Dao động điều hòa biến dạng c số

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI II
HO V T Ý
_______________________

HOÀNG HỒNG NGỌC

D O ĐỘNG ĐIỀU HÒ BIẾN DẠNG C – SỐ

HÓ

U N TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS Nguyễn Thị Hà oan

Hà Nội, 2015


ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS – TS. Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa
luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê
khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn
thành khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
sát cánh bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên

cứu để hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Hồng Ngọc


ỜI C M ĐO N

Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản
thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS – TS. Nguyễn Thị Hà
Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất
kỳ một tác giả nào. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Hồng Ngọc


MỤC ỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 3
6. Bố cục của khóa luận .............................................................................. 3

NỘI DUNG..................................................................................................... 4
Chƣơng 1: Dao động tử điều hòa ................................................................. 4
1.1. Dao động tử Boson............................................................................... 4
1.2. Dao động tử Fermion ........................................................................... 11
Chƣơng 2: Dao động tử biến dạng c – số .................................................... 13
2.1. Dao động tử Boson biến dạng q ........................................................... 13
2.1. Dao động tử Fermion biến dạng q ....................................................... 19
Chƣơng 3: Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số ............... 22
3.1. Phân bố thống kê của dao động tử điều hòa ........................................ 22
3.1.1. Phân bố thống kê của dao động tử Boson .................................. 22
3.1.2. Phân bố thống kê của dao động tử Fermion .............................. 26
3.2. Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số ............................ 28
3.2.1. Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q .............. 28
3.2.2. Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q ........... 30
ẾT U N .................................................................................................... 33
TÀI IỆU TH M

HẢO ............................................................................ 34


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vật lý lý thuyết. Ngôn ngữ
toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm
lượng tử làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
vật lý trong thời gian gần đây. Lý thuyết nhóm Lie như là công cụ toán học của
lý thuyết đối xứng, đóng vai trò quan trọng trong việc thống nhất và tiên đoán
các hiện tượng vật lý. Nói riêng, nhóm Lie đã trở thành công cụ chủ yếu trong lý
thuyết trường và hạt cơ bản.
Nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh

vực của Vật lý. Nhóm lượng tử và đại số lượng tử được nhiều nhà vật lý lý
thuyết cũng như các nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên
cứu, với hi vọng rằng nhóm lượng tử sẽ giúp ta đưa ra được những mô hình vật
lý tổng quát hơn, có những bổ sung chính xác với thực nghiệm hơn và việc
nghiên cứu hạt cơ bản có hiệu quả hơn là sử dụng khái niệm nhóm thông thường.
Ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình
thức luận dao động tử điều hòa biến dạng.
Trong những năm gần đây, dao động tử biến dạng lượng tử đã thu hút
được sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà vật lý bởi những ứng dụng của chúng
như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang – Baxter lượng tử, lý thuyết
trường Conformal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với những thống kê phân số,
lý thuyết siêu đối xứng,… Đặc biệt nó được ứng dụng nhiều để nghiên cứu cấu
trúc đại số của nhóm lượng tử và hữu hiệu hơn trong việc nghiên cứu lý thuyết
thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lý lượng tử, Vật lý các môi trường đậm

1


đặc, Vật lý hạt nhân nguyên tử,… Dao động tử điều hòa chính là trường hợp đặc
biệt của dao động tử biến dạng q, khi q  1 thì dao động tử biến dạng q trở về
dao động tử điều hòa. Hiện nay việc nghiên cứu đại số biến dạng q được kích
thích thêm sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt cơ bản như hạt Boson tuân
theo thống kê Bose – Einstein, hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac,
ngoài ra còn các hạt tuân theo các thống kê khác như: thống kê para, thống kê vô
hạn,…
Đại số dao động biến dạng q này có thể đưa đến một loại mới của lý
thuyết trường ở đó có sự vi phạm nhỏ của nguyên lý loại trừ Pauli và sự sai lệch
từ những thống kê Bose có thể được thảo luận. Những hệ quả của cấu trúc đại số
biến dạng q trong các mẫu cụ thể cũng đã được nghiên cứu.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài: “Dao động điều hòa biến dạng c – số”

nghiên cứu một cách có hệ thống lý thuyết dao động tử biến dạng khi tham số là
c – số.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài “ Dao động diều hòa biến dạng c – số”
là:
- Nghiên cứu lý thuyết dao động tử điều hòa biến dạng q, đưa ra hệ thức
giao hoán cơ bản của hệ dao động biến dạng
- Xây dựng các hàm phân bố thống kê của dao động tử biến dạng khi tham
số là c – số
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Xây dựng lý thuyết biến dạng khi tham số là c – số, nghiên cứu về dao
động tử điều hòa biến dạng q

2


- Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử biến dạng q, xây
dựng toán tử năng lượng của hệ dao động biến dạng q, giải phương trình hàm
riêng, trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử
biến dạng q, so sánh với dao động tử điều hòa thông thường và đưa ra những kết
luận vật lý
- Chỉ ra hàm phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng q
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
- Dao động tử Boson và dao động tử Fermion
- Dao động tử Boson và dao động tử Fermion biến dạng q
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng
- Phương pháp giải tích toán học
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp vật lý thống kê

6. Bố cục của khóa luận:
- Tên đề tài: Dao động điều hòa biến dạng c – số
- Khóa luận gồm 3 phần chính:
. MỞ ĐẦU
B. NỘI DUNG
Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Dao động tử điều hòa
Chương 2: Dao động tử biến dạng c – số
Chương 3: Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số
C. KẾT U N

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG I
D O ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về hình thức luận dao động tử
điều hòa, bao gồm dao động tử điều hòa Boson và dao động tử điều hòa
Fermion. Chương I chính là cơ sở lý thuyết để chúng tôi thực hiện khóa luận.
1.1. Dao động tử Boson
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode có dạng:

a, a   1


(1.1)

Toán tử số dao động tử N có dạng:

N  aa

(1.2)

N  1  aa 

Trong đó:

a : là toán tử hủy dao động tử
a  : là toán tử sinh dao động tử
Kết hợp (1.1) và (1.2), ta có:

N , a  a



a, a

 a  aa  aa  a

 a  a  aa  a
 a  , aa

 a, a  a
 a

(1.3)

4

N , a   a a, a 






 a  aa   a  a  a
 a  aa   a  a 
 a a, a


a



(1.4)





Xét không gian Fock là không gian mà vectơ cơ sở của nó là những trạng
thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không 0 được
định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0 thỏa mãn điều kiện:
a0 0

(1.5)

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong không
gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

a 


 n

n

n!

n = 1,2,3,…

0

(1.6)

Toán tử số dao động N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n nn

Thật vậy, ta có :
N n  aa n
 aa

1  n
a  0
n!



1   n
a aa  0
n!



1 
n
n
a a, a    a  a   a 0
n!



1 
n
a a, a   0
n!

 







5






1
n
na   0
n!



1   n1
a na  0
n!



n  n
a  0
n!

nn

Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng :

a, a   na 

 n 1

 n

(1.7)

Để chứng minh (1.7) ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau :
Với n = 1 :

a, a   1


Với n = 2 :

a, a   aa   a  a
 aa   a aa   a aa
 2

 2

 2

 2









 a   a
2

 aa   a  a a   a  aa   a  a 



 a  a, a    a, a  a 

 2a 

Nhận thấy (1.7) đúng với n = 1, 2 .
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.7) đúng với n = k, tức là :

a, a   k a 

 k 1

 k

Ta hãy chứng minh biểu thức (1.7) đúng với n = k + 1 :

a, a   aa 
 aa 
 k 1

 k 1

 k 1

 a   a
k 1

 

 a  aa    a  aa    a   a
k

6

k

k 1






 aa   a  a a    a  aa    a   a
k



k

 a, a  a    a  a, a  
k

k

k





 a    a  k a  

k 1

k

 a    ka a  

k 1

k

 k  1a  

k

Vậy phương trình (1.7) đúng với n = k + 1.
Suy ra (1.7) đúng với mọi n.
Tác dụng của các toán tử a , a  lên các vectơ trạng thái là :
a n  n n 1

a n  n  1 n  1

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P liên hệ với các toán tử sinh, hủy dao động a , a  như sau:
Q


a   a 
2m

Pi

m 
a  a 
2

Trong đó:
m là khối lượng của dao động tử

 là tần số dao động

 là hằng số Plank
Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P là:

Q, P  i a
2



 a , a   a 

7



i 
a  a a   a   a   a a   a 
2



i
aa   a  a  a  a  aa  
2



i
a, a    a  , a
2



i
2aa   2a  a 
2

 ia, a  

(1.8)

Thế (1.1) vào (1.8) suy ra:

Q, P  i

(1.9)

Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các
toán tử sinh, hủy dao động tử a  , a như sau:
H

1 2 1
P  m 2 Q 2
2m
2



 
a  a 2   a   a 2
4
4





 
a  a 2  a   a 2
4



 
a a  aa  
2




2a  a  a, a  
2




2 N  1
2



(1.10)

Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình
hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamiltonian H:

8


H n  En n


2 N  1 n
2

Hn 




2n  1 n
2

Suy ra:
En 


2n  1
2

n = 0,1,2,….

(1.11)

Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử điều hòa là gián đoạn, mức thấp
nhất (mức cơ bản) có giá trị khác không: E0 


và các mức tiếp theo cách đều
2

nhau một lượng bằng  .

Nhận xét:
Bài toán khảo sát hệ các dao động tử Boson được đưa về bài toán dao
động tử điều hòa một chiều. Công thức (1.11) chính là công thức xác định năng
lượng của dao động tử điều hòa một chiều đã được cơ lượng tử giải thích một
cách chính xác.
Từ hệ thức (1.9) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:

Q  P 
2

2



2
2
2n  12  
4
4

(1.12)

Thật vậy, ta dễ dàng thấy:
Q  nQn 0

(1.13)

P  n Pn 0

Do đó độ lệch toàn phương

Q 

2

P là:

9

,

P 

2

của tọa độ Q và xung lượng


Q

2

 Q  Q



2

 Q2



2
n a   a  n
2m




n 2a  a  1 n
2m


 n 2N  1 n
2m

2n  1

2m


P 

2

 P  P





2

 P2



m
2
n a   a  n
2



m
n 2a  a  1 n
2



m
n 2 N  1 n
2



m
2n  1
2

Suy ra:

Q  P 
2

2

2
2
2
 2n  1 
4
4

Nhận xét:
Hệ thức (1.12) chính là hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ Q và xung
lượng P. Từ hệ thức này, ta suy ra rằng, nếu trong một trạng thái nào đó, xung

10


lượng P có giá trị xác định, thì tọa độ Q của trạng thái đó hoàn toàn bất định,
ngược lại, tọa độ Q xác định thì xung lượng P bất định, hoặc cả hai đại lượng P
và Q đều không xác định.
1.2. Dao động tử Fermion
Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Ferrmion đơn mode có dạng:

b, b   1
b  b   0


2

(1.14)

 2

Toán tử số dao động N biễu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao động tử

b  , b có dạng:
N  bb

(1.15)

1  N  bb 
Trong đó:

b là toán tử hủy dao động tử

b  là toán tử sinh dao động tử
Tương tự, toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N , b  b

N , b   b


(1.16)



Trạng thái chân không thỏa mãn hệ thức:
b0 0

Đại số (1.16) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các
vectơ trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:
n 

1  n
b  0
n!

n = 0, 1.

(n = 0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli).

11


Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động N:
N n nn

n = 0, 1.

Khi ấy tác dụng của toán tử b , b  lên các vectơ trạng thái n như sau:
b0 0
b1  0
b 0  1

(1.17)

b 1  0

ết luận:
Trong chương I tôi đã trình bày một cách logic, đầy đủ về hình thức luận
dao động tử điều hòa của các dao động tử Boson và Fermion, đưa ra được biểu
diễn dao động tử lượng tử của các toán tử năng lượng và xác định được phổ năng
lượng của các dao động tử lượng tử Boson và Fermion.

12


CHƢƠNG II
D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ
2.1. Dao động tử Boson biến dạng q:
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy
và sinh dao động tử a , a  thỏa mãn hệ thức giao hoán không chuẩn, phụ thuộc
vào một tham số biến dạng q như sau:

aa   qa  a  q  N

(2.1)

Trong đó:
q là thông số biến dạng
N là toán tử số dao động tử.
Trong phương trình (2.1) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa
(1.1).
Các toán tử a , a  tác dụng trong không gian Fock với cơ sở là các vectơ
trạng thái n

q

như sau:

n n  1
 n  1 n  1

an q 
a n

q

q

q

q

q

a0 0

trong đó n = 1, 2, …
Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n q nn

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

13

q

(2.2)


N , a    a

N , a   a


(2.3)



Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử được thực hiện trong không
gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:
nq

a 

 n

0

(2.4)

q n  q n
q  q 1

(2.5)

n !
q

với:

n ! 1 2 3 ...n
q

q

q

q

q

; 0  1

Ở đây sử dụng ký hiệu:

n

q



Thật vậy, ta có:
N n q  aa n

 aa

q

1
a  n 0
nq !



1
n
a  aa   0
nq !



1
n
n
a  a, a    a  a   a 0
nq !



1
n
a  a, a   0
nq !



1
n 1
a  na   0
nq !



n
a  n 0
nq !

 







14




nn

q

Dễ dàng chứng minh được rằng:
a  a n q  nq n

q

aa n q  n  1q n

(2.6)



q

Với n = 1:
a
a a1  a a
0
1q




a

aa  0
1q

a
q  N  qa  a  0


1q
 a  q 0 0
 a 0
 1q 1

Với n = 2:
a
a a2 a a
1
2q




a

aa  1
2q


a
q  N  qa  a 1
2q

q 1a 
qa  a  a a 

1 
0
2q

2q 1q

15


q 1a 
qa  a  aa 

1 
0
2q
2q !
q 1 a  
qa  a  

0 
aa 0
2q !
2q !
2

qa    N
q  qa  a  0
q 2 
2q !
2

1

qa  

q 2 
0
2q !
2

1

 q 1  q  2
 2q 2

Suy ra:
a  a 2  2q 2

Như vậy, phương trình (2.6) đúng với n = 0, 1, 2.
Giả thiết phương trình (2.6) vẫn đúng với n = k, tức là:
aa k

q

 k q k

q

Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n = k + 1 nghĩa là:
a  a k  1 q  k  1q k  1 q

Ta có:
aa k  1 q 

aa

a k
k  1q

q

a

aa  k
k  1q

16

q


a
q  N  qa  a  k

k  1q
a  q k

k
k  1q

q

q

a
k  k

q
k  1q q

q k a  

0 q
k  1q k q !

a 

k 1

 k 1

k  1 k  !
q

 q  k k  1 q  qk q k  1 q
 k
q k  q k
  q  q
q  q 1



 k  1


 q k 1  q  k 1 
 k  1

 
1
 qq

 k  1q k  1 q

Vì n

q

q

q

là véctơ riêng của N với trị riêng n nên:
N n q  nq n

Kết hợp với phương trình (2.6) ta có:
a  a  N q

Xuất phát từ hệ thức (2.1) ta có :

aa   qa  a  q  N
q N  qN
q
 q N
1
qq
q N 1  q   N 1


q  q 1
 N  1q

17

q

q

q

k 

q

0


Trong không gian Fock với véctơ cơ sở là vector trạng thái n

q

thì:

a  a  N q

(2.7)

aa   N  1q

Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

Q, P  i a
2





 a , a   a 

i
aa   a  a  a  a  aa  
2

i
a, a    a  , a
2
 ia, a  


 iaa   a  a 

 iN  1q  N q 

(2.8)

Toán tử Haminton được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và xung lượng P
và liên hệ với các toán tử a , a  như sau:
H

1 2 1
P  m 2 Q 2
2m
2

1
  a  a  aa  
2
1
  N q  N  1q 
2

(2.9)

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định bởi
phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian H:
H n q  En n

1
  N q  N  1q  n q  En n
2

18

q

q

(2.10)

1
 En   nq  n  1q 
2

n = 0, 1, 2,…

(2.11)

Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng cũng bị gián
đoạn, mức thấp nhất (ứng với n = 0) được gọi là năng lượng “không” vẫn bằng

 0 , những mức tiếp theo không cách đều nhau và khi 0 < q < 1 thì n càng
2

lớn các mức càng sít nhau hơn và tới một giá trị n đủ lớn thì En  n  


, tức
1 q

là E n tiến đến một giá trị xác định. Và các mức năng lượng này không suy biến,
hay bậc suy biến của các mức năng lượng g = 1.
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở
về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều (1.11):
En 


2n  1

2

n = 0, 1, 2….

2.2. Dao động tử Fermion biến dạng q
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao
động tử b  và hủy dao động tử b như sau:
bb   qb  b  q  N
b 2  b    0
2

(2.12)

Trong phương trình (2.12) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử
điều hòa (1.14).
Toán tử số dao động tử điều hòa N thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau:

N , b  b

N , b   b


19



(2.13)


Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng như sau:

N n q nn

(2.14)

q

Với các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N được xác định theo
công thức:
nq

b 

 n

n !

(2.15)

0

q

Trong đó ký hiệu nq được cho bởi:
n
n
nq  q   11 q
qq
n

(2.16)

Khi q = 1 thì nq  n .
Trong không gian Fock với vectơ cơ sở là vectơ trạng thái n
b  b  N q
bb   N  1q

q

thì:
(2.17)

Ở đây nguyên lý loại trừ Pauli được thừa nhận từ điều kiện:

 

b2  b  0
2

Khi q = 1 thì ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.14):

bb   b  b  1
ết luận:
Trong chương II chúng ta đã khảo sát hệ các dao động tử Boson và
Fermion biến dạng q: Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử biến
dạng, xây dựng toán tử năng lượng của các dao động tử biến dạng, giải phương
trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của các

20

dao động tử Boson và Fermion biến dạng q, so sánh kết quả với các dao động tử
điều hòa Boson và Fermion thông thường.
Từ đó ta có nhận xét rằng: Khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao
động tử biến dạng sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn khi mô tả hệ vật lý như một
tập hợp hệ dao động tử điều hòa.

21