Một số bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN TỔNG QUÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức
cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong
quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo: Th.S Nguyễn Thị
Phương Lan đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng
góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: Th.S Nguyễn
Thị Phương Lan. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn
của các tác giả khác.
Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu

.................................................................. 2

3. Giả thiết khoa học ............................................................................. 2
4. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................. 2
6. Ý nghĩa đề tài .................................................................................... 3
7. Cấu trúc khóa luận ............................................................................ 3
NỘI DUNG..................................................................................................... 5
Chương 1: Cơ sở ý thuyết............................................................................ 5
1.1. Đại cương về phương trình vật ý toán ......................................... 5
1.2. Lập phương trình dao động của sợi dây ....................................... 8
Chương 2: Phân oại và giải một số bài toán dao động của sợi dây ....... 11
2.1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si .............................. 11

2.2. Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn....................................... 12
2.3. Dao động tự do của sọi dây hữu hạn............................................ 13
2.3.1. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút được
gắn chặt ......................................................................................................... 13
2.3.2. Dao động tự do cua sợi dây hữu hạn với độ lệch ở hai đầu
mút so với vị trí cân bằng luôn là hằng số .................................................... 16
2.3.3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển
động với quy luật cho trước .......................................................................... 22
2.3.4. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút
được gắn chặt ................................................................................................ 26
2.3.5. Dao động cưỡng bức của sợi dây với độ lệch của hai đầu
mút so với vị trí cân bằng luôn bằng hằng số ............................................... 28


2.3.6. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút
được chuyển động theo những quy luật cho trước........................................ 32
KẾT LUẬN .................................................................................................. 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 41


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên.
Vật lý học có liên hệ chặt chẽ với các môn khoa học khác. Từ rất âu phương
pháp toán học được sử dụng trong vật lý. Toán học là một công cụ để cho vật
lý phát triển và đặc biệt là vật lý lý thuyết. Các lý thuyết vật ý đã sử dụng
ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các đại
ượng vật ý thu được những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ước
ượng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm
của vật ý đều biểu hiện bằng các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên cứu ta

càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa
dạng bao gồm một khối ượng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề như:
Hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi tích
phân, đại số tuyến tính…. Trong đó thì phương pháp toán ý à một ví dụ ta
phải dùng đến rất nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý. Từ cơ sở
à các phương trình Vật ý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng
ta đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: phương trình
sóng một chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt…
Kiến thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành
cũng như nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trường. Bên
cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải
hiểu sâu sắc, nắm chắc được kiến thức. Các dạng bài tập thì vô cùng phong
phú và đa dạng. Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào tìm ra phương
pháp tốt nhất nhằm tạo cho mình niềm say mê yêu thích môn học này. Việc
làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được

1


các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng
tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự. Nên em quyết định chọn đề
tài “Một số bài toán về dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng
quát” để nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài
này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên
mới bắt đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi
đầu vào cao học ngành vật lý toán.
Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm
và thu thập tài liệu. Cùng với sự giúp đỡ của cô hướng dẫn trong khoảng thời
gian ngắn, ượng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những

sai xót và hạn chế. Vì vậy em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét duyệt,
của quý thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng hoàn thiện
hơn. Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang giúp em
phát huy và sáng tạo trên con đường sự nghiệp sau này của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình dao
động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về
phương trình dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về phương trình dao động của sợi dây với điều kiện biên
tổng quát.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lí luận:
- Vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải thích toán học

2


- Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện và
kiểm tra tính chính xác của lý thuyết.
 Thực hành
Giải các bài tập có liên quan theo các dạng đã chia
6. Ý nghĩa của đề tài
Nếu những mục tiêu đó được thực hiện một cách hiệu quả thì sẽ mang
lại ý nghĩa rất lớn trong việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng hơn trong
việc giải bài tập có liên quan tới dao động của sợi dây thuộc chuyên ngành vật
lý lý thuyết.

7. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Thiết lặp phương trình dao động của sợi dây
1.1 Đại cương về phương trình vật ý toán cơ bản
1.2 Thiết lập phương trình dao động cơ bản của sợi dây
Chương 2: Một số bài toán về dao động của sợi dây với điều kiện
biên tổng quát
2.1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si
2.2. Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn
2.2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn
2.3.1. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với hai đầu được gắn chặt
2.3.2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với độ lệch của hai đầu mút
với vị trí cân bằng luôn là hằng số
2.3.3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển
động với quy luật cho trước
2.3.4. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút được
gắn chặt

3


2.3.5. Dao động cưỡng bức của sợi dây với độ lệch của hai đầu mút so
với vị trí cân bằng luôn là hằng số
2.3.6. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn mà đầu mút chuyển
động theo những quy luật cho trước

4


NỘI DUNG
Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Đại cương về phương trình vật lý toán
Các phương trình mô tả sự biến thiên của các trường theo thời gian
thường à các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa các hàm
chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập.
Cấp của đạo hàm là cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong
phương trình à cấp của phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó.
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với
hai biến số độc lập
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2  2B
 C 2  D  E  Fu  Gx, y 
x
xy
y
x
y

(1-1)

với ux, t ; A; B; C; D; E; F ; G là những hằng số của hàm x, y 
Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta có thể đưa phương trình (1-1) về
một trong ba dạng sau:
1)

Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó, thì ta có thể đưa phương

trình (1-1) trong miền ấy về dạng:
 2u  2u
u
u
 2  D1  E1
 F1u  G1 ( , )
2





(1-2)

Phương trình này gọi à phương trình oại eliptic. Dạng đơn giản nhất
của phương trình à phýõng trình La apxơ
 2u  2 u

0
 2  2

(1-3)

5


Nghĩa à:

2)

D1  E1  F1  G1  0

Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó thì có thể đưa ra phương

trình (1-1) trong miền ấy về dạng:
 2u  2u
u
u
 2  D2
 E2
 F2u  G2 ( , )
2





(1-4)

Phương trình này gọi à phương trình hipebo ic. Dạng đơn giản nhất
của phương trình hipebo ic à phương trình dao động của sợi dây
 2u  2u

 G2 ( , )
 2  2

Nghĩa à:
3)

(1-5)

D2  E2  F2  0

Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1-1) có

thể đưa về dạng:
 2u
u
u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )
2




(1-6)

Phương trình này gọi à phương trình parabo ic nó có dạng đơn giản
nhất à phương trình truyền nhiệt
 2u
u
 E3
 G3 ( , )
2



Nghĩa à:

(1-7)

D3  F3  0

Trong các phương trình (1-5) và (1-7) ta thường lấy một biến số là thời
gian, còn một biến số kia là tọa độ x , khi đó ta có phương trình dao động của
dây (hay phương trình sóng một chiều):
2
 2u
2  u

a
t 2
x 2

(1-8)

Phương trình truyền nhiệt:
u
 2u
 a2 2
t
x

(1-9)

Phương trình La apxơ:

6


 2u  2 u

0
x 2 y 2

(1-10)

Nhiều bài toán vật í và kĩ thuật dẫn đến các phương trình này người ta
gọi chúng là những phương trình vật lí - toán cơ bản.
Các phương trình (1-8), (1,9), (1-10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta
phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng.
Các phương trình (1-8) và (1-9) xuất hiện khi các phương trình không
dừng (biến đổi theo thời gian t ). Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng
không gian x hữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt
trong thanh hữu hạn thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:
1)

Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t  0

2)

Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không

gian. Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu
và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng
vô hạn

   x   ,

thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu. Bài toán gọi là bài toán

Côsi (Cauchy)
Phương trình (1-10) không chứa thời gian, cả hai biến số

x, y đều

là biến

số không gian. Nó xuất hiện khi nghiên cứu các phương trình dừng. Để xác
định nghiệm, ta cần các điều kiện, vì vậy bài toán này gọi là bài toán biên.
Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát do việc đo
đạc thực nghiệm trong vật í và kĩ thuật nghĩa à mang tính chất gần đúng.
Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của
nghiệm. Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục
vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Các bài toán được thiết lập sao
cho nghiệm tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục và các điều kiện phụ, gọi là
bài toán được thiết lập đúng.

7


Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phương trình dao động của dây (1-5)
hay (1-8)
1.2. Lập phương trình dao động của sợi dây
Bài toán: Xét sợi dây căng à T nghĩa à mỗi điểm của sợi dây có lực T
tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó. Giả thiết sợi dây à đàn hồi, dao động

là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng T à như
nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động.
Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x , còn dao
động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục
x

và nằm cùng một mặt phẳng chứa trục x . Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ

Đề các vuông góc x , u , trong đó u là kí hiệu độ lệch của dây khỏi vị trí cân
bằng. Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t ,
u  ( x, t ) . Ta thiết lập phương trình cho u  ( x, t )

Hình 1
Xét đoạn dây từ x và x2 . Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t và
1

thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T. Ta hãy xác định hình chiếu trên trục
u của

các lực tác dụng lên phần đang xét của sợi dây.
Gọi 1 là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm

x1 ,  2 là

góc tương ứng ở điểm x2 . Tổng hình chiếu của lực căng T sin  2  T sin 1 (*)

8


Giả sử rằng ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với

trục

u (chẳng

hạn trọng ượng của dây). Mật độ phân bố của lực ngoài dọc

theo sợi dây kí hiệu là  g ( x, t ) . Thành thử họp lực tác dụng lên phần sợi dây
x2

đang xét à:    g ( x, t )dx
x1

Trong đó    (x) là mật độ khối ượng chiều dài của sợi dây. Ta coi
dây à đồng chất nên  là hằng số.
Mặt khác, gia tốc của các điểm của sợi dây là

u ' 'tt 

 2u
t 2

nên hợp lực

x2

quán tính trên phần đang xét của sợi dây là    u ' 'tt ( x, t )dx
x1

Do đó ở điểm t ta có đẳng thức:
x2

x2

   u ' 'tt ( x, t )dx  T (sin  2  sin 1 )    g ( x, t )dx
x1

(1-11)

x1

Ta đã biết:
u
tan  ( x)
u
x
sin  ( x) 


2
2
x
1  tan  ( x)
 u 
1  
 x 

Do đó:

x2 2
 u


u
u
T (sin  2  sin 1 )  T 

  T  2 dx
x
x1
 x x  x2 x x  x1 

Ở đây ta giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời
gian dao động nên vi phân cung: ds  1  u'2x ( x, t )dx  dx
Nghĩa à đại ượng u'2x ( x, t ) à đủ nhỏ để có thể thay 1  u '2x bằng 1 ta coi
u '2x có thể bỏ qua so với 1. Ở đây trong quá trình dao động, độ lệch pha của

sợi dây so với trục

x

luôn rất nhỏ. Vậy đẳng thức (1-11) có dạng:

9


x2

 u' '

tt

( x, t )  Tu' 'xx ( x, t )  g ( x, t )dx  0

x1

Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với bất kì

( x1 , x2 ) của

dây, cho

nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây
tại một thời điểm bất kì, nghĩa à có thể xảy ra đẳng thức

u' 'tt ( x, t )  Tu' 'xx ( x, t )  g ( x, t )  0
u' 'tt ( x, t )  a 2u' 'xx ( x, t )   g ( x, t )

Hay:
Trong đó

a2 

T



(1-12)

là một hằng số dương

Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân

đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phương trình
vật lý – toán đơn giản nhất.
Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g ( x, t )  0 thì phương
trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Cňn phương trình (1-12)
với g ( x, t )  0 là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây.
Kết luận chương 1
Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động
sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động

10


Chương 2
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY
Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào
vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban
đầu dao động của sợi dây.
Trong khuôn khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập
hay gặp trong quá trình nghiên cứu và ôn luyện thi đầu vào cao học, chia làm
ba dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây:
1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si
2. Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn
3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn
2.1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Côsi
Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây có chiều dài đến mức các
nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét. Lúc đó dao động
của phần này chỉ ảnh hưởng đến điều kiện ban đầu. Tức là:
Tìm nghiệm u( x, t ) của phương trình

 2u
 2u
 a2 2  0
2
t
x

Với hình dạng ban đầu của sợi dây u( x, t ) t 0  u( x,0)  f ( x)
u't x, t  t 0  u't x,0  F ( x)

Và vận tốc ban đầu của sợi dây
Giải:

Tìm nghiệm u( x, t ) của phương trình

2
 2u
2  u

a
0
t 2
x 2

(2-1)

với    x  , t  0
Để tìm nghiệm của phương trình (2-1), bằng phương phấp đổi biến
  x  at ;   x  at ta được độ lệch của sợi dây

11


u x, t  

x  at

1
 f x  at   f x  at   1  F  d
2
2a x  at

(2-2)

Công thức này gọi là nghiệm Đa ambe của bài toán Côsi đối với dao
động của sợi dây dài vô hạn.
2.2. Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn
Giả sử sợi dây lúc cân bằng nằm trên nửa trục x ≥0, có mút gắn chặt ở
gốc tọa độ. Ta phải tìm nghiệm của phương trình dao động của sợi dây:
2
 2u
2  u

a
0
t 2
x 2

Trong miền {0=f(x),

u
t

t o

 F (x)

Trong đó f(x), F(x) à các hàm cho trước, xá định với x≥0 và thảo mãn
điều kiện biên u│x=0 =0

(t>0)

(*)

Giải:
Các hàm f(x), F(x) chỉ được xá định khi x≥0, ta kéo dài chúng một cách
tùy ý sang x<0. Hàm u(x,t) cho bởi công thức DA ember, trong đó f,F à các
hàm được xá định trên toàn trục số, là nghiệm của bài toán Cauchy. Ta tìm
cách xem bằng cách kéo dài các hàm f, F như thế nào thì điều kiện biên được
thỏa mãn. Từ đó ta có:
f (at )  f (at ) 1
  F ( ᶓ )dᶓ
2
2 at
at

u(0,t)=

(2.1)

Vậy muốn cho u(0,t)=0 với mọi t, ta kéo dài các hàm f, F sao cho:
f(-x)=-f(x) , F(-x)=-F(x)
Tức là kéo dài lẻ các hàm f(x), F(x). Khi đó, số hạng đầu của vế phải
(2.1) rõ ràng bằng 0, còn số hạn thứ 2 cũng bằng 0 àm tâm đối xứng cũng
bằng 0.
Hàm cho bởi công thức DAlembert:

12


x  at

U(x,t)=

f ( x  at )  f ( x  at ) 1
  F ( ᶓ )d(ᶓ )
2
2 x at

Trong đó, f, F à các hàm cho trước trên x≥0 và đã được kéo dài lẻ sang
x<0, được xác định với mọi x,t và khi x≥0 nó chính à nghiệm của bài toán
đặt ra. Nó là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu
và theo điều vừa chứng minh nó lại thỏa mãn điều kiện biên(*)
Vì hàm f,F là lẻ nên hàm u cho bởi công thức DA embert cũng à hàm
lẻ đối với x u(-x,t)= -u(x,t) với mọi t
Giả sử ở thời điểm t1 sợi dây nửa vô hạn có dạng 1 sóng nào đó truyền
sang trái. Ta phải kéo dài lẻ dạng của sợi dây sang x<0
Khi t tăng ên sóng úc đầu nằm ở phía x>0 truyền dần sang trái và đến
1 thời điểm t2 nào đó (t2>t1) nó truyền sang phía x<0, còn sóng úc trước ở

phía x<0 truyền dần sang phải và đến thời điểm t2 nó truyền sang phía x>0.
Vậy trên dây nửa vô hạn x≥0 hiện tưởng xảy ra như sóng ban đầu truyền sang
trái tới mút 0, phản xạ tại đó có đổi dấu rồi truyền sang phải
2.3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn
2.3.1 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với 2 đầu mút được gắn chặt
Tìm dao động của sợi dây hữu hạn độ dài l khi biết hình dạng ban đầu
của sợi dây là f(x), vận tốc ban đầu là g(x) với 2 dầu mút của sợi dây được
gắn chặt
Giải
Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l , chiếm đoạn 0, l  của trục
x khi cân bằng. dao động của sợi dây sẽ tuân theo phương trình
với điều kiện ban đầu:

u t  0  f ( x)

 u
 g ( x)
 t
 t 0

13

2
 2u
2  u

a
0
t 2
x 2

u x  0  0
u x  l  0

và điều kiện biên: 


Ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier ta được phương tình dao
động có dạng.

akt
akt  kt

ux, t     Pk sin
 Qk cos
 sin
l
l 
l
k 1 

(1.15)

Trong đó:
Sử dụng điều kiện ban đầu:
u t  0  f  x 

 u
 g x 
 t

 t 0


kx
 Qk sin l  f  x 
 k 1
 
 ak P sin kx  g x 
k

l
k 1 l

l

2
kx
dx
Qk   f x sin
l 0
l


l
 P  2 g x sin kx dx
 k ak 
l
0


(1.16)

(1.17)

Thay (1.17) vào (1.15) thì nghiệm ux, t  của phương trình à tường
minh dưới dạng:
l
 
kx  akt
 2
u  x, t     
g x sin
dx  sin


l
l
k 1 

 ak 0

2 l
kx 
akt 
kx

   f x sin
dx  cos
 sin
l

l 
l
l 0



Ta thấy rằng hàm (1.15) mô tả dao động duy trì, nghĩa à dao động giữ
nguyên cường độ với mọi t  0 . Điều đó, à do ta bỏ qua sức cản của môi
trường, nghĩa à bỏ qua sự tiêu tán năng ượng dao động.
Bài toán 1: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x  0 và x  l , nếu
dạng của sợi dây ban đầu là cung parabol f x  
F x   0

Theo công thức (1.17) ta có:

14

xl  x 
và vận tốc ban đầu
M


2
kx
xl  x sin
dx

lM 0
l
l

Qk 



2
lM

l
 l
k
l



x
l

x
cos
x


l 0 k
 k

2

kM

l

 l  2 x cos
0


k
xdx 
l


l
l
 l

k
2l
k
x 
sin
xdx
 l  2 x sin

l 0 k 0
l
 k


4l 2
k

4l 2
 3 3 cos x  3 3 1  cos k 
k M
l 0 k M
l





4l 2
k
1   1
3 3
k M



Pk  0

Vậy ta có phương trình dao động là
4l 2
u  x, t   3
 M

1   1
kat
kx
cos
sin


3
k
l
l
k 1

8l 2
u x, t   3
 M

 2n  1





k

1

3

n0

cos

2n  1at sin 2n  1x
l

l

Bài toán 2:
Ở thời điểm t  0 , ta truyền cho các điểm của sợi dây nằm trong khoảng

c   , c    một vận tốc ban đầu không đổi v0 . Hãy xác định dao động của sợi
dây, nếu úc đầu nó nằm yên.
Ta có các điều kiện ban đầu

u t  0  0

 u
v khi x  c   , c   
 0

 t t  0 0 khi x  c   , c   

Vậy Qk  0
c 

Pk 

Hay Pk 

2v0
kx
sin
dx

ka c 

l

2lv0  k c   
k c   
cos
 cos
2 2 

k a 
l
l
2

15


2lv
u k  x, t   2 0
 a

Do đó

cos

k c   
k c   
 cos
kx
kat
l

l
sin
sin
2
k
l
l

Bây giờ   0 sao cho xung ượng p không thay đổi. Nếu  là mật độ
của sợi dây thì ta có:

p  2 v0
Nghiệm ux, t  có thể được viết dưới dạng
uk x, t  

pl  1 
k c   
k c     kx
kat
cos
 cos
sin
 sin

2
2
 a k 1 k 
l
l
l

l


Theo quy tắc L’Hopita
cos
lim

 0



k c   
k c   
 cos
k
l
l
 lim
 0 l


k c    
 k c   
sin

sin


l
l









2k
kc
sin
l
l

Vậy:

u x, t  

2l  1
kc
kx
kat
sin
sin
sin

a k 1 k
l
l
l

Đây à dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền
cho nó một xung ượng p tập trung tại điểm x  c
2.3.2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với độ lệch ở hai đầu mút so với
vị trí cân bằng luôn là hằng số
Bài toán:
Tìm nghiệm

u x, t 

của phương trình
u

2
 2u
2  u

a
0
t 2
x 2

 f ( x)

trên miền

t 0
0  x  l
D
với điều kiện ban đầu:  u

và điều kiện biên
 g ( x)
0  t  


 t

u x  0  A

u x l  B

16

t 0


(trong đó a; A; B là các hằng số  0 ; các hàm f x ; g x  giải tích trên D)
Giải
Ta sẽ tìm nghiệm ux, t  của phương trình dưới dạng:
ux, t   vx, t   w1 x1   w2 x2 

Thay (2.1) vào phương trình:

(2.1)

2
 2u
2  u

a

0
t 2
x 2

(2.2)

2
2
2
 2v
2  v
2 d w1
2 d w2

a

a

a
0
t 2
x 2
dx 2
dx 2

Ta được:

Giả sử vx, t ; w1 x1 ; w2 x2  thỏa mãn các điều kiện
Hàm vx, t  là nghiệm của phương trình
ban đầu là

 2v
 2v
 a2 2  0
2
t
x

với điều kiện

v t 0  f x   w1 x   w2 x 

 v
 g ( x)
 t
 t 0

(2.3)

v x  0  0
v x  l  0

và điều kiện biên là 
Hàm

w1 x 

(2.4)

là nghiệm của phương trình

 a2

d 2 w1
0
dx 2

w1 x  0  A
w1 x  l  0

Thỏa mãn điều kiện 
Hàm

w2 x 

(2.6)

là nghiệm của phương trình

Thỏa mãn điều kiện:
 Dạng nghiệm

w1 x 

(2.5)

 a2

d 2 w2
0

dx 2

w2 x  0  0

w2 x  l  B

của phương trình (2.5) à: w1 x  a1 x  a2

(trong đó a1;a2 là các hằng số tích phân)
w1 x  0  A
Sử dụng điều kiện biên 
w1 x  l  0

17

(2.7)
(2.8)
(2.9)


a2  A

a1l  a2  0

 w1 x   



 a2  A



A
a1   l

(2.10)

Ax
 x
 A  A1  
l
 l

(2.11)



Dạng nghiệm

w2 x  của

phương trình (2.7) à: w2 x  b1x  b2 (2.12)

(trong đó b1;b2 là các hằng số tích phân)
w2 x  0  0
w2 x  l  B

Sử dụng điều kiện biên 

b2  0


b1l  b2  B

 w2 x  



b2  0


B
b1  l

Bx
l

(2.13)

(2.14)

Thay (2.11) và (2.14) vào (2.3) thì điều kiện ban đầu vx, t  là:


v t  0  f x   A1 



 v  g ( x)
 t t  0

x B


l l

x

v t  0  f  x   A   B  A

l

 
 v  g ( x)

 t t  0



(2.15)

Nghiệm của phương trình (2.2) được tìm dưới dạng:

vx, t   X x T t 

(2.16)

Thay (2.16) vào phương trình
XT ' 'a 2TX ' '  0  a 2

2
 2v
2  v


a
0
t 2
x 2

X '' T ''

X
T

18

ta được:
(2.17)


Từ (2.17) ta thấy vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến x còn vế
phải phụ thuộc vào biến t nên để đẳng thức luôn xảy ra thì
X '' T ''

 const  c
X
T

a2



 X ' 'cX  0


2
T ' 'a cT  0

(2.18)
(2.19)

Đặt X  erx rồi thay (18) vào phương trình đặc trưng sau:
r2  c  0



r2  c



Nếu c  0 thì

X x  c1e

(trong đó

cx

 c2e

c1;c2 là

phương trình (2.18)có nghiệm X (x) dạng

r c

cx

(2.20)

các hằng số tích phân)
v x  0

v
 x  l

Từ điều kiện biên 


c1  c2  0
 ce
c1e  c2e

ce

c  0
 1
 0 c2  0

Thay (2.21) vào (2.20) thì


 X x  x  0  0


 X x  x  l  0

(2.21)

X x   0  ux, t  =0

Nếu c  0 thì r  0 và phương trình (2.18) có nghiệm

X x   d1 x  d 2
d1;d 2

là các hằng số tích phân)

v x0


v xl
Từ điều kiện biên
d  0
 2
d1l  d 2  0



 X x  x  0  0

 X x  x  l  0

d1  0


d 2  0

Thay (2.23) vào (2.22) thì

nghiệm

dạng:

(2.22)

(trong đó



X x 

(2.23)

X x   0  ux, t   0

Nếu c  0 thì đặt c  2  0  r  i và phương trình (2.18) có
X x 

dạng:

X x  q1 sin x  q2 cos x

(2.24)

19

(trong đó

q1 ; q2

là các hằng số tích phân)

Từ điều kiện biên:
 X x  x  0  0

 X x  x  l  0

v x0


v xl

q  0
 2
q1 sin x  q2 cos x  0

q2  0

q1 sin l  0



Để phương trình (2.18) có nghiệm không mâu thuẫn nhất thì:
sin l  0



q2  0

Thay
có một hàm

X x 

l  k k  N  





k
l

(2.25)

và (2.25) vào (2.24) thì tương ứng với mỗi giá trị của k ta
tương ứng dạng:
X k x   q1 sin

với  



k

x
l

(2.26)

2 2
k
thay vào (2.19) ta được: Tk ' ' t   a 2 k 2 T t   0
l
l

Tk t   M k sin

akt
akt
 N k cos
l
l

(2.27)

(trong đó M k ; N k là hệ số tích phân và nhìn chung phụ thuộc vào k)
Thay (2.26) và (2.27) vào (2.16) thì ứng với một cặp Tk t ; X k x  ta có
một nghiệm riêng vk x, t  dạng:
akt
akt 
kx

vk x, t    M k sin
 N k cos

q1 sin
l
l 
l


(2.28)

Pk  M k .c1
rồi thay vào (2.28) thì vx, t  có dạng
Qk  N k .c1

Đặt 

akt
akt  ak

vk x, t    Pk sin
 Qk cos
 sin
l
l 
l


Nghiệm uk x, t  thu được là chồng chập của các nghiệm riêng

20

(2.29)