Các bài toán liên quan đến tính toán và chứng minh trong đa giác

LỜI NÓI ĐẦU
Trong nền kinh tế thị trường hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các
ngành nghề, ngành giáo dục hơn bao giờ hết cần phải có sự đổi mới, vận động và phát
triển để khẳng định vai trò của mình. Có như vậy chúng ta mới đáp ứng được yêu cầu xã
hội, tạo ra cho xã hội những sản phẩm là những con người có tri thức, vững chắc luôn
năng động, sáng tạo, thích hợp với cuộc sống hiện đại.
Là một sinh viên, em thấy được vai trò và tầm quan trọng của việc học toán hiện
nay. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: Các bài toán liên quan đến
tính toán và chứng minh trong đa giác
Trong quá trình thực hiện đề tài em đã được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô
đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Bùi Trọng Kim. Em xin chân
thành các thầy cô đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.
Mặc dù em đã cố gắng nhiều song do thời gian và năng lực có hạn nên trong đề tài
này sẽ còn nhiều thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến để đề tài của em được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thơm
1
I. LÝ THUYẾT....................................................................................................................3
1. Đa giác.........................................................................................................................3
2. Đa giác đơn..................................................................................................................3
3. Đa giác lồi....................................................................................................................3
4. Đường chéo của đa giác...............................................................................................3
5. Đa giác đều..................................................................................................................3
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC................................................3
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC
..............................................................................................................................................4
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN....................................................................................................5
1. Tính số cạnh của một đa giác.......................................................................................5
2. Tính số đo góc trong đa giác........................................................................................9

3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác................................................13
4. Diện tích đa giác........................................................................................................18
4.1 Hàm diện tích: .....................................................................................................18
4.2 Diện tích đa giác đơn...........................................................................................18
4.3 Diện tích của các hình phẳng...............................................................................18
a. Hình đơn giản: .......................................................................................................18
b. Hình khả diện.........................................................................................................18
c. Các tính chất của diện tích đa giác.........................................................................18
4.4 Các công thức tính diện tích................................................................................19
5. Các khoảng cách trong đa giác..................................................................................24
6. Một số bài toán cơ bản khác......................................................................................26
IV. KẾT LUẬN CHUNG..................................................................................................28
1.Kết luận: .....................................................................................................................28
2. Lời cảm ơn.................................................................................................................29
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................29
2
I. LÝ THUYẾT
1. Đa giác.
Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n
≥
3) A
1
A
2…
A
n+1
sao cho đỉnh đầu A
a
và đỉnh
cuối A

n+1
trùng nhau, cạnh đầu A
1
A
2
và cạnh cuối A
n
A
n+1
( cũng coi là hai cạnh liên tiếp)
không nằm trên một đường thẳng.
Đa giác như thế kí hiệu là A
1
A
2…
A
n.
Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác. Các điểm A
i
gọi
là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng A
i
A
i+1
gọi là các cạnh của đa giác. Góc A
i-1
A
i
A
i+1

gọi là góc đa giác ở đỉnh A
i
.
2. Đa giác đơn
ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm
chung.
3. Đa giác lồi
ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một
cạnh nào của đa giác đó.
4. Đường chéo của đa giác
ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường chéo của đa
giác đó.
ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch thành 2 đa giác
có số cạnh bé hơn n.
5. Đa giác đều.
ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau.
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC
VD1: Cho hình n_ giác lồi.
a. Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)180
0
.
b. Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác.
Giải:
a. Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó.
Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác.
Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng
3
(n - 2).180
0
.

b. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 180
0
.
Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.180
0
.
Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).180
0
.
Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.180
0
– (n - 2).180
0
= 360
0
= 4v
Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa
giác.
VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả
µ
A
đường chéo.
Giải:
Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từ
đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh
của đa giác).
Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo.
Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo.
Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả
( 3)

2
n n −
đường
chéo.
Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn thẳng nối đỉnh
đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác.
+ Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2
lần) => số đoạn thẳng thực sự là
( 1)
2
n n −
.
+ Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác.
Vậy hình n_ giác có
( 1)
2
n n −
- n =
( 3)
2
n n −
đường chéo.
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN
TRONG ĐA GIÁC
1. Tính số cạnh của một đa giác.
2. Tính số đo góc trong một đa giác.
3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác.
4. Diện tích đa giác.
4
5. Các khoảng cách trong đa giác.

6. Một số bài toán cơ bản.
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN
1. Tính số cạnh của một đa giác.
Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 570
0
.
Tính số cạnh của đa giác đó và
µ
A
Giải:
Ta có (n - 2). 180
0
–
µ
A
= 570
0

⇔

µ
A
= (n - 2).180
0
– 570
0
.
Vì 0
0
<

µ
A
< 180
0

⇒
0 < (n - 2). 180
0
– 570
0
< 180
0
.

⇔
0 < n - 5
1
6
< 1
⇔
5
1
6
< n < 6
2
3
1
6
Vì n
∈

N nên n = 6.
Đa giác đó có 6 cạnh và
µ
A
= (6 - 2). 180
0
– 570
0
= 150
0
.
Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có:
a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ
một góc ngoài).
b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh.
c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570
0
.
Giải:
a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).
+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).180
0
.
+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 360
0
.
Theo giả thuyết ta có: (n - 2).180
0
= 360
0

⇔
n = 4
Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4.
b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).
Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có:
n(n-3)
2
= 2n
⇔
n
2
– 3n = 4n
⇔
n = 7.
Vậy đa giác đó có 7 cạnh.
c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570
0
nên:
5
(n - 2).180
0
-
µ
A
= 2570
0
.
⇔

µ
A
= (n - 2).180
0
– 2570
0
.
Vì 0
0
<
µ
A
< 180
0

⇒ 0 ( 2)180 2570 180n< − °− ° <
14,2 15,2n⇔ < <
Vì n
∈
N
⇒
n = 15.
Vậy đa giác đó có 15 cạnh.
Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là
2
3
. Tính số cạnh của mỗi đa giác đó.
Giải:
Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n
∈

Z, m,n > 2).
Theo bài ra ta có:
0 0
(n-2).180 (m-2).180
:
n m
=
2
3
.
Vì m
∈
Z, m > 2 nên m + 4
∈
Z và m + 4 > 6
⇒
n – 6 < 0
⇔
n < 6.
Khi đó m,n có 3 trường hợp sau.
TH 1:
n - 6 = -2 n = 4
m + 4 = 12 m = 8
 
 
 
 
 
⇔
TH2:

n - 6 = - 3 n = 3
m + 4 = 8 m = 4
 
 
 
 
 
⇔
TH3:
n - 6 = - 3 n = 3
m + 4 = 8 m = 4
 
 
 
 
 
⇔

Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4.
Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh. Một
trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao
nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh.
Giải:
+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh
6
Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh.
Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh.
+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1
⇒
Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1.

+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99
⇒
Tổng số
đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh.
+ Ta có 4n + 4
≥
100.20 + 3 (n - 99)
⇔
n
≥
1699.
Vậy số lần cắt ít nhất là 1699.
+ Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của hình vuông để
được 100 hình chữ nhật.
Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa giác 20 cạnh.
Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt).
Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng
nào đồng quy. Chứng minh rằng:
a. Khi n
≥
1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành P
n
=
2
+ n + 2n
2
phần.
b. Khi n
≥
3 thì trong P

n
phần nói trên có Q
n
=
2
- 3n + 2n
2
đa giác.
Chứng minh:
a. n = 1 ta có: P
1
=
+ 1 + 21
2
= 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2
phần
⇒
mệnh đề nói đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng
cho trường hợp n đường thẳng.
Giả sử ta có n đường thẳng d
1
, d
2
, …d
n
, thoả mãn điều kiện bài toán.
Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d
1
, d

2
, …d
n- 1
nên n -1 đường thẳng đó
chia mặt phẳng thành P
n
phần với P
n
=
2 2
(n - 1) + (n - 1) + 2 n - n + 2
=
2 2
.
Đường thẳng d
n
bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong đó có n – 2 đoạn
thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là
1
∆
,
2
∆
,….
n
Δ
.
Mỗi
i
Δ

đều nằm trong một và chỉ một D
j
nào đó và chia D
j
thành 2 phần bởi vậy số phần
mà n đường thẳng phân chia là:
7
2 2
n n-1
n - n + 2 n + n + 2
= P + n= =
2 2
P
Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng
⇒
đpcm.
b. Khi n = 3 ta có
2
3
3 - 3.3 + 2
Q =
2
= 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một
cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác
⇒
Mệnh đề b
đúng khi n = 3.
Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n
≥
4) và ta chứng minh

b, đúng cho trường hợp n đường thẳng.
Giả sử ta có n đường thẳng d
1
, d
2
, …d
n
(đôi một cắt nhau và không có 3 đường
thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d
1
, d
2
, …d
n -1
nên trong
số phần chúng phân chia mặt phẳng có :
2 2
n - 1
(n - 1) - 3(n - 1) + 2 n - 5n + 6
Q = =
2 2
phần là đa giác mà ta kí hiệu các phần đó là :
2
1 k
D ,D ,...D
(với
2
n - 5n + 6
k =
2

).
Đường thẳng d
n
bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó có n – 2
đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là
1 2 n-2
Δ ,Δ ,...Δ
. Mỗi một đoạn
1
∆
nằm trong một đa giác
j
D

nào đó và chia
j
D
thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là:
2 2
n
n-1

n -5n+6 n - 3n + 2
Q = Q + n-2 = + n - 2 =
2 2
⇒
Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng
⇒
đpcm.
Bài tập đề nghị:

Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là
ngũ giác đều.
Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiện giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ
nhất bằng cạnh của nó.
Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa giác đều có n
cạnh.
b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không?
8
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.
Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225
0
. Hỏi đa
giác đó có bao nhiêu cạnh?
Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.
Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ.
Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân
được đánh dấu cùng một màu.
2. Tính số đo góc trong đa giác.
Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều.
Giải:
+ Số đo góc của hình 5 cạnh đều là:
0
0
(5 - 2).180
= 108
5
.
+ Số đo góc của hình 9 cạnh đều là:

0
0
(9 - 2).180
= 140
9
.
+ Số đo góc của hình 15 cạnh đều là:
0
0
(15 - 2).180
= 156
15
.
Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE.
a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK
1
4
CD.
b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc không
vượt quá 36
0
.
Giải:
9
A
B
C
D
E
F

15
o
a. Gọi F là trung điểm của EC.
QM =//
1
2
(EB
t
; FN =//
1
2
EB,
⇒
QM = FN
⇒
QMNF là hình bình hành.
Mà IQ = IN
⇒
I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành.
⇒
I,M,F thẳng hàng và IM = IF.
Ta có:
IM IF
KM KP
=


=

⇒

IK =
1
2
PF. (1)
Mà
PE PD
EF FC
=


=


⇒
PF =
1
CD
2
(2)
Từ (1), (2)
⇒
IK =
1
CD
4
.
b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường thẳng song song
với các đường chéo của ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc không có điểm chung, có tổng
bằng 360
0

. Tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 36
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E thuộc miền trong của hình vuông sao cho
·
EAB
=
·
EBA
= 15
0

. Chứng minh rằng
ΔCDE
đều.
Giải:

+ Dựng
Δ
đều EFB sao cho F và C ở cùng phía đối
với EB.
⇒

·
FBC
= 90
0
– (
·
EBA

+
·
EPF
) = 15
0
.
+
·
·
0
AB = BC
ABE = CBF = 15






·
FCB
⇒
∆
⇒
Δ
ABE =
∆
CBF
BE = PF.
⇒
AE = CF mà AE = EB = FB

⇒
Δ
CBF cân tại F.
⇒
·
FCB
= 15
0

⇒

·
FCE
= 15
0
,
·
FCB
= 150
0

⇒
·
EFC
= 150
0

⇒
·
CEF

= 15
0
⇒

Δ
CBF cân tại C
⇒
CE = CB = CD. Vậy
ΔCDE
đều.
Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.
Giải:
10
Giả sử đa giác lồi có K
≥
4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc
nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy nếu đa giác có K
≥
4 góc nhọn
thì sẽ có K
≥
4 góc ngoài là góc tù
⇒
tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 360
0
(vô lí vì
trong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 360
0
).
Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.

Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và
·
·
ABC = 2DBE
. Hãy tính
·
ABC
.
Giải: Ta có
·
DBE
=
1
2
·
ABC

⇒

µ µ
1 2
B +B
=
1
2
·
ABC
. (1)
Vì EA = EB
⇒

ΔEAB
cân
⇒

µ
2
E
=
µ
1
B
.
⇒

µ
1
B
= 90
0
-
·
EAB
2
Vì CB = CD
⇒

µ
2
B

= 90
0
-
·
2
BCD

Thay vào (1) ta được: 90
0
-
·
EAB
2
+ 90
0
-
·
2
BCD
=
1
2
·
ABC
⇒

·
EAB
+
·

ABC
+
·
BCD
= 360
0
.
⇒

·
CDE
+
·
DEA
= 540
0
– 360
0
= 180
0
.
⇒

µ
1
D
+
µ
1
E

= 90
0
-
·
CDE
2
+ 90
0
-
·
DEA
2
= 90
0

⇒
AD
⊥
CE.
Mặt khác
ΔEAD
cân tại E,
ΔCDE
cân tại D
⇒
AD và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường
⇒
AEDC là hình bình hành.
⇒

AC = DE
⇒
AB = BC = CA
⇒

ΔABC
đều
⇒

·
ABC
= 60
0
.
Vậy
·
ABC
= 60
0
.
Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và
µ
A
-
µ
B
=
µ
B

-
µ
C
=
µ
C
-
µ
D
=
µ
D
-
µ
E
=
µ
E
-
µ
F
. Giá trị lớn nhất của
µ
A
có thể bằng bao nhiêu?
Giải:
+ Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).180
0
= 720
0

.
+ Đặt
α
=
µ
A
-
µ
B
=
µ
B
-
µ
C
=
µ
D
-
µ
E
=
µ
E
-
µ
F
11
Ta có
µ

A
+
µ
B
+
µ
C
+
µ
D
+
µ
E
+
µ
F
= 720
0
.
⇔

µ
A
+ (
µ
A
-
α
) + (
µ

A
- 2
α
) + (
µ
A
- 3
α
) + (
µ
A
- 4
α
) + (
µ
A
- 5
α
) = 720
0
.
⇔
6
µ
A
- 15
α
= 720
0

⇒
2
µ
A
= 5
α
+ 240
0
.
Do
µ
A
là số tự nhiên và chia hết cho 5 nên
µ
A

≤
175
0
.
. Nếu
µ
A
= 175
0
thì
α
= 22
0
.

Vậy giá trị lớn nhất của
µ
A
là 175
0
.
Bài tập đề nghị.
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD và DE. Gọi I
là giao điểm của AM và BN.
a. Tính
·
AIB
.
b.
·
OID
(Với O là tâm của lục giác đều).
Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra
µ
µ
µ
A+C+E
=
µ
µ
µ
B+D+F
.
Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song.
Bài 3: Cho

∆
cân ABC (AB = AC) và
µ
A
= 100
0
. M là một điểm trong tam giác sao cho
·
MBC
= 10
0
và
·
MCB
= 20
0
. Tính
·
AMB
.
Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn
120
0
. Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù.
Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và AE
vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiếy là lục giác đều hay
không?
Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các
cạnh đối diện thì bằng nhau.
Bài 7: Cho

∆
ABC với AB = BC và
·
ABC
= 80
0
. Lấy trong tam giác đó điểm I sao cho
·
IAC
= 10
0
và
·
ICA
= 30
0
. Tính
·
AIB
.
Bài 8: Cho
Δ
ABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE. Hãy xác định các góc
¶
A
,
µ
B
,
µ

C
biết
·
BDE
= 24
0
và
·
CED
= 18
0
.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BC tương ứng
sao cho BP = BQ. Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B xuống cạnh PC.
Chứng minh rằng
·
DHQ = 1v.
12