Điều kiện hệ số hấp thụ và tán sắc trong hệ nguyên tử 85 Rb bốn mức chữ Y

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------

HOÀNG THUỲ LINH

ĐIỀU KHIỂN HỆ SỐ HẤP THỤ VÀ TÁN SẮC
TRONG HỆ NGUYÊN TỬ

85

Rb BỐN MỨC CHỮ Y

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 62.44.11.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ
Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS Đinh Xuân Khoa

VINH, NĂM 2011

1


MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1

Mở đầu............................................................................................
1
2
Chương 1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn
mức. ..................................................................................................
4
3
1.1 Phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử hai mức
4
4
1.1.1 Hình thức luận ma trận mật độ...............................................
4
5
1.1.2 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser...............
7
6
1.2 Các quá trình phân rã...............................................................
10
7
1.2.1 Quá trình phân rã tự phát..........................................................
11
8
1.2.2 Quá trình phân rã do va chạm..................................................
12
9
1.2.3 Phương trình ma trận mật độ khi kể đến quá trình phân rã......
12
10 1.3 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức....
16
85

11 1.4 Các mức năng lượng của nguyên tử Rb...............................
17
12 1.4.1 Cấu trúc tinh tế.........................................................................
18
13 1.4.2 Cấu trúc siêu tinh tế..................................................................
21
14 Kết luận chương I............................................................................
25
15 Chương 2. Điều khiển hệ số hấp thụ và tán sắc trong hệ nguyên
tử 85Rb bốn mức chữ Y......................................................
26
16 2.1 Giải phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức chữ
Y..26...................................................................................................
26
17 2.2 Mỗi liên hệ giữa độ cảm điện và các phần tử ma trận mật độ.....
26
18 2.3 Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc tán sắc.........................................
36
19 2.4 Điều khiển hệ số hấp thụ và tán sắc.........................................
37
20 2.4.1 Điều khiển theo cường độ của các trường điều khiển..............
37
21 2.4.2 Điều khiển theo độ lệch tần của các trường điều khiển............
43
22 Kết luận chương II...........................................................................
45
23 Kết luận chung.................................................................................
46
24 Tài liệu tham khảo...........................................................................
47

MỞ ĐẦU

2


Trong những năm gần đây, các hiệu ứng kết hợp trong các hệ nguyên tử và
phân tử đang thu hút sự quan tâm đáng kể của các nhóm nghiên cứu trên thế giới.
Sự tương tác giữa ánh sáng kết hợp với hệ nguyên tử nhiều mức đã dẫn đến một số
hiện tượng lượng tử mổi bật. Trong số đó là hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ
(Electromagnetically Induced Transparency – EIT) – là hiệu ứng giao thoa lượng
tử xẩy ra giữa các kênh dịch chuyển bên trong nguyên tử mà dẫn đến sự lan truyền
của ánh sáng (chùm laser dò) không bị hấp thụ khi có mặt của một chùm sáng
khác (chùm laser điều khiển). Cơ sở lý thuyết về EIT được đề xuất năm 1989 và
quan sát bằng thực nghiệm năm 1991 đối với nguyên tử lạnh Cr ba mức cấu hình
lambda bởi nhóm Harris. Kế từ đó, các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về
EIT thu hút sự chú ý đặc biệt của các nhà vật lý do khả năng ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực, chẳng hạn như: trong quang học phi tuyến ngưỡng thấp, thông tin quang,
làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng, tạo các bộ chuyển mạch quang học, trong các
chất bán dẫn hay tinh thể photonic…Những thí nghiệm gần đây về EIT đã được
nhiều nhóm nghiên cứu thực hiện đối với hệ nguyên tử Rb trong các cấu hình
lambda, bậc thang và chữ V. Đối với các hệ ba mức này, chúng ta chỉ thu được một
của sổ trong suốt trên công tua hấp thụ. Tuy nhiên, một trong những vấn đề được
quan tâm khi ứng dụng EIT là khả năng mở rộng thêm nhiều cửa sổ trong suốt để
thực hiện cho nhiều bước sóng khác nhau tương ứng với các mức tinh tế và siêu
tinh tế của hệ nguyên tử. Trong công trình của M.c. Gloin và đồng nghiệp khi
nghiên cứu hiệu ứng EIT đã cho thấy với sơ đồ N mức hình thang chúng ta phải
đặt vào N – 1 trường ngoài, khi đó trên công tua hấp thụ sẽ xuất hiện N – 2 cửa sổ
EIT. Tuy nhiên số trường ngoài đặt vào có thể ít hơn nếu chúng ta chọn các mức
siêu tinh tế của hệ nguyên tử phù hợp để cùng một bước sóng laser có thể liên kết

với nhiều mức năng lượng khác nhau. Đây là cách tương đối đơn giản cả về lý

3


thuyết lẫn thực nghiệm và đã được một số nhóm nghiên cứu áp dụng cho các cấu
hình 4 mức và 5 mức trong các cấu hình khác nhau.
Bên cạnh đó, với sự phát triển của các kỹ thuật làm lạnh gần đây, chẳng hạn
như cơ chế làm lạnh bằng laser và bẫy quang từ, đã tạo ra môi trường nguyên tử ở
nhiệt độ rất thấp cỡ nK. Việc khảo sát hiệu ứng EIT trong môi trường nhiệt độ thấp
có những ưu điểm như: có thể loại bỏ được hiệu ứng Doppler vì vận tốc của
nguyên tử trong môi trường này là khá nhỏ và các hiệu ứng do va chạm.
Trong những năm gần đây, nhóm Quang học – Quang phổ trường Đại học
Vinh cũng đã và đang tập trung nghiên cứu về các hiệu ứng kết hợp nguyên tử (các
hiệu ứng giao thoa lượng tử, hiệu ứng EIT trong các cấu hình khác nhau…) và
chuyển giao công nghệ làm lạnh bằng laser và bẫy quang từ được hợp tác với các
trường Đại học nước ngoài. Đây là những nền tảng thuận lợi cho việc nghiên cứu
tiếp theo về EIT trong các hệ nguyên tử lạnh nhiều mức.
Xuất phát từ thực tế đó đồng thời xác định đây là một lĩnh vực nghiên cứu
mới nhiều thú vị và thiết thực, vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Điều
khiển hệ số hấp thụ và tán sắc trong hệ nguyên tử 85Rb bốn mức chữ Y” làm
luận văn tốt nghiệp thạc sỹ.
Luận văn tập trung nghiên cứu khả năng điều khiển hệ số hấp thụ và tán sắc
của chùm laser dò khi có mặt đồng thời của hai chùm laser điều khiển được kích
thích theo cấu hình chữ Y. Các cửa sổ trong suốt được điều khiển theo các thông
số của hệ nguyên tử và của hai trường laser điều khiển, và từ đó chúng tôi sẽ tìm
được các thông số tối ưu. Luận văn được trình bày trong hai chương có cấu trúc
như sau:
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN MẬT ĐỘ CHO HỆ
NGUYÊN TỬ Rb85 BỐN MỨC

4


Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết tương tác giữa hệ nguyên
tử với các trường laser theo hình thức luận ma trận mật độ trong các gần đúng
sóng quay và gần đúng lưỡng cực điện; các quá trình phân rã, tìm hiểu cấu trúc
phổ và các thuộc tính quang học của nguyên tử Rb 85. Từ đó, dẫn ra phương trình
ma trận mật độ khi tính đến các quá trình phân rã.
CHƯƠNG 2. ĐIỀU KHIỂN HỆ SỐ HẤP THỤ VÀ TÁN SẮC TRONG
HỆ NGUYÊN TỬ Rb85 BỐN MỨC CHỮ Y
Trong chương này, chúng tôi lời giải phương trình ma trận mật độ cho hệ
nguyên tử bốn mức theo phương pháp trình bày trong chương 1. Liên hệ giữa hệ
số hấp thụ và tán sắc với các phần tử ma trận mật độ. Từ kết quả lý thuyết chúng
tôi vẽ công tua hấp thụ và công tua tán sắc ứng với các giá trị khác nhau của
cường độ và độ lệch tần của các trường điều khiển, và thảo luận các kết quả thu
được để tìm ra bộ thông số tối ưu.

CHƯƠNG 1.
PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN MẬT ĐỘ CHO HỆ NGUYÊN TỬ

5


BỐN MỨC
1.1 Phương trình ma trận mật độ với hệ nguyên tử hai mức
1.1.1 Hình thức luận ma trận mật độ
Ma trận mật độ là một phương pháp dùng để tính giá trị trung bình của một
đại lượng bất kì đặc trưng cho hệ và xác suất của các đại lượng vật lý khác nhau
của hệ.

Để đưa vào khái niệm ma trận mật độ, chúng ta xét một hệ lượng tử. Khi đó


trạng thái của được mô tả bởi hàm sóng ψ ( r, t )




Khai triển hàm sóng ψ ( r, t ) theo một hệ hàm trực chuẩn ψ n ( r )


ψ ( r , t ) = ∑ Cn ( t ) ψ n ( r )
n

(1.1)



trong đó ψ n ( r ) và Cn ( t ) tương ứng là hàm riêng và trị riêng của một toán tử Aˆ ,

ψ n ( r ) là phần không phụ thuộc thời gian của hàm sóng và thỏa mãn phương trình

trị riêng của năng lượng


Hˆ ψ n ( r ) = En ψ n ( r ) .

Ta có:



Aˆ ψ ( r , t ) = ∑ Cn ( t ) Aˆ ψ n ( r )

(1.2)

Giá trị trung bình của đại lượng vật lý ta đo được trong thí nghiệm là:


A ( t ) = ψ ( r , t ) Aˆ ψ ( r , t )

(1.3)

Thay (1.1) vào (1.2), ta được:


A ( t ) = ∑ Cn ( t ) Cm* ( t ) ψ m ( r ) Aˆ ψ n ( r )
mn

6

(1.4)


A ( t ) = ∑ Cn ( t ) Cm* ( t ) Amn

(1.5)

mn




trong đó Amn = ψ m ( r ) Aˆ ψ n ( r ) gọi là các yếu tố ma trận

Ta

ρ nm ( t ) = Cn ( t ) Cm* ( t )

đặt

(1.6)
*
( t ) . Do đó ρ nm ( t ) là ma trận tự liên hợp.
Vì ρ nm ( t ) = Cn ( t ) Cm* ( t ) nên ρ nm ( t ) = ρ nm

Ma trận được tạo bởi các yếu tố ρ nm ( t ) gọi là ma trận mật độ.
Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ta có:

∑ C (t)

2

n

=1

n

(1.7)

Từ (1.7) ta suy ra các phần tử chéo của ma trận ρ mn ( t ) phải có tổng bằng 1

∑ρ

nn

(t ) = 1

n

Thay (1.6) vào (1.5), ta được:
A ( t ) = ∑ ρ nm ( t ) Amn
mn

(1.8)

Dựa vào quy tắc nhân ma trận ta tìm được:
A ( t ) = ∑ ( ρA) nn = Tr ( ρA)
n

(1.9)

Từ điều kiện chuẩn hóa ta có:
Tr ( ρA) = ∑ Cn ( t ) = 1
2

n

Chúng ta có thể biểu diễn các hệ Cn ( t ) Cm* ( t ) ở trên đơn giản hơn là các phần tử ma
trận của toán tử ψ ψ được phản ánh thông qua các vectơ cột của hàm sóng ψ .
um ψ ψ un = Cm* Cn

(1.10)

Từ (1.6) và (1.11), ta được:
ρ=ψ ψ

7

(1.11)


Trong cơ sở của { un

}

toán tử mật độ được biểu diễn bằng một ma trận gọi là ma

trận mật độ với các thành phần:
ρ nm = um ρ un = Cm* Cn

Ở đây các phần tử ma trận ρ nm là hermitic
*
ρ nm
= Cm* Cn = ρ nm ↔ ρ + = ρ

(1.12)

Với những tính chất đặc trưng trên, toán tử ρ thỏa mãn đầy đủ các đặc trưng của
một hệ lượng tử. Cụ thể là chúng ta có thể diễn tả định luật bảo toàn xác suất, tính
giá trị trung bình của một đại lượng bất kì đặc trưng cho hệ hay có thể diễn tả sự
tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử thông qua các yếu tố thành phần của ρ .

1.1.2 Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường khi không có phân rã
Chúng ta sử dụng lý thuyết bán cổ điển để khảo sát sự tương tác giữa
nguyên tử và bức xạ điện từ. Một sóng điện từ biến thiên theo thời gian và không
gian tương tác với nguyên tử. Để đơn giản, trước hết ta xét hệ nguyên tử gồm hai
mức năng lượng tham gia vào quá trình này, mức | 1 là trạng thái cơ bản và mức
| 2 là trạng thái kích thích.

Hình 1.1 Mô hình hệ nguyên tử hai mức

8


Theo lý thuyết bán cổ điển thì hệ nguyên tử được hệ lượng tử hóa các mức
năng lượng còn trường điện từ vẫn được mô tả dạng cổ điển, tức là điện từ trường
được mô tả bằng các hàm sóng thông thường.
Hàm sóng của mỗi hệ nguyên tử thỏa mãn phương trình Schrodinger:
i


∂ Ψ (r , t )
∂t


= H Ψ( r , t )

(1.13)

∂C n (t )



U n (r ) = ∑ C n (t ) HU n (r )
(1.14)
∂t
n
n

Nhân hai vế phương trình với U m (r ) , đồng thời dùng tính trực chuẩn của hàm

U m (r ) ta có:
⇒ i ∑

ih∑
n

∂




Cn ( t ) .U m ( r ) .U n ( r ) = ∑ Cn ( t ) .U m ( r ) H .U n ( r )
∂t
n
⇒ i ∑
n

∂Cn (t )
= ∑ Cn (t ) H mn .
∂t
n

(1.15)

Vì ρ nm (t ) = C m* (t )C n (t ) nên ta suy ra:
∂ρ nm (t )
∂C m*
∂C n
= Cn
+ C m*
∂t
∂t
∂t

(1.16)

Do tính tự liên hợp của H, phương trình trở thành
∂ρ i
= [ ρ, H ]
∂t 

Trong đó:

(1.17)

[ ρ , H ] = ρH − Hρ
H = H 0 + H I là Hamilton toàn phần.
H 0 là Hamilton của hệ nguyên tử khi không có trường.
H I là Hamilton diễn tả tương tác của hệ với môi trường.

9

Phương trình (1.17) là phương trình Liuville cho ma trận mật độ, nó được áp
dụng để mô tả tương tác của hệ nguyên tử với trường bức xạ cũng như để mô tả
các quá trình phi tuyến khác.
Do ta chỉ xét nguyên tử hai mức năng lượng và không suy biến nên toán tử H 0
là :
0
W
H0 =  1

 0 W2 

(1.18)

Cường độ trường ngoài được biểu diễn dưới dạng :

(

)


E = E0 cos ω L t − k r .

(1.19)



7
−1
ở đây k là véc tơ sóng. Với ánh sáng nhìn thấy thì k = ( 2π / λ ) ≈ 10 m và với bán

kính nguyên tử r ≈ 10 −10 m , thì có thể lấy kr ≈ 0 . Trong phép gần đúng như thế gọi
là phép gần đúng lưỡng cực.
E=

(

)

E0 iω Lt
e
+ e −iω Lt .
2

(1.20)






Thông thường ta chọn gốc toạ độ tại tâm nguyên tử nên có thể đặt r0 = 0 , lực F tác




dụng lên electron là F = −eE , khi đó thế năng tương tác là :


V ( r ) = − dE .

(1.21)


d gọi là mômen lưỡng cực, E là cường độ trường laser phụ thuộc thời gian.

Các phần tử ma trận chéo H I = V ( r ) được lấy bằng không: d11 = d 22 = 0 , điều này

thích hợp với các chuyển đổi giữa các trạng thái có tính chẵn xác định. Không mất
tính tổng quát ta có thể lấy các hàm riêng sao cho d 21 = d12 = d là thực. Khi đó ta có
thể viết :
− dE ( t ) 
 0
HI = 
.
0 
− dE ( t )

10

(1.22)


Trạng thái của hệ nguyên tử hai mức được mô tả bằng toán tử ma trận mật độ với
các thành phần :
ρ
ρ =  11
 ρ 21

ρ12 
.

ρ 22 

(1.23)

Khi đó ta viết lại (1.17) như sau:
ρ& mn =

i
[ ρ , H ] mn .
h

(1.24)

1.2 Các quá trình phân rã
Giải sử ta có một tập hợp các nguyên tử, phân tử với hai mức năng lượng (
1 -mức cơ bản, 2 - mức kích thích). Mật độ cư trú trên các mức là N1 và N 2 .

Theo định luật Boltzmann ta có:
N1 = N 0 e

−

E1
kT

> N 2 = N 0e

−

E2

kT

(1.25)

Khi một chùm ánh sáng bao gồm các photon với năng lượng hυ = E2 − E1 , có mật
độ photon ρ chiếu vào tập hợp các nguyên tử đó thì sẽ xảy ra các quá trình là: quá
trình hấp thụ và quá trình phân rã. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ xét
những nguyên nhân gây ra phân rã của nguyên tử từ trạng thái có mức năng lượng
cao xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Đó là quá trình phân rã do phát
xạ tự phát và quá trình phân rã do va chạm.
1.2.1 Quá trình phân rã do phát xạ tự phát
Phát xạ tự phát là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng
lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn (không do
ánh sáng gây nên). Nếu xác suất phát xạ tự phát của photon trên một đơn vị thời

11


gian (s) được ký hiệu là Pmn hoặc Pnm , còn Pm và Pn là xác suất tìm nguyên tử ở
trạng thái m hoặc n, thì khi đó theo định luật Boltzmann, Pi được xác định như sau
[4]:

Hình 1.2. Sơ đồ tương tác giữa photon và nguyên tử hai mức năng lượng

Pi = Ce

−

Ei
kT

i = 1, 2

(1.26)

Xét tương tác giữa photon và nguyên tử hai mức năng lượng, trong đó E1 , E2 là
năng lượng tương ứng với mức 1 và mức 2 . Khi trường ánh sáng ngoài không
tác động lên nguyên tử thì
dP21TN
= A21
dt

(1.27)

Trong đó A21 là hệ số Einstein của phát xạ tự phát. A21 phụ thuộc vào bản chất của
các nguyên tử và chỉ được xác định bằng thực nghiệm.
Tốc độ phân rã trong phát xạ tự phát γ được xác định là:
γ =

A21
1
=
2
2τ R

(1.28)

1.2.2 Quá trình phân rã do va chạm
Sự va chạm ảnh hưởng tới quá trình quang học theo sự thay đổi trong các
trạng thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này sang

mức năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác. Hiệu ứng do chúng
tạo ra được mô tả bởi tốc độ phân rã được thêm vào mật độ cư trú ở các mức của

12


nguyên tử trong phương trình Block quang học. Trong va chạm đàn hồi, gọi tốc độ
1

phân rã là γ coll , đại lượng này được biểu thị theo tốc độ va chạm τ
0
γ coll =

1
τ0

(1.29)

Tốc độ phân rã do cả hai quá trình phát xạ tự phát và quá trình phát xạ do va chạm
gây nên cho hệ nguyên tử là:
γ ′ = γ + γ coll

(1.30)

1.2.3 Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường khi có phân rã
Phương trình (1.24) chỉ là trường hợp lý tưởng chỉ đúng khi cường độ, pha và
tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các mức năng lượng của hệ
lượng tử không suy biến. Tuy nhiên trong thực tế không phải như vậy, do nhiều
nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng và năng lượng của hệ có thể
suy biến với một độ rộng phổ nào đó, chẳng hạn như: sự mở rộng Doppler, sự mở

rộng do va chạm, mở rộng tự nhiên hay thăng giáng của laser ... Vì vậy để tổng
quát hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các thăng giáng này vào phương
trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảm tương ứng với các thăng giáng,
các quá trình phân rã. Khi đó phương trình của hệ nguyên tử với trường có dạng:
ρ& m, n =

i
[ ρ , H ] m, n − ( γρ ) m, n


(1.31)

Trong đó H là Hamilton toàn phần của nguyên tử, thông thường H được biểu
diễn như tổng hai phần: Một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử với trường,
phần còn lại đặc trưng cho Hamilton của nguyên tử khi không có trường. Trong
gần đúng lưỡng cực điện Hamilton toàn phần được biểu diễn:

13


H = H 0 − dE

(1.32)

γ là toán tử mô tả quá trình tích thoát do phân rã tự phát, do va chạm và ρ là toán
tử ma trận mật độ.
Với m = 2, n = 2 ta có :
ρ11
 ρ 21

[ ρ , H ] = 

ρ12 
ρ 22 

 ρ11W1 − ρ12 dE

 W1 − dE   W1 − dE 
− dE W  - − dE W 
2 
2 


− ρ11dE + ρ12W2 

 ρ11
ρ
 21

 W1 ρ11 − dEρ 21

ρ12 
=
ρ 22 
W1 ρ12 − dEρ 22 

=  ρ W − ρ dE − ρ dE + ρ W  - 

22
21

22 2 
 21 2
− dEρ11 + W2 ρ 21 − dEρ12 + W2 ρ 22 


dE ( ρ 21 − ρ12 )

dE ( ρ 22 − ρ11 ) + ρ12 (W2 − W1 )
.
− dE ( ρ 21 − ρ12 )


=
− dE ( ρ 22 − ρ11 ) − ρ 21 (W2 − W1 )
Trong đó ω0 =

W2 − W1


(1.33)

là tần số chuyển mức của hệ lượng tử.

Từ đó ta nhận được hệ phương trình cho các thông số nguyên tử :
ρ& 11 =

idE
( ρ 21 − ρ12 ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22


ρ& 12 = iω0 ρ12 +

idE
( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12


ρ& 21 = −iω0 ρ 21 −
ρ& 22 = −

idE
( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ 21


idE
( ρ 21 − ρ12 ) − Γ2 ρ 22


ρ& 11 − ρ& 22 = i

2dE
( ρ 21 − ρ12 ) .


(1.34a)
(1.34b)
(1.34c)
(1.34d)
(1.34e)

Trong đó Γ1 và Γ 2 là tốc độ phân rã mật độ cư trú của mức 1 và 2 .

Từ các công thức trên chúng ta có ρ11 và ρ 22 mô tả xác suất tồn tại của hạt ở các
mức 1 và 2 (thông thường ρ11 và ρ 22 còn được xem là mật độ cư trú của các

14


mức tương ứng) còn ρ12 , ρ 21 mô tả xác suất dịch chuyển hạt giữa hai mức (đôi lúc
còn được gọi là xác suất chuyển lưỡng cực hay một cách đơn giản hơn là phép
chuyển lưỡng cực).
Để thuận lợi cho những tính toán về sau, ta định nghĩa các biến số mới
ρ~12 (t ), ρ~21 (t ) thông qua các hệ thức sau:

ρ 21 (t ) = ρ~21 (t )e −iω t ,

ρ12 (t ) = ρ~12 (t )e iω t ,

(1.35)

L

L

ta có ρ& 12 = ρ~& 12eiω t + iω L ρ~12eiω t , ρ& 21 (t ) = ρ~& 21 (t )e −iω t − iω L ρ~21e − iω t .
L

L

L

L

(1.36)

Thay (1.35) và (1.36) vào hệ phương trình (1.34) .
Ta được hệ phương trình sau:

(

)

idE0 iωLt
e + e −iωLt ( ρ~21e −iωLt − ρ~12 e iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22
2

ρ& 11 =

(1.37a)

idE0 iω t
(
ρ~& 12 e iω t + iω L ρ~12 e iω t = iω0 ρ~12 e iω t +
e + e −iω t )( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ~12 e iω t
2

(1.37b)

idE0 iωLt
(
ρ~& 21e −iωLt − iω L ρ~21e −iω Lt = −iω 0 ρ~21e −iωLt −
e + e −iω Lt )( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ~21e −iωLt

2

(1.37c)

L

ρ& 22 = −

L

(

L

)(

L

L

)

idE0 iωLt
e + e −iωLt ρ~21e −iωLt − ρ~12 e iωLt − Γ2 ρ 22
2

L

(1.37d)

suy ra
idE0 ~
( ρ 21 − ρ~12 − ρ~12 e 2iωLt + ρ~21e −2iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22
2

(1.38a)

idE0
(
ρ~& 12 = −iω L ρ~12 + iω 0 ρ~12 +
1 + e −2iωLt )( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ~12
2

(1.38b)

idE0 2iωLt
(
ρ~& 21 = iω L ρ~21 − iω0 ρ~21 −
e
+ 1)( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ~21
2

(1.38c)

ρ& 11 =

ρ& 22 = −

idE0 ~
( ρ 21 − ρ~12 − ρ~12 e 2iωLt + ρ~21e −2iωLt ) − Γ2 ρ 22 .

2

15

(1.38d)


Trong phép gần đúng sóng quay bỏ qua các số hạng dao động nhanh e 2iωLt
dE

và e −2iωLt , đồng thời sử dụng các kí hiệu ∆ = ω0 − ω L gọi là độ lệch tần, Ω = 0 gọi

là tần số Rabi.
Ta tính được:
ρ& 11 =

iΩ ~
( ρ 21 − ρ~12 ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22
2

(1.39a)

iΩ
ρ~& 12 = −( γ 21 + i∆ ) ρ~12 + ( ρ 22 − ρ11 )
2

(1.39b)

iΩ
ρ~& 21 = −( γ 21 − i∆ ) ρ~21 − ( ρ 22 − ρ11 )

2

(1.39c)

iΩ ~
( ρ 21 − ρ~12 ) − Γ2 ρ 22
2

(1.39d)

ρ& 22 = −

Ở trạng thái dừng ρ~& 12 = ρ~& 21 = 0 và ρ& 11 = ρ& 22 = 0 và với nguyên tử hai mức năng lượng
thì Γ1 = 0 và ρ11 + ρ 22 = 1 .
γ 21 =

Đặt:

Γ1 + Γ 2 Γ
=
2
2

Suy ra
iΩ ( ρ 22 − ρ11 ) iΩ (2 ρ 22 − 1)
ρ~12 =
=
2 γ 21 + i∆
2 γ 21 + i∆

(1.40)

iΩ ( ρ 22 − ρ11 )
iΩ (2 ρ 22 − 1)
ρ~21 = −
=−
2 γ 21 − i∆
2 γ 21 − i∆

(1.41)

iΩ (2 ρ − 1)

iΩ (2 ρ − 1)

~
~
22
22
⇒ ρ 21 − ρ12 = − 2 γ − i∆ − 2 γ + i∆ = −
21
21

Γρ 22 = −

iΩ(2 ρ 22 − 1)γ 21
iΩ(2 ρ 22 − 1)Γ / 2
=−
2
2

(λ21 + ∆ )
(Γ / 2) 2 + ∆2

iΩ ~
( ρ 21 − ρ~12 ) .
2

Từ (1.42) và (1.43) ta tính được :

16

(1.42)
(1.43)


từ đó suy ra

1
Ω2 / 2
ρ 22 =
,
2 Ω 2 / 2 + (Γ / 2) 2 + ∆2

(1.44)


Ω
∆ − i (Γ / 2)

ρ~12 =  2

2
2  Ω / 2 + (Γ / 2) + ∆ 

(1.45)


Ω
∆ + i (Γ / 2)
.
ρ~21 =  2
2
2  Ω / 2 + (Γ / 2) + ∆ 

(1.46)

1.3 Phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức
Khảo sát một hệ nguyên tử bốn mức, trong đó mức 1 là trạng thái có bản,
các mức 2 , 3 và 4 là các trạng thái kích thích. Đặt vào hệ nguyên tủ ba chùm
laser, trong đó một chùm laser dò yếu và hai chùm laser điều khiển có cường độ
mạnh hơn rất nhiều.
Phương trình ma trận mật độ cho tương tác giữa nguyên tử 4 mức với các
trường laser có dạng:
ρ& = −

i
[ H , ρ ] − Λρ
h

(1.47)

trong đó:
 ρ11

ρ
ρ =  21
ρ
 31
 ρ 41

ρ12
ρ 22
ρ 32
ρ 42

ρ13
ρ 23
ρ 33
ρ 43

ρ14 

ρ 24 
là toán tử ma trận mật độ
ρ 34 

ρ 44 

(1.48)

ρ ij là các ma trận mật độ (i, j = 1,2,3,4)

Hamilton toàn phần của hệ được cho bởi:
H = H 0 + HI

(1.49)

với H0 là Hamilton tự do của nguyên tử khi không có sự tương tác của các trường
ánh sáng:

17


4

Hˆ 0 = ∑  ωi i i

(1.50)

i =1

HI là Hamilton tương tác lưỡng cực, được cho bởi :
u u

HI = ∑ i (− µ .E )
i≠ j

j = −∑ µij Eij

(1.51)

i≠ j

với Eij là trường laser liên kết tương ứng. Tần số Rabi Ωi = µij.Eij/ħ .
Các quá trình phân rã cho hệ nguyên tử bốn mức được mô tả trong số hạng Λρ .
Trong chương II của luận văn, chúng tôi sẽ giải phương trình ma trận mật
độ để tìm dạng cụ thể của các phần tử ma trận mật độ bằng cách sử dụng phương
pháp gần đúng sóng quay và gần đúng lưỡng cực điện.
1.4 Cấu trúc phổ của nguyên tử Rb85
Rb85 là một đồng vị bền của nguyên tử Rb. Rb 85 có 1 electron ở lớp vỏ ngoài
cùng gọi là electron hóa trị, các electron bên trong nguyên tử liên kết với hạt nhân
tạo thành một lõi có điện tích +e. Vì vậy có thể xem Rb 85 là nguyên tử đồng dạng
nguyên tử Hydro.
1.4.1 Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Rb85
Để xác định các trạng thái dừng của electron trong trường Coulomb của hạt
nhân, ta giải phương trình Dirac

( Hˆ

0

)

+ Wˆ1 + Wˆ2 + Wˆ3 ψ = Eψ

(1.52)

trong đó Hˆ = Hˆ 0 + Wˆ1 + Wˆ2 + Wˆ3 là toán tử Hamilton trong phương trình Dirac,
v
Wˆ1 , Wˆ2 , Wˆ3 là các hiệu chính tương đối tính cấp  
c


pˆ 2
Ze 2
ˆ
H0 =
−
là Hamilton tương đối tính,
2m0
r

18

2


h 2∇2U πZe 2 h 2
ˆ
W1 =
=
δ ( r ) là số hạng bổ chính Darwin,
8m02 c 2
2m02 c 2
2


Ze 2 
 E +

r


 là bổ chính tương đối tính cho động năng,
Wˆ2 = −
2
2m0 c
Ze 2h 2 
3
ˆ
W3 =
j ( j + 1) − l (l + 1) −  là bổ chính do tương tác spin-quỹ đạo.
2 2 3 
4m0 c r 
4
  
Với j = l + s là mômen toàn phần của electron
l−s ≤ j≤ l+s

l là số mômen quỹ đạo của electron,

s là mômen spin của electron.

Giải phương trình phi tương đối tính cho nguyên tử Hydro không xét đến
spin ta thu được:
En0 =

− Z 2 m0e 4
2 2 n 2

n = 1,2,....

(1.53)

Từ biểu thức trên chúng ta thấy rằng năng lượng của nguyên tử chỉ nhận
một số giá trị xác định phụ thuộc vào số lượng tử chính n. Trong gần đúng cấp
không, ta tìm được hiệu chính năng lượng ∆Enj cho mức En0 trong gần đúng bậc
nhất

trong đó α =

∆Enj = Enj − En0

(1.54)



Z 4α 2  n
3

∆Enj = −R
− 
n4  j + 1 4 


2



(1.55)

e2
1

e4m
≈
là hằng số cấu trúc tinh tế, R = 30 là hằng số Rydberg.
 c 137
2

19


Từ (1.54) ta viết được công thức cấu trúc tinh tế của phổ nguyên tử đồng dạng
nguyên tử Hydro
R 2 Z 2
Enj = En0 + ∆Enj = −
n2




 Z 2α 2  n
3 
− 
1 + 2 
1 4 
n


 j+

2





(1.56)

Hệ các mức năng lượng tương ứng với các giá trị ∆Enj khác nhau ứng với
cùng giá trị En0 như nhau được gọi là cấu trúc tinh tế. Từ (1.56), ta nhận thấy rằng
độ tách các mức tỷ lệ với bình phương của hằng số cấu trúc tinh tế.
Thế năng của trường trong đó electron hóa trị chuyển động được biểu diễn dưới
dạng
1 C C

U = − Ke 2  + 21 + 32 + ... 
r
r r


(1.57)

2
1
9 Nm
Trong hệ SI, K = 4πε = 9.10
2

C

0

C1e 2 C2 e 2

Các số hạng − 2 ,− 3 ,... là các số hiệu chính. Ở đây chúng ta chỉ xét đến số
r
r

hiệu chính thứ nhất −

C1e 2
r2

Phương trình Schrodinger xét trong tọa độ cầu có dạng:
1 d  2 dR  2me 
e2
Ke 2
 2 l ( l + 1) 
E + K + C1 2 −
R=0
r
+
r 2 dr  dr 
 
r
r
2me r 2 

Đặt

l (l + 1) − C1

2me e 2
= l ′(l ′ + 1)

2

Giải phương trình (1.58) ta được:

20

(1.58)


l′ = l −

Kme e 2C1
 1
 2l + 
 2

(1.59)

Khi đó số lượng tử chính n chuyển thành n*
n* = l ′ + k + 1

(1.60)

Thay (1.59) vào (1.60), ta tìm được:
n* = l ′ + k + 1 = n −

Kme e 2 C1
 1
 2l + 
 2

(1.61)

Độ sai lệch lượng tử
∆n = n − n* =

Kme e 2C1
 1
 2l + 
 2

(1.62)

Mức năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm được
tính bằng công thức:
Enl = −

me e 4
1
2 2 2
32π ε 0  [ n − ∆n ] 2

(1.63)

Như vậy năng lượng của electron hóa trị của kim loại kiềm phụ thuộc vào số
lượng tử n và số lượng tử quỹ đạo l. Do đó, mức năng lượng ứng với số lượng tử
chính n nhưng với các số l khác nhau sẽ không trùng nhau.
Trong lý thuyết phi tương đối có sự suy biến theo hướng của spin và l. Cấu
trúc tinh tế (tương tác spin – quỹ đạo) đã khử suy biến này (nhưng không hoàn
toàn). Các mức với n, j như nhau nhưng với các l = j ±

1
khác nhau vẫn còn suy
2

biến bội hai. Khi xét đến spin của electron ký hiệu “nl” của trạng thái lượng tử của
hạt trong trường đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng “nl j”, trong đó số lượng
tử j đặc trưng cho mômen toàn phần của electron trong trạng thái đã cho.

