Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2016 Đề số 2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ SỐ 02
3

2

Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số y  x  3x  mx  m  2

1 ,

với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x 2 thỏa mãn:
x12  x 22  3 x1  x 2   12 .

Câu 2. (1,0 điểm).


a) Tìm nghiệm x  0; 2 của phương trình cos x  3 sin x  2  2 sin 2x   .

4 





b) Tìm số phức z thỏa mãn z  1 z  2i là số thực và z  2 2 .





Câu 3. (0,5 điểm). Cho hàm số y  x tan x . Chứng minh rằng x 2y '' 2 x 2  y 2 1  y   0 .

 x  1  2 y  1  y  9

4
Câu 4. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  x  1
y 1
1




x 1  1 3
 y  1  1
1

Câu 5. (1,0 điểm). Tính tích phân I 



x 3  3x 2  3x  1

0

2

x  1

x , y    .

dx .

Câu 6. (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ,
AD  DC  a , AB  2a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC  tạo với đáy góc 450 . Tính

theo a thể tích khối chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .
2

2

Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C  : x  2  y  1  8 và
đường thẳng d : 3x  4y  35  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc d để từ M kẻ đến C  hai tiếp tuyến MA ,
MB ( A , B là các tiếp điểm) sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
x  2  t

Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : y  1 nằm trong mặt

z  4


phẳng P  và điểm I 2; 1;2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên P  . Tìm tọa độ điểm K là
hình chiếu của I trên  và viết phương trình mặt phẳng P  , biết tam giác IHK vuông cân.
Câu 9. (0,5 điểm). Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Tính
xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

2 x  y 
z 2  4xy



3z 2
z 2  4xy

.


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  2 .
●
●

Tập xác định: D   .
Sự biến thiên:
-

x  0
Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x  3x x  2 ; y '  0  
.
x  2

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0;  ;
nghịch biến trên khoảng 2; 0 .
-

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCD  2 ;
đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  2 .

Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   .
x 

x 

Bảng biến thiên

●

Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1;2 , 3; 2 .
y
y

2
x
-2

O
-2

b) Ta có y '  3x 2  6x  m .
Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt
  'y '  9  3m  0  m  3 .

Khi đó các điểm cực trị có hoành độ x1 , x 2 là nghiệm của phương trình y '  0 . Theo Viet, ta có
x1  x 2  2 và x1x 2 

m
.
3

Yêu cầu bài toán x12  x 22  3 x1  x 2   12

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai
2

 x1  x 2   2x1x 2  3 x1  x 2   12
m
 3 2  12  m  3 .
3
Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  3 .
Câu 2. a) Phương trình đã cho tương đương với
cos x  3 sin x  2  sin 2x  cos 2x
2

 2  2.

 cos x  3 sin x  2  sin 2x  2 cos2 x  1





 2 cos2 x  cos x  3  sin 2x  3 sin x   0
 cos x  12 cos x  3  sin x 2 cos x  3  0
 2 cos x  3cos x  1  sin x   0.
3

: phương trình vô nghiệm.
2


● cos x  1  sin x  2 sin x    1

4 

● 2 cos x  3  0  cos x 


 

 sin x    sin   

4 
 4 

Với x  


x     k 2

2

x    k 2

k   .




1
5
 k 2 , do x  0; 2 nên 0    k 2  2    k  .
2
2
4
4

Vì k   nên ta chọn k  1 , suy ra x 

3
.
2

1
1
Với x    k 2 , do x  0;2 nên 0    k 2  2    k  .
2
2
Vì k   nên ta chọn k  0 , suy ra x   .

Vậy các nghiệm thỏa yêu cầu bài toán là: x 

3
, x  .
2

b) Đặt z  a  bi a, b    , suy ra z  a  bi .
●

z  1z  2i   a  1  bi  . a  2  b  i 





 a 2  b 2  a  2b  2a  b  2 i





Để z  1 z  2i là số thực  2a  b  2  0  b  2  2a .
●

2

z  2 2  a 2  b 2  2 2  a 2  b 2  8  a 2  2  2a   8

2
 5a 2  8a  4  0  a  2 hoặc a   .
5
Với a  2 , suy ra b  2 . Ta được số phức z  2  2i .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

2
14
2 14
Với a   , suy ra b 
. Ta được số phức z    i .
5
5
5
5
2 14
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là: z  2  2i hoặc z    i .
5
5

Câu 3. Ta có y '  tan x 
y '' 

1
cos2 x

x
cos2 x



. Suy ra

cos2 x  x sin 2x
cos4 x



2 cos2 x  x sin 2x
cos4 x

 cos x  x sin x 
 .
 2 


cos3 x

Do đó
 cos x  x sin x 
2x 2
 
● x 2y ''  2x 2 
1  x tan x  .

 cos x 2x
cos3 x









● 2 x 2  y 2 1  y   2 x 2  x 2 tan2 x 1  x tan x  



2x 2
cos x 2x

1  x tan x  .



Vậy x 2y '' 2 x 2  y 2 1  y   0 .

 x  1  2 y  1  y  9

4
Câu 4. Ta có  x  1
y 1
1





x 1  1 3
 y  1  1
a  x  1  0

Đặt 
.
b  y  1  0


Khi đó 1 trở thành a  2b  b 2 
Phương trình 2 trở thành

1

x  1
. Điều kiện: 
.
y  1
2


1
1
 1  2 b 2 .  1 . Suy ra a  b  1 .
4
4

a2
b2
1


 .
b 1 a 1 3
2

x 2 y 2 x  y 
Áp dụng bất đẳng thức


với mọi x , y   và m, n  0 .
m
n
m n
Ta được
2

a  b 
1
a2
b2



.
3 b 1 a 1 a b  2
Xét hàm số f t  
Ta có f ' t  

*

t2
với t  a  b  1 .
t 2

t 2  4t
2

t  2

 0 , t  1 .

1
Suy ra f t  đồng biến trên 1;  nên f t   f 1  .
3

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

* *


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

a  b  1

1
1
khi  2
1 suy ra a  b  .

a b  2 3
2
b 
4



1
5
 x  1 
x 
1
2 
4 .
Với a  b  , ta được 


1
3
2
 y  1 
y  
2

4


5
3
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ đã cho là x ; y    ;   .
 4
4 
2

a  b 

Từ * và * * , suy ra



Nhận xét. Bài toán kết hợp khá nhiều kiến thức: Đặt ẩn phụ, đánh giá, xét hàm. Đây thực sự là một bài toán
khó.
1

Câu 5. Ta có I 



x 3  3x 2  3x  1
2

x  1

0

1



1

dx 



3

x  1

2

x  1

0

1



x  1dx  6

0

0

 6 x  1  6

dx

1

1
1
dx  6
dx .
2
x 1
0 x  1

Đặt t  x  1 , suy ra dt  dx .
Đổi cận: với x  0 thì t  1 , với x  1 thì t  2 .
Khi đó: I 

Vậy I 

2

2



tdt  6 

1

1

2

dt
dt
t2
 6

2
t
2
1 t

2

2

 6 ln t
1


1

6
t

2


1

9
 6 ln 2 .
2

9
 6 ln 2 .
2
1
AB .
2
Do đó tam giác ABC vuông tại C .
Suy ra BC  AC nên:


SBC  , ABCD   SC , AC  SCA .


Câu 6. Gọi I là trung điểm AB . Suy ra CI  AD  a 
S
K
E

AC  AD 2  DC 2  a 2 ;

Ta có
I

A

B

SA  AC . tan 450  a 2 .
Diện tích hình thang ABCD là:
SABCD 

D

C

AB  CD  AD
2
3

1
a 2
S ABCD .SA 
(đvtt).
3
2
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình bành hành. Khi đó
Do đó VS .ABCD 









d SB, AC   d AC , SBE   d A, SBE  .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97



3a 2
.
2


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

  900 nên ACBE là hình chữ nhật, suy ra AE  BE .
Vì ACBE là hình bình hành và ACB
Gọi K là hình chiếu của A trên SE , suy ra AK  SE .
Ta có BE  SAE  nên BE  AK .





Do đó AK  SBE  nên d A, SBE   AK .
SA.AE

Trong tam giác vuông SAE , ta có AK 

2

SA  AE

2

SA.BC



2

SA  BC

2

a.

Vậy d SB, AC   AK  a .
Câu 7. Phân tích hướng giải: Vì M  d nên ta biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t . Để tìm tọa độ M
ta đi tìm t . Từ yếu tố diện tích ta sẽ suy được khoảng cách IM , từ đó suy ra t . Thông thường các em sử
dụng công thức:

1
  1 R 2 . sin AIB
.
IA.IB. sin AIB
2
2


lớn nhất khi sin AIB  1  AIB  900 . Khi đó MAIB là hình vuông, suy ra
SIAB 

Lý luận rằng SIAB

MI  R 2 . Ở đây tôi cố tình cho d I , d   R 2 , thế thì các em không giải ra tham số t và kết luận vô
nghiệm. Vậy không có điểm M nào thỏa yêu cầu bài toán ???
Đường tròn C  có tâm I 2;1 , bán kính R  2 2 .
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng: d I , d  

6  4  35
9  16

 5.

Đặt IM  x với x  5 .
M

AI 2
8
Suy ra IH 
 ;

IM
x
x2  8

AH  AI 2  IH 2  2 2

.
x2
Diện tích tam giác AIB được tính theo công thức:
SAIB  IH .AH  16 2

Xét hàm số f x  
Ta có f ' x  

x2  8
x4

32  2x 2
x5



d

x2  8
x4

H

A

B

I

.

, với x  5 .
2 4  x 4  x 
x5

 0 , x  5 .

Suy ra f x  nghịch biến trên 5;  nên f x   f 5 , x  5;  .
Suy ra SAIB đạt giá trị lớn nhất bằng 16 2 f 5 

16 34

25 5
Với x  5 thì M là hình chiếu vuông góc của I trên d .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

tại x  5 .


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

Đường thẳng  qua I 2;1 và vuông góc với d nên  : 4x  3y  5  0 .

3x  4y  35  0
x  5
Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ 
 
 M 5; 5 .

4x  3y  5  0
y  5


Nhận xét: Nếu đề cho d I , d   R 2 thì ta làm như trên. Còn đề bài cho d I , d   R 2 thì ta dùng công
thức SIAB 

1
.
IA.IB. sin AIB
2

Câu 8. Phân tích cách tìm mặt phẳng P  : Thông thường để viết phương trình mặt phẳng ta tìm một điểm
đi qua và một vectơ pháp tuyến. Ở bài toán này ta không tìm được VTPT của mặt phẳng P  , nhưng dữ kiện
bài toán cho liên quan đến khoảng cách nên ta viết phương trình mặt phẳng P  ở dạng gọi trước

P  : Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 .

Do K   nên K 2  t; 1; 4  . Suy ra IK  t; 0;2 .

Đường thẳng  có vec tơ chỉ phương u  1; 0; 0 .
 
Để K là hình chiếu của I trên  thì IK    IK .u  0  t  0 .

Suy ra K 2; 1; 4  .

I

Gọi P  : Ax  By  Cz  D  0 với A  B  C  0 .
2

2

2

Do   P  nên:

● u vuông góc với VTPT của P 

H
K

 1.A  0.B  0.C  0  A  0 .

●

K 2; 1; 4  P 

 2A  B  4C  D  0  B  D  4C .

●

Theo giả thiết tam giác IHK vuông cân, suy ra IH 





d I , P   2 

2A  B  2C  D  0



A2  B 2  C 2

2C
2

B C

2

IK
2

 2 hay

 2

 2  B 2  C 2  B  C .

Nếu C  0 thì B  0 . Khi đó A  B  C  0 (không thỏa mãn).
Do đó C  0 , ta chọn C  1 , suy ra B  1 .
▪

Với C  1 , B  1 suy ra D  3 nên P  : y  z  3  0 .

▪

Với C  1 , B  1 suy ra D  5 nên P  : y  z  5  0 .

Vậy P  : y  z  3  0 hoặc P  : y  z  5  0 .

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

Nhận xét: Những bài toán viết phương trình mặt phẳng có liên quan đến khoảng cách hoặc góc thì ta gọi
trước như trên.
Câu 9. Mỗi câu đều có 4 phương án trả lời. Theo quy tắc nhân ta có số phương án trả lời của bài thi là

  45 .
Gọi A là biến cố '' Học sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi '' .
● Trường hợp 1: Học sinh làm được 5 câu hỏi, có duy nhất 1 khả năng xảy ra vì bài thi có duy nhất 1 đáp
án.
● Trường hợp 2: Học sinh làm được 4 câu hỏi, tức là
▪

Làm đúng được 4 câu nên có C 54 cách.

▪

Làm sai 1 câu nên có C 31 cách chọn phương án sai cho câu đó vì mỗi câu có 3 phương án sai.

Suy ra số khả năng xảy ra trong trường hợp này là C 54 .C 31 .
● Trường hợp 3: Học sinh làm được 3 câu hỏi, tức là
▪

Làm đúng được 3 câu nên có C 53 cách.

▪

Làm sai 2 câu nên có C 31

 

2

cách chọn phương án sai.

 

2

Suy ra số khả năng xảy ra trong trường hợp này là C 53 . C 31 .

 

Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là A  1  C 54 .C 31  C 53 . C 31
A

Vậy xác suất của biến cố A là PA 





106
4

5



2

 106 .

53
.
512
2

Câu 10. Áp dụng bất đẳng thức cơ bản 4xy  x  y  , x , y   . Ta có:
2 x  y 

P

2

z  x  y 
2



3z 2
2

z  x  y 
2

x y 
2   
 z z 



2

x y 
1    
 z z 

3
 x y 2
1    
 z z 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y .
Đặt t 



x y
 . Vì x , y, z  1; 2 nên t  1; 4 .
z
z

Khi đó: P 

2t
1t

Ta có f ' t  

2



3
1t

2



2 1  8t 2

1  t 
2

2

. Xét hàm f t  





3t  1  t 2 



Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

2t
1t

 0 , t  1; 4 .

2



3
1  t2

, t  1; 4 .
 

.


GIA SƯ GIỎI
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

3  8 17

Suy ra f t  nghịch biến trên 1; 4 nên f t   f 4  
, t  1; 4 .
 
 
17
x  y  2
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  
.
2

z  1

Suy ra P 

3  8 17
.
17

Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y  2 , z  1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

Gia sư giỏi – 0968 64 65 97

3  8 17
; khi x  y  2 , z  1 .
17