Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
---------------------

PHẠM THỊ CHINH

ỨNG DỤNG ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CƠ HỌC

Chuyên ngành: Vật lí đại cƣơng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

Th.S: Hoàng Văn Quyết

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Ứng dụng đường tròn lượng giác để
giải các bàitập dao động điều hòa cơ học” đã hoàn thành với sự nỗ lực của
bản thân và với sự giúp đỡ tận tình chu đáo của thầy giáo Thạc sĩ Hoàng
Văn Quyết cùng các thầy cô trong tổ Vật lý đại cƣơng trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Hà Nội 2.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin
chân thành cảm ơn thƣ viện trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện tốt nhất cho em hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân là một sinh viên bƣớc đầu làm
quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót.

Vì vậy em rất mong nhận đƣợc sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô và
các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Chinh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung tôi trình bày trong khóa luận này là kết quả
của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dƣới sự hƣớng dẫn của các thầy
giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáoThạc sĩ Hoàng Văn Quyết. Những nội
dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Chinh


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu ............................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu........................................................................... 2
PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................. 3
1.1. Động học của dao động điều hòa ........................................................... 3

1.1.1. Một số khái niệm mở đầu................................................................ 3
1.1.2. Khái niệm về dao động điều hòa.................................................... 4
1.1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn ............................ 7
1.2. Động lực học dao động điều hòa ........................................................... 9
1.2.1. Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa .......................................... 9
1.2.2. Năng lƣợng trong dao động điều hòa........................................... 15
1.3. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ............ 16
1.3.1. Chuyển động tròn đều ................................................................... 16
1.3.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ..... 16
Chƣơng 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP .................................................................. 18
2.1. Viết phƣơng trình dao động điều hòa .................................................. 18
2.1.1. Phƣơng pháp giải .......................................................................... 18
2.1.2. Ví dụ minh họa .............................................................................. 19
2.1.3. Bài tập áp dụng.............................................................................. 22
2.2. Bài toán tìm thời gian, thời điểm trong dao động điều hòa ................. 24
2.2.1. Tìm thời gian ngắn nhất, dài nhất để vật đi hết quãng đƣờng S ... 24


2.2.2. Tìm thời gian để vật đi từ vị trí có tọa độ x1 đến x2 ...................... 28
2.2.3. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x xác định lần thứ
n (/x/ < A) ................................................................................................ 34
2.3. Bài tập tính quãng đƣờng chuyển động của vật dao động điều hòa .... 39
2.3.1. Xác định quãng đƣờng lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời
gian t ..................................................................................................... 39
2.3.2. Xác định quãng đƣờng mà vật đi đƣợc từ thời điểm t1 đến t2...... 44
2.4. Bài toán tính vận tốc trung bình, tốc độ trung bình ............................. 47
2.4.1. Phƣơng pháp giải .......................................................................... 47
2.4.2. Ví dụ minh họa .............................................................................. 47
2.4.3. Bài tập tƣơng tự ............................................................................. 50
2.5. Xác định số lần vật đi qua vị trí x trong thời gian t ............................. 51

2.5.1. Phƣơng pháp giải .......................................................................... 51
2.5.2. Ví dụ minh họa .............................................................................. 52
2.5.3. Bài tập tƣơng tự ............................................................................. 53
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Dao động cơ học là một trong các chƣơng quan trọng của chƣơng trình
vật lý lớp 12. Nó đóng góp một lƣợng bài tập lớn trong hệ thống kiến thức
trong kì thi quốc gia.
Hiện nay trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phƣơng pháp
giảng dạy cũng nhƣ phƣơng pháp đánh giá kết quả bằng phƣơng tiện trắc
nghiệm khách quan. Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phƣơng pháp
chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lƣợng dạy và học trong nhà trƣờng
THPT. Điểm đáng lƣu ý là nội dung kiến thức tƣơng đối rộng, đòi hỏi học
sinh phải học kĩ,nắm vững toàn bộ kiến thức của chƣơng trình, tránh học tủ,
học lệch và để đạt đƣợc kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh
không những nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có những
phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán mang tính
chất khảo sát mà các em thƣờng gặp.
Khi dùng phƣơng pháp đại số để giải các bài tập dao động điều hòa cơ
học có rất nhiều ƣu điểm.Song một số dạng toán nếu sử dụng “liên hệ giữa
chuyển động tròn đều với dao động điều hòa” cho ta kết quả nhanh hơn, lời
giải dễ hiểu hơn, đồng thời lôi cuốn đƣợc nhiều học sinh tham gia vào quá
trình giải bài tập cũng nhƣ giúp một số học sinh không yêu thích hoặc không
giỏi vật lý cảm thấy đơn giản hơn trong việc giải bài tập trắc nghiệm vật lý.
Chính vì lí do trên mà tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Ứng dụng đường
tròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học” để làm khóa

luận xét tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Dùng đƣờng tròn lƣợng giác để giải một số bài tập về dao động điều
hòa trong chƣơng trình vật lý lớp 12.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết chƣơng phần “dao động điều hòa”.
- Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
để đƣa ra phƣơng pháp giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Lí thuyết chƣơng dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động tròn
đều.
- Các dạng bài ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đêù và dao
động điều hòa cơ học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu các tài liệu có liên quan.
- Giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học.

2


PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chƣơng này tôi trình bày hệ thống phần lý thuyết của đề tài “ứng
dụng đƣờngtròn lƣợng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học”
nhƣ sau:
1.1. Động học của dao động điều hòa

1.1.1. Một số khái niệm mở đầu
Trong thiên nhiên, trong đời sống, trong khoa học và kĩ thuật, có nhiều
hiệntƣợng diễn ra lặp đi lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng thời gian nhất định.
Thí dụ: Sau mỗi ngày Mặt Trời lại mọc vào buổi sáng, sau mỗi năm vào mùa
xuân hoa đào lại nở,...Đó là những hiện tƣợng tuần hoàn.
 Hiện tƣợng tuần hoàn là những hiện tƣợng diễn ra lặp đi lặp lại nhƣ
cũ sau những khoảng thời gian xác định.
 Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục trong đó sự biến thiên
của một số đại lƣợng nào đó đặc trƣng cho quá trình biến đổi nhƣ vận tốc, gia
tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách... đƣợc lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng
thời gian xác định.
 Dao động: Trong một số quá trình tuần hoàn, những đại lƣợng biến
thiên đặc trƣng cho quá trình chỉ thay đổi giá trị xung quanh một giá trị trung
bình xác định đƣợc gọi là một dao động tuần hoàn. Mỗi lần các đại lƣợng biến
thiên của quá trình lặp lại những giá trị nhƣ cũ ta nói rằng nó đã thực hiện
đƣợc một dao động.
 Chu kì dao động: Chu kì dao động đƣợc kí hiệu bằng chữ T là khoảng
thời gian xác định, không đổi để quá trình biến đổi thực hiện một dao động.

3


Nếu f(t) là một đại lƣợng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì T
thì ta luôn có hệ thức:
f(t+T) = f(t)
Chúng ta gặp những dao động tuần hoàn không những trong các quá
trình cơ học mà cả trong quá trình điện học, nhiệt học, quang học, quá trình
diễn ra trong nguyên tử hạt nhân,... Tùy theo bản chất của quá trình lặp lại,
ngƣời ta phân biệt các loại dao động: Dao động cơ, dao động điện từ, dao
động điện cơ,...Trong chƣơng này, chúng ta nghiên cứu các dao động cơ. Lý

thuyết về dao động cơ học có một ý nghĩa cơ bản, nó sẽ đƣợc áp dụng và mở
rộng trong các lĩnh vực khác của vật lý học.
Tùy từng trƣờng hợp mà quá trình dao động có thể đóng vai trò tích
cực và cũng có thể đóng vai trò tiêu cực.
1.1.2. Khái niệm về dao động điều hòa
Trong tất cả các dao động thƣờng gặp, đơn giản nhất và quan trọng
nhất là dao động điều hòa vì các lí do sau đây: Trƣớc hết, các dao động trong
tự nhiên và trong kĩ thuật thƣờng có các dao động rất gần với dao động điều
hòa; thứ hai, một dao động bất kì đƣợc biểu diễn nhƣ là tổng hợp của các dao
động điều hòa.
Chúng ta xét thí dụ sau: Một chất điểm M
chuyển động trên đƣờng tròn bán kính R với vận
tốc góc không đổi bằng  . Trên đƣờng tròn,
chọn điểm O làm gốc tọa độ và chiều quay
dƣơng là chiều ngƣợc kim đồng hồ. Tại thời
điểm ban đầu t = 0, điểm M ở vị trí Mo đƣợc xác
định bởi góc  . Tại thời điểm t bất kì vị trí của điểm M đƣợc xác định bằng
góc( t   ). Ta chiếu chuyển động cuả điểm M xuống đƣờng kính đi qua O.

4


Chọn gốc tọa độ trên đƣờng kính đó, là tâm O của đƣờng tròn. Tại thời
điểm t bất kì vết chiếu của M là P. Đặt OP = x, ta có:
x  R cos(t   )

(1)

Đó là phƣơng trình chuyển động của điểm M trên đƣờng tròn tâm O,
bán kính OP1.

Từ (1) ta có:

x  R cos(t   )  R cos((t 

2



)  )

Căn cứ vào định nghĩa chu kì ta thấy chuyển động của điểm P trên bán
2

kính OP1 dao động tuần hoàn với chu kì T   . T cũng chính là khoảng thời
gian để M quay đƣợc một vòng trên đƣờng tròn và P trở lại vị trí cũ trên bán
kính OP1.
Từ (1) ta có vận tốc và gia tốc của M là:

v  x'   R sin(t   )

a  x''   R 2 cos(t   )
 Tọa độ, vận tốc, gia tốc đều đƣợc biểu diễn bằng các phƣơng trình

dạng sin hoặc coisin. Dao động tuần hoàn nhƣ vậy gọi là dao động điều hòa.
 Một dao động tuần hoàn mà các đại lượng biến đổi đều được biểu
diễn bởi các phương trình dạng sin hoặc cosin được gọi là các dao động điều
hòa.
- Tọa độ x của P đƣợc gọi là li độ của dao động.
- Lƣợng ( t   ) cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của P tại mỗi
thời điểm t bất kì đƣợc gọi là pha của dao động điều hòa.

- Lƣợng  cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban
đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của chuyển động) đƣợc gọi là pha ban đầu của
dao động điều hòa.

5


- R là giả trị cực đại của li độ ứng với sin(t  )  1 hoặc

cos(t  )  1 đƣợc gọi là biên độ của dao động điều hòa. Nhƣ vậy li độ biến
thiên trong khoảng:
–R  x  R
- Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với một
2

2

chu kì chung T   . Ngƣời ta gọi đại lƣợng T   là chu kì của dao động
điều hòa. Nghịch đảo của chu kì T đƣợc gọi là tần số của dao động điều hòa.
Thứ nguyên của tần số:
[v] = T-1
Đơn vị của tần số (trong hệ đơn vị SI) là Hec; kí hiệu là Hz.
 Hec là tần số bằng một dao động trong thời gian một giây.
1 Hz = 1 s-1
2

Đại lƣợng   T  2 . đƣợc gọi là tần số vòng hay tần số góc của dao
động điều hòa.
Nếu dao động điều hòa đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình:

x  Asin(t   )
Ta luôn có:



x  A sin(t   )  A cos(t    )
2
Nhƣ vậy ta có thể đổi cách biểu diễn dạng sin thành cách biểu diễn
dạng cosin bằng cách đổi điều kiện ban đầu, cụ thể là đổi pha ban đầu  bằng
'   


2

. Hai cách biểu diễn đó là hoàn toàn tƣơng đƣơng nhau.

6


1.1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn
Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tùy từng trƣờng hợp cụ thể mà chúng
ta có thể sử dụng một trong ba phƣơng pháp sau: Phƣơng pháp lƣợng giác,
phƣơng pháp số phức, phƣơng pháp hình học.
1.1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn
Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tùy từng trƣờng hợp cụ thể mà chúng
ta có thể sử dụng một trong ba phƣơng pháp sau: Phƣơng pháp lƣợng giác,
phƣơng pháp số phức, phƣơng pháp hình học.
1.1.3.1. Phƣơng pháp lƣợng giác
Phƣơng pháp lƣợng giác là phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn
bởi các phƣơng trình lƣợng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây chúng ta sử

dụng:

x  sin(t   )
Hoặc:
x  A cos(t   )

Trong một số trƣờng hợp, các phép tính với phƣơng trình lƣợng giác
thƣờng dài dòng và phức tạp, do vậy ngoài phƣơng pháp trên ngƣời ta còn
dùng phƣơng pháp hình học hoặc phƣơng pháp số phức.
1.1.3.2. Phƣơng pháp hình học
Phƣơng pháp hình học hay còn gọi
là phƣơng pháp giản đồ vectơ quay hay
phƣơng pháp Frexnen, áp dụng tính chất
đã đƣợc nghiên cứu ở thí dụ vừa xét: Khi
một chất điểm M chuyển động đều trên
một đƣờng tròn thì chuyển động của vết
chiếu P của nó trên một đƣờng kính là một dao động điều hòa.

7


Trên trục x ta có thể chọn điểm O bất kì làm gốc. Từ O đặt một vectơ

A



tạo với Ox một góc  bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A. A

đƣợc gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dƣơng

(ngƣợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng w. Vết chiếu của điểm đầu
mút vectơ biên độ


A

trên trục Ox sẽ dao động xung quanh điểm O với biên độ

bằng độ dài của vectơ biên độ, với tần số vòng bằng vận tốc quay của vectơ
biên độ, với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời
điểm ban đầu theo phƣơng trình:

x  A cos(t   )
Nhƣ vậy, một dao động điều hòa có thể đƣợc biểu diễn bằng một vectơ
có độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm ban đầu hƣớng của vectơ hợp
với trục Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động. Chính vì lí do nhƣ vậy
mà pha ban đầu  còn đƣợc gọi là góc pha, và w còn đƣợc gọi là tần số vòng.
Phƣơng pháp hình học giúp cho việc giải một loạt vấn đề, đặc biệt là
phép cộng một vài dao động cùng phƣơng (cũng chính là phép cộng một vài
hàm điều hòa) đƣợc dễ dàng đi rất nhiều và trở thành rõ ràng hơn.
1.1.3.3. Phƣơng pháp số phức
Ta biết một số phức a có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng
a = Ae
Trong đó:

i

= A (cos  + isin  ) = Acos  + A isin  .

A cos  là phần thực của số phức a.

Aisin  là phần ảo của số phức a.

Một dao động điều hòa x  A cos(t   ) có thể đƣợc biểu diễn bởi
phần thực của số phức a = Ae

i(t   )

hoặc số phức liên hợp với a là

a*  Aei( t ) . Hay có thể viết dƣới dạng:
a  A exp i(t   )
Hoặc:

a*  A expi(t   )

8


1.2. Động lực học dao động điều hòa
1.2.1. Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa
Ta hãy xét xem khi một vật dao động điều hòa, nó chịu tác dụng của
những lực nhƣ thế nào, thông qua các ví dụ sau:
1.2.1.1. Thí dụ 1
Một hòn bi khối lƣợng m có thể chuyển động không ma sát trên một
mặt phẳng nằm ngang. Nó đƣợc gắn vào một đầu của lò xo có khối lƣợng
không đáng kể, đầu kia của lò xo đƣợc gắn cố định. Khi kéo lò xo lại rồi
buông ra, hòn bi sẽ thực hiện một dao động. Ta xét dao động đó.
Khi hòn bi ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O. Trọng lực tác dụng lên
nó cân bằng với phản lực của mặt phẳng và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng
không.

Chọn O làm gốc tọa độ. Khi ta kéo lò
xò ravà đƣa nó tới vị trí có tọa độ x. Tổng hợp
lực tác dụng lên hòn bi đúng bằng lực đàn hồi

Fđh

của lò xo.
Với Fđh = - kx (k là hệ số cứng của lò xo), do đó phƣơng trình của định

luật II Niuton cho chuyển động của hòn bi có dạng nhƣ sau:
m.x’’ = - kx,
Hay:

x’’ +

k
m

x = 0.

(2)

k

Đặt m   0 , ta viết phƣơng trình trên thành:

x''  02 x  0
Nghiệm của phƣơng trình trên có thể là:

x  Asin(ot   )

9

(3)


x  A cos(ot   )

Hoặc:

Trong đó: t là thời gian, A,  o ,  là hằng số.
Nghiệm của phƣơng trình (1) biểu diễn một dao động điều hòa. Vậy
chuyển động của hòn bi dƣới tác dụng của lực đàn hồi là một dao động điều
hòa với tần số vòng:
o 

k
m

Chu kì của dao động:
2

m

T =   2 k
o

Biên độ A và pha ban đầu là  . Giá trị của A và  đƣợc xác định dựa
vào điều kiện ban đầu của bài toán.
1.2.1.2. Thí dụ 2: Con lắc lò xo

* Định nghĩa: Một vật nặng có khối lượng m được treo dưới một lò xo
đàn hồi có hệ số cứng k và khối lượng không đáng kể.


Ở vị trí cân bằng lực đàn hồi Fo của lò xo


cânbằng với trọng lực P tác dụng lên vật.
Gọi l là độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân
bằng.
Chọn vị trí cân bằng của vật làm gốc tọa độ O,
Trục Ox hƣớng từ trên xuống dƣới, tại vị trí
cân bằng ta có:


Fo + P = 0,

Suy ra:
- Fo + P = 0.
 P  F0  k l

10


Kéo vật nặng xuống phía dƣới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ chuyển




động dƣới tác dụng của lực đàn hồi F và trọng lực P .

Xét chuyển động của vật tại vị trí có li độ x. Khi đó độ dãn của lò xo là
l  x và lực đàn hồi bằng
F  k (l  x)

Hình chiếu của hợp lực tác dụng lên vật trên phƣơng trục x là:
P – F = P – k( l +x) = - kx
Phƣơng trình định luật II Nuiton cho chuyển động của vật là:
mx’’ = - kx.
Phƣơng trình này giống nhƣ phƣơng trình (2). Vậy ta có thể kết luận
rằng vật nặng sẽ dao động điều hòa với tần số vòng:
o 

k
m

Và chu kì dao động:
m

T = 2 k

Chu kì của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lƣợng m của vật nặng và hệ


số cứng k của lò xo mà không phụ thuộc vào trọng lực P tác dụng lên vật
nặng.
Do vậy chu kì dao động cuả con lắc lò xo sẽ không thay đổi nếu ta dịch
chuyển con lắc đến một nơi bất kì trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên con tàu vũ
trụ ở cách xa trọng trƣờng của Trái Đất.
1.2.1.3. Thí dụ 3: Con lắc toán học
* Định nghĩa: Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có kích

thước không đáng kể, treo ở đầu một sợi dây không dãn có khối lượng không
đáng kể.

11






Ở vị trí cân bằng, sức căng T của dây cân bằng với trọng lực P tác
dụng lênvật. Tổng hợp các lực tác dụng lên vật bằng không.
Xét chuyển động của con lắc.
Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với vị trí
cân bằngcủa con lắc, đƣờng tọa độ s trùng với
quỹ đạo chuyển động, có chiều dƣơng là chiều
tăng của s.
Tại vị trí ứng với góc lệch  (vật nặng có
độ dời s), lực tác dụng lên con lắc gồm trọng




lực P và sức căng T . Áp dụng định luật Nuiton
thứ hai ta có phƣơng trình chuyển động của con lắc:
P  T  ma

Chiếu lên phƣơng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta đƣợc:
- F = m.at = m.s’’.
Trong đó:

F  P sin   mg sin 

s

Khi góc lệch  nhỏ ta có: sin     l . Thay vào phƣơng trình trên ta
đƣợc:
s

msˮ = - mg l
Hay:
g

sˮ + l s = 0
Phƣơng trình này có dạng nhƣ phƣơng trình (2). Vậy ta có thể kết luận
chuyểnđộng của con lắc ứng với góc lệch  nhỏ là một dao động điều hòa có
tần số vòng là:


g
l

(4)

12


Và chu kì là:
l

T = 2 g

(5)

 Khi góc  nhỏ thì các kêt quả trên (4), (5) chính xác tới 0,2%. Ta có
thể nói rằng chu kì của con lắc toán học không phụ thuộc khối lƣợng và biên
độ dao động của nó.
Chu kì dao động của con lắc toán học phụ thuộc vào gia tốc trọng
trƣờng g tại vị trí đặt con lắc. Do vậy, ngƣời ta có thể dùng con lắc toán học
để xác định gia tốc trọng trƣờng g tại mỗi thời điểm.
g

4 2 l
.
T

1.2.1.4. Thí dụ 4: Con lắc vật lý
Con lắc toán học là một sự lý tƣởng hóa. Trong thực tế, ta cũng có thể
gặp những con lắc thỏa mãn gần đúng định nghĩa của con lắc toán học.
Nhƣng ngƣời ta thƣờng gặp những vật có kích thƣớc đáng kể, và có khối
lƣợng phân bố khắp trong thể tích của nó.
* Định nghĩa: Con lắc vật lý là một vật nặng bất kì có thể dao động tự
do xung quanh một trục nằm ngang.

d
Gọi
là bán kính vecto từ trục quay

O1 tới khối tâm G của con lắc. Tại vị trí cân
bằng O1 và G nằm trên cùng một đƣờng thẳng

đứng. Khi kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng
một góc lệch  nhỏ rồi buông ra, con lắc sẽ
dao động xung quanh trục nằm ngang O1.
Xét chuyển động của con lắc tại vị trí
bất kì ứng với góc lệch  , momen lực tác
dụng lên con lắc đối với trục quay O là:

13


   

M  d  P  d  mg.

Áp dụng phƣơng trình định luật II Nuiton cho chuyển động quay xung
quanh trục cố định O1 ta có:
 


M  md  g  I .

Suy ra:
mgd sin   I .  I "

Ở đây:


+ Dấu “ – ’’ xuất hiện do momen lực M luôn hƣớng theo chiều có tác
dụng làm giảm góc lệch  .
+ I: Momen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua O

Khi góc lệch  nhỏ thì có thể lấy sin   
Vậy ta có:
 '' 

mgd
 0
I

Nghiệm phƣơng trình trên có dạng:
   0 cos(t   ) .

Trong đó:


mgd
: tần số góc
I

(6)

 : Pha ban đầu.

 o : Biên độ dao động.

Do vậy, chu kì dao động của con lắc là:
T

2



I
mgd

 2

(7)

So sánh (6) và (7) với (4) và (5) ta thấy rằng con lắc vật lý dao động
nhƣ một con lắc toán học có chiều dài bằng:
L

I
.
md

14


Do vậy, L đƣợc gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý và có thể
viết:
T  2

L
.
g

* KẾT LUẬN:
Qua các thí dụ trên ta thấy rằng dao động đƣợc gây ra bởi những lực tỉ
lệ với độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng và luôn hƣớng về vị trí cân bằng của

vật. Những lực đó gọi là những lực hồi phục.
Trong thí dụ 1 và thí dụ 2, lực hồi phục là lực đàn hồi (Fx = - kx), hoặc
hợp lực của lực đàn hồi và lực khác ( Px + Fx = - kx).
mg

Trong thí dụ 3 và thí dụ 4, lực F =  l s và lực có momen
M  mgd sin  là những lực có tính chất giống nhƣ lực đàn hồi của lò xo (có

độ lớn tỉ lệ với độ dời và hƣớng về vị trí cân bằng) nhƣng do các nguyên nhân
khác gây ra, chúng đƣợc gọi là lực chuẩn đàn hồi.
Vậy, để một vật tham gia chuyển động là một dao động điều hòa thì vật
phải chụi tác dụng của một lực hồi phục. Lực hồi phục có thể là lực đàn hồi
hoặc là lực chuẩn đàn hồi.
1.2.2. Năng lƣợng trong dao động điều hòa
Vật nặng trong con lắc lò xo chuyển động dƣới tác dụng của lực đàn
hồi là lực thế, vì vậy cơ năng của vật đƣợc bảo toàn (có giá trị không đổi theo
thời gian).
Ta hãy xét biến đổi của những thành phần của cơ năng, tức là của động
năng K và thế năng U của vật theo thời gian.
K

1 2 1
mv  m 2 A2 sin 2 (t   )
2
2
x

x

0

0

U = -  Fdx   kxdx 

1 2 1 2
kx  kA cos2(  t +  )
2
2

15


2
Mà k  mw

Khi đó cơ năng E của vật nặng có giá trị không đổi:
E  K U 

1
mw2 A2 sin 2 (t   )  cos2 (t   ) 
2

1

1

2 2
2
= 2 m A  2 kA

Nhƣ vậy: Động năng K và thế năng U luôn luôn biến đổi nhƣng tổng
của chúng thì không đổi. Có sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế
năng trong quá trình dao động điều hòa.
1.3. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
1.3.1. Chuyển động tròn đều
Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đƣờng tròn.
VD: Chuyển động của các điểm trên ghế đu quay.
Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn và có tốc độ
trung bình trên mọi cung tròn là nhƣ nhau.
Vận tốc góc: Là góc quay của bán kính trong 1 đơn vị thời gian.
 =


( rad/s)
t

Trong đó  là góc mà bán kính nối tâm từ tâm đến vật quét đƣợc
trong những khoảng thời gian t .
Chu kì của chuyển động tròn đều là thời gian cần thiết để vật đi đƣợc
một vòng.
1.3.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều
Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x


của vecto quay OM biểu diễn dao động điều
hòa chính là li độ x của dao động.

16



Nói cách khác: Khi vecto OM quay đều với tốc độ góc w quanh điểm
O thì hình chiếu P của điểm M dao động điềuhòa trên trục x’Ox thuộc mặt
phẳng quỹ đạo M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của điểm M, biên độ bằng
độ dài OM, tần số góc đúng bằng tần số góc  và pha ban đầu  =  xOM0 ở
thời điểm t = 0.
Nhận xét:
Mỗi chu kì vật đi đƣợc quãng đƣờng 4A; mỗi nửa chu kì T/2, vật đi
đƣợc quãng đƣờng 2A; còn trong T/4, vật đi từ vị trí cân bằng ra vị trí biên
hoặc đi từ biên ra vị trí cân bằng, vật đi đƣợc quãng đƣờng S = 4A.
Mỗi một chu kì, vật qua vị trí bất kì 2 lần( riêng với biên thì một lần).
Thời gian vật dao động điều hòa từ vị trí (x1, v1) đến vị trí (x2, v2) bằng


O
M
thời gian
quay đều đƣợc góc   t  t 





Nếu biết góc quay của OM trong thời gian t tính từ thời điểm t = 0, ta
có thể tìm đƣợc thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể
tính đƣợc số lần vật qua vị trí x trong thời gian to hoặc tính đƣợc quãng đƣờng
vật dao động điều hòa đi đƣợc trong khoảng thời gian t .

17


Chƣơng 2
HỆ THỐNG BÀI TẬP
Trong chƣơng này, tôi xin trình bày hệ thống bài tập của đề tài “ Ứng
dụng của đƣờng tròn lƣợng giác để giải bài tập dao động điều hòa cơ học”
nhƣ sau:
2.1. Viết phƣơng trình dao động điều hòa
2.1.1. Phƣơng pháp giải
Bƣớc 1: Chọn trục tọa độ Ox, có phƣơng là phƣơng dao động, gốc O là
vị trí cân bằng (VTCB) của vật, chiều (+) trùng với Ox.
+ Xác định gốc thời gian t = 0, nếu đề bài không cho thì thƣờng chọn
gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Nếu không xác định đƣợc thời điểm
vật bắt đầu dao động thì chọn thời điểm ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo
chiều (+).
Bƣớc 2: Viết phƣơng trình dao động: x= Acos( t   )

(1)

Bƣớc 3: Dựa vào các điều kiện của bài toán đã cho và các công thức
liên quan để tìm ra các giá trị cụ thể của A,  ,  rồi thay vào (1)
+ Xác định

k 2

 2f
m
T

=

g
=
l



v2
A2  x 2
vmax

+ Xác định biên độ: A= 



/ a max /

2

 x2 

v2

2



a2

4



v2

2

+ Xác định  :
Cách 1: Từ điều kiện ban đầut = 0, vẽ vòng tròn, tìm ra  .
Cách 2: Giải hệ phƣơng trình lƣợng giác.
Cuối cùng thay các giá trị của A,  ,  vào phƣơng trình (1).

18


2.1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục ox quanh vị trí cân
bằng 0. Có chu kì T =  /5 (s). Đƣa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x = +
3 cm rồi chuyền cho vật vận tốc v = + 10 cm/s. Chọn gốc thời gian là lúc

vật bắt đầu chuyển động, gốc tọa độ của trục tọa độ là vị trí cân bằng. Viết
phƣơng trình dao động của vật.
Bài giải
y

- Tần số góc:


M1

2
 10(rad / s)
T

x

- Biên độ dao động:
A=

x2 

v2

2

-A

O

A

 A = 2 (cm)
M2

* Cách 1:
- Ban đầu t = 0 ta có cos   3 / 2     / 6rad .
Có hai vị trí trên đƣờng tròn là M1 và M2 mà ở đó đều có vị trí x  3
cm. Vì vật dao động đi theo chiều dƣơng, nên ta chọn vị trí M2 tức    / 6

- Vậy phƣơng trình dao động của vật là: x = 2cos(10t - π/6) (cm).
* Chú ý: Nếu cho v = -10 cm/s thì vị trí ban đầu là M1 tức là    / 6
- Phƣơng trình dao động của vật là: x = 2cos(10t + π/6) (cm).
* Cách 2:
Tại thời điểm t = 0,ta có:

3

 x  A cos   2cos   3 cos 



2   
6
v   A sin   10
sin   0


Phƣơng trình dao động của vật: : x = 2cos(10t - π/6) (cm).

19


Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với tần số 60 Hz, A = 5cm. Chọn
gốc thời gian lúc vật có li độ x = + 2,5cm và đang giảm. Viết phƣơng trình
dao động của vật trong trƣờng hợp này .
Bài giải
- Ta có :
y

  2f  120 ( rad/s)

M1

Gọi phƣơng trình dao động của vật là:
x  A cos(t   )

x
O

-A

*Cách 1:

A

- Tại ban đầu:
M2

t = 0 ta có
cos 

2,5

 0,5     rad .
5
3



- Vì x đang giảm tức là vật đang đi từ M1 đến - A nên ta chọn  = 3 rad.
- Vậy phƣơng trình dao động của vật là:


x = 5cos( 120 t  3 ) (cm).
* Chú ý: Nếu x đang tăng tức vật đang đi từ M2 về vị trí biên dƣơng

A.chọn  = - 3 rad.



- Phƣơng trình dao động của vật là: x = 5cos( 120 t  3 ) (cm).
*Cách 2:
 x  5cos   2,5
Tại t = 0 ta có: v   A sin   0

1


cos 

2  
3
sin   0



Vậy phƣơng trình dao động của vật là: x = 5cos( 120 t  3 ) (cm)

20