21


Như vậy dãy các mức năng lượng của nguyên tử Hydro có xét đến cấu trúc tinh tế
như sau:
1s1/2, 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2, 3s1/2, 3p1/2, 3p3/2, 3d3/2, 3d5/2, 4s1/2, 4p1/2, 4p3/2, 4d3/2, 4d5/2, 4f5/2,
4f7/2, 5s1/2, 5p1/2, 5p3/2, 5d3/2, 5d5/2
Nếu chỉ xét đến electron ở lớp ngoài cùng, ta có sơ đồ:
5s1/2, 5p1/2, 5p3/2, 5d3/2, 5d5/2
Khi bị kích thích, electron ở lớp ngoài cùng nhảy từ mức cơ bản lên các mức kích
thích có năng lượng cao hơn.
1.2.3. Cấu trúc siêu tinh tế của Rb85
Khi tính các hiệu chính tương đối tính dẫn đến cấu trúc tinh tế của phổ năng
lượng electron trong nguyên tử, ta đã coi trường hạt nhân nguyên tử là đối xứng
xuyên tâm. Tuy nhiên hạt nhân nguyên tử Rb 85 có mômen từ. Tương tác của các
mômen từ electron với hạt nhân dẫn đến sự tách các mức năng lượng suy biến
(theo hình chiếu của mômen toàn phần) của nguyên tử. Vì mômen từ hạt nhân nhỏ
hơn mômen từ quỹ đạo của electron khoảng 103 lần, nên độ tách mức gây bởi
mômen từ hạt nhân nhỏ hơn khoảng 10 3 lần so với độ tách mức gây bởi tương tác
spin – quỹ đạo (cấu trúc tinh tế). Do đó sự tách mức năng lượng gây bởi mômen từ
hạt nhân được gọi là sự tách siêu tinh tế .

Như vậy, cấu trúc siêu tinh tế là kết quả tương tác của mômen xung lượng
toàn phần của electron với mômen xung lượng toàn phần của hạt nhân. Mômen
xung lượng toàn phần của nguyên tử được xác định bởi:
  
F =J +I




(1.64)





trong đó J = L + S là mômen xung lượng toàn phần của electron, L là mômen quỹ


đạo toàn phần của electron và S là spin toàn phần của electron.

22


Độ lớn của F
J −I ≤F ≤ J +I

(1.65)

Nếu số lượng tử của mômen toàn phần là J , thì số các hướng khả dĩ của
mômen từ đối với từ trường sẽ là 2 J + 1 . Mỗi hướng ứng với một năng lượng

tương tác. Do đó mức năng lượng của nguyên tử trong trạng thái có mômen toàn
phần J khi đặt trong từ trường sẽ tách thành 2 J + 1 mức con.
Độ tách của các mức được xác định bằng biểu thức
e H
g
2m0c

(1.66)


j ( j + 1) + s ( s + 1) − l ( l − 1) 
g = 1 +

2 j ( j + 1)



(1.67)

∆E =

Trong đó g là thừa số Landé

Từ biểu thức ta thấy g phụ thuộc vào j , l , s . Do đó, đối với các trạng thái
1
nguyên tử khác nhau, g sẽ khác nhau. Các giá trị của g ứng với hạt có spin s =
2

là:
Trạng thái

g

s1 / 2

p1 / 2

p3 / 2

d3 / 2

d5 / 2

2

2
3

4
3

4
5

6
5

Xét sơ đồ tách vạch của quang phổ 52d5/2-52d3/2-52s1/2. Các thừa số Landé tương ứng
là

6 4

, và 2 .
5 5

23


Hình 2.3. Sơ đồ tách các mức 52s1/2, 52d3/2, 52d5/2
5
2

1
2

Đối với trạng thái cơ bản 52 S1 / 2 , ta có J = , I = . Khi đó hướng khả dĩ của
mômen từ đối với từ trường sẽ là 2. Do đó năng lượng của nguyên tử trong trạng
thái có mômen toàn phần sẽ tách thành 2 mức con ứng với F = 2 , F = 3 .
3
2

5
2

Đối với trạng thái cơ bản 52 P3 / 2 , ta có J = , I = . Khi đó hướng khả dĩ của
mômen từ đối với từ trường sẽ là 4. Do đó năng lượng của nguyên tử trong trạng
thái có mômen toàn phần sẽ tách thành 4 mức con ứng với F ' = 1 , F ' = 2 , F ' = 3 ,
F' = 4 .
5
2

5

2

Đối với trạng thái cơ bản 52 D5 / 2 , ta có J = , I = . Khi đó hướng khả dĩ của
mômen từ đối với từ trường sẽ là 6. Do đó năng lượng của nguyên tử trong trạng
thái có mômen toàn phần sẽ tách thành 6 mức con ứng với F ' ' = 0 , F ' ' = 1 , F ' ' = 2 ,
F''= 3 , F''= 4 , F''= 5 .

24


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương1, chúng tôi đã thực hiện được các nội dung sau:
- Trình bày được hình thức luận ma trận ma trận mật độ để mô ta sự tương giữa hệ
nguyên tử và các trường laser khi tính đến các phân rã. Đề cập đến cấu trúc tinh tế
và siêu tinh tế của nguyên tử Rb85.
- Thết lập hệ phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức khi xét đến
các quá trình phân rã.

25