a'
a12 + a22 + a32 . a '12 + a '22 + a '32
(∆) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
r
r
(∆) đi qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C )
Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α)

rr
sin ϕ = cos( a, n) =

Aa1 +Ba 2 +Ca 3
A 2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32


x A + xB + xC + xD


x
=
G

4

y
+
y

A
B + yC + y D
 G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔  yG =
4

z A + z B + zC + z D

 zG =
4



Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !