Bài toán thể tích trong Hình học lớp 12

Bài toán thể tích-hình học lớp 12

I. Kiến thức cơ bản:

1) Cho ∆ABC vuông ở A ta có :
A
a) Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2
2
2
b) BA = BH .BC ; CA = CH .CB
c) AB. AC = BC. AH
1
1
1
=
+
d)
2
2
AH
AB
AC 2
C
H
AC
CB
AC
, cosB =
, tan B =
e) sin B =
AB

AB
CB
2) Công thức tính diện tích tam giác :
1
a2 3
Đặc biệt : ∆ABC vuông ở A : S = AB. AC , ∆ABC đều cạnh a: S =
2
4
3) Định lý đường trung bình, Talet.
4) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
 d ⊥ a; d ⊥ b
⇒ d ⊥α

 a, b ⊂ α ; a ∩ b ≠ ∅
 d ⊥α
⇒d ⊥a
5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: 
a ⊂ α
6) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α :
S
+ Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng α
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
7) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
A'
A
'
∈
SA
,
B

'
∈
SB
,
C
'
∈
SC
Cho hình chóp SABC,
, ta có:
VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
(*)
C'
VSABC
SA SB SC
A

B

B'

B

II. Nội dung chính:
Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài
cho học
C

sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách
khác nhau.
1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của
khối đa diện.
Phương pháp:
+ Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc
giữa SC và đáy bằng 60ο .
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Lời giải:
a)Ta có

1
V = S ABCD .SA
3

2
2
+ S ABCD = (2a ) = 4a

3

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
+ ∆SAC có : SA = AC tan C = 2a 6

S

1 2
8a 3 6
⇒ V = 4a .2a 6 =
3
3

M

B

A
H

D
C

b) Kẻ MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC )
1
1
Ta có: MH = SA , S BCD = S ABCD
2
2

Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của khối,
1
2a 3 6

tính độ dài đường cao SA.
⇒ VMBCD = V =
+Xác định được đường cao trong trường hợp
4
3
chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy
của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông
Nhận xét:
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC )

D

1
V = S ABC .DO
3

M

+ S ABC =
A

H

C

a2 3
2
a 3
, OC = CI =
4
3
3

+ ∆DOC vuông có : DO = DC 2 − OC 2

O

=

I

a 6
3

Yêu
1 a 2 3 a 6 a3 2
cầu:
⇒V =
.
=
+ Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện đều và
3 4
3

12
tính chất đặc biệt của khối.
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
+Xác định được đường cao và ghi thể tích của mp(ABC) là MH
khối
1
a 6
MH = DO =
+Sử dụng được định lý Pitago
2
3
Nhận xét:
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b
B

4

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao
điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

Ta có : V = AB. AD.AA '

B

A
O

= a 3.a 2 = a 3 3

M

D

c

A'

B'

.
∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường
cao giống khối hộp nên:

1
a3 3
⇒ VOA ' B ' C ' D ' = V =
3
3

b) M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB ' C ')
Yêu cầu:
+Học sinh xác định công thức thể tích của
1
1 a 2 a 3 a3 3
⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' .OM = . .
=
khối hộp và khối chóp.
3
3
2
2
12
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng
c)
Gọi
C’H
là
đường
cao
đỉnh
C’
của
tứ
diện
để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là
3VOBB 'C '
(BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
OBB’C’. Ta có : C ' H =
SOBB '

+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
D'

C'

∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
1
⇒ SOBB ' = a 2 ⇒ C ' H = 2a 3
2
+ Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật.
+ Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích.
2) Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
Lời giải:
A
B
Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D
C
D’ACD, AB’A’D’.
+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau
nên có cùng thể tích.
A'
B'
1 1 2

1 3
Khối CB’D’C’ có V1 = . a .a = a
3 2
6
C'
D'
+ Khối lập phương có thể tích:
Yêu cầu:
V2 = a 3
+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối
1
1
với khối nhỏ đang tính
⇒ VACB ' D ' = a 3 − 4. a 3 = a 3
6
3
5

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
Nhận xét:
+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn
+ Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành
“hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học sinh
tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC,

mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
E
C
A
Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

1
VA ' B ' BC = S A ' B ' B .CI
3
1 a 2 a 3 a3 3
=
.
=
3 2 2
12

F

I
B

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và
CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A
C'

A'
J

nên

1
VA 'CEF = SCEF . A ' A
3

Yêu cầu:
1
a2 3
S
=
S
=
B'
CEF
ABC
+ Học sinh biết
cách tính khối
4
16
A’B’ BC
3
a 3
+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai
⇒ VA 'CEF =
48
khối chóp tam giác.
+Gọi
J

là
trung
điểm B’C’. Ta có khối
+ Biết được đường thẳng nào vuông góc
với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên
1
khối CEFA’.
VA ' B 'CF = SCFB' . A ' J
+ Tương tự cho khối CFA’B’

3

SCFB' =
⇒ V A ' B ' CF
+ Vậy :

1
a2
SCBB ' =
2
4
2
1 a a 3 a3 3
=
=
3 4 2
24

VCA'B'FE

a3 3
=
16

+ Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết. Elà trung điểm
thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh.
+Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối
A’B’CF
3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện
Phương pháp:
+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích .
+ Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho.
+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp.

6

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vuông góc
với đáy, SA = a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, mặt phẳng α qua AG và song song với BC cắt
SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
S

1

VS . ABC = S ABC .SA
3
SA = a

a)Ta có:
+

+ ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a
1
G
⇒ S ABC = a 2
A
2
C
M
1 1
a3
I
Vậy: VSABC = . a 2 .a =
Yêu cầu:
3 2
6
+Học sinh ghi được
thể
tích
khối
B
b) Gọi I là trung điểm BC.
SABC và tính.
SG 2

=
G là trọng tâm,ta có :
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn
SI 3
thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối.
α // BC ⇒ MN// BC
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích
SM SN SG 2
đối với khối chóp
⇒
=
=
=
SB SC SI 3
V
SM SN 4
⇒ SAMN =
.
=
VSABC
SB SC 9
N

4
2a 3
Vậy: VSAMN = VSABC =
9
27
Nhận xét:
+Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet

+Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối
khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa.
Bài 7: (Bài 9/26 Sgk)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt
SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
S
Lời giải:
a) Gọi I = SO ∩ AM .
Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD
M

B

I

C
F

+ ∆SOC có : SO = AO.tan 60ο =

O
A

1
VS . ABCD = S ABCD .SO
3

2
+ S ABCD = a

b)

E

D

7

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong

a 6
2


Bài toán thể tích-hình học lớp 12

a3 6
=
6

Vậy : VS . ABCD
Yêu cầu:
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn
c) VS . AEMF :
của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
SM 1

khi đã làm qua nhiều bài tập.
=
Ta có : ⇒
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF.
SC 2
Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối
∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài
SI SF 2
⇒
=
=
5)
SO SD 3
V
SM SF 1
⇒ SAMF =
.
=
VSACD SC SD 3
1
1
a3 6
⇒ VSAMF = VSACD = VSACD =
3
6
36

⇒ VS . AEMF

a3 6 a3 6
=2
=
36
18

Nhận xét:
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F.
+Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet
+Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn
Bài 8: (Bài 5/26 Sgk)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
D

F

C

E

B

Yêu cầu:
A minh

+Học sinh chứng
được
đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
DE
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
,
DA
DF
.
DB
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông
8

a)Tính

VABCD

Ta có:

1
1
VABCD = S ABC . AD = a 3
3
3

b) Ta có: AB ⊥ AC , AB ⊥ CD
⇒ AB ⊥ EC
Ta có: DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD)
c) Tính

VDCEF :

VDCEF DE DF
=
.
(*)
VDABC DA DB
Mà DE.DA = DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1
⇒
=
=
=
2
2
DA DA
2a
2
Tương tự:
Ta có:

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
để suy ra

DE

DA

DF DC 2
a2
1
=
=
=
2
2
2
DB DB
DC + CB
3
Từ (*) ⇒

VDCEF 1
= .
VDABC 6
1
a3
VDCEF = VABCD =
6
36

Vậy

Nhận xét:
+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
DE DC 2

+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số
từ hệ thức DE.DA = DC 2 trong tam giác
=
2
DA DA
vuông và khắc sâu để sử dụng.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC
tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải:
S

a) Ta có:

VS . ABCD

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3
3

b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '
SB ⊥ AB '
Ta có
AB ' ⊥ ( SBC )
Suy ra:

B'

C'
D'

c) Tính

I
B

A

+Tính

VS . AB ' C ' :

VSA ' B ' C ' SB ' SC '
=
.
(*)
VSABC
SB SC
SC ' 1
=
∆SAC vuông cân nên
SC 2
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
Ta có:

= 2 = 2
=
=
SB SB
SA + AB 2 3a 2 3
VSA ' B ' C ' 1
=
Từ (*) ⇒
VSABC
3
Ta có:

O

Yêu cầu:
+Học
sinh
biết chứng minh AB ' ⊥ ( SBC )
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng
nhau: S . AB ' C ', S . AC ' D '
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
C

D

VS . A B 'C ' D '

1 a3 2 a 3 2
⇒ VSA ' B 'C ' = .
=

3 3
9
+

VS . A B 'C ' D ' = 2VS . A B 'C '

2a 3 2
=
9

Nhận xét:

9

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong


Bài toán thể tích-hình học lớp 12
+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả thiết
để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a,
“Cạnh SA=c” được thay bởi " SA = a 2 " . Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc
tính toán quá nặng.
+Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.

4)Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA=
a 2 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC= a 2 , góc giữa AC’ và
mp(A’A’C’D’) bằng 30ο . M là trung điểm AD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
b) Tính thể tích khối MACB’
Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’.
b) Tính thể tích khối CBA’B’
Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và
mp(ABC) bằng 60ο . Tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a 2 ,
SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính thể tích khối SAEF.
c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là trung điểm
SB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.DCM
c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật, AB =
2BC=a, SA= a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK
C.Kết quả:
Với thời lượng 6 tiết bài tập, dưới sự hướng dẫn của giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi
với nhau, học sinh giải được 9 bài tập mà trong đó bài sau có một hay vài yêu cầu tương tự bài
tập trước giúp học sinh có thể nắm, hiểu, làm bài tại lớp. Kết quả, học sinh tích cực tham gia
giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản. Cụ thể như sau:

10

gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong