tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán 12

Điều chỉnh, bổ sung năm 2011

Lưu hành nội bộ
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
2 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
MỤC LỤC
Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3
Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số 3
Bài 2: Cực trị của hàm số 4
Bài 3: Giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số 9
Bài 4: Tiệm cận 10
Bài 5: Khảo sát hàm số 11
Bài 6: Một số bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị 13

Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ VÀ HS LOGARIT 24
Bài 1: Mũ, lũy thừa và logarit 24
Bài 2: Phương trình mũ 27
Bài 3: Phương trình logarit 28
Bài 4: Bất phương trình mũ, lôgarit 29

Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 29
Bài 1: Nguyên hàm 29
Bài 2: Tích phân 33
Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân 35

Chương IV. SỐ PHỨC 38

Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY 40

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 42
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian 42
Bài 2: Phương trình mặt cầu 45
Bài 3: Phương trình mặt phẳng 49
Bài 4: Phương trình đường thẳng 54
Bài 5: Vị trí tương đối 61
Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt 64

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI 67
Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 67
Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác 71
Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác 79
Bài 4: Đạo hàm 81
Phụ lục 83

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 3 : 0987.503.911

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa: Cho hàm số




y f x
liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng,
đoạn)
-



y f x
đồng biến trên K




     
1 2 1 2 1 2
, :
x x K x x f x f x

-



y f x
nghịch biến trên K




     
1 2 1 2 1 2

, :
x x K x x f x f x

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:
a) Nếu



' 0
f x với mọi



;
x a b
thì hàm số


f x
đồng biến trên
khoảng


;
a b

b) Nếu



' 0
f x với mọi



;
x a b
thì hàm số


f x
nghịch biến trên
khoảng


;
a b

Chú ý:



' 0
f x chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng



;
a b
thì hàm số
cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh






  
, ;
f x g x x a b
ta qua các bước sau:
1. Biến đổi:













       
, , 0, ,
f x g x x a b f x g x x a b

2. Đặt






 
h x f x g x

3. Tính


'
h x
và lập bảng biến thiên của


h x
. Từ đó suy ra kết quả.
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
4 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số




y f x
luôn luôn tăng (hoặc luôn
luôn giảm) trên miền xác định
- Các hàm số


    
3 2
0
y ax bx cx d a và
 
 
 

2
0
ax bx c
y a
Ax B

luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ
khi

' 0
y
(hoặc

' 0
y
)

 
x D
. Nếu a có chứa tham số thì xét thêm
trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3)





 


'
0
0
y
a
(hoặc





 


'
0
0
y

a
)
- Hàm số



ax b
y
cx d
luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng
khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

' 0
y
(hoặc

' 0
y
)
 
x D


Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm



'
f x

3. Tìm các điểm tại đó



' 0
f x hoặc


'
f x
không xác định (gọi chung là
điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm.
5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:
CĐ
-
+
x
o
b
a
f(x)
f'(x)
x

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987.503.911
CT
+
-
x
o
b
a
f(x)
f'(x)
x

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính


'
f x
. Giải phương trình



' 0
f x .
Gọi



1,2,
i

x i là các nghiệm của phương trình.
2. Tính


"
f x
và


"
i
f x

3. Dựa vào dấu của


"
i
f x
suy ra kết luận về cực trị của điểm
i
x
theo định
lí sau:
Định lí:
Giả sử hàm số



y f x

có đạo hàm cấp hai trên khoảng


;
a b
chứa điểm
o
x
và



' 0
o
f x . Khi đó:
a) Nếu



" 0
o
f x thì
o
x
là điểm cực tiểu.
b) Nếu



" 0

o
f x thì
o
x
là điểm cực đại.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho
trước
Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:
Giả sử



y f x
có đạo hàm tại điểm

o
x x
.
Khi đó nếu



y f x
đạt cực trị tại điểm

o
x x
thì




' 0
o
f x .
Chú ý: Nếu



' 0
o
f x thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm

o
x x
.
Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.
Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu
Các hàm số
   
