LỊCH sử TOÁN học GIẢI TÍCH HÌNH học GIẢI TÍCH đại số xác XUẤT THỐNG kê HÌNH HOC sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM


BÁO CÁO TỔNG HỢP

LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN
TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn

PGS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

Học viên thực hiện

NGUYỄN THỊ THANH THÙY

MSHV

M3215030

Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN K22

Tháng 10, 2015


LỜI MỞ ĐẦU
Toán học có vai trò rất quan trọng, học toán giúp người học phát triển trí tuệ và năng
lực đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy trừ tượng, hợp logic, có phương pháp học tập suy
luận khoa học; nhưng Toán học cũng là một môn học được xem là mang tính trừu tượng
cao và khá “khô khan” . Cho nên nhiệm vụ của người dạy học là làm thế nào để bài giảng
của mình thêm sinh động, thu hút sự chú ý cũng như tạo cho người học nhu cầu khám phá

các tri thức. Để góp phần thực hiện nhiệm vụ đó, người dạy học Toán có thể đề cập đến
lịch sử hình thành và phát triển của Toán học có liên quan đến nội dung bài học trong quá
trình giảng dạy.
Tuy nhiên, thực trạng cho thấy trong việc dạy học Toán vấn đề này ít được quan tâm
đến vấn đề này bởi nhiều lý do như : hạn chế về thời gian đứng lớp, lượng kiến thức phải
truyền đạt quá nhiều, …dẫn đến việc người dạy và học có ít cơ hội tìm hiểu và nghiên cứu
lịch sử Toán, mặc dù điều này rất quan trọng đối với người học và dạy môn Toán.
Như vậy việc tìm hiểu kiến thức Lịch sử toán nói chung và chương trình Toán
THPT nói riêng là rất cần thiết. Hơn nữa việc truyền thu lại những kiến thức lịch sử Toán
là rất thiết thực và thú vị.
Mặt khác, hiện nay tài liệu về Lịch sử Toán còn khá ít, và cũng chưa có nhiều học
viên đi sâu tìm hiểu vấn đề này.
Với mong muốn là phân loại và tổng hợp một số kiến thức về Lịch sử Toán học để
nâng cao hiểu biết của bản thân và có nền tảng cơ bản về Toán học để giúp ích cho việc
giảng dạy và học tập sau này, tôi quyết định thực hiện bài tiểu luận này.
Bài tiểu luận “Lịch sử các phân môn Toán học” có sự hướng dẫn và hỗ trợ nhiệt tình
của Thầy Nguyễn Phú Lộc và sự giúp đỡ của lớp Lý luận và phương pháp dạy học
Toán khóa 22 trường Đại học Cần Thơ.


MỤC LỤC
LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH ----------------------------------------------------------------------------------2
PHẦN I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH -------------------------------------------------------------------2
PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN ------------------------------------------------------------------------------2
PHẦN 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------6
CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU ------------------------------------------------------------------------6
2.1

ISAAC NEWTON ----------------------------------------------------------------------------------------- 6

2.1.1

TIỂU SỬ ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 6

2.1.2

THÀNH TỰU TRONG VẬT LÝ VÀ THIÊN VĂN HỌC ----------------------------------------- 8

2.1.3

THÀNH TỰU TRONG TOÁN HỌC ------------------------------------------------------------------ 9

2.2

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ----------------------------------------------------------------- 12

2.2.1

TIỂU SỬ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 12

2.2.2

MỘT SỐ CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU ----------------------------------------------------------- 15

2.3

ARCHIMEDES ------------------------------------------------------------------------------------------- 23

2.3.1

TIỂU SỬ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 23

2.3.2

CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU ----------------------------------------------------------------- 23

2.4

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY ------------------------------------------------------------------------ 24

2.4.1

TIỂU SỬ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 24

2.4.2

THÀNH TỰU --------------------------------------------------------------------------------------------- 27

2.5

GALILEO (1564-1642) ---------------------------------------------------------------------------------- 28

2.6

KEPLER (1571-1630)------------------------------------------------------------------------------------ 28

2.7

WALLIS (1616-1703) ------------------------------------------------------------------------------------ 29

2.8

ISAAC BARROW (1630-1677) ----------------------------------------------------------------------- 29

2.9

HUYGENS (1629-1695) --------------------------------------------------------------------------------- 29

2.10

TAYLOR (1685-1731) ---------------------------------------------------------------------------------- 30

2.11

MACLAURIN (1698-1746) ----------------------------------------------------------------------------- 30

2.12

EULER (1707-1783)-------------------------------------------------------------------------------------- 30

2.13

CLAIRAUT (1713 - 1765) ------------------------------------------------------------------------------ 31

2.14

LAGRANCE (1736 – 1813) --------------------------------------------------------------------------- 31

2.15

DÒNG HỌ BERNOULLI------------------------------------------------------------------------------- 31

PHẦN 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 33
MỘT SỐ GIAI THOẠI --------------------------------------------------------------------------------------- 33
3.1

ISAAC NEWTON ---------------------------------------------------------------------------------------- 33

3.2

LEIBNIZ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 38


3.3

ARCHIMEDES ------------------------------------------------------------------------------------------- 39

PHẦN 4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41
MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN ----------------------------------------------- 41
TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT -------------------------------------------------------------------------- 41
4.1
ỨNG DỤNG LỊCH SỬ PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN TRONG PHƯƠNG PHÁP DẠY
HỌC 41
4.2
ỨNG DỤNG LỊCH SỬ VI-TÍCH PHÂN TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG 3 GIẢI TÍCH
LỚP 12 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ---------------------------------------------------------------------------------------- 55

PHẦN V --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56

TRÒ CHƠI ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 56
LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ------------------------------------------------------------------------ 57
I. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN----------------------------------------------------------------------------------- 57
II. MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU ------------------------------------------------------------- 60
1. APOLLONIUS (262 TCN - 180 TCN) ---------------------------------------------------------------------- 60
1.1 Tiểu sử ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 60
1.2 Đóng góp cho hình học liên quan đến hình học giải tích ----------------------------------------------- 60
2. NICOLAS ORESME (1323 – 11.7.1382)-------------------------------------------------------------------- 62
2.1 Tiểu sử ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 62
2.2 Các công trình tiêu biểu của Oresme ---------------------------------------------------------------------- 62
3. RENÉ DESCARTES (1596 – 1650) -------------------------------------------------------------------------- 63
3.1 Tiểu sử ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 63
3.2 Các công trình tiêu biểu của Descartes -------------------------------------------------------------------- 64
3.3 Giai thoại về Descartes --------------------------------------------------------------------------------------- 65
4. PIERRE DE FERMAT (1601 – 1665) ----------------------------------------------------------------------- 66
4.1 Tiểu sử ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 66
4.2 Các công trình tiêu biểu của Fermat ----------------------------------------------------------------------- 66
4.3 Một số giai thoại về Fermat ---------------------------------------------------------------------------------- 68

III. MỘT SỐ SỰ KIỆN LIÊN QUAN HÌNH GIẢI TÍCH --------------------------------------------- 70
IV. ỨNG DỤNG LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH --------------------------------------------------- 70
VÀO DẠY HỌC PHỔ THÔNG ----------------------------------------------------------------------------- 70
I. TỔ CHỨC DẠY HỌC BÀI MỚI ----------------------------------------------------------------------------- 71
II. ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN --------------------------------- 76
1. Ứng dụng của phương pháp toạ độ Oxy vào việc giải một số bài toán hình học phẳng ----------- 76
2. Ứng dụng của phương pháp toạ độ vào việc giải một lớp các bài toán hình học không gian ---- 91
3. Ứng dụng véctơ để giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức ----------------------------103


4. Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. ------------------------110

IV. MỘT SỐ MẪU CHUYỆN VUI ----------------------------------------------------------------------------112
V. CÂU ĐỐ VUI – CÓ ĐÁP ÁN -------------------------------------------------------------------------------114

LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP --------------------------------------------------------------- 116
I. LỊCH SỬ TỔNG QUAN --------------------------------------------------------------------------------- 116
1. GIAI ĐOẠN PHÁT SINH ------------------------------------------------------------------------------------117
2. GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP-------------------------------------------------------------------------120

II. CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU----------------------------------------------------------------- 124
THALES (624 - 548 TCN) ---------------------------------------------------------------------------------------124
PYTHAGORAS (khoảng 570 - 495 TCN) --------------------------------------------------------------------125
EUDOXUS (khoảng 408 - 355 TCN) --------------------------------------------------------------------------128
PLATON (427 - 347 TCN)---------------------------------------------------------------------------------------128
EUCLID (khoảng năm 300 TCN) ------------------------------------------------------------------------------129
ARCHIMEDES (287 - 212 TCN)-------------------------------------------------------------------------------133
APOLLONIUS (262 - 180 TCN) -------------------------------------------------------------------------------141
HERON (10 - 75 SCN) -------------------------------------------------------------------------------------------143
MENELAUS (70 - 130 SCN) ------------------------------------------------------------------------------------144

III. ỨNG DỤNG --------------------------------------------------------------------------------------------- 147
Ứng dụng 1: Tổ chức một buổi sinh hoạt ngoại khóa. -----------------------------------------------------147
Ứng dụng 2. Một số bài toán ứng dụng vào thực tiễn ------------------------------------------------------149

Tài liệu tham khảo------------------------------------------------------------------------------------------- 151
LỊCH SỬ TOÁN ĐẠI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------- 152
Chương I ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 152
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ------------------------------------------------------------------------------- 152
I.1. KHÁI NIỆM SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ ----------------------------------------------------------------------152

Chương II ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 155

CÁC HỆ THỐNG SỐ --------------------------------------------------------------------------------------- 155
1. CÁCH ĐẾM NGUYÊN THỦY ------------------------------------------------------------------------------155
2. HỆ THỐNG NHÓM ĐƠN -----------------------------------------------------------------------------------155
3. HỆ THỐNG NHÓM NHÂN ---------------------------------------------------------------------------------156
4. HỆ THỐNG CHỮ SỐ MÃ HÓA----------------------------------------------------------------------------156
5. HỆ THỐNG CHỮ SỐ VỊ TRÍ -------------------------------------------------------------------------------156
6. HỆ THỐNG CHỮ SỐ INDU- Ả RẬP (ẤN ĐỘ - Ả RẬP) ----------------------------------------------157

Chương III ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 158
CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ ------------------------------------------------------- 158
1. GIAI ĐOẠN PHÁT SINH ------------------------------------------------------------------------------------158


1.1. Toán học Babylon --------------------------------------------------------------------------------------------158
1.2. Toán học Ai Cập ---------------------------------------------------------------------------------------------160
2 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP ( TK VI-TCN – XVI-SCN)--------------------------------------162
2.1. Đại số thời cổ Hy Lạp ---------------------------------------------------------------------------------------162
Platon (427 hoặc 428 – 347 TCN) ------------------------------------------------------------------------------163
Eudoxus (Khoảng 408 – 355 TCN) -----------------------------------------------------------------------------164
Euclid (khoảng năm 300 TCN) ---------------------------------------------------------------------------------164
Aristotle (384 – 322 TCN) ---------------------------------------------------------------------------------------164
Archimedes (287- 212 TCN)-------------------------------------------------------------------------------------164
Diophantus (210 – 290) -------------------------------------------------------------------------------------------165
MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC KHÁC---------------------------------------------------------------------------167
2.2. Đại số ở Trung Quốc cổ -------------------------------------------------------------------------------------167
2.3. Đại số ở Ấn Độ cổ --------------------------------------------------------------------------------------------168
2.4. Đại số ở Ả Rập ------------------------------------------------------------------------------------------------168
2.5. Đại số châu Âu (từ 500 đến 1600) -------------------------------------------------------------------------169
3. GIAI ĐOẠN CAO CẤP CỔ ĐIỂN (thế kỷ XVII – XVIII) ---------------------------------------------176
3.1. Sơ lược sự phát triển của Toán học giai đoạn này -----------------------------------------------------176

3.2. Sự phát triển của Đại số trong giai đoạn này -----------------------------------------------------------177
3.3. Một số nhà Toán học tiêu biểu ----------------------------------------------------------------------------178
3.3.1. Thomas HARRIOT (1560 – 02.07.1621)---------------------------------------------------------------178
3.3.2. Albert GIRARD (1595 – 1632) --------------------------------------------------------------------------178
3.3.3. Rene DESCARTES (31.03.1596 – 11.02.1650) -------------------------------------------------------179
3.3.4. Pierre de FERMAT (17.08.1601 – 12.01.1665) -------------------------------------------------------179
3.3.5. Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716) -------------------------------------------181
3.3.6. Isaac NEWTON (25.12.1642 – 31.03.1727) -----------------------------------------------------------183
3.3.7. Roger COTES (10.07.1682 – 05.06.1716) --------------------------------------------------------------185
3.3.8. Pierre BOUGUER (16.02.1698 – 15.08.1758) ---------------------------------------------------------186
3.3.9. Gabriel CRAMER (31.07.1704 – 04.01.1752)---------------------------------------------------------186
3.3.10. Leonhard EULER (15.04.1707 – 18.09.1783) -------------------------------------------------------187
3.3.11. Joseph Louis LAGRANGE (25.01.1736 – 10.04.1813) --------------------------------------------191
3.3.12. Eienne BEZOUT (31.03.1730 – 27.09.1783) ---------------------------------------------------------192
3.3.13. Bernhard BOLZANO (05.10.1781 – 18.12.1848) ---------------------------------------------------192
3.3.14. Một số nhà toán học tiêu biểu khác -------------------------------------------------------------------193
4. GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI ----------------------------------------------------------------------194
4.1. Đặc điểm của đại số------------------------------------------------------------------------------------------194
4.2. Các nhà toán học tiêu biểu ---------------------------------------------------------------------------------196


4.2.1. Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) ------------------------------------------------------------------196
4.2.2. Niel Herik ABEL (1802 – 1829) -------------------------------------------------------------------------203
4.2.3. William Rowan HAMILTON (04.08.1805 – 02.09.1865) -------------------------------------------205
4.2.4. Evariste GALOIS (26.10.1811 – 31.05.1832)----------------------------------------------------------207
4.2.5. Peter Gustav Lejeune DIRICHLET (13.02.1805 – 05.05.1859) -----------------------------------210
4.2.6. George BOOLE (2.11.1815 - 08.12.1864) -------------------------------------------------------------210
4.2.7. Jean Gaston DARBOUX (13.08.1842 – 23.02.1917) -------------------------------------------------211
4.2.8. Georg CANTOR (03/03/1845 – 06/01/1918) ----------------------------------------------------------212
4.2.9. Jules Henri POINCARE (29.04.1854 – 17.06.1912) -------------------------------------------------214

4.2.10. David HILBERT (23.01.1862 – 14.02.1943) ---------------------------------------------------------216
4.2.11. Henri Paul CARTAN (08.07.1904 – 2008) -----------------------------------------------------------218
4.2.12. Peter Jephson Cameron (23.1.1947 - ) ----------------------------------------------------------------219

Chương IV ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 220
ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC Ở PHỔ THÔNG ------------------------------------------------------- 220
TÀI LIỆU THAM KHẢO ------------------------------------------------------------------------------------------223

LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN -------------------------------------------------------------- 224
PHẦN 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 224
LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN BỘ MÔN --------------------------------------------- 224
XÁC SUẤT THỐNG KÊ ----------------------------------------------------------------------------------- 224
1.1 Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu TK XVII): ---------------------------224
1.2. Giai đoạn thứ hai (từ nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XVII): --------------------------------226
Vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng -----------------------226
1.3. Giai đoạn thứ ba (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): --------------------------------------230
Sự nảy sinh các tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác suất của Laplace --------------230
1.4. Giai đoạn thứ tư (thế kỷ XX): -----------------------------------------------------------------------------234
Giai đoạn toán học hiện đại và vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất -----------------------------------234

PHẦN II ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 237
MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU --------------------------------------------------------------- 237
2.1. BLAISE PASCAL (1623 - 1662) --------------------------------------------------------------------------237
2.2. HUYGENS (1629 – 1695) -----------------------------------------------------------------------------------246
2.3. ABRAHAM DE MOIVRE (1667 - 1754) ----------------------------------------------------------------249
2.4. GAUSS (1777 - 1855) ----------------------------------------------------------------------------------------253
2.5. BERNSTEIN (1880 - 1968) ---------------------------------------------------------------------------------255
2.6. KOLMOGOROV (1903 – 1987) --------------------------------------------------------------------------256
2.7. POISSON (1781 – 1840) ------------------------------------------------------------------------------------259
2.8. JACOB BERNOULLI (1655 - 1705) ---------------------------------------------------------------------262

Công trình quan trọng -------------------------------------------------------------------------------------------263
2.9 CARDANO (1501 – 1576) -----------------------------------------------------------------------------------265
2.10. PIERRE SIMON LAPLACE (1749 - 1827) -----------------------------------------------------------267

PHẦN III ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 270
MỘT SỐ SỰ KIỆN CỦA LỊCH SỬ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ------------------------------------- 270
I. Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 17 -------------------------------------------------270
II.Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 19 ------------------------------------------------277

PHẦN 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 281
ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT THỐNG KÊ ----------------------------------------------------------- 281
A. CÁC CÂU CHUYỆN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT -------------------------------------------------281
B. MỘT SỐ VẤN ĐỀ RỦI MAY LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT ---------------------------------------283
C. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------288

LỊCH SỬ SỐ PHỨC ---------------------------------------------------------------------------------------- 292
LỜI MỞ ĐẦU ------------------------------------------------------------------------------------------------ 292
1. TỔNG QUAN VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN SỐ PHỨC ------------------ 292
1.1 Giai đoạn 1: Giai đoạn “Cách viết trung gian” ---------------------------------------------------------292
1.2. Giai đoạn 2: Kí hiệu hình thức các đại lượng ảo -------------------------------------------------------295
1.3 Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lượng ảo ------------------------------------------------------296
1.4 Giai đoạn 4: Đại số các số phức ----------------------------------------------------------------------------298

2. MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU ------------------------------------------------------------ 301
2.1. CARDANO (1501 – 1576) ----------------------------------------------------------------------------------301
2.2. Abraham De Moivre (1667 - 1754) -----------------------------------------------------------------------303
2.3. Leonhard Euler (1707-1783) -------------------------------------------------------------------------------306

2.4. Jean le Rond d'Alembert (1717 – 1783) -----------------------------------------------------------------310
2.5.Gauss (1777 – 1855) ------------------------------------------------------------------------------------------313
2.6. Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) -------------------------------------------------------------------315

3. MỘT SỐ SỰ KIỆN TOÁN HỌC ----------------------------------------------------------------------- 320
4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DẠY HỌC PHỔ THÔNG ------------------------- 322
4.1. Ứng dụng số phức trong lượng giác: ---------------------------------------------------------------------322
4.2. Ứng dụng số phức trong tổ hợp ---------------------------------------------------------------------------324
4.3. Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình đại số -------------------------------------------------326
4. Ứng dụng số phức trong hình học phẳng ------------------------------------------------------------------327

5. TRÒ CHƠI – ĐỐ VUI ----------------------------------------------------------------------------------- 330
TÀI LIỆU THAM KHẢO ---------------------------------------------------------------------------------------331


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

2

LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH
PHẦN I
SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH
PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN
Trong lịch sử toán học, có thể thấy Toán học có bốn giai đoạn khác nhau rõ ràng về
chất:


Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học

độc lập. Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 6-5

trước CN.


Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi,

kéo dài đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã
phát triển khá sâu.


Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của

giải tích toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng.


Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có

ý thức và có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể
không gian. Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình
thể không gian tương tự. Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc”
không chỉ một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các
khái niệm “ phiếm hàm” và “ toán tử”. Và “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép
tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với
chúng. Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19.
Thành tựu nổi bật nhất của thế kỷ XVII là sự phát minh ra các phép tính vi – tích
phân vào cuối thế kỷ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

3

Tuy nhiên các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian
dài. Các nhà toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. Leucippus,
Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp “vét kiệt” của người Hi
Lạp, và sau này được Euxodus, sống khoảng 370 trước CN, nâng lên thành lí luận khoa
học. Sở dĩ gọi là phương pháp “vét kiệt” vì ta xem diện tích của một hình được tính bằng
vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.
Phương pháp “vét kiệt” được xem là tiền thân của phép tính vi phân và tích phân. Và
phương pháp này đã được Archimedes (287-212 B.C) sử dụng rất thành thạo, nhờ nó mà
ông đã tìm được diện tích và thể tích của nhiều hình khác nhau.
Mãi đến thế kỷ XVII do nhu cầu giải quyết các bài toán lớn của thời đại; đó là
Bài toán 1: Tìm tiếp tuyến của một đường cong.
Bài toán 2: Tìm độ dài của một đường cong.
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng , ví dụ tìm khoảng cách gần
nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có
thể bay tới theo góc bắn đi của nó.
Bài toán 4: Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trình giờ
của vật thể ấy.
Có nhiều nhà toán học đã kế thừa và cải tiến dần phương pháp “vét kiệt” và dần tiếp
cận tới phép tính vi tích phân như : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens, …
Ví dụ như :
 Kepler đã tính xấp xỉ được diện tích của các vật thể tròn xoay.
 Galileo đã nhận biết rằng diện tích phần giới hạn bởi thời gian và đường cong vận
tốc biểu diễn quãng đường đi được.
 Wallis áp dụng phương pháp phân chia nhỏ vô hạn để tính được nhiều bài toán về
cầu phương và nhiều kết quả hữu ích khác.
 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức của Fermat thì
tương đương với phương pháp hiện đại của chúng ta là tìm đạo hàm của một hàm số rồi
cho đạo hàm bằng không.

LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

4

Fermat, Roberval, Torircelli và Cavalieri đã đạt được một cách độc lập về việc cho diện
tích phần dưới đường cong ‘‘luỹ thừa bậc n’’. Tuy nhiên họ chưa biết dùng nguyên hàm để
tính những diện tích như vậy, ...
Tất cả những cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Newton và Leibniz hoàn thiện
phép tính vi tích phân. Hai ông đã tạo ra một hệ thống tập hợp kí hiệu tổng quát và một hệ
thống các quy tắc giải tích hình thức cho phép tính vi tích phân. Về sau, Cauchy và những
người tiếp sau trong thế kỷ XIX đã phát triển các khái niệm cơ bản của giải tích trên cơ sở
chặt chẽ.
Sự ra đời của phép tính vi – tích phân đã đưa toán học sang một giai đoạn toán cao cấp,
gần như kết thúc giai đoạn của toán học sơ cấp. Từ đối tượng nghiên cứu là các số và hình
ở dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trong quá trình vận động và biến
đổi.
Phép tính vi phân và phép tính tích phân là một ngành toán học bao gồm hai tư
tưởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân với các khái niệm cơ sở là: khái
niệm hàm số, giới hạn, dãy số,chuỗi số và liên tục. Phép tính vi phân là lí thuyết về tốc độ
của sự thay đổi và bao gồm phép lấy vi phân; liên hệ đến các hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số
góc của một đường cong tại một điểm cho trước , cực đại và cực tiểu của các hàm.
Tư tưởng tích phân liên quan đến việc phân chia một đại lượng liên tục thành vô hạn
các đại lượng vô cùng bé, nghiên cứu chuyển động là một trong những nguyên nhân chính
cho sự ra đời của phép tính vi phân và tích phân. Tuy nhiên, để đạt được sự chặt chẽ như
ngày nay, các nhà nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân đã đối mặt các vấn đề về mối
quan hệ giữa liên tục và rời rạc, giữa hữu hạn và vô hạn, giữa chuyển động và đứng yên.
Tuy phép tính vi – tích phân đã có nền móng từ phương pháp “vét kiệt” của Eudoxus (
thế kỷ IV TCN) nhưng đến thế kỷ XVII mới được hoàn thiện bởi Newton và Leibniz.
Nguyên nhân - theo Frederick - một nhà lịch sử giải tích ở Bowling Green University- có

thể là:
Một là, những công trình sớm hơn gần như là một tập hợp các công cụ thông minh áp
dụng vào đa thức, có tính tổng quát và có thể áp dụng cho nhiều loại toán khác nhau.
Hai là, sự phát triển của thuật toán và ký hiệu. Newton và Leibniz đã phát triển những
giải thuật tổng quát, nhờ vậy mà các phương pháp trước đó có thể áp dụng.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

5

Ba là, sự thấu hiểu phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai quá trình ngược nhau
và khai thác dữ kiện này là vấn đề chính yếu đối với môn phép tính vi – tích phân.
Bốn là, Newton và Leibniz ý thức được việc sáng tạo ra một ngành toán học mới hết
sức quan trọng.
Ý nghĩa lớn của phép tính vi - tích phân là phép tính vi - tích phân một công cụ toán
học hiệu lực nhất được phát hiện trong thế kỷ XVII. Nhờ đó mà người ta có thể tấn công
vào nhiều bài toán mà trước đó mọi người đã bó tay. Việc nghiên cứu áp dụng cong cụ này
đã thu hút nhiều nhà toán học thời bấy giờ, kết quả là có rất nhiều bài báo, công trình khoa
học liên quan đến công cụ này. Trong thế kỷ XVIII, người ta dành nhiều cho việc tìm tòi
các phương pháp mới và có hiệu lực của phép tính vi – tích phân, trong thế kỷ này đa phần
toán học là mục tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

6

PHẦN 2

CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU
2.1 ISAAC NEWTON
Isaac Newton là một trong những thiên tài
lớn nhất thế giới, Newton là nhà toán học và
thiên văn học, ông cũng là nhà vật lý và cơ
học, hóa học, về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Chế ra kính thiên văn, phát minh Toán vi phân
và nhất là khám phá lực hấp dẫn.

2.1.1 TIỂU SỬ
Isaac Newton sinh ra trong một gia đình ở Woolsthorpe, gần Grantham ở Lincolnshire
nước Anh, vào ngày 25 tháng 12 năm 1642 theo lịch Julius, còn theo lịch Gregory ông sinh
ngày 4 tháng 1 năm 1643. Là con của Isaac Newton và Hannah Ayscough, trại chủ. Ông
chưa từng thấy mặt cha ông là một nông dân cũng tên là Isaac Newton vì ông ta mất trước
khi Newton sinh ra không.
Khi Newton lên năm, Isaac học tiểu học trường làng, trước tiên tại Skillington, sau đó
tại Stoke. Mẹ Newton thấy con mình có năng khiếu về cơ học hơn là trông coi gia súc, nên
bà cho con tiếp tục đi học để học lên đại học.
Năm 17 tuổi (1661), Newton đậu vào trường Đại học Cambridge, nơi này ông đã gắn
bó trong suốt 40 năm. Đầu tiên là sinh viên, sau đó là giáo sư. Mục tiêu ban đầu của
Newton tại Đại học Cambrige là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của
Aristotle. Nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học
của Galileo và cả quang học của Kepler. Ông đã viết trong thời gian này: “Plato là bạn của
tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi”. Tuy
nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ Newton tiếp cận được là nhờ
đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663, gồm các cuốn Element của Euclid, Clavis


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

7

Mathematica của William Oughtred, La Géométrie của Descartes, Geometri a Renato Des
Castes của Frans van Schooten, Algebra của Willis và các công trình của Francois Viète.
Sự gặp gỡ với giáo sư Isaac Barrow (1630-1677) đã quyết định nghề nghiệp khoa học
của ông sau này. Giáo sư Barrow ngạc nhiên về trí thông minh của Newton đến nỗi ông đã
từ chức để nhường chỗ cho Newton và Newton đã trở thành một nhà toán học, vật lý học
thiên tài.
Năm 1665, Newton nhận bằng Bachelor of Arts, tương đương với
bằng cử nhân hiện nay. Trong 2 năm nhà trường phải đóng cửa do
bệnh dịch, Newton có một loạt các phát triển quan trọng, trong đó với
phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới đã thống nhất
và đơn giản hóa nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để
giải quyết những bài toán có vẻ không liên quan trực tiếp đến nhau
như tìm diện tích, tìm tiếp tuyến, độ dài đường cong… Cũng trong

Giáo sư Isaac Barrow
(1630-1677)

lúc đó, Gottfried Leibniz (1646-1716), nhà bác học Đức cũng tìm ra cách tính này. Do đó
sinh ra một cuộc bút chiến giành quyền tác giả ưu tiên, một cuộc bút chiến dữ dội và lâu
dài vì Newton xây dựng khái niệm về toán vi phân trước Leibniz rất lâu, nhưng Leibniz lại
in đề tài này ra trước.
Mùa hè năm 1666 tại Woolsthorpe, Isaac Newton sửa soạn trình bày một thí nghiệm sẽ
là nguồn gốc của tất cả những lý thuyết hiện đại về ánh sáng và màu sắc.
Năm 1670, ông được nhận làm giảng viên của trường Đại học Cambridge sau khi hoàn
thành thạc sĩ và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học.
Năm 1672 Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh và bắt đầu vấp phải sự
phản bác từ Huygens và Hooke về lý thuyết hạt ánh sáng và tranh cãi về lý thuyết màu sắc
ánh sáng dẫn đến tinh thần suy sụp.

Năm 1684, Newton xuất bản quyển Philosoph iae Naturalis Principia Mathematica
(Các Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên). Quyển sách đã mang lại cho Newton
tiếng tăm vượt ra ngoài nước Anh, đến châu Âu. Trong đó ông chứng minh sự rơi, sức hút
vạn vật và sự chuyển động các vì sao. Đó là sức hấp dẫn vạn vật.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

8

“...Quyển đầu tiên của bộ sách Nguyên tắc toán học,
đề cập đến sự chuyển động các vật thể trong không
gian. Phần thứ hai của quyển này đề cập đến sự chuyển
động trong môi trường trở lực, thí dụ như chuyển động
dưới nước. Trong phần cuối Newton đề cập đến sự
chuyển động phức tạp của thể lỏng và những bài toán
về sự chuyển động này đều được giải đáp. Ngoài ra
Newton có tính các tốc độ của âm thanh và diễn tả bằng
toán học sự chuyển động của làn sóng. Quyển một này
là nền tảng của khoa học vật lý toán học, khoa thủy tĩnh học và thủy động học ngày nay...”
(đoạn này trích trong “Lược sử thời gian” của Hawking).
Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp
nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính
quyền tại Luân Đôn.
Năm1703 Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức
vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông. Ông được Nữ hoàng phong bá
tước năm 1705.
Ông mất ngày 20 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn.

2.1.2 THÀNH TỰU TRONG VẬT LÝ VÀ THIÊN VĂN HỌC

Phát minh ra đồng hồ mặt trời
Khái quát những kết quả nghiên cứu của Côpecnic, Kêple, Galiê và của riêng mình,
Newton đã tìm ra ”Định luật vạn vật hấp dẫn” linh hồn của học thuyết Newton về vũ trụ.
Lực hấp dẫn là lực hút giữa mọi vật chất, có độ lớn tỷ lệ thuận với khối lượng của chúng
và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách của hai vật.

F G

M 1.M 2
d2

Với G là hằng số hấp dẫnG = 6.67 x 10-11
N.m²/kg².


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

•

9

Một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại

của Newton là cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán
học của Triết lý về Tự nhiên), hoàn thành năm 1688, viết bằng tiếng Latin, gồm 3 tập.
Việc phát minh ra “Định luật vạn vật hấp dẫn” và ba định luật mang tên ông, Newton
được xem như là người sáng lập nên vật lý “Cơ học cổ điển”.
Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng
qua lăng kính trở thành nhiều màu. Năm 1704, Newtơn cho xuất bản cuốn
“Opticks”(Quang học) của mình.



Vào năm 1668, Newton chế tạo được mô hình một kiểu kính viễn vọng mới:

kính viễn vọng phản xạ có nhiều ưu điểm hơn so với kính viễn vọng khúc xạ của Galilê, vì
khắc phục được hiện tượng sắc sai trong quan sát thiên văn và kích thước thì nhỏ gọn.
THÀNH TỰU TRONG TOÁN HỌC

2.1.3

a) PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN
Ngày nay, phép tính vi - tích phân được xem là công lao sáng tạo ( đồng thời và độc
lập với G.W Leibniz ) của Isaac Newton.
Ông có những đóng góp cho mọi ngành toán học được nghiên cứu khi ấy, nhưng
đặc biệt nổi tiếng cho những lời giải của ông cho những bài toán đương thời thuộc lĩnh
vực hình học phân tích việc vẽ tiếp tuyến với đường cong (đạo hàm) và xác định diện
tích giới hạn bởi đường cong (tích phân). Newton không chỉ phát hiện những bài toán
này là ngược lẫn nhau, mà ông còn khám phá ra phương pháp chung giải các bài toán
đường cong, theo“phương pháp vi phân” (fluxion method) và “phương pháp ngược lại
của vi phân”, lần lượt tương ứng với giải tích đạo hàm và tích phân sau này của
Leibniz.
Newton sử dụng thuật ngữ “vi phân” (fluxion) ( từ tiếng Latin có nghĩa là “dòng
chảy” [flow]), vì ông tưởng tượng ra một đại lượng “chảy” từ một độ lớn sang này sang
độ lớn khác. Fluxion được biểu diễn bằng phương pháp đại số, giống như vi phân của
Leibniz, nhưng Newton còn sử dụng mở rộng các đối số hình học tương tự (đặc biệt


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

10

trong cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học
của Triết lý về Tự nhiên) xuất bản năm 1687 ).
Phương pháp tính vi-tích phân của I.Newton được ông gọi là “Phương pháp dao
động” với công trình mang tên: “Phương pháp dao động và những chuổi vô hạn với
việc áp dụng môn hình học các đường cong”. Công trình này được hoàn thành năm
1671 nhưng đang tiếc là gần một thế kỷ sau mới được công bố ( năm 1736 ). Đó cũng là
nguyên nhân gây ra cuộc tranh luận kéo dài không đáng có giữa Newton và Leibniz, ai
là mới người phát minh ra trước phép tính vi - tích phân.
Kỳ thực, Vi tích phân của Leibniz với vi tích phân của Newton có sự khác nhau rõ
rệt. Newton dùng hình thức hình học để biểu đạt thành quả của mình, còn lý luận của
Leibniz thì chuyên về hình thức đại số. Chẳng hạn, năm 1704 trong bài viết “ Bàn về
tìm tích phân đường cong” Newton mô tả định lý cơ bản của tích phân như sau: giả
thiết diện tích ABC và ABDE là do trục tung BC và BD chuyển động trên đường chuẩn
AB với tốc đọ đều tạo thành. Vậy tỷ số của “lưu số” của hai diện tích này giống như tỷ
số của hai đại lượng BC và BD.
y

C

y=
f(x)
A

E
a

x b

B

D

x

Song, cùng một nội dung như vậy, trong bài viết của Leibniz lại được diễn đạt thành
biểu thức:

d  x
f (t )dt   f ( x)



a
dx 
Trong đó :



x

a

f (t )dt biểu thị diện tích giới hạn bởi đương cong y = f(x), trục Ox, đường

thẳng = a và x = b.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

11

b) NHỊ THỨC NEWTON
Trong toán học, định lý khai triển nhị thức là một định lý toán học về việc khai triển
hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n
thành một đa thức có n+1 số hạng:

n

(a  b)   Cnk a n  k b k
n

k 0

Định lý này đã được độc độc lập chứng minh bởi hai người đó là:
Nhà toán học, vật lý Isaac Newton tìm ra trong năm 1665.
Nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670.
Newton cũng đã phát hiện ra định lý nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã
để cho John Wallis công bố.

(1  x)  1   .x 

 (  1)
2!

.x 2 

 (  1)(  2)
3!

Ví dụ:

.x 3  ...



x0

x1

x2

x3

0

1

0

0

0

½

1

½

-1/8

1/16

1

1

1

0

0

3/2

1

3/2

3/8

2

1

2

1

0

5/2

1

5/2

15/8

5/16

3

1

3

3

1

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3
Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức,
định lý trên được phát biểu thành:
Nếu r là một số thực và z là một số phức có module
nhỏ hơn 1 thì:
n

(1  z )   C z
r

k 0

k
r

1/16

k


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

12

c) MỘT SỐ THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
Công trình toán học:
Các đường bậc ba (1704): Phân loại và nghiên cứu tính chất các đường cong bậc ba
bằng hình học giải tích.
Về phép cấu phương các đường cong (1704).
Công trình Arithmetica universalis ( 1707 ) đạt được nhiều kết quả quan trọng trong
lý thuyết các phương như:
Nghiệm ảo của một đa thức thực phải có từng cặp một.
Quy tắc tìm cận trên của các nghiệm của một đa thức.
Công thức biểu thị ổng các luỹ thừa thứ n của các nghiệm của một đa thức theo hệ số
của đa thức ấy.

 Newton là người giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên trên thế giới.
2.2

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

2.2.1 TIỂU SỬ
Gottfried Wilhelm Leibniz được sinh ra vào ngày 1
tháng 7 năm 1646 ở Leipzig cha là Friedrich Leibniz và mẹ
là Catherina Schmuck.
Khi Leibniz lên sáu tuổi, cha của ông, một Giáo sư Triết
học Đạo đức tại Đại học Leipzig, qua đời, để lại một thư
viện cá nhân mà Leibniz được tự do đi vào đọc từ năm lên
bảy tuổi.
Ông vào học đại học trường của cha ông vào năm 14 tuổi, và hoàn thành bằng đại học
năm 20 tuổi, chuyên về luật và nắm vững các khóa học đại học trong các môn cổ điển,
logic, triết học. Tuy nhiên, giáo dục của ông về toán không thỏa mãn tiêu chuẩn của Pháp
và của Anh.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

13

Vào năm 1666 (20 tuổi), ông xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông, cũng là luận án
habilitation của ông về triết học, De Arte Combinatoria (Về nghệ thuật tổ hợp). Khi
Leipzig từ chối không bảo đảm một vị trí giảng dạy về luật sau khi ông tốt nghiệp, Leibniz
đã trình luận án mà ông dự tính nộp cho Leipzig sang đại học khác, Đại học Altdorf, và có
được bằng tiến sỹ luật trong vòng 5 tháng. Sau đó ông từ chối một vị trí giảng dạy tại
Altdorf, và trải quãng đời còn lại phục vụ cho hai gia đình quý tộc lớn ở Đức.
a) Giai đoạn 1666–1674:

Vị trí đầu tiên của Leibniz là một giả kim thuật được trả lương ở Nürnberg, cho dù là
ông không biết gì về vấn đề đó cả.
Do đó Leibniz bắt đầu trải qua vài năm ở Paris, trong thời gian đó ông đã mở rộng hẳn
kiến thức về toán và vật lý của ông, và bắt đầu đóng góp vào cả hai ngành. Ông làm bạn
với một nhà toán học người Đức, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus; họ liên lạc với nhau
cho đến cuối đời. Đặc biệt là Leibniz đã làm quen với nhà vật lý và toán học người Hà Lan
là Christiaan Huygens, lúc đó khá nổi ở Paris. Ngay sau khi đến Paris, Leibniz đã thức tỉnh;
kiến thức của ông về toán và vật lý rất rời rạc. Với Huygens như là người hướng dẫn, ông
bắt đầu một chương trình tự học mà không lâu sau đã đem lại kết quả là ông bắt đầu có
những đóng góp lớn cho cả hai ngành đó, bao gồm cả việc đưa ra vi phân và tích phân theo
ý của ông.
Sau khi trình bày cho Hiệp hội Hoàng gia (Royal Society) một loại máy tính mà ông
thiết kế và xây dựng từ năm 1670, loại máy đầu tiên có thể tính được 4 phép toán cơ bản,
Hiệp hội đã phong ông làm thành viên nước ngoài.
Cái chết đột ngột của hai nhà bảo trợ Leibniz trong cùng một mùa đông đồng nghĩa với
việc Leibniz phải đi tìm một cơ sở mới cho sự nghiệp của ông. Vào năm 1673, Công tước
phong cho ông chức Cố vấn mà Leibniz miễn cưỡng chấp nhận 2 năm sau đó, chỉ sau khi
mọi việc rõ ràng là không có việc làm ở Paris, nơi ông có những cảm hứng về khoa học,
hay là với triều đình Hapsburg sắp tới.
b) Hoàng tộc Hannover 1676–1716:


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

14

Leibniz trì hoãn chuyến đi đến Hannover cho tới cuối năm 1676, sau khi làm một
chuyến đi ngắn tới London, nơi mà có lẽ ông đã được xem một số công trình chưa xuất bản
của Newton về vi tích phân. Sự kiện này dường như đã ủng hộ những lời cáo buộc, xảy ra
nhiều thập kỉ sau đó, rằng ông đã ăn cắp vi tích phân từ Newton.

Gia tộc Brunswick đã có những ưu đãi đáng kể với những công sức mà Leibniz dành
cho những theo đuổi về khoa học mà không liên quan gì đến việc triều đình, những việc
chẳng hạn như hoàn thiện vi tích phân, viết về những loại toán khác, logic, vật lý, và triết
học, và trao đổi thư từ với rất nhiều người.
Ông bắt đầu nghiên cứu về vi tích phân trong năm 1674; những chứng cứ sớm nhất là
những bài toán ông sử dụng nó còn lại trong những cuốn sổ tay của ông năm 1675. Cho tới
năm 1677 ông đã có một hệ thống hoàn thiện trong tay, nhưng không xuất bản nó cho tới
năm 1684. Những bài báo về toán quan trọng nhất của ông được xuất bản trong giai đoạn
1682 và 1692, thường là trong tạp chí ông và Otto Mencke sáng lập năm 1682, tạp chí Acta
Eruditorum. Tạp chí này đã đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao uy tín khoa học và
toán học của ông, và hệ quả là nâng cao uy tín của ông trong ngoại giao, lịch sử, thần học
và triết học.
Năm 1711, John Keill, viết trong tạp chí của Hội Hoàng gia (Royal Society) và với sự
ủng hộ của Newton, đã cáo buộc Leibniz ăn cắp vi tích phân từ Newton. Do đó đã bắt đầu
cuộc tranh cãi ai khám phá vi tích phân đầu tiên đã làm tối đi quãng đời còn lại của
Leibniz. Một cuộc điều tra chính thức bởi Hội Hoàng gia (trong đó Newton là một người
tham dự nhưng không công khai), đã diễn ra để đáp lại yêu cầu của Leibniz là Keill phải
rút lại lời cáo buộc đó. Các nhà viết sử toán học từ 1900 trở đi đã thừa nhận Leibniz vô tội,
chỉ ra những khác biệt quan trọng giữa hai phiên bản vi tích phân của Leibniz và Newton.
Leibniz qua đời ở Hannover năm 1716, vào lúc đó, ông bị thất sủng cho đến nỗi mà cả
George I cũng như các quan trong triều nào đến dự đám tang của ông, chỉ có người thư kí
riêng của ông dự tang. Mặc dù Leibniz là thành viên cả đời của Hiệp hội Hoàng gia Anh và
của Viện hàn lâm khoa học Berlin, cả hai tổ chức đó đều không đứng ra tổ chức tang lễ cho
ông. Mộ của ông không được đánh dấu trong hơn 50 năm.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

15

Leibniz không bao giờ lập gia đình. Đôi lúc ông phàn nàn về tiền nong, nhưng khoản
tiền không nhỏ mà ông để lại cho người thừa kế duy nhất của ông, con trai kế của em gái
ông, chứng tỏ là hoàng tộc Brunswick đã trả lương ông khá hậu. Trong những cố gắng về
ngoại giao, đôi khi ông đứng trên vùng ranh của những người không theo nguyên tắc nào
cả, hành vi khá phổ biến của những nhà ngoại giao thời đó. Trong một vài lần, Leibniz sửa
lại ngày tháng và thay đổi những ghi chép cá nhân, những hành động không thể được tha
thứ hay bảo vệ và đã đặt ông vào tư thế bất lợi trong cuộc tranh cãi về vi tích phân. Mặt
khác, ông khá nồng hậu và cư xử tốt, với nhiều bạn bè và nhiều người kính nể trên toàn
châu Âu.
2.2.2

MỘT SỐ CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU

a) PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN
Leibniz đã phát minh phép vi tích phân từ năm 1673 đến 1676.
Vào ngày 29 tháng 10 năm 1675, lần đầu tiên ông dùng dấu tích phân hiện đại, coi
như chữ S dài lấy từ chữ cái đầu tiên trong từ chữ Latin summa (tổng) để chỉ ra tổng
của những cái không phân chia được của Cavalieri.
Vài tuần sau, ông viết các vi phân và đạo hàm như ta viết ngày nay, và ông cũng
viết các tích phân là

 ydy,  xdx . Tham luận đầu tiên của ông về phép toán vi phân mãi

đến năm 1681 mới được công bố.
Nhiều quy tắc sơ cấp về lấy vi phân thường được trình bày trong các giáo trình đại
học là của Leibniz.
Quy tắc tìm đạo hàm bậc n của tích 2 hàm số vẫn được coi là quy tắc Leibniz.
n

n

 f .g    k  f k  g nk 
n 

k o

Leibniz rất nhạy cảm về một hệ kí hiệu hợp lý. Cách kí hiệu của ông trong vi tích
phân tỏ ra rất phong phú. Nó rõ ràng, thuận tiện hơn, linh hoạt hơn nhiều so với cách kí
hiệu của Newton.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

16

Giữa Newton và Leibniz đã có bút chiến về quyền phát minh ra Phép tính vi – tích
phân. Ý kiến chung là mỗi người khám phá ra phép tính này một cách độc lập. Trong
khi những khám phá của Newton được thực hiện trước thì những kết quả của Leibniz
được công bố trước. Chính vì vậy mà câu hỏi ai là người phát minh ra phép tính vi tích
phân đã được tranh cãi trong suốt 1 khoảng thời gian dài.
Năm 20 tuổi, Leibniz đã xuất bản một công trình toán học đầu tiên là: “Lược khảo
về sự phân tích tổ hợp”.
Trước khi đến Paris, Leibniz đã bỏ ra nhiều công sức nghiên cứu vấn đề tổ hợp và
đã thấy trong đó cơ sở toán học của logic hiện đại.
Ở Paris, những cuộc gặp gỡ trao đổi khoa học giữa Leibniz và Huygens đã đưa ông
tới các vấn đề vi phân của toán học.
Huygens đã nêu cho Leibniz một loạt các bài toán nối liền những vấn đề này với tổ
hợp. Khi giải một trong các bài toán của Huygen vê việc tìm tổng các số hạng dạng:
2
2

2
 
k (k  1) k k  1

Leibniz cũng đã tìm thấy tổng của một số chuỗi và các hiệu hữu hạn cấp cao. Ông đã
nghiên cứu rất kỹ lưỡng các tác phẩm của Descartes , Cavalieri, Valit, Pascal, Huygen và
các nhà toán học khác.
Leibniz cũng đã viết thư gửi với Hooke, Boyle và Pell về những kết quả của dãy số
nhưng Pell viết thư trả lời rằng những điều đó đã được tìm thấy trong một quyển sách
của Mouton. Trong những ngày sau, Leibniz đã tra cứu sách của Mouton và khẳng
định được Pell đã nói đúng.
Leibniz đã gặp lại Huygen và tiếp tục nghiên cứu toán học, ông đã áp dụng tam giác
Pascal vào việc giải bài toán dựng tiếp tuyến với đường cong. Dần dần ông nghĩ dến
khả năng cộng các hiệu (dx và dy) là cạnh của tam giác đặc trưng. Những bài toán về
cầu phương cũng dẫn tới tổng các hiệu nhỏ đó.
Leibniz đã nêu các giả thiết rằng việc giải các bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến
có thể dẫn tới phép cầu phương (sau này là phép tích phân).


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

17

Phép tính của Leibniz đã hình thành với những nét tổng quát từ những yều tố sau:
Những bài toán lấy tổng của chuỗi và sự đưa vào các sai phân hữu hạn.
Việc giải các bài toán tiếp tuyến, tam giác đặc trưng của Pascal và việc chuyển đàn các
hệ thức giữa những phần tử hữu hạn thành tùy ý và rồi thành những phần tử vô cùng bé.
Những bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến việc lấy tổng các sai phân vô cùng bé, sự
phát minh ra các tính chất tương hỗ của các bài toán vi phân và tích phân.
Mùa thu 1676 Leibniz đã phát minh ra mối quan hệ d(xn)=n.xn-1.dx

Trong khoảng thời gian này , Newton và Leibniz đã thư từ cho nhau xoay quanh vấn
đề ai là người tìm ra phép vi tích phân. Tuy nhiên sự trao đổi thư từ này đã chấm dứt vì
Newton đã đình chỉ trả lời thư bạn.
Cũng như Newton, Leibniz đã không nghĩ đến việc xuất bản phép tính ngay mà ông
mong mỏi thời gian tích lũy kinh nghiệm và nghiên cứa sẽ hoàn thiện được vấn đề hơn
về mặt lý luận.
Năm 1684 trong tạp chí “ Acta Enichtoreem” , Leibnix đã công bố tập hồi ký đầu
tiên về giải tích các vô cùng bé. Hồi kí này chưa đến 10 trang giấy, đó là bài luận giải
về phép tính vi phân, trong đó không có các chứng minh, tuy nhiên, đây là lần đầu tiên
phép tính vi phân xuất hiện trên các trang của một tạp chí khoa học như một đối tượng
của toán học, dưới hình thức và cấu trúc hiện đại của nó.
Vi phân đối số d(x) là đại lượng hoàn toàn tùy ý.
Vi phân hàm số d(y) được xác định:

dy=

ydx
, s t là tiếp ảnh với đường cong tại
st

(x,y).
Leibniz đã chứng minh được:


4

 1

1 1
1

  ...  (1) n
2 3
2n  1

Năm 1686, Leibniz cho xuất bản tác phẩm “Về hình học sâu sắc”. Leibniz đã trình
bày các quy tắc tính tích phân của hình học sơ cấp. Trong năm này, Leibniz xây dựng
được cơ sở lý thuyết về sự tiếp xúc của các đường cong, đưa ra “vòng tròn mật tiếp” vá
áp dụng nó vào việc đo độ cong của các đường cong.


LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH

18

Năm 1692, Leibniz đặt nền móng cho lý thuyết về hình bao, điều này được phát
triển xa hơn vào năm 1694, ông giới thiệu về giới hạn tọa độ, trục tọa độ.
Lý thuyết định thức cũng được xem là bắt nguồn từ Leibniz năm 1693, khi ông xem
xét các dạng liên hệ với những phương trình tuyến tính tương thích. Mặc dù việc xem
xét như vậy đã được thực hiện ở Nhật trước đó 10 năm bởi ông Saki Kowa. Và sau này
lý thuyết đó được nhà toán học Cramer phát triển thành “Qui tắc Cramer”.
Cũng trong năm 1693, Leibniz đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu
việt bằng cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định.
Năm 1695, Leibniz đã xuất bản qui tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công
thức vi phân của tích
dm(xy)=dm(x)d0y +

m (m-1)
m( m  1) (m-2)
d (x)dy +
d (x)d2(y) + …

1
2

Cùng lúc ông còn mở rộng khái niệm vi phân cho các số mũ âm vá số mũ là phân
số.
Năm 1702, Leibniz đã tìm thấy cách lấy vi phân của phân số hữu tỉ, khái quát địnhlý
nhị thức thành địnhlý đa thức.
Năm 1714, Leibniz viết “ Lịch sử và nguồn gốc của phép tính vi phân”.
Phép tính vi tích phân là công trình toán học lớn nhất của Leibniz, chính bằng các
phương pháp của phép tính này Leibniz đã giải quyết hàng loạt vấn đề mà các bác học
cùng thời không làm nổi.
b) MÁY TÍNH CỦA LEIBNITZ
Leibnitz vẫn là nhà tiên phong vĩ
đại nhất của việc tính toán cơ học và
của một số nguyên lý cơ bản của tin
học.
Máy tính nhân của ông, thực hiện
năm 1671, đã đưa ra một ý tưởng mới: việc quay đồng thời những bánh răng khác nhau
tương ứng với các hàng lẻ của những số máy đang tính.