chuyên đề tích phân

Tích phân
Kiến thức cơ bản
1. Công thức Niutơn – Laipnit: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a; b] . Ta có:
b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a ).

a
b

∫ f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số

Chú ý: Tích phân

a

tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
b

b

b

a

a

a

F(b) – F(a) = ∫ ( f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = ... .
2. Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba điểm của khoảng K. Ta có:
a

* Tính chất 1:

∫ f ( x)dx =0.
a
b

* Tính chất 2:

∫

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx..

a

b

b

b

a

a

* Tính chất 3: ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx, ∀k ∈ R..
b

* Tính chất 4:

b

a

* Tính chất 5:

b

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx.
a

a

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.
b

* Tính chất 6: Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒

∫ f ( x)dx ≥ 0.
a
b

b

a

a

* Tính chất 8: Nếu f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a; b ] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx.
b

* Tính chất 9: Nếu m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ).
a

Bài toán 1. Tích phân của hàm số đa thức và hữu tỷ
I. Kiến thức áp dụng
x α +1
+ C.,
α +1

1. Công thức 1:

α
∫ x dx =

2. Công thức 2:

∫ x dx = ln x + C.;

1

II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau

(α ≠ −1)


1

a ) I 1 = ∫ ( x 3 − 4 x + 5)dx

3

3x + 5
dx.
x +1
1

b) I 2 = ∫

0

Bài giải
 x4

13
a) I1 =  − 2 x 2 + 5 x  10 = ;
4
 4

3

b) I2 = ∫ (3 +
1

2
)dx = [3 x + 2 ln( x + 1)] 13 = 6 + 2 ln 2.
x +1
4

Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =

∫x
3

dx
.
−4

2

Bài giải
4

1
1
1
1 x−2 4 1 5
Ta có: I = ∫ (
−
)dx = ln
ln .
3 =
4 1 x−2 x+2
4 x+2
4 3.
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:
3
2
dx
x2 −1
a) I = ∫ 2
b) J = ∫ 2
dx;
2
x
+
6
x

−
7
(
x
+
3
x
+
1
)(
x
+
x
+
1
)
2
1
Bài giải
3
1
1
1
1 x −1 3 1 9
a) I = ∫ (
−
)dx = ln
ln ;
2 =
8 2 x −1 x + 7

8 x+7
7 4.
1
1
d (x +
1− 2
2
2
1
1
1
1
7
x)

x
dx = ∫
= ln( x + + 1) − ln( x + + 3) 12 = (ln − ln 5)
b) J = ∫
1
1
1
1
2
2
2
x
x

1 (x +

1 (x +
+ 3)( x + + 1)
+ 3)( x + + 1)
x
x
x
x
1
4 x + 11
Ví dụ 4. ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I = ∫ 2
dx. ;
x
+
5
x
+
6
0
Bài giải
1
1
4( x + 2) + 3
1
1 
4
3
 4
+ 3(
−
Cách 1: I = ∫

dx = ∫ 
)dx = ... = [ln( x + 3) + 3 ln( x + 2)]. 10 = ln + 3 ln .
( x + 2)( x + 3)
x+3
x+2 x+3 
3
2
0
0 
Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định)
4 x + 11
a
b
Đặt: 2
=
+
, ∀x ≠ −2;−3.
x + 5 x + 6 ·x + 2 x + 3
4 x + 11
a ( x + 3) + b( x + 2) (a + b) x + 3a + 2b
⇔ 2
=
=
( x + 2)( x + 3)
x + 5x + 6
x 2 + 5x + 6
a + b = 4
a = 3
⇔
⇔

;
3a + 2b = 11
b = 1
1
3
1
4
3
)dx = [3 ln( x + 2) + ln( x + 3)] 10 = ln + 3 ln .
Khi đó: I = ∫ (
+
3
2
x+2 x+3
0
2

x2
Ví dụ 5. ĐHYHN-2000. Tính tích phân sau: I = ∫ 2
dx. ;
1 x − 7 x + 12
Bài giải
Cách 1. Phân tích:


2

2

x 2 − 7 x + 12 + 7( x − 3) + 9

7
1
1 

+ 9(
−
dx = ∫ 1 +
) dx
∫1
( x − 3)( x − 4)
x−4
x − 4 x − 3 
1 
2
1
= [x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ] 12 = 1 + 16 ln − 9 ln .
3
2
Cách 2. (Phương pháp hệ số bất định)
 a = −9
x2
a
b
Đặt: 2
= 1+
+
⇔ ... ⇔ 
x·−3 x − 4
x − 7 x + 12
b = 16

(Bạn đọc tự làm)
Ví dụ 6. ĐHNT-2000. Tính tích phân sau:
2
1
x 2 + 3x + 2
x 2 + 3 x + 10
dx b) J = ∫ 2
dx.
a) I = ∫ 2
x
+
x
+
1
x
+
2
x
+
9
0
0
Bài giải
2
2x + 1
)dx = x + ln( x 2 + x + 1) 02 = 2 + ln 7 .
a) I = ∫ (1 + 2
x + x +1
0

I=

[

1

b) J = ∫ (1 +
0

]

1
1 4
x +1


)dx =  x + ln( x 2 + 2 x + 9) 10 = 1 + ln .
2
2 3
x + 2x + 9


2

1

Ví dụ 7.ĐHNT-1999. Tính tích phân sau: I =

∫ (x
0

2

dx
..
+ 3 x + 2) 2

Bài giải
1
1
 1

1
1 2
1
2
I = ∫(
−
) dx = ∫ 
+
−
 dx
2
2
x
+
1
x
+
2

(
x
+
1
)(
x
+
2
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)


0
0
1 1 1
4 2
4
−1
x +1 1
 −1
= 

+
− 2 ln
+ − − 2 ln = − 2 ln .
0 = 1−

2 2 3
3 3
3
x + 2
 x +1 x + 2
1+ 5

Ví dụ 8. ĐHTN – 2001. Tính tích phân sau: I =

∫
1

x2 −1
dx
x4 + x2 +1

Bài giải
1+ 5

∫

Ta có: I =

1

1
1
1
1
1− 2
)
x + −1
1+ 5
1+ 5 d ( x +
2
1
x
x
x = ... = ln
x
dx = ∫
dx = ∫
1
1
1
1
2
1 (x +
1 (x +
x2 + 2 +1
)2 −1
)2 −1
x + +1
x
x

x
x
1−

III. Bài tập áp dụng
3

x 2 .dx
1) A = ∫
;
9
2 (1 − x)
2

2

( x + 2 x − 2.dx
;
x3 + 1
1

2) A = ∫
1

C=

0

B=

dx
;
2
2
0 ( x + 3) ( x + 1)

D=∫

−1
4

2

dx
;
− 3x + 2

x 3 dx
;
10
2 ( x − 1)

B=∫

(2 x 3 − 10 x 2 + 16 x − 1).dx
;
∫
x 2 − 5x + 6
−1
1

∫x

1+ 5
1

= ...


1

3) A =

0

( x 3 − 3 x 2 + x + 6).dx
(7 x − 4)dx
∫−1 x 3 − 5 x 2 + 6 x ; B = −∫1 x 3 − 3x + 2 ;
2

2

dx
dx
; B=∫ 4
;
3
2
2
x + 2x + x

1 x + 4x + 3

4) A = ∫
1
2

1

( x 3 − x 2 − 4 x − 1).dx
x 3 .dx
5) A = ∫
;B = ∫ 8
;
2
x4 + x3
1
0 ( x − 4)
2

3

dx
(1 − x 4 ).dx
;
B
=
∫1 x.( x 4 + 1) ;
x( x 6 + 1) 2

6) A = ∫

1

3

3x 2 + 2
7) (CĐSP HN 2000): I = ∫
.dx
2
0 1+ x
1

8) (ĐHNL TPHCM 1995) I = ∫
0

dx
x + 5x + 6
2

1

x
.dx
3
0 (1 + 2 x )

9) (ĐHKT TPHCM 1994) I = ∫
1

( x 3 + 2 x 2 + 10 x + 1).dx
x 2 + 2x + 9

0

10) (ĐHNT HN 2000) I = ∫

1

(4 x + 11).dx
2
0 x + 5x + 6

11) (ĐHSP TPHCM 2000) I = ∫
1

3.dx
x3 + 1

12) (ĐHXD HN 2000) I = ∫
0
1

13) (ĐH MĐC 1995 ) I = ∫
0

dx
x + 4x 2 + 3
4

14) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để
I =∫

3x 2 + 3x + 3
A
B
C
=
+
+
Tính
3
2
x −1 x + 2
x − 3 x + 2 ( x − 1)

3x 2 + 3x + 3
.dx
x 3 − 3x + 2
1

15) (ĐHTM 1995) I = ∫
0

x 5 .dx
x2 +1
2

(1 − x 2 ).dx
16) (ĐH Thái Nguyên 1997) I = ∫
x4 +1
1

HD : t =

1
+x
x
3

17) Xác định các hằng số A,B để
3

18 ) A =

4

x 5 dx
∫ x6 − x3 − 2 ; B =
3
3

1

∫
0

x+2
A
B
( x + 2)
=
+

Tính I = ∫
.dx
2
2
2
x +1
( x + 1)
( x + 1)
2 ( x + 1)

2 x 2 + 2 x + 13
dx ;
( x − 2 )( x 2 + 1) 2


Bài toán 2. Phương pháp đổi biến số
Dạng 1. Đặt x = u(t)
 π π
* x = sint, t ∈ − ; 
 2 2
 π π
* x = tant, t ∈  − ; 
 2 2
3

∫

Ví dụ 1. Tính tích phân : I =

9 − x 2 dx;

0

Bài giải
 π π
Đặt x = 3sint, t ∈ − ; 
 2 2
*x=0 ⇒ t=0

*x=3 ⇒ t=
⇒

π
2

9 − x 2 dx = 9(1 − sin 2 x) .3 cos xdx = 9 cos 2 xdx =

9
(1 + cos 2 x)dx
2

π
π

9π
92
9
1
⇒ I = ∫ (1 + cos 2 x)dx = ( x + sin 2 x) 02 =
.

20
4
2
2
4

Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =

∫

4 x − x 2 dx

2

Bài giải
4

I=

∫

4

4 − ( x − 4 x + 4)dx = ∫ 4 − ( x − 2) 2 dx;
2

2

2

 π π
Đặt x -2 = 2sint, t ∈ − ; 
 2 2
*x=0 ⇒ t=0

π

*x=3 ⇒ t=

2

⇒ 4 − ( x − 2) dx = 4(1 − sin 2 x) .2 cos tdt = 2 cos 2 tdt = (1 + cos 2t )dt
2

π

⇒ I = ∫ (1 + cos 2t )dt = ... = π .
0

⇒ Tổng quát 1 :

∫

a 2 − x 2 dx =

a 2π
, a > 0.
4

Phương pháp : Đặt x = asint.

a

Ví dụ 3. ĐHSP1-2000. Tính tích phân : I =

∫x
0

Bài giải
 π π
Đặt x = asint. t ∈ − ; 
 2 2
*x=0 ⇒ t=0

2

a 2 − x 2 dx; với a > 0.


*x=a ⇒ t=

π
2

⇒ x2 a 2 − x 2 dx = a 2 sin 2 t. a 2 (1 − sin 2 t ) .a cos tdx = a 4 sin 2 t cos 2 tdx =

a4
a4
sin 2 2tdt =
(1 − cos 4t )dt

4
8

π
4 2

a 4π
∫0 (1 − cos 4t )dt = 16 .

a
⇒ I=
8

5

Ví dụ 4. Tính tích phân : I =

1

∫5+ x

2

dx

0

Bài giải
 π π
5 tant, t ∈  − ; 

 2 2
*x=0 ⇒ t=0

Đặt x =

*x=

5 ⇒ t=

π
4

π
5

⇒

1
∫0 5 + x 2 dx =

π
2

4

5 (1 + tan t )
dt =
1 + tan 2 t

∫

0

4

∫

5π
4

5dt =

0

a

1
aπ
dx =
, a > 0.
2
4
+a
0
Ví dụ 5. Tính tích phân sau
⇒ Tổng quát 2 :

∫x

Phương pháp : Đặt x = atant.

2

1
1

a) I = ∫
0

2

dx
2
x + x +1

b) HVTC − 2000 : J =

∫
0

xdx
;
x + x2 +1
4

Bài giải
1

dx
1 2 3
0 (x +

) +
2
4
1
3
 π π
Đặt x+ =
tan t. t ∈  − ; 
2
2
 2 2

a) I =

∫

*x=0 ⇒ t=

π

*x=1 ⇒ t=

π

π
1

3

6

3
π
3
(1 + tan 2 t )
3
3
3π
2
dt
=
dt =
.
2
∫
12
1 + tan t
π 2

dx
=
1 2 3 π∫
0 (x +
) +
2
4 6
1
b)Đặt x2 + = 3 tan t (Làm tương tự).
2
⇒I =

∫

1
2

Ví dụ 6. Tính tích phân sau : I =

∫
0

x dx
1− x4

6


Bài giải
 π π
Đặt x2 = sint, t ∈ − ; 
 2 2

*x=0 ⇒ t=0
*x=

⇒ xdx =

1
cosxdx ;
2

1
1− x4

=

1
2

1
1 − sin 2 x

⇒t =

=

π
6

1
⇒
cos x

xdx
1− x4

=

1
dx
2

π
6

⇒ I=

π

1

∫ 2 dx = 12
0

b

Ví dụ 7. HVKTQS – 2001. Tính tích phân sau: I =

a − x2
∫0 (a + x 2 ) 2 dx; a, b > 0.

Hướng dẫn : Đặt x = a tan t
a − x2
a (1 − tan 2 t )
1
cos 2t
⇒
dx
=
. a.
dt = .... =

dt
2 2
2
2
2
2
(a + x )
a (1 + tan t )
cos t
a
b
⇒ I = ..... =
.
a + b2
Dạng 2. Đặt t = u(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân sau :
1

a ) I = ∫ (3 x + 2)( x + 1) dx
6

1

b) DHL.TPHCM − 2001 : J = ∫ x 5 1 − x 3 dx.

0

0

Bài giải

a) Đặt t = x+1
* x=0 , t = 1 và x = 1, t = 2.
⇒ x = t – 1 ⇒ dx = dt
2
3t 8 t 7 2
⇒ I = ∫ (3t − 1)t 6 dt = (
− )1=
8
7
1
b) Đặt t = 1 − x 3 * x = 0 ⇒ t = 1
*x=1 ⇒ t=0
3
2
⇒ x =1–t
− 2tdt
− 2t 2 dt − 2 3 5
5
3
2
⇒ x dx =
⇒ x 1 − x dx = (1 − t ).t.
=
(t − t )dt
3
3
3
1
2
2 t4 t5 1 1

⇒ I = ∫ (t 3 − t 5 )dt = ( − ) =
30
3 4 5 0 30
2

9

Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =

dx

∫1+
1

Bài giải
Đặt t = 1 + x

*x=1 ⇒ t=2
*x=9 ⇒ t=4

Khi đó x = t2 -2t + 1 ⇒ dx = (2t -2)dt
4

x

dx

⇒

1+ x

2
⇒ I = ∫ (2 − )dt = (2t − 2 ln t ) 42 = 4 − 2 ln 2.
t
2

=

2t − 2
dt
t


2

Ví dụ 3. ĐHK.A-2004. Tính tích phân sau: I =

∫1+

xdx
x −1

1

Bài giải
Đặt t = 1 + x − 1

*x=1 ⇒ t=1
*x=2 ⇒ t=2
2

⇒ x = t – 2t + 2 ⇒ dx = (2t-2)dt
⇒ I=
2
2
2
(t 2 − 2t + 2)(2t − 2)
2t 3 − 6t 2 + 8t − 4
4
2t 3
11
2
dt
=
dt
=
(
2
t
−
6
t
+
8
−
)
dt
=
(
− 3t 2 + 8t − 4 ln t ) 12 = − 4 ln 2 .
∫1

∫
∫
t
t
t
3
3
1
1

Ví dụ 4. Tính tích phân sau
2 3

a)ĐHK.A-2003 : I =

∫

5

4

dx

b) DHAN − 1999 : J =

x x2 + 4

∫x
7

dx
x2 + 9

2 2

c) K =

∫

3

dx
x x2 +1

Bài giải
a) Đặt t =

x2 + 4

5 ⇒ t=3

*x=

* x= 2 3 ⇒ t = 4
xdx
tdt
1 1
1
= 2
= (

−
⇒ x2 = t2 -4 ⇒ xdx = tdt ⇒
)dt
x 2 x 2 + 4 (t − 4).t 4 t − 2 t + 2
4

1
1
1
1 t−2 4 1 5
⇒ I = ∫(
−
)dt = ln
ln
3=
4 3 t −2 t+2
4 t+2
4 3
b) + c) Làm tương tự.
ln 2

Ví dụ 5. Tính tích phân sau : I =

∫
0

dx
ex + 7

Bài giải

*x=0 ⇒ t=2 2
* x = ln2 ⇒ t = 3
dx
e x dx
2tdt
1
1
1
⇒ ex = t2 – 7 ⇒ exdx = 2tdt ⇒
=
= 2
=
(
−
)dt
7 t− 7 t+ 7
e x + 7 e x e x + 7 (t − 7).t

ex + 7

Đặt t =

1

⇒ I=

7

3

∫
2 2

(

1
t− 7

−

1
t+ 7

)dt =

1
7

ln

t− 7
t+ 7

3
2 2

ln 5

Ví dụ 6. ĐHK.B-2006. Tính tích phân sau : I =

∫e

ln 3

Bài giải
Đặt t = ex

x

=

1
7

(ln

3− 7
3+ 7

− ln

dx
+ 2e − x − 3

* x = ln3 ⇒ t = 3
* x = ln4 ⇒ t = 4
dx
e x dx
dt
1

1
⇒ dt = exdx ⇒ x
=
= 2
=(
−
)dt
−x
e 2 x − 3e x + 2
t − 2 t −1
e + 2e − 3
t − 3t + 2
4

⇒I = ∫(
3

1
1
t−2 4
4
−
)dt = ln
3 = ln
t − 2 t −1
t −1
3

2 2− 7
2 2+ 7

).


Ví dụ 7. Tính tích phân sau :
ln 2
1− ex
a) ĐHTM-97 : I = ∫
dx b) HVQY – 97 : I =
x
1
+
e
0
Hướng dẫn
Đặt t = ex, làm tương tự như VD5, VD6.
e

Ví dụ 8. ĐHHH – 98. Tính tích phân : I =

∫ x.
1

Bài giải
Đặt t = 1 + ln x

ln 3

∫
0

ln x
1 + ln x

1
1+ ex

ln 2

dx c) ĐHBK – 2000 : I =

∫
0

e2x
1+ ex

dx

dx

* x = 1 ⇒t = 1
*x=e ⇒ t=

2
ln x

dx
t 2 −1
= 2tdt ⇒

⇒ lnx = t – 1 ⇒
dx =
.2tdt = (2t 2 − 2)dt
x
t
x. 1 + ln x
2

2

2t 3
4−2 2
− 2t ) 1 2 =
.
3
3
1
Ví dụ 9. Tính tích phân sau:
⇒ I=

2
∫ (2t − 2)dt = (

e

a) ĐH.K.B – 2004.: I =

1 + 3 ln x . ln x
dx b) HV CTQG.TPHCM – 1999: J =
x.

∫
1

Bài giải
a) Đặt t = 1 + 3 ln x

*x=1 ⇒ t=1
*t=e ⇒ t=2
2
t −1
dx 2tdt
1 + 3 ln x . ln x
t 2 − 1 2tdt 2 4 2
⇒ lnx =
⇒
=
⇒
dx = t.
.
= (t − t )dt
3
x
3
x
3
3
9
2
5

3
2
2 t
t
2 31 7 116
⇒ I = ∫ (t 4 − t 2 )dt = ( − ) 12 = ( − ) =
;
91
9 5 3
9 5 3 135
b) Làm tương tự.

Bài tập áp dụng
1

1) A = ∫ x15 . 1 + 3 x 8 .dx; B =
0

∫ x.
4

A = ∫ x . a − x .dx; B = ∫
2

2

2

0

1

0

3) A =

2

dx

∫

x2 + x +1

−1

1

4) A =

2a − x 2 .dx(a > 0)

0

a

2)

2a

; B=∫
1

dx
x(1 + x )
dx

( x + 1)( x + 2)

0

1 − x 2 .dx
dx
; B= ∫
2
x
x+2
−1 x − 4 +

∫
1
2
2

5) A = ∫
1

( a > 0)

dx

2

x. x + 1

2 2

; B=

∫
0

x x 2 + 1.dx

e

ln x.3 2 + ln 2 x
dx ;
∫1
x.


1

6) A = ∫
0

x3 + 1

4

−3

7) A =

7
2

x dx

1− x

−8

0

8) (*) A =

∫

2x + 1

0

3

dx

∫x

dx

; B=∫3

( x + 1 − 2)dx

; (*)B = ∫

2

x + 2x + 1 + x + 1

0

x + 1 dx
;
x −1 x +1

3

−1

1

9) A = ∫ 4 − x dx; B =
2

0

0

∫

x 2 + 2 x + 2 .dx

−1

2

2

x −1
dx; D =
x

C=∫
1

1

1− x2
.dx
x2

∫
1
2

1

10) (HVNH THCM 2000) I = ∫

0

x 3 .dx
x + x2 +1

2

11) a)(ĐH BKHN 1995) I =

∫
2

dx
x. x 2 − 1

3
1

dx

∫1+ x +

b) .(HVKTQS 1998) I =

−1

4

12) (ĐHAN 1999) I =

x2 +1

dx

∫ x.

x2 + 9

7

1

13) (ĐHQG HN 1998) I = ∫ x 3 . 1 + x 2 .dx
0
2

14) (ĐHSP2 HN 2000) I = ∫
1
1

15) (ĐHXD HN 1996) I = ∫

dx
x. x 3 + 1
( x 2 − 1).dx

0
7

16) (ĐHTM 1997) I =

∫
0

x +1

x 3 .dx
3

1+ x2
1

17) (ĐHQG TPHCM 1998) I = ∫
0

x.dx
2x + 1

Bài toán 3. Phương pháp tích phân từng phần.
I. Công thức tích phân từng phần
b

b

a

a

Ta có: ∫ udv = uv ba − ∫ vdu .

II. Phương pháp giải toán


b

Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =

∫ f ( x)dx.
a

Phương pháp chung:
b

Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =

∫

b

f ( x)dx. =

a

∫ f ( x). f
1

2

( x)dx.

a

u = f1 ( x)
du
⇒

dv = f 2 ( x)dx v

Bước 2: Đặt:

Bước 3: Khi đó: I =

b

b

a

a

b
∫ udv = uv a − ∫ vdu .

1

Ví dụ 1. ĐHK.D – 2006: Tính tích phân sau: I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx.
0

Bài giải

du = dx
u = x − 2
1

Đặt: 
⇒ I = ( x − 2) e 2 x
⇒
1 2x
2x
2
dv = e dx v = e dx
2


1

1
0

1` 2 x
1
1 2x 1
5 − 3e 2
2
− .∫ e dx = (−e + 2) − e 0 = ... =
.
2 0
2
4
2

Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
1

a) DHHH − 99 : I = ∫ (2 x + x + 1)e dx
2

x

1

b)CDGT3 − 2004 : J = ∫ (4 x 2 − 2 x − 1)e 2 x dx

0

0

Hướng dẫn: Từng phần 2 lần.
π
2

Ví dụ 3. TN.THPT-2008: Tính tích phân sau:

I = ∫ (2 x − 1) cos xdx.
0

Bài giải
u = 2 x − 1
du = 2dx
Đặt: 

⇒
⇒ I = .... = ((2x-1)sinx + 2cosx)
dv = cos xdx v = sin x
π

( )3
2

∫ sin

Ví dụ 4. ĐH KT – 2001. Tính tích phân sau: I =

3

x dx .

0

Bài giải
Đặt t = 3 x

*x=0 ⇒ t=0

π

π

* x = ( )3 ⇒ t =
2
2

π
2

⇒ x = t ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = ∫ 3t 2 sin t.dx.
3

2

0

Bạn đọc tự giải( Từng phần 2 lần).
3

Ví dụ 5. ĐHK.D-2004. Tính tích phân sau : I = ∫ ln( x 2 − x)dx .
2

Bài giải

π
2
0

= π − 3.

.


2x −1

u = ln( x 2 − x) du = 2

dx
Đặt: 
⇒
x −x
dv = dx
v = x
3

⇒ I = xln(x2-x) 32 − ∫
2

2x − 1
dx = 3 ln 6 − 2 ln 2 − (2 x + ln( x − 1)) 32
x −1

= ln216 - ln4 – 2 – ln2 = ln27 – 2.

Ví dụ 6. Tính tích phân :
10

e

a)ĐH K.D – 2007: I =

3
2
∫ x ln xdx.

b) ĐHL.TPMCM : J =

1

∫x

lg 2 xdx.

1

Bài giải
2 ln x

du = x dx
u = ln 2 x
a) Đặt : 
⇒
dv = x 3 dx 
x4
v
=

4
e
4
2
3
x ln x e
x ln x
e4
⇒ I=
dx =

− I1
1 −∫
4
2
4
1
1

du1 = dx
u1 = ln x
e

5e 4 − 1
x 4 ln x e x 3
e4 e4 −1

x

Đặt : 
⇒ I1 =
⇒ I=
.
dx = ... =
−
1 −∫
1 3 ⇒
4
32
8
8

8
32
1
dv1 = x dx v = x

2
 1 8
b) Làm tương tự.

Ví dụ 6. Tính tích phân sau :
π
2

x
∫ e sin xdx

a) I =

π
2

b) J = ∫ e x cos xdx;

0

0

Hướng dẫn

u = e x

a) Từng phần 2 lần, đặt : 
;
dv
=
sin
xdx

b) Làm tương tự.

u1 = e x
;

dv
=
cos
xdx
 1

Ví dụ 7. CĐSP.Tây Ninh – 2003. Tính tích phân sau :
eπ

e

1

1

a ) I = ∫ cos(ln x)dx; b) J = ∫ sin(ln x)dx. ;
Hướng dẫn
Đặt : t = lnx và từng phần 2 lần.

Bài tập áp dụng
Tính các tích phân sau:

e

1/. I = ∫ x2 ln xdx

1

π

2/. (CĐSP Hà Nam A2004)

T=

π

4
2
∫ x tan xdx
0

2
3/.(CĐ KTKT I - 2005) T = ∫ e3x sin5 xdx
0

e ln x
dx

2
1x

4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = ∫

π

x.sin 2 x
dx
0 sin 2 x.cos2 x
3

5/.(CĐ SP STrB 2005)

T= ∫

6/. .(CĐ SP Vĩnh Long A05)

T=

e
∫ x ln xdx
1

π2

T = 4∫

7/. (CĐ CN Hà Nội 2005)

x .cos x.dx

0
1

8/.(CĐ SP QNam05)

T = x(e 2 x + 3 x − 1) dx
∫
0

9/. (CĐ Y tế ThHoá05)

T=

ln2 5 x2
∫ x e dx
0
π

10/. (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002)

4

T104 = ∫ ln(1 + tan x)dx
0

11/. (ĐH Luật, Dược 01-02)

10

T107 = ∫ x lg 2 xdx
1

1

2

2

0

0

1

12/. a ) ∫ ( x − 3)e 3 x dx b) ∫ ( x 2 − 3 x)e − x dx c) ∫ ln( x 2 + 10 x)dx

2

d ) ∫ (4 x + 3) ln xdx
1

3

e) ∫ (6 x 2 − 4). ln 2 xdx .
1


Bài toán 4. Tích phân của hàm số lượng giác

Ví dụ : Tính các tích phân sau
π

π

π

2

3

4

dx
tan x.dx
; B=∫
2
1 + sin x + cos x
π cos x − sin x.cos x
0

1) A = ∫

3) A =

6

2
( x + sin x)dx
2

2
;
B
=
∫0 1 + cos x
∫0 sin x. cos 2 x.dx

π
2

π
3

2) A =

∫
0

3
tan 4 x.dx
; B = ∫ ( cos x − sin x ).dx
cos 2 x
π
6

Bài tập

π

4) A =

x. cos x.dx
;
2
x

∫ 1 + sin
0


1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
π

π

2

2
sin 2 x.dx
sin 2 x.dx
;
va
J
=
4
4
∫
0 1 + sin x
0 cos x + 1
2) (ĐHSP TPHCM 1995)

sin x
Cho f ( x) =
sin x + cos x

I=∫

 cos x − sin x 
a) Tìm A,B sao cho f ( x) = A + B

 cos x + sin x 
π
3

b) Tính I = ∫ f ( x).dx
0

3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
π

π

2
cos 4 x.dx
sin 4 x.dx
a) CMR ∫
=
4
4
∫0 cos 4 x + sin 4 x
0 cos x + sin x

2

π

cos 4 x.dx
4
4
0 cos x + sin x
2

b) Tính I = ∫

π
2

4) (ĐHTS 1999) Tính : I = ∫ sin x. cos x.(1 + cos x) 2 .dx
0

π
4

dx
4
0 cos x

5) (ĐHTM HN 1995) Tính I = ∫
π

4. sin 3 x.dx
∫0 1 + cos 4 x

4

6) (HVKTQS 1999):Tính I =

π
2

cos 2 x.dx
1 + cos x
0

7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) I = ∫
π

sin 3 x.dx
2
0 1 + cos x
2

8) (ĐHQGHN Khối A 1997) I = ∫
π
2

1 + sin 2 x + cos 2 x.
.dx
sin x + cos x
π

9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính I = ∫
6

π
2

10) (ĐHQG TPHCM 1998) I = ∫ cos 3 x. sin 2 x.dx
0

π
4

sin 4 x.dx
2
0 1 + cos x

11) (HVNH TPHCM 2000) I = ∫

12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số h( x) =

sin 2 x
(2 + sin x) 2


a) Tìm A,B để h( x) =

A. cos x
B. cos x
+
2
2 + sin x
(2 + sin x)

0

b) Tính I =

∫π h( x).dx

−

2

π
2

13) (ĐHBK HN 1998) I = ∫ cos 2 x.(cos 4 x + sin 4 x).dx
0

π
3

( x + sin x).dx
cos 2 x
0

14) (HVNH TPHCM 2000) I = ∫