3 2
y ax bx cx d
và
 


2
ax bx c
y
Ax B

có một cực đại và
một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình

' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
6 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
(khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ
thì phải khác nghiệm mẫu.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Cho hàm số
 
 


2
ax bx c
y C
Ax B

- Nếu (C) có hai điểm cực trị
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là


 
 


2

'
'
ax bx c
y
Ax B
hay
 
2
a b
y x
A A

2. Cho hàm số


   
3 2
y ax bx cx d C

- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được


 
  
'.y y A x x
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
 
 
y x

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại
0
x
:



 







0
0
' 0
" 0
y x
y x
(hoặc









0
0
' 0
'ñoåidaáukhiqua
y x
y x
)
Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại
0
x
:



 







0
0
' 0
" 0
y x
y x
(hoặc










0
0
' 0
'ñoåidaáutöø +sang khiqua
y x
y x
)
Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
:



 








0
0
' 0
" 0
y x
y x
(hoặc






 


0
0
' 0
'ñoåidaáutöø sang khiqua
y x
y x
)
Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT tại
1 2
,
x x
thỏa
 
1 2

Ax Bx C
:
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 7 : 0987.503.911


 

 



  





'
1 2
1 2
1 2
0
y
Ax Bx C
b
x x
a
c
x x

a
với
1 2
,
x x
là nghiệm của

' 0
y

Bài tốn 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng
dấu:
* Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là

 





'
0
0
y
a

* Gọi





1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là hai điểm cực trị. Ta có





1 2
. 0
y x y x
(trường hợp trái dấu thì ngược lại)
Chú ý: Hàm số viết thành:


  
. '
y P x y mx n
(lấy hàm số chia cho đạo
hàm)


 

 




 


1 1
2 2
y x mx n
y x mx n

Bài tốn 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với
trục tung:
Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là

' 0
y
có hai nghiệm trái dấu. Khi đó
 
0
c
P
a

Bài tốn 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ
 


2
ax bx c
y
mx n

* Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)
*

 
cựctrò
đạohàm củaTS 2
đạohàmcủaMS
ax b
y
m
rồi thay x cực trị vào phân số này ta
có
cựctrò
y tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ.
Bài tốn 13: Tìm m để hàm trùng phương
  
4 2
y ax bx c
có 3 điểm cực trị
lập thành một tam giác cân:
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
8 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
* TXĐ: D=R
* Tính


   
3 2
' 4 2 2 2
y ax bx x ax b

,

 





  


  



22
0
0
' 0
0 (1)
2 0
2
x
x
y
b
x aax b
a

* Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Khi đó
 
0
2
b
a

Bài toán 14: Điều kiện để hàm số





y f x C
đạt cực trị bằng

tại


x
là




 
 
 













;
' 0
'' 0
C
y
y

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác.
Tính diện tích tam giác đó:
* Tính
'
y
, tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.
* Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:  
1
| ' ' |
2
S xy x y
với



 









;
'; '
AB x y
AC x y

Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một
tam giác đều:
* TXĐ: D=R
* Tính


   

 

3
2
0

' 4 2 ; ' 0
2 0
x
y ax bx y
ax b
 





  


2
0
0 (1)
2
x
b
x a
a

* Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 0. Khi đó:
 
 
0 *
2
b

a

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 9 : 0987.503.911
* Với điều kiện (*), giải phương trình
 
 
 


  


     



    


0
' 0 ?
2
?
2
x y c A
b
y x y B
a
b

x y C
a
.
Tìm được 3 điểm cực trị A, B, C. Do tam giác ABC đều nên







2 2
2 2
AB AC
AB BC
,
từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).

Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
-


 

  

 


  


0 0
,
min
:
K
f x m x K
y m
x K m f x

-


 

  

 

  


0 0
,
max
:
K
f x M x K

y M
x K M f x

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng
Để tìm GTNN và GTLN của hàm số



y f x
trên khảng


;
a b
ta lập
bảng biến thiên của hàm số trên khoảng


;
a b
rồi dựa vào đó mà kết luận.
Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn
 
 
;
a b

Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:

1. Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x
trên
 
 
;
a b
mà tại đó



' 0
f x hoặc


'
f x
không xác định.
2. Tính











1 2
, , , , ,
n
f a f b f x f x f x
.
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
10 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:




  
 
 
 
;
;
max , min
a b
a b
M f x m f x

Bài toán 3: Tìm m để phương trình



f x m

có nghiệm trên D:
Xét hàm số



y f x
trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ
đó kết luận được m.

Bài 4: TIỆM CẬN
1. Cách tìm tiệm cận:
* Nếu


  

0
lim ( )
x x
y thì đường thẳng

0
x x
là tiệm cận đứng.
* Nếu


0
lim
x

y y
thì đường thẳng

0
y y
là tiệm cận ngang.
* Nếu hàm số viết thành
  
Soá dö
thöông
Maãusoá
y ax b
(chia đa thức)
mà


Soá dö
lim 0
Maãusoá
x
thì đường thẳng
 
y ax b
là tiệm cận xiên.
* Đường thẳng
 
y ax b
gọi là TCX của hàm số
 



 



 
 


 

lim
lim ( )
x
x
f x
a
y f x
x
b f x ax

2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số



ax b
y
cx d
là :


 







TCÑ:
TCN:
d
x
c
a
y
c

3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2
tiệm cận:
* Gọi







0 0
;
M x f x C

. Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
* d=d
(M,TCĐ)
.d
(M,TCN)
là một hằng số.
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 11 : 0987.503.911
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Sơ đồ khảo sát:
1. Tập xác định:


D

2. Sự biến thiên:
a) Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tìm đạo hàm
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị.
c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
d) Lập bảng biến thiên.
* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
* Chú ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm, đặc biệt
cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.

2. Các dạng đồ thị:
a) Hàm số bậc ba:


    
3 2
0
y ax bx cx d a


0
a

0
a


Phương
trình
' 0
y

có hai
nghiệm
phân biệt
O
y
x

O

y
x
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
12 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Phương
trình
' 0
y


có nghiệm
kép
O
y
x
O
y
x
Phương
trình
' 0
y


vô nghiệm
O
y
x
O
y

x
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
b) Hàm số trùng phương:


   
4 2
0
y ax bx c a


0
a

0
a


Phương
trình
' 0
y


có 3 nghiệm
phân biệt
O
y
x
O

y
x

Phương
trình
' 0
y


có 1 nghiệm
O
y
x

O
y
x
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 13 : 0987.503.911
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
c) Đồ thị hàm số
 

   

0 ; 0
ax b
y c ad bc
cx d



0 ' 0
D ad bc y
   



0 ' 0
D ad bc y
   

I
O
y
x

I
O
y
x


Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Chú ý:









   
0 0 0 0
; :
M x y C y f x y f x


Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành độ giao
điểm)
Cho hai đường cong








 
1 2
: , :
C y f x C y g x
.
Để xét sự tương giao giữa





1 2
,
C C
ta lập phương trình hoành độ giao
điểm





f x g x
(1)
1.


1
C
không có điểm chung với


2
C

pt (1) vô nghiệm.
2.


1

C
cắt


2
C
tại n điểm phân biệt

pt (1) có n nghiệm phân biệt.
Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của


1
C
và


2
C
.
Chú ý:
* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
  
2
0
Ax Bx C .Ta biện
luận theo A và

. Tức là:
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

14 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
- Nếu A

0. Tính


+
 
0
: không có giao điểm.
+
 
0
: Có 1 giao điểm.
+
 
0
: có hai giao điểm.
* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
   
3 2
0
ax bx cx d .
Đưa phương trình này về dạng:






   
2
0
x Ax Bx C (Chia Horner,

0
a
)
 





  


2
0 1
x
Ax Bx C

Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm.
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình




, 0
F x m (1)
1. Biến đổi



, 0
F x m về dạng





f x g m
.
2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số



y f x
và đường thẳng



y g m

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
Chú ý:




y g m
là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại
điểm có tung độ bẳng


g m

x
y
O
y
=g(m)
y
=f(x)
g(m)
1


Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:
Phương trình tiếp tuyến của (C):



y f x
tại điểm





;
o o
M x y C
là:
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 15 : 0987.503.911




  
0 0 0
'
y y f x x x

Trong đó: +


0 0
;
M x y
gọi là tiếp điểm.
+



0
'

k f x
là hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng
 
y ax b
thì

k a

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
 
y ax b
thì
 
1
k
a

- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc

thì


tan
k

1. Giải phương trình




'
f x k
tìm
0
x
là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính



0 0
y f x
.
3. Phương trình tiếp tuyến là


  
0 0
y k x x y

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng (

): y=ax+b một góc bằng

(

 
0 90

):
1. Gọi
 
,
lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (

)
với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó
ta có:
  
 
suy ra:
 
 
    
 
 
     
 
tan tan
tan tan tan (1)
1 tan tan 1
k a
ak

2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.
Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:






        
3 2 2
0 0
ax bx cx d x Ax Bx C (chia Horner)
 





  


2
0 1
x
Ax Bx C
(đặt


  
2
g x Ax Bx C
)
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
16 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác

. Khi đó
 
 


 





1
0
0
g

Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương
  
4 2
y ax bx c
cắt Ox tại 4
điểm phân biệt:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

 

   


  


2
4 2
2
0
0
0(1)
t x
ax bx c
at bt c

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
biệt. Khi đó

 






0
0
0
P
S

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập

thành CSC:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

 

   

  


2
4 2
2
0
0
0(1)
t x
ax bx c
at bt c

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
biệt. Khi đó

 







0
0
0
P
S
(*)
* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa

2 1
9
t t
(2).
Theo định lí Viét

  







1 2
1 2
(3)
. (4)
b
t t
a

c
t t
a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều
kiện (*).
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 17 : 0987.503.911
Bài toán 7: Tìm m để d:

y m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB=l:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0
Ax Bx C (1)
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là
 




 


(1)
0

*
0
A

* Gọi




1 2
; , ;
A x m B x m
là hai giao điểm của (C) và d;
1 2
,
x x
là nghiệm
của (1). Ta có:

 
 
        
2
2 1 1 2 2 1
2 '
| | | |
| | | |
AB x x x x x x l
a a
. Từ đó tìm

được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).
Bài toán 8: Tìm m để d:

y m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB có độ dài ngắn nhất:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0
Ax Bx C (1)
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là




 


(1)
0
0
A
(*)
* Gọi





1 2
; , ;
A x m B x m
là hai giao điểm của (C) và d;
1 2
,
x x
là nghiệm
của (1). Ta có
 
2
2 1 1 2 2 1
2 '
AB x x x x x x
a a
 
        . Từ
đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*).
Bài toán 9: Tìm m để d:

y m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

OA OB
với O là gốc tọa độ:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0

Ax Bx C (1)
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là




 


(1)
0
0
A
(*)
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
18 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
* Gọi




1 2
; , ;
A x m B x m
là hai giao điểm của (C) và d;
1 2
,
x x
là nghiệm
của (1). Ta có


OA OB
nên ta có

 
. 0
OA OB
. Từ đây tìm được m, chỉ
nhận những m thỏa (*).
Bài toán 10: Tìm m để d:
 
y ax b
cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng
một nhánh của (C):
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0
Ax Bx C (1).
* Điều kiện ycbt được thỏa là
 
 
 
 




 



  


1
1 2
0
0
0
A
x x
với

là nghiệm
của mẫu số và
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của (1).
Bài toán 11: Tìm m để d:
 
y ax b
cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng
hai nhánh khác nhau của (C)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0

Ax Bx C (1).
* Điều kiện ycbt được thỏa là
 
  
 




 


  


1
1 2
0
0
0
A
x x
với

là nghiệm
của mẫu số và
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của (1).

Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C):



y f x
mà tại đó tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
 
y ax b
.
* Gọi





0 0 0
;
M x y C
. Hệ số góc của tiếp tuyến tại
0
M
là


0
'
f x
.
Giải phương trình



 
0
' . 1
f x a . Từ đây tìm được
0
x
và có được
0
M
.
Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C):



y f x
đều không qua giao
điểm hai tiệm cận:
* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 19 : 0987.503.911



Tiệm cậnđứng
Tiệm cận xiên (hay TCN)

* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng có tiếp tuyến. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.

Bài tốn 14: Cho



M C
, tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A,
B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện
tích tam giác IAB:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Phương trình tiếp tuyến tại M là








      
0 0 0 0 0 0

' '
y y f x x x y f x x x y
.
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
* Tính vectơ
 
,
IA IB
. Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài tốn 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất (hoặc lớn nhất):
* Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn


0 0
;
I x y
là


0
'
f x
.
* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là



'
f x
. Ta chứng minh





0
' '
f x f x
(trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại).
Bài tốn 16:Tìm những điểm trên đường thẳng

:

0
y y
mà từ đó có thể kẻ
được 2, 3 tiếp tuyến đến (C):
* Gọi




 
0
;M a y . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là:





      
0 0
y y k x a y k x a y
.
* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)




 

  





0
(1)
'
f x k x a y
f x k
. Muốn
từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
20 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có
diện tích không đổi:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Phương trình tiếp tuyến tại M là








      
0 0 0 0 0 0
' '
y y f x x x y f x x x y
.
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.

* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
* Tính vectơ
 
,
IA IB
. Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:
* Hàm số viết thành

Soá dö
Thöông+
Maãusoá
y
(chia đa thức)
* Do x, y nguyên nên Mẫu số =

ước của Số dư.
Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:
* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ
phương trình






 



y f x
y x
hoặc









y f x
y x

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:
* Gọi




 
0 0 0 0
; , ;
A x y B x y
là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương
trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm.
Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng

khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Tìm TCĐ, TCN.
* Tính
       
       
   
M,TCÑ M,TCN M,TCÑ M,TCN
2 .
d d d d d A
. Vậy mind=A.
Khi đó
   
   

,TCÑ ,TCN
M M
d d . Từ đó tìm được M
Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d:
 

y ax b

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 21 : 0987.503.911
* Gọi
 
d
. Vậy phương trình
   
1
:
y x m
a
. Tìm tọa độ giao điểm
I của d và


* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và

. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0
Ax Bx C (1).
* Gọi





1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là hai giao điểm của

và (C). ta có I là trung
điểm AB. Vậy  
1 2
2
I
x x x
. Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A
và B.
Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k
lần khoảng cách từ đó đến Oy:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Tính
   
   
, ,

,
M Ox M Oy
d d
* Giải phương trình:
, ,
.
M Ox M Oy
d k d
   
   

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm


0 0
;
I x y
làm tâm đối xứng:
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ

OI
với


0 0
;
I x y
, hệ trục Oxy thành hệ
trục IXY. Ta có công thức đổi trục:
 

   
 

 
   
 
 
0 0
0 0
X x x x X x
Y y y y Y y
(1)
* Thay (1) vào hàm đã cho ta có



Y F X
. Kiểm chứng


F X
là hàm
lẻ.
Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng

0
x x
làm trục đối xứng:
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ


OI
với


0
;0
I x , hệ trục Oxy thành hệ
trục IXY. Ta có công thức đổi trục:
 
   
 

 
  
 
 
0 0
0
X x x x X x
Y y y Y
(1)
* Thay (1) vào hàm đã cho ta có



Y F X
. Kiểm chứng


F X

là hàm
chẵn.
Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
* Tìm tọa độ điểm


;
M x y
theo một tham số


 







x g m
y h m

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
22 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
* Khử m từ hệ trên ta được phương trình



; 0
F x y .

* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m
để tìm điều kiện của x hoặc y.
Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình



; 0
F x y thỏa điều kiện ở bước 3.
Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ


m
C
luôn đi qua:
* Biến đổi phương trình



,
y f x m
về dạng
 
0
Am B
(hay
  
2
0
Am Bm C (ẩn m)).
* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình







 





0
0
( 0)
0
0
A
A
hay B
B
C

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1
(tức là trong biểu thức không chứa m
2
, m
3
)
Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của

phương trình





f x g x
(1)
Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1) có dạng bậc
nhất (tức là trong (1) không chứa
2 3
, ,
m m ), khi đó:
* Biến đổi (1) về dạng



F x m
(2), ở đây F(x) có thể là hàm phân
thức.
* Lập bảng biến thiên của hàm số



y F x

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy
ra kết luận đối với (1).
Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để
nghiệm của phương trình, hệ phương trình, thỏa điều kiện cho trước nào đó

và một số bài toán khác về tìm m.

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:
* Từ đồ thị hàm số





y f x C
suy ra đồ thị hàm số





'
y f x C

1. Vẽ (C)
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 23 : 0987.503.911
2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành; lấy đối xứng
của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là
(C’)
x
y
1

Đồ thị hàm số



y f x
(phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)
* Từ đồ thị hàm số





y f x C
suy ra đồ thị hàm số



y f x

1. Vẽ (C)
2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị
nằm bên phải.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có
được đồ thị (C’).
x
y
1

Đồ thị hàm số




y f x
(phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

ễN THI TN V LTH 2012
24 TRNG THPT NGễ GIA T
Chng II. HM S LY THA, HM S M
V HM S LOGARIT
M, LY THA V LOGARIT
1. Ly tha, cn bc n:
a) nh ngha:
*





thửứa soỏ
. , *
n
n
a a a a a n
*


0
1
1;
n

n
a a
a

b) Tớnh cht:
Vi


, *; ,
a b m n
ta cú:
*


m n m n
a a a
*


m
m n
n
a
a
a

*


n

n n
ab a b
*




n
n
n
a a
b
b

*



n
m mn
a a

* Nu:

0
a b
thỡ:

, 0
n n

a b n


, 0
n n
a b n
* Nu

1
a
v

m n
thỡ:

m n
a a

* Nu

0 1
a
v

m n
thỡ:

m n
a a

c) Cỏc tớnh cht ca cn bc n:
Gi s cỏc biu thc di õy u cú ngha. Khi ú:
* .
n n n
a b ab
*
n
n
n
a a
b
b

*



m
n
n m
a a
*




,khinleỷ
| |,khinchaỹn
n
n

a
a
a

*
n
m mn
a a

* Ly tha vi s m hu t:

m
n
m
n
a a

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 25 : 0987.503.911
2. Lôgarit:
a)Định nghĩa:
  
log
c
a
b c b a



  

0 1, 0
a b
b) Tính chất:
Cho a,b>0,

1
a
. Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa:
*

log 1 0
a
*

log 1
a
a
*

log
a
b
a b
*


 

log
k

a
a k k
c) So sánh logarit:
Cho a,b,c>0,

1
c
. Ta có:

  
   
    
*log log
*Neáu 1thì: log log
*Neáu0 1thì: log log
c c
c c
c c
a b a b
c a b a b
c a b a b

d) Các quy tắc tính logarit:
* Logarit của một tích:
Cho
 
1 2
, , 0, 1.
a x x a Ta có:



 
1 2 1 2
log log log
a a a
x x x x

* Logarit của một thương:
Cho
 
1 2
, , 0, 1.
a x x a Ta có:  
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x

* Logarit của một lũy thừa:

Cho
 
, 0, 1
a b a
. Ta có:



 

log log
k
a a
b k b k
Đổi cơ số:

log
log
log
c
a
c
b
b
a


 
1
log 1
log
a
b
b b
a
 


 
1
log .log 0
k
a
a
b b k
k
 



log log .log 0 1
a a c
b c b c
  

* Logarit thập phân:
- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân