Đề thi và đâp án thi HK 2 môn toán lơp 11 năm 2010 2011

SỞ GD- ĐT BẮC GIANG

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài : 90 phút (không kể thời gian phát ñề)

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm).
Câu I. (3 ñiểm)
1. Tính các giới hạn sau:
a) lim

n2 − n +1
;
(n + 1)(1 − 3n)

x+ 2−x
.
x →−2
x+2

b) lim

2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 2 :
 2x 2 − 3x − 2
khi x ≠ 2

f (x) =  2x − 4
5
khi x=2

 2

Câu II. (1 ñiểm) Tính ñạo hàm của hàm số f (x) = (x − 2) x 2 + 1 + cos 2x tại x = 0.
Câu III. (3 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABC, có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh bằng a, ñường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 3 .
1. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Chứng minh BC ⊥ (SAM) .
2. Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
3. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (SBC).
Câu IV(1 ñiểm)
Cho ba số thực a, b,c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương
trình ax 2 + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) .
B. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 ñiểm).
Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II)
I. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:
Câu Va. (1 ñiểm)
a 7 − a 4 = −216
. Tìm số hạng ñầu a1 và công bội q.
a 5 − a 4 = −72

Cho cấp số nhân (a n ) thỏa mãn 

Câu VIa. (1 ñiểm) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 có ñồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của ñồ thị (C) tại ñiểm I(1; −1)
II. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu Vb. (1 ñiểm) Cho cấp số cộng (a n ) thỏa mãn a 3 + a 5 = 14 và tổng của 13 số hạng ñầu của
cấp số cộng bằng 129. Tìm số hạng ñầu a1 và công sai d.
Câu VIb. (1 ñiểm) Cho hàm số y =

2x 2 + x + 1

có ñồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
x −1

của ñồ thị (C) tại giao ñiểm của (C) với trục tung.
---------------- Hết -----------------Họ tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN, LỚP 11.
Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác ñúng thì
chấm và cho ñiểm từng phần tương ứng.
Câu
I
(3ñ)

Đáp án vắn tắt
1)

Điểm

1 1
1− + 2
n2 − n +1
n n
a) lim
= lim
1
1

(n + 1)(1 − 3n)
(1 + )( − 3)
n n
1
=−
3
b)
x+ 2−x
(x + 2 − x )(x − 2 − x )
lim
= lim
x →−2
x
→−
2
x+2
(x + 2)(x − 2 − x )
x2 + x − 2
(x − 1)(x + 2)
= lim
= lim
x →−2 (x + 2)(x − 2 − x )
x →−2 (x + 2)(x − 2 − x )
= lim

x →−2

x −1
3
=

x − 2−x 4

0,5

0,5
0,25

0,25
0,5

2)

0,25

5
2
2
2x − 3x − 2
(x − 2)(2x + 1) 5
Ta có lim
= lim
=
x →2
x →2
2x − 4
2(x − 2)
2
Suy ra lim f (x) = f (2) . Do ñó hàm số liên tục tại ñiểm x=2.
TXĐ: ℝ , f (2) =

x →2

II
(1ñ)

Ta có f '(x) = x 2 + 1 +
f '(0) = 1

III
(3ñ)

x(x − 2)
x2 +1

0,25
0,5
0,5

− 2sin 2x .

0,5

S

H

C

A

M

B

1) Do SA ⊥ (ABC), BC ⊂ ( ABC ) nên SA ⊥ BC (1)

0,25


Do tam giác ABC ñều, M là trung ñiểm của ñoạn BC nên BC ⊥ AM (2)
Lại có SA và AM cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BC ⊥ ( SAM ) ñpcm

0,25
0,25
0,25

2) Do ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC .
+ Do SM, AM lần lượt vuông góc với giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng

0,25

(SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai ñường thẳng AM và SM và bằng góc SMA (vì
SMA < 900 ) .
+ Tính ñược AM = a

3
2

SA

a 3
=
= 2.
AM a 3
2
3) Gọi H là hình chiếu của A trên SM. Do ñó AH ⊥ SM , BC ⊥ AH .
Lại có hai ñường thẳng SM, BC cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SBC). Dẫn
ñến AH ⊥ ( SBC ) .
Khoảng cách từ A ñến mp(SBC) bằng ñộ dài ñoạn AH.
Trong tam giác vuông SAM, ñường cao AH ta có
3
1
1
1
1
4
5
= 2+
= 2 + 2 = 2 . Do ñó AH = a
2
2
AH
SA
AM
3a 3a
3a
5
Trong tam giác vuông SAM, vuông tại A. Ta có tan( SMA) =

IV

(1ñ)

2 4
2
1
c
c
+ f (0) = c , f   = a + b + c = (4 a + 6 b + 12c) − = − .
3 9
3
9
3
3
2
2
+ Nếu c = 0 thì f   = 0 ⇒ PT ñã cho có nghiệm x= ∈ (0;1) .
3
3

Giả thiết bài toán tương ñương với
3
3
3
2
2
a1q (q − 1) = −216
a1q (q − 1)(q + q + 1) = −216
q + q + 1 = 3
⇔
⇔

 3
 3
 3
a1q (q − 1) = −72
a1q (q − 1) = −72
a1q (q − 1) = −72

 q = 1
(vn)
q = 1

 q = −2

0.a1 = −72

⇔   q = −2
⇔
⇔
 q = −2
a1 = −3
 3

a
q
(
q
−
1)
=
−

72

 1
 a1 = −3
VIa
(1ñ)

Vb

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Đặt f(x)= ax2 + bx + c ⇒ f ( x) liên tục trên R.

2
 2
c2
+ Nếu c ≠ 0 thì f (0). f   = − < 0 ⇒ PT ñã cho có nghiệm x= α ∈  0;  ⊂ (0;1)
3
3
 3

Va
(1ñ).

0,25

0,25

0,25
0,5

0,5

0,5

Ta có y '( x) = 3 x 2 − 6 x
+ Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm I(1;-1) có hệ số góc là y'(1)=-3

0,5

+ Phương trình tiếp tuyến của ñths tại I(1;-1) là y = −3( x − 1) − 1 = −3 x + 2

0,5

Ta có a5 + a3 = 14 ⇔ a1 + 3d = 7 (1)


(1ñ)

VIb
(1ñ)

2a1 + 12d
).13 = 129 ⇔ 13a1 + 78d = 129 (2)
2
Từ (1) và (2) ta có hệ

53

a1 = 13
a1 + 3d = 7
⇔

13
a
+
78
d
=
129
 1
d = 38

39
+ Đồ thị (C) giao với Oy tại ñiểm A(0;-1).
2 x2 − 4 x − 2
+ Ta có y ' =
; y '(0) = −2 .
( x − 1)2
+ Phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm A(0;-1) là: y = −2 x − 1
S13 = 129 ⇔ (

0,5

0,5

0,25

0,25
0,5