Đề thi và đâp án thi HK 2 môn toán lơp 10 năm 2010 2011

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
(ĐỀ CHÍNH THỨC)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài : 90 phút (Không kể thời gian phát ñề)

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm).
Câu I. (3 ñiểm)
Giải các bất phương trình sau:
x 2 - 3x + 2
2
1. x − 5x + 4 ≤ 0 ;
2.
>0
x+4
Câu II. (1 ñiểm)
Điều tra tuổi của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau:
Tuổi
20
24
26
30
32
35
Cộng
Tần số
3
5
6
5

6
5
30
Tìm ñộ tuổi trung bình của 30 công nhân, (chính xác ñến hàng phần nghìn).
Câu III. (3 ñiểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho hai ñiểm A(2;1), B(-2; 4) và ñường thẳng
x = 2 + t
d:
(t ∈ ℝ) .
 y = 1 − 2t
1. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ ñi qua hai ñiểm A, B.

2. Tìm toạ ñộ ñiểm H là hình chiếu của ñiểm B trên ñường thẳng d.
3. Lập phương trình ñường tròn có tâm nằm trên ñường thẳng d ñồng thời tiếp xúc với trục
hoành và ñường thẳng ∆ .
Câu IV (1 ñiểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức

2
2
2
+
+
= 1.
a+2 b+2 c+2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc
B. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 ñiểm).
Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II)
I. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:

Câu Va. (1 ñiểm)
1
4

π
2

Tìm các giá trị lượng giác của góc α , biết cos α = , α ∈ (− ; 0) .
Câu VIa. (1 ñiểm)
Tìm tham số m ñể phương trình sau có nghiệm : 2x 2 + 2x + m − 3 = x − 1 .
II. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu Vb. (1 ñiểm)
Cho góc lượng giác α thoả mãn cosα ≠ 0,sin α ≠ 0 và tan α + cot α = 4 .
Tính giá trị của biểu thức T = tan 4 α + cot 4 α .
Câu VIb. (1 ñiểm)
Tìm tham số m ñể bất phương trình x 2 + 2x + m − 3 ≥ 0 nghiệm ñúng với mọi x thuộc (2; +∞) .
---------------- Hết -----------------Họ tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN, LỚP 10.
Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác ñúng thì chấm
và cho ñiểm từng phần tương ứng.
Câu
I (3ñ)

Điểm

Nội dung
1)
x2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
Tập nghiệm của BPT là S = [1; 4]

1,00
0,5

2)
Xét dấu f(x) =

x 2 - 3x + 2
x+4

2

Ta có x - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1; x = 2
x + 4 = 0 ⇔ x = −4

Bảng xét dấu:
x
x 2 − 3x + 2
x+4
f(x)

-∞
+
-

-4

|
0
||

0,25

+
+
+

1
0
|
0

Từ bẳng xét dấu ta có tập nghiệm của BPT là :S =

+
-

2
0
|
0

+∞

0,75

+

+
+

( −4;1) ∪ ( 2; +∞ )

II (1 ñ) Độ tuổi trung bình của 30 công nhân là :
20.3 + 24.5 + 26.6 + 30.5 + 32.6 + 35.5
T=
30
≈ 28, 433
III
1)
(3ñ)
AB = ( −4;3 )

Đường thẳng ∆ ñi qua hai ñiểm A, B nên ∆ có một VTCP AB = ( −4;3 ) ⇒ ∆ có một
VTPT là n = ( 3; 4 )
Vậy ñường thẳng ∆ ñi qua A(2 ;1) và có một VTPT n = ( 3; 4 ) , có phương trình tổng

0,5

0,75
0,25
0,25

0,25

quát là : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y − 1) = 0 ⇔ 3x + 4 y − 10 = 0

0 ,5

2) ñường thẳng d có một VTCP là : u = (1; −2 )

0,25

H ∈ d ⇒ H ( 2 + t ;1 − 2t ) ⇒ BH = ( 4 + t ; −3 − 2t )

0,25

H là hình chiếu của B trên d ⇔ BH .u = 0 ⇔ t = −2 ⇒ H (0;5)

0,5

3) Giả sử ñường tròn (C) cần tìm có tâm I và bán kính R
Do I ∈ d ⇒ I ( 2 + t ;1 − 2t )

0,25


ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành và tiếp xúc với ∆ ⇔ d( I ,ox ) = d( I , ∆ )
t = 1
⇔ 1 − 2t = t ⇔  1
t =
 3

0,25

Với t = 1 thì I(3 ;-1) và R =1 . Phương trình ñường tròn (C) là : ( x − 3) + ( y + 1) = 1
2

Với

t=

1
3

2

IV
(1 ñ)

Phương

ñường

tròn

(C)

là :

b
≥
b+2

0,25

0,25

2

4

( a + 2 )( c + 2 )

(2) ;

a
≥
a+2

4

( c + 2 )( b + 2 )

(3)

Từ (1) , (2), (3) ta có P = abc ≥ 64 , dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c= 4
Vậy Min P = 64 khi a=b=c=4
 π 
do α ∈  − ;0  ⇒ sin α < 0
 2 

Ta cã sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α = 1 − cos 2 α =

VIa
(1 ñ)

trình

7 
1 1

x−  + y−  =
3 
3 9

2
2
2
2
2
c
Ta có:
+
+
=1⇔
+
=
a+2 b+2 c+2
a+2 b+2 c+2
Do a, b,c là các số dương nên a+2, b+2, c+2 là các số dương
Theo côsi cho hai số dương ta có:
2
2
2
2
c
4

+
≥2
.
⇔
≥
(1)
a+2 b+2
a+2 b+2
c+2
( a + 2 )( b + 2 )
TT:

Va.
(1 ñ)

1
7 1
thì I  ;  và R = ,
3
 3 3

2

tan α =

sin α
= − 15
cos α

cot α =

− 15
15

15
15
⇒ sin α = −
16
4

x ≥ 1
 x − 1 ≥ 0
2x 2 + 2x + m − 3 = x − 1 (1) ⇔  2
2 ⇔  2
 x + 4 x − 4 = − m (2)
2 x + 2 x + m − 3 = ( x − 1)
PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm thuộc [1; +∞ )

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,5

Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y = x 2 + 4 x − 4 và
ñt có pt : y = -m
0,25


BBT của hàm số y = x 2 + 4 x − 4 trên [1; +∞ )
x

0,25

+∞

1

+∞
f(x)

1
Từ BBT ta có thì phương trình có nghiệm ⇔ − m ≥ 1 ⇔ m ≤ −1
Vb
(1 ñ)

(

)

0,5

2

T = tan 4 α + cot 4 α = tan 2 α + cot 2 α − 2

0,5

2

VIb
(1 ñ)

2
= ( tan α + cot α ) − 2  − 2 = 196 − 2 = 194


2
+Ta có x + 2x + m − 3 ≥ 0 ⇔ x 2 + 2x − 3 ≥ − m
+Xét BBT của hàm số y = x 2 + 2x − 3 trên ( 2; +∞ )

x

2

0,25
+∞
+∞

0,5

f(x)
5

Từ BBT ta có 5 ≥ − m ⇔ m ≥ −5 là giá trị cần tìm

0,25