Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam

www.TaiLieuLuyenThi.com

CHƯƠNG 1:

KIẾN THỨC BỔ SUNG
KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Nộ i dung chương nà y đề cậ p đế n cá c nội dung
- Phương trình, bấ t phương trình bậ c nhấ t và bậ c hai.
- Cá c phương trình bậ c ba, bậ c bốn dạ ng đặ c biệ t.
- Cá c phương trình dạng phâ n thứ c đặ c biệ t.
- Phương phá p giả i phương trình bậ c ba, bậ c bốn tổ ng quá t.
- Hệ phương trình cơ bả n gồ m hệ bậ c nhấ t hai ẩ n, hệ bậ c nhấ t ba ẩ n, hệ
gồ m mộ t phương trình bậ c nhấ t hai ẩ n và mộ t phương trình bậ c hai hai ẩ n.
- Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng tổ ng quá t.
Đâ y là nhữ ng kiế n thứ c cơ bả n và cầ n thiế t trướ c khi tiế p cậ n với hệ phương
trình nên hy vọng sẽ cung cấ p đủ những kỹ nă ng về giả i phương trình và hệ
phương trình trước khi chúng ta đến với các hệ phương trình dạng nâng cao hơn.

Chủ Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0, (a ≠ 0)
+ Nế u a = 0, b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.
+ Nế u a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm.
b
+ Nế u a ≠ 0 ⇔ x = – là nghiệ m củ a phương trình.
a
Bấ t phương trình bậ c nhấ t ax + b > 0.
 b


b
+ Nếu a > 0 ⇔ x > − ⇒ S =  − ; +∞

a
 a


b
b
+ Nếu a < 0 ⇔ x < − ⇒ S =  −∞
; −
a
a


2. Phương trình và bất phương trình bậc hai
a) Phương trình bậ c hai ax2 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0). Đònh thứ c ∆ = b2 – 4ac.
+ Nế u ∆ = b2 – 4ac < 0, phương trình vô nghiệ m.
b
+ Nế u ∆ = b2 – 4ac, phương trình có nghiệm duy nhấ t x 0 = − .
2a
2
+ Nếu ∆ = b – 4ac > 0, phương trình có hai nghiệm phâ n biệ t:

3


www.TaiLieuLuyenThi.com

x1,2 =

−b ± ∆
và khi đó ax2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ).
2a

b) Bấ t phương trình bậ c hai f(x) = ax 2

bx
+ c+ 0,(a
>

0)
≠.

+ Nế u ∆ = b2

4ac
− 0≤khi đó a.f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R .

+ Nế u ∆ = b2

4ac
− 0>khi đó f(x) = 0 có hai nghiệ m phân biệ t x 1 < x 2 .


 x > x2
 f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x 2 ) > 0 ⇔ 
- Nế u a > 0 ⇒ 
 x < x1


 f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2
 f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2

 x > x2
- Nế u a < 0 ⇒ 
 f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔  x < x

1


Chủ Đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

1. Phương trình dạng 4x3 + 3x = m .
Hà m số f(x) = 4x3 3x +
có f '(x) = 12x 2

3 +0, >x ∀R ∈nê n phương trình

4x3 + 3x = m có khô ng quá mộ t nghiệm.

Ta chứ ng minh phương trình có nghiệ m duy nhấ t.
1
Đặ t m =  a3
2

1
−

a3 

3

⇔
a =m

m±2 1 . +

3

1 
1 
1 
1  1 
1
Khi đó 4   a −   + 3   a −   =  a3 −  =m .
a 
a  2 
a3 
2 
2 
1
1
Do đó x =  a
− nghiệm củ a phương trình hay phương trình có nghiệm
 là
2
a
1

1
duy nhấ t x =  a
 .−
2
a

Ví dụ 1. Giả i phương trình 4x3 + 3x = 2 .
Lời giải
Hà m số f(x) = 4x3 +3x −2 có f '(x) = 12x 2
có tố i đa mộ t nghiệm.

nê n phương trình
3 +0, >x ∀ ∈


www.TaiLieuLuyenThi.com
1
1
Đặ t 2 =  a3 −  ⇔a =3 2
2
a3 

Chọ n a = 3 +2

1
⇒
5 −=
a

±5 .

−3 2

5

3

1 
1 
1 
1  1 
1
Khi đó : 4   a −   + 3   a −   =  a3 −  .
a 
a  2 
a3 
2 
2 
Vậ y: phương trình có nghiệ m duy nhấ t:
1
1 1
x =  a −  =  3 2
2
a 2

+5

3

−5  .



+2

2. Phương trình dạng 4x3 − 3x = m .
α
α
3cos −nê n
3
3
α + 2π
α − 2π
.
cos
= ,x3 = cos
3
3

khi
α đó do cos α = 4 cos3

TH1: Nế u m ≤ 1 đặ t m = cos

α
phương trình có ba nghiệ m x1 = cos ,x2
3
1
TH2: Nế u m > 1 đặ t m =  a3
2

1
+ 
a3 

1 
1
1
1 
Khi đó  a3 +  = 4   a + 
3
2
a 
a 
2 

3

3

⇔
a =m

m±2 1 . −

1 
1 
3−  a +  .
a 
2 

1
1
Vì vậy x 0 =  a
+ mộ t nghiệm củ a phương trình.
 là
2
a
Ta chứ ng minh x 0 là nghiệm duy nhấ t củ a phương trình.

Thậ t vậ y ta có : 4x3 − 3x = 4x30
Phương trình 4x2 + 4x 0 x + 4x20

( +4x x +4x 3−)
< x >1.
− 3 = 0 có ∆ ' = 12 (1 x −) 0 do
3x
− 0

⇔
( x x−0 ) 4x2

0

2
0

2
0

=

0.

