Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2016 Đề số 1

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

ĐỀ SỐ 01
2x  1
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.

Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số y 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 , biết x 0 là nghiệm
dương của phương trình 4y ' 3  0 .
Câu 2. (1,0 điểm).
a) Giải phương trình sin 2x  cos 2x  2 sin x  1 .





b) Cho số phức z thỏa mãn z.z  3 z  z  5  12i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
w  1  z  iz .

Câu 3. (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  x 2 .

Câu 4. (1,0 điểm). Giải bất phương trình
ln 2

Câu 5. (1,0 điểm). Tính tích phân I 


0

4x  1  x 2  2x  2 1  x  .



e x x  e x  1 dx .



Câu 6. (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a , cạnh
bên SA  2a . Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt
phẳng SBC  và đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA , BC .
Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm A 0;2 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC . Trên tia đối của BH lấy điểm E sao cho
BE  AC . Tìm tọa độ điểm B , biết diện tích của hình chữ nhật bằng 6, điểm B có tung độ dương
và phương trình đường thẳng DE : x  y  0 .
Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;1; 1 , B 1;1;2 ,
C 1;2; 2 và mặt phẳng P  : x  2y  2z  1  0 . Tính khoảng cách từ trung điểm M của AB đến

P  và viết phương trình đường thẳng 

đi qua C đồng thời vuông góc với AB , song song với P  .

Câu 9. (0,5 điểm). Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có ba quầy. Tính xác suất
để 3 người cùng đến quầy thứ nhất.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
1
z  x  y  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x
y
2z
P


.
2y  z z  2x x  y  z

..…. Hết……
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………; Số báo danh:………………………

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. a)
● Tập xác định: D   \ 1 .
●

Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y ' 

3
2

x  1

 0, x  D .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  .
-

Giới hạn và tiệm cận:
lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2
x 

x 

lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 .

x 1

-

●

x 1

Bảng biến thiên

 1 
Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận
 2 
làm tâm đối xứng.
y






b) Ta có y ' 

3
2

x  1

1

2



nên 4y ' 3  0  y '  



3
2

x  1



x



3
4

x  3
2
3
.
 x  1  4  
x  1
4


Vì x 0 là nghiệm dương của phương trình 4y ' 3  0 nên ta chọn x 0  3 .
Với x 0  3 , suy ra y0 

2x 0  1
x0  1



7
3
và y ' x 0    .
4
2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

3
7
3
23
x  3  2   4 x  4 .
4


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp

Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

Câu 2. a) Phương trình  2 sin x cos x  1  cos 2x  2 sin x  0
 2 sin x cos x  2 sin2 x  2 sin x  0
 2 sin x cos x  sin x  1  0.

● sin x  0  x  k  , k   .
x  k 2


 



● cos x  sin x  1  0  sin x    sin  
k   .
x    k 2

4 
4

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  k  , x 


 k 2 , k   .
2

b) Đặt z  a  bi a, b    . Từ giả thiết, suy ra:
a 2  b 2  5
a  1
a 2  b 2  6bi  5  12i  
 
.
6b  12
b  2



a  1
● Với 
, ta có z  1  2i suy ra

b  2


w  1  z  iz  1  1  2i   i 1  2i   3i .
Do đó số phức w có phần thực bằng 0 , phần ảo bằng 3 .
a  1
● Với 
, ta có z  1  2i suy ra

b  2


w  1  z  iz  1  1  2i   i 1  2i   2  i .
Do đó số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 1 .
Câu 3. Tập xác định: D  2;2 .


Ta có f x  xác định và liên tục trên đoạn 2;2 .


x2

Đạo hàm f ' x   4  x 2 

4  x2



4  2x 2
4 x2

;

x  2  2; 2


 .
f ' x   0  4  2x  0  

x   2  2;2




2

Ta có f 2  0 ; f

 2   2 ; f  2  2 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x  bằng 2 khi x   2 ;
giá trị lớn nhất của f x  bằng 2 khi x  2 .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

 1
  x  0
 4
.

x  2

Với điều kiện trên ta có 1  x  0 nên bất phương trình tương đương với
4x  1  0

Câu 4. Điều kiện:  2

x  2x  0


2

4x  1  x 2  2x  2 1  x 





 4x  1  x 2  2x  2 4x  1  2 x 2  2x .

a  4x  1

Đặt 
b  x 2  2x


a,b  0 , bất phương trình trở thành
2

2

a  b  2a 2  2b2  a  b   2a 2  2b 2  a  b   0  a  b .

4x  1  x 2  2x  4x  1  x 2  2x

Với a  b , ta có

 x 2  6x  1  0  x  3  10 .
Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là





S  3  10; 3  10 .

Nhận xét. Để ý thấy đây chính là một bất đẳng thức ngược nên nghiệm của bất phương trình là dấu ‘’=’’ xảy
ra trong bất đẳng thức. Bằng cách đặt ẩn phụ ta đưa về dạng A2  0  A  0 .
ln 2

Câu 5. Ta có I 



xe x dx 

ln 2



0
ln 2

●

A


0

0

u  x
du  dx

xe x dx . Đặt 

.
dv  e x dx
v  e x


ln 2

Khi đó A  xe x

ln 2


0

ln 2

●

B



ex e x  1dx .



ln 2

ex dx  2 ln 2  e x

 2 ln 2  1 .
0

0

e x e x  1dx . Đặt t  e x  1  t 2  e x  1 , suy ra 2tdt  e x dx .

0

Đổi cận: với x  0 thì t  0 ; với x  ln 2 thì t  1 .
1

Khi đó B 



0

2t 2dt 

2t 3
3

Vậy I  A  B  2 ln 2  1 

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

1


0

2
.
3

2
1
 2 ln 2  .
3
3


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp

Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

Câu 6. Gọi H là trung điểm AC , suy ra SH  AC .
Mà SAC  vuông góc với ABC  theo giao tuyến AC nên SH  ABC  .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì BC  AB suy ra HM  BC .



Do đó SBC  , ABC   SM , HM  SMH .

S

Ta có SA  2a , suy ra SC  SA  2a ;

SM  SC 2  MC 2 
K
A

D

SH  SM . sin 600 

a 15
;

2

3a 5
;
4

E
C

H

AC  2HC  2 SC 2  SH 2 

M

AB  AC 2  BC 2 

B
Diện tích tam giác ABC là: SABC 

a 19
;
2

a 15
.
2

1
a 2 15

BA.BC 
.
2
4

1
5a 3 3
S ABC .SH 
(đvtt).
3
16
Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bành hành. Khi đó

Do đó VS .ABC 













d BC , SA  d BC , SAD   d C , SAD   2d H , SAD  .

1

a 15
.
AB 
2
4
Gọi K là hình chiếu của H trên SE , suy ra HK  SE .
Kẻ HE  AD , suy ra HE  HM 

Ta có AD  SHE  nên AD  HK .





Do đó HK  SAD  nên d H , SAD   HK .
Trong tam giác vuông SHE , ta có HK 

SH .HE
2

SH  HE

Vậy d BC , SA  2HK 

2



3a 5
.

8

3a 5
.
4

Câu 7. Kẻ EF  AD F  AD  . Gọi K  EF  BC .
Xét hai tam giác vuông ABC và BKE , ta có
BE  AC


  ABC  BKE nên BC  KE và AB  KB .
KBE  BAC


Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai
F

K

E

H

D

  450 .
Suy ra tam giác EFD vuông cân tại F nên ADE

Gọi n  a; b  với a 2  b 2  0 là vectơ pháp tuyến của

đường thẳng AD , n1  1; 1 là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng DE . Ta có
 

cos AD
, DE  cos n, n1 

 

B

A

●

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

2

2

a b
2 a 2  b2



2
2

a  0
 ab  0  
.
b  0

C

a  0 , chọn b  1 . Phương trình đường thẳng AD : y  2  0 .

x  y  0
Tọa độ điểm D thỏa mãn hệ 
 D 2;2 .

y  2  0

Đường thẳng AB qua A và vuông góc AD nên AB : x  0 .
Vì B  AB nên B 0;b  với b  0 . Ta có
SABCD  AB.AD  b  2 .2  6  b  5 hoặc b  1 (loại).

Suy ra B 0; 5 .
●

b  0 . chọn a  1 . Bạn đọc làm tương tự và tìm được B 3;2 .

Nhận xét. Đề bài cho tọa độ điểm A và đường thẳng DE. Như thế ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa chúng. Từ giả
thiết ABCD là hình chữ nhật và BE=AC ta chứng minh được AD hợp với DE một góc 450 .

1
Câu 8. Tọa độ trung điểm điểm của AB là M 1;1;  .

2 





Do đó d M , P  

1
1  2.1  2.  1
2



1
.
3

144



Ta có AB  0; 0; 3 ; Mặt phẳng P  có VTPT n  1; 2; 2 .

Đường thẳng  đi qua C 1;2; 2 đồng thời vuông góc với AB , song song với P  nên có VTCP

 


u  AB, n   6; 3; 0 .


x  1  6t

Vậy phương trình đường thẳng  : y  2  3t , t   .

z  2

Câu 9. Mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 38 khả năng xảy ra.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là   38 .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

Gọi A là biến cố '' Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc ba '' , có hai
giai đoạn:
●

Có C 83 cách chọn 3 người khách vào quầy thứ nhất.

●

Còn lại 5 người khách xếp vào hai quầy. Mỗi người khách có hai cách chọn (vào quầy thứ hai hoặc thứ

ba). Suy ra có 25 cách xếp.
Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là A  C 83 .25 .
Vậy xác suất của biến cố A là P A 

C 83 .25
38

 0, 273 .

Câu 10.
2

a 2 b 2 a  b 
Trước hết ta chứng minh:


* với a, b   và x, y  0 .
x

y
x y
a 2 b2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
 x
y 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b 2 
a
b 


 y.
  x  y     .
 x .
 x
y 
x
y 


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

a
b
 .

x
y
2

x  y  .
x
y
x2
y2
Áp dụng * , ta có




2y  z z  2x 2xy  zx yz  2xy 4xy  z x  y 
1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
2

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được:
2

2

x  y 
x  y 
.

4xy  z x  y  x  y 2  z x  y 

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Do đó
x  y 2


 z 

2

P

x  y 
2z
2



.
2
2
x  y  z x  y 
x y
x

y

z
x


y
x

y
   
1
 

 z

1 
x y
1
. Từ z  x  y  z , suy ra t   ;1 .
2 
z
2


t
2
t 2
Khi đó: P 


.
t 1 t 1 t 1

Đặt t 

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97




z

z


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai
Xét hàm f t  

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

1 
1 
t 2
1
, t   ;1 . Ta có f ' t  
 0 , t   ;1 .



2 
2
t 1
2 


t  1

1 
1 
3
Suy ra f t  nghịch biến trên  ;1 nên f t   f 1  , t   ;1 .
2 
2 
2




x y
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1 
 1.
3
z
x  y
3
Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi 
.
x  y  z
2


3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng ; khi 2x  2y  z .
2

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97