Các bài toán liên quan đến tính chất liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số

Các bài toán liên quan đến tính chất liên tục
của hàm số, đạo hàm của hàm số
I. các kiến thức cơ bản
ĐN: Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm
f ( x) = f ( x0 )
x0 ∈ ( a; b) ) nếu xlim
→x
0

- Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng
(a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b]
f ( x) = f (0) và
nếu nó liên tục trên khoảng (a; b), xlim
→a
+

lim f ( x) = f (b)

x →b −

* Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) và M là 1 số nằm
giữa f(a) và f(b) thì ít nhất 1 số c ∈ ( a; b ) ) sao cho f(c) = M.
* Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm
f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

* ý hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x1 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
hàm số đó tại điểm M0(x0 ; f(x)).
*Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm
M0(x0 ; f(x0)) là : y = f’(x)(x - x0) + f(x0)
* Định nghĩa đạo hàm cấp n
F(x)(x) = [F(n - 1) )(x)]’ (n ∈ N , n ≥ 2)
*Định nghĩa vi phân df(x) = f’(x)dx
* ứng dụng cơ bản của vi phân vào tích phân gần đúng.
F(x0 +

∆ x) ≈

f(x0) + f’(x0)

∆x

ii. các bài toán điển hình
1


1. Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên 1 khoảng, 1 đoạn.
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 1 điểm cho trước.
a) f(x) =

 x2 − 4

 x−2
− 4



với x ≠ -2
với x = -2

tại điểm x = -2

b) f(x) =

4 − 3x 2
 3
 x

với x ≤ -2
với x > -2

tại điểm x = -2

Lời giải:
a) Ta có
⇒

( x − 2 )( x + 2 ) = lim x − 2 = −4 = f (−2)
x2 − 4
= lim
(
)
x→ −2 x + 2
x →− 2
x→ −2

x+2

lim f ( x ) = lim

x →− 2

hàm số đã cho bên trục tại x = -2

lim+ f (x) = lim+ x3 = (−2)3 = − 8
b) Ta có x→−
2
x→−2

(

)

lim− f ( x) = lim− 4 − 3x2 = 4 − 3(−2)2 = −8

x →− 2

⇒
⇒

x →−2

lim f (x) = lim+ f (x) = − 8 ⇒ lim f (x) = − 8 = f (−2)

x→−2−

x→−2

x→−2

Hàm số đã cho liên tục tại x = -2

Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số
x2
f(x) = 
2ax − 3

với x <1
với x ≥ 1

liên tục trên R

Lời giải:
* Với x <1

⇒

f(x) = x2

* Với x >1

⇒

f(x) = zax -3

⇒

⇒

f(x) liên tục tại mọi x <1
⇒

f(x) liên tục tại mọi x >1

để hàm số đã cho liên tục trên R

⇔ lim f (x) = f (1)
x→1

f (x) = lim(2ax − 3) = 2a − 3
Ta có: xlim
→1
x→1
+

+

lim− f (x) = lim− x2 = 1

x→1

x→1

f (1) = 2a - 3
2

⇒

hàm số đó liên tục tại x =1


Để hàm số liên tục tại x = 1
⇔ 2a

-3=1

⇔ lim+ f ( x) = lim− f (x) = f (1)
x→1

x→1

a=2

⇔

Kết luận: Với a = 2

⇒

hàm số đã cho liên tục trên R

2) Chứng minh phương trình có nghiệm trên 1 khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
f(x) = x3 + 2x2 + bx +c = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
Lời giải:
Ta có:

lim f ( x) = lim ( x3 + 2x2 + bx + c) =−∞

x→+∞

x→+∞

⇒ ∃ x2 ∈ R đủ lớn để f(x2) > 0

lim f (x) = lim(x3 + 2x2 + bx + c) =−∞

x→−∞

x→−∞

⇒ ∃ ( x1 ) ∈ R
⇒
⇒
⇒

để f(x1) < 0

Hàm số y = f(x) liên tục trên [x1; x2] và f(x1) f(x2) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên (x1; x2)
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình
x3 - 10000x2 -

1

=0
100

Có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải:
Ta xét hàm số: f(x) = x3 - 10000x2Ta có: f(0) = -

1
100

x→+∞

liên tục trên

R

<0

lim f ( x) = lim ( x3 −10000x2 −

x→+∞

1
100

1
) =+ ∞ ⇒ ∃a ∈ R
100

đủ lớn để

f(a) > 0 ⇒ Hàm số y = f(x) liên tục trên [0; a] và f(0) f(a) < 0
⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
Trên (0; a) ⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương.
3. Tính đạo hàm của 1 hàm số
3


Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số
a) y = sin(cos2x)cos(sin2x)
b) y = (x2 + 1)x+1
Lời giải:
a) Ta có: Sin(cos2x).cos(sin2x) =

1
sin(cos2 x + sin 2 x) + sin(cos2 x − sin 2 x)
2

1
1
1
sin1 + sin ( cos 2x )  = sin1 + sin ( cos 2x )
2
2
2
1
1
′ 1
⇒ y′ =  sin1 + sin ( cos 2 x ) ′ = 0 + ( cos 2 x )′ .cos. ( cos 2 x )
2

2
 2
1
= ( −2 ) sin 2 x.cos. ( cos 2 x )
2
= − sin 2 x.cos. ( cos 2 x )

=

b) Ta có: lny = (x + 1)ln(x2 + 1) vì y > 0 ∀ x ∈ R
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
′
= ( x + 1)  ln x 2 + 1  + ( x + 1)′ ln x 2 + 1
2 x ( x + 1)
2x
⇔ yy′ = ( x + 1) 2
+ ln x 2 + 1 =
+ ln x 2 + 1
x +1
x2 + 1

x +1  2 x ( x + 1)
2
⇔ y′ = x 2 + 1
+
ln
x
+
1



2
 x +1


(

y
y′

)

(

(

(

)

)

(

)

(

Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y =

)

1
x −1
2

Lời giải
Ta có:

y=

1

( x − 1 )( x + 1 )

=

1
2

 1
1 
−


 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 

1  (−1)
(−1) 
−



2
2  ( x − 1) ( x + 1)2 


1  1.2
1.2 
⇒ y′′ = 
−

2  ( x − 1)3 ( x + 1)3 


1  −(1.2.3) −(1.2.3) 
⇒ y′′′ = 
−

2  ( x − 1)4 ( x + 1)4 


⇒ y′ =

4

)


Ta sẽ chứng minh:
⇒ y (n) =

1  (−1)n .n ! (−1)n .n ! 
−


2  ( x − 1)n+1 ( x + 1)n+1 



Thật vậy: - (*) đúng với n = 1
- Giả sử (*) đúng với n = k, k
⇔y

(k )

⇒ y

(*) ∀n ∈ N *

∈N*

1  (−1)k .k ! (−1)k .k ! 
= 
−

2  ( x − 1)k +1 ( x + 1)k +1 



( k +1)

1  (−1)k .k !(−1)(k + 1)( x − 1)k (−1)k .k !(−1)(k + 1)( x + 1)k 
′
=  y  = 
−

2k +2
2k +2
2
x
−
1
x
+
1

( )
( )

(k )

1  (−1)k +1.(k + 1)! (−1)k +1.(k + 1)!
= 
−

k +2
2  ( x − 1)k + 2
x
+
1


( )

⇒

(*) đúng với n = k + 1 ⇒ (*) đúng với
(n)

Kết luận: Với y

∀n ∈ N *

1  (−1)n n! (−1)n .n! 
−

(x) = 2 
n+1
n+1
 ( x −1)
( x +1) 

4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Bài 1: Cho hàm số y = x2
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
a) Tại điểm (-2; 4)
b) Tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 3x - 2
Lời giải
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2; 4) là:
y’(-2) = 2(-2) = - 4 vì y’= 2x
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 3x - 2 là

nghiệm của phương trình x2 = 3x - 2 x2 - 3x + 2 = 0 ⇔

x = 1
x = 2


Vậy có 2 giao điểm là: A(1; 1) và B(2; 4)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A(1; 1) là: y’(1) = 2.1 = 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B(2; 4) là: y’(2) = 2.2 = 4

5


Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị Hàm số: y = x2 song song
với đường thẳng 2x + y + 3 = 0
Lời giải
Ta có: 2x + y + 3 = 0

y = - 2x - 3

⇔

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - 2x - 1 có
hệ số góc bằng - 2

→

y’(x) = - 2

⇔ 2x

= -2

tiếp điểm A(-1; 1)

⇔x

= -1

→

= -2x - 1

⇔ 2x

+y+1=0

Phương trình tiếp tuyến là :
y = - 2(x+1) + 1

⇔y

III. Những sai lầm thường gặp
a) Sai lầm khi xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số
f(x)

 1
1
= 1 + 3 x


0

nế u x ≠ 0

tại điểm x = 0

nế u x = 0

*Sai lầm thường gặp do:

lim f ( x) = lim
x →0

1

x →0

1+ 3

1
x

1

=

1 + lim 3

1

x

=0

vì

1
→∞
x

và f(0)=0

x →0

Nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
* Nguyên nhân sai lầm: lời giải trên không đúng do không xét giới hạn
trái và giới hạn phải tại x = 0
* Lời giải đúng:
Ta có:

lim+ f ( x ) = lim+

x→0

x→0

1

lim− f ( x) = lim−

x→0

x→0

1
x

1+ 3

Từ (1) và (2)

→

=

1
1

=0

(1)

vì x

→

0+

1+ 3x

1
1
x

1+ lim− 3

1 (2)
= =1
x

1

→

1
→ +∞ → 3 x → ∞
x
1

vì

x → 0− →

1
→ − ∞ ⇒ 3x → 0
x

x→0

không ∃ lim f ( x ) nên f(x) không liên tục tại x = 0

x →0

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số:

6


f(x)0 =

1 − cos x

 x sin x

0

nếu x ≠ 0

tại điểm x = 0

nếu x = 0

* Sai lầm thường gặp:
x
1− cos x
1− cos x
2
lim f (x) = lim
= lim
= lim
=

x→0
x→0
x sin x
x sin x 1+ cos x x→0 x sin x 1+ cos x
2sin2

(

)

(

)

  x 2

 1  sin  x
 1
1
1
1
2
 = .1.1.
= lim  
.
.
=

x→0 2
1+ cos x 4

  x  sin x 1+ cos x  2
  2 


* Nguyên nhân sai lầm: Tính sai lim
x→ 0

x
sin x

b) Sai lầm trong các bài toán đạo hàm
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số
f(x)0 =

 1 − cos x

x

 0

nếu x ≠ 0

tại điểm x = 0

nếu x = 0

* Sai lầm thường gặp: ta có f(0) = 0 nếu f’(0) = [f(0)]’ = (0)’ = 0
* Lời giải đúng.
f ( x) − f (0)
f ′(0) = lim

= lim
x→0
x→0
x−0

1 − cos x
1
−0
2sin2
x
x = limsin 1 = 1 vì x → 0 ⇒ 1 → ± ∞
= lim
x→0
x→0
x
x
x
x

* Nguyên nhân: Sai lầm khi cho sinx = 1 khi

→±∞

* Lời giải đúng:
1
x sin x − 0
f ( x) − f (0)
x = limsin 1
= lim
Ta có: f ′(0) = lim

x→0
x→0
x→0
x −0
x
x
m∈Z
→ 0 → lim sin
Chọn x = mπ 
m → +∞
x→0

1
= lim sin mπ = 0
x m→∞

7


x=

Chọn

1

π
2

n →∞


→ 0 ⇒ lim sin
n∈Z
x →0

+ 2nπ

Từ (1) và (2)

li m s i n
x→ 0

1
x

1
π

= lim sin  + 2nπ  = 1
n
→∞
x
2


không

∃

đạo hàm của hàm số tại x = 0

5. Một số đề bài
Bài 1 . Xét tính liên tục của f(x) tại x = 2
1 − 2 x − 3
khi x ≠ 2

f ( x) = 
2− x
1
khi x = 2


Bài 2: Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 0
 1 − cos 4 x
khi x ≤ 0

x sin 2 x
f(x) =  x + a

khi x ≥ 0
 x + 1

Bài 3. Cho hàm số

f ( x) =

x2 − 2 x + 3

CMR hàm số liên tục tại x = - 3

3x − 1

Nhưng không có đạo hàm tại x = - 3
Bài 4: Cho 2a + 3b + 6c = 0
CMR có ít nhất 1 nghiệm ∈ (0;1)
Bài 5. Cho các số thuộc a0, a1,…a2002 thoả mãn:

 a0 ≠ 0


a2002
a1 a2
 a0 + 2 + 3 + ... + 2003 = 0

CMR phương trình: a0 + a1x + a2x2 + …+ a2002 x2002 = 0
Có nghiệm trên [0; 1].
Bài 6: CMR phương trình
acosx + bsin2x + ccos3x = x
có nghiệm trên đoạn: [ − π ; π

] với ∀a, b, c ∈ R
vớ i x ≤ 2
với x > 2

8


 a 2 x 2
Bài 7: Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) = 
 (1 − a ) x

liên tục trên

R.

Bài 8: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sinx
Bài 9: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

2
x − 3x + 2
2

Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 5x + 2
biết tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng y = - 3x + 1
b) Vuông góc với đường thẳng y =
c) Đi qua A(0; 2)

9

1
x−4
7