Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2016 Đề số 3

WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

ĐỀ SỐ 03
Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số y 

2x  1
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số.
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị C  , biết tiếp tuyến của C  tại M
cắt hai đường tiệm cận tại A và B tạo thành một tam giác IAB có trung tuyến IN  10 .
Câu 2. (1,0 điểm).
   2015 

 .
a) Cho sin   cos   cot với 0     . Tính tan 

2
2

b) Tìm tham số thực m để số phức z 

m  1  2 m  1 i
1  mi

là số thực.

Câu 3. (0,5 điểm). Giải phương trình 25x  10x  22x 1 .
Câu 4. (1,0 điểm). Giải bất phương trình

2

x  1  x  3  2 x  3  2x  2 .

Câu 5. (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  2x 2  3x  1 và đường thẳng
y  2x  2 .
Câu 6. (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a
. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và 2SB  a 14 .
Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC  .
Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 5 . Gọi E
, F lần lượt là trung điểm AB , BC ; M là giao điểm của CE và DF . Giả sử M 3; 6 và đường thẳng

AD có phương trình x  2y  7  0 . Tìm tọa độ điểm A , biết A có tung độ lớn hơn 2.
Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P  : x  y  z  3  0 và đường

x 3 y
z
  . Tính góc tạo bởi giữa d và P  . Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu
2
3 2
vuông góc của d trên P  .
thẳng d :

Câu 9. (0,5 điểm). Tính tổng 2C n0  5C n1  8C n2  11Cn3  .....  3n  2C nn .
Câu 10. (1,0 điểm). Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  6z 2  4z x  y  . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

x3
2

y x  z 



y3
2

x y  z 



x 2  y2
.
z

..…. Hết……
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………; Số báo danh:………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm
Hướng dẫn giải

Câu 1. a)
●

Tập xác định: D   \ 1 .

●

Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: y ' 

3
2

x  1

 0, x  D .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1; .
-

Giới hạn và tiệm cận:
lim y  lim  2 ; tiệm cận ngang: y  2

x 

x 

lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 .

x 1

-

x 1

Bảng biến thiên

 1 
Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận
 2 
làm tâm đối xứng.
y
●

2
x





1
1
-1
2

 2a  1 
  C  , a  1 . Tiếp tuyến của C  tại M có dạng:
b) Gọi M a;
 a  1 
d :y 

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

3
2

a  1

x  a  

2a  1
.
a 1


WWW.NOON.VN

10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

 2a  4 
 và d  TCN  B 2a  1;2 .
Ta có d  TCĐ  A 1;
 a  1 
 2a  1
M .
Suy ra trung điểm của AB là N a;
 a  1 
 2a  1
2

Từ giả thiết bài toán, suy ra IN  10  a  1  
 2  10
 a  1

2

2

9

2

 a  1 

2
a  1  1


2

a

1

9



4

2

a  1

2

 10  a  1  10 a  1  9  0

a  0  a  2


a  4  a  2 .


Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là:
M 0; 1 hoặc M 2; 5 hoặc M 4; 3 hoặc M 2;1 .


2 tan
2 
2 ;

2 
cos
tan
1
2
2




sin2  1  tan2





2
2
2

2
2 .

cos   cos
 sin
 cos
1 
 
2
2
2 



cos2  tan2  1

2
2




Câu 2. a) Ta có sin   2 sin cos  2 cos2 .
2
2
2


Do đó sin   cos   cot 
2

 tan


2  1




tan2  1 tan2  1 tan
2
2
2
2 tan


2

sin

1  tan2


 




2 
2 

 tan3  tan2  tan  1  0
1  2 tan  tan   1  tan
2 
2
2 
2
2
2
2


2 




 tan  1 tan  1  0  tan  1.
 


2
2
2

 



 do đó tan  0 nên tan  1 suy ra cot  1 .
2

2
2
2
2
   2015 



  tan   1007      cot  1 .
Ta có tan 

2
2 
2


 2
Vì 0      0 

b) Ta có z 


m  1  2 m  1 i
1  mi

2m 2  3m  1
1  m2



m  1  2 m  1 i  . 1  mi 



2
1m

m2  m  2
1  m2

i.

Để z là số thực  m 2  m  2  0  m  1 hoặc m  2 .

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97


WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

Vậy giá trị m cần tìm là: m  1 hoặc m  2 .
Câu 3. Phương trình đã cho tương đương với
2x

 5
25x  10x  2.4x   
 2 

 5 x
    2 .
 2 

x

 5
Đặt t     0 , ta thu được phương trình: t 2  t  2  0 
 2 

t  1

t  2 .


 5 x
Đối chiếu điều kiện, ta chọn t  1 suy ra    1  x  0 .
 2 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x  0 .
Câu 4. Điều kiện: x  1 .


Xét hai vec tơ u x  3; x  1 ; v 1;1




Khi đó ta có u 





2
x

1

x

1;
v

2;
u
.v  x  1  x  3 .
 



Từ trên và bất phương trình trên ta thấy u.v  u . v .

*



Mặt khác, ta luôn có u.v  u . v .

* *



 
Từ * và * * suy ra u.v  u . v . Do đó u, v cùng hướng

x 2  7x  10  0

 x  3  x 1  
x 5.
x  3


Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S  5 .
Nhận xét. Xu hướng mới trong đề minh họa của BGD năm 2015 là có cấu bất phương trình đại số. Trong bài
này ta đề cập đến ứng dụng của tọa độ vectơ vào giải bất phương trình.
Câu 5. Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y  2x 2  3x  1 và đường thẳng y  2x  2 là:

2x 2  3x  1  2x  2  2x 2  5x  3  0  x 

3
hoặc x  1 .
2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3
2

S



2x

2



 3x  2  2x  2 dx 

1

3
2





2x 2  5x  3 dx

1

 2


5
2x 2  5x  3 dx   x 3  x 2  3x 
 3
2



1

3
2



3
2



1

Câu 6. Gọi M là trung điểm AB ; G là trọng tâm tam giác ABC .
Tam giác ABC vuông cân tại C , suy ra

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

1
(đvdt).
24

WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

S

CA  CB 

Ta có

AB
2

CM 



3a
2

và CM  AB .

1

3a
,
AB 
2
2

1
a
suy ra GM  CM  ;
3
2
M

A

BG  BM 2  GM 2 

B

K

.
Diện tích tam giác ABC là:

G
E

1
9a 2
SABC  CACB

.

.
2
4

C
Do đó VS .ABC 

a 10
; SG  SB 2  GB 2  a
2

1
3a 3
S ABC .SG 
(đvtt).
3
4

Ta có









d B, SAC   3d G, SAC  .
Kẻ GE  AC , suy ra GE / /BC .

GE
1
1
a
 , suy ra GE  BC 
.
BC
3
3
2
Gọi K là hình chiếu của G trên SE , suy ra GK  SE .
Ta có

Ta có AC  SGE  nên AC  GK .





Do đó GK  SAC  nên d G , SAC   GK .
Trong tam giác vuông SGE , ta có GK 



SG .GE
SG 2  GE 2



a
3

.



Vậy d B, SAC   3GK  a 3 .
Câu 7. Phân tích hướng giải: Vì A thuộc phương trình đường thẳng AD nên ta biểu diễn tọa độ điểm A
theo tham số t . Từ yếu tố bài toán cho điểm M , cạnh hình vuông cùng với các tính chất của hình vuông ta
cố gắng đi tìm khoảng cách AM rồi suy ra t , từ đó có được A .
Do A thuộc đường thẳng AD nên A 7  2t ; t  với t  2 .

  CDF
.
Ta có CBE ~ DCF c  g  c  . Suy ra BCE
A
  CFD
  900 , suy ra BCE
  CFD
  900 .
Mà CDF
  900 hay CE  DF .
Do đó CMF
Trong tam giác vuông DCF , ta có
DM 

DC 2


DF

DC  CF

2

F

 4.

D

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

B

M

DC 2
2

E

C


WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp

Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

 và CDF
 phụ nhau, nên
Hai góc ADM

  sin CDF
  CF  5 .
cos ADM
DF
5
Áp dụng đinh lý hàm số cosin trong tam giác ADM , ta có
  20
AM 2  AD 2  DM 2  2AD.DM . cos ADM



2

4  2t 

2

 6  t   20

 5t 2  28t  32  0  t  4 hoặc t 

8
.
5

Đối chiếu điều kiện ta chọn t  4 , suy ra A 1; 4 .


Câu 8. Đường thẳng d qua điểm M 3; 0; 0 và có VTCP u  2; 3;2 .

Mặt phẳng P  có VTPT n  1;1;1 . Gọi  là góc tạo bởi giữa d và P  .
 
d
u.n
3
3 51
N
Ta có sin     

.
51
17. 3
u n

Vậy d hợp với P  một góc  thỏa mãn:

sin  

A

N'

3 51
.
51

Gọi A là giao điểm của d và P  . Khi đó tọa độ của A là nghiệm của hệ:
x  3
 x  3 y
z




y  0  A  M 3; 0; 0 .



 
2
3 2
x  y  z  3  0


z  0


Lấy N 1; 3;2  d . Gọi d ' là đường thẳng qua N và vuông góc với

d':

P  ,

nên có phương trình

x 1 y  3 z 2


.
1
1
1

Gọi N ' là hình chiếu của N trên P  . Khi đó N ' là giao điểm của d ' và P  nên N ' có tọa độ là nghiệm
của hệ:
x  0
 x  1 y  3 z  2




 y  2  N ' 0;2;1 .
1
1
1
x  y  z  3  0

z  1




Đường thẳng  cần tìm thỏa yêu cầu bài toán đi qua A 3; 0; 0 và có VTCP AN '  3; 2;1 nên có

phương trình  :

x 3 y
z
  .
3
2 1

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97


WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm

Cách 2. Gọi   là mặt phẳng chứa d và vuông góc với P  . Suy ra   được xác định là đi qua điểm

 
M 3; 0; 0 và có VTPT n  u, n   1; 4; 5 nên có phương trình   : x  4y  5z  3  0 .



Đường thẳng  cần tìm thỏa yêu cầu bài toán là giao tuyến của hai mặt phẳng P  và

 

nên

x  3  3t

x  y  z  3  0
hay  : y  2t
, t .
 : 

x  4y  5z  3  0

z  t

Nhận xét: Cách 1 làm hơi cầu kỳ và dài nhưng dễ hiểu hơn. Cách 2 ngắn gọn nhưng đòi hỏi các em phải
nắm được giao tuyến của hai mặt phẳng và cách chuyển phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng về
phương trình tham số.



Câu 9. Xét khai triển nhị thức New-ton của 1  x 3
n

1  x 
3

n

 , ta có

 C n0  C n1x 3  C n2x 6  C n3x 9  ...  C nn x 3n .

Nhân hai vế cho x 2 , ta được



x 2. 1  x 3

n



 C n0x 2  C n1 x 5  C n2x 8  C n2x 11  ...  C nn x 3n 2 .

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x , ta được



2x . 1  x 3



n



 x 2 .n.3x 2 . 1  x 3

n 1



 2C n0x  5C n1x 4  8C n2x 7  11C n2x 10  ...  3n  2C nn x 3n 1 .

Cho x  1 , ta được
n 1

n

2.1. 1  1  1.n.3. 1  1

 2C n0  5C n1  8C n2  11C n3  ...  3n  2C nn .

Vậy 2C n0  5C n1  8C n2  11Cn3  .....  3n  2C nn  3n  4.2n 1 .
Câu 10. Đặt x  az , y  bz với a , b   .
Thay vào giả thiết, ta có a 2  b2  6  4 a  b  .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2

2

a  b 
a  b

2

2
a  b 

2  a  b  6
 4 a  b   6
2
 2
 
.



ab  2 a  b   3
2
2
2
2
a

b
a

b


ab 
ab 


2

2
Khi đó

P

a3
2

b a  1



b3
2

a b  1

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

 a 2  b2


WWW.NOON.VN
10 – 11 – 12 - LTĐH
66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp
Biên Hòa – Đồng Nai




a3
2

b a  1
a

3
2

b a  1




ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm
2

b3
2

a b  1
b

3
2

a b  1



a  b 
2

.

 2.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b , a  b  2 .
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

a3
2

b a  1



a  1 ab  b 3a


8
8
4

và

b3
2

a b  1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  1 , b  1 .



b  1 ab  a
3b

 .
8
8
4

2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với P , ta được

P

a  b ab 1
a  b 2 a  b   3 1
1
   2

  2  2.

2
4
4
2
4
4
2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a 2  b2  6  4 a  b  .
Từ 1 , 2 và 3  , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  1 , b  1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

1
 2 , khi x  y  z .
2

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

3