các dạng phương trình lượng giác và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.54 MB, 133 trang )
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ---------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------ 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 125
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 1
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
● t an x. cot x = 1
● sin 2 x + cos2 x = 1
● cot x =
cos x
sin x
● 1 + t an 2 x =
1
cos2 x
● t an x =
sin x
cos x
● 1 + cot 2 x =
1
sin 2 x
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
écos2 x - sin 2 x
● cos 2x = ê
ê2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x
ê
ë
1 + cos2x
● cos2 x =
2
● cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x
● sin 2x = 2 sin x. cos x
1 - cos2x
2
● sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x
● sin 2 x =
Công thức cộng cung
● sin ( a ± b ) = sin a. cos b ± cos a. sin b
● cos ( a ± b ) = cos a. cos b m sin a. sin b
t an a + t an b
1 - t an a. t an b
æπ
ö 1 + t an x
÷
÷
+
x
=
ç
● t an ç
÷
ç
÷
è4
ø 1 - t an x
● t an ( a - b ) =
t an a - t an b
1 + t an a. t an b
æπ
ö
1 - t an x
÷
÷
x
=
ç
● t an ç
÷
ç
÷ 1 + t an x
è4
ø
● t an ( a + b ) =
Công thức biến đổi tổng thành tích
a+ b
a- b
. cos
2
2
a+b
a- b
● sin a + sin b = 2 sin
. cos
2
2
sin ( a + b )
● t an a + t an b =
cos a. cos b
a+ b
a- b
. sin
2
2
a+ b
a- b
● sin a - sin b = 2 cos
. sin
2
2
sin ( a - b )
● t an a - t an b =
cos a. cos b
● cos a + cos b = 2 cos
● cos a - cos b = - 2 sin
Công thức biến đổi tích thành tổng
● cos a. cos b =
● sin a. sin b =
cos ( a + b ) + cos ( a - b )
● sin a. cos b =
2
sin ( a + b ) + sin ( a - b )
2
cos ( a - b ) - cos ( a + b )
2
Một số công thức thông dụng khác
æ πö
æ πö
æ πö
æ
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ççx +
÷
÷
÷
sin
x
+
cos
x
=
2
sin
x
+
=
2
cos
x
sin
x
cos
x
=
2
sin
x
=
2
cos
ç
ç
ç
●
●
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çè 4 ø
çè 4 ø
çè 4 ø
ç
è
● cos 4 x + sin 4 x = 1 -
Page 2
1 2
3 + 1 cos 4x
sin 2x =
2
4
● cos6 x + sin 6 x = 1 -
ö
π÷
÷
÷
4÷
ø
3 2
5 + 3 cos 4x
sin 2x =
4
8
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Mụt sụ lu y:
ộsin x = a
iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh ờ
ờcos x = a la: - 1 ÊaÊ 1 .
ờ
ở
Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ t an hoc cot , co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
p
Phng trinh cha t an x , iờu kiờn: cos x ạ 0 x ạ
+ kp ( k ẻ Â ) .
2
Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: sin x ạ 0 x ạ k p ( k ẻ Â ) .
p
(k ẻ Â).
2
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ
kiờm tra iờu kiờn:
Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri
õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm.
Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua
nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn
nghiờm.
ẳ co
Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac AM
ử
k.3600 ữ
k2p ổ
0
ỗ
ữ
hay
a
+
ỗ
sụ o la a +
vi k ẻ Â , n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron
ữ
ỗ
ữ
ỗ
n ứ
n ố
lng giac cach ờu nhau".
ẳ = p + k2p thi co mụt iờm M tai vi tri p (ta chon k = 0 ).
Vi du 1: Nờu s AM
3
3
ẳ = p + kp thi co 2 iờm M tai vi tri p va 7p (ta chon k = 0, k = 1 ).
Vi du 2: Nờu s AM
6
6
6
ẳ = p + k. 2p thi co 3 iờm M tai cac vi tri p ; 11p va 19p , ( k = 0;1;2) .
Vi du 3: Nờu s AM
4
3
4 12
12
ẳ = p + k. p = p + k2p thi co 4 iờm M tai cac vi tri p , 3p , 5p ; 7p
Vi du 4: Nờu s AM
4
2
4
4
4 4
4 4
(ng vi cac vi tri k = 0,1, 2, 3 ).
p
p
Vi du 5: Tụng hp hai cung x = + kp va x = + k p
6
3
p
p
5p
Biờu diờn cung x = va
+ kp trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri: 6
6
6
p
Biờu diờn cung x = + k p trờn ng tron thi co
3
Phng trinh cha ca t an x va cot x , iờu kiờn: x ạ k.
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 3
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
p
4p
và
.
3
3
π/3
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
5π/6
p
p
cung tổng hợp là: x = + k
3
2
O
é 2
é
êcos x = 1
êcos x = ± 1
–π/6
ê
2Û ê
2 ta không nên giải
Đối với phương trình ê
ê
êsin 2 x = 1
êsin x = ± 1
4π/3
ê
ê
2
2
ë
ë
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là
tối ưu nhất. Nghĩa là:
é 2
êcos x = 1
é2 cos2 x - 1 = 0
écos 2x = 0
ê
ê
2
Û ê 2
Û ê
ê
êcos 2x = 0 . Tương tự đối với phương trình
1
2
sin
x
1
=
0
2
êsin x =
ê
ê
ë
ë
ê
2
ë
ésin 2 x = 1
ésin x = ±1
ê
ê
êcos2 x = 1 Û êcos x = ±1 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
ê
ê
ë
ë
ésin 2 x = 1
écos2 x = 0
écos x = 0
ê
ê
ê
2
2
Û
Û
.
Lú
c
đó
:
sin x + cos x = 1
êcos2 x = 1
êsin 2 x = 0
êsin x = 0
ê
ê
ê
ë
ë
ë
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos ( - a ) = cos a , còn các cung
2 điểm tại các vị trí:
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
sin ( - a ) = - sin a, t an ( - a ) = - t an a, cot ( - a ) = - t an a
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin ( p - a ) = sin a , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
cos ( p - a ) = - cos a, t an ( p - a ) = - t an a, cot ( p - a ) = - t an a
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
p
p
p
p
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
sin ç
- a÷
=
cos
a
,
cos
a
=
sin
a
,
t
an
a
=
cot
a
,
cot
a
= t an a
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác: sin u = cos v
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sin u = sin v , vậy còn phương trình sin u = cos v thì sao ?
æ
ö
p
÷
÷
v
ç
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u = cos v Û sin u = sin ç
÷
ç
÷
2
è
ø
u=
p
p
- v + k2pÚ u = + v + k2pÎ, ( k
2
2
¢)
.
æ
ö
2p
÷
ç - x÷
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như sin x = cos ç
÷
÷
ç
è3
ø
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
Page 4
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Mụt sụ cung goc hay dung khac:
ỡù sin ( x + k2p) = sin x
ù
ỡù sin ( x + p + k2p) = - sin x
ớ
ù
ùù cos ( x + k2p) = cos x
ớ
ùợ
va ùùùợ cos ( x + p + k2p) = - cos x
(k ẻ Â)
.
A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ộu = v + k2p
ờ
sin
u
=
sin
v
Dang:
ờu = p - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
ộu = v + k2p
ờ
cos
u
=
cos
v
Dang:
ờu = - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
t an u = t an v u = v + k p
Dang:
p
ék : u, v ạ
+ kp
2
c biờt:
cot u = cot v u = v + k p
ék : u, v ạ k p
c biờt:
Dang:
ỡù
ùù sin x = 0 ị x = k p
ùù
ùù
p
ớ sin x = 1 ị x = + k2p
ùù
2
ùù
p
ùù sin x = - 1 ị x = - + k2p
2
ùợ
ỡù
ùù cos x = 0 ị x = p + k p
ùù
2
ùớ cos x = 1 ị x = k2p
ùù
ùù cos x = - 1 ị x = p + k2p
ùù
ợ
ỡù t an x = 0 x = k p
ùù
ớ
ùù t an x = 1 x = p + k p
ùùợ
4
ỡù
ùù cot x = 0 x = p + k p
ù
2
ớ
ùù
p
ùù cot x = 1 x = + k p
4
ùợ
BAI TP AP DUNG
Bai 2.
ự
, "x ẻ ộ
ờ
ở0;14 ỳ
ỷ
Giai phng trinh: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( * )
Bai 3.
Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0
Bai 4.
Giai phng trinh: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0
Bai 5.
Giai phng trinh: 2 sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x
Bai 6.
1
+
Giai phng trinh: sin x
Bai 7.
4
4
Giai phng trinh: sin x + cos x =
Bai 1.
Giai phng trinh: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0
" Cõn cu bu thụng minh"
( *)
( *)
( *)
( *)
ổ
ử
1
7p
ữ
= 4 sin ỗ
ỗ - xữ
( *)
ữ
ổ 3pử
ữ
ỗ
4
ố
ứ
ữ
ữ
sin ỗ
xỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
ổ pử
ổ
ử
7
p
ữ
ữ
cot ỗ
x+ ữ
cot ỗ
- xữ
ỗ
ỗ
( *)
ữ
ữ
ỗ
ỗ6
ữ ố
ữ
8
3ứ
ố
ứ
Page 5
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài 8.
Bài 9.
sin 4 2x + cos 4 2x
= cos4 4x ( * )
æ
ö æ
ö
Giải phương trình:
p
p
÷
÷
t an ç
t an ç
ç - x÷
ç + x÷
÷
÷
÷ è
÷
ç
ç4
è4
ø
ø
æ
æp 3x ö
3p x ö 1
÷
ç
÷
÷
=
sin
ç - ÷
ç +
Giải phương trình: sin ç
( 1)
÷
÷
÷
÷
ç
ç
2ø
è10 2 ø 2
è10
æ
æ pö
pö
ç
÷
÷
=
sin
2x
sin
ç3x - ÷
çx + ÷
Bài 10. Giải phương trình: sin ç
( 1)
÷
÷
÷
÷
ç
ç
4ø
4ø
è
è
æ pö
3
÷
= cos 3x
çx + ÷
Bài 11. 8 cos ç
÷
÷
ç
3ø
è
( 1)
æ pö
÷
2 sin 3 ç
= 2 sin x ( 1)
çx + ÷
÷
÷
ç
4ø
è
æ pö
3
÷
= 2 sin x ( 1)
çx - ÷
Bài 13. Giải phương trình: sin ç
÷
÷
ç
4ø
è
Bài 12. Giải phương trình:
( *)
Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0
3
2
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
Bài 15. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =
( *) .
( *) .
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
( *)
æ 5x ö
9x
2 p
÷
÷
+
- 2 cos2
ç
Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin ç
÷
ç
÷
2ø
2
è4
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
( *)
2
Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x
( *)
Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
( *)
( *)
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * )
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0
( *)
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3
(
6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
(
x = 2 ( sin
) ( *)
)
Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x +
3
3
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos
5
x + cos 5 x
)
4
2
2
4
Bài 30. Giải phương trình: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0
Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2
8
Page 6
( *)
5
cos 2x
4
( *)
( *)
( *)
( *)
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
1
( *)
16
3
Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x
Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x =
( *)
Bài 34. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = Bài 35. Giải phương trình:
sin 2x + 2 cos x - sin x - 1
=0
1
2
(*)
( *)
t an x + 3
1 + sin 2x + cos 2x
= 2 sin x sin 2x ( * )
Bài 36. Giải phương trình:
1 + cot 2 x
Bài 37. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) ( * )
( *)
2
Bài 38. Giải phương trình: t an x - t an x t an 3x = 2
Bài 39. Giải phương trình: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x =
11
3
æ p÷
ö 2
x
2 x
- ÷
t an x - cos2 = 0
ç
Bài 40. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
2
è2 4 ÷
ø
2
Bài 41. Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x
( *)
( *)
( *)
cot 2 x - t an 2 x
= 16 ( 1 + cos 4x )
( *)
cos 2x
1
Bài 43. Giải phương trình: 2 t an x + cot 2x = 2 sin 2x +
( *)
2 sin 2x
3 ( sin x + t an x )
Bài 44. Giải phương trình:
- 2 ( 1 + cos x ) = 0
( *)
t an x - sin x
Bài 42. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình:
(1-
2
cos x ) + ( 1 + cos x )
4 ( 1 - sin x )
2
- t an 2 x sin x =
Bài 46. Giải phương trình: cos 3x t an 5x = sin 7x
1
1 + sin x ) + t an 2 x ( * )
(
2
( *)
1
1
= 2 cot x
( *)
2 sin x sin 2x
sin 4 x + cos 4 x 1
Bài 48. Giải phương trình:
= ( t an x + cot 2x )
( *)
sin 2x
2
2
2
2
2
Bài 49. Giải phương trình: t an x. cot 2x. cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x
Bài 47. Giải phương trình: sin 2x + sin x -
æ
1 + t an x t an
ç
Bài 50. Giải phương trình: cot x + sin x ç
ç
è
" Cần cù bù thông minh…………"
xö
÷
÷
=4
÷
÷
2ø
( *)
( *)
Page 7
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ự
, "x ẻ ộ
ờ0;14 ỷ
ỳ
ở
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002
Bai 1. Giai phng trinh: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0
( *)
Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x, 2x, 3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x, 2x, 3x , ta nờn a vờ cung
trung gian 2x nờu trong biờu thc co cha sin2x (hoc cos2x). Con khụng cha sin2x (hoc
cos2x), nờn a vờ cung x ".
Bai giai tham khao
( * ) ( 4 cos
3
)
(
)
x - 3 cos x - 4 2 cos2 x - 1 + 3 cos x - 4 = 0 4 cos 3 x - 8 cos 2 x = 0
ộcos x = 0 ( N )
p
4 cos2 x ( cos x - 2) = 0 ờ
ờcos x = 2 L x = 2 + k p , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
ỡù - 0, 5 ÊÊk ằ 3, 9
ỡù p 3p 5p 7pùỹ
ù ; ; ; ý
ù.
ự, k ẻ Â 0 Ê p + k p Ê 14 ùớ
Do x ẻ ộ
0;14
ị
x
ẻ
ớ
ờ
ỳ
ở ỷ
ù
ù
ù
k
ẻ
Â
2
ùợ
ùợ 2 2 2 2 ùỵ
Bai 2. Giai phng trinh: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004
Bai giai tham khao
( * ) ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = 2 sin x cos x - sin x
( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) - sin x ( 2 cos x - 1) = 0
ự= 0 ( 2 cos x - 1) ( sin x + cos x ) = 0
( 2 cos x - 1) ộ
ờ( 2 sin x + cos x ) - sin x ỷ
ỳ
ở
ộ2 cos x - 1 = 0
ờ
ờsin x + cos x = 0
ờ
ở
ộ
ộ
p
ờx = p + k2p
ờcos x = cos
ờ
3
ờ
ờ
( k;l ẻ Â ) .
3
ờ
p
ờ
t an x = - 1
ờ
ờx = - + lp
ở
4
ở
( *)
Bai 3. Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos
Bai giai tham khao
( *)
4 cos 3 x - 3 cos x + 2 cos2 x - 1 - cos x - 1 = 0 2 cos 3 x + cos 2 x - 2 cos x - 1 = 0
(
)
cos2 x ( 2 cos x + 1) - ( 2 cos x + 1) = 0 ( 2 cos x + 1) cos 2 x - 1 = 0
Page 8
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
ésin x = 0
éx = kp
ê
ê
Û - ( 2 cos x + 1) sin x = 0 Û ê
Û ê
( k; l Î ¢ ) .
1
êcos x = êx = ± 2p + l2p
ê
ê
2
3
ë
ë
2
Bài 4. Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( sin x + cos x ) + 2 sin x cos x + 2 cos x = 0
Û ( sin x + cos x ) + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0
Û ( sin x + cos x ) ( 1 + 2 cos x ) = 0
2
é
ésin x = - cos x
ét an x = - 1
êx = - p + kp
ê
ê
ê
4
Û ê
Û ê
Û ê
( k;l Î ¢ ) .
êcos x = - 1
êcos x = cos 2p
2p
ê
+ l2p
ê
ê
êx = ±
2
3
ë
ë
3
ë
Bài 5. Giải phương trình: sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x
( *)
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( *) Û
(
)
sin x 1 + 2 cos2 x - 1 + 2 sin x cos x = 1 + cos x
Û 2 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + cos x Û 2 sin x cos x ( cos x + 1) - ( 1 + cos x ) = 0
é
é
1
êx = ± 2p + k2p
êcos x = ê
3
Û ( cos x + 1) ( sin 2x - 1) = 0 Û ê
( k, l Î ¢ ) .
2Û ê
ê
p
ê
sin 2x = 1
ê
êx = + lp
ë
4
ë
3p
7p
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x và
- x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
2
4
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung
hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
1
+
Bài 6. Giải phương trình: sin x
æ
ö
1
7p
÷
= 4 sin ç
ç - x÷
( *)
÷
æ 3pö
÷
ç
4
è
ø
÷
÷
sin ç
xç
÷
ç
÷
2ø
è
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 9
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Bai giai tham khao
Cach giai 1. S dung cụng thc cụng cung: sin ( a b ) = sin a. cos b cos a. sin b
( *)
1
+
sin x
1
ổ 7p
ử
7p ữ
ữ
= 4ỗ
sin
cos
x
sin
x
cos
ỗ
ữ
ỗ
4
4ữ
ố
ứ
3p
3p
- sin
cos x
2
2
ộ 2
ự
1
1
ỳ
+
= 4. ờ
-ờ
sin
x
+
cos
x
(
)
ỳ
sin x cos x
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
sin x + cos x
= - 2 2 ( sin x + cos x )
sin x cos x
sin x cos
iờu kiờn: sin x cos x ạ 0 sin 2x ạ 0 .
(
( sin x + cos x ) + 2 2 sin x cos x ( sin x + cos x ) = 0 ( sin x + cos x ) 1 +
)
2 sin 2x = 0
ộ
ờx = - p + kp
ờ
4
ột an x = - 1
ộsin x + cos x = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ờ
x = - + lp ( k, l, m ẻ Â ) .
ờ
ờ
2
ờsin 2x = 8
1 + 2 sin 2x = 0
ờ
ờ
ờ
ở
ờ
5
p
2
ở
ờx =
+ mp
ờ
8
ở
Cach giai 2. S dung "cos ụi sin bu phu cheo''
ộổ
ổ 3pữ
ử
ửự
ùỡù
p
ữ
ờ- ỗ
ỳ= cos x
ữ
ữ
ùù sin ỗ
=
sin
2
p
x
ỗx ỗ
ữ
ữ
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
2
ù
ố
ứ
ố
ứỳ
ờ
ỳ
ù
ở
ỷ
Ta co: ớ
ộ
ự
ổ
ử
ổ
ử
ổ pử
ùù
7
p
p
1
ữ
ữ
ỗ
ỳ= - sin ỗ
ữ
ữ
ữ
- xữ
= sin ờ
2
p
x
+
x
+
=
ùù sin ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
( sin x + cos x )
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
4
4
ố4
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ùùợ
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ 1
ự
1
1
( * ) sin x + cos x = 4. ờờ- ( sin x + cos x ) ỳỳ. Giai tng t nh cach giai 1.
ở 2
ỷ
ổ pữ
ử ổ
ử
7
p
ữ
ỗ
ữ
ữ
cot ỗ
x
+
cot
x
ỗ
ỗ
( *)
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
8
3
6
ố
ứ ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp. HCM nm 1999
4
4
Bai 7. Giai phng trinh: sin x + cos x =
p p
p
+ - x = giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy:
3 6
2
ự
ổ pữ
ử ổ
ử
ổ pữ
ử ộp ổ
ử
ổ pử
ổ pử
p
p
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= cot ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
cot ỗ
x
+
cot
x
=
cot
x
+
cot
+
x
x
+
t
an
x+ ữ
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
3ữ
3ữ
2
3
3
3
ố
ứ ố6
ứ
ố
ứ ở
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ỷ
Li binh: T tụng hai cung x +
Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc: sin 4 x + cos 4 x = 1 -
1 2
sin 2x . Nờu
2
cos
, rụi qui ụng thi bai toan
sin
tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan cot =
Bai giai tham khao
Page 10
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ổ pử
ùỡù
ữ
x+ ữ
ạ 0
ùù sin ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ổ pử
ổ
ử
ổ
ổ
ữ
p
1
pử
pử
3ứ
ố
ù
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sin ỗ
x+ ữ
sin
x
ạ
0
cos
2x
ạ
0
cos
2x
ạ 0.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ùù
p
3
6
2
6
6
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
- xữ
ạ 0
ỗ
ùù sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
6
ố
ứ
ùùợ
p kp
+
, (k ẻ Â) .
( * ) 1 - 21 sin 2 2x = 78 sin 2 2x = 41 1 - cos 4x = 21 x = 12
2
sin 4 2x + cos4 2x
ổ
ử ổ
Bai 8. Giai phng trinh:
p
p
ữ
t an ỗ
- xữ
t an ỗ
+
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố4
ố4
ứ
= cos 4 4x
ử
ữ
xữ
ữ
ữ
ứ
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Xõy Dng nm 1997
Bai giai tham khao
ỡù
ổ
ử
p
ùù cos ỗ
ữ
- xữ
ạ 0
ỗ
ữ
ùù
ổ
ử ổ
ử
ữ
ỗ
p
p
1ổ
pử
ố4
ứ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
cos ỗ
- xữ
cos
+
x
ạ
0
cos
2x
+
cos
ạ 0 cos 2x ạ 0 .
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ùù
p
4
4
2
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
ỗ
+ xữ
ạ 0
ùù cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố4
ứ
ùùợ
ộp ổ
ự
ổ
ử ổ
ử
ổ
ử
ử
ổ
ử
ổ
ử
p
p
p
p
p
p
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= t an ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
x
t
an
+
x
=
t
an
x
t
an
+
x
x
cot
x
=1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
Ta co: t an ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ ờ2 ố4
ữỳ
ữ ố4
ữ
4
ố4
ứ ố4
ứ
ố4
ứ
ứ
ố
ứ
ứ
ở
ỷ
1 2
1
sin 4x = cos4 4x 1 1 - cos2 4x = cos 4 4x 2 cos 4 x - cos2 4x - 1 = 0
2
2
ùỡù ột = 1
( N)
ùù ờ
2
ùỡ 2t - t - 1 = 0
ờ
ù
ùớ
ớ ờt = - 1 ( L )
cos2 4x = 1 sin 2 4x = 0 sin 4x = 0
ùù t = cos2 4x 0
ùù ờ
2
ở
ùợ
ùù
2
ùùợ t = cos 4x 0
ỡù sin 2x = 0 ( N )
kp
ùớ
x=
, (k ẻ Â) .
ùù cos 2x = 0 ( L )
2
ùợ
( *)
1-
(
)
Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau
p
p
t an - t an x t an + t an x
ổ
ử
ổ
ử
p
p
1 - t an x 1 + t an x
4
4
ữ
ữ
t an ỗ
- xữ
. t an ỗ
+ xữ
=
.
=
.
=1.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
p
p
1 + t an x 1 - t an x
ố4
ứ
ố4
ứ
1 + t an t an x 1 - t an t an x
4
4
ổ3p x ữ
ử 1
ổp 3x ử
ữ
ữ
= sin ỗ
ỗ - ữ
ỗ +
Bai 9. Giai phng trinh: sin ỗ
( 1)
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2ứ
ố10 2 ứ 2
ố10
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
3p x
p 3x
gia hai cung
va
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:
+
10 2
10
2
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 11
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ ổp
ự
ổp 3x ử
ổ
ử
ổ
3x ử
9p 3x ữ
3p x ử
ữ
ữ
ỗ
ờp - ỗ
ỳ= sin ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sin ỗ
+
=
sin
+
=
sin
3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
. T o, ta se
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
10
2
10
2
10
2
10
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
3p x
t t =
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.
10 2
Bai giai tham khao
ộ
ổp 3x ử
ữ
ờp ữ
=
sin
ỗ +
Ta co: sin ỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
2ứ
ố10
ờ
ở
ự
ổp 3x ử
ổ
ử
ổ
9p 3x ữ
3p x ử
ữ
ỗ
ỗ
ỳ= sin ỗ
ữ
ữ
ữ
+
=
sin
3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
.
ữ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
2 ứỳ
10
2
10
2
ố10
ố
ứ
ố
ứ
ỷ
ổ
ổ
3p x ử 1
3p x ử
ữ
ữ
= sin 3 ỗ
ỗ - ữ
( 1) sin ỗỗỗ10 - 2 ữ
( 2) .
ữ
ữ
ữ 2
ữ
ỗ10 2 ứ
ố
ứ
ố
3p x
1
1
- . Va ( 2) sin t = sin 3t sin t = 3 sin t - 4 sin 3 t sin t 1 - sin 2 t = 0
10 2
2
2
ộ
ộ
3p x
ột = k p
ờ
ờx = 3p - k2p
=
k
p
ộsin t = 0
ờ
ờ
ờ
5
ờ
ờ10 2
ờ
( k, l ẻ Â ) .
p
ờcos t = 0 ờ
ờ
3
ppp
x
2
t
=
+
l
p
ờ
ờ
ờ
ở
= + lp
- l2p
ờ
ờ ờx =
ở 2
2
5
ở10 2
ở
(
t t =
)
(
)
ổ
ử
ổ pữ
ử
pữ
ỗ
ữ
ữ
3x
=
sin
2x
sin
x
+
ỗ
ỗ
Bai 10. Giai phng trinh: sin ỗ
( 1)
ỗ
ỗ
ữ
ữ
4ữ
4ữ
ố
ứ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Hoc Viờn Bu Chinh Viờn Thụng nm 1999
Bai giai tham khao
ộ
ổ
ổ
ử
pử
p
ữ
ỗ
ờp ữ
ữ
3x - ữ
=
sin
3x
=
sin
ỗ
ỗ
Ta co: sin ỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ4
ữ
ữ
4ứ
ố
ố
ứ
ờ
ở
ổ
ửự
ộ
ự
ổ pử
p
ỗ
ỳ= - sin ờ3p + 3x ỳ= - sin 3 ỗ
ữ
ữ
- 3x ữ
x+ ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
ữỳ
ữ
4
4
ố4
ứ
ố
ứ
ở
ỷ
ỷ
ổ pử
p
p
ữ
2t - ữ
. sin t
ỗ
t t = x + ị x = t . Luc o ( 1) - sin 3t = sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
4
4
ộsin t = 0
ộsin t = 0
ờ
4 sin 3 t - 3 sin t + cos 2t sin t = 0 ờ
ờ4 sin 2 t - 3 + 1 - 2 sin 2 t = 0
ờsin 2 t = 1
ờ
ờ
ở
ở
ộ
ột = kp
ờx = - p + kp
ộsin t = 0
ờ
p
p
ờ
4
ờ
ờ
x = - + m , ( k, l, m ẻ Â ) .
p
ờcos t = 0 ờ
ờt = + lp
4
2
ờx = p + lp
ờ
ở
ờ
ờ
ở 2
4
ở
ổ pử
3
ữ
x+ ữ
= cos 3x ( 1)
ỗ
Bai 11. Giai phng trinh: 8 cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
3ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1999
Bai giai tham khao
ộ ổ pửự
ờ3 ỗ
ỳ.
ữ
cos
3x
=
cos
p
+
3x
=
cos
x+ ữ
Ta co:
(
)
ữ
ờỗ
ỳ
ỗ
ữ
3
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
Page 12
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ ổ pửự
ổ pử
3
ữ
ờ3 ỗ
ỳ ( 2) .
ữ
ữ
x
+
=
cos
x+ ữ
ỗ
ỗ
Phng trinh: ( 1) 8 cos ỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
3
3
ố
ứ
ứỳ
ờ
ỳ
ởố
ỷ
p
3
3
3
t t = x + . Luc o: ( 2) 8 cos t = - cos 3t 8 cos t = - 4 cos t + 3 cos t
3
(
)
12 cos 3 t - 3 cos t = 0 cos 3t 4 cos2 t - 1 = 0 cos 3t ( 2 cos 2t + 1) = 0
ộ p
ờt = + k pp
ờ 2
ộcos 3t = 0
ờ
ờ
ờt = p + lp
ờ
1
ờ
ờcos 2t = 3
ờ
ờ
2
ờ
ở
p
ờt = - + m p
ờ
3
ở
ộ
ờx = + k p
ờ
6
ờ
x
=
l
p
ờ
( k; l;m ẻ Â ) .
ờ
2p
ờ
+ mp
ờx =
ờ
3
ở
ổ pữ
ử
2 sin 3 ỗ
= 2 sin x ( 1)
ỗx + ữ
ữ
ỗ
4ữ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998
Bai 12. Giai phng trinh:
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t t = x +
ổ pữ
ử
p
p
3
ữ
t
sin 3 t = sin t - cos t
ỗ
. Luc o: ( 1) sin t = 2 sin ỗ
ị x=tữ
ỗ
ố 4ữ
ứ
4
4
(
)
sin 3 t = sin t - cos t sin 3 t = sin 2 t + cos 2 t ( sin t - cos t )
(
(ã)
)
cos t - sin 2 t + sin t cos t - cos 2 t = 0
ổ
ử
1
ữ
cos t ỗ
=0
ỗ sin 2t - 1ữ
ữ
ữ
ỗ
ố2
ứ
ộcos t = 0 ( N )
p
p
ờ
ờsin 2t = 2 L t = 2 + k p x = 4 + k p, ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Li binh: Trong ( ã ) , tụi a s dung ki thuõt ghep cụng thc 1 = sin 2 t + cos2 t . Võy trong giai
phng trinh lng giac, dõu hiờu nh thờ nao ờ biờt ghep nh thờ ? Cõu tra li rõt n
gian: " Khi bõc cua sin va cos khụng ụng bõc va hn kem nhau hai bõc, ta nờn ghep
1 = sin 2 t + cos2 t ờ phng trinh tr nờn n gian hn ".
Cach giai 2.
3
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2 sin x
ữ
2ờ
.
2
sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
4
ố
ứỳ
ờ
ỳ
ở2
ỷ
( 1)
3
ộ1
ự
2 ờ ( sin x + cos x ) ỳ = 2 sin x
ờ
ỳ
ở2
ỷ
3
2
( sin x + cos x ) = 4 sin x ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) = 4 sin x
( sin x + cos x ) ( 1 + 2 sin x cos x ) = 4 sin x
- 3 sin x + 2 cos2 x sin x + 2 sin 2 x cos x + cos x = 0
sin x ( - 3 + 2 cos2 x ) + cos x ( 2 sin 2 x + 1) = 0
(
)
(
)
- sin x 2 sin 2 x + 1 + cos x 2 sin 2 x + 1 = 0
ộ0 = 2 sin 2 x + 1 > 0
2 sin 2 x + 1 ( cos x - sin x ) = 0 ờ
ờcos x - sin x = 0
ờ
ở
(
)
" Cõn cu bu thụng minh"
( VN )
Page 13
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
t an x = 1 x =
p
+ kp , ( k ẻ Â ) .
4
Cach giai 3.
3
( 1)
3
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2 sin x
ữ
2ờ
.
2
sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ữ
ỗ
4
ố
ứ
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
3
( sin x + cos x ) = 4 sin x
ộ1
ự
2 ờ ( sin x + cos x ) ỳ = 2 sin x
ờ
ỳ
ở2
ỷ
( 2)
Vi cos x = 0 ( hay sin x = 1) khụng phai la nghiờm cua phng trinh ( 2) nờn chia hai vờ cua
3
phng trinh ( 2) cho cos 3 x , ta c: ( 2) ( t an x + 1) = 4 t an x. 1 + t an 2 x
Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm: t an x = 1 x =
(
)
p
+ k pẻ, ( k
4
Â).
ổ pử
3
ữ
x- ữ
= 2 sin x ( 1)
ỗ
Bai 13. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
p
p
3
ị x = t + . Luc o: ( 1) sin t = 2 sin t +
4
4
sin 3 t = ( sin t + cos t ) sin 2 t + cos2 t
(
t t = x -
(
)
4 sin 3 t = sin t + cos t
)
sin 3 t = sin 3 t + sin t cos 2 t + cos t sin 2 t + cos 3 t cos t ( sin t cos t + 1) = 0
ộcos t = 0
p
3p
p
ờ
ờsin 2t = - 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp - 4 + k p , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai
Bai 14. Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0
( *)
Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mụt ham bõc nhõt lng giac cos (hoc sin hoc ca
sin va cos) dang tụng (hoc hiờu). Ta nờn ghep cac sụ hang nay thanh cp sao cho hiờu
(hoc tụng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay ờ y
( x + 4x ) = 5x va ( 2x + 3x ) = 5x . Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao
5x
3x
5x
x
cos
+ 2 cos
cos = 0
2
2
2
2
5x ổ 3x
xử
5x
x
ữ
2 cos ỗ
cos
+ cos ữ
= 0 4 cos
cos x cos = 0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2 ố
2
2ứ
2
2
( * ) ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0
Page 14
2 cos
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
é 5x
êcos
ê 2 =0
ê
Û êcos x = 0 Û
ê
ê x
êcos = 0
ê
ë 2
é5x
ê = p + kp
ê2
2
ê
p
êx = + lp Û
ê
2
ê
êx
p
ê = + mp
ê
2
ë2
é
êx = p + k2p
ê
5
5
ê
p
êx = + lp
( k; l; m Î ¢ ) .
ê
2
ê
êx = p + 2m p
ê
ê
ë
3
( *) .
2
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
Bài 15. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =
Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
1
1
1
3
( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 Û ( cos 2x + cos 6x ) + cos 4x = 0
Û 2 cos 4x cos 2x + cos 4x = 0 Û cos 4x ( 2 cos 2x + 1) = 0
é
écos 4x = 0
ê4x = p + k p
ê
ê
2
Û ê
Û ê
Û
2
p
êcos 2x = cos
2p
ê
+ l2p
ê
ê2x = ±
3
ë
3
ë
é
êx = p + k p
ê
8
4
ê
p
êx = ± + lp
ê
3
ë
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
( k, l Î ¢ ) .
( *) .
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài giải tham khảo
1
1
1
( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2
1
1
Û - ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = Û ( cos 2x + cos 6x ) + ( cos 4x + 1) = 0
2
2
2
Û 2 cos 4x cos 2x + 2 cos 2x = 0 Û 2 cos 2x ( cos 4x + cos 2x ) = 0
é
êx = p + kp
ê
écos x = 0
2
ê
ê
p
p
ê
Û 4 cos 2x cos 3x cos x = 0 Û ê
êcos 2x = 0 Û êx = 4 + l 2
ê
ê
cos 3x = 0
ê
ê
p
p
ë
êx = + m
ê
6
3
ë
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
( k, l, m Î ¢ ) .
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Bài giải tham khảo
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 15
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
1
1
1
1
( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 ( 1 + cos 4x ) + 2 ( 1 + cos 8x )
Û - ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x Û - 2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x
Û 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0 Û 4 cos 2x cos 5x cos x = 0
écos x = 0
ê
æ
ö
æ
æp m pö
p
p
pö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
Û ê
cos
2x
=
0
Û
x
=
+
k
p
Ú
x
=
+
l
Ú
x
=
+
; ( k, l, m Î ¢ ) .
ç
ç
ç
ê
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
2ø
5 ø
è2
ø
è4
è10
ê
cos 5x = 0
ê
ë
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài giải tham khảo
1
1
1
1
1 + cos 8x ) = ( 1 - cos10x ) - ( 1 + cos12x )
(
2
2
2
Û cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x Û 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x
é
êx = p + k p
ê
2
ê
écos x = 0
lp
ê
Û cos x ( cos 7x - cos11x ) = 0 Û ê
( k, l, m Î ¢ ) .
êcos 7x = cos11x Û êx = - 2
ê
ê
ë
ê
mp
êx =
ê
9
ë
( *) Û 2 (1-
cos 6x ) -
æ 5x ö
9x
2 p
÷
÷
+
- 2 cos2
ç
Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin ç
(*)
÷
ç
÷
2ø
2
è4
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài giải tham khảo
æ
ö
p
÷
÷
cos 3x + sin 7x = 1 - cos ç
+
5x
- 1 - cos 9 x Û cos 3x + sin 7x = sin 5x - cos 9 x
ç
÷
ç
÷
è2
ø
Û cos 3x + cos 9x + sin 7x - sin 5x = 0 Û 2 cos 6x cos 3x + 2 cos 6x sin x = 0
é
êx = p + k p
ê 12
écos 6x = 0
6
ê
ê
p
æ
ö
Û cos 6x ( cos 3x + sin x ) = 0 Û ê
Û ê
p
( k, l, m Î ¢ ) .
êx = + lp
÷
êcos 3x = cos ç
÷
+
x
4
ç
÷
ê
ç
÷ ê
è2
ø
ê
p mp
ê
ë
êx = - +
ê
8
2
ë
( *) Û
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Bài giải tham khảo
Page 16
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x
=
+
Û ( cos 2x + cos 4x ) + ( 1 + cos 6x ) = 0
2
2
2
Û 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x = 0 Û 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) = 0
( *) Û
é
êx = p + k p
ê
écos x = 0
6
3
ê
ê
p lp
ê
ê
Û 4 cos 3x cos 2x cos x = 0 Û êcos 2x = 0 Û êx = +
Û
4
2
ê
ê
cos 3x = 0
ê
ê
p
ë
êx = + m p
ê
2
ë
2
Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x
é
êx = p + k p
ê
6
3 ( k, l, m Î ¢ ) .
ê
êx = p + lp
ê
4
2
ë
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
7x + x
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( x ) , ( 2x ) , ( 7x ) và nhận xét
= 4x , ta có thể định
2
2
hướng nhóm ( sin 7x - sin x ) , 2 sin 2x - 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức
(
)
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( sin 7x -
(
)
sin x ) - 1 - 2 sin 2 2x = 0 Û 2 cos 4x sin 3x - cos 4x = 0
é
écos 4x = 0
êx = p +
ê
ê
Û cos 4x ( 2 sin 3x - 1) = 0 Û ê
Û ê 18
1
êsin 3x =
êx = 5p +
ê
ê
2
ë
18
ë
k2p
3 ( k, l Î ¢ ) .
l2p
3
Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
( *)
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( 1 + cos 2x ) + cos x
Û 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2 x + cos x Û sin 2x ( 2 cos x + 1) - cos x ( 2 cos x + 1) = 0
Û ( 2 cos x + 1) ( sin 2x - cos x ) = 0 Û ( 2 cos x + 1) ( 2 sin x cos x - cos x ) = 0
é
êx = p + kp
é
ê
êcos x = 0
êé 2
p
ê
êê
ê
êêx = + l2p
1
6
Û cos x ( 2 sin x - 1) ( 2 cos x + 1) = 0 Û êsin x =
Û êê
( k, l, m, n Î ¢ ) .
ê
êê
5p
2
ê
êêx =
+ m2p
êcos x = - 1
êë
6
ê
ê
2
ë
êx = ± 2p + n2p
ê
3
ë
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x
( *)
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 17
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
)
(
)
sin 3 x 4 cos 3 x - 3 cos x + cos 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x = sin 3 4x
Û 4 sin 3 x cos 3 x - 3 sin 3 x3 cos x + 3 cos 3 x sin x - 4 cos 3 x sin 3 x = sin 3 4x
Û 3 sin x cos x ( cos2 x - sin 2 x ) = sin 3 4x
Û
3
3
sin 2x cos 2x = sin 3 4x Û sin 4x = sin 3 4x
2
4
kp
, (k Î ¢) .
12
Û 3 sin 4x - 4 sin 3 4x = 0 Û sin 12x = 0 Û 12x = k p Û x =
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * )
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
cos10x + ( 1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x 4 cos 3 3x - 3 cos 3x
)
Û ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x
Û 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x
Û cos x = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) .
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0
( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û
Û
Û
(
)
(
)
sin x ( 4 sin x - 3) - cos x é
sin x - 3 ( 1 - sin x ) ù
=0
ê
ú
ë
û
( 4 sin x - 3) ( sin x - cos x ) = 0
sin x 4 sin 2 x - 3 - cos x sin 2 x - 3 cos2 x = 0
2
2
2
2
ù( sin x - cos x ) = 0
Û é
ê2 ( 1 - cos 2x ) - 3ú
ë
û
é
é
é
1
2
p
2
p
êx = ± 2p + kp
êcos 2x = - = cos
ê2x = ±
+ k2p
ê
3
Û ê
Û ê
Û ê
( k; l Î ¢ ) .
2
3
3
ê
ê
p
ê
sin x = cos x
t an x = 1
ê
ê
êx = + lp
ë
ë
4
ë
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3
( *)
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4) + 4 ( 1 - sin x ) - 3 = 0
Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + ( 1 - 2 sin x ) ( 1 + 2 sin x ) = 0
Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 + 1 - 2 sin x ) = 0
Û 3 ( cos 4x - 1) ( 2 sin x + 1) = 0
2
Page 18
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
é
ê4x = k2p
ê
écos 4x = 1
ê
ê
êx = - p + l2p Û
Û ê
Û
1
ê
êsin 2x = 6
ê
ê
2
ë
êx = 7p + m2p
ê
6
ë
é
êx = kp
ê
2
ê
êx = - p + l2p
ê
6
ê
ê
7p
+ m2p
êx =
ê
6
ë
( k; l; m Î ¢ ) .
(
6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
) ( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
)
(
)
sin 6 x - 2 sin 8 x + cos 6 x - 2 cos 8 x = 0 Û sin 6 x 1 - 2 sin 2 x - cos 6 x 2 cos 2 x - 1 = 0
(
)
Û sin 6 x cos 2x - cos6 x cos 2x = 0 Û cos 2x sin 6 x - cos 6 x = 0
écos 2x = 0
écos 2x = 0
ê
Û ê
Û
êsin 6 x = cos 6 x
êt an x = ±1 Û
ê
ê
ë
ë
é
êx = p + kp
ê
4
2 Û x = p + kp , ( k Î ¢ ) .
ê
4
2
êx = ± p + k p
ê
4
ë
5
cos 2x ( * )
4
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
(
)
Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x +
Bài giải tham khảo
5
cos 2x = 0
4
5
Û cos8 x 2 cos2 x - 1 - sin 8 x 1 - 2 cos2 x + cos 2x = 0
4
æ 8
5
5ö
8
÷
Û cos8 x. cos 2x - sin 8 x cos 2x + cos 2x = 0 Û cos 2x ç
=0
çcos x - sin x + ÷
÷
÷
ç
4
4ø
è
é
écos 2x = 0
ê2x = p + k p
ê
p kp
ê
2
Û ê 8
Û
Û
x
=
+
,( k Î ¢ ) .
ê
5
êcos x - sin 8 x + = 0
5
4
2
8
8
ê
ê
êsin x = cos x + > 1 ( VN )
4
ë
4
ë
( * ) Û ( 2 cos
10
) (
)
x - cos 8 x - sin 8 x - 2 sin 10 x +
(
)
(
)
(
3
3
5
5
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
)
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998
Bài giải tham khảo
Cách giải 1
( * ) Û ( sin
3
) (
x ) - cos x ( 2 cos
)
x - 2 sin 5 x - 2 cos 5 x + cos 3 x = 0
(
Û sin 3 x 1 - 2 sin 2
" Cần cù bù thông minh…………"
3
2
)
x - 1 = 0 Û sin 3 x cos 2x - cos 3 x cos 2x = 0
Page 19
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộcos 2x = 0
p mp
cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0 ờ
ờt an 3 x = 1 x = 4 + 2 , ( m ẻ Â ) .
ờ
ở
Cach giai 2
(
( * ) ( sin
3
)
)(
)
x + cos 3 x sin 2 x + cos2 x - 2 sin 5 x - 2 cos5 x = 0
(
) (
x ) - cos x ( cos
)
sin 3 x cos2 x - sin 5 x - cos 5 x - cos 3 sin 2 x = 0
(
sin 3 x cos2 x - sin 2
ộcos 2x = 0
ờ
ờsin 3 x - cos 3 x = 0
ờ
ở
3
2
)
(
)
x - sin 2 x = 0 cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0
ộcos 2x = 0
p mp
ờ
ờt an 3 x = 1 x = 4 + 2 , ( m ẻ Â ) .
ờ
ở
4
2
2
4
Bai 30. Giai phng trinh: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Tp.HCM 1998 1999 t 1
Bai giai tham khao
2
ổ
ử
2x ữ
ữ
- sin 2 2x +
( * ) 3 ỗỗỗ1 + cos
ữ
ữ
2
ố
ứ
(
)
2
ổ
ử
1 - cos 2x ữ
ỗ
ữ
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố
ứ
(
) (
)
3 1 + 2 cos 2x + cos2 2x - 4 1 - cos2 2x + 1 - 2 cos 2x + cos 2 2x = 0
8 cos2 2x + 4 cos 2x = 0 4 cos 2x ( 2 cos 2x + 1) = 0
ộ
ộcos 2x = 0
ờx = p + kp p + k p
ờ
ờ
4
2
4
ờ
ờ
ờcos 2x = - 1
p
ờx = + m p
ờ
ờ
2
ở
3
ở
Cach khac
( k, m ẻ Â ) .
Do cos x = 0 hay sin x = 1 khụng la nghiờm cua phng trinh ( * )
Chia hai vờ cua ( * ) cho cos 4 x , ta c:
ùỡù t 2 - 4t + 3 = 0
2
4
( * ) 3 - 4 t an x + t an x = 0 ớù t = t an 2 x 0
ùùợ
ỡù ột = 1
ùù ờ
ột an x = 1
ột an 2 x = 1
ù
ờ
ờ
ớ ờt = 3
ờ
ờ
ờt an 2 x = 3
ùù ở
t
an
x
=
3
ờ
ờ
ở
ở
ùù t = t an 2 x
ợ
ộ
ờx = p + k p
ờ
4
( k, m ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + m p
ờ
3
ở
Bai 31. Giai phng trinh: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2
8
( *)
Bai giai tham khao
Li binh: Ta nhõn thõy trong phng trinh co cha cos 3x lõn sin 3x , nờu ta s dung cụng thc
nhõn ba ờ khai triờn cung i ờn kờt qua cuụi cung, nhng no tng ụi phc tap.
Page 20
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số
1
nhằm tối giản được với số 2 - 3 2 phức tạp bên vế phải của phương trình.
2
8
( * ) Û ( cos 3x cos x ) cos
Û
2
x - ( sin 3x sin x ) sin 2 x =
2- 3 2
8
1
1
2- 3 2
cos 4x + cos 2x ) cos2 x - ( cos 2x - cos 4x ) sin 2 x =
(
2
2
8
Û cos 4x cos2 x + cos 2x cos2 x - cos 2x sin 2 x + cos 4x sin 2 x =
(
)
(
)
Û cos 4x cos2 x + sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin 2 x =
Û cos 4x + cos2 2x =
2- 3 2
4
2- 3 2
4
2- 3 2
1
2- 3 2
Û cos 4x + ( 1 + cos 4x ) =
4
2
4
Û 4 cos 2x + 2 ( 1 + cos 4x ) = 2 - 3 2 Û cos 4x = -
2
p kp
Û x =± +
,( k Î ¢ ) .
2
16
2
1
( *)
16
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998
Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x =
Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x, 2x, 4x, 8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
cos 2x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,
bằng cách nhân thêm hai vế của ( * ) cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem sin x = 0 có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy: sin x = 0 Û x = k p ( hay cos x = ±1) Û cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 nên
1
(vô nghiệm) nên sin x = 0 Û x = k p không là nghiệm của ( * )
16
● Nhân cả 2 vế của phương trình ( * ) cho 16 sin x ¹ 0 , ta được:
( *) Û
±1 =
ìï 16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x
ìï 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x
ï
ï
í
( * ) ÛÛíï sin x ¹ 0
ïï sin x ¹ 0
ïî
î
ìï 4 sin 4x cos 4x cos 8x = sin x
ìï 2 sin 8x cos 8x = sin x
ìï sin 16x = sin x
ï
ï
Û í
Û í
Û ïí
ïï sin x ¹ 0
ïï sin x ¹ 0
ïï sin x ¹ 0
î
î
î
ïìï é
k2p
é
x=
ïï ê
ê
êx = k2p
15
ïï ê
17p - 1
15
p
lp Û ê
Û íê
với k ¹ 15n; l ¹
; ( k, l, m, n, p Î ¢ ) .
ê
+
ïï êx =
p
l
p
ê
2
x
=
+
ïï ë 17 17
ê
ë 17 17
ïï x ¹ m p
ïî
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 21
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
3
Bai 33. Giai phng trinh: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x
( *)
Bai giai tham khao
( *)
(
)
4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 3 sin x - 4 sin 3 x 4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 sin 3x
(
)
2 sin 3x ( 2 cos 2x - 1) = 1 2 sin 3x 4 cos2 x - 3 = 1
( o)
p
+ k pẻ, ( k  ) khụng la nghiờm phng trinh ( o) , nờn nhõn hai vờ ( o) cho
2
3
cos x ạ 0 , ta c: ( o) 2 sin 3x 4 cos x - 3 cos x = cos x 2 sin 3x cos 3x = cos x
Do cos x = 0 x =
(
)
ộ
ờx = p + l2p
ổ
ử
p
ờ
7
ữ
sin 6x = cos x cos x = cos ỗ
- 6x ữ
ờ 14
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố2
ứ ờx = p + m2p
ờ
5
ở 10
( l, k ẻ Â ) .
Bai 34. Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = -
1
2
(*)
Bai giai tham khao
 ) thi ( * ) 5 = - 1 ị ( * ) khụng co nghiờm x = k2pẻ, ( k  ) .
2
x
x
Khi x ạ k2p, ( k ẻ Â ) ị sin ạ 0 . Nhõn hai vờ cua ( * ) cho 2 sin ạ 0 , ta c:
2
2
( * ) 2 sin x2 cos x + 2 sin x2 cos 2x + 2 sin x2 cos 3x + 2 sin x2 cos 4x + 2 sin x2 cos 5x = - sin x2
3x
x
5x
3x
7x
5x
9x
7x
11x
9x
x
sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin
- sin
= - sin .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11x
11x
2m p
sin
=0
= mp x =
, ( m ạ 11, m ẻ Â ) .
2
2
11
Khi x = k2pẻ, ( k
Bai 35. Giai phng trinh:
sin 2x + 2 cos x - sin x - 1
t an x +
= 0 ( *)
3
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2011
Bai giai tham khao
Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
sin ổ
cos ử
ỗ
ữ
,
ỗ ữ
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng
nhm muc ich " n
ữ
ữ
cos ỗ
ốsin ứ
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng
Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem co thoa khụng. Nờu thoa thi ghi nhõn
nghiờm õy, nờu khụng thoa thi loai.
Page 22
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Hoc biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm trờn cung mụt ng
tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghiờm khi co trung vi ngon cung
cua iờu kiờn.
Hoc so vi iờu kiờn trong qua trinh giai phng trinh.
ỡù t an x ạ - 3
ù
iờu kiờn: ớ
ùù cos x ạ 0
ùợ
( * ) sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 = 0 2 cos x ( sin x + 1) - ( sin x + 1) = 0
ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k, l ẻ Â ) .
ờ
ờx = - p + l2p
ờ
2
ở
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm cua phng trinh la x = + k2pẻ, ( k  ) .
3
ộ
ờcos x = 1
( sin x + 1) ( 2 cos x - 1) = 0 ờ
2
ờ
sin x = - 1
ờ
ở
Bai 36. Giai phng trinh:
1 + sin 2x + cos 2x
= 2 sin x sin 2x ( * )
1 + cot 2 x
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2011
Bai giai tham khao
iờu kiờn: sin x ạ 0
( *)
sin 2 x(1 + sin 2x + cos 2x) = 2 2 sin 2 x cos x 1 + sin 2x + cos 2x = 2 2 cos x
(
2 cos2 x + 2 cos x sin x - 2 2 cos x = 0 2 cos x cos x + sin x -
)
2 =0
ộ
ờx = p + kp
ờ
2
( k, l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + l2p
ờ
4
ở
p
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm phng trinh la x = + kp x = + l2pẻ, ( k, l
2
4
ộcos x = 0
ộcos x = 0
ờ
ờ ổ pử
ờ
ờ
ữ
ờcos ỗ
ữ
x
=
1
cos x + sin x = 2
ỗ
ờ
ữ
ờ ỗ
ữ
ở
4ứ
ờ
ở ố
Bai 37. Giai phng trinh: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x )
Â) .
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
ỡù sin x ạ 0
p
ù
2 sin x cos x ạ 0 sin 2x ạ 0 2x ạ k p x ạ k , ( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
ùù cos x ạ 0
2
ợ
sin x cos x
sin 2 x + cos2 x
( * ) cos x + sin x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) sin x cos x = 2 ( sin 2x + cos 2x )
1
1
= 2 ( sin 2x + cos 2x )
= ( sin 2x + cos 2x )
sin x cos x
sin 2x
sin 2x ( sin 2x + cos 2x ) = 1 sin 2 2x + sin 2x cos 2x - 1 = 0
sin 2x cos 2x - cos2 2x = 0 cos 2x ( sin 2x - cos 2x ) = 0
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 23
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ
ờx = p +
ờ
4
ờ
p
ờx = +
ờ
8
ở
p
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm: x = + kp
4
ổ
pử
ữ
2 cos 2x sin ỗ
2x - ữ
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố
ộcos 2x = 0
ờ
ờ ổ
pử
ữ
ờsin ỗ
ữ
2x
=0
ỗ
ữ
ờ ỗ
ữ
4ứ
ờ
ở ố
2
Bai 38. Giai phng trinh: t an x + t an x t an 3x = 2
kp
p
l
2
( k, l ẻ Â ) .
x=
p
p
+ l , ( k, l ẻ Â ) .
8
2
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
Bai giai tham khao
ỡù cos x ạ 0
p kp
ù
cos 3x ạ 0 x ạ
+
,( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
3
ùù cos 3x = 4 cos x - 3 cos x ạ 0
6
3
ùợ
sin x ổsin x sin 3x ử
ữ
=2
( * ) t an x ( t an x + t an 3x ) = 2 cos x ỗỗỗcos x + cos 3x ữ
ữ
ữ
ố
ứ
sin x ( sin x cos 3x + cos x sin 3x ) = 2 cos 2 x cos 3x
sin x sin ( - 2x ) = 2 cos2 x cos 3x
- 2 sin 2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x
- sin 2 x = cos x cos 3x ( do cos x ạ 0)
1
1
1 - cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x )
(
2
2
p lp
cos 4x = - 1 x = +
,( l ẻ Â )
4
2
So nghiờm vi iờu kiờn:
-
ổ
3p l3pử
2
p lp
ữ
ữ
+
=
ạ 0 (nhõn).
thi cos 3x = cos ỗ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2 ứ
2
4
2
ố4
Cach 2: Biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm, ta thõy khụng co ngon cung
p lp
nao trung nhau. Do o: x = +
la nghiờm cua
/2
4
2
phng trinh. (Cach 2 nay mõt nhiờu thi gian).
3/4
/4
/6
5/6
3p l3p p
Cach 3: Nờu 3x =
+
= + k p thi
4
2
2
3 + 6l = 2 + 4k 2k - 3l = 0, 5
7/6
11/6
(vụ li vi k, l ẻ Â ).
Cach 1: Khi x =
5/4
p lp
Võy ho nghiờm cua phng trinh la: x = +
,( l ẻ Â ) .
4
2
Bai 39. Giai phng trinh: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x =
11
3
7/4
3/2
( *)
Bai giai tham khao
Page 24
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ỡù cos x ạ 0
ùù
ù
iờu kiờn: ớ sin x ạ 0 sin 2x ạ 0 .
ùù
ùù sin 2x ạ 0
ợ
ổ 1
ử ổ 1
ử ổ 1
ử
11
1
1
1
20
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
+
1
+
1
=
+
+
=
ỗ
ỗ
( * ) ỗỗỗcos2 x - 1ữ
ữ
ữ
ữ
2
2
2
2
2
2
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ 3
3
cos x sin x 4 sin x cos x
ố
ứ ốsin x
ứ ốsin 2x
ứ
4 sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 20
5
20
3
1
3
=
=
sin 2 2x = ( 1 - cos 4x ) =
2
2
2
3
3
4
2
4
4 sin x cos x
sin 2x
ổ
1
2pử
p kp
ữ
ữ
cos 4x = - = cos ỗ
x = +
,( k ẻ Â ) .
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
6
2
ố3 ứ
Thay vao nghiờm vao iờu kiờn, thoa. Võy ho nghiờm cua phng trinh la
p kp
x = +
, (k ẻ Â) .
6
2
ổ pữ
ử 2
x
2 x
t an x - cos2 = 0
ỗ - ữ
Bai 40. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ
ỗ
2
ố2 4 ữ
ứ
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2003
Bai giai tham khao
iờu kiờn: cos x ạ 0 sin x ạ 1 .
ựsin 2 x 1
1 - sin x ) 1 - cos2 x
ổ pử
(
1ộ
ữ
ỗ
ỳ
- ( 1 + cos x ) = 0
( * ) 2 ờờ1 - cos ỗỗx - 2 ữ
ữ
2
ỳcos2 x - 2 ( 1 + cos x ) = 0
ữ
1
sin
x
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
2
ổ
ử
1 - cos x
1 - cos x
ữ
ữ
- ( 1 + cos x ) = 0 ( 1 + cos x ) ỗ
1
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
1 + sin x
ố1 + sin x
ứ
(
)
ộx = p + k2p
ộcos x = - 1 ( N )
ờ
ờ
( 1 + cos x ) ( - cos x - sin x ) = 0 ờ
ờ
( k; l ẻ Â ) .
ờx = - p + l2p
t an x = - 1 ( N )
ờ
ờ
ở
4
ở
2
Bai 41. Giai phng trinh: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x
( *)
Trich ờ thi Tuyờn Sinh ai hoc Mo ia chõt nm 2000
Bai giai tham khao
ỡù cos x ạ 1
ù
ùớù
ùù cos x ạ 2
ùùợ
2
cos x sin 2x
cos 2x cos x + sin 2x sin x
cos x
Ta co: cot x + t an 2x =
.
+
=
=
sin x cos 2x
sin x cos 2x
sin x cos 2x
ổ 2
ử
sin 2x cos x
2 cos2 x
2
ữ
= 4 cos x
- 4 cos2 x = 0 cos2 x ỗ
- 4ữ
=0
ỗ
Luc o: ( * )
ữ
ỗ
ữ
sin x cos 2x
cos 2x
ốcos 2x
ứ
ùỡù sin x ạ 0
iờu kiờn: ớ
ùù cos 2x ạ 0
ợ
ỡù sin x ạ 0
ù
ớ
ùù 2 cos2 x - 1 ạ 0
ùợ
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 25
