TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Kiểm tra bài cũ

Hình sau, biết ·AMB = ·ANB .Chứng minh các điểm A, M,
N, B cùng nằm trên một đường tròn.
N
M

A

B


Kiểm tra bài cũ
Phát biểu nào sau đây là sai ?
a.Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng
nhau chắn các cung bằng nhau.
b. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
c. Qua ba điểm, ta vẽ được một và chỉ một đường
tròn.
d. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc
với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.


A

O

M

N

K

B

C

Qua ba điểm không thẳng hàng, chỉ vẽ được một
và chỉ một đường tròn.


TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:
B

M

A

Q

M

N

N

C

O

DHình

I

a

P

Hình b

I

Q

P

Hình c

Đònh nghóa:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp)


TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Hãy chỉ ra các tứ giác
nội tiếp trong hình sau:

A

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:
Đònh nghóa: SGK/ 87

B
O

E

2. Đònh lý: SGK/ 88

M
C

D

Các tứ giác nội tiếp là:
ABCD ; ABDE ; ACDE
Tứ giác không nội tiếp là:
AMDE


2. Đònh lý:
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện
bằng 1800.
A

GT
B

D

Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
µA + C
µ = 1800
µ +D
µ = 180 0
B

KL

O

C

Chứng minh:
µ là góc nội tiếp chắn BCD
¼
A
Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
¼
µ
1
¼
BAD
là
gó
c
nộ

i
tiế
p
chắ
n
µ
¼
C
Ta có: A = sd BCD (gnt chắn BCD )
2 sd BCD
¼
¼ + BAD
= 3600
µ = 1 sd DAB
¼
¼
(gnt chắn DAB
)
C

(

)

2
1
1
µ
µ
¼

¼
⇒ A + C = sd (BCD + DAB ) = .360 0 = 180 0
2
2

µ +D
µ = 180 0
Chứng minh tương tự B


Bài tập 53/ 89 SGK:
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào
ô trống trong bảng sau (nếu có thể):
Tr.hợp
Góc

1

2

3
60

A

80

750

B

70

105

C
D

0

4
0

5

6

β
0
0
95
0
0 106
0 < β <180

α
00< α <1800

400

650

820

1000 1050

1200

1800 - β

740

850

1100 750

1800 - α

1400

0

0

1150 980


3. Đònh lý đảo:
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

B

C
A

O

m

GT
KL

Tứ giác ABCD có
µ +D
µ = 180 0
B

Tứ giác ABCD nội tiếp

Chứng minh
Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng ta vẽ được đường tròn tâm O
µminh
Muố
chứnanggB
minh
tứtrê
giá
cABCD
ABCD
itiế

tiếpp
Ta co:ù ¼
cung
chứ
dựngtứ
n cđoạ
n thẳnộ
nnộ
giAC
ABC làMuố
nnchứ
giá
µ¼
¼
ta
chứnchứ
nggminh
minh
điể
m0D– ỴB
AmC làta
cung
a gócđiể
180
dựng trên đoạn thẳng AC
chứ
m
AmC
µ (gt)
µ = 1800 – B

Mà D
AmC
Suy ra D Ỵ ¼
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp
D


A

B

D

C

M

Q

E

N

P

F

H

Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp

được đường tròn.
Hình thang nội tiếp có phải là hình thang cân không ?

K


TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:
Đònh nghóa:SGK/ 87
2. Đònh lý: SGK/ 88
3. Đònh lý đảo: SGK/ 88
 Bài tập áp dụng

Các cách chứng minh
tứ giác nội tiếp
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một
đường tròn (dựa vào đònh nghóa).
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối
diện bằng 1800 (dựa vào đònh lý đảo).
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn
đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới
hai góc bằng nhau (dựa vào cung
chứa góc).


BÀI TẬP ÁP DỤNG

Cho ∆ ABC nhọn, H là giao điểm của các đường cao BK, CF.
A

F

nhọnộ
n.i tiếp.
Chứng minh các tứ giác AFHK∆ABC
; BFKC
BK ⊥ AC, CF ⊥ AB
GT
BK Ç CF = { H }
K
Tứ giác AFHK, BFKC
KL
nội tiếp

H
1 2

B

D

Khai thác bài toán:

C

a) Xét tứ giác AFHK ta có:
·
·
AFH

= AKH
= 900 (gt)
·
·
Þ AFH
+ AKH
= 1800
Vậy tứ giác AFHK nội tiếp
đường tròn đường kính AH.

 AH
Ç BC
b) Xé
t tứ =
giá{ cDBFKC
có: vẽ còn có tứ giác nào nội tiếp ?
}. Trêntahình
· ==90
· 0 (gt)
·g minh
· ABC
 ChứnBFC
AKF
= BKC
 ChứnMà
g minh
n giá
củpa cù
góncgFDK.
F và DA

K làlà
haiphâ
đỉnh
liênc tiế
nhìn BC dưới một góc
ng. H là tâm đường tròn nội tiếp ∆FDK.
 Chứnvuô
g minh
⇒ Tứ giác BFKC nội tiếp đường tròn đường kính BC.


 Bài tập thêm:

TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:
Đònh nghóa: SGK/ 87
2. Đònh lý: SGK/ 88
3. Đònh lý đảo: SGK/ 88
 Bài tập áp dụng

Cho ∆ ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho
1·
·
= ACB
DB = DC và DCB
.
2
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Xác đònh
tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C

b) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N, trên AN lấy
điểm M sao cho NM = NB. Chứng minh ∆
NBM đều.
c) Khi N chạy trên cung nhỏ BC thì M chạy trên
đường cố đònh nào? A

M

 Hướng dẫn tự học

1. Bài vừa học:

Học đònh nghóa, đònh lý và cách
chứng minh tứ giác nội tiếp.
- Làm BT 54, 55, 58/ 89 SGK.
2. Bài sắp học: Luyện tập

.

-

B

1

2

2

D

1

N

C