0

Vậ y phương trình có nghiệm duy nhấ t:
3

3

1
1
m + m2 − 1 + m − m2 − 1
.
x = a +  =
2
a
2

3. Phương trình dạng x3 + px = q .
TH1: Nế u p = 0 ⇒ x3 = q ⇔ x =
TH2: Nế u p > 0 đặ t x = 2

3

q.

p
t đưa về phương trình dạ ng: 4t 3 + 3t = m .
3

5


www.TaiLieuLuyenThi.com

TH3: Nế u p < 0 đặ t x = 2

p
t− đưa về phương trình dạ ng: 4x3 − 3x = m .
3

4. Phương trình bậc ba dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a ≠ 0).
Phương pháp phân tích nhân tử.
Nế u phương trình có nghiệm x 0 thì ta có thể phâ n tích:

(

)

ax3 + bx2 + cx + d = ( x −x 0 ) ax2 +( b +ax 0 ) x +c +bx 0 +ax20 .

Từ đó để giả i phương trình bậ c ba trê n ta đi giả i phương trình bậ c hai:
ax2 + ( b + ax 0 ) x + c + bx 0 + ax20 = 0 .

Phương pháp Cardano. Chia hai vế phương trình cho a đ
ưa phương trình về
dạng: x3 + ax2 + bx + c = 0 .
Bằ ng cá ch đặ t y = x

a

− luô n đưa phương trình về dạng chính tắ c:
3

y3 + py + q = 0 (1) trong đó p = q –

a2
, q = c + G  x, x 2 − a2  = 0
3



PP

.
→

Ta chỉ cần xét p, q ≠ 0 vì nếu p = 0 hoặ c q = 0 phương trình đơn giản, tiế p tụ c
đặ t y = u + v thay và o (1), ta đượ c:

u  v 

3

 p u  v   q  0  u 3  v 3  3uv  p u  v   q  0 .

Ta chọ n u, v sao cho 3uv + p = 0 khi đó u3 + v3 + q = 0.
 3 3
p3
3uv + p = 0
=

−
u
v

⇔ 
Vậ y : ta có hệ phương trình  3
27 .
3
 u + v + q = 0
 3
3
 u + v −= q
Theo đònh lý Vi–é t u, v là hai nghiệm của phương trình X3 + qX −
Đặ t ∆ =

q2
4

p3
= 0 (3)
27

p3
+
27

q
q
+ Nế u ∆ > 0 khi đó (3) có hai nghiệm u3 =− + ∆ , v3 =− − ∆
2

2

và

q
q
phương trình (2) có nghiệm duy nhấ t y = 3 − + ∆ + 3 − − ∆ nê n
2
2

phương trình (1) có nghiệm thự c duy nhấ t x =

6

a 3 q
q
+ − + ∆ +3 − − ∆ .
3
2
2


www.TaiLieuLuyenThi.com

+ Nế u ∆ = 0 khi đó (3) có nghiệm ké p u = v = − 3

q
và phương trình (2) có
2

q
q
3
hai nghiệm thự c trong đó có mộ t nghiệ m ké p y1 =
2 3 − ; y2 =
y3 =
2
2

Do đó: (1) có hai nghiệ m thự c, trong đó có mộ t nghiệ m ké p:
a
q
a
q
x1 = + 2 3 − ;x 2 =x3 = + 3
3
2
3
2

+ Nế u ∆ < 0 khi đó (3) có nghiệm phứ c, giả sử là u 0 , v 0 khi đó (1) có ba
nghiệm phức:

y=
1 u0 + v0

1

− ( u0 + v0 ) + i
y2 =

2


1
− ( u0 + v0 ) − i
 y3 =
2



a
x1 = + u0 + v0
3


3
a 1
u0 − v0 ) ⇒ x2 =
− ( u + v0 ) + i
(
2
3 2 0


3
a 1
u 0 − v 0 )  x3 = − ( u 0 + v 0 ) − i
(
2
3 2



3
( u − v0 )
2 0
3
( u − v0 )
2 0

Ngoài hai cá ch trê n có thể giả i phương trình bậ c ba bằ ng phương pháp lượ ng
giá c hó a hoặ c biến đổi đưa về đẳ ng thứ c a3 = b3.

Chủ Đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

1. Phương trình dạng trùng phương ax 4 + bx2 + =
c 0, ( a ≠ 0 ) .
Đặ=
t t x 2 , ( t ≥ 0 ) phương trình trở thành: at 2 + bt + c =
0 . Đâ y là phương
trình bậ c hai đã biế t cá ch giả i.
4

4

2. Phương trình dạng ( x − a ) + ( x − b ) =
c.
Đặ t t= x −

a+b
phương trình trở thà nh:
2

4

4

 b−a  a−b
c đưa về
t +
 +t +
 =
2  
2 


phương trình dạ ng trù ng phương.
4

4

Ví dụ 1. Giả i phương trình ( x − 2 ) + ( x − 6 ) =
82 .
Lời giải
4

4

Đặ t t= x − 4 phương trình trở thành: ( t + 2 ) + ( t − 2 ) =

82 .
7


www.TaiLieuLuyenThi.com

(

)(

)

 t =−1  x − 4 =−1  x =3
⇔
⇔
⇔ t 4 + 24t 2 − 25 =0 ⇔ t 2 − 1 t 2 + 25 =0 ⇔ 
=
x−4 1 =
t 1
=
x 5
Vậ y phương trình có hai nghiệm là=
x 3,x
= 5.
m với a + d = b + c .
3. Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) =

Đặt t =
( x + a )( x + d ) hoặc t =
( x + b )( x + c) đưa về phương trình bậc hai với ẩn

t.
24 .
Ví dụ 2. Giả i phương trình x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) =

Lời giải
Đặt t = x ( x − 3) = x2 − 3x ⇒ ( x − 1)( x − 2 ) = x2 − 3x + 2 = t + 2 phương trình trở thành:
 x2 − 3x =
t =
x =
−6
−6
−1
.
⇔
⇔
t ( t + 2 ) =24 ⇔ t 2 + 2t − 24 =0 ⇔ 
2
=
4
 t 4=
x 4
 x − 3x =

Vậ y: phương trình có hai nghiệm là x =
−1, x =
4.
4. Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) =
ex 2 với ad
= bc
= m.

Viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng: ( x + a )( x + d )  . ( x + b )( x + c )  =
ex 2 .

(

)(

)

⇔ x2 + ( a + d ) x + ad x2 + ( b + c ) x + bc =
ex2 .

Xé t trườ ng hợ p x = 0 xem thỏa mã n phương trình hay không.
Vớ i x ≠ 0 chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c:



ad
bc
+ a + d  x +
+ b + c =
e.
x +
x
x




Đặ t t =x +

ad
bc
đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t .
=x +
x
x

Ví dụ 3. Giả i phương trình ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 6 ) =
30x 2 .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

(

)(

)

( x + 2 )( x + 6 )  . ( x + 3)( x + 4 ) = 30x2 ⇔ x2 + 8x + 12 x 2 + 7x + 12 = 30x 2

 


Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c:
8


www.TaiLieuLuyenThi.com




12
12
30 .
 x + + 8  x + + 7  =
x
x




(

)

12
Đặ t t =
x + , t ≥ 4 3 phương trình trở thành:
x

 t = −2

( t + 8)( t + 7) =30 ⇔ t 2 + 15t + 26 =0 ⇔ t = −13 .


Đố i chiế u vớ i điều kiệ n chỉ nhận nghiệm t =
−13 ⇔ x +

12
=
−13 .
x

 x = −1
.
⇔ x2 + 13x + 12 =0 ⇔ 
 x = −12

Vậ y phương trình có hai nghiệm là x =
−12,x =
−1 .
2

e d
5. Phương trình dạng ax + bx + cx + dx + e =
0 với =   .
a b
4

3

2

TH1: Nế u e = 0 đưa về phương trình:

(

)

ax 4 + bx3 + cx2 + dx
= x ax3 + bx2 + cx + d= 0 , phương trình tích có chứ a

phương trình bậ c ba dạ ng tổ ng quá t đã biết cá ch giải.
TH2: Nế u e ≠ 0 ⇒ x =
0 khô ng là nghiệm củ a phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế phương trình cho x2 ta đượ c:
ax2 +

e




d
e 
d 
+  bx +  + c = 0 ⇔ a  x 2 +
 + b x +
+ c= 0.
2
x
bx 
x
ax 



2

d
d2
d
e
d
⇒ t 2 = x2 +
+ 2 = x2 +
+ 2 đưa về phương trình
2
2
2
bx
b
b
b x
ax
bậ c hai với ẩn t .

Đặ t t = x +

Ví dụ 4. Giả i phương trình x 4 + 3x3 − 6x2 + 6x + 4 =
0.
Lời giải
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế phương trình cho x2 , ta đượ c:
2




6 4
2
2
= 0 ⇔  x +  + 3  x +  − 10 = 0 .
x + 3x − 6 + +
2
x x
x
x


2

t = 2
2
Đặ t t =
x + , t ≥ 2 2 phương trình trở thành: t 2 + 3t − 10 =0 ⇔ 
x
 t = −5

9


www.TaiLieuLuyenThi.com
Đố i chiế u vớ i điều kiệ n chỉ nhận nghiệm:
t =−5 ⇔ x +

2
−5 ± 17
.

=−5 ⇔ x2 + 5x + 2 =0 ⇔ x =
x
2

Vậ y phương trình có hai nghiệm là x =

−5 ± 17
.
2

6. Phương trình dạng x 4 = ax 2 + bx + c .
TH1: Nế u ∆= b2 − 4ac= 0 biế n đổ i đưa phương trình về dạng:
2


b 
=
x4 a  x +  .
2a 


TH2: Nế u ∆= b2 − 4ac ≠ 0 ta chọ n số thự c m sao cho:

(

)

2

(

x 4 =  x2 − m + m  = x2 − m



(

⇔ x2 − m

)

2

=

)

2

(

)

+ 2m x 2 − m + m 2 = ax 2 + bx + c .

( a − 2m ) x2 + bx + c + m 2 .

(

)

Ta chọ n m sao cho: b2 − 4 ( a − 2m ) c + m 2 =
0.
Ví dụ 5. Giả i phương trình x 4 = 7x2 − 3x −

3
.
4

Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

( x + 1)
2

2


 2
1
3± 3
x + 1 = 3x −
x =


1
2 ⇔
2
.
=  3x −  ⇔ 


2
1
 x 2 + 1 =−3x +


−3 ± 7
x =

2
2

2

Vậ y phương trình có bố n nghiệ
m là x
=

3± 3
−3 ± 7
.
=
,x
2
2

7. Phương trình bậc bốn tổng quát ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e =
0.
b
Cách 1: Đặ t x =

− + t đưa về phương trình dạ ng: t 4 = αt 2 + βt + λ .
4a

Cách 2: Viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng:
4a2 x 4 + 4bax3 + 4cax 2 + 4dax + 4ae =
0

(

⇔ 2ax2 + bx

10

) =( b
2

2

)

− 4ac x2 − 4adx − 4ae .


www.TaiLieuLuyenThi.com

(

)

Thê m và o hai vế củ a phương trình đạ i lượng 2y 2ax2 + bx + y2 (vớ i y là

hằ ng số tìm sau).

(

Khi đó : 2ax2 + bx + y

) = (b
2

2

)

− 4ac + 4ay x 2 + 2 ( by − 2ad ) x − 4ae + y2 .

( by − 2ad )

Ta chọ n y sao cho: ∆ 'x =

(

2

)(

)

− b2 − 4ac + 4ay y2 − 4ae = 0 .

Ví dụ 6. Giả i phương trình x 4 − 16x3 + 57x 2 − 52x − 35 =

0.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

(

x 4 − 16x3 + 64x2 = 7x2 + 52x + 35 ⇔ x 2 − 8x

)

2

= 7x 2 + 52x + 35 .

Ta thêm và hằ ng số y thỏa mã n:

(

(
⇔ ( x − 8x + y ) =
x2 − 8x

)

2

)

(

)

+ 2y x2 − 8x + y2 = 7x2 + 52x + 35 + 2y x2 − 8x + y2 .
2

2

( 2y + 7) x2 + x ( 52 − 16y ) + 35 + y2 .
( 26 − 8y ) − ( 2y + 7) ( 35 + y2 )=
2

Ta chọ n y sao cho ∆ 'x =

(

0.

)

⇔ ( y − 1) 2y2 − 55y + 431 = 0 ⇔ y = 1 .

Vậ y phương trình đã cho tương đương vớ i:

(x

2

)

− 8x + 1

2

= 9 ( x + 2)

2


11 − 141
x =
 x2 − 8x + 1= 3 ( x + 2 )
2
.
⇔
⇔

 x2 − 8x + 1 =−3 ( x + 2 )
+
11
141

x =
2


Vậ y phương trình có hai nghiệ
m là x
=

11 − 141

11 + 141
.
=
,x
2
2

11


www.TaiLieuLuyenThi.com

Chủ Đề 4: PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
1. Phương trình dạng x2 +

a2 x 2

( x + a)

2

=
b.

Phương trình đã cho tương đương vớ i:
2

2
 x2 


ax 
2ax2
x2
−
+
=
⇔
+
=
x
b
2a.
b.




x+a
+
x+a
x+a
x
a




Đặ t t =

x2

đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t : t 2 + 2at =
b.
x+a
2

 x 
Ví dụ 1. Giả i phương trình x + 
1.
 =
 x +1
2

Lời giải
Điề u kiện: x ≠ −1 .
Phương trình đã cho tương đương vớ i:
2

2
 x2 

x 
2x2
x2
−
+
=
⇔
+
=
x

1
2.
1.






x +1
x +1
x +1

 x +1

 x 
⇔

 x +1


2

2


 x2
 x =−1 + 2 − 2 2 − 1
=−1 + 2


x
2
.
1⇔ x +1
+ 2.
=
⇔

 x2
x +1
 x = −1 + 2 + 2 2 − 1
=−1 − 2


x +1
2
2

Vậ y phương trình có hai nghiệm là :
x

−1 + 2 − 2 2 − 1
−1 + 2 + 2 2 − 1
.
=
;x
2
2

2. Phương trình dạng

x2 + mx + a
x2 + nx + a

+

x2 + px + a
x 2 + qx + a

=
b.

Xé t xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay khô ng.
a
a
+m x+ +p
x
x
Trườ ng hợp x ≠ 0 viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng:
b.
+
=
a
a
x+ +n x+ +q
x
x
x+

Đặ t t= x +

12

a
đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t .
x


www.TaiLieuLuyenThi.com

Ví dụ 2. Giả i phương trình

x2 + 5x + 3

x 2 + 4x + 3

184
.
=
−
119
x − 7x + 3 x + 5x + 3
Lời giải
2

+

2

Điề u kiện: x2 + 5x + 3 ≠ 0,x2 − 7x + 3 ≠ 0 .
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.

3
3
+5 x+ +4
184
x
x
Xé t x ≠ 0 viế t lạ i phương trình dưới dạ ng:
.
+
=
−
3
3
119
x+ −7 x+ +5
x
x
3
Đặ t t =
x + , t ≥ 2 3 phương trình trở thành:
x

x = 2
 7

3 7

=
t
=

x
+
 2

t+5 t+4
184
3
x
2
.
+
=
−
⇔
⇔
⇔  x =
t−7 t+5
119
2
971
3
971
y =


−
−

 x + x =
211

211
−971 ± 408589

 x =
422
x+

(

Chủ Đề 5:

)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN CÓ CHỨA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

a x + b1y =
c1
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:  1
, a12 + b12 > 0,a22 + b22 > 0 .
+
=
a
x
b
y
c
 2
2
2

(

)

Đâ y là hệ phương trình cơ bả n để giả i chú ng ta có thể thự c hiệ n phé p thế , sử
dụ ng máy tính bỏ túi hoặc sử dụ ng đònh thứ c Crame(hay đượ c dù ng trong
biệ n luận).
=
D

a1 b1
c1 b1
a1 c1
.
=
,Dx =
,Dy
a2 b 2
c2 b2
a2 c2

Cá c trườ ng hợp
D≠0

Kế t quả
Hệ phương trình có nghiệm duy nhấ t:
Dy 
.


D
D


D

( x;y ) = 

x

;

=
D D=
D=
0
x
y

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

D = 0 nhưng Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0

Hệ phương trình vô nghiệm.
13


www.TaiLieuLuyenThi.com
a1x + b1y + c1z =
d1


2
2
2
2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: a2 x + b2 y + c=
2 z d 2 , a i + b i + ci > 0 .
a x + b y + c z =
d3
3
3
 3

(

)

Hệ nà y dù ng phé p thế đưa về hệ bậ c nhấ t hai ẩn hoặc dù ng má y tính bỏ túi.
3. Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương
mx + ny =
a
trình bậc hai:  2
.
2
d
ax + bxy + cy =

Rú t x theo y hoặ c rú t y theo x từ phương trình đầ u củ a hệ thế và o phương
trình thứ hai củ a hệ đưa về giả i phương trình bậ c hai.

Chủ Đề 6:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
DẠNG TỔNG QUÁT

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n là hệ có dạ ng:
a x2 + b y2 + c xy + d x + e y + f =
1
1
1
1
1
1 0
 2
2
0
a2 x + b2 y + c2 xy + d 2 x + e2 y + f2 =

(1)
(2)

a) Nế u mộ t trong hai phương trình là bậ c nhấ t thì dễ dà ng giả i hệ bằng phương
phá p thế.
a
b
b) Nế u 1 = 1 bằ ng cá ch loạ i bỏ x2 + y2 đưa về hệ phương trình bậc hai có
a2 b 2
mộ t phương trình bậc nhấ t và giả i hệ bằ ng phương phá p thế .
c) Nế u mộ t trong hai phương trình là thuầ n nhấ t bậ c hai(chẳ ng hạn
2

2
0 phương trình
d=
1 e=
1 f1 )khi đó phương trình đầu là a1x + b1y + c1xy =

nã y cho phé p ta tính đượ c t =

x
.
y

d) Hệ đẳ ng cấ p bậ c hai nế u d=
0 hệ trở thà nh hệ đẳ ng cấ p bậ c
1 e=
1 d=
2 e=
2
hai. Bằ ng cá ch khử đi hệ số tự do ta đưa về mộ t phương trình thuầ n nhất bậ c
x
hai cho phép ta tính đượ c t = .
y

14


www.TaiLieuLuyenThi.com

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

e) Đưa về hệ bậ c nhấ t bằ ng cá ch đặt y = tx và đặ t z = x2 giả i hệ vớ i hai ẩ n là

( x;z ) lúc sau giải phương trình z = x2 .
f) Trong nhiề u trườ ng hợ p ta có thể á p dụ ng phương phá p tònh tiế n nghiệm.
x= u + a
(vớ i u,v là cá c ẩ n và a,b là hai nghiệ m củ a hệ
Bằ ng cá ch đặ t 
y= v + b
phương trình). Để tìm a,b có hai cá ch thự c hiệ n ta cho cá c hạng tử bậ c nhất
sau khi khai triển triệ t tiê u từ đó ta có hệ đẳ ng cấ p bậ c hai với hai ẩn
u,v cá ch giải tương tự trườ ng hợ p c) hoặ c đạo hàm mộ t phương trình lầ n lượ t
theo biến x ,theo biế n y giải hệ phương trình thu đượ c ta đượ c nghiệm

( x0 ;y0 ) khi đó=a

x=
0 ,b y 0 .

g) Dù ng hệ số bấ t đònh(xem thê m chủ đề hệ số bất đònh).
Cách 1: Lấ y (1) + k.(2) đưa về mộ t phương trình bậ c hai vớ i ẩ n
t = ax + by + c ta tìm k hợ p lý sao cho phương trình bậ c hai có Delta là số

chính phương.
Cách 2: Tìm hai cặ p nghiệ m củ a hệ phương trình. Viế t phương trình đườ ng
thẳ ng đi qua hai điểm đó . Lấ y mộ t điể m khá c hai điể m trê n thay và o hai vế
cá c phương trình củ a hệ từ đó suy ra hệ số bấ t đònh cầ n tìm.
h) Đạ o hàm lầ n lượ t theo biến x hoặ c theo y đố i vớ i mộ t trong hai phương trình
 u= x − a
đưa về hệ
củ a hệ tìm ra nghiệm =

x a,y
= b khi đó đặ t ẩn phụ 
v= y − b
phương trình đẳ ng cấ p.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giả i hệ phương trình

.
Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương phá p thế. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta đượ c:
5x − 4y − xy =
15 . Hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:

5x − 15
5x − 4y − xy =
15
y =
⇔
x+4
 2
2
−3  2
x + y − 4x + 2y =
2
−3
x + y − 4x + 2y =

( x ≠ −4 )

15


www.TaiLieuLuyenThi.com

5x − 15
y = +
x 4

⇔
2
x 2 +  5x − 15  − 4x + 2. 5x − 15 + 3 =
0



x+4
 x+4 



5x − 15
y =
⇔
x+4
x 4 + 4x3 + 22x 2 − 180x + 153 =
0


5x − 15

y = +
 x = 1,y = −2
x 4
.
⇔
⇔
=
=
x
3,y
0
2

( x − 1)( x − 3) x + 8x + 51 =
0


(

)

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là=
( x;y )

( 3;0 ); (1; −2 ) .

Cách 2: Đưa về hệ bậ c nhấ t
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.
Xé t x ≠ 0 đặ t y = tx hệ phương trình trở thà nh:

(
(

)

 1 + t 2 x2 + 2 ( t − 2 ) x =
−3

.

12
 t 2 − t + 1 x2 + (1 − 2t ) x =


)

(
(

)

 1 + t2 z + 2 ( t − 2) x =
−3

.
Đặ t z = x khi đó hệ trở thà nh: 
12
 t 2 − t + 1 z + (1 − 2t ) x =

2

)

Ta có cá c đònh thứ c:
1 + t2
2t − 4
D=
=
−4t 3 + 7t 2 − 8t + 5
2
t − t + 1 1 − 2t
−3 2t − 4
1 + t2 − 3
Dz =
=
−18t + 45;D x =
=
15t 2 − 3t + 15
2
12 1 − 2t
t − t + 1 12

(

)

.

Nế u D =0 ⇔ −4t 3 + 7t 2 − 8t + 5 =0 ⇔ ( t − 1) 4t 2 − 3t + 5 =0
⇔ t = 1 ⇒ Dz = 27 ≠ 0 nê n hệ vô nghiệ m.

16


www.TaiLieuLuyenThi.com

Dx
x =
D ⇒ z = x2 ⇔ D .D = D2 .
Xé t t ≠ 1 ⇒ D ≠ 0 khi đó 
z
x
D
z = z

D

( −18t + 45) ( −4t3 + 7t 2 − 8t + 5=)

(15t

2

− 3t + 15

)

2

(

)

⇔ 153t 4 + 216t 3 + 360t =
0 ⇔ 9t ( t + 2 ) 17t 2 − 10t + 20 =
0.

t = 0
⇔
 t = −2

TH1 : Nế u t = 0 ⇒ D = 5,Dx =15 ⇒ x =

Dx
D

=3 ⇒ y = 0 .

D
TH2 : Nế u t =
81,Dx =
81 ⇒ x = x =⇒
1 y=
−2 ⇒ D =
−2 .
D

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là=
( x;y )

( 3;0 ); (1; −2 ) .

Cách 3 : Đặ t ẩ n phụ đưa về hệ đẳng cấ p
x= u + 1
hệ phương trình trở thà nh:
Đặ t 
y= v − 2
 u +1 2 + v − 2 2 − 4 u +1 + 2 v − 2 =
) ( ) ( ) ( ) −3
(
.

2
2
( u + 1) + ( v − 2 ) − ( u + 1)( v − 2 ) + u + 1 − 2 ( v − 2 ) =
12


 u2 + v2 − 2u − 2v =
0
.
⇔
2
2
0
 u − uv + v + 5u − 7v =

Cách 4: Hệ số bất đònh(2 hướ ng xử lý).
x2 + y2 − 4x + 2y =
−3

(1)
Viế t lạ i hệ phương trình dướ i dạ ng: 
2
2
12
(2)
x + y − xy + x − 2y =

Lấ y (1) + k.(2) theo vế ta đượ c:

0.
( k + 1) x2 − ( ky + k + 4 ) x + k ( y2 − 2y − 12 ) + y2 + 2y + 3 =

Ta có : ∆ x =

( ky + k + 4 )

(

2

((

)

− 4 ( k + 1) k y 2 − 2y − 12 + y 2 + 2y + 3

)

(

)

)

= −3k 2 − 8k − 4 y2 + 10k 2 + 8k − 8 y + 49k 2 + 44k + 4 =0 .

17


www.TaiLieuLuyenThi.com
Ta chọ n k sao cho ∆ x là số chính phương muốn vậy cho ∆ 'y =
0.

(

⇔ 5k 2 + 4k − 4
4

3

) − ( −3k
2

2

)(

)

− 8k − 4 49k 2 + 44k + 4 =0

.

2

⇔ 43k + 141k + 134k + 44k + 8 =0 ⇒ k =−1

Tứ c là trừ theo vế hai phương trình củ a hệ như lời giả i 1 ở trê n.
x2 + 3y2 + 4xy − 18x − 22y + 31 =
0
.
Bài 2. Giả i hệ phương trình 
2
2
0
2x + 4y + 2xy + 6x − 46y + 175 =

Lời giải
x= u + a
Cách 1: Đặ t 
khi đó hệ phương trình trở thà nh:
y= v + b
 u + a 2 + 3 v + b 2 + 4 u + a v + b − 18 u + a − 22 v + b + 31 =
0
) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(
.

2

2
2 ( u + a ) + 4 ( v + b ) + 2 ( u + a )( v + b ) + 6 ( u + a ) − 46 ( v + b ) + 175 =
0


 u2 + 3v2 + 4uv + ( 2a + 4b − 18) u + ( 6b + 4a − 22 ) v


+ a2 + 3b2 + 4ab − 18a − 22b + 31 =
0
⇔
2
2
2u + 4v + 2uv + ( 4a + 2b + 6 ) u + ( 8b + 2a − 46 ) v

+ 2a2 + 4b2 + 2ab + 6a − 46b + 175 =
0


Ta sẽ chọn cá c hệ số ( a; b ) sao cho hệ trê n trở thành hệ đẳng cấ p bậ c hai.
2a + 4b − 18 =
0

a =
0
−5
6b + 4a − 22 =
.
⇔
⇔

=
+6 0 =
b 7
4a + 2b
8b + 2a − 46 =
0

Thay vào hệ trê n ta đượ c:
 u2 + 3v2 +=
 u2 + v2 −=
4uv 1
2uv 0
 u = v
.
⇔
⇔ 2
 2
2
2uv 1 2u2 + 4v2 + =
2uv 1 8u = 1
2u + 4v + =

18


www.TaiLieuLuyenThi.com

1
−
−5

 x =
2 2


1

1
−
+7
 y =
u = v = −

2 2

2 2

.
⇔
⇔

1

1
 x
=
−5
 u= v=

2 2


2 2

1
 y
=
+7
 
2 2

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :

 1

1
1
1
− 5; −
+ 7 ;
− 5;
+ 7 .
( x;y ) =
−
2 2
2 2
 2 2
 2 2

Nhận xét: Việ c đặ t ẩ n phụ thự c hiệ n bằ ng thủ thuậ t nhanh như sau :
Đạ o hàm theo biến x và đạ o hàm theo biế n y mộ t trong hai phương trình củ a
hệ (ta lự a chọ n phương trình đầ u củ a hệ)ta đượ c:

2x + 4y − 18 =
x =
0
−5  u =+
x 5
.
⇔
⇒

6y + 4x − 22 =0
y =7
v =y − 7
Cách 2: Lấ y (2) + k.(1) ta đượ c:

( k + 2 ) x2 + 2 ( y + 3 + 2ky − 9k ) x + 4y2 + 3ky2 − 46y + 175 − 22ky + 31k =0 .
Coi đây là phương trình bậc hai vớ i ẩn là x.
Ta có :
2

(

'x ( 2k + 1) y + 3 − 9k  − ( k + 2 ) 4y 2 + 3ky 2 − 46y + 175 − 22ky + 31k
∆=
=

(k

2

)

(

)

)

− 6k − 7 y 2 − 14 k 2 − 6k − 7 y + 50k 2 − 291k − 341

( 2k + 1) y + 3 − 9k =
Chọ n k = −1 thì ∆ 'x =
0 suy ra x =
−
y − 12 .
k+2
Lời giải
Lấ y (2) − (1) theo vế ta đượ c: x2 + 2 (12 − y ) x + y2 − 24y + 144 =
0.
2

⇔ ( x + 12 − y ) = 0 ⇔ x = y − 12 .

Thay vào phương trình đầu củ a hệ ta đượ c:

( y − 12 )

2

+ 3y 2 + 4y ( y − 12 ) − 18 ( y − 12 ) − 22y + 31 =
0.

19


www.TaiLieuLuyenThi.com

⇔



1
1
1
−
− 5,y =
−
+7
7−
y =
x =
2
2
2
2
2
2
2

.
⇒

8y − 112y + 391 =⇔
0


1
1
1
− 5,y =
+7
y = 7 +
x =
2 2
2 2
2 2



C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
2
2
0
2x + xy − y − 5x + y + 2 =
.
Bài 1. Giả i hệ phương trình 
2
2
0
x + y + x + y − 4 =
Lời giải
Hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:

  y= 2 − x
( x + y − 2 )( 2x − y − 1) =
0

y 2x − 1
.
⇔ =
 2
0
x + y 2 + x + y − 4 =
 2
2
0
x + y + x + y − 4 =

 y= 2 − x
 2
=
x 1,y
= 1
2
0
x + y + x + y − 4 =

⇔
⇔
4
13 .
x =
− ,y =

−
y 2x − 1
 =

5
5
 x2 + y2 + x + y − 4 =
0



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y
=
)

(1;1) ;  − 45 ; − 135  .








x2 − y2 − 2x + 2y + 3 =
0
Bài 2. Giả i hệ phương trình 
.
2
0

y − 2xy + 2x + 4 =
Lời giải
Nhậ n thấy y = 1 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.

Xé t y ≠ 1 rú t x =

y2 + 4
từ phương trình thứ hai thay và o phương trình thứ
2y − 2

nhấ t củ a hệ ta đượ c:
2

 y2 + 4 
y2 + 4
+ 2y + 3 =
0.

 − y 2 − 2.
 2y − 2 
2y − 2



(

)(

)

⇔ 3y 4 − 12y3 − 4y2 + 32y − 44 =0 ⇔ y2 − 2y + 2 3y 2 − 6y − 22 =0 .

20


www.TaiLieuLuyenThi.com


5
4
5
1−
1−
,y =
1−
y =
x =
3
3
3
.
⇔ 3y2 − 6y − 22 =0 ⇔ 
⇒


5
4
5
1+
1+

,y =
1+
y =
x =
3
3
3



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :


( x;y ) =−
1


4
3

;1 −

5 
4
5 
;1 +
; 1 +
.
3 
3

3

x2 − 2xy + 2y + 15 =
0
.
Bài 3. Giả i hệ phương trình 
2
−
+
+
=
2x
2xy
y
5
0


Lời giải
Nhậ n thấy x = 1 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.
Vớ i x ≠ 1 rú t y =

x2 + 15
thay và o phương trình thứ hai củ a hệ ta đượ c:
2x − 2
2

x2 + 15  x 2 + 15 
+
2x − 2x.

0.
 +5=
2x − 2  2x − 2 

(

)(

)

⇔ 3x 4 − 12x3 + 26x 2 − 28x − 245 =0 ⇔ x 2 − 2x − 7 3x2 − 6x + 35 =0 .

x =
x =
1− 2 2
1 − 2 2,y =
1− 3 2
.
⇔ x2 − 2x − 7 = 0 ⇔ 
⇒
 x =
1 + 2 2  x =
1 + 2 2,y =
1+ 3 2

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :

( x;y ) =
(1 − 2

)(

)

2;1 − 3 2 ; 1 + 2 2;1 + 3 2 .

x2 + y2 + x − 2y =
2
.
Bài 4. Giả i hệ phương trình  2
2
11
x + y + 2 ( x + y ) =

Lời giải
Cách 1 : Trừ theo vế hai phương trình củ a hệ ta đượ c x + 4y =
9.
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:
2
x2 + y2 + x − 2y =
( 9 − 4y ) + y2 + 9 − 4y − 2y =
2
2
.
⇔

9
x= 9 − 4y
x + 4y =

21


www.TaiLieuLuyenThi.com
=
= 2
x 1,y
17y2 − 78y + 88 =
0

⇔
⇔
23
44 .
x =
− ,y =
x= 9 − 4y

17
17
23 44
; .
(1;2 );  − 17
17

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là =
( x;y )









Cách 2 : Nhậ n thấ y x = 0 khô ng thỏ a mã n hệ phương trình.
Xé t x ≠ 0 đặ t y = tx khi đó hệ phương trình trở thành:

(
(

)
)

 1 + t 2 x 2 + (1 − 2t ) x =
2

.

11
 1 + t 2 x 2 + 2 (1 + t ) x =


(
(

)
)

 1 + t 2 z + (1 − 2t ) x =
2

Đặ t z = x hệ phương trình trở thà nh: 
11
 1 + t 2 z + 2 (1 + t ) x =

2

(

)

(

)

Tính đượ c D =
( 4t + 1) t 2 + 1 ,Dx =9 t 2 + 1 ,Dz =26t − 7 .
1
27
Nế u D =0 ⇔ t =− ⇒ Dz =− ≠ 0 hệ phương trình vô nghiệm.
4
2

Dx
x=
1 
D ⇒ z= x2 ⇔ D .D= D2 .
Nế u D ≠ 0 ⇔ t ≠ − ⇒ 

z
x
Dz
4 
z=
D


(

2

)

⇔ 81 t + 1

2

t = 2
.
=( 26t − 7 )( 4t + 1) t + 1 ⇔ 23t − 2t − 88 = 0 ⇔ 
 t = − 44

23

(

2

)

TH1 : Nế u t =2 ⇒ D =45,Dx =45 ⇒ x =
TH2 : Nế u t =
−

2

Dx
D

=1 ⇒ y =2 .

44
23
44
⇒x=
− ,y = .
23
17
17

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là =
( x;y )

23 44
; .
(1;2 );  − 17
17








x2 + 4y 2 − 4x + 12y + 11 =
0
Bài 5. Giả i hệ phương trình 
2
2
0
x + 4y − 2xy − x + 4y − 12 =

22


www.TaiLieuLuyenThi.com
Lời giải
Trừ theo vế hai phương trình củ a hệ ta đượ c:

( 2x + 8) y + 23 − 3x = 0 ⇔ y = 3x2x−+238 (do x = −4 không thỏa mãn hệ phương trình).
Thay y =

3x − 23
và o phương trình đầu củ a hệ ta đượ c :
2x + 8
2

 3x − 23 

3x − 23
+ 11 =
x + 4
0.
 − 4x + 12.
2x + 8
 2x + 8 
2

⇔ x 4 + 4x3 + 22x 2 − 180x + 153 =
0.
 x = 1,y = −2
x = 1 
⇔ ( x − 1)( x − 3) x2 + 8x + 51 =0 ⇔ 
⇒
12 .
 x = 3  x = 3,y = −
7


(

)



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y ) =−
(1; 2 );  3; − 127  .



x2 + 2y2 + xy + x − 10y =−12
.
Bài 6. Giả i hệ phương trình 
2
2
−8
3x − y − xy + 15x + 4y =

Lời giải
Đặ t u =+
x 2,v =−
y 3 hệ phương trình trở thà nh:
 u − 2 2 + 2 v + 3 2 + u − 2 v + 3 + u − 2 − 10 v + 3 =−12
) ( ) ( )( )
( )
(
.

2
2
3 ( u − 2 ) − ( v + 3) − ( u − 2 )( v + 3) + 15 ( u − 2 ) + 4 ( v + 3) =
8
−


(

)

2
2
2
 2
2
2
4
 u + uv + 2v =
 u + uv + 2v= 4 3u − uv − v
.
⇔
⇔
2
2
1
3u − uv − v =
3u2 − uv − v2 =
1

 u = v

11u2 − 5uv − 6v2 =
0
6v

⇔
⇔  u = −
2
2
11

1
 
3u − uv − v =
2
3u − uv − v2 =
1


23


www.TaiLieuLuyenThi.com
u =
x =
−1,v =
−1
−3,y =
2
  u = v


 2
−1,y =
u=
1,v =
1
4
2
x =
1 

3u − uv − v =


6
11
6
11
,v = ⇔  x =
−
−
− 2,y = + 3 .
⇔ 
⇔ u =
u = − 6 v
53
53
53
53



11


6
11
6
11
 2
2

−
−
+3
 x = − 2,y =
1  u = ,v =
 3u − uv − v =


53
53
53
53
Vậ y hệ phương trình có bốn nghiệ m là :


 6

11
+ 3 ;
− 2; −
+ 3 .
53
53
53

  53

Nhận xét: Cá ch đặ t ẩ n phụ như trê n xuấ t phát từ thủ thuậ t. Đạ o hàm mộ t
trong hai phương trình củ a hệ theo biế n x và theo biế n y ta đượ c(ở đâ y ta lự a
chọ n phương trình đầ u củ a hệ ).

2x + y + 1 =0
x =−2  u =x + 2
.
⇔
⇒

4y + x − 10 = 0
y = 3
v = y − 3

( x;y ) =
( −3;2 ); ( −1;4 );  −

6

− 2;

11

x2 + y2 =
1
(1)

Bài 7. Giả i hệ phương trình 
2
2
69
48 x − y + 28xy + 21x + 3y =

(

)

Lời giải
Lấ y 50.(1) + (2) theo vế ta đượ c:
98x2 + 28xy + 21x + 2y 2 + 3y − 119 =
0.

 y= 7 − 7x
.
⇔ ( 7x + y − 7 )(14x + 2y + 17 ) = 0 ⇔ 
 y = − 14x + 17

2
 24 7 
Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( x;y ) = (1;0 ) ;  ;  .
 25 25 

x2 + y2 + x =
3
Bài 8. Giả i hệ phương trình 
.
2
2
0
x − 2y − xy + y + 1 =
Lời giải
Lấ y 2.(1) + (2) theo vế ta đượ c:

3x2 + 2x − 5 − xy + y = 0 ⇔ ( x − 1)( 3x + 5 − y ) = 0 .

Xé t trườ ng hợ p tìm đượ c cá c nghiệm của hệ phương trình là:
 11 17 
x;y ) (1;1) ; (1; −1) ; ( −2; −1) ;  − ;  .
(=
 10 10 
24

(2)


www.TaiLieuLuyenThi.com

CHƯƠNG 2.

CÁC KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chương nà y là nộ i dung chính củ a cuố n sá ch. Tô i trình bày theo cá c dạ ng
toá n điể n hình phâ n theo cá c chủ đề . Mỗ i chủ đề cung cấ p cá c phương pháp
cũ ng như kỹ thuậ t giả i nhanh đồ ng thờ i là mộ t số lưu ý đố i với bạ n đọ c trong
quá trình xử lý từ ng bài toá n cụ thể.

Chủ đề 1.

KỸ THUẬT SỬ DỤNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
c1

a x + b1y =
Ta đã biế t mộ t hệ phương trình bậ c nhấ t hai ẩ n  1
luô n giả i
c2
a2 x + b2 y =
Dy
Dx
vớ i
đượ c bằ ng phé p thế hoặ c thô ng qua cô ng thứ c Đònh thứ
c x =
=
,y
D
D
a1 b1
c1 b1
a1 c1
=
,Dx =
,Dy
đó : D =
.
D ≠ 0 , trong
a2 b 2
c2 b2
a2 c2

Nế u tinh ý quan sá t hệ phương trình ta có thể đưa 1 hệ phương trình phứ c tạ p
về hệ bậ c nhấ t hai ẩn như trê n và ta sử dụ ng cô ng thứ c nghiệm để giả i.
Dấu hiện nhận biết phương pháp:

+ Cá c phương trình của hệ chỉ là phương trình bậ c nhấ t hoặ c bậ c 2 củ a mộ t
ẩ n x và y.
+ Có 1 nhâ n tử lặp lạ i ở cả 2 phương trình củ a hệ và cá c thành phần cò n lại
chỉ có dạ ng bậ c nhất củ a x và y(1 că n thứ c; 1 biểu thứ c củ a x và y).
+ Có 2 nhâ n tử lặp lạ iở cả 2 phương trình củ a hệ(có 2 că n thứ c; 2 biể u thứ c
củ a x và y).
Để rõ hơn bạn đọ c theo dõ i cá c ví dụ trình bà y dưới đâ y chắ c chắ n sẽ hình
thà nh kỹ năng nhậ n diện hệ phương trình đượ c giả i bằ ng kỹ thuậ t này.
Chú ý. Trong chương 1 các bà i toá n về hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng
tổ ng quát tôi đã trình bà y kỹ thuậ t nà y.
Cầ n nhấ n mạ nh thêm rằ ng phương phá p này giú p ta giả i quyế t đượ c bà i toá n
khi nhậ n biế t đượ c hệ bậ c nhấ t hai ẩ n. Tuy nhiê n có 1 thự c tế rằ ng đối vớ i 1
số hệ phương trình sẽ yê u cầ u bạ n đọ c tính toán khá nặ ng. Do vậ y mụ c đích
củ a bà i viế t là cung cấ p thê m cho bạ n đọ c 1 kỹ thuậ t để giả i hệ. Nhìn hệ
phương trình dưới con mắ t linh hoạ t hơn và tư duy suy nghó ta sẽ có thêm cá c
cá ch giả i hay khá c nhau.
25